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高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。
安徽大学附属中学2008-2009高一(下)数学期中考试试卷(必修5 模块)考试时间：100分钟 试卷满分：100分1、已知等差数列｛a n ｝的通项公式,4,554==a a ,则a 9等于( ). A 、1 B 、 2 C 、 0 D 、 32、不等式0322≤+--x x 的解集为（ ）A 、}13|{-≤≥x x x 或B 、}31|{≤≤-x xC 、}13|{≤≤-x xD 、}13|{≥-≤x x x 或 3、已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在ABC ∆中，已知a=1、b=2，C=120°,则c=（ ） A 、 3 B 、 4 C 、7 D 、 35、已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为 （ ） （A ）140 （B ）280 （C ）168 （D ）566、若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是A ．18B ．6C ．23D ．2437、在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于(A )1∶2∶3 (B )3∶2∶1 (C )2∶3∶1 (D )1∶3∶2 8、等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2—11x +9=0的两个根，则a 6=（ ）A ．3B ．611C ．± 3D ．以上皆非9、已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ）A ．m ＜－7或m ＞24B ．－7＜m ＜24C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 2410、在三角形ABC 中，如果()()3a bc b c a bc +++-=，那么A 等于A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 二、填空题（每题4分，共16分）11、若21<<-a ，12<<-b ，则a －b 的取值范围是12、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC 的面积等于 。
人教A版9.1.2分层随机抽样课前检测一、单选题1．某学校有高中学生1000人，其中高一年级､高二年级､高三年级的人数分别为320，300，380为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（）A．60 B．64 C．76 D．1362．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（）A．18人B．36人C．45人D．60人3．某单位共有职工300名，其中高级职称90人，中级职称180人，初级职称30人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为（）A．6 B．9 C．18 D．364．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）．A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法5．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法中所有正确的序号有（）①甲应付4151109钱；②乙应付2432109钱；③丙应付5616109钱；④三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④6．下列抽样问题中最适合用简单随机抽样法抽样的是（）A ．从全班46人中抽取6人参与一项问卷调查B ．某企业为了解该企业职工的身体健康情况，从职工（其中老年职工有180人，中青年职工有320人）中抽取50人进行体检C ．某灯泡厂从一条生产线上生产的10000个灯泡中抽取100个测试灯泡的使用时长D ．某市从参加高三第一次模拟考试的3000名考生中抽取120名考生分析试题作答情况7．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取140人，则n 为（ ）A ．300B ．250C ．200D ．1508．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6∶5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为20n 的样本，若样本中男生比女生多9人，则n （ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．1980 9．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒饼干中抽取4盒进行食品卫生检查.②报告厅有25排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请25名听众进行座谈.③某中学共有360名教职工，其中一般教师280名，行政人员55名，后勤人员25名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为72的样本.较为合理的抽样方法是（ ）A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样10．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有20名．现用分层抽样的方法在这50名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名， 则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题11．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有______人．12．某学校共有学生3000人，其中高一年级800人，高二年级1200人，高三年级1000人.为了了解该校学生的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若从高一年级抽取了160人，则应从高二年级抽取__________人.13．某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、20条、40条、40条、20条,现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的青鱼与鲤鱼共有______条．14．某林场共有白猫与黑猫1000只，其中白猫比黑猫多400只，为调查猫的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中黑猫有6只，则n=__________．三、解答题15．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析.（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；16．2020年，新冠病毒在世界肆虐，造成很多行业前景不如从前，国家最近调查了A，B，C三类工种的复工情况，在调查的所有职工中，A工种占40%，B工种占50%，C 工种占10%．现用分层抽样的方法从调查的全体职工中抽取一个容量为n的样本．试确定：n=，则在A工种、B工种、C工种中分别应抽取多少人？（Ⅰ）若200（Ⅱ）若抽取的A工种比C工种多30人，则抽取的B工种有多少人？参考答案1．A【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出抽取高二年级学生的人数即可.【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为2001 10005=，则高二年级抽取的人数是30015⨯=60人，故选：A．2．B【分析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人. 【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：301= 1505，∴抽取的男生人数为：1 180365⨯=.故选：B.3．C【分析】计算出抽取高级职称人数所占的抽样比乘以样本容量可得答案.【详解】依题意得：高级职称人数、中级职称人数、初级职称人数的比为90:180:303:6:1=，高级职称人数的抽样比310，采用分层抽样方法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为3601810⨯=人.故选：C. 4．D 【分析】根据总体由男生和女生组成，个体有明显差异求解.【详解】总体由男生和女生组成，比例为50040054=::，所抽取的比例也是5:4，故选：D ．5．D【分析】 先求出抽样比为10109，再利用分层抽样求解. 【详解】 依题意，抽样比为10010560+350180109=+. 由分层抽样知识可知， 甲应付10109×560＝5141109钱，故①正确； 乙应付10109×350＝3212109钱，故②不正确； 丙应付10109×180＝1656109钱，故③正确. 显然5141109＞3212109＞1656109，故④正确. 故选：D.6．A【分析】根据简单随机抽样、系统抽样以及分层抽样的特征逐一判断即可得出选项.【详解】对于A ，样本容量较少，适合简单随机抽样；对于B ，研究对象有明显的分层现象，适合分层抽样；对于C 、D ，研究对象中的个体容量较大，适合系统抽样；故选：A7．C【分析】 根据分层抽样的比例，由15001403500140n -=求解.由题意得：15001403500140n -=， 解得200n =，故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.8．D【分析】根据分层抽样的性质结合已知进行求解即可.【详解】 因为按分层抽样的方法抽取一个样本容量为20n 的样本，男生数与女生数之比为6∶5， 所以抽取的男生数与女生数分别为：65,20112011n n ⋅⋅， 又因为样本中男生比女生多9人， 所以有659198*********n n n ⋅-⋅=⇒=. 故选：D【点睛】本题考查了分层抽样的有关性质，属于基础题.9．A【分析】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义和特点，以及适用范围，即可判断．【详解】对于①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；②总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，选25人刚好25排，每排选一人，宜用系统抽样；③总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样．故选：A ．【点睛】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义，特点以及适用范围的理解与应用，属于容易题．【分析】根据分层抽样比即可求解.【详解】根据题意，由分层抽样知识可得：在高二年级的学生中应抽取的人数为：620430⨯=，故选：C．11．8100【分析】先设出北乡人，再根据分层抽样的方法列出式子，即可求解. 【详解】解：设北乡有x人，根据题意得：10830010874886912x-=+，解得：8100x=，故北乡共有8100人.故答案为：8100.12．240【分析】根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级人数与高二年级人数之比计算可得.【详解】分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为800:1200=2:3,所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为2:3,因为高一年级抽取的人数为160,所以高二年级抽取的人数为160×32=240人.故答案为:240【点睛】本题考查了分层抽样,属于基础题. 13．6【分析】先求出抽样比,再用样本容量乘以抽样比可得.【详解】总体容量为:8020404020200++++=,抽样比为:20403802040402010+=++++, 所以青鱼与鲤鱼共有:32010⨯6=, 故答案为:6.【点睛】本题考查了分层抽样,属基础题.14．20【详解】由题意，白猫、黑猫分别有700,300只， 由分层抽样的特点，得61000300n = ，解得20n =. 故答案为：20.15．（1）见解析；（2）92.4【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样， 由题意，从示范性高中抽取2000100405000⨯=人， 从非师范性高中抽取3000100605000⨯=人； （2）由频率分布直方图估算样本平均分为(600.005800.0181000.021200.0051400.002)2092.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．16．（Ⅰ）、、A B C 工种分别抽取80、100、20人；（Ⅱ）50人． 【分析】（Ⅰ）频数=样本容量×频率可得结果；（Ⅱ）根据40%10%30n n -=求出n ，再根据频数=样本容量×频率可得结果.【详解】（Ⅰ）A 工种应抽取的人数为20040%80⨯=，B 工种应抽取的人数为20050%100⨯=，C 工种应抽取的人数为20010%20⨯=，（Ⅱ）若抽取的A 工种比C 工种多30人，则40%10%30n n -=，解得100n =．故抽取的B 工种有50%10050%50n ⋅=⨯=人．【点睛】本题考查了由分层抽样求样本容量和各层容量，属于基础题.。
[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？ 解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组 能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2， 且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。
2022版人教A版高中数学必修第二册--专题强化练4空间几何体的内切球和外接球一、选择题1.(2020内蒙古呼和浩特第二中学高一上期末,)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,则球O的表面积为()A.32π3B.32πC.64πD.64π32.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高一上期末,)如图,正四棱锥P-ABCD 的侧棱和底面边长都等于2√2,则它的外接球的表面积为()A.16πB.12πC.8πD.4π3.(2020安徽合肥六校联盟高二上期末,)已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O与圆锥的底面和侧面均相切,设球O的体积为V1,圆锥的体积为V2,则V1V2=()A.18B.38C.14D.8274.()设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12√3B.18√3C.24√3D.54√35.()在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6πD.32π36.(2020江西高安中学高一上期中,)已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,侧棱AB=2√3,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是()A.[5π4,4π] B.[2π,4π]C.[9π4,4π] D.[11π4,4π]二、填空题7.(2020湖南郴州高一上期末,)如图所示,边长为2的正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2,G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S-EFG,使G1、G2、G3三点重合,重合后记为点G,则三棱锥S-EFG的外接球的表面积为.8.(2020安徽合肥高三一模,)如图,已知四棱锥P-ABCD的外接球O的体积为36π,PA=3,侧棱PA与底面ABCD垂直,四边形ABCD为矩形,点M在球O的表面上运动,则四棱锥M-ABCD体积的最大值为.9.(2020广东中山第一中学高一上第二次段考,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为.10.(2020广东广州白云高三下模拟,)将半径为r的5个球放入由一个半径不小于3r的球和这个球的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的五个空间内,若此正四面体的棱长为2√6,则r的最大值为.答案全解全析一、选择题1.D过球心O作底面ABC的垂线,垂足为O',易知OO'=2,O'A=23×2×√32=2√33.易知OA2=OO'2+O'A2,所以OA=√4+43=√3,所以球O的表面积S=4π·OA2=64π3.故选D.2.A设正四棱锥外接球的球心为O,半径为R,正四棱锥底面的中心为O1,则O在正四棱锥的高PO1上.连接AC,在直角三角形ABC中,AC=√2AB=√2×2√2=4,所以AO1=2,所以正四棱锥的高PO1=√AP2-AO12=√(2√2)2-22=√8-4=2,因为PO1=AO1,所以O与O1重合,即正四棱锥外接球的球心是底面的中心O1,且球的半径R=2,故球的表面积S=4πR2=16π.故选A.3.B该几何体的轴截面如图所示,设球O的半径为r.易得圆锥的高为√52-32=4,故S△SAB=12×6×4=12×(5+5+6)r,解得r=32,故V1=43π×r3=9π2,V2=13π×32×4=12π,故V1V2=9π2×112π=38.4.B设△ABC的边长为a,则S△ABC=12a·a·sin 60°=9√3,所以a=6.设△ABC的外接圆的半径为r,则2r=6sin60°,得r=2√3,则球心到平面ABC的距离为√42-(2√3)2=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×9√3×6=18√3,故选B.5.B易得AC=10.设△ABC的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)×r,所以r=2,因为2r=4>3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,此时球的直径为3,则半径R=32,所以球的体积V=43πR3=9π2.故选B.解题反思要使球的体积取最大值,则该球的半径应取到最大值,即该球与三棱柱的侧面或底面内切,因此需要讨论底面三角形内切圆直径与三棱柱高的关系,从而确定出球的半径的最大值.6.B设△BCD的中心为O1,球O的半径为R,连接AO1,则O在AO1上.连接O1D,OD,O1E,OE,如图,=√3,则O1D=3×sin 60°×23则AO1=√AD2-O1D2=√12-3=3.在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2.∵BD=3BE,∴DE=2.在△DEO1中,O1E=√3+4-2×√3×2×cos30°=1,∴OE=√O1E2+OO12=√1+1=√2.过点E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的面积最小,此时,截面圆的半径为√22-(√2)2=√2,面积为2π;当截面过球心时,截面圆的面积最大,最大面积为4π.故选B.二、填空题7.答案6π解析设三棱锥S-EFG外接球的半径为R.由题意可知,SG⊥EG,SG⊥GF,GE⊥GF,所以将三棱锥S-EFG补成如图所示的长方体,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球.因为SG=2,GE=GF=1,所以外接球的直径2R=√22+12+12=√6,即R =√62.所以三棱锥S -EFG 的外接球的表面积S =4πR 2=6π.8.答案814解析 设球O 的半径为R ,则43πR 3=36π,故R =3.由题易知PA ,AB ,AD 两两垂直,所以将四棱锥P -ABCD 补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则c =3,因为a 2+b 2+32=62,所以a 2+b 2=27,又a 2+b 2≥2ab ,所以ab ≤272,当且仅当a =b =3√62时,等号成立.要使得四棱锥M -ABCD 的体积最大,只需点M 为平面ABCD 的中心O'与球心O 连线所在的直线与球的交点(点M 、O'在球心O 两侧), 又OO'=12PA =32,所以四棱锥M -ABCD 体积的最大值为13×272×(32+3)=814.9.答案400π3cm 2解析 如图1,连接OE 交AB 于点I.图1设正方形的边长为x cm , 则OI =x2 cm ,IE =(12-x2)cm .因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍,所以4×x 2×(12-x2)=2x 2,所以x =8.设E ,F ,G ,H 重合于点P ,该四棱锥的外接球的球心为Q ,如图2,图2易知OC =4√2 cm ,PC =EA =√82+42=4√5 cm ,所以OP =√PC 2-OC 2=4√3 cm . 设外接球的半径为R cm , 则R 2=(4√3-R )2+(4√2)2,所以R =10√33,所以外接球的表面积S =4π×(10√33)2=400π3(cm 2).10.答案 1解析 如图1,设△BCD 的中心为O 1,则正四面体的外接球球心O 在AO 1上,连接OD ,O 1D.图1则O 1D =23×CD ×√32=2√2,AO 1=√AD 2-DO 12=4,设外接球的半径为R ,则R 2=(AO 1-R )2+DO 12,解得R =3.设正四面体A -BCD 内切球的半径为r 1,根据等体积法可得13r1×12×(2√6)2×sin 60°×4=13×12×(2√6)2×sin 60°×4,故r 1=1,根据题意得R =3≥3r ,r ≤r 1,所以r ≤1.设OO 1与球O 的球面相交于点Q ,如图所示,画出截面图,O 1Q =R -OO 1=2≥2r ,故r ≤1.综上所述,r的最大值为1.图2。
单元提分卷（6）等比数列1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24 B.0C.12D.242、已知等比数列{}n a 中, 13a =,且1234,2,a a a 成等差数列,则345a a a ++=( ) A.33B. 72C. 84D. 1893、等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=( )A.12B.10C.8D.32log 5+4、若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.65、在等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若51T =，则下列一定正确的是（ ） A. 11a = B. 31a = C. 41a = D. 51a =6、设数列{}n a ,( ).A.若2*4,,n n a n N =∈则{}n a 为等比数列. B.若2*21,n n n a a a n N ++⋅=∈,则{}n a 为等比数列. C.若*2,,m n m n a a m n N +⋅=∈,则{}n a 为等比数列. D.若*312,n n n n a a a a n N +++⋅=⋅∈,则{}n a 为等比数列.7、三个数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则,,a b c 间的关系为( ). A. b a c b -=-B. 2b ac =C. a b c ==D. 0a b c ==≠8、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )A. 3,9b ac ==B. 3,9b ac =-=C. 3,9b ac ==-D. 3,9b ac =-=-9、在等比数列{}n a 满足135a a +=,且公比2q =,则35a a +等于( ). A.10 B.13 C.20 D.25 10、在等比数列{}n a 中，首项10a <,要使数列{}n a 对任意正整数n 都有1n n a a +>,则公比q 应满足( ). A. 1q > B. 01q << C.112q << D. 10q -<<11、已知等比数列{}n a 中, 12451,8a a a a +=+=-则公比q 等于( ). A.-2 B.2 C. 23- D.3212、设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=,则12n a a a 的最大值为__________13、若三个正数,,a b c 成等比数列,其中5a =+5c =-则b =__________. 14、已知数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q =__________15、三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列,且22,1,a b 依次成等比数列,则11a b+=__________ 16、首项为3的等比数列的第n 项是48,第23n -项是192,则n =__________答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析： 答案：C解析：由题意可设公比为q ，则21344a a a =+， 又13a =，∴2q =.∴223451134124()(84)a a a a q q q ++⨯⨯++++===.3答案及解析： 答案：B解析：564756189a a a a a a +=∴=,()313231031210log log log log a a a a a a +++=()53563log 5log 910a a ===.4答案及解析： 答案：B解析：111192,(),383n n n a a q --=∴=⋅则128()327n -=，13n ∴-=，即4n =.5答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得123451a a a a a ⋅⋅⋅⋅=, 即15243()()1a a a a a ⋅⋅⋅⋅=,又215243()()a a a a a ⋅=⋅=,所以531a =,得31a =6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：D解析：一个数列既是等差数列又是等比数列，那它一定是常熟数列，但要注意的是等比数列中不能有0.8答案及解析： 答案：B 解析：9答案及解析： 答案：C 解析：10答案及解析： 答案：B解析：()11110n n n a a a q q -+-=->对任意正整数n 都成立,而10a <只能01q <<11答案及解析： 答案：A 解析：12答案及解析：答案：64 解析：13答案及解析： 答案：1解析：∵,,a b c 成等比数列,∴((25525241b ac ==+⋅-=-=. ∵ b 为正数,∴1b =.14答案及解析： 答案：1 解析：15答案及解析： 答案：2± 解析：16答案及解析： 答案：5 解析： 设公比为q ,则1212424348163192644n n n n q q qq q ----⎧⎧==⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎩⎩,得2q =±.由()1216n -±=,得5n =.。
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &肥西农兴中学2010～2011学年第二学期高一年级期中考试数学试卷注意事项：1、本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2、试卷共8页，其中第1～4页为试卷，第5～8页为答题卷，请考生在答题卷上答题，在试卷上答题无效！3、请考生在答题卷规定的位置填写班级、姓名和考号，交卷时只交答题卷。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
)1、数列1，－3，5，－7，9，……的一个通项公式为 （ ） A 、12-=n a nB 、 )21()1(n a nn --=C 、)12()1(--=n a nn D 、)12()1(+-=n a nn 2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =（ ）A ．21-B ．－2C ．2D ．21 3．若ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ）A. －14B. 14C. －23D. 234．设0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．a b > D ．22b a > 5．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783bb ⋅=，则3132log log b b ++…314log b +等于（ ）A 、5B 、6C 、7D 、86．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、237．不等式2320x x -+<的解集为（ ）()()()()()().,21,.2,1.,12,.1,2A B C D -∞--+∞---∞+∞U U8．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形9．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为（ ）& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &班级 姓名 考号_________________装订线内不要答题◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆A 、m 3400 B 、m 33400 C 、m 33200 D 、m 320010．等差数列{}n a 和 {}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且132+=n nT S n n ，则55b a ＝ （ ）A 、32 B 、149 C 、 3120 D 、 9711．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根，则20072008a a +的值是（ ）A 、 18B 、 19C 、 20D 、 2112．在△ABC 中，B=30°，AB=23，AC=2，那么△ABC 的面积是（ ）A.23B. 3C.23或43D. 3或23二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2022版人教A 版高中数学选择性必修第二册--4.3.2 等比数列的前n 项和公式第1课时 等比数列前n 项和及其应用基础过关练题组一 求等比数列的前n 项和 1.在等比数列{a n }中,a 1=2,a 2=1,则S 100等于 ( ) A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-1002.(2021湖北荆州沙市中学高二上期末)若a ,4,3a 为等差数列的连续三项,则a 0+a 1+a 2+…+a 9的值为 ( )A.2 047B.1 062C.1 023D.5313.(2021江苏无锡一中高二上期中)等比数列{a n }的各项均为正实数,其前n 项和为S n ,若a 3=4,a 2·a 6=64,则S 5= ( ) A.32 B.31 C.64 D.634.等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n = ( )A.1-x n 1-xB.1-x n -11-xC.{1-x n1-x,x≠1且x ≠0n ,x =1D.{1-x n -11-x ,x≠1且x ≠0n ,x =15.(2020天津津南高三上期末)在数列{a n }中,a 1=1,2a n +1=a n (n ∈N *),记{a n }的前n 项和为S n ,则 ( )A.S n =2a n -1B.S n =1-2a nC.S n =a n -2D.S n =2-a n6.(2020广西柳州高二上期末)在等比数列{a n }中,公比q =12,a 2a 4=2a 5,则数列{a n }的前5项和S 5= .7.在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及其前n项和.8.(2021河南焦作高二上期末)已知等比数列{a n}的公比q=-2,且a3,-a4,a5-4成等差数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=a2n-1,求数列{b n}的前n项和S n.题组二等比数列前n项和的应用9.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S20=(210+1)S10,则数列{a n}的公比为()A.4B.2C.1D.1210.(2021江苏江阴一中高二上期中)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ()A.19B.-19C.13D.-1311.(2020广东中山高二上期末)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2=2,S6-S4=6a4,则a5= ()A.4B.10C.16D.3212.(2021天津一中高二上期末)记S n为递增等比数列{a n}的前n项和,若S1=1,S4=5S2,则a n=.13.(2020天津耀华中学高二上期中)等比数列{a n}中,S n为其前n项和,若S n=3×2n+a,则a=.14.(2020山东临沂高二上期末)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=.15.(2021山东菏泽郓城一中高二上期末)已知等差数列{a n}满足a3=7,a2+a6=20.(1)求{a n}的通项公式;(2)若等比数列{b n}的前n项和为S n,且b1=a1,b32=a6,b n+1>b n,求满足S n≤2 021的n 的最大值.能力提升练题组一 求等比数列的前n 项和 1.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知数列{a n },{b n }满足a 1=b 1=1,a n +1-a n =b n+1b n=2(n ∈N *),则数列{b a n }的前n 项和为 ( )A.43(4n -1-1)B.43(4n -1)C.13(4n -1-1) D.13(4n -1) 2.(2020湖南师大附中高二期末,)已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1= ( )A.16(1-4-n )B.16(1-2-n )C.323(1-4-n )D.323(1-2-n ) 3.(2020天津滨海新区高二上期末,)数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n -1,…的前n 项和为T n ,则T n = ( )A.2n +1-nB.2n +1-n -2C.2n -nD.2n 4.(2020辽宁鞍山一中高二期中,)设f (n )=2+23+25+27+…+22n +7(n ∈N *),则f (n )=( )A.23(4n -1) B.23(4n +1-1)C.23(4n +3-1)D.23(4n +4-1) 5.()已知{a n }为等差数列,各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ,且2a 1=b 1=2,a 2+a 8=10, .在①λS n =b n -1(λ∈R);②a 4=S 3-2S 2+S 1;③b n =2λa n (λ∈R)这三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,并完成下面的问题. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a n+b n}的前n项和T n.题组二等比数列前n项和的应用6.(2021湖南岳阳平江一中高二上期末,)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S na n=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-17.(2021湖北荆州中学高二上期末,)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S10S5=1 2 ,则S15S5= ()A.12B.13C.23D.348.(多选)()已知等比数列{a n}是递增数列,其公比为q,前n项和为S n,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列{S n+2}是等比数列C.S8=510D.数列{lg a n}是公差为2的等差数列9.(多选)()已知等比数列{a n}的公比为q,首项为a,前n项和为S n,则下列结论错误的是 ()A.若a>0,则a n S n>0B.若q>0,则a n S n>0C.若a<0,则a n S n<0D.若q<0,则a n S n<010.(2020浙江温州新力量联盟高一下期末联考,)已知数列{a n}满足:a1=1且a n+1=2a n+1.(1)证明:数列{a n+1}为等比数列;}的前n项和为T n,证明:T n<2.(2)记数列{1a n答案全解全析基础过关练1.C 设等比数列{a n }的公比为q ,则q =a 2a 1=12.因此,S 100=a 1(1-q 100)1-q =2×[1-(12)100]1-12=4(1-2-100)=4-2-98.故选C .2.C ∵a ,4,3a 为等差数列的连续三项, ∴a +3a =2×4,解得a =2. 故a 0+a 1+a 2+…+a 9=20+21+22+…+29=1-2101-2=1 023.故选C .3.B 设数列{a n }的公比为q , 则{ a 1·q 2=4,a 1q ·a 1q 5=64,a 1>0,q >0,解得{a 1=1,q =2, 所以S 5=1×(1-25)1-2=31.故选B .4.C 易知x ≠0,当x =1时,S n =n ;当x ≠1时,S n =1-x n 1-x.∴S n ={1-x n1-x ,x≠1且x ≠0,n ,x =1.5.D ∵2a n +1=a n (n ∈N *),∴a n +1=12a n , 又a 1=1,∴数列{a n }是以1为首项,12为公比的等比数列,∴a n =(12)n -1,∴S n =1-12n 1-12=2-12n -1=2-a n .故选D.6.答案318解析 由a 2a 4=2a 5,得a 12q 4=2a 1q 4,又q =12,a 1≠0,∴a 1=2,∴S 5=a 1(1-q 5)1-q =2×[1-(12)5]1-12=4×(1-132)=318.7.解析 设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n . 由已知可得{a 2-a 1=2,4a 2=3a 1+a 3,即{a 1q -a 1=2,4a 1q =3a 1+a 1q 2,解得{a 1=1,q =3. 则S n =a 1(1-q n )1-q =1×(1-3n )1-3=3n -12.故数列{a n }的首项为1,公比为3,前n项和为3n -12.8.解析 (1)因为a 3,-a 4,a 5-4成等差数列, 所以a 3+a 5-4=-2a 4,又{a n }是公比为-2的等比数列, 所以4a 1+16a 1-4=-2×(-8)×a 1, 解得a 1=1,所以a n =a 1q n -1=(-2)n -1. (2)由(1)可得b n =(-2)2n -2=4n -1,所以数列{b n }是首项为b 1=40=1,公比为4的等比数列, 所以S n =1×(1-4n )1-4=4n -13.9.B 设等比数列{a n }的公比为q ,由题得q >0且q ≠1,所以a 1(1-q 20)1-q =(210+1)×a 1(1-q 10)1-q,所以1-q 20=(210+1)×(1-q 10),所以1+q 10=210+1,解得q =2或q =-2(舍去),故选B.10.A 设{a n }的公比为q ,则a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1,∴q 2=9.又∵a 5=a 1q 4=9,∴a 1=19.故选A .11.C 设等比数列{a n }的公比为q ,则q >0.由S 6-S 4=6a 4得,a 6+a 5=6a 4,又a 4≠0,∴q 2+q -6=0,解得q =2或q =-3(舍去),∴a 5=a 2q 3=2×23=16.故选C . 12.答案 2n -1解析 设数列{a n }的公比为q ,则q >0且q ≠1. ∵S 1=1,S 4=5S 2,∴{a 1=S 1=1,a 1(1-q 4)1-q=5×a 1(1-q 2)1-q,∴a 1=1,q =2, ∴a n =2n -1. 13.答案 -3解析 解法一:∵S n =3×2n +a , ∴当n =1时,a 1=S 1=6+a ;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3×2n +a )-(3×2n -1+a )=3×2n -1,∴a 2=6,a 3=12.又{a n }是等比数列,∴a 22=a 1a 3,∴62=(6+a )×12,解得a =-3.此时a 1=3,符合a n =3×2n -1,且{a n }是等比数列.∴a =-3. 解法二:设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,由S n =a 1(1-q n )1-q ,设a11-q =A ,则S n =-Aq n +A , 又S n =3×2n +a ,∴a =-3. 14.答案 58解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由已知得S 3=a 1+a 1q +a 1q 2=1+q +q 2=34, 即q 2+q +14=0,解得q =-12, 所以S 4=a 1(1-q 4)1-q =1-(-12)41-(-12)=58.15.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 3=a 1+2d =7,a 2+a 6=2a 1+6d =20, 解得a 1=1,d =3,所以a n =1+3(n -1)=3n -2.(2)设等比数列{b n }的公比为q.易得b 1=a 1=3×1-2=1,b 32=a 6=3×6-2=16.因为b 32=(b 1q 2)2,所以q =2或q =-2,又b n +1>b n ,所以q =2,所以S n =1×(1-2n )1-2=2n-1.令2n -1≤2 021,得2n ≤2 022,又210<2 022<211,所以n 的最大值为10.能力提升练1.D 依题意得{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,∴a n =1+2(n -1)=2n -1,b n =1×2n -1=2n -1, ∴b a n =b 2n -1=22n -2=4n -1.∴{b a n }是以1为首项,4为公比的等比数列, 设其前n 项和为S n , 则S n =1×(1-4n )1-4=13(4n-1),故选D .2.C 设等比数列{a n }的公比为q. 解法一:∵a 2=2,a 5=14, ∴{a 1q =2,a 1q 4=14,∴{a 1=4,q =12,∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=a 12q +a 12q 3+…+a 12q 2n -1=a 12(q +q 3+…+q 2n -1)=323(1-4-n ).解法二:同解法一得a 1=4,q =12,∴a 1a 2=4×2=8,∴数列{a n a n +1}是首项为8,公比为14的等比数列,∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=8[1-(14)n]1-14=323(1-4-n). 3.B 设该数列为{a n },由已知得数列的通项公式为a n =1-2n 1-2=2n-1,则T n =a 1+a 2+…+a n =(2-1)+(22-1)+…+(2n -1)=2+22+…+2n-n =2(1-2n )1-2-n =2n +1-n -2.4.D 易知1,3,5,7,…是首项为1,公差为2的等差数列,设该数列为{a m },则a m =2m -1,设a n =2n +7,即2m -1=2n +7,∴m =n +4,∴f (n )是以2为首项,22=4为公比的等比数列的前(n +4)项的和,∴f (n )=2(1-4n+4)1-4=23(4n +4-1),故选D .易错警示数列求和时要弄清数列的特征,特别要注意数列的项数,如本题中求的不是前n 项和,而是前(n +4)项的和,解题时要防止项数弄错导致解题错误.5.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵2a 1=2,∴a 1=1.∵a 2+a 8=2a 1+8d =10,∴d =1,∴a n =1+(n -1)×1=n.选择①.由b 1=2,λS n =b n -1,可得λS 1=λb 1=b 1-1,即2λ=2-1,解得λ=12,∴S n =2(b n -1). 当n ≥2时,b n =S n -S n -1=2(b n -1)-2(b n -1-1),即b n =2b n -1,所以{b n }是以2为首项,2为公比的等比数列,∴b n =2×2n -1=2n .选择②.设等比数列{b n }的公比为q ,则q >0.依题意得a 4=(S 3-S 2)-(S 2-S 1)=b 3-b 2=b 1·(q 2-q )=4,∵b 1=2,∴2(q 2-q )=4,解得q =2或q =-1(舍去),∴b n =2n .选择③.∵b n =2λa n (λ∈R),2a 1=b 1=2,∴b 1=2λa 1,即2=2λ,∴λ=1,∴b n =2a n .∵a n =n ,∴b n =2n .(2)由(1)知a n +b n =n +2n ,∴T n =(1+2+3+…+n )+(2+22+23+…+2n )=n (n+1)2+2(1-2n )1-2=2n +1-2+n (n+1)2. 6.B 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 5-a 3=12,a 6-a 4=q (a 5-a 3)=24,∴q =2,又a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12,∴12a 1=12,∴a 1=1,∴S n =1-2n 1-2=2n -1,a n =2n -1, ∴S n a n =2n -12n -1=2-21-n ,故选B . 7.D ∵{a n }是等比数列,∴S 5,S 10-S 5,S 15-S 10也成等比数列.由S 10S 5=12,可设S 5=2k ,S 10=k (k ≠0),则S 10-S 5=-k ,∴S 15-S 10=k 2,则S 15=3k 2,∴S 15S 5=3k 22k =34,故选D .8.ABC 易知a 2a 3=a 1a 4=32,联立{a 2a 3=32,a 2+a 3=12,解得{a 2=4,a 3=8或{a 2=8,a 3=4,∵{a n }为递增数列,∴{a 2=4,a 3=8,∴q =a 3a 2=2,∴a 1=a 2q =2, ∴a n =2n ,S n =2×(1-2n )1-2=2n +1-2, ∴S 8=29-2=510,S n +2=2n +1,∴数列{S n +2}是等比数列,故A 、B 、C 正确.∵lg a n =lg 2n =n ·lg 2,∴数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列,故D 错误.故选ABC .9.ACD 因为{a n }为等比数列,所以a ≠0.当q =1时,a n =a ,S n =na ,故a n S n =na 2>0,当q ≠1时,a n =aq n -1,S n =a (1-q n )1-q ,故a n S n =a 2q n -1(1-q n )1-q, 若q >1,则q n -1>0,1-q n <0,1-q <0,故a n S n >0,若0<q <1,则q n -1>0,1-q n >0,1-q >0,故a n S n >0,若q <0,则a n S n =a 2q n (1-q n )q (1-q ),其中q (1-q )<0,取-1<q <0,则当n 为偶数时,a 2q n (1-q n )>0,即a n S n <0,当n 为奇数时,a 2q n (1-q n )<0,即a n S n >0,故B 中结论正确,A 、C 、D 中结论错误.故选ACD .10.证明 (1)由a n +1=2a n +1,得a n +1+1=2(a n +1),又a 1+1=2,所以{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)可得a n +1=2×2n -1=2n ,所以a n =2n -1,所以1a n =12n -1. 所以T n =121-1+122-1+123-1+…+12n -1. 因为12n -1<12n -1(n ≥2), 所以当n ≥2时,T n =121-1+122-1+123-1+…+12n -1<1+12+122+…+12n -1=1×(1-12n )1-12=2-12n -1<2, 又当n =1时,T 1=121-1<2,所以T n <2.解题模板证明与数列的前n 项和有关的不等式时,如果数列不能直接求和,如本题中的数列{1a n },不能直接求和,可考虑对通项公式进行放缩,利用12n <12n -1<12n -1(n ≥2),将数列放缩为等比数列,利用等比数列求和证明不等式,选用不等式可结合不等号方向选用12n -1<12n -1(n ≥2).。
潮阳黄图盛中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学（必修五模块）参考答案及评分标准一、选择题：1、D ；2、C ；3、C ；4、B ；5、B ；6、D ；7、C ；8、C ；9、B ；10、A 二、填空题：11、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0（或写作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210|x x ）；12、315；13、6162-； 14、37，1332+-n n三、解题题：本大题6小题，合计80分；解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.解：（1）方法一：534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x πΘ， ()53sin cos 22=-∴x x ，……………………1分523sin cos =-∴x x ， 2518cos sin 21=⋅-∴x x ， ……………………2分 .2572sin =∴x……………………3分又()x xx x x x x x x x 2sin sin cos sin cos cos sin 2tan 1sin 22sin 2=--⋅=--Θ ……………………5分257tan 1sin 22sin 2=--∴x x x 。
……………………6分方法二：()x xx x x x x x x x 2sin sin cos sin cos cos sin 2tan 1sin 22sin 2=--⋅=--Θ ……………………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=242sin ππx……………………3分⎪⎭⎫⎝⎛+-=x 42cos π……………………4分14cos 22+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x π……………………5分15322+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=257=。
……………………6分（2）⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222Θ，……………………7分⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴βαβαβα22cos 2cos⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βαβαβαβα2sin 2sin 2cos 2cos……………………8分又20,2πβπαπ<<<<Θ，且322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα，220,22πβαπβαπ<-<<-<∴，……………………9分,9549112cos 12sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴βαβα353212sin 12cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα， ……………………10分27573295435912cos=⨯+⨯-=+∴βα ……………………11分()72923912757212cos 2cos 22-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+=+∴βαβα。
绍兴一中 期中测试试题卷高二数学（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线013=+-y x 的倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π2．在空间直角坐标系中，点M (－3,1,5)，关于x 轴对称的点的坐标是A ．(－3，－1，－5)B ．(－3,1，－5)C ． (3,1，－5)D ．(3，－1，－5) 3．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 4．在平面直角坐标系内，若圆C ：22224540x y ax ay a ++-+-=的圆心在第二象限内，则实数a 的取值范围为 A ． (),2-∞-B ． (),0-∞C ． ()0,+∞D ． ()2,+∞5．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．407，－2,4D ．4，407，－156．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是 A ．若a α⊥，//b α，则a b ⊥ B ．若a α⊥，//b a ，b β⊂,则αβ⊥ C ．若a α⊥，b β⊥，//αβ,则//a bD ．若//a α，//a β，则//αβ7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1C E 与BC 所成的角的2013学年第一学期余弦值是 A ．510 B ．1010 C ．31 D ．322 8．已知点A(a ,b ) 满足方程x -y -3＝0，则由点A 向圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0所作的切线长的最小值是A ．2B ． 3C ．4D ． 149．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22EF =， 则下列结论中错误．．的是A ．AC BE ⊥B ．三棱锥A —BEF 的体积为定值C ．二面角A-EF-B 的大小为定值D ．异面直线AE ，BF 所成角为定值10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ∙的最小值为A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11．原点到直线052=-+y x 的距离d = ▲ ． 12．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ▲ ． 13．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是 ▲ cm 2． 14．若圆2225()3(r y x =++-）上有且仅有一个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的值是 ▲ ． 15．已知圆C 过直线2 x + y +4=0 和圆x 2+y 2+2 x －4 y +1=0的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为 ▲ ．16．已知四面体ABCD 中，32DA DB DC ===，且DA ，DB ，DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是 ___▲ __．三、解答题 (本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17．(本小题满分8分)光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C （1，6），求BC 所在直线的方程及点B 的坐标．zxxk（第13题）（第16题）18． (本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；（Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积．19． (本小题满分10分)已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=．（Ⅰ）过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为215，求直线l 的方程；（Ⅱ）若△O EM 的面积2OEM S ∆=，且M 是圆O 内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），求出点M 的坐标．20．(本小题满分10分)如图，已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，点V 在平面ABCD 上的射影E 在AD 边上，且13AE ED =，4,2,VE BE EC ===90BEC ∠=．（Ⅰ）设F 是BC 的中点，求异面直线EF 与VC 所成角的余弦值； （Ⅱ）设点P 在棱VC 上，且DP EC ⊥．求VPPC的值．zxxkABCDPM21．(本小题满分12分)如图，圆C ：0)1(22=+-++-a ay y x a x ． （Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 相交于两点A ，B ．问：是否存在实数a ，使得BNM ANM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．zxxk绍兴一中期中测试试题卷高二数学（文理）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线013=+-y x 的倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π【答案】B2．在空间直角坐标系中，点M (－3,1,5)，关于x 轴对称的点的坐标是A ．(－3，－1，－5)B ．(－3,1，－5)C ． (3,1，－5)D ．(3，－1，－5) 【答案】A3．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 【答案】A4．（文）在平面直角坐标系内，若圆C ：22224540x y ax ay a ++-+-=的圆心在第二象限内，则实数a 的取值范围为 A ． (),2-∞- B ． (),0-∞ C ． ()0,+∞ D ． ()2,+∞【答案】C（理）在平面直角坐标系内，若曲线C ：22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为 A ． (),2-∞- B ．(),1-∞- C ． ()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】D zxxk2013学年第一学期5．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．407，－2,4D ．4，407，－15【答案】 B6．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是 A ．若a α⊥，//b α，则a b ⊥ B ．若a α⊥，//b a ，b β⊂,则αβ⊥ C ．若a α⊥，b β⊥，//αβ,则//a b D ．若//a α，//a β，则//αβ【答案】D7．（文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是 A ．510 B ．1010 C ．31D ．322 【答案】C（理）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】 D8．（文）已知点A(a ,b ) 满足方程x -y -3＝0，则由点A 向圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0所作的切线长的最小值是A ．2B ． 3C ．4D ． 14 【答案】C（理）若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ,b )向圆C所作的切线长的最小值是 A ．2 B ． 3 C ．4 D ．14 【答案】C9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22EF =， 则下列结论中错误．．的是A ．AC BE ⊥B ．三棱锥A —BEF 的体积为定值C ．二面角A-EF-B 的大小为定值D ．异面直线AE ，BF 所成角为定值 【答案】D10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ∙的最小值为A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2【答案】D二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11．原点到直线052=-+y x 的距离d = ▲ ．【答案】5 zxxk12．（文）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ▲ ． 【答案】3（理）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，则对角线AC 1的长是 ▲ ．【答案】6 13．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是 ▲ cm 2． 【答案】222π+14．已知圆C 过直线2 x + y +4=0 和圆x 2+y 2+2 x －4 y +1=0的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为 ▲ ． 【答案】04172322=-++y x y x 15．（文）若圆2225()3(r y x =++-）上有且仅有一个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的值是 ▲ ．【答案】4（理）若圆2225()3(r y x =++-）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的取值范围是 ▲ ．【答案】（４，6）16．（文） 已知四面体ABCD 中，32DA DB DC ===，且DA ，DB ，DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是___▲ __．【答案】36（理）将一个水平放置的正方形ABCD 绕直线AB 向上转动45到11D ABC ，再将所得正方形11D ABC 绕直线1BC 向上转动45到212D BC A ，则平面212D BC A 与平面ABCD 所成二面角的正弦值等于____▲ ___．（第13题）（第16题）【答案】23 三、解答题 (本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17．(本小题满分8分)光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C （1，6），求BC 所在直线的方程及点B 的坐标． 【解析】点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－4）， A ′在直线BC 上，zxxk∴25=BC k ∴BC 的方程为5x －2y +7=0． 点B 的坐标为)0,57(-B ． 18． (本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；（Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积． 【解析】（Ⅰ）证明：//AB DC ，且AB ⊄平面PCD ∴//AB 平面PCD ． （Ⅱ）证明：在直角梯形ABCD 中，过C 作AB CE ⊥于点E ，则四边形ADCE 为矩形 ∴1AE DC ==，又2=AB ，∴1=BE ，在Rt △BEC 中， 45=∠ABC ， ∴1==BE CE ，2=CB∴1==CE AD ，则222=+=DC AD AC ，222AB BC AC =+∴AC BC ⊥又 ABCD PA 平面⊥ ∴BC PA ⊥A AC PA =⋂ ∴⊥BC 平面PAC （Ⅲ）∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半12121)1121(31)21(31=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-PA S V ACD ACD M19． (本小题满分10分)（文）已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=．A B CD PMABCDPM（Ⅰ）过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为215，求直线l 的方程；（Ⅱ）若△O EM 的面积2OEM S ∆=，且M 是圆O 内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），求出点M 的坐标． 【解析】（Ⅰ）方程为：1=y 或0534=--y x ． （Ⅱ）(2,1),(2,3),-（理）已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=．（Ⅰ）过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为43，求直线l 的方程；（Ⅱ）试探究是否存在这样的点M ：M 是圆O 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△O EM 的面积2OEM S ∆=？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）方程为：2=x 或01043=-+y x ．（Ⅱ）连结OE ，点A (4,0)-，B (4,0)满足2OEA OEB S S ∆∆==, 分别过A 、B 作直线OE 的两条平行线1l 、2l ． ∵12OE k =∴直线1l 、2l 的方程分别为：1(4)2y x =+、1(4)2y x =-设点(,)M x y （,x y Z ∈ ） ∴2216x y +<分别解22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=+⎪⎩与22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=-⎪⎩，得2425x -<< 与2245x -<< ∵,x y Z ∈∴x 为偶数，在2(4,2)5-上2,,0,2x =-对应的1,2,3y = 在2(2,4)5-上2,0,2x =-，对应的3,2,1y =--- ∴满足条件的点M 存在，共有6个，它们的坐标分别为：(2,1),(0,2),(2,3),-(2,3),(0,2),(2,1)----．20．(本小题满分10分)（文）如图，已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，点V 在平面ABCD 上的射影E 在AD 边上，且13AE ED =，4,2,90VE BE EC BEC ===∠=．（Ⅰ）设F 是BC 的中点，求异面直线EF 与VC所成角的余弦值； （Ⅱ）设点P 在棱VC 上，且DP EC ⊥．求VPPC的值．【解析】 （Ⅰ）在平面ABCD 内，过C 作//CM FE 交AD 与M ，连接VM ，则VCM ∠或其补角即为异面直线EF 与VC 所成角．在△V中，2,25,322BCCM EF VC VM =====， 由余弦定理得10cos 10VCM ∠=， 故异面直线EF 与VC 所成角的余弦值为1010． （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DN EC ⊥交EC 与N ，连接PN ， ∵DP EC ⊥，∴EC NDP ⊥平面，∴EC PN ⊥．又VE ABCD ⊥平面，故VE EC ⊥，故在平面VEC 中可知//PN VE ，故VP ENPC NC=，又323cos 4522422EN ED =⋅=⨯⨯=， 故32312VP EN PC NC ===．（理）如图，已知三角形ABC ∆与BCD ∆所在平面互相垂直，且090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，CB CD =，点P ,Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将∆PQD 向上翻折，使D 与A 重合．O ABCDPQ（Ⅰ）求证：AB CQ ⊥；（Ⅱ）求直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值．【解析】 （I ）证明面ABC ⊥面BCQ 又CQ BC ⊥ CQ ∴⊥面ABCCQ ∴⊥AB（Ⅱ）解1：作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥面BCQ ， 连接OP设1AB =，则2BD =，设BP x = 由题意AP DP =则2222222()2cos 45()(2)222x x x ︒+-⨯⨯+=- 解得1x = 由（Ⅰ）知AB ⊥面ACQ∴直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值sin α=12.21．(本小题满分12分)如图，圆C ：0)1(22=+-++-a ay y x a x ． （Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 相交于两点A ，B ．问：是否存在实数a ，使得BNM ANM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由． 【解析】ABCDPQQP DCBA—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 （Ⅰ）因为⎩⎨⎧=+-++-=0)1(022a ay y x a x y 得0)1(2=++-a x a x ，由题意得0)1(4)1(22=-=-+=∆a a a ，所以1=a故所求圆C 的方程为01222=+-+-y y x x ．（Ⅱ）令0=y ，得0)1(2=++-a x a x ，即0))(1(=--a x x所以)0,(),0,1(a N M假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ， 代入422=+y x 得，042)1(2222=-+-+k x k x k ， 设),,(),,(2211y x B y x A 从而2221222114,12k k x x k k x x +-=+=+ 因为))(()])(1())(1[(2112212211a x a x a x x a x x k a x y a x y ----+--=-+- 而a x x a x x a x x a x x 2))(1(2))(1())(1(12211221+++-=--+--a k k a k k 212)1(1422222+++-+-= 2182ka +-= 因为BNM ANM ∠=∠，所以02211=-+-a x y a x y ，即01822=+-k a ，得4=a ． 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立．故存在4=a ，使得BNM ANM ∠=∠．。
2022版人教A 版高中数学选择性必修第二册--4.2 等差数列4.2.1 等差数列的概念基础过关练题组一 等差数列的概念及其应用1.下列数列不是等差数列的是 ( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16C.13,23,1,43,53D.-3,-2,-1,1,22.若数列{a n }满足3a n +1=3a n +1,则数列{a n } ( ) A.是公差为1的等差数列B.是公差为13的等差数列C.是公差为-13的等差数列D.不是等差数列3.(多选)下列命题中,正确的是 ( ) A.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列 B.若a ,b ,c 成等差数列,则log 2a ,log 2b ,log 2c 成等差数列 C.若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列 D.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列 题组二 等差中项4.若a =√3+√2,b =√3-√2,则a ,b 的等差中项为 ( )A.√3B.√2C.√32 D.√225.已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120°6.若x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=07.(2020浙江嘉兴高一下期末)已知等差数列{a n}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=;通项公式a n=.题组三等差数列的通项公式及其应用8.(2020山东淄博一中高二上期中)在数列{a n}中,a1=1,a n+1-a n=2,n∈N*,则a25的值为 ()A.49B.50C.89D.999.(2021全国百强名校领军考试高二上期末)在等差数列{a n}中,若a2=3+m,a6=15+m,其中m为实数,则该等差数列的公差d= ()A.3B.2C.1D.m10.已知{a n}是等差数列,且a4=4,a7=10,则a10= ()A.13B.14C.15D.1611.(2020河南郑州高二上期末)设数列{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.题组四等差数列的性质及其应用12.(2021江苏无锡一中高二上期中)在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=6,则a1+a7=()A.2B.3C.4D.513.(2020河南新乡高二上期末)在等差数列{a n}中,a2+a6=3,a3+a7=7,则公差d=()A.1B.2C.3D.414.已知数列{a n},{b n}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2a n-3b n}的公差为()A.7B.5C.3D.115.(2021河南信阳高二上期末)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a1+b1=1,a2+b2=3,则a2 020+b2 020= ()A.4 043B.4 041C.4 039D.4 03716.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值为()A.12B.8C.6D.417.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()D.-√3A.√3B.±√3C.-√3318.在等差数列{a n}中,公差为d.(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.能力提升练题组一等差数列的通项公式及其应用1.(2021江苏无锡高二上期末,)已知数列{a n }是等差数列,若a 3+a 5+a 7=15,a 8-a 2=12,则a 10等于 ( )A.10B.12C.15D.18 2.(2020山东招远一中高二上月考,)在一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 3.()已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为1,b n =a n +1a n,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)B.(-4,-3)C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)D.(-5,-4) 4.()已知数列{a n }满足a 1=1,若点(a n n,a n+1n+1)在直线x -y +1=0上,则a n = .5.(2020辽宁沈阳东北育才实验学校高二上月考,)已知数列{a n }满足a n +1=6a n -4a n +2,且a 1=3. (1)证明:数列{1a n -2}是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. 6.()若数列{b n }对于任意n ∈N *,都有b n +2-b n =d (d 为常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列.例如c n ={4n -1,n 为奇数,4n +9,n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列.设数列{a n }满足:a 1=a ,对于任意n ∈N *,都有a n +a n +1=2n.(1)求证:数列{a n}为准等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.题组二等差数列的性质及其应用7.(多选)()已知单调递增的等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0B.a2+a100=0C.a3+a100≤0D.a51=08.(2020河南濮阳高二上期末,)已知各项都为正数的等差数列{a n}中,a5=3,则a3a7的最大值为.题组三等差数列的综合应用9.(2020山东日照高二上期末,)我国古代著作《周髀算经》中记载:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸;夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为991分;且冬6至时日影长度最大,为1 350分;夏至时日影长度最小,为160分.则立春时日影长度为 ( )A.95313分 B.1 05212分 C.1 15123分 D.1 25056分 10.(2021江苏无锡江阴一中高二上期中,)中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的质量为 ( ) A.3斤 B.6斤 C.9斤 D.12斤 11.(2020浙江宁波高一下期末,)已知等差数列{a n }中,a 2=3,a 4=5,则1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10= ( )A.25B.922C.910D.101112.(2021湖南三湘名校教育联盟高二上期中,)南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,其所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为 ()A.161B.155C.141D.13913.(多选)()已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2,n,则下列说法中正确的是()∈N*),a1=14A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列}为递增数列D.数列{1S n14.(2020山东青岛高三上期末,)在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是.15.()数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n∈N*),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)判断是否存在实数λ使得数列{a n}为等差数列,并说明理由.16.()在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *).(1)证明:数列{1a n}是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa n +1a n≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.答案全解全析基础过关练1.D 根据等差数列的定义可知,选项D 中的数列不是等差数列.故选D.2.B 由3a n +1=3a n +1,得3a n +1-3a n =1,即a n +1-a n =13,所以数列{a n }是公差为13的等差数列.3.AC A 选项中,∵a ,b ,c 成等差数列,∴b -a =c -b ,∴2b =a +c ,∴2×(2b )=2a +2c ,即2b -2a =2c -2b ,∴2a ,2b ,2c 成等差数列,故A 正确;B 选项中,取a =1,b =2,c =3,得log 2a ,log 2b ,log 2c 分别为0,1,log 23,不成等差数列,故B 错误;C 选项中,∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c ,∴2(b +2)=(a +2)+(c +2),∴a +2,b +2,c +2成等差数列,故C 正确;D 选项中,取a =1,b =2,c =3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,选项D 错误.故AC .4.A 设a ,b 的等差中项为x , 则2x =a +b =√3+√2+√3-√2=2√3, 所以x =√3.5.B 因为A ,B ,C 成等差数列,所以B 是A ,C 的等差中项,则有A +C =2B , 又因为A +B +C =180°,所以3B =180°,即B =60°.6.C 由等差中项的定义知x =a+b 2,x 2=a 2-b 22,∴a 2-b 22=(a+b 2)2,即a 2-2ab -3b 2=0,可得a =-b 或a =3b.7.答案 1;n -2解析 因为-1,a -1,1构成等差数列,所以2(a -1)=-1+1=0,解得a =1.所以公差d =1.因为a 1=-1,所以a n =n -2.8.A 由a n +1-a n =2得数列{a n }是公差为d =2的等差数列,又a 1=1,所以a 25=a 1+24d =1+24×2=49.故选A.9.A 由等差数列的通项公式得a 2=a 1+d =3+m ,a 6=a 1+5d =15+m , 两式相减得4d =12,即d =3.故选A . 10.D 设{a n }的公差为d. 由题意得{a 4=a 1+3d =4,a 7=a 1+6d =10,解得{a 1=-2,d =2,∴a 10=a 1+9d =-2+18=16,故选D . 11.答案 a n =6n -3(n ∈N *) 解析 设等差数列{a n }的公差为d , 则a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =36, 即6+5d =36,解得d =6,∴a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×6=6n -3(n ∈N *). 即{a n }的通项公式为a n =6n -3(n ∈N *). 12.C 依题意,得3a 4=6,所以a 4=2, 所以a 1+a 7=2a 4=4,故选C .13.B 解法一:∵a 3+a 7=2a 5=7,a 2+a 6=2a 4=3, ∴a 5=72,a 4=32,∴d =a 5-a 4=2.故选B . 解法二:∵(a 3+a 7)-(a 2+a 6)=2d , 且a 3+a 7=7,a 2+a 6=3, ∴d =7-32=2.故选B.14.D 由于{a n },{b n }为等差数列,故数列{2a n -3b n }的公差d =(2a n +1-3b n +1)-(2a n -3b n )=2(a n +1-a n )-3(b n +1-b n )=2d 1-3d 2=1. 15.C 易得数列{a n +b n }是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴a 2 020+b 2 020=1+2 019×2=4 039,故选C .16.B 由等差数列的性质,得a 3+a 6+a 10+a 13=(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=2a 8+2a 8=4a 8=32, ∴a 8=8,∴a m =a 8,又d ≠0,∴m =8.17.D 由等差数列的性质,得a 1+a 7+a 13=3a 7=4π,∴a 7=4π3.∴tan(a 2+a 12)=tan(2a 7)=tan 8π3=tan 2π3=-√3.18.解析 解法一:(1)由a 2+a 3+a 23+a 24=48,得4a 13=48,∴a 13=12. (2)由a 2+a 3+a 4+a 5=34, 得2(a 2+a 5)=34,即a 2+a 5=17,由{a 2a 5=52,a 2+a 5=17,解得{a 2=4,a 5=13或{a 2=13,a 5=4.由d =a 5-a 25-2得d =3或d =-3.解法二:(1)由题意得(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+22d )+(a 1+23d )=48, 即4(a 1+12d )=48, ∴4a 13=48, ∴a 13=12. (2)由题意得{(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )+(a 1+4d )=34,(a 1+d )·(a 1+4d )=52,解得{a 1=1,d =3或{a 1=16,d =-3.∴d =3或d =-3.能力提升练1.C 设{a n }的公差为d. 由a 3+a 5+a 7=15,得3a 5=15,则a 5=5, ∵a 8-a 2=12,∴6d =12,解得d =2, ∴a 10=a 5+5d =5+10=15,故选C .2.C 设该等差数列为{a n },公差为d (d ∈Z),则a 1=23,a n =23+(n -1)d , 由题意可知{a 6>0,a 7<0,即{23+(6-1)d >0,23+(7-1)d <0,解得-235<d <-236.因为d 是整数,所以d =-4. 解题模板解决与等差数列的项有关的问题,用通项公式将已知条件化为关于首项、公差的式子,进而解决问题,这是解决等差数列问题的基本手段. 3.D 解法一:依题意得,a n =a +(n -1)×1=n +a -1,∴b n =n+a n+a -1=1+1n+a -1. 设函数y =1x+a -1+1,画出图象,如图.结合题意知,1-a ∈(5,6), ∴5<1-a <6,解得-5<a <-4, 故选D .解法二:∵等差数列{a n }的首项为a ,公差为1,∴a n =a +n -1,∴b n =a n +1a n =1+1a n =1+1a+n -1,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5, 则有(b n )min =b 5=1+1a+4, 结合数列{b n }的单调性可知, {b 5<b 4,b 5<b 6,即{1+1a+4<1+1a+3,1+1a+4<1+1a+5,解得-5<a <-4.故选D . 4.答案 n 2(n ∈N *)解析 由题设可得a n n -a n+1n+1+1=0, 即a n+1n+1-a n n =1,又a 11=1, 所以数列{an n }是以1为首项,1为公差的等差数列,故通项公式为a n n=n ,所以a n =n 2(n ∈N *). 5.解析 (1)证明:由已知得,1a 1-2=13-2=1, 1a n+1-2=16a n -4a n +2-2=a n +2(6a n -4)-2(a n +2)=a n +24a n -8=(a n -2)+44(a n -2)=1a n -2+14,因此1a n+1-2-1a n -2=14,n ∈N *,故数列{1an -2}是首项为1,公差为14的等差数列. (2)由(1)知1a n -2=1+(n -1)×14=n+34,所以a n =2n+10n+3,n ∈N *.6.解析 (1)证明:因为a n +a n +1=2n (n ∈N *),① 所以a n +1+a n +2=2(n +1),② ②-①得a n +2-a n =2(n ∈N *),所以数列{a n }是公差为2的准等差数列. (2)因为a 1=a ,a n +a n +1=2n (n ∈N *), 所以a 1+a 2=2×1,即a 2=2-a.因为a 1,a 3,a 5,…是以a 为首项,2为公差的等差数列,a 2,a 4,a 6,…是以2-a 为首项,2为公差的等差数列,所以当n 为奇数时,a n =a +(n+12-1)×2=n +a -1, 当n 为偶数时,a n =2-a +(n 2-1)×2=n -a , 所以a n ={n +a -1,n 为奇数,n -a ,n 为偶数.7.BD 设等差数列{a n }的公差为d ,易知d >0,∵等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d =d>0,故C错误.故选BD.8.答案9解析因为等差数列{a n}的各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤(a3+a72)2=a52=9,当且仅当a3=a7=3时,等号成立.所以a3a7的最大值为9.9.B由题意可知,从冬至到夏至,每个节气的日影长度(单位:分)构成等差数列,设该等差数列为{a n},公差为d,则冬至时日影长度为a1=1 350分,d=-9916,∴立春时日影长度为a4=1 350+(-9916)×3=1 05212(分).故选B.10.答案 C信息提取①粗的一端截下一尺,重四斤;②细的一端截下一尺,重二斤;③金箠由粗到细均匀变化.数学建模根据金箠由粗到细是均匀变化的,可知金箠每尺的质量(单位:斤)成等差数列,由等差数列知识解决问题.解析由题意可知金箠每尺的质量(单位:斤)构成等差数列{a n},设细的一端一尺的质量为a1斤,粗的一端一尺的质量为a5斤,则a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6,解得a3=3,所以中间三尺的质量为a 2+a 3+a 4=3a 3=9斤.故选C . 11.B 设等差数列{a n }的公差为d ,由1a n a n+1=1d (1a n -1a n+1)知,1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10=1d1a 1-1a 2+1a 2-1a 3+1a 3-1a 4+…+1a 9-1a 10=1d (1a 1-1a10),由{a 2=3,a 4=5,即{a 1+d =3,a 1+3d =5,解得{a 1=2,d =1, ∴a 10=a 1+9d =11, ∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10=922,故选B .12.B 设该高阶等差数列的第8项为x ,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得{y -36=12,x -107=y ,解得{x =155,y =48,故选B .解题模板数列中的新定义问题,准确把握新定义的含义是解题的关键,对数列问题依次列出各项,按要求作阶差,直到找出等差数列为止,再依题意解决问题.13.AD 由a n =S n -S n -1,a n +4S n -1S n =0,n ≥2,n ∈N *,得S n -S n -1=-4S n -1S n ,n ≥2,n ∈N *,又S n≠0,∴1S n -1S n -1=4(n ≥2,n ∈N *). ∵a 1=14,∴1S 1=4,∴{1S n}是以4为首项,4为公差的等差数列,∴1S n=4+4(n -1)=4n ,n ∈N *,∴数列{1S n}为递增数列,S n =14n,n ∈N *, ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=14n -14(n -1)=-14n (n -1),经检验,当n =1时,不符合上式,∴a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2,n ∈N *,∴B、C 错误.故选AD. 解题模板解决项、和共存的递推关系问题,要么将和化为项,要么将项化为和,具体视递推公式的形式而定,如本题中将a n +4S n -1S n =0化为S n -S n -1=-4S n -1S n (n ≥2),整理得到{1Sn}是一个等差数列,然后利用等差数列的知识解题. 14.答案 n 2+n解析 由题表可得,第n 行的第一个数是n ,第n 行的数构成以n 为首项,n 为公差的等差数列,其中第(n +1)项为n +n ·n =n 2+n.所以题表中的第n 行第(n +1)列的数是n 2+n.15.解析 (1)因为a n +1=(n 2+n -λ)a n (n ∈N *),且a 1=1, 所以当a 2=-1时,得-1=2-λ,∴λ=3. 从而a 3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)不存在实数λ使得{a n }为等差数列. 理由如下:由a 1=1,a n +1=(n 2+n -λ)a n , 得a 2=2-λ,a 3=(6-λ)(2-λ),a 4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{a n }为等差数列, 则a 3-a 2=a 2-a 1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a 2-a 1=1-λ=-2,a 4-a 3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24, a 2-a 1≠a 4-a 3,这与{a n }为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{a n }为等差数列.16.解析 (1)证明:由3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *),得1a n -1a n -1=3(n ≥2,n ∈N *), 又1a 1=1, 所以数列{1an}是以1为首项,3为公差的等差数列.(2)由(1)可得1a n=1+3(n -1)=3n -2,所以a n =13n -2(n ∈N *).(3)因为λa n +1a n≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,即λ3n -2+3n -2≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,所以只需λ≤(3n -2)23n -3对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立即可.令f (n )=(3n -2)23n -3(n ≥2,n ∈N *),则只需满足λ≤f (n )min 即可.因为f (n +1)-f (n )=(3n+1)23n -(3n -2)23n -3=9n 2-9n -13n (n -1)=3-13n (n -1), 所以当n ≥2时, f (n +1)-f (n )>0, 即f (2)<f (3)<f (4)<…, 所以f (n )min =f (2). 又f (2)=163,所以λ≤163.所以实数λ的取值范围为(-∞,163].。
协作体统考高一数学参考答案及评分标准说明：如果有其他解答，请参照酌情定分。
1——10 BDBCA CBACD11、 12、6- 13、105 14、143n - 15、316、解：设a b c 、、分别是角A 、B 、C 的对边，则2a b c ++=+，c AB =（1）sin sin A B C +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B B==知a b +=， ……3分又2a b c ++=+解得2,c a b =+= 即AB 的长为2. ……6分（2）32sin S C =，又1sin 2S ab C =， 代入得3sin 2sin 2ab C C = 得到43ab = ……9分 由余弦定理知 22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab +-+--===12， 又(0,)C π∈ 所以3C π=……12分 17、解：（1）24203x x x -->-等价于{242030x x x -->->或{242030x x x --<-< ……2分 解得7x >或63x -<< 即A=(6,3)(7,)-+∞U ……4分22(1)(1)0x ax a a -++-<可化为[][](1)(1)0x a x a -+--< ……6分 解得11a x a -<<+即B=(1,1)a a -+ ……8分（2）A B =∅I 当且仅当16a +≤-或{1317a a -≥+≤， ……10分 解得7a ≤-或46a ≤≤即所求a 的取值范围为7a ≤-或46a ≤≤。
……12分18、解：在DBC V 中，105CBD ∠=o，sin105sin 75=o o ()sin 3045=+o o sin30cos 45cos30sin 45=+o o o o 4=……2分由正弦定理得sin45601)sin105BC CD===oo……6分在Rt ABCV中，tan301)3AB BC==o606020 1.73225.4=-≈-⨯≈……9分即塔高约为25.4米。
第二章 数列能力检测满分150分．考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019年山西太原期末)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n n ＋12B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n 2－(n －1) D ．a n ＝n 2－1【答案】A【解析】观察数列1,3,6,10，…，可以发现1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4，…，第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.故选A ．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【解析】由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d2＝1，∴d ＝2.3．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为( ) A ．4或－2 B ．－4或2 C ．4 D ．－4【答案】C【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a ＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝8.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4时，a ＋2＝0，与3，a ＋2，b ＋4成等比数列矛盾，应舍去；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a ＝4.故选C ．4．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，若a 4·a 6＝24，a 2＋a 8＝10，则该数列的前n 项和S n的最大值为( )A ．50B ．40C ．45D ．35【答案】C【解析】∵a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝10，a 4·a 6＝24，d ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝6，a 6＝4.∴d ＝a 6－a 46－4＝－1，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝10－n .∴当n ＝9或10时S n 取到最大值，S 9＝S 10＝45.5．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0.∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.故选C ．6．已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则a 7a 9a 11＝( ) A ．16 B ．16 2 C ．32 D ．32 2【答案】B【解析】∵各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，∴a 4a 14＝(22)2＝8.∴a 7a 11＝a 29＝8.∴a 7a 9a 11＝16 2.故选B ．7．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A ．129B ．1210 C ．110 D ．15【答案】D 【解析】∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( ) A ．54 B ．45 C ．36 D ．27【答案】A【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11,2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6.∴S 9＝9a 5＝54.9．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2.∴a 1＋a 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1q 2＝2，消去a 1，得1＋qq2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12.∴a 1＝8，∴a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n＞19，当n＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19.故选B ． 10．(2019年内蒙古包头模拟)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2019＝( )A ．12 019 B ．12 020 C ．2 0182 019 D ．2 0192 020【答案】D【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n －1]＝0.又S n＞0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1.∴S 1＋S 2＋…＋S 2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12 019－12 020＝2 0192 020.11．已知数列3,7,11，…，139与2,9,16，…，142，则它们所有公共项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】由题意可知数列3,7,11，…，139的通项公式为a n ＝4n －1,139是数列第35项．数列2,9,16，…，142的通项公式为b m ＝7m －5,142是数列第21项．设数列3,7,11，…，139的第n 项与数列2,9,16，…，142的第m 项相同，则4n －1＝7m －5，n ＝7m －44＝7m 4－1，∴m为4的倍数且m 不大于21，n 不大于35.由此可知，m 只能为4,8,12,16,20.此时n 的对应值为6,13,20,27,34.∴公共项的个数为5.故选B ．12．(2019年福建厦门模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，{a n }的部分项ak 1，ak 2，…，ak n 构成等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，则k n ＝( )A ．2×3n －1－1 B ．2×3n －1＋1C ．2×3n－1 D ．2×3n＋1【答案】A【解析】设等比数列ak 1，ak 2，…，ak n 的公比为q .因为k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，所以a 1·a 17＝a 25，即a 1(a 1＋16d )＝(a 1＋4d )2，化简得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，得a 1＝2d ，所以q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝2d ＋4d2d＝3.一方面，ak n 作为等差数列{a n }的第k n 项，有ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝2d ＋(k n －1)d ＝(k n ＋1)d ；另一方面，ak n 作为等比数列的第n 项，又有ak n ＝ak 1·q n －1＝a 1·3n －1＝2d ·3n －1，所以(k n ＋1)d ＝2d ·3n －1.又d ≠0，所以k n ＝2×3n －1－1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017年新课标Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 【答案】－8【解析】设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 11＋q ＝－1，a 1－a 3＝a 11－q2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝－2，∴a 4＝a 1q 3＝－8.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 【答案】13【解析】∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3.a n ＝a 1qn －1，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，解得q ＝13.15．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n 且a 1＝12，则该数列的前 2 017项的和等于________．【答案】3 0252【解析】∵a 1＝12，a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，∴a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1k ∈N ＋，1，n ＝2k k ∈N ＋，故数列的前2 017项的和S 2 017＝1 008×1＋1 009×12＝3 0252.16．(2018年江苏)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．【答案】27【解析】B ＝{2,4,8,16,32,64,128…}，与A 相比，元素间隔大，所以从S n 中加了几个B 中元素考虑.1个：n ＝1＋1＝2，S 2＝3,12a 3＝36；2个：n ＝2＋2＝4，S 4＝10,12a 5＝60；3个：n ＝4＋3＝7，S 7＝30,12a 8＝108；4个：n ＝8＋4＝12，S 12＝94,12a 13＝204；5个：n ＝16＋5＝21，S 21＝318,12a 22＝396；6个：n ＝32＋6＝38，S 38＝1 150,12a 39＝780.发现21≤n ≤38时S n －12a n ＋1与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：S 30＝687,12a 31＝612，所以所求n 应在22～29之间，S 25＝462,12a 26＝492，所以所求n 应在25～29之间，S 27＝546,12a 28＝540，所以所求n 应在25～27之间，S 26＝503,12a 27＝516.因为S 27>12a 28，而S 26<12a 27，所以使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为27.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)(2017年北京)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，∴2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 21q 4＝9. 解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.18．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，S 5＝S 6且a 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 2＝6,6b 1＋b 3＝－5a 3，求{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由已知可得a 6＝0，设等差数列的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得d ＝2，a 1＝－10，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. (2)设{b n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧b 1q ＝6，6b 1＋b 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，q ＝3.1－2当b 1＝2，q ＝3时，T n ＝21－3n1－3＝3n－1.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }满足：a 2＋a 4＝6，a 6＝S 3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若k ∈N *且a k ，a 3k ，S 2k 成等比数列，求k 值． 【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 2＋a 4＝6，a 6＝S 3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝6，a 1＋5d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴a n ＝1＋1×(n －1)＝n . (2)S 2k ＝2k ＋2k2k －12＝2k 2＋k ， 由a k ，a 3k ，S 2k 成等比数列，得 9k 2＝k (2k 2＋k )，解得k ＝4.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{b n －(－1)na n }是等比数列且b 2＝7，b 5＝71，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 24＝a 2a 8，即(2＋3d )2＝(2＋d )(2＋7d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)令c n ＝b n －(－1)na n ，设数列{c n }的公比为q ， ∵b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ，∴c 2＝b 2－a 2＝7－2×2＝3，c 5＝b 5＋a 5＝71＋2×5＝81.∴q 3＝c 5c 2＝813＝27，故q ＝3.∴c n ＝c 2·q n －2＝3×3n －2＝3n －1，即b n －(－1)n a n ＝3n －1，∴b n ＝3n －1＋(－1)n·2n .则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(30＋31＋…＋3n －1)＋[－2＋4－6＋…＋(－1)n·2n ]，1－322当n 为奇数时，T n ＝1－3n1－3＋2×n －12－2n ＝3n－2n －32.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋2n －12，n 为偶数，3n－2n －32，n 为奇数.21．(本小题满分12分)(2019年山东莱芜模拟)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和为S n . 【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18.∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2. 又2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3. ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1.① ∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n.② ①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n ＝(1－n )2n－1.∴S n ＝3(n －1)2n＋3.22．(本小题满分12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．【解析】(1)由题意得，(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)， ∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)． ∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∵⎩⎪⎨⎪⎧T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ8＋d ，16＋d ＝2λ8＋2d .∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)． ∴1T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，∴18≤C n ＜14. ∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴14≤12S n ＜12. ∴C n ＜12S n .。
7.2.2复数的乘、除运算基础过关练题组一复数的乘、除运算1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i2.(2020山东滕州一中高一检测)已知复数z=1-ii(i为虚数单位),则复数z 的虚部是()A.1B.-1C.iD.-i3.已知a+2ii=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于()A.-1B.1C.2D.34.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为()A.-3+iB.3+iC.-3-iD.3-i5.已知i为虚数单位,则复数i2-i的模等于()A.√5B.√3C.√33D.√556.(2020湖北名师联盟高二期末)已知i是虚数单位,复数a+2i2-i为纯虚数,则实数a的值为()A.1B.-1C.12D.27.(2020河北辛集中学高二月考)已知(a+i)(1+bi)=1+3i,其中a,b均为实数,i为虚数单位,则|a+bi|=()A.√5B.2√5C.5D.28.(2020天津高一期末)已知i是虚数单位,z1=3-i1-i.若复数z2的虚部为2,且z1z2的虚部为0,求z2.深度解析题组二复数范围内实系数一元二次方程根的问题9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为()A.3+iB.1-3iC.3-iD.-1+3i10.(2019上海曹杨二中高二期末)若1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,则()A.b=2,c=5B.b=-2,c=5C.b=-2,c=-5D.b=2,c=-111.(多选)(2019上海交大附中高二期末)下列关于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的说法正确的是()A.两根x1,x2满足x1+x2=-ba ,x1x2=caB.两根x1,x2满足|x1-x2|=√(x1-x2)2C.若判别式Δ=b2-4ac≠0,则该方程有两个相异的根D.若判别式Δ=b2-4ac=0,则该方程有两个相等的实数根12.在复数范围内解下列方程.(1)x2+5=0;(2)3x2+2x+1=0;(3)x2+4x+6=0.13.(2020江苏南京秦淮中学高二期末)已知复数+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).z1=3a+2(1)若复数z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值.能力提升练题组一 复数运算的综合应用 1.(2020东北三省三校高三联考,)设复数z 满足z -ii=z-2i(i 为虚数单位),则z=( )A.12-32i B.12+32i C.-12-32i D.-12+32i2.()复数z=1-i1+i,则ω=z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值为( )A.1 B .-1 C.i D.-i 3.(多选)()对任意z 1,z 2,z ∈C,下列结论成立的是( )A.当m,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.z 1z 2=z 1·z 2C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2| 4.()若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=a 1-2i+bi(a,b ∈R)为“理想复数”,则( )A.a-5b=0B.3a-5b=0C.a+5b=0D.3a+5b=0 5.(2020天津一中高二期末,)已知复数z=a -i 2+i(i 为虚数单位,a 为实数)为纯虚数,则|a+2i|= . 6.()设z 的共轭复数是z ,若z+z =4,z ·z =8,则zz 等于 .7.(2020北京大兴高一期末,)已知复数z=(m 2-m)+(m+3)i(m ∈R)在复平面内对应点Z. (1)若m=2,求z ·z ;(2)若点Z在直线y=x上,求m的值.8.(2020北京通州高一期末,)已知复数z=1-i(i是虚数单位).(1)求z2-z;.(2)如图,复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,求z1+z2z题组二复数范围内方程根的问题9.(2019河南南阳高三期中,)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=()A.-1B.1C.-3D.310.(2019上海吴淞中学高二期中,)在复数范围内分解因x2+x-3=.式:-1211.()关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.12.()已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足|z-b|=1,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.深度解析答案全解全析 基础过关练1.A z 1=1+i,z 2=3-i,所以z 1·z 2=(1+i)·(3-i)=3-i 2+2i=4+2i. 2.B ∵z=1-i i =i+1-1=-1-i, ∴复数z 的虚部是-1. 3.B ∵a+2ii =b+i,∴a+2i=-1+bi, ∴a=-1,b=2.∴a+b=1. 4.C 由(3+z)i=1,得3+z=1i=-i, 所以z=-3-i. 5.D因为i 2-i =i(2+i)(2-i)(2+i)=i(2+i)5=-15+25i,所以|i 2-i |=|-15+25i|=√(-15)2+(25)2=√55,故选D.6.A ∵a+2i 2-i =(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a -2+(a+4)i 5=2a -25+a+45i 为纯虚数,∴{2a -25=0,a+45≠0,解得a=1.7.A 因为(a+i)(1+bi)=1+3i, 所以(a-b)+(1+ab)i=1+3i, 即{a -b =1,1+ab =3,解得{a =-1,b =-2或{a =2,b =1.当a=-1,b=-2时,|a+bi|=|-1-2i|=√(-1)2+(-2)2=√5; 当a=2,b=1时,|a+bi|=|2+i|=√22+12=√5. 综上,|a+bi|=√5.故选A. 8.解析 z 1=3-i 1-i =(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)=4+2i2=2+i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1z 2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i, 因为z 1z 2的虚部为0, 所以a+4=0,即a=-4. 所以z 2=-4+2i.方法技巧复数的乘法与多项式的乘法类似,但要注意i 2=-1,复数的除法运算中,除数为虚数时,应利用分母实数化,将除法转化为乘法,体现了转化思想.9.B 根据复数范围内实系数一元二次方程的求根公式,知两个虚数根互为共轭复数,所以另一个根为1-3i.10.B 由题意可知,关于x 的实系数一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根分别为1+2i 和1-2i,由根与系数的关系,得 {(1+2i)+(1-2i)=-b,(1+2i)·(1-2i)=c,解得{b =-2,c =5. 故选B.11.ACD 由一元二次方程根与系数的关系,可得x 1+x 2=-ba ,x 1x 2=ca ,当x 1,x 2是复数时,此关系式仍然成立,故A 正确;当x 1,x 2为虚根时,|x 1-x 2|≠√(x 1-x 2)2,故B 错误;当判别式Δ=b 2-4ac>0时,该方程有两个相异的实数根,当判别式Δ=b 2-4ac<0时,该方程有两个虚数根,且它们互为共轭复数,故C 正确;若判别式Δ=b 2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根,D 正确. 12.解析 (1)因为x 2+5=0, 所以x 2=-5,又因为(√5i)2=(-√5i)2=-5, 所以x=±√5i,所以方程x 2+5=0的根为x=±√5i. (2)因为Δ=4-4×3×1=-8<0, 所以方程3x 2+2x+1=0的根为x=-2±√8i 2×3=-13±√23i. (3)解法一:由x 2+4x+6=0,知Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x 2+4x+6=0的根为x=-4±√8i2×1,即x=-2±√2i.解法二:因为x 2+4x+6=0, 所以(x+2)2=-2, 因为(√2i)2=(-√2i)2=-2, 所以x+2=√2i 或x+2=-√2i, 即x=-2+√2i 或x=-2-√2i,所以方程x 2+4x+6=0的根为x=-2±√2i.13.解析 (1)由条件得,z 1-z 2=(3a+2-2)+(a 2-3a-4)i. 因为z 1-z 2在复平面内对应的点落在第一象限,所以{3a+2-2>0,a 2-3a -4>0,所以{-2<a <-12,a <-1或a >4,解得-2<a<-1.所以a 的取值范围是{a|-2<a<-1}.(2)因为虚数z 1是实系数一元二次方程x 2-6x+m=0的根, 所以z 1+z 1=6a+2=6,即a=-1, 所以z 1=3-2i,z 1=3+2i, 所以m=z 1·z 1=13.能力提升练1.B z=2+i 1-i =(2+i)(1+i)2=1+3i 2=12+32i. 2.B z=1-i 1+i =-i(1+i)1+i=-i,z 2=(-i)2=-1, 所以ω=-1+1-1+1-1=-1.3.ABC 由复数乘法的运算律知A 正确;设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则z 1=a-bi,z 2=c-di,所以z 1z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i=z 1·z 2,故B 正确;由复数的模及共轭复数的概念知C 正确;由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|,但由|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此|z 1|=|z 2|是z 1=z 2的必要不充分条件,D 错误.4.D z=a 1-2i +bi=a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+bi=a 5+(2a5+b)i. 由题意知,a 5=-2a5-b,则3a+5b=0. 5.答案√172解析 因为z=a -i2+i =(a -i)·(2-i)(2+i)·(2-i)=2a -1-(a+2)i5为纯虚数,所以a=12,所以|a+2i|=|12+2i|=√172,故答案为√172.6.答案 ±i解析 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi, 由z+z =4,z ·z =8,得{2a =4,a 2+b 2=8,∴{a =2,b =±2.∴z=2+2i,z =2-2i 或z=2-2i,z =2+2i, ∴z z =2-2i2+2i =-i 或z z =2+2i2-2i =i,即zz =±i. 7.解析 (1)因为m=2, 所以z=2+5i,z =2-5i, 所以z ·z =(2+5i)(2-5i)=29.(2)复数z=(m 2-m)+(m+3)i(m ∈R).在复平面内对应的点为Z(m 2-m,m+3). 因为点Z 在直线y=x 上, 所以m 2-m=m+3, 所以m=-1或m=3. 8.解析 (1)∵z=1-i,∴z 2-z=(1-i)2-(1-i)=1-2i+i 2-1+i =-1-i.(2)由题图得,z 1=2i,z 2=2+i, ∴z 1+z 2z =2i+2+i 1-i =2+3i 1-i =(2+3i)(1+i)(1-i)(1+i) =-12+52i.9.A 当a=0时,解得b ∉R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数,所以方程的另一个根为1-i, 根据根与系数的关系,可得{(1+i)+(1-i)=-ba ,(1+i)(1-i)=2a ,解得{a =1,b =-2. 所以a+b=-1.10.答案 -12(x-1+√5i)(x-1-√5i)解析 将-12x 2+x-3=0化简并整理,得x 2-2x+6=0,Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0,则x=2±√20i 2=1±√5i,所以-12x 2+x-3=-12(x-1+√5i)(x-1-√5i). 11.答案 z=4+3i 解析 设z=x+yi(x,y ∈R),则有√x 2+y 2+2x+2yi=13+6i,于是{√x2+y 2+2x =13,2y =6,解得{x =4,y =3或{x =403,y =3.因为13-2x=√x 2+y 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i.12.解析 (1)因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈R)的实数根,所以(b 2-6b+9)+(a-b)i=0,故{b 2-6b +9=0,a =b,解得a=b=3. (2)由(1)得,b=3,所以|z-b|=1即为|z-3|=1,设z=m+ni(m,n ∈R),则z 在复平面内对应的点Z 的坐标为(m,n),|z-3|=1可以看成是点Z(m,n)到点(3,0)的距离为1,则点Z(m,n)是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,如图所示.由图可知,当z=2时,|z|的最小值为2.深度剖析一元二次方程az 2+bz+c=0(a ≠0)的系数为虚数时,仍然可以用求根公式z=-b±√Δ2a 求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实数根,也可以设方程的根为z=x+yi(x,y ∈R),利用待定系数法将z=x+yi 代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于x,y 的方程(组),从而求出x,y 的值,进而得出方程的根.。
2007—2008学年江苏省海安高级中学第二学期高一年级期中试卷数学学科（A 卷）2008-5-7本试卷分第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，共4页．满分为160分。
考试时间120分钟．第Ⅰ卷 填空题 共70分一．填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分）1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。
那么2008年北京奥运会是第 __★ ___届。
2．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若A:B:C =1:1:4，则c b a ::★ 3．等比数列}{n a 中，11-=a ，15-=a ，则=3a ___ ★ ____ 4．右图的三视图表示的几何体是___ ★ ___5．在正方体1111A B C D ABCD -中，AC 与1B D 所成的角的大小为 ★ 6．已知数列的前4项分别为1157,,,221854--，写出数列的通项公式___ ★ ___ 座号 姓名 统考考号\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\密 封线内 不 要答7．若1x >，则11x x +-的最小值是___ ★ ___ 8．等差数列{}n a 中，a 1＞0，d ≠0，S 3=S 11，则S n 中的最大值是___ ★ ___9．以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ； 其中正确命题的个数是___ ★ ____10．若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x ___ ★ ____11．某产品的两种原料相继提价，因此产品生产者决定根据两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现有三种提价方案，方案甲：第一次提价p %,第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %,第二次提价p %；方案丙：第一次提价2p q +%,第二次提价2p q+%；（其中0p q >>）比较三种方案，哪种方案提价最多___ ★ ___12．不等式12--mx mx <0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围为 ___ ★ ____ 13．小明是某中学2007级高一(1)班学生，为他将来读大学的费用做好准备，他的父母计划从2008年7月1日起至2010年7月1日每月定期到银行存款m 元(按复利计算)，2010年8月1日全部取出，月利率按2%0计算，预计大学费用为4万．元，那么m=__ ★ ___ (计算结果精确到元。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作期中考试数学试题一、选择题1．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为 （ ）A ．()0,1B ．()0,1-C ．()1,0D ．()1,0-2．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＝ 2B ． x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝43．设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为A.± 2B.±2C.±2 2D.±44．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ． ,//m m n n αα⊥⊥⇒D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥5．已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，直线l 被圆C 截得的弦长为23，则a=( )A ．2B ．2-2C ．2-1D ．2+1 6．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能7．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =则下列结论正确的是A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线//BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝19．圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则C 的值是A ．-3B ．3C ．22D ．810．已知矩形ABCD ，1AB =，BC x =，将△ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则( )A ．任意)2,0(∈x ，都存在某个位置，使得AB CD ⊥B ．任意)2,0(∈x ，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥C ．任意x>1，都存在某个位置，使得AB CD ⊥D ．任意x>1，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥二、填空题11．在空间直角坐标系中，点A （1，－2,3）关于平面xoz 的对称点为B ，关于x 轴的对称点为C ，则B 、C 间的距离为___________________12．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ， 若|AB |＝3，则该圆的标准方程是__________________________________________13．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为14．在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为23的正方形，四条侧棱长都为3，则侧棱与底面所成角的余弦值为 ．15．直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.三、解答题16．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0．试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．17．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 最短时，写出直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.18．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．19．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点.证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .20.21． 已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1,2)且与圆O 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆O 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(3)圆O 上有一动点00(,)M x y ，00(2,)ON x y =，若向量122OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．参考答案一、选择题1-5 CBBDC, 6-10 BDAAC二、填空题 11.6 12.1)21()1(22=-+-y x 13.43 14.36 15.2 三、解答题16.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7. ----------4分 (2)当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，由m 2＝8m ≠n －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·m －8×2＝0，8×(－1)－n ·m ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2. 即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.-----------8分(3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n 8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.------------12分17.(1) 已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2， 直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.-----------------------------------------4分(2) 当弦AB 最短时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0-----------8分 (3) 当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3， 弦AB 的长为34.---------------------------------12分18．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2(a －1)2＋(b －1)2＝r 22a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.-----------------------4分(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.-----------------------4分(3)方法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.------------------12分方法二 由A (1,12)，B (7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13， 则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， 即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.19.证明 (1)由四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .---------------------------6分(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)，知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .------------------------------------12分20.证明：（1）设AC 与BD 交于O ，连接PO ，依题意知，PO 为△BDD 1的中位线，PO ∥BD 1，PO ⊂面PAC,BD 1⊄面PAC,∴BD 1∥面PAC -----------4分(2)在正方形ABCD 中，AC ⊥BD,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥面ABCDAC ⊂面ABCD ，∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD=B ，∴AC ⊥面BDD 1B 1而AC ⊂面PAC,∴面PAC ⊥面BDD 1B 1-----------9分（3）由（2）知，∠CPO 即为PC 与面BDD 1B 1所成的角∵AB=AD=1，∴22=CO 又知DP=1，∴2=PC在Rt △COP 中，sin ∠CPO 21==PC CO ∴∠CPO=300,即PC 与面BDD 1B 1所成的角为300---------------13分21.解 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)， 则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43， 从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.---------------------------5分(2)当直线m 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，m 与圆的两个交点坐标为(1，3)和 (1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线m 不垂直于x 轴时，设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线m 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.---------------------------10分(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(2x 0，y 0)，∵122OQ OM ON =+， ∴00000015(,)(2,2)(,)(3,)22x y x y x y x y =+=⇒0012,35x x y y == .∵x 20＋y 20＝4，∴2212()()435x y +=，即2213625x y +=. ∴Q 点的轨迹方程是2213625x y +=，--------------------------------------------14分。
唐山一中2014-2015学年第二学期期中考试
高一文科数学
命题人：周国明 鲍芳
第Ⅰ 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若63S S =3，则69S S =（ ）
A ．2
B .73
C .83
D .3 3.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ，若a 2+b 2=2c 2，则cos C 的最小值为（ ）
A .23
B . 2
2 C .21 D . -21 4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
,则2x y +的最大值是 （ ）
A ．5-2
B ．0
C ．53
D ．52
5.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ，则
a b = ( )
A .23
B .22
C .3
D . 2
6.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )
A .3
B .4
C .5 D.6
7.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 （ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
8.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1
|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为
（ ）
A ．{}|<-1>lg2
x x x 或 B ．{}|-1<<lg2x x C ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x。
