线性回归分析练习题分析

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- .总结资料 §1 回归分析

1．1 回归分析

1．2 相关系数

一、基础过关

1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )

A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树亩产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．每亩施用肥料量和粮食产量

2．在以下四个散点图中，

其中适用于作线性回归的散点图为( )

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

3．下列变量中，属于负相关的是( )

A．收入增加，储蓄额增加

B．产量增加，生产费用增加

C．收入增加，支出增加

D．价格下降，消费增加

4．已知对一组观察值(xi，yi)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则线性回归方程为( ) - -

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- .总结资料 A．y＝0.51x＋6.65 B．y＝6.65x＋0.51

C．y＝0.51x＋42.30 D．y＝42.30x＋0.51

5．对于回归分析，下列说法错误的是( )

A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定

B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的

C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关

D．样本相关系数r∈(－1,1)

6．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过( )

x 1 2 3 4

y 1 3 5 7

A.点(2,3) B．点(1.5,4)

C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)

7．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________.

二、能力提升

8．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：

尿汞含量x 2 4 6 8 10

消光系数y 64 138 205 285 360

若y与x具有线性相关关系，则线性回归方程是____________________．

9．若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的线性回归方程为y＝250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________ kg.

10．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：

零件的个数x/个 2 3 4 5

加工的时间y/小时 2.5 3 4 4.5

若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系．

(1)求加工时间与零件个数的线性回归方程；

(2)试预报加工10个零件需要的时间．

11．在一段时间，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：

1 2 3 4 5

价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 - -

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- .总结资料 需求量y 12 10 7 5 3

已知∑5i＝1xiyi＝62，∑5i＝1x2i＝16.6.

(1)画出散点图；

(2)求出y对x的线性回归方程；

(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．

12．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数x 30 33 35 37 39 44 46

50

成绩y 30 34 37 39 42 46 48

51

(1)作出散点图；

(2)求出回归方程；

(3)计算相关系数并进行相关性检验；

(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

三、探究与拓展

13．从某地成年男子中随机抽取n个人，测得平均身高为x＝172 cm，标准差为sx＝7.6 cm，平均体重y＝72 kg，标准差sy＝15.2 kg，相关系数r＝lxylxxlyy＝0.5，求由身高估计平均体重的回归方程y＝β0＋β1x，以及由体重估计平均身高的回归方程x＝a＋by.

答案

1．A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C

7．0 8.y＝－11.3＋36.95x

9．450

10．解 (1)由表中数据，利用科学计算器得

x＝2＋3＋4＋54＝3.5，

y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，

∑4i＝1xiyi＝52.5，∑4i＝1x2i＝54，

b＝∑4i＝1xiyi－4x y∑4i＝1x2i－4x2 -

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- .总结资料 ＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，

a＝y－bx＝1.05，

因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.

(2)将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．

11．解 (1)散点图如下图所示：

(2)因为x＝15×9＝1.8，y＝15×37＝7.4，∑5i＝1xiyi＝62，∑5i＝1x2i＝16.6，

所以b＝∑5i＝1xiyi－5x y∑5i＝1x2i－5x2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，

a＝y－bx＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，

故y对x的线性回归方程为y＝28.1－11.5x.

(3)y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．

所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t.

12．解 (1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．

(2)列表计算：

次数xi 成绩yi x2i y2i xiyi

30 30 900 900 900

33 34 1 089 1 156 1 122 - -

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- .总结资料 35 37 1 225 1 369

1 295

37 39 1 369 1 521 1 443

39 42 1 521 1 764

1 638

44 46 1 936 2 116

2 024

46 48 2 116 2 304 2 208

50 51 2 500 2 601

2 550

由上表可求得x＝39.25，y＝40.875，

∑8i＝1x2i＝12 656，∑8i＝1y2i＝13 731，

∑8i＝1xiyi＝13 180，

∴b＝∑8i＝1xiyi－8x y∑8i＝1x2i－8x2≈1.041 5，

a＝y－bx＝－0.003 88，

∴线性回归方程为y＝1.041 5x－0.003 88.

(3)计算相关系数r＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．

(4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值．

将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.

13．解 ∵sx＝lxyn，sy＝lxyn，

∴lxyn＝rlxyn·lyyn＝0.5×7.6×15.2＝57.76.∴β1＝lxynlxyn＝57.767.62＝1，

β0＝y－β1x＝72－1×172＝－100.

故由身高估计平均体重的回归方程为y＝x－100.

由x，y位置的对称性，得b＝lxynlxyn＝57.7615.22＝0.25， - -

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- .总结资料 ∴a＝x－by＝172－0.25×72＝154.

故由体重估计平均身高的回归方程为x＝0.25y＋154.

1.3 可线性化的回归分析

一、基础过关

1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是 ()

A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200

2．在线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b表示 ()

A．当x＝0时，y的平均值 B．x变动一个单位时，y的实际变动量

C．y变动一个单位时，x的平均变动量 D．x变动一个单位时，y的平均变动量

3．对于指数曲线y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为 ()

A．u＝c＋bx B．u＝b＋cxC．y＝b＋cx D．y＝c＋bx

4．下列说法错误的是()

A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系

B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法

C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系

D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决

5．每一吨铸铁成本yc(元)与铸件废品率x%建立的回归方程yc＝56＋8x，下列说确的是 ()

A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%

C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元

6．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说确的是 ()