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高三一轮复习 三角函数、解三角形 教案,习题,答案

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第三章 三角函数、解三角形

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数

2019考纲考题考情

1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z。

2．弧度与角度的互化

(1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr。

(3)角度与弧度的换算

①1°＝π180rad；②1 rad＝180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2。

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念

(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀

三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广

设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx。 一、走进教材 1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案 －5π4 二

2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。

解析 由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－35，cosθ＝45，所以2cosθ－sinθ＝2×45－－35＝115。

答案 115

3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度。

答案 π3

二、走近高考

4．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα

A．AB︵ B．CD︵

C．EF︵ D．GH︵ 解析 设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得yx0，所以P所在的圆弧是EF︵。故选C。

答案 C

三、走出误区

微提醒：①终边相同的角理解出错；②三角函数符号记忆不准；③求三角函数值不考虑终边所在象限。

5．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )

A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)

解析 与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确。故选C。

答案 C

6．若sinα<0，且tanα>0，则α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

解析 由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角。故选C。

答案 C

7．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα<0，则tanα＝________。

解析

如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝yx＝－xx＝－1。

答案 －1

考点一 象限角及终边相同的角的表示

【例1】 (1)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________。

解析 (1)因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ

(2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°。

答案 (1)B (2)150°

1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角。

2．确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置。

【变式训练】 (1)设集合M＝x x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝x x＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么( )

A．M＝N B．M⊆N

C．N⊆M D．M∩N＝∅

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________。

解析 (1)由于M＝x x＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝x x＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N。故选B。

解析：由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N。故选B。

(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，所以，所求角的集合为α π4＋2kπ

答案 (1)B (2)α π4＋2kπ

考点二 弧度制及其应用

【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l。若α＝π3，R＝10 cm，求扇形的面积。

解 由已知得α＝π3，R＝10，所以S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2)。

【互动探究】 (1)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积。

(2)若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解 (1)l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形

＝12·l·R－12·R2·sinπ3

＝12·10π3·10－12·102·32

＝50π－7533(cm2)

(2)由已知得，l＋2R＝20。

所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad。

应用弧度制解决问题的方法

1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度。

2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决。

3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形。

【变式训练】 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________。

解析

设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为2r，所以其圆心角的弧度数是2rr＝2。

答案 2

考点三 三角函数的定义及应用微点小专题

方向1：三角函数的定义 【例3】 (1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为( )

A．75 B．65

C．55 D．355

(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________。

解析 (1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝25，所以sinα＝55，cosα＝255，所以sinα＋cosα＝55＋255＝355。故选D。

(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，所以cosα＝－xx2＋36＝－513，即x＝52。所以P－52，－6。γ＝132，所以sinα＝－1213。所以tanα＝sinαcosα＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23。

答案 (1)D (2)－23

三角函数定义主要应用于两方面

1．已知角的终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离，然后用三角函数定义求解三角函数值。特别地，若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。 2．已知角α的某个三角函数值，可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题。

方向2：三角函数值的符号

【例4】 (1)使lg(sinθ·cosθ)＋－cosθ有意义的θ为( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)若角α的终边落在直线y＝－x上，则sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝________。

解析 (1)由题意知sinθ·cosθ>0且－cosθ≥0，由sinθ·cosθ>0，知θ为第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即cosθ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的非正半轴上，所以可知θ为第三象限角。故选C。

(2)因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限。当角α的终边位于第二象限时，sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝sinα－cosα＋sinαcosα＝0；当角α的终边位于第四象限时，sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝sinαcosα＋－sinαcosα＝0。所以sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0。

答案 (1)C (2)0

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号。如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解。

方向3：三角函数线的应用

【例5】 函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________________。

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三角函数典型习题

1 ．设锐角 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b， c , a 2bsin A .

(Ⅰ)求 B 的大小 ;

(Ⅱ )求 cos A sin C 的取值范围 . A B C

在 中 ,角 A, B,C 所对的边分别为 ， ， 2 . ABC c , sin sin 2 ． 2 2

（ I）试判断 △ ABC 的形状 ;

（ II）若 △ ABC 的周长为 16,求面积的最大值 .

3 ．已知在

ABC 中

, A 且 与

tan B 是方程 x2 5 x 6 0 的两个根

.

B , tan A

(Ⅰ )求 tan( A B) 的值;

(Ⅱ )若 AB 5 ,求 BC的长 .

4． 在 ABC 中 ,角 A． B． C 所对的边分别是 a,b,c,且 a 2 c 2 b 2 1 ac.

A

C 2

(1)求 sin 2 cos 2B 的值 ;

2

(2)若 b=2,求 △ABC面积的最大值 .

5． 已知函数 f ( x) 2sin 2 π 3 cos2x ， x π π ．

x

4 ，

4 2

（1）求 f ( x) 的最大值和最小值；

（2） f ( x) m 2 在 x π π 上恒成立，求实数 m 的取值范围．

届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析

届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析

20213人教A版

第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

知 识 梳 理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。

tan(α±β)＝错误!。

2。二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

tan 2α＝错误!。

3.函数f（α）＝asin α＋bcos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.

[常用结论与微点提醒]

1。tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。 20213人教A版

2。cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，

sin α±cos α＝错误!sin错误!。

诊 断 自 测

1。判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ）

(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（ )

（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β

＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。（ ) （4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。( ）

高三数学第一轮复习 解三角形教学案(教师)_

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城东蜊市阳光实验学校教案47解三角形〔2〕

一、课前检测

1.在ABC中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是〔〕

A．10b，45A，70CB．60a，48c，60B

C．7a，5b，80AD．14a，16b，45A

2.在△ABC中，30B，350b，150c，那么这个三角形一定是_________三角形。答案：等腰或者者直角三角形

3.在ABC中，||||2,ABAC且1ABAC,那么这个三角形的BC边的长为．答案：6

二、知识梳理

1．角与角关系：A+B+C=π，由A＝π－〔B＋C〕可得：

1〕sinA＝sin〔B＋C〕，cosA＝－cos〔B＋C〕．

2〕222CBA．有：2cos2sinCBA，2sin2cosCBA．

解读：

2．正弦定理

①CBAcbasin:sin:sin::；

②CRcBRbARasin2,sin2,sin2；

③CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin；

④CBAcbasin:sin:sin::。

解读：

3．射影定理： a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝a·cosC＋c·cosA，

c＝a·cosB＋c·cosA．

解读：

三、典型例题分析

例1．在△ABC中，假设AbBacoscos，那么这个三角形是__________三角形

答案：等腰三角形

变式训练在△ABC中，假设CcBbAacoscoscos，那么这个三角形是__________三角形

答案：等边三角形

小结与拓展：

例2．2:3:1::cba，求A，B，C

答案：A=30°，B=60°，C=90°

变式训练：)13(:6:2::cba，求A，B，C

答案：A=45°，B=60°，C=75°

小结与拓展：

例3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c，6b，120B。求角A，C，边a及三角形的面积

高三数学一轮 3.1三角函数、解三角形精品复习学案

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- 1 - 高三数学一轮 3.1三角函数、解三角形精品复习学案

〖知识特点〗

1、三角函数是主要的初等函数之一，是描述周期现象的重要函数模型，这与向量、不等式、解析几何、立体几何、函数等知识有着密切的联系，在实际问题中也有着十分广泛应用，是继续深造学习知识的必备基础，因而是高考对基础知识技能考查的主要内容之一。在本章的复习中，要注重基础知识的落实，体现三角函数的基础性。

2、三角恒等变换是一种重要的数学能力，对于三角恒等变换这一单元来说，公式较多、方法灵活多变，一定要文章公式成立的条件，要在灵、活、巧上下功夫。

3、解三角形在新课标中要求有所提高，除了掌握正、余弦定理外，还要注意解三角形的有关知识，同时该部分知识与平面向量密切相关，易在其知识交汇处命题。

〖重点关注〗

1、三角函数的图象是三角函数关系的直观表现形式，三角函数的性质可以直接从图象上显现出来，因此掌握最基本的三角函数的形状和位置特征，会用五点法作出sin()(0,0)yAxA的简图，并能由已知的这类图象求出函数的解析式、周期、值域、单调区间等是学好本部分内容的关键。

2、三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示三角函数值来获得函数的性质，同时能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法。

3、三角恒等变换是三角函数的基础，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，要注意对公式的正用、逆用、变形运用的训练，以增强变换意识。同时，要归纳解题思路及规律，复习时选题不要太难，有特别技巧的题也尽量少做。

4、解三角形的有关试题大多属于中、低档题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用能力、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想。解三角开常常作为解题工具用于几何中的计算或证明。