2023年浙江省绍兴市高考数学二模试卷【答案版】
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第1页（共19页） 2023年浙江省绍兴市高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．已知集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{2，4} C．{0，1，2} D．{0，2，4}
2．已知z+i＝zi，则|z|＝（ ）
A．√
2
2 B．0 C．1
2 D．1
3．下列函数在区间（0，2）上单调递增的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2
B．𝑦=1
𝑥−2
C．y＝sin（x﹣2） D．y＝cos（x﹣2）
4．已知非零向量𝑎→
，
𝑏→
满足|𝑎→
|=1，
〈𝑎→
，
𝑏→
〉=𝜋
6，
|𝑎→
−2𝑏→
|=1，则|𝑏→
|=（ ）
A．√3
2 B．1 C．
√
3 D．2
5．绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底
面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，
现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据：
√3≈1.732）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
6．已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12．将这组样本数据增加一个数据后，所得新的
样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ）
A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.4
7．已知等腰直角△ABC的斜边AB=
√2，M，N分别为AC，AB上的动点，将△AMN沿MN折起，使点A
到达点A'的位置，且平面A'MN⊥平面BCMN．若点A'，B，C，M，N均在球O的球面上，则球O表面
积的最小值为（ ）
A．8𝜋
3 B．3𝜋
2 C．√
6𝜋
3 D．4𝜋
3
8．设a=1011𝑒111，b＝11ln1.1，则（ ）
A．1＜ab＜a B．1＜ab＜b C．a＜ab＜1 D．b＜ab＜1
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
.第2页（共19页） 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），ω＞0，g（x）是f（x）的导函数，则（ ）
A．f（x）与g（x）的周期相同 B．f（x）与g（x）的值域相同
C．y＝f（x）+g（x）可能是奇函数 D．y＝f（x）g（x）的最大值是1
2
10．已知抛物线C
1：y2
＝4x，C
2：y2
＝8x的焦点分别为F
1，F
2.若P，Q分别为C
1，C
2上的点，且线段PQ
平行于x轴，则（ ）
A．当|PQ|=1
2时，△F
1PQ是直角三角形 B．当|PQ|=4
3时，△F
2PQ是等腰三角形
C．四边形F
1F
2PQ可能是菱形 D．四边形F
1F
2PQ可能是矩形
11．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工
具，探究水面高度”．如图甲，P﹣ABCD是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料
厚度不计），底面ABCD为平行四边形，设棱锥高为h，体积为V，现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜，
如图乙，这时水面恰好经过CDEF，其中E，F分别为棱PA，PB的中点，则（ ）
A．水的体积为5
8𝑉 B．水的体积为3
4𝑉
C．图甲中的水面高度为(1−√332)ℎ D．图甲中的水面高度为(1−√
532)ℎ
12．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x，如果x是奇数就乘以3再加1，如果x
是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程．参照“冰雹猜想”，提出
了如下问题：设k∈N*
，各项均为正整数的数列{a
n}满足a
1＝1，𝑎
𝑛+1={𝑎
𝑛
2，
𝑎
𝑛为偶数，
𝑎
𝑛+𝑘，
𝑎
𝑛为奇数，则（ ）
A．当k＝5时，a
5＝4 B．当n＞5时，a
n≠1
C．当k为奇数时，a
n≤2k D．当k为偶数时，{a
n}是递增数列
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．𝐶
60
2
0−𝐶
61
2
1+⋯−𝐶
65
2
5+𝐶
66
2
6的值为 ．
14．已知圆C：（x﹣t）2
+（y+t﹣1）2
＝8，若C被两坐标轴截得的弦长相等，则t＝ ．
第3页（共19页） 15．与曲线y＝ex
和y=−𝑥2
4都相切的直线方程为 ．
16．已知椭圆C：𝑥2
𝑎
2+𝑦2
𝑏
2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1，F
2.若F
1关于直线y＝2x的对称点P恰
好在C上，且直线PF
1与C的另一个交点为Q，则cos∠F
1QF
2＝ ．
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（10分）记T
n为正项数列{a
n}的前n项积，且a
1＝1，a
2＝2，T
nT
n+2＝2𝑇
𝑛+12
．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
（2）证明：𝑇
1
𝑇
2+𝑇
3
𝑇
4+⋯+𝑇
2𝑛−1
𝑇
2𝑛＜2
3．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝2B．
（1）若b＝2，c＝1，求a；
（2）若b+c=
√3a，求B．
19．（12分）如图，在多面体ABC﹣A
1B
1C
1中，AA
1∥BB
1∥CC
1，AA
1⊥平面A
1B
1C
1，△A
1B
1C
1为等边三
角形，A
1B
1＝BB
1＝2，AA
1＝3，CC
1＝1，点M是AC的中点．
（1）若点G是△A
1B
1C
1的重心，证明；点G在平面BB
1M内；
（2）求二面角B
1﹣BM﹣C
1的正弦值．
20．（12分）2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键
之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象．服务
业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销．现随机抽取7家超市，得到其广告支出x
（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：
超市 A B C D E F G
广告支出 1 2 4 6 10 13 20
销售额 19 32 44 40 52 53 54
（1）建立y关于x的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ，当μ≥10时，称该超市的第4页（共19页） 广告为“好广告”．从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为X，求
X的分布列与期望．
附注：参考数据∑
7
𝑖=1𝑥
𝑖𝑦
𝑖=2788，∑
7
𝑖=1𝑥
𝑖2
=726，∑
7
𝑖=1𝑦
𝑖2
=13350，回归方程𝑦=𝑎+𝑏𝑥中斜率和
截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏=∑ 𝑛
𝑖=1𝑥
𝑖𝑦
𝑖−𝑛𝑥𝑦
∑ 𝑛
𝑖=1𝑥
𝑖2−𝑛𝑥
2，
𝑎=𝑦−𝑏𝑥．
21．（12分）已知双曲线C：𝑥2
𝑎
2−𝑦2
3𝑎
2=1（a＞0）的左、右焦点分别为F
1，F
2，且F
2到C的一条渐近线
的距离为
√
3．
（1）求C的方程；
（2）过C的左顶点且不与x轴重合的直线交C的右支于点B，交直线x=12于点P，过F
1作PF
2的平
行线，交直线BF
2于点Q，证明：Q在定圆上．
22．（12分）设函数f（x）＝x﹣sin𝜋𝑥
2．
（1）证明：当x∈[0，1]时，f（x）≤0；
（2）记g（x）＝f（x）﹣aln|x|，若g（x）有且仅有2个零点，求a的值．
