甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案

兰州一中2022­2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=ð()A ．{3,1}-B ．{3,4}-C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ()A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x的图像大致是()A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =()A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是()．A ．lg lg x y>B ．22x y>C ．11x y>D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为()AB．2C．3D ．367．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为()A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，c f =的大小关系为()A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．b a c>>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是()A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为()A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为，则该双曲线的离心率为()ABC ．3D ．14312．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．(2,-B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(),-∞+∞D．(,-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1. 已知集合A={θ|sinθ>cosθ},B={θ|sinθ· cosθ<0},若θ∈A∩B,则θ所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】由sinθ· cosθ<0可得θ在第二或第四象限,又sinθ>cosθ可得θ在第二象限.2. 已知A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,B(s,t)是直线l外一点,由方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是A. 斜交B. 垂直C. 平行D. 重合【答案】C【解析】因为A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,所以f(m,n)=0,B(s,t)是直线l外一点,所以f(s,t)不等于0,所以方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是平行.3. 在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是A. 0B. 10C. -10D. 20【答案】A【解析】(x+1)4的展开式的通项,因此在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是4. 正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l,则的取值范围为A. (,+∞)B. (,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)【答案】B【解析】当顶点在底面上时,,则,所以.5. 设函数f(x)=log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(,+∞),则在整个定义域上,f(x)＜2恒成立的充要条件充是A. 0＜a＜B. 0＜a≤C. a＞且a≠1D. a≥且a≠1【答案】B【解析】当a>1时,当x→+∞时,f(x) →+∞,则f(x)<2不成立;当0<a<1时,函数f(x)=log a x在(,+∞)上是减函数,由f() ≤2,可得0＜a≤6. 设,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是A. aB. bC. cD. 不确定【答案】C【解析】因为b-a=1+x-,所以b>a;又c-b==,则c>b,所以最大的一个是c.7. 的值为A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】====点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8. 设f(n)=cos(+),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】,当n=4k+1时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+2时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+3时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+4时,f(n)=cos(+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又函数f(n)=cos(+)的周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=f(1)+f(2)=.9. 已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A. B. C. 3 D. 3【答案】B【解析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以10. 设P是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若∠F1PF2≤,则这个椭圆的离心率e的取值范围是A. 0＜e＜1B. 0＜e≤C. ≤e＜1D. e=【答案】B【解析】在三角形F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2=,所以,则椭圆的离心率e的取值范围是0＜e≤11. 函数y=e|ln x|﹣|x﹣1|的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】y=e|lnx|-|x-1|=当x≥1时,y=1,排除C,当x=时,y=,排除A,B,故选D.12. 对于任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如:[3.6]=3,[-3.6]=-4等),设函数f(x)=x- [x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由题意,作出函数的图象,如图所示,观察图象可知,(1),(2),(3)正确,(4)不正确,故答案为C.二、填空题：共4题13. 把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z＝1＋i，则____【答案】【解析】，.点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念。

甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题Word 版含解析2021届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学〔理〕试题数学本卷须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均有效。

3．非选择题的作答：用签字蜿蜒接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均有效。

4．考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题1．设选集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，那么(∁U M )∩N 为 A ． {x |1<x <2} B ． {x |1≤x ≤2} C ． {x |1<x ≤2} D ． {x |1≤x <2} 2．以下结论中正确的选项是A ． 命题〝假定x 2－3x ＋2＝0，那么x ＝1〞的否命题是〝假定x 2－3x ＋2＝0，那么x ≠1〞B ． 命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，那么⌝ p ：恣意x ∈R ，sin x ≤1C ． 假定p 且q 为假命题，那么p 、q 均为假命题D ． 〝x 2＋2x －3<0〞是命题．3．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；假定q 是p 的必要而不充沛条件，那么a 的取值范围是A ． (4，＋∞)B ． (－∞，－4)C ． (－∞，－4]D ． [4，＋∞) 4．f (x )＝{log 3x x >0,a x +b x ≤0. 且f (0)＝2，f (－1)＝3，那么f (f (－3))等于A ． －3B ． 3C ． －2D ． 25．sin(π－α)＝－23，且α∈(－π2，0)，那么tan(2π－α)的值为 A ．2√55B ． －2√55C ． ±2√55 D ．√526．设函数f (x )=sin(x +π3)，那么以下结论错误的选项是A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =π6C ． f (x +π)的一个零点为x =5π3D ． f (x )在(π2,π)单调递增7．设f (x )＝x 3＋bx ＋c ，假定导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-12)·f (12)<0，那么方程f (x )＝0在[－1，1]内根的状况是A ． 能够有3个实数根B ． 能够有2个实数根C ． 有独一的实数根D ． 没有实数根8．将函数y =sin(2x +π3) 图象上各点的横坐标增加到原来的一半〔纵坐标不变〕，再向右平移m (m >0)个单位长度后，所失掉的图象关于直线x =5π12对称，那么m 的最小值为A ．7π6B ． π6 C ． π8 D ． 7π24 9．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) (ω>0, |ϕ|<π2)，y ＝f (x )的局部图象如图，那么f (π24)＝ A ． √3 B ． √33C ． 2＋√3D ． 2－√3 10．函数f (x )＝(2−m)x x 2+m的图象如下图，那么m 的取值范围为A ． (－∞，－1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (－1,2)11．定义运算|a bc d |＝ad －bc ，假定cos α＝17，|sinα s inβcosα c osβ|=3√314，0<β<α<π2，那么β=A ． π12B ． π6C ． π4D ． π312．f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，假定f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋1)＝f (3－x )，f (2 015)＝2，那么不等式f (x )<2e x -1的解集为A ． (1，＋∞)B ． (e ，＋∞)C ． (－∞，0)D ． (－∞，1e ) 二、填空题13．假定曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，那么点P 的坐标是________． 14．假定函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，那么∫f(x)dx 20＝________. 15．函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0；② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间(1,3)上有极大值； ④ 存在M >0，使得对恣意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是_________.16．假定△ABC 的内角满足sin A ＋√2sin B ＝2sin C ，那么cos C 的最小值是________． 三、解答题此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号17．函数f (x )=√3sin x 2cos x 2−cos 2x 2+12. 〔I 〕求函数f (x )的单调递减区间；〔II 〕假定△ABC 的内角A 、B 、C 的对边区分为a 、b 、c ，f (A )=12，a =√3，sin B =2sin C ，求c .18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,∠PBC =90°. 〔I 〕平面PAD 与平面PAB 能否垂直？并说明理由； 〔II 〕求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．19．某职称晋级评定机构对参与某次专业技术考试的100人的效果停止了统计，绘制了频率散布直方图(如下图)，规则80分及以上者晋级成功，否那么晋级失败．(I) 求图中a 的值；(II) 依据条件完成下面2⨯2列联表，并判别能否有85%的掌握以为〝晋级成功〞与性别有关？ (III) 将频率视为概率，从本次考试的一切人员中，随机抽取3人停止约谈，记这3人中晋级失败的人数为X ，求X 的散布列与数学希冀E (X )．(参考公式：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d)20．椭圆E:x 2a +y 2b =1(a >b >0)离心率为√22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1. 〔I 〕求椭圆E 的方程；〔II 〕过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.假定PB⃑⃑⃑⃑⃑ =12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的方程. 21．函数f(x)=(1−2a)lnx +ax 2+x .〔I 〕讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数； 〔II 〕事先a <0，证明：f(x)<−2aln(1−12a)+a −34a.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴树立极坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ： 22{ 42x t y =-+=-+ (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)假定|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，务实数a 的值． 23．函数f (x )＝|x －1|.(I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 假定|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f(ab)|a |＞f(ba).2021届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学〔理〕试题数学答案参考答案1．C【解析】【剖析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。

本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 92021届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，则(∁U M )∩N 为 A ． {x |1<x <2} B ． {x |1≤x ≤2} C ． {x |1<x ≤2} D ． {x |1≤x <2} 2．下列结论中正确的是A ． 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ． 命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝ p ：任意x ∈R ，sin x ≤1C ． 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．“x 2＋2x －3<0”是命题．3．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是A ． (4，＋∞)B ． (－∞，－4)C ． (－∞，－4]D ． [4，＋∞)4．已知f (x )＝且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于A ． －3B ． 3C ． －2D ． 25．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为 A ．B ． －C ． ±D ．6．设函数f (x )=sin(x +)，则下列结论错误的是A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =C ． f (x +π)的一个零点为x =D ． f (x )在(,π)单调递增7．设f (x )＝x 3＋bx ＋c ，若导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-)·f ()<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内根的情况是A ． 可能有3个实数根B ． 可能有2个实数根C ． 有唯一的实数根D ． 没有实数根8．将函数y =sin(2x +) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则m 的最小值为 A ．B ．C ．D ．9．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) (ω>0, |ϕ|<)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ()＝ A ．B ．C ． 2＋D ． 2－10．函数f (x )＝的图象如图所示，则m 的取值范围为A ． (－∞，－1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (－1,2) 11．定义运算＝ad －bc ，若cos α＝，，0<β<α<，则β=A ．B ．C ．D ．12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，若f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋1)＝f (3－x )，f (2 015)＝2，则不等式f (x )<2e x -1的解集为A ． (1，＋∞)B ． (e ，＋∞)C ． (－∞，0)D ． (－∞，) 二、填空题13．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则＝________.15．已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0； ② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间上有极大值； ④ 存在M >0，使得对任意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是_________.16．若△ABC 的内角满足sin A ＋sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号本文由一线教师精心整理/word 可编辑2 / 9三、解答题 17．已知函数f (x )=.（I ）求函数f (x )的单调递减区间；（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=，a =，sin B =2sin C ，求c .18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,∠PBC =90°. （I ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由； （II ）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(I) 求图中a 的值；(II) 根据已知条件完成下面2⨯2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．晋级成功晋级失败 合计男 16 女50合计参考公式：，其中20．已知椭圆离心率为，点P (0,1)在短轴CD 上，且.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.若，求直线l 的方程.21．已知函数.（I ）讨论的导函数的零点个数；（II ）当时，证明：.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ： 222{242x ty t=-+=-+ (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值． 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：＞.2021届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。

兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题数学 (理)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.第I 卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）I B = ( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则 ( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－124. 已知函数f (x )=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f = ( ) AB ．C ．1D ． -15．下列说法中，正确的是 ( ) A ．命题“若a <b ,则am 2<bm 2”的否命题是假命题B ．设α ,β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β ”是 “α⊥β ” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，x 2-x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为 ( )A ．12B. －12 C ．－32D.327．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 238．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A ．-1B ．1C ．21e D ．e29．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.1210．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤311. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0) D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ,且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0. 下列说法中正确的是( )A ．f (0) f (1)>0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝ ．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．15．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β) =_____．16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC中，已知a sin A-c sin C=(a-b)sin B, △ABC2（1）求C；（2）求△ABC的面积S的最大值.18.（本小题满分12分）在三棱锥M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB 5，AB=4A N，AB⊥AC，平面MAB⊥平面ABC，S为BC的中点.(1) 证明：CM⊥SN；(2) 求SN与平面CMN所成角的大小.19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)120 0.6第二组[30,35)195 p第三组[35,40)100 0.5(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线， 已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程第四组 [40,45) a0.4第五组 [45,50) 30 0.3第六组15 0.3在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos,2sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：111 364a b+<;(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．兰州一中2015-2016-1学期期中考试参考答案高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）I B =( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<【答案】B【解析】(){1}R A x x =≤ð，所以(){11}R A B x x =-<≤I ð. 2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A 3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－12【答案】C 【解析】 因为y ＝x ＋1x －1的导数为y ′＝－2(x －1)2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12， 又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·(－12)＝－1，解得a ＝－2.4.已知函数f (x )=20082cos (2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f =( ) AB ．C ．1D ． -1【答案】D 【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-. 5．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若a <b ,则am 2<bm 2”的否命题是假命题B ．设α ,β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β ”是 “α⊥β ” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，x 2-x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 【答案】B6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．12B. －12 C ．－32D.32【答案】A【解析】 (1)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.7．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB→＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 23【答案】D【解析】∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 8．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a＝( )A ．-1B ．1C ．21e D ．e2【答案】B【解析】∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x－a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.9．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到解析y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4. 又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋kπ，∴π12＝ωπ6＋kπ(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12.10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2D ．0<a ≤3【答案】A【解析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 11. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0) D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象 【答案】C12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ,且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0. 下列说法中正确的是 ( )A ．f (0) f (1)>0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的是B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝ ．【答案】52【解析】a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ． 【答案】1615．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β) =_____．【答案】－239729【解析】∵0<β<π2<α<π，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．【答案】 (－1，＋∞)【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx.(1)若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．(2)若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合(1),(2)得a 的取值范围是 (－1，＋∞). 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC （1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.【解析】 (1)依正弦定理，有()22222,,a c a b b a b ab c -=-+-= 再由余弦定理得12cos ,cos ,2ab ab C C =∴=又C Q 是三角形△ABC 内角，0,3c C ππ∴<<=.-------------------------------6分(2) S △ABC =2113sin sin 2sin sin 23sin sin()2233ab C ab A B A A ππ==+33sin(2-6A π-------------------------------10分max 33333A B S π∴===+=当时，-------------------------------12分18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB 5，AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.【解析】解法一：（1）取AB 中点O ，连接MO 、CO 、SO ∵MA =MB ，∴MO ⊥AB∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB∴MO ⊥平面ABC -------------------------------2分∵△NOS 和△AOC 都是等腰直角三角形 ∵AB =2AC =2，AB =4AN ， ∴AO =AC ，NO =SO ， ∴∠AOC =45°，∠ONS =45°，∴CO ⊥SN ，∴CM ⊥SN . -------------------------------6分 （2）在△MNC 中， MN =22, CN 5, CM =32， ∴S △MNC =38-------------------------------10分设S 到平面MNC 的距离为h ，SN 与平面CMN 所成角为θ, ∵V M ﹣NSC =V S ﹣NMC ∴S △NSC .MO =S △MNC .h ∴h =12-------------------------------11分∴sin θ=h SN 2 ∴SN 与平面CMN 所成角为4π . -------------------------------12分解法二：（1）证明：取AB 中点O ，连接MO 、SO ，∵MA =MB ，∴MO ⊥AB ，∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB , ∴MO ⊥平面ABC ，又SO ⊥AB ； ∴如图,可以以O 为原点，以OB 为x 轴，以OS 为y 轴，以OM 为z 轴建立空间直角坐标系， -------------------------------2分 各点坐标如下：C (-1,1,0)、M (0,0,12)、N (-12,0,0)、S (0,12,0) ∴CMu u u u r=(1,-1,12)，SNu u u r =(-12,-12,0)，-------------------------------5分∴ 0CM SN ⋅=u u u u r u u u r, ∴CM ⊥SN -------------------------------6分 （2）由题意知CN u u u r =(12, -1, 0), NM u u u u r =(12, 0, 12)， ------------------------8分设平面CMN 的法向量为n r =(x ,y ,z )，则00n CN n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r，∴02022x y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令y =1,得平面CMN 的法向量为nr=(2,1,-2)，-------------------------------10分设SN 与平面CMN 所成角为θ，则sin θ=|cos<n r ,SN u u u r >|2，∴SN 与平面CMN 所成角为4π-------------------------------12分 19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义f ′(x )＝-1xax a e +-,域为R ，---------------------------1分1)当a =0时，f ′(x )<0，f (x ) 的单调递减区间是(－∞，＋∞);2)当a <0时，由f ′(x )=0，得x =1a a-; ∴f (x ) 的单调递减区间是(－∞，1a a -),单调递减区间是(1a a -，+∞);3)当0<a <1时，由f ′(x )=0，得x =1a a -;∴f (x ) 的单调递减区间是(1a a -，+∞),单调递减区间是(－∞，1a a-).-----------------------5分(2)假设存在x 1，x 2∈，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2min <max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －t e x ＝－（x －t ）（x －1）ex.①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t<max{1，3－te}，(*), 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ，所以不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立． ----------------------12分22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线， 已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .【解析】(1) 由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆. CGCDGF DE =∴. 又Θ4,1==CD CG ，∴GFDE =4.-----------------------4分(2)因为AB 为切线，AE 为割线，AB 2=AD ·AE ， 又因为AC =AB ，所以AD ·AE =AC 2，． 所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △，所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以FG //AC ． ----------------------10分23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣PA ∣+∣PB ∣的最小值． 【解析】（1）由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ.，化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ，即x 2+(y -3)2=9.-----------------------4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=. 由2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根， 所以12122(cos sin ),7,t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||||t t t t +=-==所以∣PA ∣+∣PB ∣的最小值为-----------------------10分24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：111364a b +<; (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12， 则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14-----------------------5分(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a－b |-----------------------10分。

甘肃省兰州第一中学2024届高三上学期11月期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．若复数z =2．设D 为ABC △所在平面内一点,1433AD AB AC =-+,若()BC DC λλ=∈R ,则λ=( ) A.-3 B.3 C.-2 D.23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且280a a +=,1133S =,则公差d 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.44．函数()f x =的图象大致为( ) A. B. C. D.5．在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足2152–m m =k 的星的亮度为k E (1k =,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是 1.45-,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-6．ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若向量(),cos m a A =-,()cos n C c =-,且0m n ⋅=,则角A 的大小为( )7．若()3log 21a b +=+2b +的最小值为( )8．已知函数())lnf x x =,设()3log 4a f =,()0.23b f -=,()1.13c f =-,则( ) A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.c b a >> 二、多项选择题 9．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A.x =()f x 图象的一条对称轴;B.7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心;C.将函数(f x ()cos2f x x =-;D.函数()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增. 10．对于函数()ln x f x x=,下列说法正确的是( )A.()f x 在x =B.()f x 有两个不同的零点;C.()()()4π3f f f <<D.44ππ4<11．等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( )A.0d <B.10a <C.当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为812．已知函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R .()()242f x f x =-,()()0f x f x +-=,当[]2,4x ∈时,()0g x '<,()11g =,则( )A.()f x 的图象关于1x =对称B.()g x 为偶函数C.()()40g x g x ++=D.不等式()1g x ≥的解集为{}1818,x k x k k -+≤≤+∈Z三、填空题13．已知tan 3θ=，则3πcos 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 14．函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示,则函数()f x 的解析式为________.15．已知向量()3,1a =-,(),1b t =,o ,45b =,则b 在a 方向上的投影向量的坐标为__________.16．将函数()2π2cos cos 23x f x x ⎛=-+ ⎝移(0)ϕϕ>个单位长度,得到函数()g x 的图象,若对任意的x ∈R ,均有()π12g x g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则ϕ的最小值为__________. 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-,数列{}n b 满足(*)n n b S n =∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm)满足关系:()(010)35k C x x x =≤≤+,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求k 的值及()f x 的表达式.（2）隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小,并求最小值.19．已知ABC △中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,B 为锐角且//m n . （1）求角B 的大小;（2）如果2b =,求ABC S △的最大值.20．在锐角△sin C C +=且1a =. （1）求ABC △的外接圆的半径;（2）求2b c -的取值范围.21．设函数2()2ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当()f x 有极值时,若存在0x ,使得0()1f x m >-成立,求实数m 的取值范围.22．已知函数()e ax f x x =的极值为（1）求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程;（2）已知函数()()e 0mx lnx g x m m=->,存在()0x ∈+∞，,使得()0g x ≤成立,求m 得最大值.参考答案1．答案：D解析：设i z b =,b ∈R 且b ≠i b =,得到1i i ab b +=-+, 1ab ∴=-,且1b =,解得1a =-. 故选:D. 2．答案：A解析：若()BC DC λλ=∈R ,AC AB AC AD λλ∴-=-,化为11AD AB AC λλλ-=+, 与1433AD AB AC =-+比较,可得：==3=-. 3．答案：C解析：因为等差数列{}n a ,280a a +=,1133S =,故520a =,61133a =,故50a =,63a =,故653d a a =-=. 故选:C4．答案：B 解析：由表达式()lg f x x=可知,函数为偶函数,排除A,当x →1→,为正,lg x →-∞,所以()0lg f x x-=→,B 正确 故选:B5．答案：A解析：两颗星的星等与亮度满足2152m m -=2 1.45=-,126.7m =-, ()121222lg ( 1.4526.7)55E m m E =⋅-=-+=10.110=. 故选A.6．答案：B解析：由0m n ⋅=得,0(,cos )(cos )cos )cos a A C c a C c A =-⋅-=--,由正弦定理得,sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=, 化为sin()cos 0A C B A +=, 即sin cos 0B B A =,由于sin 0B ≠,∴cos A =()0,πA ∈∴A =故选B.7．答案：C解析：()333log 211log log (3)a b ab ab +=+=+=, 23a b ab ∴+=,且0a >,0b >, 123a b∴+= ()1121225222143333b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ∴⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭52333≥+⋅=,=23b +=,即1a b ==时,等号成立. 故选:C8．答案：C 解析：易知())))()ln ln ln f x x x x f x -===-==, ()f x ∴在R 上为偶函数,当0x >时,())ln ln f x x x ==又 1.10.2333log 4130->>>>>,()()()()1.1 1.10.2333log 43f f f f -∴-=>>,即c a b >>.故选:C9．答案：ABCD解析：π2ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,x ∴=又177ππsin π01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此B 正确. 对于C ,平移后πππsin 2sin 2cos2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,C 正确.对于D ,当6x π-≤≤ππ226x ≤-≤()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增,D 正确. 故选:ABCD10．答案：AC解析：()f x 的定义域为()0,+∞,且()f x '=()0f x '=,得e x =.()f x ∴在()0,e 上单调递增,在()e,+∞上单调递减,因此()f x 在e x =处取得极大值()1e ,A ef =正确. 令()0f x =,解得1x =,故函数()f x 有且仅有一个零点,B 错误.由()f x 在()e,+∞上单调递减,得()()()4π3f f f <<,则C 正确.因为()(4πf f <<4n4πln π<,则4π4π<,D 错误. 故选:AC.11．答案：BD解析：A:因为数列递增,故0d >,故A 错;B:因为753a a =,根据基本量展开,即130a d +=,因为0d >,所以10a <,故B 正确; C:由130a d +=可知40a =,所以前3项均为负数,故n S 最小时,n 为3或4.故C 错;D:()17747702a a S a +===,()()188458402a a S a a +==+>,故当0n S >时,n 最小值为8. 故选:BD12．答案：BCD解析：由()()242f x f x =-可得()()4f x f x =-,故可知()f x 的图象关于2x =对称,故A 错误,由()()0f x f x +-=得()()0f x f x ''--=,由()()f x g x '=得()()0g x g x --=,故()g x 为偶函数,故B 正确,由()()4f x f x =-可得()()4f x f x ''=--,所以()()4g x g x =--,又()g x 为偶函数,所以()()()()()4440g x g x g x g x g x =--=--+-=⇒,即()()40g x g x ++=,故C 正确, 由()g x 为偶函数且()()40g x g x ++=可得()()()()488g x g x g x g x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦,所以()g x 是周期函数,且周期为8,又当[]2,4x ∈时,()0g x '<,可知()g x 在[]2,4x ∈单调递减故结合()g x 的性质可画出符合条件的()g x 的大致图象: 由性质结合图可知:当1818k x k -+≤≤+,k ∈Z 时,()1g x ≥,故D 正确, 故选:BCD解析：因为tan 3θ=，所以22223π2sin cos 2tan 23cos 2sin 22sin cos tan 131θθθθθθθθ⨯⎛⎫+===== ⎪+++⎝⎭14．答案：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解析：由图象得A =7ππ123=-=则周期πT ==则2ω=,则)y x ϕ=+,当x =y =π7212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭即7sin π16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ππ2π2k ϕ+=-+, 即5π2π3k ϕ=-+,k ∈Z , π2ϕ<,∴当1k =时,5π2π3ϕ=-+=则函数的解析式为π23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,故答案为π23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 15．答案：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭o ,45b =,所以3cos 10,a a b a b bt ⋅-===⋅可得22320t t --=,且310t ->,即13t >,所以2t =,则()2,1b =, 所以b 在a 方向上的投影向量为31cos45,22a b a ⎛⎫︒⋅=- ⎪⎝⎭. 故答案为:31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.解析：由题意得()11πcos 1cos cos 1sin 122226f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()πsin 2216g x x ϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,因为对任意的x ∈R ,均有()12πg x g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,所以()πππ222π1262k k ϕ⨯++=+∈Z ,即()ππ12k k ϕ=+∈Z ,又0ϕ>,所以当0k =时, ϕ的最小17．答案：（1）2n n a =（2）2224n n T n +=--解析：（1）122n n S +=-,∴当1n =时,1111222a S +==-=;当2n ≥时,11222n n n n n n a S S +-=-=-=,又1122a ==,2n n a ∴=.（2）由已知,122n n n b S +==-,123n n T b b b b ∴=++++()234122222n n +=++++-()2412222412n n n n +-=-=---.18．答案：（1）40k =,因此()C x =（2）当隔热层修建5cm 厚时,总费用达到最小值为70万元. 解析：（1）设隔热层厚度为cm x ,由题设,每年能源消耗费用为()C x =再由(0)8C =,得40k =,因此()C x =而建造费用为1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （2）'()6f x =-'()f x =6=. 解得5x =,x =当05x <<时,'()0f x <,当510x 时,'()0f x ,故5x =是()f x 的最小值点,对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+. 当隔热层修建5cm 厚时,总费用达到最小值70万元.19．答案：（1）B =解析：（1）//m n ,22sin 2cos 122B B B ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,sin 22B B ∴=,即tan 2B =又B 为锐角,2(0,π)B ∴∈,2B ∴=B =（2）π3B =,2b =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得2240a c ac +--=.又222a c ac +≥,当且仅当2a c ==时等号成立, 代入上式,得4ac ≤,故1sin 2ABC S ac B ==≤△即ABC S △（2）(.sin C C +=且1a =可得sin )a C C +=,cos sin sin B A C C A =+. πA B C ++=,sin sin()B A C ∴=+,cos sin cos sin sin A C A C A C C A =+,sin sin sin A C C A =.0C <<sin 0C ≠,tan A ∴=,又0A <<π3A =. 设ABC △的外接圆的半径为R, 由正弦定理可得2sin a R A ==解得R =（2）由（1）可知2R=22b c B C ∴-=2sin 333B B π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭sin sin cos 33B B B=-- cos B B =-π2sin 6B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ABC △为锐角三角形,π022π03B B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩B <<则π60B <-<π02sin 6B ⎛⎫∴<-< ⎪⎝⎭即2b c -的取值范围是(.21．答案：（1）()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 （2）m 的取值范围是(0,1)解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,()22f x mx x ='=-当0m ≤时,()0f x '>,()f x ∴在()0,+∞上单调递增;当0m >时,解()0f x '>得0x <<()f x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.（2）由（1）知,当()f x 有极值时,0m >,且()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.∴()max 12ln 1ln f x f m m m m m ⎛∴==-⋅+=- ⎝⎭, 若存在0x ,使得()01f x m >-成立,则()max 1f x m >-成立. 即ln 1m m ->-成立,令()ln 1g x x x =+-, ()g x 在()0,+∞上单调递增,且()10g =,01m ∴<<. ∴实数m 的取值范围是()0,1.22．答案：（1）1a =,切线方程:2e e y x =-;解析：（1）()f x 定义域为R因为()()e 1ax f x ax ='+若0a =则()f x 在R 上单调递增,无极值,不合题意,舍去若0a ≠则令()0f x '=得1x a =-所以1f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1= 经检验,1a =符合题意.因为切线斜率()()1112e 1e f =+='又因为()e 1f =所以切点为()1,e所以切线方程为:()2e 1e y x =-+即切线方程为:2e e y x =-（2）因为存在()0x ∈+∞,,使得()0g x ≤成立 则e mx lnx m≤ 即l e n mx m x ≤即ln ln l e n e mx x mx x x x ≤=即ln l e n e mx x mx x ≤即()()f mx f lnx ≤(*)由（1）得()()e 1x f x x '=+所以()f x 在区间()1-∞-,上单调递减,在区间()1-+∞,上单调递增 因为0m >,0x >,l e n mx m x ≤所以ln 0x >,所以1x > 即0mx >且ln 0x >所以存在()1x ∈+∞,使得()()ln f mx f x ≤ 所以存在()1x ∈+∞,使得ln mx x ≤ 即()ln 1x m x x≤∈+∞,令()s x =()max s x ≤⎡⎤⎣⎦ 因为()21ln 0x s x x '-==得e x = 所以()s x 在区间()1,e 上单调递增,在区间()e,+∞单调递减所以()s x 的最大值为()1e es =所以m ≤0>,所以10em <≤。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数的定义域是 ( )A. B. C. D.2. 已知向量, , ,则“”是“”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数的取值范围是 ( )A ． B.C ． D.4．在等差数列中，已知，则 ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．285．给出如下四个命题：①若“”为真命题，则均为真命题；②“若”的否命题为“若，则”；③“”的否定是“”；④“”是 “”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④6．已知函数，则的大小关系是 ( )A ． B.C ． D.7.若是的重心，分别是角的对边，且30aGA bGB cGC ++=， 则角 ( )A ． B. C ． D.8．已知函数在时取得极值，则函数是( )A ．奇函数且图象关于点对称 B. 偶函数且图象关于点对称C ．奇函数且图象关于点对称 D. 偶函数且图象关于点对称9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若,则等于( )A ． B.C ． D. 10．如图，是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是( )A ． B. C ． D.11．定义在实数集上的函数满足，且.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是( )A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③12．(理)已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.（文）已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若，且，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数的取值范围是 ( )A ． B. C ． D. 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.（理）=_______________________.（文）已知直线与曲线相切于点，则实数的值为______.14. 若将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为_________.15．已知，则的值为 .16．以下命题：①若,则；②向量在方向上的投影为；③若中, ,则；④若非零向量,满足,则.所有真命题的序号是______________.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为且.(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）若，求的面积.18. （本小题满分12分）已知集合，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,. （Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的取值范围．19. （本小题满分12分） 已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ．（Ⅰ）求函数在上的值域；（Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求．20．（本小题满分12分）已知是公差为的等差数列，它的前项和为，且．（Ⅰ）求公差的值；（Ⅱ）若，是数列的前项和，不等式对所有的恒成立,求正整数的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，对于，求证：．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.）22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知为圆上的四点，直线为圆的切线，，与相交于点.(Ⅰ)求证：平分.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线： （为参数），：（为参数）.(Ⅰ)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(Ⅱ)若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60ab c A B C =====︒，所以sin )3sin sin sin sin 3A B a b A B A B ++==++. …………………6分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又，所以，解得或（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=…………………12分18．解：（Ⅰ），，A B [0,1)(2,3),∴=⋃ . …………………6分（Ⅱ）2C (1,4]2mx 10?\+-=x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，令，则f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分 19．解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f ，…………………3分∵，∴，∴，∴，即函数在上的值域是[－3，3] ． …………6分（Ⅱ）∵对于任意的，不等式恒成立，∴是的最大值，∴由Z k k x ∈+=-,22620πππ， 解得∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分20．解：（Ⅰ）∵，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：，解得． ………………4分（Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ，∴=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =≥， ……………………8分又∵ 不等式对所有的恒成立∴≥，化简得：，解得：．∴正整数的最大值为6．……12分21．解：(Ⅰ) 函数的定义域为，．①当时，，在上为增函数.②当时，若，,在上为增函数；若，,在上为减函数.综上所述，当时，在上为增函数.当时，在上为增函数，在上为减函数 . ………4分(Ⅱ)，使得不等式成立，，使得成立，令，则()1x h x e '=-，当时，≥=，，从而在上为减函数， ………8分(Ⅲ)当时，，令()()()2x g x f x ϕ=--，则，，且在上为增函数.设的根为，则，即.当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，m i n ()()l n 2l n 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+- ，，由于在上为增函数，12min 11()()222022t x t e t e ϕϕ∴==+->+->-=. …………………12分22．证：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// 又切圆于点，，而（同弧），所以，平分. ………5分(Ⅱ)由（1）知，又，又为公共角，所以与相似.，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以 ………10分23.解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=， 为圆心是，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分 （Ⅱ）当时，.设，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++，为直线，到的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 43cos ,sin 55∴==-θθ时，取得最小值.………10分24．解：（Ⅰ） 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac . ………5分。

甘肃省兰州第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2-C ．∅D ．{}1,0,1-2．设1i2i 1iz -=++，则 ||z = （ ）A ．2B ．12C D ．13．已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21cos ααα++= ( )A ．32B ．3C ．6D ． 124．下列说法不正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．若命题：:p “0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则:p ⌝“x R ∀∈，均有210x x ++≥”5．已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π6．设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19a b+的最小值为（ ） A ．16B ．8C ．4D ．27．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．2B ．12C．8．某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ） A ．43 B ．28 C ．16 D ．7 9．函数e4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为( ) A ．1603 B ．160 C ．2563D ．64 11．若函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．已知函数221,2()1(2),23x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x af x x =-有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．92722a << B ．918922a << C ．922a -<<D ．4518922a <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为____ ___.14．直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，已知(8,8)A ，则线段AB 的中点到准线的距离为__________．15．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (26)f x x =+，则(2020)f =___ ____.16．已知向量,,a b c 满足4,22,,,4a b a b π==〈〉=()()·1c a c b --=-，则c a -的最大值为___ __.三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时()f x 取得最大值2． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,3B BC π==D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆CD 的长；（2）若DE =A 的大小. 20．（本题满分12分）设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x = 是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为实数常数） （1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2f x ax <成立，求证：21a e >．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．23．（本题满分10分）（选修4-5：不等式选讲） 已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M ．（1）求M ；（2）已知实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值．兰州一中2019-2020-1学期高三年级期中考试试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.25 14. 25415. 2-1 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．（本题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2A πωϕ>><）的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时取得最大值2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）由题意知，振幅A =2，周期T=222ππω=⨯，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2πϕ<，故6πϕ=．∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………………6分（2）由函数6()()5g x f x =-的零点为x 0知：x 0是方程6()5f x =的根，故06()5f x =， 得sin （2x 0+6π）=35,又（2x 0+6π）+（3π-2x 0）=2π， ∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ……………………12分18．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，所以432a a =-，即12q =-.又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-，所以等比数列{}n a 的通项公式*1,2nn a n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. ……………………6分（2）由（1）知1()22(2)log (2)nn b n n n =-+=+ ，所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++ . (12)分 19．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,3B BC π==点D 在边AB上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆CD 的长； （2）若DE =A 的大小. 【解析】（1）由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆=⋅⋅=又BC B ==解得 BD = 在BCD ∆中，由余弦定理得 2CD = 222cos BC BD BC BD B +-⋅⋅(221292=+-⋅= ∴3CD = 即CD 的长为3. ……………………6分 （2）由已知得，E 为AC 中点，∴2AC AE =，在ABC ∆=，所以3sin 2AE A ⋅=， 又sin tan cos DE A A AE A ==，所以sin cos AE A DE A A ⋅=⋅=， 32A =，∴cos A =，又0A π<<，∴4A π= . ………………12分20．（本题满分12分）设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.【解析】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率(1)0f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e =-. ……………………5分（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x--'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点.设函数()(),0,1x e g x x x=∈，则()()210x x e g x x -'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，设为0x .当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xe ax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数.即0x x =为函数()f x 的极小值点.综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. ……………………12分 21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为常数） （1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2f x ax <成立，求证：21a e >． 【解析】（1）()()1ln 1ln f x a x a x a x a x ⎛⎫'=+-+⋅=+ ⎪⎝⎭，当0a <时，由()0f x '>得ln 0x a +<，解得1a x e -<<， 由()0f x '<得ln 0x a +>，解得a x e ->，所以函数()f x 在()1,+∞的单调递增区间是()1,a e -，单调递减区间是(),ae -+∞．……5分（2）当1x >时，由()()2f x ax <得()ln 10ax x ax a -+-<即()ln 10a x ax a -+-<恒成立（*），设()()ln 11g x x ax a x =-+->，则()()11g x a x x'=->，由题可知0a ≠ ①当0a <时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增， ()()11g x g >=-，可知01x ∃>且01x →时，()00g x <，使得()000ax g x ⋅>，可知（*）式不成立，则0a <不符合条件；②当1a ≥时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减， ()()110g x g <=-<，可知（*）式成立，则1a ≥符合条件，所以21a e >成立； ③当01a <<时，由()0g x '>得11x a<<，由()0g x '<得1x a >，所以()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可知()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1ln 2g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由（*）式得ln 20a a --<， 设()ln 2h a a a =--，则()110h a a'=-<，所以()h a 在()0,1上单调递减， 而2211220h e e⎛⎫=+->⎪⎝⎭，()0h a <，可知21a e >． 综上所述，21a e >． ……………………12分 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【解析】（1）设点P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞），由题设知OP =ρ，OM =14cos θρ=.由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. …………………5分 （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.则4cos αB ρ=，于是ABO ∆面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时，ABO ∆的面积取得最大值2.所以ABO ∆面积的最大值为2+. ……………………10分 23．（本题满分10分）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.【解析】（1）164,215()26,24564,4x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-⎪⎩＜＞，如图所示：∴max 57()()42f x f ==， ∴72M = . ……………………5分(2) 由（1）知7a b c ++= ∴[]2(1)(2)(3)a b c ++-+-222(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)a b c a b a c b c =++-+-++-++-+--∴[]2222()43(1)(2)(3)a b c a b c ⎡⎤++-≤++-+-⎣⎦ ∴[]2222743(1)(2)(3)a b c ⎡⎤-≤++-+-⎣⎦∴222(1)(2)(3)3a b c ++-+-≥，当且仅当0a =，3b =，4c =时值最小.∴222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值为3. ……………10分（注：柯西不等式也可）。