【常考题】高中必修五数学上期中试卷(含答案)(2)

【好题】高中必修五数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--4．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b5．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 6．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．167．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．8．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．33B．53C．73D．839．在ABC∆中，,,a b c分别是角,,A B C的对边,若sin3cos0b A a B-=,且2b ac=，则a cb+的值为( )A．2B．2C．22D．410．已知{}n a为等比数列,472a a+=,568a a=-,则110a a+=（）A．7B．5C．5-D．7-11．如果等差数列{}n a中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+…+7a=（）A．14 B．21 C．28 D．3512．在数列{}n a中，12a=，11ln(1)n na an+=++，则na=A．2ln n+B．2(1)lnn n+-C．2lnn n+D．1lnn n++二、填空题13．在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan tan2tanb B b Ac B+=-，且8a=，73b c+=，则ABCV的面积为______．14．已知等差数列{}n a的公差为2，前n项和为n S，且1S，2S，4S成等比数列.令114(1)nnn nnba a-+=-，则数列{}nb的前100的项和为______．15．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.16．已知实数x y，满足2,2,03,x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y=-的最大值是____．17．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？三、解答题21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．22．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 23．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 24．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 25．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=,故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.4．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C5．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.6．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.7．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 8．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =．∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．9．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 30B B =，即tan 3B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.11．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A.二、填空题13．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦解析：4【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinBcosB， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，∴cosB （sinA cosA +sinBcosB）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinBcosAcosB+=﹣2sinC ，∴cosB•()sin A B cosAcosB+=sinCcosA=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣12，A=23π；∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=192⨯，． 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．14．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=， 故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.16．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．17．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 25 【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之25，即55CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.18．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0，解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝6，综上可得a 1＝32或6.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.19．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ，满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ， 解得：9n = .即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．三、解答题21．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==，∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =（2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2nn S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 22．(1) a n 12n =；(2) 1nn +． 【解析】 【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到nb n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2） ①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=， 当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111nn n -=++．【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.23．a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值 【解析】试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值． 考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．24．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+， 所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题.25．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析： （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得． 所以．由，得，又，解得．所以． （2）因为，所以．26．（1）23n a n =-，14n n b -=；（2）4(1)n nT n =+【解析】 【分析】（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴= （2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n nT n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.。

高二数学期中考试必修5试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种2. 若集合A中元素的个数是4，集合B中元素的个数是3，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A. 12B. 64C. 81D. 2563. 设函数f(x) = log2(x - 1)，下列结论正确的是（）A. f(x)在(0, +∞)上是增函数B. f(x)在(1, +∞)上是增函数C. f(x)在(0, 1)上是减函数D. f(x)在(1, +∞)上是减函数4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则函数f(x)的单调递增区间是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)在区间（）内是减函数。

A. (-∞, 0)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2, +∞)6. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_n = 2n^2 - n，则该数列的通项公式为（）A. an = 2n - 3B. an = 2n - 1C. an = 2n + 1D. an = 3n - 27. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_n = 2^n - 1，则该数列的通项公式为（）A. an = 2n - 1B. an = 2n - 2C. an = 2n - 3D. an = 2n8. 一个长方体的长、宽、高分别是3，4，5，则它的对角线长度的平方是（）A. 50B. 64C. 36D. 25二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调递减区间。

10. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前10项和。

2020年高中必修五数学上期中试题含答案一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．163．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．34．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．55．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．236．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．57．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d8．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-9．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ）A ．32B ．36C ．38D ．4010．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B．1C．1+D ．411．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n n n a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 15．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 16．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 19．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 20．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ； （2）若3,,b a c 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 23．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .24．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

2020-2021长春市高中必修五数学上期中试题附答案一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20475．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+6．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10B ．5C D 7．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1408．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A B ．34C ．32或2D ．34或29．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．511．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．35二、填空题13．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V ，则ab =__14．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 15．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.16．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．17．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____． 18．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.19．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S24．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 25．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．C解析：C【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

2020-2021长春市高中必修五数学上期中试题带答案一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1224．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1406．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．98．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7109．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 14．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．15．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 16．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．17．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．18．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．19．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．20．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.三、解答题21．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.22．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.23．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？24．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n nna b a +=， ∴3212212a ab a b a a =＝，＝4312341233a a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．4．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =所以1n a n n =+11nn n a =+1121n S n n n n =+-+--++-L 11n =+-，由1110n S n =+-=解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.6．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=； 考点：累加法求数列通项公式7．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.8．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45AB =o ， 103AB ∴=,那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴==⨯=o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.10．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．11．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．14．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；15．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=.故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.16．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】 由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.17．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．19．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43【解析】 【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，22222262x x=2221238x c a =+-， ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤， 所以3AB BC +的最大值为3故答案为：43. 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.三、解答题21．(I)(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，1111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭即11111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2n nn a = （2）因为,n c n =2211.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212n T n n =+--++，这是一个递增数列，而4525252121T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1,n =可得1111112,.2a S a a ==--+=当2n ≥时，11112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以1111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭即111112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭而12, 1.n nn n n b a b b -=∴=+即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2n nn a = （2）因为22log log 2,n n n nc n a ===所以()22211.·22n n c c n n n n +==-++ 1111111111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由25,21n T <得111251,21221n n +--<++即1113.1242n n +>++ 又()1112f n n n =+++单调递减，()()11134,5,3042f f == n ∴的最大值为4.考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或. 22．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1sin sin 6022B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 23．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】 【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 24．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和nT .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.25．（1）32n a n =-，2nn b =，*n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈.【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，∴2nn b =，{}n a 的公差为d ，首项是1a ，则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，∴14(32)83n n n T +-+=．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 26．（1）1()21n S n N n =∈-；（2）21n n +。

2020年高中必修五数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．35．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+6．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1827．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1408．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-39．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．(][),42,-∞-+∞UC ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,8二、填空题13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．15．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.16．已知数列的前项和，则_______．17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 18．不等式211x x --<的解集是 ． 19．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．25．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=，∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

高中必修五数学上期中试题含答案一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1224．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．26．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1827．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．38．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形10．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-311．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞12．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-1二、填空题13．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 14．设0,0,25x y x y >>+=______.15．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）16．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 17．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.18．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．19．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.25．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．4．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.6．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【典型题】高中必修五数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20474．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．625．在ABC V 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．556．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310 C ．12 D ．7109．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-11．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13C ．12+D ．4二、填空题13．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．14．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．15．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 16．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 19．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 三、解答题21．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.22．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 24．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．25．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． 26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B.3．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.6．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3，本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．8．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =o o， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．9．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)22234S b a c =+-，得13sin 2cos 24ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.12．A解析：A 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222fx x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()()11122222222f x x x x x x x =+=-++≥-⋅+--- 4=， 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y =+知,2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -， 结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；15．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误； 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误； 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.16．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n S S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 17．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.18．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.19．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++， 又因为0b >，||0a >，所以||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.20．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题【解析】 【分析】利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1sin sin c b B A=，从而得到所求之值. 【详解】∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.在ABC ∆中，由余弦定理2221cos 22c b a A bc +-== ，因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得2sin sin sin sin sin sin c C Cb B B B B==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ， 故2sin sin 123sin sin sin sin C C B A C A ===. 故答案为 233. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.三、解答题21．(I)(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，1111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭即11111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2n n n a =（2）因为,n c n =2211.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212n T n n =+--++，这是一个递增数列，而4525252121T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1,n =可得1111112,.2a S a a ==--+=当2n ≥时，11112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以1111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭即111112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭而12, 1.n nn n n b a b b -=∴=+即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2n n n a = （2）因为22log log 2,n n n nc n a ===所以()22211.·22n n c c n n n n +==-++1111111111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由25,21n T <得111251,21221n n +--<++即1113.1242n n +>++ 又()1112f n n n =+++单调递减，()()11134,5,3042f f == n ∴的最大值为4.考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或. 22．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和nT .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 23．（1）n a n =-；（2）1n n +. 【解析】 【分析】(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-，1d =-， 所以()11=---=-n a n n . （2）由n a n =-，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111nn n =-=++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．24．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 25．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增，∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．(Ⅰ)2nn a =或()2nn a =--(Ⅱ)12【解析】 【分析】（1）先设数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，2754a q a ∴==， 2q ∴=±，2n n a ∴=或(2)n n a =--.（2）2q =时，()2122212612n n nS -==-=-，解得6n =；2q =-时，()21(2)21(2)126123n n nS --⎡⎤==--=⎣⎦+， n 无正整数解；综上所述6n =. 【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.。

2020-2021高中必修五数学上期中试题(及答案)(2)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102003．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ）A ．5B ．25C D ．4．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1405．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．146．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．237．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．359．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 410．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ）A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin 2sin 0b A B +=，b =，则ca的值为（ ）A ．1BCD二、填空题13．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 14．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 16．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．在ABC V 中，3B π∠=，b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．23．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.3．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 4．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值.【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．6．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和9．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析：92【解析】 【分析】先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a ba b⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.15．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)．因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.16．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷=故得到2019 2.a =-故答案为：-2.【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项. 17．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32a a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--， 整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q =-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠ 14(1)a q =-108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3【解析】【分析】将n a =15项的和.【详解】利用分母有理化得n a ===设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a =+++L1=L1=413=-=即：153S =.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21．（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式．（2）推出112n S n n -=，令n n S c n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ， 又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22．选择①，h =；选择②，h =；选择③，h =【解析】【分析】（1）选择①sin 7A =，可由sin sin a b AB =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin C C =，结合22sin cos 1C C +=得sin 14C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解.【详解】（1）选择①sin 7A =，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：sin sin a b A B=，=2a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，2212222c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =， 则BC边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+，由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π+=，整理得5sin C C =┄①，又22sin cos 1C C +=┄②，由①②得21sin 14C =， 则BC 边上的高213sin 7h b C ==⨯=. （3）选择③2a c -=，解答如下：在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，3B π∠=Q ，7b =，227a c ac ∴+-=┄①，又2a c -=┄②，由①②解得1c =，则BC 边上的高3sin h c B ==. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.23．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小；(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值.【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ， ()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒. (Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()31 cos sin sin 602B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin BC +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．24．(1);(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得;(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列的前项和.(3)试题解析：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①2S n －1＝3a n －1－1 ②②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴＝3，()又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意） ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝∴T n ＝＋＋＋…＋，…………………③ T n ＝＋＋…＋＋，………④ ③－④得：T n ＝＋＋＋…＋－ ＝－＝－∴T n ＝－.25．(1)2π3B =；（215 【解析】 【试题分析】（1）先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=，然后运用余弦二倍角求出7cos 8BAC ∠=，进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解：(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-,222a c b ac ∴+=-, 2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-, ()0,πB ∈Q , 2π3B ∴=. (2) 在ABD V 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD =∠,得31sin 12sin 423BD B BAD AD ∠===, 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,sin BAC∴∠===.26．（1）3(1)12na n n=+-⨯=+；（2）2101【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d．由已知得()()1114{3615a da d a d+=+++=，解得13{1ad==．所以()112na a n d n=+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nnb n=+．所以()()()()2310 12310212223210b b b b+++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++ ()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．。