2022年高考数学空间几何体的直观图与三视图知识点专项练习含答案

空间几何体的三视图及直观图一、知识点：1．几何体的三视图是指正视图、俯视图、侧视图。

①三视图重点抓俯视图；②画三视图的基本要求：正视图与俯视图长度一样，正视图与侧视图高度一样，俯视图与侧视图宽度一样。

简称为“长对正，高平齐，宽相等”。

2．平面图形的直观图画法：斜二测画法 画图步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x '轴和y '轴，交于点O '，且使45='''∠y O x ；②已知图形中平行于x 轴和y 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴或y '轴的线段； ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半。

二、范例精讲 ㈠三视图例1．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm 3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确 例2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A ．①② B ．①③ C ．①③ D ．②④例3．如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2， AA 1=4，则该几何体的表面积为（ ）A ．6+3 B.24+3 C.24+23 D.32例4.如图是一个几何体的三视图,该几何体是（ ） A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台正视图 侧视图俯视图例5.已知某几何体的三视图及各线段长度如下,则这个几何体的体积是20 20102010A B 1正视图侧视图俯视图三视图练习:1. 如图所示茶杯，其正视图、侧视图及俯视图依次为（ ）2.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

高考数学专题复习：空间几何体的三视图和直观图一．选择题（共12小题）1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm33．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的体积为15πB．该几何体的体积为13πC．该几何体的表面积为20π+6D．该几何体的表面积为15π+65．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6．如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为（）A．B．2C．D．7．如图，是由一个棱长为1的正方体截去一个三棱锥后剩余几何体的三视图，求截去的三棱锥的内切球半径是（）A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．17πB．68πC．13πD．23π9．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O′A′＝2，∠B′A′O′＝45°，B′C′∥O′A′．则原平面图形的面积为（）A．3B．6C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．πB．17πC．πD．16π11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20π+16B．20π+24C．24π+16D．24π+2412．利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且OA'＝3，B'C'＝1，则该平面图形的面积为________．14．某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是________，其内切球半径为________．15．已知圆锥的主视图为如图所示，则该圆锥的侧面积是________．16．一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为________．三．解答题（共6小题）17．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，求该几何体的表面积．18．一个几何体由一个正四棱锥（底面是正方形，且顶点在底面的射影是底面的中心的四棱锥）和一个正四棱柱（上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的四棱柱）组合而成，它的三视图如图所示．（1）求此几何体的体积；（2）求此几何体的表面积．19．设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S范围．20．已知一个几何体的三视图如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P点到Q点的最短路径的长．21．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．22．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．参考答案1．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面半径为，高为2的圆柱的，挖去一个半径为的半球；故：V＝．故选：A．2．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由两个底面边长为20和10的直角三角形，高为20的两个三棱锥构成的几何体；如图所示：所以：V＝＝．故选：A．3．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为1的圆柱，挖去一个高为的圆锥；如图所示：所以＝．故选：A．4．【解答】解：由题意可知几何体是半圆柱，几何体的体积为：＝14π，几何体是表面积为：2×1×3+π×3×3+π×2×2+2×＝15π+6．故选：D．5．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；如图所示：所以：＝．故选：D．6．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为多面体BCDEAFG，底面四边形BCDE为直角梯形，BE∥DC，DE⊥BE，DC＝DE＝1，BE＝2，AD∥CF∥EG，AD＝CF＝EG＝1，AD⊥底面BCDE，平面AFG⊥平面BCDE，AF⊥AG，AF＝AG＝1，则AB＝．故选：D．7．【解答】解：根据三视图转换为几何体的直观图为：如图所示，可知截去的几何体为三棱锥A﹣BCD，其体积，表面积．设其内切球的半径为r，由，得，故选：A．8．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：设该三棱锥的外接球的半径为R，AD＝2，CD＝3．BC＝2．所以（2R）2＝22+22+32＝17，所以．故．故选：A．9．【解答】解：直观图中，∵∠B′A′O′＝∠B′O′A′＝45°，∴△B′A′O′是等腰直角三角形，∵O′A′＝2，∴B′A′＝B′O′＝，∵B′C′∥O′A′，∴∠C′B′O′＝45°，∵直观图是直角梯形，∴O′C′⊥C′B′，∠C′O′B′＝45°，∴C′B′＝O′C′＝1，∴S直＝××+×1×1＝，∴S原＝2S直＝2×＝3．故选：A．10．【解答】解：由三视图知，该几何体是平放的三棱柱，且三棱柱的底面为等腰直角三角形，如图所示：设三棱柱外接球O的半径为R，则（2R）2＝22+32+22＝17，所以该球O的表面积为S＝4πR2＝π•（2R）2＝17π．故选：B．11．【解答】解：由三视图知，原几何体是如图所示的两个半圆柱体，半圆柱的底面半径均为2，高分别为2和4．则其表面积为π×22×2+2π×2+2π×4+4×2+4×4＝20π+24．故选：B．12．【解答】解：把边长为1的正方形直观图还原为原图形，如图所示：故选：A．13．【解答】解：解法一、计算等腰梯形OA′B′C′的面积为S′＝（OA'+B'C'）•（OA′﹣B′C′）sin45°•sin45°＝×2×2××＝1，所以原平面图形的面积为S＝4S′＝4．解法二、作C'D⊥OA'，B'E⊥OA'，因为∠C'OA'＝45°，B'C'＝1，OA'＝3所以DE＝B′C′＝1，OD＝A′E＝1．因此．又根据斜二测画法的特征可得，在原图中AB⊥BC，AD∥BC，即原图为直角梯形，且高为直观图中OC'的2倍，所以该平面图形的面积为．故答案为：．14．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面棱长为2，高为2的四棱锥体；如图所示：所以，设内切球的半径为r，所以，整理得：，解得r＝2﹣．故答案为：．15．【解答】解：根据圆锥的主视图知，该圆锥的底面半径为r＝，母线长是l＝4，所以圆锥的侧面积是S侧＝πrl＝π××4＝6π．故答案为：6π．16．【解答】解：根据三视图知，该几何体是两个相同的圆锥组合体，因为侧视图周长为8，一内角为60°的菱形，所以圆锥的母线长为l＝2，底面圆半径为r＝1，所以该几何体的表面积为S＝2•πrl＝2×π×1×2＝4π．故答案为：4π．17．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：故＝2+2．故该几何体的表面积为2+2．18．【解答】解：根据题意转换为几何体的直观图为：该几何体为由一个正方体和四棱锥体组成的几何体．如图所示：（1）所以＝．（2）＝16．19．【解答】解：（1）设出正四棱锥的棱长a，正方形纸片ABCD边长为4厘米，可得AH＝，∵正四棱锥的棱长都相等，即，∴．故得正四棱锥的棱长为；（2）由题意，设PH＝b，则AH＝b tan x，由2a tan x+2a＝4，可得a＝，从而侧面积S＝＝，其中tan x∈（1，+∞）；∴S＝∈（0，4），故得S范围是（0，4）．20．【解答】解：（1）根据几何体的三视图，转换为几何体，是由一个圆锥和一个圆柱组成．该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成．所以．．．．（2）沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，如图所示：所以PQ＝＝，即最短路径．21．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝×2π×2×2＝4π；S圆柱侧＝2π×2×4＝16π；S圆柱底＝π×22＝4π．∴几何体的表面积S＝20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB＝＝＝2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．22．【解答】解：由三视图可知该几何体是由上下两部分组成：上面是直径为2的球；下面是一个长方体，其长宽高分别为2，2，3，且球切于长方体上底面的圆心．∴S表面积＝4π×12+2×（2×2+2×3+2×3）＝4π+32．V体积＝π×13+2×2×3＝+12．。

第八单元立体几何考情分析多以两小一大的形式出现，每年必考，分值为17～22分．重点考查几何体的三视图问题、几何体的表面积与体积、空间线面位置关系，用向量法计算空间角，其中与球有关的接(切)问题是考查的难点．对于空间向量的应用，空间直角坐标系的建立是否合理是解决有关问题的关键，有时所给空间图形不规则——没有三条互相垂直的直线，不利于空间直角坐标系的建立，另外，探索性问题中动点坐标的设法及有关计算是难点．点点练26空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一基础小题练透篇1．[2022·山东济宁检测]已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A．3B．22C．32D．342．[2021·江西吉安联考]某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A．3B．32C．33D．63．[2022·四川成都七中高三期中]已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )A ．3πB ．4πC．5πD．6π4．[2021·衡水模拟]已知正三棱锥S ­ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．πB．3πC．6πD．9π5．[2022·云南大理模拟预测]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．43πB．2πC．πD．83π 6．[2021·江苏海安高级月考]三棱锥A ­BCD 中，∠ABC ＝∠CBD ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ＝1，△ACD 的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为( ) A ．4πB．16πC．163πD．323π7．[2022·四川省南充市白塔模拟]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球C 的表面上，则球C 的表面积是( )A ．8πB．12πC．16πD．32π 8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．9．[2022·湘豫名校联考]在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝13，AC ＝BD ＝10，则此四面体的体积为________．二能力小题提升篇1.[2022·深圳市高三调研]已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为8π的矩形，则该圆柱的体积为( )A ．8πB．4πC．83πD．2π2.[2022·浙江省高三测试]如图是用斜二测画法画出的∠AOB 的直观图∠A ′O ′B ′，则∠AOB 是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．无法判断3．[2022·河南省洛阳市高三调研]大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”实际是知道了球的体积V ，利用球的体积，求其直径d 的一个近似值的公式：d ＝3169V ，而我们知道，若球的半径为r ，则球的体积V ＝43πr 3，则在上述公式d ＝3169V 中，相当于π的取值为( )A.3B ．227C ．278D ．1694.[2021·云南省曲靖市高三二模]如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则小虫爬行的最短路程为( )A ．123B ．16C ．24D ．24 35．[2022·江西省兴国县高三月考]已知三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，且三棱锥P ­ABC 外接球的表面积为36π.则PA ＝________．6．[2022·广东七校第二次联考]在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．三高考小题重现篇1.[2021·山东卷]已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B.2 2 C ．4D.4 22．[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G .该正方体截去三棱锥A ­EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )3．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．4．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为( )A．212B．312C．24D．345．[2020·山东卷]已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．6．[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．四经典大题强化篇1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O 为AC的中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1­ABC的体积．2．已知点P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B 在AC上的射影为D，求三棱锥P－ABD体积的最大值．点点练26 空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一 基础小题练透篇1．答案：A解析：由题图可知原△ABC 的高AO ＝3，BC ＝B ′C ′＝2，∴S △ABC ＝12·BC ·OA ＝12×2×3＝ 3.2．答案：C解析：由三视图还原几何体，可得该几何体可看作如图所示的棱长为3的正方体中，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，其最长的棱为BD ，且BD ＝32＋32＋32＝3 3.3．答案：B解析：由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，底面圆的半径r ＝1，圆锥的母线长l ＝（3）2＋1＝2，记该几何体的表面积为S ，故S ＝12（2πr ）l ＋12×4πr 2＝4π.4．答案：C解析：正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，所以外接球的直径2R ＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝6，所以4R 2＝6，外接球的表面积4πR 2＝6π.5．答案：A解析：根据三视图可知几何体是由有公共的底面的圆锥和圆柱体的组合体，由三视图可知，圆锥的底面半径为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1，所以组合体的体积为13π×12×1＋π×12×1＝4π3.6．答案：A解析：∵BC ＝BD ＝1，∠CBD ＝60°，∴CD ＝1，又AB ＝AB ，∠ABC ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ，∴△ABC ≌△ABD ，则AC ＝AD ，取CD 中点E ，连接AE ，又由△ACD 的面积为114，可得△ACD 的高AE ＝112，则可得AC ＝AD ＝3，在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°，∴3＝AB 2＋1－2×AB ×1×12，解得AB ＝2，则AC 2＋BC 2＝AB 2，可得∠ACB ＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1， 故外接球的表面积为4π×12＝4π.7．答案：A解析：由三视图可还原几何体为从长、宽均为2，高为2的长方体中截得的四棱锥S ­ABCD ，则四棱锥S ­ABCD 的外接球即为长方体的外接球， ∴球C 的半径R ＝122＋2＋4＝2，∴球C 的表面积S ＝4πR 2＝8π. 8．答案：2＋22解析：如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1，由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12（A ′D ′＋B ′C ′）·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.9．答案：2解析：设四面体ABCD 所在的长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝13，b 2＋c 2＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以四面体ABCD 的体积V ＝abc －13×12abc ×4＝13abc ＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A解析：设圆柱的高为h ，则2π×2×h ＝8π⇒h ＝2，所以圆柱的体积为π×22×2＝8π.2．答案：C解析：根据斜二测画法规则知，把直观图∠A ′O ′B ′还原为平面图，如图所示：所以∠AOB 是钝角． 3．答案：C解析：由d ＝3169V 得V ＝916·（2r ）3＝43·278r 3，比较V ＝43πr 3，相当于π的取值为278. 4．答案：A解析：如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，则由题可得2π×4＝12θ，则θ＝2π3，在Rt△POP ′中，OP ＝OP ′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP ′＝122＋122－2×12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12 3.5．答案：27解析：由PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，∵三棱锥外接球的表面积为36π，设外接球的半径为R ，则4πR 2＝36π，解得R ＝3∴三棱锥外接球的半径为3，直径为6，∵AB ＝AC ＝2，∴22＋22＋PA 2＝62，∴PA ＝27.6．答案：（2－2）a解析：方法一 由题意知，球内切于四棱锥P ­ABCD 时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP ，则V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －PAD ＋V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×2a ×2a ×2a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋2×12×2a ×2a ＋2×12×2a ×22a ×r ，解得r ＝（2－2）a .方法二 易知当球内切于四棱锥P －ABCD ，即与四棱锥P －ABCD 各个面均相切时，球的半径最大．作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P －ABCD 内切球的半径为r ，则12×2a ×2a＝12×（2a ＋2a ＋22a ）×r ，解得r ＝（2－2）a . 三 高考小题重现篇1．答案：B解析：设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl ＝2π×2，解得l ＝2 2.2．答案：D解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.3．答案：39π解析：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62×h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π. 4．答案：A解析：如图所示，因为AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝1，所以AB 为截面圆O 1的直径，且AB ＝ 2.连接OO 1，则OO 1⊥面ABC ，OO 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以三棱锥O ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212. 5．答案：2π2解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝D 1M 2＋MP 2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH 的长为14×2π×2＝2π2. 6．答案：26 2－1 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 四 经典大题强化篇1．解析：（1）证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .（2）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离．由（1）知A 1O ⊥平面ABC ，且A 1O ＝AA 21 －AO 2＝3，∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1. 2.解析：设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图，由PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，知点P 在平面ABC 上的射影G 为△ABC 的外心，即AC 的中点．设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上．连接OB ，BG ，设PG ＝h ，则OG ＝2－h ，所以OB 2－OG 2＝PB 2－PG 2，即4－（2－h ）2＝4－h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝ 3.设AD ＝x ，则GD ＝x －AG ＝x －3，BG ＝3，所以BD ＝BG 2－GD 2＝－x 2＋23x ，所以S △ABD ＝12AD ·BD ＝12－x 4＋23x 3. 令f （x ）＝－x 4＋23x 3，则f ′（x ）＝－4x 3＋63x 2.由f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝332，易知当x ＝332时，函数f （x ）取得最大值24316，所以（S △ABD ）max ＝12×934＝938.又PG ＝1，所以三棱锥P －ABD 体积的最大值为13×938×1＝338.。

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为．【答案】２．【解析】由已知几何体的视图可知，几何体为四棱锥，其中SA垂直于平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱锥的体积为【考点】三视图求几何体的体积.2.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成，其体积为，故选B.【考点】根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题.3.若某多面体的三视图（单位: cm）如图所示, 则此多面体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体相当于一个正方体切去一个三个侧棱长为1的三棱锥.所以该几何体的体积为.故选C.【考点】1.三视图.2.空间想象力.3.几何体的体积.4. (2014·孝感模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( )A．16πB．14πC．12πD．8π【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是球挖去半球.其中两个半圆的面积为π×22=4π.个球的表面积为×4π×22=12π,所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.5.如图，某几何体的三视图都是等腰直角三角形，则几何体的体积是（）A．8B．7C．9D．6【答案】C【解析】由三视图可知,几何体是底面为等腰直角三角形,有一侧棱与底面垂直(垂足在非直角处)的三棱锥,其底面面积为×6×3=9,三棱锥的高为3,所以三棱锥的体积=×9×3=9．6.已知某几何体的三视图(如图),正视图和侧视图均为两个相等的等边三角形,府视图为正方形,则几何体的体积为（）A．B．4C．9D．9【答案】C【解析】由三视图可知,几何体由两个同底之正四棱锥组成所以其体积为V=2××32×3×=9 7.一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图中x的值为( )A．5B．4C．3D．2【答案】C【解析】三视图，由正四棱锥和圆柱组成，故选C．8.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意，棱锥的高为，底面面积为，∴.【考点】三视图，体积．9.某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】这是由两个三棱锥拼成的几何体，其体积为.选C.【考点】三视图及几何体的体积.10.―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为．【答案】18+9【解析】由三视图可知，此几何体为两个相切的球上方放了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：V=3×6×1+2××=18+911.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.【答案】152【解析】几何体为一个三棱柱，底面为一个等腰三角形，底边长为6，底边上高为4，腰长为５.棱柱的高为8.因此表面积为【考点】三视图12.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为；表面积为．【答案】；．【解析】由三视图知几何体如下图，为一个三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，底面三角形的一条边长为，该边上的高为，∴几何体的体积．它的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．13.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_______.【答案】【解析】由题意可得该几何体是一个三棱锥，体积.【考点】1.三视图的知识.2.立几中的线面关系.3.三棱锥的体积公式.14.一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是【答案】【解析】由三视图，可知该几何体是三棱锥，并且侧棱，，，则该三棱锥的高是，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积＝＝．【考点】由三视图求几何体的体积．15.一个几何体的三视图如图所示,则该机合体的体积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】分析可得该几何体是底面为菱形的四棱锥,则高底面面积,所以.故选B【考点】三视图四棱锥体积16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【答案】【解析】通过三视图的观察可得，该几何体是一个四棱柱，底面是一个直角梯形，其上下底分别为2,3，梯形的高为2.四棱柱的高为2.所以几何体的体积为.【考点】1.三视图的知识.2.几何体的体积.3.空间想象力.17.某长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．4C．6D．8【答案】D【解析】割补可得其体积为2×2×2＝8.18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．【答案】16π－16【解析】由三视图知，该几何体是由一个底面半径为2，高为4的圆柱内挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，∴V＝(π×22－22)×4＝16π－16.19.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M为棱A1B1的中点，N为棱A1D1的中点．如图是该正方体被M，N，A所确定的平面和N，D，C1所确定的平面截去两个角后所得的几何体，则这个几何体的正视图为()．【答案】B【解析】对于选项A，由于只是截去了两个角，此切割不可能使得正视图成为梯形．故A不对；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确；对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不对；对于D，正视图是正方形，符合题意，其中的两条实线符合俯视图的特征，故D不对．20.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为3，所以正三角形边长为6，所以V＝×36×4＝36.故选B.【考点】1.三视图；2.柱体体积计算.21.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知道，该几何体体积是圆柱体积的，即.【考点】1、三视图；2、几何体体积.22.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是一个圆台，其两底直径分别为2和4，母线长为4，所以该几何体的侧面积是，选B..【考点】三视图，圆台的侧面积.23.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 .A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体，下面是一个半径为4，高为8的圆柱，，上面是一个三棱柱，故所求体积为.【考点】三视图，圆柱、三棱柱的体积公式.24.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________【答案】【解析】该几何体为圆柱中挖去半个球而得的组合体，其体积为.【考点】三视图.25.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高为 .【答案】【解析】由如图所示的几何体的三视图知：这个几何体是一个半径为的球和一个直四棱柱的结合体，且这个直四棱柱的底面是对角线分别为和的棱形，这个直四棱柱的高为，∴这个几何体的体积：V=，解得h=.【考点】1.三视图；2.几何体的面积和体积26.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案】D【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选D.【考点】1.三视图的应用.27.如图为一个几何体的三视图正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，这是一个由半个圆柱和一个三棱柱构成的组合体，这个组合体仍为一个柱体。

第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图根底过关练题组一中心投影与平行投影1.以下命题中正确的选项是()A.矩形的平行投影一定是矩形B.平行投影与中心投影的投影线均互相平行C.两条相交直线的投影可能平行D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段,那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点2.(2021辽宁朝阳高三模拟)半径为R的球O放置在水平平面α上,点P位于球O的正上方,且到球O外表的最小距离为R,那么从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积为.3.如下图,点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心,点E为面B'BCC'的中心,点F为B'C'的中点,那么空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影可能是(填出所有可能的序号).题组二空间几何体的三视图4.以下几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④5.以下关于几何体的三视图的表达中,正确的选项是()A.球的三视图总是三个全等的圆B.正方体的三视图总是三个全等的正方形C.正四面体的三视图都是正三角形D.圆台的俯视图是一个圆6.(2021云南昆明一中高三双基检测)我国古代数学家利用“牟合方盖〞(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖〞是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共局部形成的几何体,图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖〞的一种模型,它的主视图是()ABCD7.假设一个正三棱柱的三视图如下图,那么这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是和.题组三由三视图认识几何体8.(2021重庆高二上期末)如果一个几何体的正视图是矩形,那么这个几何体不可能是()A.三棱柱B.四棱柱C.圆锥D.圆柱9.(2021陕西西安中学高一上期末)如图是一个几何体的三视图,它对应的几何体的名称是()A.棱台B.圆台C.圆柱D.圆锥10.一个几何体的正视图为三角形,那么这个几何体可能是以下几何体中的.(填序号)①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.能力提升练一、选择题1.()假设某几何体的三视图如下图,那么此几何体是() 2.()棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,那么该正方体的正视图的面积不可能等于()B.√2C.√2-12D.√2+123.()三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为2的等边三角形.假设三棱柱的正视图(如下图)的面积为8,那么侧视图的面积为() √3√34.(2021北京大兴高三一模,)某四棱锥的三视图如下图,如果方格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的最长棱的棱长为()B.√10C.√13D.√17二、填空题5.()如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点,那么三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为.6.()如下图,在正方体A'B'C'D'-ABCD 中,E ,F 分别是A'A ,C'C 的中点,那么以下判断正确的选项是.(填序号)①四边形BFD'E 在底面ABCD 上的正投影是正方形;②四边形BFD'E 在侧面A'D'DA 上的正投影是菱形;③四边形BFD'E 在侧面A'D'DA 上的正投影与在侧面ABB'A'上的正投影是全等的平行四边形.三、解答题7.()以下图为长方体木块堆成的几何体的三视图,求组成此几何体的长方体木块共有多少块.1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图根底过关练1.D平行投影因投影线的方向变化而不同,因而平行投影的形状不固定,故A不正确;平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点,故B不正确;无论是平行投影还是中心投影,两条直线的交点都在两条直线的投影上,因而两条相交直线的投影不可能平行,故C不正确;将一条线段看成是两条相等的线段(从中点处分割),由两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比,可知D正确.2.答案3πR2解析由题意知轴截面如下图,易得MN=NT=TP=√3R,所以从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积为S=π(√3R)2=3πR2.3.答案①②③解析在底面ABCD上的正投影为③,在侧面B'BCC'上的正投影为②,在侧面D'DCC'上的正投影为①.4.D在各自的三视图中,①正方体的三视图都相同;②圆锥有两个视图相同;③三棱台的三个视图都不同;④正四棱锥有两个视图相同.应选D.5.A球从任意角度的视图都是三个全等的圆,故A正确;正视方向不同,正方体的三视图不一定是三个全等的正方形,B错误;C,D显然错误.应选A.6.B根据主视图的定义,得出圆柱以及立方体的摆放位置,那么该模型的主视图为两列,左边一列为一个正方形,右边一列为两个正方形,应选B.7.答案2;4解析由侧视图可知,正三棱柱的高为2,底面三角形的高为2√3,所以底面三角形的边长为2√3=4.sin60°8.C三棱柱、四棱柱、圆柱的正视图都可能是矩形,而圆锥无论怎样放置,它的正视图都不可能为矩形.9.B将三视图复原成几何体,如图,易知该几何体为圆台.应选B.10.答案①②③⑤解析锥体的正视图均可能为三角形,当三棱柱底面向前时,正视图为三角形,而四棱柱和圆柱无论怎样放置,它们的正视图都不会为三角形.能力提升练一、选择题1.AA中几何体的三视图与所给三视图相同;B中几何体的侧视图与所给侧视图不符;C中几何体的侧视图和俯视图与所给侧视图和俯视图不符;D中几何体的三视图与所给三视图均不符.2.C由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围为[1,√2],应选C.3.C设该三棱柱的侧棱长为a,那么2a=8,所以a=4.该三棱柱的侧视图是一个矩形,一边长为4,其邻边长等于三棱柱底面等边三角形的高,且高为√3,所以侧视图的面积为4√3.应选C.4.D根据几何体的三视图可得,该几何体是如下图的四棱锥E-ABCD,由题意可知,EA=EC=√13,BE=√10,DE=√17,AD=CD=2,AB=√5,BC=1,所以该几何体的最长棱的棱长为√17,应选D.二、填空题5.答案1解析无论点P在上底面的什么位置,三棱锥P-ABC的正视图和侧视图均为三角形,且三角形有一边相等,该边上的高也相等,故所求比值为1.6.答案①③解析对于①,四边形BFD'E的四个顶点B,F,D',E在底面ABCD内的正投影分别是点B,C,D,A,故正投影是正方形,故①正确.对于②,设正方体的棱长为2,那么AE=1.不妨设D'D的中点为G,连接AG,那么四边形BFD'E在侧面A'D'DA上的正投影是四边形AGD'E,由AE∥D'G且AE=D'G,知四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=√5,故四边形AGD'E不是菱形.故②错误.对于③,同②作出四边形BFD'E在侧面ABB'A'上的正投影,比拟发现③正确.故填①③.三、解答题7.解析由正视图可知有两列,由侧视图可知有两排,再结合俯视图可得几何体共分两层,下面一层有3块,上面一层有1块.如下图,其中小长方形中的数字表示此位置木块的块数,所以长方体木块共有2+1+1=4(块).。

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54B．27C．18D．9【答案】C【解析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则，故选：C．【考点】由三视图求面积、体积.2.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为．【答案】２．【解析】由已知几何体的视图可知，几何体为四棱锥，其中SA垂直于平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱锥的体积为【考点】三视图求几何体的体积.3.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为【答案】【解析】由三视图知，该几何体是底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的球体组成的组合体，其体积为=．【考点】简单几何体的三视图，圆柱的体积公式，球的体积公式4.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6B．8C．2＋3D．2＋2【答案】B【解析】如图，OB＝2，OA＝1，则AB＝3．∴周长为8．5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为________．【答案】【解析】几何体外接球的直径为四棱锥底面的对角线，球体积V＝()3．6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥的一半，故其体积为.选.【考点】三视图，圆锥的体积.7.（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为 m3．【答案】4【解析】由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：4点评：本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .【答案】【解析】该几何体是类似墙角的三棱锥，假设一条直角的棱长为x，则三条直角棱长分别为.所以体积为.当且仅当时取等号.【考点】1.三视图.2.函数最值问题.3.空间想象能力.9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）.A．B．C．D．2【答案】B【解析】由三视图可知此几何体是由一个长为2，宽为，高为的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为.故正确答案选B.【考点】1.三视图；2.简单组合体体积.10.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A．B．6C．4D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体，挖去一个以正方体的一个面为底面，正方体的中心为顶点的正四棱锥所成的组合体，其体积故选A.【考点】1、三视图；2、棱柱、棱锥的体积.11.若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A．B．4C．D．8【答案】A【解析】由三视图可知此几何体是正四棱锥，底面正方形的对角线长为，棱锥的高为3，则底面边长为2。

1-2 空间几何体的三视图和直观图同步练习一、选择题1．一条直线在平面上的正投影是( )．A．直线 B．点 C．线段 D．直线或点解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线．答案 D2．如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是( )．解析A中俯视图为圆不正确；C中正侧视图不是三角形，也不正确；而D中俯视图为三角形，显然不是四棱锥．答案 B3．针对柱、锥、台、球，给出下列命题①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台其中正确的是( )．A．①② B．③ C．③④ D．①③解析①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；③正确；④不正确，因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形．答案 B4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A．①② B．①③ C．①④ D．②④解析①的三个三视图都是正方形；②的正视图与侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心；③的三个视图都不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图为正方形．答案 D5．如图所示，在这4个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①②B．①③ C．①④D．②④解析：①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形；②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心；③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为：梯形、梯形(两梯形不同)、三角形(内外两个三角形，且对应顶点相连)；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形及中心．答案：D6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可以是( )．解析A中正视图、俯视图不对，故A错．B中正视图、侧视图不对，故B错．C中侧视图、俯视图不对，故C错，故选D.答案 D二、填空题7．一个图形的投影是一条线段，这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．解析②的投影是直线或点，对于③④，当图形所在面与投影面垂直时，其投影为线段，而⑤的投影显然不可能是平面图形．答案②⑤8．如图所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．解析 这是一个组合体，上部为圆锥．下部为圆柱． 答案 圆锥 圆柱9．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1在六个面上的投影长度总和是________． 解析 正方体的体对角线在各个面上的投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都是2，所以其和为6 2. 答案 6 210．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的高为________m ，底面面积为________m 2.解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，AC ＝4，BD ＝3，高为2.S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×4×3＝6.答案 2 6 三、解答题11．画出如图所示的空间图形的三视图(阴影部分为正面)．解 该几何体是在一正方体上面放一个圆台，其三视图如图所示．综合提高 限时25分钟12．说出下列三视图表示的几何体，并画出该几何体．解该三视图表示的几何体是截去一角的正方体．如图所示．选作题如图所示，图(2)是图(1)中实物的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．解图(1)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如下图所示．。

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的四分之一，其底半径为，高为，所以其体积为，故选.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.2.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，空间几体体的直观图如下图所示：所求几何体的体积故选C.【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积.3.如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为A．πB．2πC．3πD．4π【答案】C【解析】原几何体为有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且底面是边长为1的正方形，垂直于底面的侧棱长也为1，因此，该几何体可以补形为一个棱长为1的正方体，其外接球就是这个正方体的外接球，直径为正方体的对角线长，即2R＝，故R＝故外接球表面积为：4πR2＝3π.【考点】三视图，几何体的外接球及其表面积4.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位： cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为________cm2．【答案】29π【解析】从三棱锥的三视图可知，三棱锥有两侧面与底面垂直，把三棱锥补成长，宽，高分别为4,2,3的长方体，设外接球的半径为R，由42＋22＋32＝4R2得，S＝4πR2＝29π(cm2)．球5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．2C．D．8【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2．HD＝3，BF ＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为×2×2×4＝8．6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知左视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，= .【答案】【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，底面是面积为的矩形，高为，所以，解得.【考点】三视图，空间几何体的体积.8.如图，水平放置的正三棱柱的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为．【答案】【解析】左视图为一个矩形，长宽分别为，因此面积为.【考点】三视图9.若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．10.图中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．【答案】16【解析】从三视图可知，这是一个四棱锥，.【考点】三视图.11.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的体积为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】几何体是圆柱，.【考点】三视图，圆柱的体积.12.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.13.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，正视图的最大面积为对角面的面积，最小面积为，而，故选C．【考点】三视图.14.已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体，，，∴.选B.【考点】三视图，体积.15.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】过B作BD⊥AC于点D，则BD=2，CD=2，所以BC=,因为SC⊥平面ABC，所以SC⊥BC，所以SB=,故选B.【考点】三视图、直线与平面垂直的性质.16.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.【考点】1.三视图；2.组合体的体积17.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一的球的组合体，所以体积为【考点】三视图18.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.【答案】96【解析】几何体为一个三棱柱，底面为一个等腰三角形，底边长为6，底边上高为4，棱柱的高为8.因此所求体积为【考点】三视图19.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为．【答案】【解析】如图所示,做BD,AB的中点分别为点E,F.则有CE面ABD,由于EF为等腰直角三角形ABD的中位线,故EF AB,则为二面角 C－AB－D的代表角,所以,故填.【考点】二面角三视图20.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC 的面积为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】D【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝ ( a)2，∴S＝a2.21.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【答案】D【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm 3).22. 右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B-CEPD 的体积．【答案】(1)见解析 (2)2【解析】解：(1)该组合体的三视图如图所示．(2)∵PD ⊥平面ABCD ， PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2. 又∵平面PDCE∩平面ABCD ＝CD ， BC ⊂平面ABCD. ∴BC ⊥平面PDCE.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥DC.又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积： S 梯形PDCE ＝ (PD ＋EC)·DC ＝×3×2＝3， ∴四棱锥B-CEPD 的体积V B-CEPD ＝S 梯形PDCE ·BC ＝×3×2＝2.23. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.24.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．【答案】【解析】由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r＝1.∴体积V＝×(π×12×2)＝.25.如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4 ，BE＝2 ，AB＝4.∴VP-ABCD ＝PA·S四边形ABCD＝×4 ×4×4＝.(2)∵＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠BEA＝∠PBA.∴∠BEA＋∠BAE＝∠PBA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.∵BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.∵PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.26.如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．【答案】9【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，∴V＝Sh＝×9×3＝9.27.某几何体的三视图如图所示，主视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形.则该几何体的表面积为( )A. B. C. D【答案】B【解析】此几何体直观图如图所示。

考点31空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积4.(2022·新高考Ⅰ卷·T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)() A.1.0×109m3 B.1.2×109m3 C.1.4×109m3 D.1.6×109m3【命题意图】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式,考查运算求解能力.【解析】选C.依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2,下底面积S'=180.0km2=180×106m2,所以V=13h(S+S'+ ')=13×9×(140×106+180×106+140×180×1012)=3×(320+607)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3).8.(2022·新高考Ⅰ卷·T8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是()A.18,814B.274,814C.274,643D.18,27【命题意图】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题,考查了利用导数研究函数的最值.【解析】选C.因为球的体积为36π,所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则l2=2a2+h2,32=2a2+(h-3)2,所以6h=l2,2a2=l2-h2,所以正四棱锥的体积V=13Sh=13×4a2×h=23×l2- 436× 26=19l4- 636,所以V'=194l3- 56=19l324− 26,当3≤l<26时,V'>0,当26<l≤33时,V'<0,所以当l=26时,正四棱锥的体积V取最大值,最大值为643,又l=3时,V=274,l=33时,V=814,所以正四棱锥的体积V的最小值为274,所以该正四棱锥体积的取值范围是274,643.7.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.100πB.128πC.144πD.192π【命题意图】本题考查球的表面积求解,同时还涉及了正弦定理的运用,考查了运算求解能力,对空间想象能力要求较高.【解析】选A .设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r 1,r 2,所以2r 1=33sin60°,2r 2=43sin60°,即r 1=3,r 2=4,设球心到上、下底面的距离分别为d 1,d 2,球的半径为R ,所以d 1= 2-9,d 2= 2-16,故|d 1-d 2|=1或d 1+d 2=1,即| 2-9- 2-16|=1或 2-9+ 2-16=1,解得R 2=25符合题意,所以球的表面积为S=4πR 2=100π.4.(2022·全国甲卷文科)(同2022·全国甲卷理科T4)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()A.8B.12C.16D.20【命题意图】本题考查多面体的体积的求法,考查多面体的三视图等基础知识,考查运算求解能力.【解析】选B .由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12.10.(2022·全国甲卷文科)(同2022·全国甲卷理科T9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若 甲 乙=2,则 甲 乙=()A.5B.22C.10【命题意图】本题考查圆锥的侧面积和体积求解,考查运算求解能力.【解析】选C .设母线长为l ,甲圆锥底面半径为r 1,乙圆锥底面半径为r 2,则 甲 乙=π 1 π 2 = 1 2=2,所以r 1=2r 2,又2π 1 +2π 2 =2π,则 1+ 2 =1,所以r 1=23l ,r 2=13l ,所以甲圆锥的高h 1=53l ,乙圆锥的高h 2,所以 甲 乙=13π 12 113π 22 2=49 =10.12.(2022·全国乙卷文科·T12)(与理科T9相同)已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O ,底面的四个顶点均在球O 的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13B.12【命题意图】考查球与四棱锥的接切问题、四棱锥的体积、利用基本不等式求最值以及空间想象能力.【解析】选C.设该四棱锥底面为四边形ABCD ,四边形ABCD 所在小圆半径为r ,设四边形ABCD 对角线夹角为α,则S 四边形ABCD =12·AC ·BD ·sin α≤12·AC ·BD ≤12·2r ·2r=2r 2,(当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时,底面ABCD 面积最大值为2r 2,又r 2+h 2=1,则V O-ABCD =1·2r 2·h==4327,当且仅当r 2=2h 2,即.9.(2022·北京高考·T9)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为()A.3π4B.πC.2πD.3π【命题意图】考查空间立体图形,综合性较强,难度稍大.【解析】选B.若PQ=5,则Q点轨迹为一个圆周,所求即为此圆的面积.设点P在底面上的射影为点O,则由已知得,O为△ABC的中心,CO=23,PC=6,所以PO=26,当CO上存在一点Q使得PQ=5,此时QO=1,则动点Q在以QO为半径,O为圆心的圆内,所以面积为π.5.(2022·浙江高考数学科·T5)(4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.22πB.8πC.223πD.163π【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图,意在考查学生由空间几何体的三视图还原空间几何体的能力及圆柱、圆台与球的体积公式的应用.【解析】选C.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半球和一个圆柱及一个圆台组合成的,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为2;圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为2,所以该几何体的体积为V=12×43π·13+π×12×2+13×2(π×12+π×12×π×22+π×22)=2π3+2π+14π3=22π3.11.(2022·新高考Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则()A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V1【命题意图】本题主要考查组合体的体积,熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键.【解析】选CD.设AB=ED=2FB=2a,因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,则V1=13·ED·S△ACD=13·2a·12·(2a)2=43a3,V2=13·FB·S△ABC=13·a·12·(2a)2=23a3,如图,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得BD⊥AC,又ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则ED⊥AC,又ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDEF,则AC⊥平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,过F作FG⊥DE于点G,易得四边形BDGF为矩形,则FG=BD=22a,EG=a,则EM=(2 )2+(2 )2=6a,FM= 2+(2 )2=3a,EF= 2+(22 )2=3a,EM2+FM2=EF2,则EM⊥FM,S△EFM=12EM·FM=322a2,AC=22a,则V3=V A-EFM+V C-EFM=13AC·S△EFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B错误;C,D正确.。

考点21 空间几何体的结构及其三视图和直观图1．（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F 分别为棱11,B C BC 的中点，.则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.空间几何体的直观图的画法(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.一、空间几何体的三视图1.概念：正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图。

2.位置：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。

3.大小：正视图与侧视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样。

4.能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示5.由三视图还原直观图办法：（1）还原后的几何体一般为较为熟悉的柱、锥、台、球的组合体；（2）图中实线和虚线是原几何体中的可视线与被遮挡线；（3）想象物体原型，画出草图后进行三视图还原，并与所给几何体比较，再准确画出原几何体。

二、水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤三、空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.1．（2021·全国高三其他模拟（理））香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为1，则该香水瓶的体积为（）A ．120π+B ．2120π+C ．110π+D ．2110π+2．（2021·陕西高三其他模拟（理））如图所示的是某多面体的三视图，其中A 和B 分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为（ ）A ．2B ．2C ．5D ．63．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．2π3B．4πC．8π3D．8π4．（2021·全国高三其他模拟（理））若空间某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（）A．1622π-B．46πC．24πD．642π+5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（）A 33B．33C．372D．376．（2019·福建省永春第一中学高三其他模拟（理））在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为（）A．18B．22C．24D．287．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．862+D．1462+8．（2021·北京二中高三其他模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A．32B．23C．47D．2219．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则四棱锥的侧面积为（）A．442+B．4223+C．842+D．8 310．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）某三棱锥的三视图如图所示．则该三棱锥内切球的半径是（）A ．713-B ．713+C ．6D ．2211．（2021·全国高三其他模拟（理））如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．5210π+B ．4812π+C ．3618π+D ．6416π+12．（2021·全国高三其他模拟（理））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．8C ．6D ．413．（2021·海原县第一中学高三二模（理））我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．125B ．40C ．16123+D ．16125+14．（2021·河北衡水中学高三三模）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，则截面1BED F 分别在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值1B ．有最大值2C ．为定值2D ．为定值115．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A．332+B．4 C．33+D．216．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32B．3 C．322D．3217．（2010·北京高考真题（理））一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为A．B．C．D．18．（2014·福建高考真题（理））某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱19．（2016·天津高考真题（理））已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.20．（2019·北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．1．D【分析】根据三视图可得包装瓶由棱柱和圆柱组合而成，利用体积公式可求其体积.【详解】由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：故其体积为：()25242121102ππ⨯-+⨯⨯=+，故选：D.2．D 【分析】由三视图还原成直观图，根据所给数据，利用图像即可得解. 【详解】根据题意可得如图所示直观图，为一组合体， 底面为直角梯形，侧棱垂直底面， 所以22215BE =+=， 由高1AE =，22516BE AE ++=， 故选：D. 3．C 【分析】由三视图还原原几何体如图，是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，圆锥的高为半球的半径，从而可求出几何体的体积 【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合， 圆锥的高为半球的半径． 则该几何体的体积321418ππ2π222333V =⨯⨯-⨯⨯=． 故选：C ． 4．C 【分析】根据三视图，可在长方体中利用构造法还原几何体，利用长方体的对角线计算外接球的直径，进而计算表面积． 【详解】据三视图分析知，该几何体是由长方体截得如下图所示几何体ABCDE ，22222426++=， 即为外接球的直径， 6，外接球的表面积4624S ππ=⨯=．5．A 【分析】作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB 的长. 【详解】由三视图可知该几何体为下底面半径1R =，上底面半径12r =，高为2的圆台，故其母线长为2213(1)(2)22BC =-+=，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥，由相似三角形知，12OB r OC R ==，即3122OC OC -=，解得3OC =， 即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为α，则2OB r απ⋅=，即31222απ⋅=⨯，解得23πα= 由三视图可知，点B 为展开图中圆弧的中点，在OAB 中，3AOB π∠=，32OB =，3OA =，则2ABO π∠=， 故33sin AB OA AOB =∠= 故选：A 6．C根据三视图作出几何体的直观图，然后根据几何体的结构特征，利用分割法可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原原几何体的直观图如下图所示：其中，底面ABC 为直角三角形，且90BAC ∠=，4AB =，3AC =， 侧棱BD 、AF 、CE 与底面ABC 垂直，且2BD =，5AE CF ==， 过点D 分别作//DG AB 、//DH BC 分别交AB 、CE 于点G 、H ，则三棱柱ABC GDH -为直棱柱，四棱锥D EFGH -的底面为矩形EFGH ，高为AB ， 所以，211432342423ABCEFD ABC GDH D EFGH V V V --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=. 故选:C. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7．B 【分析】首先根据三视图得到几何体的形状，接着利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得几何体如下图所示四棱锥P ABCD -：其中2,2,22,3PA PB AB CD AD BC ======, 且四边形ABCD 为矩形，三角形PAB 为等腰直角三角形， 且面ABCD ⊥面PAB ， 所以22362ABCD S ==222h ==所以11622433P ABCD ABCD V S h -=⨯⨯=⨯=， 故选：B 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 8．C 【分析】由三视图还原几何体，求出各面的面积即可选出正确答案. 【详解】由题意可知,几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为8,底面面积为234434=,另一个侧面的面积为()2214423472⨯+=四个面中面积的最大值为47, 故选:C.【点睛】 关键点睛:本题的关键是由三视图还原几何体. 9．A 【分析】结合正方体作出四棱锥直观图，可得到四棱锥的结构特征，从而求出其侧面积. 【详解】解：结合正方体，作出三棱锥N DFHK -，（它在正方体中的位置），可知21222NDK NKH S S ==⨯=△△，1222222NFH NFD S S ==⨯⨯=△△,则侧面积为=442NDK NKH NFH NFD S S S S ++++△△△△. 故选：A .【点睛】关键点点睛：解题关键是在正方体中作出几何体的直观图，这样容易得出几何体的结构特征.本题考查了三维想象能力、棱锥的侧面积的计算，属于中档题. 10．A 【分析】由三视图可得三棱锥直观图，利用等体积法求出球的半径即可. 【详解】根据三视图可得该三棱锥的直观图如下：取AB AC 、的中点为E 、D 则有PE ⊥平面ABC ，902233ABC BC AB PE ∠=︒===，，，， 所以1424DE AC DC PC ====，，，故三棱锥的表面积22111122222PA S PE AB BC PB AB BC PA AC ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+- ⎪⎝⎭所以7339S = 又116333P ABC ABC V S PE -=⋅=⨯△设内切球的半径为R ，则13P ABC S R V -⋅=表可得713R -= 故选：A 【点睛】关键点点睛：由直观图及条件可求出棱锥的表面，设球半径为R ，可分割为四个高为R 的棱锥，利用等积法求解即可,属于中档题. 11．D 【分析】从侧视图出发，正方形内切一圆，以及正视图、侧视图长综合观察，那么该几何体左右两侧为圆柱，中间为正方体，利用几何体体积公式进行求解.【详解】由题图易知该几何体的中间是一个棱长为4的正方体，左，右两侧均是一个底面半径为2，母线长为2的圆柱，则此几何体的体积3242226416Vππ=+⨯⨯⨯=+.故选：D【点睛】先通过三视图还原几何体，检验几何体的三视图是否和题目一致，再利用公式进行求解.12．D【分析】先根据三视图还原几何体的直观图，再利用锥体的体积公式即可求解．【详解】由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知该几何体是由两个三棱锥组合而成的，若以这两个三棱锥共同的面为这两个三棱锥的底面，则这两个三棱锥的高都是2，底面三角形均是直角边长分别为2和3的直角三角形，故该几何体的体积1123224 32V⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．故选：D【点睛】此类以三视图为载体的几何体体积问题的关键是过好“双关”：首先是“还原关”，即利用“长对正、高平齐、宽相等”还原出空间几何体的直观图；其次是“公式关”，即会利用锥体的体积公式、柱体的体积公式等求几何体的体积．13．D【分析】根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可． 【详解】由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体1111A B C D ABCD -，图中正方体棱长为4，1111,,,,,,,B C D A B C A D 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为248⨯=，梯形的上下底分别为2,4，梯形的高为2215FG +=，梯形面积为()1245352⨯+=28435⨯+⨯=165+ 故选：D. 【点睛】观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状． 14．D 【分析】证明1BED F 是平行四边形，得1CE A F =，1DE B F =，然后根据投影图形结论． 【详解】因为平面1BED F平面ABCD BE =，平面1BED F平面11111A B C D D F =，平面1111D C B A //平面ABCD ，所以1//BE D F ，同理1//D E BF ，所以截面1AED F 是平行四边形，所以1BE D F =，所以1A F CE =，从而1B F DE =，截面1BED F 在平面1111D C B A 上的正投影是以CE 为底，高为1的平行四边形，在平面11ABB A 上的正投影是以DE 为底，高为1的平行四边形，因此两个投影的面积和为()11S CE DE =+⨯=为定值．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间投影问题，解题关键是确定截面的形状，然后由正方体性质确定下面投影的形状，最后求出面积和得结论．15．A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1， 故其表面积为()213333112242+⨯⨯⨯+⨯=， 故选：A.16．A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ， 该等腰梯形的上底为2，下底为22，腰长为1，故梯形的高为1212-=， 故()1111123222122ABCD A B C D V -=⨯+⨯⨯=， 故选：A.17．C【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项．故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．18．A【详解】试题分析：因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A.考点：空间几何体的三视图.19．2【详解】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，因此所求四棱锥的体积1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2． 【考点】三视图、几何体的体积【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． ②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．20．40.【分析】本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【点睛】 (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．。

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．48B．72C．12D．24【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4，所以该几何体的体积为=24，故选D．【考点】三视图，简单几何体体积公式2.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据所给侧视图和俯视图，该三棱锥的直观图如下图所示.从俯视图可知，三棱锥的顶点A在底面内的投影O为边BD的中点，所以AO即为三棱锥的高，其体积为.选D.【考点】三角函数图象的变换.3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．2＋＋B．2(1＋)＋C．D．2＋＋【答案】A【解析】由三视图易知原几何体为水平放置的直三棱柱．底面为直角三角形，直角边长分别为1和，斜边长为．三棱柱的高为．故该几何体的表面积为2＋2＋．4.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．【答案】2(π＋)【解析】由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π．两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．5.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，= .【答案】【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，底面是面积为的矩形，高为，所以，解得.【考点】三视图，空间几何体的体积.6.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．4D．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一四棱锥，其底面正方形边长为，高为，故其体积为，选.【考点】1、三视图；2、几何体的体积.7. [2013·四川高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D【解析】由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A、B.故选D.8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A．πB．πC．πD．π【答案】B【解析】设球半径是R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱,记上、下底面的中心分别是O1,O,易知球心是线段O1O的中点,于是R2=+=,因此所求球的表面积是4πR2=4π×=,选B.9.如图，某几何体的三视图都是等腰直角三角形，则几何体的体积是（）A．8B．7C．9D．6【答案】C【解析】由三视图可知,几何体是底面为等腰直角三角形,有一侧棱与底面垂直(垂足在非直角处)的三棱锥,其底面面积为×6×3=9,三棱锥的高为3,所以三棱锥的体积=×9×3=9．10.在三棱锥中，，平面ABC, ．若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为。

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的四分之一，其底半径为，高为，所以其体积为，故选.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.2.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积和，即，∴．【考点】空间几何体的体积．3.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=（4-R）2+（3）2，解得：R=，故选C.【考点】三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是()A．16πB．14πC．12πD．8π【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个球挖去了剩下的部分．其中两个半圆的面积为π×22＝4π．个球的表面积为×4π×22＝12π，所以这个几何体的表面积是12π＋4π＝16π，选A．5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．【答案】48【解析】由三视图可知，该几何体上面是个长、宽、高分别为4、2、2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，四棱柱的高为4，底面是个梯形，上、下底分别为2、6，高为2．所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4××2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48．6.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A．B．C．D．7【答案】A【解析】由题意，该多面体的直观图是一个正方体挖去左下角三棱锥和右上角三棱锥，如下图，则多面体的体积.故选A.【考点】1.多面体的三视图与体积.7.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】三视图可知：原几何体是一个小蘑菇形状，且上面是半径为4半球；下面是一个长方体，其底面是边长为2的正方形，高为3．∴该几何体的体积，故选D．【考点】三视图，空间几何体的体积.8.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图知，几何体为底面半径为1，高为3的圆柱挖去一个与圆柱同底，高为2的圆锥，所以几何体的表面积故选【考点】几何体的三视图；几何体的表面积.9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥的一半，故其体积为.选.【考点】三视图，圆锥的体积.10.某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .【答案】【解析】综合三视图可知，，立体图是一个半径r=1的半个球体。

空间几何体的三视图和直观图一、探究探究一：直观图1.如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。

把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。

探究二：斜二测画法1.斜二测画法的方法步骤：①在己知图形中建立直角坐标系xOy ,画直观图时，把x轴、y轴画成对应的x'轴和y'轴，两轴交于点。

'，使，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x'轴和y'轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中,平行于y轴的线段，.2.空间几何体直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个z轴，Zxoz = 90\其直观图中对应于z轴的是z'辄Zx'oz'= 90°, 平行于z轴的线段，在直观图中画成于z'轴，长度.二、自我检测1.下列结论正确的有____________________①相等的线段在直观图中仍然相等。

②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。

③矩形的直观图是矩形。

④圆的直观图一定是圆。

⑤角的水平放置的直观图一定是角。

2.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm,若AB//.r轴，则画出直观图后对应的线段A'3' =,若AB//y轴，则画出直观图后对应的线段A'3'=。

3.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Qx > Oy >Oz轴画成对应的O'x > O'y', O'z ,作匕&/与匕x'O'z'的度数分别为（）A. 90°,90° B. 45°4.如图，△A'8'C'是ZkABC的直观图，那么△ ABC >A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形三、应用示例例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。

2022版高考数学大一轮复习课时作业41《空间几何体的结构特征及三视图与直观图》一、选择题1.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )3.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C 上的正投影是( )4.《九章算术》中记载了一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A.3B.3.1C.3.14D.3.25.如图，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知A′B′∥y′轴，O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为( )A.2 2B. 2C.16 2D.16.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.2B.4C.6D.87.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A.8－2π3B.4－π3C.8－π3D.4－2π38.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )9.榫卯(s ǔn m ǎo)是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积为( )A.10B.12C.14D.1610.已知点E ，F ，G 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1，DD 1的中点，点M ，N ，Q ，P 分别在线段DF ，AG ，BE ，C 1B 1上.以M ，N ，Q ，P 为顶点的三棱锥P ­MNQ 的俯视图不可能是( )11.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.6＋334B.152C.6＋ 3D.8 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.2 3B.3C. 6D. 5二、填空题13.如图，点O 为正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为平面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的射影可能是 .(填出所有可能的序号)14.已知正四棱锥V ­ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱长为211，则该棱锥的高为 .15.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处.若该小虫爬行的最短路程为4 3 m ，则圆锥底面圆的半径等于 .。

2022高考数学总复习练习-8-1简单几何体及其三视图和直观图一、选择题1．(2010·陕西理)若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是( )A.13 B.23 C.1 D.2[答案] C[解析] C 该几何体是如下图所示的直三棱柱V ＝12×1×2×2＝1.2．下列命题中：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆，其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 命题①、②都对，命题③一个平面与球相交，其截面是一个圆面，故选C.[点评] 要注意球与球面的区别．3．(2011·湖南理，3)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18[答案] B[解析] 本小题考查内容为几何体的三视图与体积的运算． 由三视图知，该几何体为一个球与一个正四棱柱．∴V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.4．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1如下图所示，以四边形BCC 1B 1的前面为正前方画出的三视图正确的是( )[答案] A[解析] 主视图为矩形，左视图为三角形，俯视图为两个有公共边的矩形，公共边为CC 1在面ABB 1A 1内的投影，故选A.5．(2011·新课标理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图能够为( )[答案] D[解析]本题考查了三视图及空间想象能力．依题意，几何体一半为圆锥，一半为三棱锥，如上图，故选D.6．(文)(2011·广东文，7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10[答案] D[解析]本题要紧考查学生的空间想象能力．正五棱柱有五个对角面，每个面有两条对角线，因此一个正五棱柱有10条对角线．(理)(2011·广东理，7)如下图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图差不多上矩形，则该几何体的体积为()A．6 3 B．9 3C．12 3 D．18 3[答案] B[解析]本题考查三视图以及棱柱的体积．由三视图以及图中数据可知，此几何体为平行六面体，它的底面是边长为3的正方形，它的侧棱长为2，它的高h＝22－12＝ 3.∴V＝sh＝3×3×3＝93，选B.二、填空题7．(2011·辽宁理，15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则那个矩形的面积是________．[答案] 2 3[解析] 本小题考查内容为几何体的三视图． 设边长为a ，∴S 底面＝34a 2， ∴V ＝34a 3＝23，∴a ＝2， ∴俯视图的高为3，∴S 矩形＝2 3.8．球面上三点A 、B 、C ，AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，则球半径为________．[答案] 10 3[解析] ∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC 为直角， ∴AC 为球小圆的直径，设球半径为R ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋152＝R 2，∴R ＝10 3.三、解答题9．(文)已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.(1)依照差不多给出的此四棱锥的主视图，画出其俯视图和左视图．(2)证明：平面PAD⊥平面PCD.[解析](1)(2)∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.(理)(2020·四平模拟)已知正三棱锥V—ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．[解析](1)直观图如下图所示．(2)依照三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中 VA ＝42－(23×32×23)2＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.一、选择题1.如图，△O ′A ′B ′是△OAB 水平放置的直观图，则△OAB 的面积为( )A ．6B ．3 2C ．6 2D ．12[答案] D[解析] 若还原为原三角形，则易知OB ＝4，OA ⊥OB ，OA ＝6， ∴S △AOB ＝12×4×6＝12.2．(2011·重庆文，10)高为2的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A.102B.2＋32C.32D. 2[答案] A [解析]该题考查球的内接几何体的有关运算问题，通过球为载体，考查学生空间想象力和推理运算能力．如图所示，设球心为O ，底面ABCD 的中心为O ′，则SO ′为所求．作SH⊥底面ABCD，则SH＝2，连接OO′，则OO′⊥底ABCD，∴SH∥OO′在Rt△AO′O中，OA＝1，AO′＝2 2，∴OO′＝2 2.又四边形SHO′O为直角梯形，过O作OE⊥SH，则SE＝2 2.又OS＝1，∴OE＝22，即O′H＝22，∴SO′＝2＋(22)2＝52＝102.二、填空题3．(2020·长沙模拟)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．则用________个如此的几何体能够拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]由三视图知：该几何体是一个底面是边长为4的正方形，一侧棱垂直于底面，长也为4的四棱锥，如上图所示：由题意，一个边长为4的正方体能够分割成若干个上图所示的几何体，如图可分割为四棱锥O—ABCD，四棱锥O—CDFG，四棱锥O—CBFG，即需要3个如此的几何体能够拼成一个棱长为4的正方体．4．(2020·通州模拟)已知某个几何体的三视图如下图所示，依照图中标出的尺寸(单位：cm)，可得那个几何体的体积是________cm3.[答案] 80003[解析] 几何体的直观图如下图S －ABCD .且知面SCD ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于E ，得SE ⊥面ABCD ，SE ＝20cm ，∴V S －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SE ＝80003cm 3. 三、解答题5．某几何体的三视图如下图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．(1)依照三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC.[解析](1)由三视图可得几何体是以2为底面边长，高为2的正四棱锥，如图所示．(2)①连接BD交AC于O，连接OG，在△BDP中，PD∥OG，又PD平面AGC中，因此PD∥平面AGC；②连接PO，则PO⊥平面ABCD，则PO⊥AC，又AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，又AC平面AGC，因此平面PBD⊥平面AGC.6.如下图所示，正四棱台AC′的高是17cm，两底面的边长分别是4cm 和16cm，求那个棱台的侧棱长和斜高．[分析]由于棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的，因此正棱锥中的有关直角三角形对应到正棱台中将转化为直角梯形，只要找出包含侧棱和斜高的直角梯形即可求解．[解析]设棱台两底面的中心是O′和O，B′C′、BC的中点分别是E′、E.连接O′O、E′E、OB、O′B′、O′E′、OE，则四边形OBB′O′、OEE′O′差不多上直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16cm，则OB＝8 2 cm，OE＝8 cm.在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm.则O′B′＝2 2 cm，O′E′＝2 cm.在直角梯形O′OBB′中，B′B＝O′O2＋(OB－O′B′)2＝172＋(82－22)2＝19 cm.在直角梯形O′OEE′中，E′E＝O′O2＋(OE－O′E′)2＝172＋(8－2)2＝513 cm.因此那个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为513 cm.7．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.[解析](1)该安全标识墩侧视图如上图所示． (2)该安全标识墩的体积 V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝13×40×40×60＋40×40×20 ＝64000(cm)3.(3)由题设知四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，∴FH ⊥EG ， 又ABCD －EFGH 为长方体，∴BD ∥FH . 设点O 是EFGH 的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH.而FH平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO平面PEG，EG平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.。