不定积分及其应用

1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )

Fx

fx

,

Fx

fx

A ．偶函数 B． 奇函数

C． 非奇非偶函数 D．不能确定

2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数

fxcosx

gx2

x

fgx



为 ( )

A ． B． 2

x2

cosx

C． D ．2

cosxcosx

3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )

fx

A． 1

22

2fxdxfxc



B ．

22fxdxfxc



C． 



222fxdxfx





D． 

2fxdxfxc



4．设且

22

cossinfxx



,则=( )

00f

fx

A ． B．

21

2xx

21

2x

C． D ．1x

31

3xx

5．设是的一个原函数,则2x

e

fx

( )

02()

lim

xfxxfx

x







A． B．2

2x

e2

8x

e

C． D．2

2x

e

2

4x

e

6．设,则=( )

x

fxe



lnfx

dx

x



A． B

． 1

xclnxcC．

D． 1

c

xlnxc

7．若是的一个原函数,则lnxxfx

= 

fx

8．设的一个原函数为

tan2fxkx

,则 2

lncos2

3xk

9．若,则

2

fxdxxc

= 

23

1xfxdx

10．





2cos2

sin2d





11．若,则

fxdxFxc



xx

efedx



12．若,则

lncosfxx







fx

13．计算2

3xx

edx

14

．计算

sinlncoslnxx

dx

x





15．计算ln(tan)

sincosx

dx

xx

16．计算

21

arctan

1x

dxx

17．计算1

1sindx

x

18．计算

1

21dx

xx

19．计算3

2

1x

dx

x20

．计算

21

4dx

xx

山东农业工程学院学报２０１５正第３２卷第４期

三角代换方法在求解不定积分中的应用

张明会，高婷婷

（陇南师范等等专科学校数信学院，甘肃成县７４２５００）

摘要：数学变换方法是一种重要娥数学方法，三角代换也是其中一种重要的方法之一，不同形式的三角函数有理式不定积分之间的知识既有联系也有区别。为了能充分体现这一点，文章主要讨论了各种三角函数有理式不定积分在高等数学解题中的具体方法。有效培养师生的联想和类比能力，大大提高不定积分的运算能力。关键词：黔东南；苗族婚姻习惯法；农民工；婚姻问题；法律救济中图分类号：０１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：２０９５—７３２７（２０１５）一０４—００４６—０２

一、引言三角代换是利用三角函数的性质将要计算的不定积分问题进行转换，使题目得以求解，实质上是换元的思想，体现了三角是数学中的工具。三角函数有理式不定积分的计算是高等数学中常见的题型之一，也是不定积分的核心和难点之一．并且在现代工程理论中应用也非常广泛。于是，在实际应用过程当，究竟应该用什么样的三角形式进行代换就成了关键环节，本文通过几类典型的例子．对不同形式的三角代换方法做了详细的论述。二、几类三角代换及例题选讲１．正弦代换：正弦代换主要是针对型如、石与丁（痧Ｄ）的根式实施的；目的是去掉根号。方法是：令ｘ＝ａｓｉｎｔ，有Ｖ：＿Ｘ２：伽∞￡，ｄｘ：ｎｃ∞￡咖ｔ：ｎｒｃｓ讥生。＝手汁争赢ｔ垢＝丽＋ｃ

＝丁ａ２∽ｓ抚詈＋争菇ｕ忑ｒ＋Ｇ例２计算ｆ＝』、／丢：芝ｉ万如解：原式＝Ｊ、／孓石；了Ｆ也垄壑三垡至』丝』、／丁ｃｏｓｔ、／丁ｃｏｓｔｄｔ＝３／ｃｏｓ２ｔｄｔ＝手ｆ专、／彳ｓ眺、／蜀万抖ｃ＝手僦ｓ流号争＋手（斛，，丽＋ｃ

＝手州ｓ流号争＋争（戈＋，）田＋ｃ

２．正切代换：正切代换主要是针对型如、／丽（ａ＞Ｏ）的例１计算』、／瑟乏ｊ瓦（ＤＤ）根式实施的；目的去掉根号。方法是：利用三角公式原式垄三堡丝ｆａｃｏｓｔ・ｃｔｃｏｔｄｔ＝ａ：２［ＣＯＳ２＝争』（１＋ｃｏｓ剐出＝争（￡＋争ｓｉｎ∽＋ｃ＝丁ａ２（￡＋ｓｉｎｔ佩）＋ｃｓｅｃ气一ｔａｎ２ｔ＝ｌ，即ｓｅｃ２ｔ＝ｌ＋ｔａｎ２ｔ，令ｘ＝ａｔａｎｔ，有：、／丽＝ａｓｅｃｔ，ｄｘ＝ａｓｅｃ２ｔｄｔ＝ａｒｃｔａｎ生。变量代换时，常ａ用所谓辅助三角形法。

第２４卷第１期２０１１年２月高等函授学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖ０１．２４Ｎｏ．１２０１ｌ

·高职高专教学·

应用反函数求不定积分

何晓娜（河南质量工程职业学院，河南平顶山４６７０００）

擅要：给出反函数的一种不定积分法，应用此法，可以将某些类型的不定积分问题简便地转化为反函数的不定积分问题求解。关键词：反函数；不定积分，分部积分法ｌ换元积分法中图分类号：Ｇ６３３文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７３５３（２０１１）０１一００４０—０２

换元积分法和分部积分法是求解不定积分最基本的两种方法，对于解决复合函数和函数乘积形式的积分问题非常有效，本文将由换元积分法和分部积分法推导出利用反函数求解不定积分的一类方法。定理ｌ设函数具有连续的反函数ｙ＝

厂１（ｚ），且ｌ厂（￡）反＝Ｆ（ｃ）＋ｃ，则有

ｌ厂１（正）如一∥１（ｚ）一Ｆ［厂１（ｚ）］。

证明等式右端对ｚ求导，得厂‘（ｚ）＋吐厂１（ｚ）］７一厂［厂１（ｚ）］［厂１（ｚ）］７＝厂１（ｚ）＋ｚ［厂１（ｚ）］７一ｚ［厂１（ｚ）］７一厂１（ｚ）。

例ｌ求不定积分ｌ口ｒｓｉｎＪＩｌｚｄｚ。

解取，（ｚ＞＝矾ｚ，那么口ｒｓｉｎ＾ｚ—ｌｎ（ｚ＋√ｒ耵），Ｆ（ｚ）＝饥ｚ，Ｆ［厂－（ｚ）］一胡再，由定理１得—

ｌ口ｒｓｉｎ｜Ｉｌｚｄｚ一瑚ｒｓｉｎ九ｚ一￣／１十矿＋Ｃ。Ｊ例２求不定积分ｌｌｎ２列ｚ。

解首先分部积分，降低被积函数的次数，然后直接利用定理１求解。Ｉｌｎ２∞如一ｚｌｎ２ｚ一２Ｉｌｎｚｄｚ＝ｚｌｎ２ｚ一２（ｚｌＩ比一已ｋ）＋Ｃ＝ｚｌｎ２ｚ一２ｚＩｎ工＋２ｚ＋Ｃ。

当然，定理１只有对ｌ厂（￡）沈＝Ｆ（ｃ）＋ｃ能求

出来的时候适用，如果求不出来需选其他的方法。

定理２设Ｉ，（ｚ）如一Ｆ（ｚ）＋ｃ，又Ｆ（ｚ）具

有连续可导的单值反函数，ｚ＝ｒ１（ｙ），且ｒ１（ｙ）≠Ｏ，则有，广（ｚ）如＝，ｉ瑶嗣拆勿，其中惫一

第３卷第２２期　２０１４年８月　教育观察　Ｓｕｒｖｅｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｖ０Ｉ．３　Ｎｏ．２２　Ａｕｇ．２０１４　定积分的定义及其应用　唐方旭　（天津财经大学珠江学院基础课部，天津，３０１８１１）　［摘要］定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。通过讨论定积分定义中的分法和选取的　两个任意性，结合特殊分法和选取，探究如何应用定积分解决一类极限问题。　［关键词］定积分；分法；选取；极限　［中图分类号］Ｇ６４２　［文献标识码］Ａ　［文章编号］２０９５—３７１２（２０１４）２２—００６０—０３　一、引言　定积分起源于求图形的面积和体积等实际问　题。古希腊的阿基米德用“穷竭法”，我国的刘徽　用“割圆术”，都曾计算过一些几何体的面积和体　积，这些均为定积分的雏形。直到１７世纪中叶，牛　顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念，并发现了　积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的　一般方法，方使定积分成为解决有关实际问题的有　力工具，并使各自独立的微分学与积分学联系起　来，构成完整的理论体系——微积分学。　二、定积分的定义　定义１…设函数　）在区间［ａ，ｂ］上有定　义，用（ａ，ｂ）内的／７，一１个分点　ａ＝　ｏ＜　１＜戈２＜…＜　ｎ一１＜　＝ｂ　将区间［ａ，６］分成ｎ个小区间，小区间的长度　为△　＝　—　㈠（ｉ＝１，２，…ｎ）。在每个小区间上任　取一点　∈［　Ｈ，　］，作积　）・△　（　＝１，２，　…ｎ），求和Ｓ　＝∑　）・Ａｘ　记Ａ＝ｍａｘ｛Ａｘ　｝，令Ａ一０，若不论区间如何分　割，　。如何选取，极限　Ｊｓ　）‘　存　在，则称此极限值为　）在区间［ａ，ｂ］上的定积　分，记作Ｉ　）ｄｘ。这时称函数　）在区间［ｎ，ｂ］　ｄ　６　上可积，ａ和ｂ分别称为积分下限和积分上限，［ａ，　ｂ］称为积分区间　）称为被积函数，　称为积分　变量。即Ｊ　ｘ）ｄｘ＝　ｉ　∑　）△　。　Ｊ＾　＾　注：（１）　）ｄｘ与［。，６］分法及　取法均　无关。　例１　证明Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数Ｄ（　）＝　｛　在　０，１　上不砜　证：任给［０，１］的一个划分｛　｝：：。，　任取　∈［　，　］是有理数（ｋ＝１，…，ｎ）＝＝＞　Ｄ（　）△　△　＝１　Ｄ（　）　＝　另取叼　∈［　，　］是无理数（　＝ｌ，…，ｎ）　Ｄ（叼　）　０＝＝＞　Ｄ（叼　）△　０　故Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数在［０，１］上不可积。　例２　Ａ＿＋０　ｎ＿÷。。，但ｎ　。。　Ａ　０　证：１。由　△　ｂ一。及Ａ＝　ｍ—ａｘ　｛Ａ．，￣ｉ｝　６一口　＝∑　≤ｎＡ　ｎ≥　．・．Ａ　０　凡一∞；　２。取分法　。为［ａ，ｂ］区间的中点，其余的ｎ一１　个点都落在区间［　，ｂ］内，则入＝ｍ．ａｘ｛Ａｘ　｝＝　Ｉ≤Ｉ≤ｎ　＞０，显然有ｎ一∞　Ａ一０。　例３　何时有Ａ—Ｏ§ｎ　∞？　设函数　）在区间［０，１］上可积分，取特殊分　法：将『０．１１区间进行ｎ等分，贝０此时Ａ一０铮　一