嵌套函数的零点问题

嵌套函数作为复合函数的一种形式,在高考命题中经常出现㊂嵌套函数分同一个函数间的嵌套与不同函数间的嵌套,利用复合函数的形式加以合理嵌套,巧妙融入零点及其应用问题,成为高考中的一类比较综合的创新应用问题,倍受大家的关注㊂一㊁整体思维,分类讨论对于一些相对简单的嵌套函数的零点问题,可以将其内层函数加以整体化处理,借助整体思维进行合理转化,由内到外通过分类讨论,达到解决问题的目的㊂例1已知函数f (x )=x +1,x ɤ0,l o g 2x ,x >0,则函数y =f [f (x )]+1的所有零点构成的集合为㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用分段函数中变量的取值范围,通过内层方程的求解,由内到外结合外层方程的求解来确定原方程的解,从而可得对应嵌套函数的零点㊂解:依题意可令y =f [f (x )]+1=0,所以f [f (x )]=-1㊂当x ɤ0时,由f (x )=x +1=-1得x =-2,由f (x )=-2得x +1=-2或l o g 2x =-2,解得x =-3或x =14;当x >0时,由f (x )=l o g 2x =-1得x =12,由f (x )=12得x +1=12或l o g 2x =12,解得x =-12或x =2㊂综上可得,函数y =f [f (x )]+1的所有零点构成的集合为-3,-12,14,2㊂涉及简单的嵌套函数的零点问题,可结合内外层函数之间的关系,通过内层函数的整体思维,先内层处理,由内及外,后外层求解,分层分析,分类讨论,结合内外层函数所对应的方程,达到解题的目的㊂整体思维解决嵌套函数的零点问题,是换元解套思维的简单形式㊂二㊁换元解套,数形结合对于一些相对复杂的嵌套函数的零点问题,可以将内层函数进行换元处理,通过换元,引入新参数,转化为新参数的外层函数问题,进而回归问题本源加以分析与处理㊂例2已知函数f (x )=x +2,x <0,x 2+12x ,x ȡ0,则函数y =f [f (x )]-1的零点个数为㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,通过内层函数的换元处理,结合换元后方程的求解,以及分段函数的图像来确定对应曲线与直线的交点个数,即确定方程的解的个数,从而得到相应函数的零点个数㊂解:依题意可令y =f [f (x )]-1=0,可得f [f (x )]=1㊂令f (x )=t ,由f (t )=1,可得t +2=1或t 2+12t =1,解得t =-1或t =-1+174t =-1-174<0,舍去㊂ 图1作出分段函数y =f (x )的图像,如图1所示㊂结合函数y =f (x )的图像,可知方程f (x )=-1有1个解,方程f (x )=-1+174有2个解,所以函数y =f [f (x )]-1的零点个数为3㊂32知识结构与拓展高一数学 2023年11月换元解套是处理嵌套函数的零点问题的主要方法,解答的两个步骤是:换元解套,通过换元t=g(x),引入参数,则y=f(t),将一个嵌套函数的零点问题巧妙拆解为两个简单函数t=g(x)与y=f(t)的零点问题;解方程,利用方程f(t)=0,确定参数t的值,代入方程t=g(x)求出x的值㊂在利用换元解套思维解题时,可借助函数的图像进行数形结合,从而达到直观处理问题的目的㊂三㊁逆向思维,参数范围解决一些含参数的嵌套函数的零点问题,可以通过整体思维应用或换元解套思维突破,加以合理的逆向思维,结合图像的直观分析来确定参数的取值范围㊂例3已知函数f(x)=-x2-2x,函数g(x)=x+14x,x>0,x+1,xɤ0,若函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,则实数a的取值范围是㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用函数y=f(x)的值域,结合内层函数的换元处理,确定外层函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像的交点个数,从而借助数形结合来确定对应参数的取值范围㊂解:由题意知函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,所以方程g[f(x)]-a=0有4个不同的实数根㊂令t=f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1ɤ1,由方程g[f(x)]-a=0,可得方程g(t)=a(tɤ1)有4个不同的实数根㊂易知方程f(x)=t在tɪ(-ɕ,1)内有2个不同的实数根,即函数y=f(x)=-x2-2x与直线y=t(t<1)有2个不同的交点,所以方程g(t)-a=0有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点㊂易得g(1)=1+14=54㊂当x>0时,g(x)=x+14xȡ2x㊃14x=1,当且仅当x=14x,即x=12时,等号成立㊂图2画出函数y=g(t)(t<1)的图像,如图2所示㊂结合图像可知当1ɤa<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,所以实数a的取值范围是1,54㊂解决含参数的嵌套函数的零点问题,可借助整体思维或换元解套思维来分析内外层函数的图像与性质,通过分离参数,结合对应的图像来确定参数的取值范围㊂利用数形结合分析参数的取值范围时,要注意图像的关键点(如区间的端点㊁函数的极值点等)的位置关系,从而加以合理的取舍㊂(多选题)已知x0是函数f(x)=e x+x-2的零点(其中e=2.71828 为自然对数的底数),下列说法正确的是()㊂A.x0ɪ(0,1)B.l n(2-x0)=x0C.x0-e-x0<0D.x2-x00>e提示:对于A,函数f(x)=e x+x-2为增函数,则f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点x0ɪ(0,1),A正确㊂对于B,x0是方程f(x)=e x+x-2的零点,则e x0+x0-2=0,变形可得e x0=2-x0,两边同时取对数得l n(2-x0)=x0,B正确㊂对于C,x0是函数f(x)=e x+x-2的零点,则e x0+x0-2=0,即x0=2-e x0,所以x0-e-x0=2-e x0-e-x0=2-(e x0+e-x0)㊂又x0ɪ(0,1),所以e x0+e-x0>2,所以x0-e-x0<0,C正确㊂对于D,x0ɪ(0,1),所以2-x0ɪ(1,2),所以x2-x00<1<e,D不正确㊂应选A B C㊂作者单位:甘肃省肃南裕固族自治县第一中学(责任编辑郭正华) 42知识结构与拓展高一数学2023年11月。

嵌套函数的零点问题思路引导函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t ，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.例题讲解类型一嵌套函数零点个数的判断【典例1】已知函数f (x )=2x +22,x ≤1log 2x -1 ,x >1，则函数F (x )=f f x -2f x -32的零点个数是( )A.4B.5C.6D.7【解题指导】令t =f (x ),F (x )=0→f (t )=2t -32→作函数y =f (x )与y =2x +32图象→两个交点的横坐标为t 1=0,t 2∈(1,2)→f (x )=t 1、f (x )=t 2判断F (x )的零点个数.【解析】令t =f (x ),F (x )=0，则f (t )-2t -32=0，作出y =f (x )的图象和直线y =2x +32，由图象可得有两个交点，设横坐标为t 1,t 2，∴t 1=0,t 2∈(1,2).当f (x )=t 1时，有x =2，即有一解；当f (x )=t 2时，有三个解，∴综上，F (x )=0共有4个解，即有4个零点，故选A【方法总结】1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套，转化为t =g (x )与y =f (t )的零点．(2)依次解方程，令f(t)=0，求t，代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．【针对训练】(2022·长春市实验中学高三模拟)已知f(x)=lg x,x>02x ,x≤0，则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是( )A.3B.5C.7D.8【答案】B【分析】函数y=2f2(x)-3f(x)+1=[2f(x)-1][f(x)-1]的零点，即方程f(x)=12和f(x)=1的根，画出函数f(x)=lg x，x>02x ，x≤0的图象，数形结合可得答案．【详解】函数y=2f2(x)-3f(x)+1=[2f(x)-1][f(x)-1]的零点，即方程f(x)=12和f(x)=1的根，函数f(x)=lg x，x>02x ，x≤0的图象如下图所示：由图可得方程f(x)=12和f(x)=1共有5个根，即函数y=2f2(x)-3f(x)+1有5个零点，故选B．类型二已知嵌套函数的零点个数求参数【例2】函数f(x)=ln(-x-1),x<-12x+1,x≥-1，若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围____．【解题指导】设t=f(x)→令g(x)=f(f(x))-a=0→a=f(t)→作y=a，y=f(t)的图像数形结合根据a的范围分类讨论y=a，y=f(t)的交点个数【解析】设t=f(x)，令g(x)=f(f(x))-a=0，则a=f(t)．在同一平面直角坐标系内作y=a，y=f(t)的图像：①当a≥-1时，y=a与y=f(t)的图像有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<-1，t2≥-1．当t1<-1时，t1=f(x)有一解；当t2≥-1时，t2=f(x)有两解，∴此时g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点，满足题意；②当a<-1时，y=a与y=f(t)的图像有一个交点．设交点的横坐标为t 3，令ln (-t -1)=-1得t =-1-1e ，∴-1-1e<t 3<-1，此时t 3=f (x )有一个解，不满足题意；综上所述，当a ≥-1时，函数g (x )=f (f (x ))-a 有三个不同的零点．【方法总结】(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y =a 与y =f (t )的图象，确定t 1，t 2的取值范围，进而由t =f (x )的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．【针对训练】已知函数f (x )=2x-1 ,x <12-x ,x ≥1，若关于x 的函数y =2f 2(x )+2bf (x )+1有6个不同的零点，则实数b 的取值范围是__________．【答案】-32,-2【解析】作出f (x )的函数图象如下：设f (x )=t ，则当t =1或t <0时，方程f (x )=t 只有1解，当t =0时，方程f (x )=t 有2解，当0<t <1时，方程f (x )=t 有3解，当t >1时，方程f (x )=t 无解．∵关于x 的函数y =2f 2(x )+2bf (x )+1有6个不同的零点，∴关于t 的方程2t 2+2bt +1=0在0,1 上有两解，∴4b 2-8>00<-b 2<12+2b +1>0，解得-32<b <-2．模拟训练1.(2023春·浙江温州·高二温州中学校联考期末)已知函数f x =x e x 2+axex -2a 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则2-x 1e x 122-x 2e x22-x 3e x 3=( )A.1B.4C.16D.64【答案】C【解析】令t (x )=x e x ，则t (x )=1-xe x.所以当x <1时，t (x )>0，函数t (x )=x e x 单调递增；当x >1时，t(x )<0，函数t (x )=x e x单调递减.所以t (x )max =t (1)=1e.由题意g t =t 2+at -2a 必有两个根t 1<0，且0<t 2<1e.由根与系数的关系有：t 1+t 2=-a ，t 1t 2=-2a .由图可知，t 1=x e x 有一解x 1<0，即t 1=x 1e x 1.t 2=xex 有两解x 2,x 3且0<x 2<1<x 3，即t 2=x 2e x 2=x3ex 3.所以2-x 1e x 122-x 2e x 22-x3e x 3=2-t 1 22-t 2 2-t 2 =2-t 1 2-t 2 2=4-2t 1+t 2 +t 1t 2 2=4+2a -2a 2=16.故选：C2.(2023秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中)已知函数F x =ln x x2+(a -1)ln xx+1-a 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则1-ln x 1x 1 21-ln x 2x 2 1-ln x 3x 3 的值为A.1-aB.a -1C.-1D.1【答案】D 【解析】令y =ln x x ，则y ′=1-ln xx 2，故当x ∈(0，e )时，y ′>0，y =ln x x 是增函数，当x ∈(e ，+∞)时，y ′>0，y =ln x x是减函数；且limx →0ln xx =-∞，ln e e =1e ，lim x →+∞ln xx =0；令ln x x =t ，则可化为t 2+(a -1)t +1-a =0，故结合题意可知，t 2+(a -1)t +1-a =0有两个不同的根，故△=(a -1)2-4(1-a )>0，故a <-3或a >1，不妨设方程的两个根分别为t 1，t 2，①若a <-3，t 1+t 2=1-a >4，与t 1≤1e 且t 2≤1e相矛盾，故不成立；②若a >1，则方程的两个根t 1，t 2一正一负；不妨设t 1<0<t 2，结合y =ln xx 的性质可得，ln x 1x 1=t 1，ln x 2x 2=t 2，ln x 3x 3=t 2，故1-ln x 1x 1 21-ln x 2x 2 1-ln x 3x 3=(1-t 1)2(1-t 2)(1-t 2)=(1-(t 1+t 2)+t 1t 2)2又∵t 1t 2=1-a ，t 1+t 2=1-a ，∴1-ln x 1x 1 21-ln x 2x 2 1-ln x 3x 3=1；故选D ．3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=(xe x )2+(a -1)(xe x )+1-a 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3.其中x 1<x 2<x 3，则(1-x 1e x 1)(1-x 2e x 2)(1-x 3e x 3)2的值为( )A.1B.(a -1)2C.-1D.1-a【答案】A【解析】令t =xe x ，则t ′=(x +1)e x ，故当x ∈(-1,+∞)时，t ′>0，t =xe x 是增函数，当x ∈(-∞,-1)时，t ′<0，t =xe x 是减函数，可得x =-1处t =xe x 取得最小值-1e ，x →-∞，t →0，画出t =xe x 的图象，由f (x )=0可化为t 2+(a -1)t +1-a =0，故结合题意可知，t 2+(a -1)t +1-a =0有两个不同的根，故Δ=(a -1)2-4(1-a )>0，故a <-3或a >1，不妨设方程的两个根分别为t 1，t 2，①若a <-3，t 1+t 2=1-a >4，与-2e<t 1+t 2<0相矛盾，故不成立；②若a >1，则方程的两个根t 1，t 2一正一负；不妨设t 1<0<t 2，结合t =xe x 的性质可得，x 1e x 1=t 1，x 2e x 2=t 1，x 3e x 3=t 2，故(1-x 1e x 1)(1-x 2e x 2)(1-x 3e x 3)2=(1-t 1)(1-t 1)(1-t 2)2=(1-(t 1+t 2)+t 1t 2)2又∵t 1t 2=1-a ，t 1+t 2=1-a ，∴(1-x 1e x 1)(1-x 2e x 2)(1-x 3e x 3)2=(1-1+a +1-a )2=1．故选：A ．4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x e x 2+axex -a 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则1-x 1e x 121-x 2e x 21-x3ex 3的值为A.1B.-1C.aD.-a【答案】A 【解析】令x e x =t ，构造g (x )=x e x ，求导得g (x )=1-xex ，当x <1时，g (x )>0；当x >1时，g (x )<0，故g (x )在-∞,1上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，且x <0时，g (x )<0，x >0时，g (x )>0，g (x )max =g (1)=1e，可画出函数g (x )的图象(见下图)，要使函数f (x )=x e x2+axex -a 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则方程t 2+at -a =0需要有两个不同的根t 1,t 2(其中t 1<t 2)，则Δ=a 2+4a >0，解得a >0或a <-4，且t 1+t 2=-at 1⋅t 2=-a ，若a >0，即t 1+t 2=-a <0t 1⋅t 2=-a <0 ，则t 1<0<t 2<1e，则x 1<0<x 2<1<x 3，且g x 2 =g x 3 =t 2，故1-x 1e x121-x 2e x21-x 3ex 3=1-t 1 21-t 2 2=1-t 1+t 2 +t 1t 2 2=1+a -a 2=1，若a <-4，即t 1+t 2=-a >4t 1⋅t 2=-a >4 ，由于g (x )max =g (1)=1e ，故t 1+t 2<2e<4，故a <-4不符合题意，舍去.故选A .5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax +ln x x -ln x -x 2，有三个不同的零点，(其中x 1<x 2<x 3)，则1-ln x 1x 1 21-ln x 2x 2 1-ln x 3x 3 的值为A.a -1B.1-aC.-1D.1【答案】D【解析】令f (x )=0，分离参数得a =x x -ln x -ln x x 令h (x )=x x -ln x -ln xx由h ′(x )=ln x 1-ln x 2x -ln xx 2x -ln x 2=0 得x =1或x =e ．当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0；当x ∈(1，e )时，h ′(x )>0；当x ∈(e ，+∞)时，h ′(x )<0．即h (x )在(0，1)，(e ，+∞)上为减函数，在(1，e )上为增函数．∴0<x 1<1<x 2<e <x 3，a =x x -ln x -ln x x 令μ=ln xx则a =11-μ-μ即μ2+(a -1)μ+1-a =0，μ1+μ2=1-a <0，μ1μ2=1-a <0，对于μ=ln x x ，μ =1-ln xx 2则当0<x <e 时，μ′>0；当x >e 时，μ′<0．而当x >e 时，μ恒大于0．不妨设μ1<μ2，则μ1=ln x 1x 1,μ2=ln x 2x 2,μ3=ln x 3x 3， 1-ln x 1x 1 21-ln x 2x 2 1-ln x 3x 3 =(1-μ1)2(1-μ2)(1-μ3)=[(1-μ1)(1-μ2)]2=[1-(1-a )+(1-a )]2=1．故选D ．6.(2023·辽宁·校联考二模)已知函数f x =9ln x 2+a -3 x ln x +33-a x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<1<x 2<x 3，则3-ln x 1x 1 23-ln x 2x 2 3-ln x 3x 3的值为( )A.81B.-81C.-9D.9【答案】A【解析】f x =9ln x 2+a -3 x ln x +33-a x 2=0∴a -3 x ln x -3x 2 =-9ln x 2∴a -3=9ln x 23x 2-x ln x =9ln x x 23-ln xx令t =3-ln x x ，t ∈0,+∞ ，则ln xx =3-t ，∴t =-1-ln x x 2=ln x -1x 2令t =0，解得x =e∴t ∈0,e 时，t <0，t 单调递减；t ∈e ,+∞ 时，t >0，t 单调递增；∴t min =3-1e ，t ∈3-1e,+∞ ，∴a -3=9(3-t )2t =9t 2-54t +81t ∴9t 2-51+a t +81=0.设关于t 的一元二次方程有两实根t 1，t 2，∴Δ=51+a 2-4×9×81>0，可得a >3或a <-105.∵a -3=93-t 2t >0，故a >3∴a <-105舍去∴t 1+t 2=51+a 9>51+39=6，t 1t 2=9.又∵t 1+t 2=t 1+9t 1≥29=6，当且仅当t 1=t 2=3时等号成立，由于t 1+t 2≠6，∴t 1>3，t 2=9t 1<3(不妨设t 1>t 2).∵x 1<1<x 2<x 3，可得3-ln x 1x 1>3，3-ln x 2x 2<3，3-ln x 3x 3<3.则可知3-ln x 1x 1=t 1，3-ln x 2x 2=3-ln x 3x 3=t 2.∴3-ln x 1x 1 23-ln x 2x 2 3-ln x 3x 3=t 1t 2 2=81.故选：A .7.(2023春·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=ae x-x +3e 2x e x -x有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则1-x 1e x 121-x 2e x 21-x3ex 3的值为( )A.1B.3C.4D.9【答案】D【解析】由f x =0得a =x e x -3e xe x -x，即a =x e x -31-x e x =-1-x e x -31-x e x+1，记t =1-x e x ，且设g x =1-xex ，一方面由a =-t -3t +1得t 2+a -1 t +3=0(*)，当Δ>0时方程(*)有两个不相等的实数根t 1，t 2，且t 1+t 2=1-a ，t 1t 2=3；另一方面，由g x =x -1e x知g x 在-∞,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，g 1=1-1e，g 0 =1，当x →-∞时，g x →+∞，当x →+∞时，g x →1-，如图：t1≥1>t 2>1-1e，且1-x 1e x 1=t 1，1-x 2e x 2=1-x3ex 3=t 2，因此1-x 1e x 121-x 2e x 21-x 3e x 3=t 21⋅t 2⋅t 2=t 1t 2 2=9.故选：D8.(2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=9x 2+(a -3)xe x +3(3-a )e 2x 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3,且x 1<0<x 2<x 3, 则3-x 1e x123-x 2e x23-x 3e x 3的值是( )A.81B.-81C.9D.-9【答案】A【解析】由f (x )=9x 2+(a -3)xe x +3(3-a )e 2x 有三个不同的零点知：9x 2+(a -3)xe x +3(3-a )e 2x =0有三个不同的实根，即a -3=9x 23e 2x -xe x =9x ex 23-x ex有三个不同实根，若t =3-xe x ，则a -3=9(3-t )2t ，整理得9t 2-(a +51)t +81=0，若方程的两根为t 1,t 2，∴t 1t 2=9，而t=xe x -e x e 2x=x -1e x，∴当x <1时，t <0即t 在(-∞,1)上单调递减；当x >1时，t >0即t 在(1,+∞)上单调递增；即当x =1时t 有极小值为3-1e ，又x 1<0<x 2<x 3，x =0有t =3，即t 1>3>t 2>3-1e.∵方程最多只有两个不同根，∴x 1<0<x 2<1<x 3，即t 1=3-x 1e x 1，t 2=3-x 2e x 2=3-x 3e x3，∴3-x1e x 123-x 2e x23-x 3ex 3=t 12t 22=81.故选：A9.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)已知函数f (x )=2(a +2)e 2x -(a +1)xe x +x 2有三个不同的零点x 1,x 2,x 3，且x 1<0<x 2<x 3，则2-x1e x 122-x 2e x22-x 3e x 3的值为( )A.3B.6C.9D.36【答案】D【解析】因为f (x )=2(a +2)e 2x -(a +1)xe x +x 2，所以f (x )=e 2x 2(a +2)-(a +1)x e x +x e x 2，因为e 2x>0，所以2(a +2)-(a +1)x e x +x e x 2=0有三个不同的零点x 1,x 2,x 3，令g x =x e x ，则g x =1-x e x，所以当x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即g x 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =1e ，当x >0时x e x >0，令t =x ex ∈-∞,1e ，则2(a +2)-(a +1)t +t 2=0必有两个根t 1、t 2，不妨令t 1<0、0<t 2<1e ，且t 1+t 2=a +1，t 1t 2=2a +2 ，即t 1=x e x 必有一解x 1<0，t 2=xe x 有两解x 2、x 3，且0<x 2<1<x 3，故2-x 1e x122-x 2e x22-x 3ex 3=2-t 1 22-t 2 2=4-2t 1+t 2 +t 1t 2 2=4-2a +1 +2a +2 2=36故选：D10.(2023·陕西·统考模拟预测)已知函数f (x )=(a +3)e 2x -(a +1)xe x +x 2有三个不同的零点x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，则1-x 1e x121-x 2e x21-x 3e x 3的值为( )A.3B.4C.9D.16【答案】C【解析】f (x )=(a +3)e 2x -(a +1)xe x +x 2=e 2x x e x 2-a +1 ⋅x ex +a +3 ，e 2x >0，x e x2-a +1 ⋅xex +a +3 =0有三个不同的零点x 1,x 2,x 3.令g x =x e x ,g x =1-xe x，g x 在-∞,1 递增，在1,+∞ 上递减，g x max =g 1 =1e .x >0时，xex >0.令t =x ex ∈-∞,1e，t 2-a +1 ⋅t +a +3 =0必有两个根t 1,t 2，t 1<0,0<t 2<1e，且t 1+t 2=a +1,t 1⋅t 2=a +3，t 1=x e x 有一解x 1<0，t 2=x ex 有两解x 2,x 3，且0<x 2<1<x 3，故1-x 1e x 121-x 2e x 21-x3e x 31-t 1 21-t 22=1-t 1+t 2 +t 1⋅t 2 2=1-a +1 +a +3 2=9.故选：C11.(2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试)关于x 的方程ln x x +xln x -x+m =0有三个不等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<1<x 2<x 3，则ln x 1x 1-1 2ln x 2x 2-1 ln x 3x 3-1 的值为( )A.eB.1C.4D.1-m【答案】B【解析】令t =ln xx-1，则t =1-ln xx 2，当x >e 时，t <0，当0<x <e 时，t >0，所以t 在e ,+∞ 上递减，在0,e 上递增，所以当x =e 时，函数取得最大值1e-1，函数t =ln xx-1的图象如图所示：则ln x 1x 1-1=t 1,ln x 2x 2-1=t 2,ln x 3x 3-1=t 3，由图象知：t 2=t 3，因为关于x 的方程ln x x +xln x -x+m =0有三个不等的实数解x 1，x 2，x 3，所以方程t +1t+m +1 =0有两个不等的实数解t 1,t 2，由韦达定理得：t 1⋅t 2=1，所以ln x 1x 1-1 2ln x 2x 2-1 ln x 3x 3-1 =t 12⋅t 2⋅t 3=t 12⋅t 22=1，故选：B12.(2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)若关于x 的方程e ln x x +x e ln x +x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则ln x 21x 1+ln x 2x 2+ln x 3x 3的取值范围为( )A.0,1e B.0,e C.1,e D.0,1【答案】A【解析】由方程e ln x x +x e ln x +x +m =0，可得e ln x x +1e ln x x+1+m =0.令e ln x x =t ，则有t +1t +1+m =0，即t 2+m +1 t +m +1=0.令函数g x =e ln x x ，则g x =e ⋅1-ln x x 2，由g x >0，解得0<x <e ，g x <0，解得x >e所以g x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，且g e =1作出图象如图所示，要使关于x 的方程e ln x x +x e ln x +x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，结合图象可得关于t 的方程t 2+m +1 t +m +1=0一定有两个实根t 1，t 2，且e ln x 1x 1=t 1，e ln x 2x 2=t 2，t 1+t 2=-m +1 ，t 1t 2=m +1.所以Δ=m +1 2-4m +1 >0，解得m >3或m <-1若t 1=1，则1+m +1 ×1+m +1=0,解得m =-32，则t 2=-12此时e ln x 2x 2=t 2=-12只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.若t 1=0，则m =-1，可得t 2=0，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.要使原方程有3个不等实数根，则t 1<0<t 2<1所以m +1<0，1+m +1+m +1>0，解得-32<m <-1.所以e ln x 1x 1=t 1，e ln x 2x 2=e ln x 3x 3=t 2故ln x 21x 1+ln x 2x 2+ln x 3x 3=2e t 1+t 2 =-2m +1 e ∈0,1e.故选：A13.(2023·山西阳泉·统考三模)关于x 的方程ln x x +x ln x -x+m =0有三个不等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<1<x 2<x 3，则ln x 1x 1-1 2ln x 2x 2-1 ln x 3x 3-1 的值为A.e B.1 C.1+m D.1-m【答案】B【解析】设f x =ln x x ，则f x =1-ln x x 2，故函数在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，f e =1e，画出函数图像，如图所示：设ln x x =t ，ln x x +x ln x -x +m =0，则ln x x +1ln x x -1+m =0，即t +1t -1+m =0，化简整理得到：t 2+m -1 t +1-m =0，故t 1+t 2=1-m ，t 1t 2=1-m ，且t 1<0，0<t 2<1e，ln x 1x 1-1 2ln x 2x 2-1 ln x 3x 3-1 =t 1-1 2t 2-1 2=t 1t 2-t 1+t 2 +1 2=1.故选：B .14.(多选题)(2023秋·山东临沂·高三校联考阶段练习)若关于x 的方程e ln x x +x e ln x +x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则ln x 21x 1+ln x 2x 2+ln x 3x 3的值可能为( )A.1B.2e 3C.1e 2D.1e 【答案】BC【解析】由方程e ln x x +x e ln x +x +m =0，可得e ln x x +1e ln x x+1+m =0．令e ln x x =t ，则有t +1t +1+m =0，即t 2+(m +1)t +m +1=0．令函数g (x )=e ln x x ，则g (x )=e ⋅1-ln x x 2，所以g (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减．作出图象如图所示，要使关于x 的方程e ln x x +x e ln x +x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，结合图象可得关于t 的方程t 2+(m +1)t +m +1=0一定有两个实根t 1，t 2(t 1<0<t 2<1)，且e ln x 1x 1=t 1，e ln x 2x 2=t 2，t 1+t 2=-(m +1)，t 1t 2=m +1．所以m +1<0，1+m +1+m +1>0，解得-32<m <-1．故ln x 21x 1+ln x 2x 2+ln x 3x 3=2e (t 1+t 2)=-2(m +1)e ∈0,1e．因为2e 3∈0,1e ,1e 2∈0,1e，所以BC 都符合题意，故选：BC15.(2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考开学考试)已知函数f (x )=x x -e x +e 2x +me x x -e x 有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，e =2.718为自然对数的底数，则m -x 1e x 1-1 2x 2e x 2-1 x 3e x 3-1 的范围为______．【答案】0,1e 2-e 【解析】由f x =0，两边同时除以e x x -e x 变形为x e x +e x x -e x+m =0，有x e x +1x e x-1+m =0设x e x =t 即t +1t -1+m =0，所以t 2+(m -1)t +1-m =0令g (x )=x e x ，则g (x )=1-x e x，所以g (x )在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且g 0 =0，g 1 =1e，当x >0时，g (x )>0其大致图像如下．要使关于x 的方程x e x +e x x -e x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3．结合图像可得关于t 的方程g (t )=t 2+(m -1)t +1-m =0一定有两个不等的实数根t 1，t 2且t 1<0<t 2<1e ，从而1<m <1+1e 2-e．t 1+t 2=1-m ，t 1⋅t 2=1-m ，则x 1e x 1=t 1，x 2e x 2=x 3ex 3=t 2．所以x 1e x 1-1 2x 2e x 2-1 x 3e x 3-1 =t 1-1 2t 2-1 2=t 1-1 t 2-1 2=t 1t 2-t 1+t 2 +1 2=[1-m -(1-m )+1]2=1m -x 1e x 1-1 2x 2e x 2-1 x 3e x 3-1 =m -1∈0,1e 2-e .故答案为：0,1e 2-e。

高考数学函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【解题思路】1.嵌套函数形式：形如2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩（1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1(0)f x ax b x b a =++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+。

微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．【解析】解：函数()|2|f x x x =-，当(0,2)x ∈时，2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；作函数()|2|f x x x =-的图象如下：解(2)1x x -=，得到1x =或1x =+又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，所以(0)1f x =+f （2）01=<，f （3）31=>+，因为0(x k ∈，1)()k k Z +∈，所以2k =，故答案为：2．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．【解析】解：当(0,2)x ∈时，2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；作函数()|2|f x x x =-的图象如下，解|2|1x x -=得，1x =或1x =+；又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，0()1f x ∴=+；且f （2）01=<+f （3）31=>+；故2k =．故答案为：1，2．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：令()(())10g x f f x =-=，可得1()2f x =-或()1f x =或()4f x =，函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩的图象如图所示，由图象可知，当1()2f x =-时，有1个解；当()1f x =时，有3个解；当()4f x =时，有1个解．综上所述，函数()(())1g x f f x =-的零点个数为5个．故选：C ．变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9【解析】解：令()1f x =，解得2x =或1x =-，则令()0g x =，可得()2f x =±()1f x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图象可知，()2f x =+3个零点，()2f x =-3个零点，()1f x =-有1个零点，故函数()g x 有7个零点．故选：B ．变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：设()1M f x =+，解()0f M =，得2M =或1M =-，①当1M =-时，由()11f x +=-，得2log ()2x -=-或22x -=-，即得0x =或14x =-；②当2M =时，由()12f x +=得()1f x =，即2log ()1x -=或21x -=，即2x =-或3x =，综合①②得：函数()[()1]g x f f x =+的零点为：2x =-或3x =或0x =或14x =-共4个；故选：D ．变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．【解析】集合{|()0A x f x ==，}，{|(())0}B x f f x ==A B∴⊆2211{|(()0}{|()()0}{|[(()]}24B x f f x x f x f x q x f x q ∴===++==++-B 为单元集，1()2f x ∴=-，1{}4B q ∴=-，2{|()0}{|0A x f x x x x q ===++=，}x R ∈，当A =∅时，B =∅不符题意，故A ≠∅，当1{|}2A x x ==-时，△140q =-=，解得：14q =，222111(())()()0444f f x x x x x ∴=++++++=，△11404=-⨯=21142x x ∴++==-，2304x x ++=，方程无解，不符B 为单元集，故1{|}2A x x ≠=-．∴方程20x x q ++=有2个不相等的实数解：12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A ∴=A B⊆∴B14q =-，解得：134q -+=或234q --=（舍去）．B时有：1q =或2q =．综上，1q =题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ （1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）f （1）123=--=-，[g f （1）](3)312g =-=-+=-，即[g f （1）]2=-．（2）令()f x t =，则原方程化为()g t a =，易知方程()f x t =在(,1)t ∈-∞内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数()y g t =(1)t <与y a =的图象有2个不同的交点，作出函数()y g t =(1)t <的图象，如图；g （1）15144=+=，11()2142g x x x =+=⨯= ，由图象可知，当514a <时，函数()y g t =，(1)t <与y a =有2个不同的交点，即所求a 的取值范囿是[1，5)4．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ ，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）令220x x --=得，0x =，或2x =-；∴当2x - ，或0x 时，()0f x ，当20x -<<时，()0f x >；()()()21,20421,20f x x f x h x x x x x ⎧+-<<⎪∴=⎨⎪--+-⎩或 ；①当2x - 时，函数()h x 为增函数；0x 时，函数()h x 为减函数；②当20x -<<时，令()f x t =，01t <<，设()y h x =，则：14y t t=+，01t <<，22414t y t -'=，1(0,)2t ∴∈时，0y '<，14y t t =+为减函数，1(2t ∈，1)时，0y '>，14y t t=+为增函数；令21()22f x x x =--=，则212x =-±，当212x -<<--时，()f x 为增函数，()g x 为减函数，故()h x 为减函数；当112x --<<-时，()f x 为增函数，()g x 为增函数，故()h x 为增函数；当11x -<<-+()f x 为减函数，()g x 为增函数，故()h x 为减函数；当10x -+<<时，()f x 为减函数，()g x 为减函数，故()h x 为增函数；综上所述，函数()h x的单调递增区间为[12--，1]-，[12-+，)+∞，(-∞，2]-；（2）由（1）可得，当0x 或2x - 时，()1h x ；1x =-时，()h x 取得极大值54；1x =-时，()h x 取得极小值1；12x =-+时，()h x 取得极小值1．由方程()0h x a -=有4个不同的实数很，即为()y h x =的图象与直线y a =有4个交点．则a 的取值范围是[1，5)4．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ ，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．【解析】解：令220x x --=得，0x =，或2x =-；∴当2x - ，或0x 时，()0f x ，当20x -<<时，()0f x >；∴()()()21,20421,2,0f x x f x h x x x x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪--+-⎩或 ；（1）当2x - 时，函数()h x 为减函数；（2）当20x -<<时，令()f x t =，01t <<，设()y h x =，则：14y t t=+，01t <<，22414t y t -'=；∴1(0,)2t ∈时，0y '<，14y t t =+为减函数，1(,1)2t ∈时，0y '>，14y t t=+为增函数；令21()22f x x x =--=，则12x =-±，当2212x -<<--时，()f x 为增函数，()g x 为减函数，故()h x 为减函数；当11x -<-时，()f x 为增函数，()g x 为增函数，故()h x 为增函数；当112x -<<-+时，()f x 为减函数，()g x 为增函数，故()h x 为减函数；当102x -+<<时，()f x 为减函数，()g x 为减函数，故()h x 为增函数；（3）当0x 时，()h x 为增函数；综上所述，函数()h x的单调递增区间为[12--，1]-，[12-+，)+∞．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．【解析】解：由题意可得函数[()]y g f x =与函数y a =有4个交点，如图所示：，结合图象可得514a < ，故答案为[1，5)4．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩ ，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a 【解析】解：函数32()31f x x x =-+，21,0()()468,0x x g x g x xx x x ⎧+>⎪==⎨⎪---⎩ ，2()36f x x x ∴'=-，令()0f x '=得：0x =，或2x =，故当0x =时，函数()f x 取极大值1，当2x =时，函数取极小值3-；则()f x 与y m =的交点情况为：当3m <-，或1m >时，有一个交点；当3m =-，或1m =时，有两个交点；当31m -<<时，有三个交点；()g x 与y a =的交点情况为：当01a <<时有两个交点，一个在区间(4,3)--上，一个在区间(3,2)--上；当1a =时有两个交点，一个为3-，一个为12；当1a >时有两个交点，一个在区间1(0,)2上，一个在区间1(2-，1)上．若方程[()]0g f x a -=有6个解，()0g m a -=有两个根，均在(3,1)-上，故5(1,4a ∈，故选：A ．题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．【解析】解：（1）2()42f x x x =++，由242x x x ++=，解得2x =-或1x =-，所以所求的不动点为1-或2-．（2）令2(1)1ax b x b x +++-=，则210ax bx b ++-=①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△24(1)0b a b =-->，即2440b ab a -+>恒成立，则△216160a a =-<，故01a <<．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12()x x ≠，22()541ag x x a a =-+-+，又AB 的中点在该直线上，所以12121222()225412x x x x x x ag a a +++=-+=-+，∴1222541ax x a a +=-+，而1x ，2x 应是方程①的两个根，所以12b x x a +=-，即22541b aa a a -=-+，∴2222222111541()4()5(2)1a b a a a a a =-=-=--+-+-+，∴当1(0,1)2a =∈时，2min b =-．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，因为0x 为()f x 的不动点，所以20003x x x --=，即20230x x --=解得01x =-，03x =，所以1-和3是2()3f x x x =--的不动点．（Ⅱ）因为()f x 恒有两个相异的不动点，即方程()f x x =恒有两个不同的解，即2()10f x ax bx b =++-=有两个不相等的实数根，所以24(1)0b a b -->恒成立，即对任意b R ∈，2440b ab a -+>恒成立，所以2(4)440a a --⨯<，所以20a a -<，所以01a <<，所以a 的取值范围为(0,1)．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．【解析】解：存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立∴存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）即函数()f x 与其反函数1()f x -在[0，1]上有交点()f x =[0，1]上为增函数∴函数()f x 与其反函数1()f x -在[0，1]的交点在直线y x =上，即函数()f x 与其反函数1()f x -的交点就是()f x 与y x =的交点令：22x e x a x +-=，则方程在[0，1]上一定有解x a e ∴=，1a e ∴ ．故答案为：1a e ．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．【解析】解：函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，即为2()f x x c x ++>，即222()2x x c x x c x +++++>，可得222()20x x c x c ++++>恒成立，由222()0x x c x +++ ，即有0c >，故答案为：0c >．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立【解析】解：对于A ：函数()f x x =，{|}A x x x R B ====，故A 正确；对于B ：若()f x 为二次函数，A 是空集，则对任意实数x ，方程()f x x =无解，这样(())f f x x =也无解，所以B 也为空集，故B 正确；对于C ：函数1()(2x f x =为单调减函数，任取0x A ∈，则001(2x x =，而00001(())(())()2x f f x f f x x ===，即A B ⊆，反之，任取0y B ∈，则001(())2y f y =，若001()2y y >，则001(())2y y <，出现矛盾，若001()2y y <，则001(())2y y >，出现矛盾，所以001()2y y =，则B A ⊆，综上所述，A B =，故C 正确；对于D ：对于函数()b f x x=，由()bf x x x==，得2x b =，当0b >时，x =所以{A =，又(())()b bf f x f x b xx===，所以{|0}B x x =≠，所以A B ≠，故D 错误；故选：D ．变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-【解析】解：0x 为函数()f x 的“不动点”，则方程()f x x =，即210ax x +-=有实根，故△140a =- ，14a ∴，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根0x 为方程(())f f x x =，即21ax x +=的实根，方程(())f f x x =可化为：22(1)1a ax x ++=，即2222(1)1a ax ax ax x +-++=，利用平方差公式分解因式得，222(1)(1)()0a ax x ax x x a x ∴+++-++-=，22()(1)0a x a x x x a ∴+-+++=，函数2()1()f x ax a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程210x x a +++=无实数根，14(1)0a ∴-+<，∴34a >-，综上，1344a >- ，故选：C ．变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14【解析】解：0x 为函数()f x 的“不动点”，则方程()f x x =，即20x a x +-=有实根，故△140a =- ，∴14a，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根0x 为方程(())f f x x =，即2x a x +=的实根，方程(())f f x x =可化为：22()x a a x ++=，即2222()x a x x a x +-++=，利用平方差公式分解因式得，222()()()0x a x x a x x a x ∴+++-++-=，22()(1)0x a x x x a ∴+-+++=，函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程210x x a +++=无实数根，14(1)0a ∴-+<，∴34a >-，当34a =-时，221104x x a x x +++=++=解得12x =-，此时22304x a x x x +-=--=的解为112x =-，232x =，两方程具有相同的实根，能同时满足20x a x +-=有实根且22()(1)0x a x x x a +-+++=有实根，因此34a =-满足题意．综上，3144a - ，故选：D ．变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]【解析】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ），其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立”，转化为“存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[0b ∈，1]，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[0b ∈，1]，x =，化简整理得2x a x -=．[0x ∈，1]，即2a x x =-，[0x ∈，1]，∴根据二次函数的性质得出：104a即实数a 的取值范围为[0，1]4．故选：A ．变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +【解析】解：因为存在[0b ∈，1]，使[f f （b ）]b =成立，所以存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ），即函数()f x 与其反函数在[0，1]上有交点，因为函数()f x =[0，1]上为单调递增函数，所以函数()f x 与其反函数在[0，1]的交点在直线y x =上，即函数()f x 与其反函数的交点即为()f x 与y x =的交点，x =，即22x e x x a x ++-=在[0，1]上有解，所以x a e x =+在[0，1]上有解，因为x a e x =+在[0，1]上单调递增，所以11a e + ，则a 的取值范围为[1，1]e +．故选：D ．变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]【解析】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ），其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[1b ∈，]e 使(f f （b ）)b =成立”，转化为“存在[1b ∈，]e ，使f （b ）1f -=（b ）”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[1b ∈，]e ，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[1b ∈，]e ，x =，化简整理得lnx a =．记()F x lnx =，()G x a =，由[1x ∈，]e ，可得()[0F x ∈，1]，即01a ．即实数a 的取值范围为[0，1]．故选：A ．变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,]8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞【解析】解：设()f x t =，0t ，则方程(())f f x x =等价为()f t x =，即tx==，t x ∴=，即()f x x =，∴x =在0x 时有解，即2x a x -=，2a x x ∴=-+在0x 时成立，设22211()()()24g x x x x x x =-+=--=--+，x ∴当12x =时，()g x 取得最大值14，1()4g x ∴，即14a，故选：A ．题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++【解析】解：函数(())y f g x x =-有零点，∴方程(())f g x x =有解，((()))()g f g x g x ∴=，(())g f x x ∴=有解，若21(())5g f x x =-，则可判断215x x -=有解，故成立；若21(())5g f x x =+，则可判断215x x +=有解，故成立；若21(())5g f x x x =+-，则可判断215x x x +-=有解，故成立；若21(())5g f x x x =++，则可判断215x x x ++=无解，故不成立；故选：D ．例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+【解析】解：因为[()]0x g f x -=，所以[()]g f x x =，得{[()]}()f g f x f x =，即[()]f g x x =，所以[()]g f x x =与[()]f g x x =是等价的，即[()]x g f x =有解，[()]f g x x =也有解，也就是说有解得都是有可能的，A ．当32x x -=时，1x =成立；B ．当23x x -=时，23x x =+结合图象有解；C ．当4|1|5x x --+=时，即4|1|5x x -=-，当1x 时，得910x =，舍去；当1x <时，无解，故方程无解，C 错误；D ．当4|1|5x x -+=时，得910x =有解．故选：C ．例12．函数()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，若[()]x g f x =方程有解，则函数[()]g f x 不可能是()A ．215x x +-B ．215x -C ．215x x ++D ．215x +【解析】解：[()]x g f x =方程有解，得[()]g f x x =方程有实根，直接把四个答案分别代入，发现只有C 无解；题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个C ．故选：C ．题型五：含参二次函数复合型零点问题例13．设定义域为R 的函数|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则(m =)A ．6m =B ．2m =C ．6m =或2D ．6m =-【解析】解：当2m =时，由2()5()40f x f x -+=得()1f x =或()4f x =，当0x 时，|1|()51x f x -=-，由|1|511x --=得51log 2x =±均符合，由|1|514x --=得0x =，2x =均符合，当0x <时，2()44f x x x =++，由2441x x ++=得1x =-，3x =-均符合，由2444x x ++=得0x =（舍)，4x =-符合，故2m =时，关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，所以排除A 和D ；当6m =时，由2()13()90f x f x -+=得()4f x =或()9f x =，当()4f x =时，已经解出0x =，2x =，4x =-均符合；当()9f x =时，由|1|0519x x -⎧⎨-=⎩ ，解得51log 10x =+，由20449x x x <⎧⎨++=⎩得5x =-，故6m =时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C ．故选：B ．例14．设定义域为R 的函数|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则(m =)A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2【解析】解：题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数根，结合函数()f x 的图象可得，令()t f x =，则关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根大于4或等于0．把4t =代入方程22(21)0t m t m -++=求得2m =或6m =．当2m =时，关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根等于1，不满足条件．当6m =时，关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根等于9，满足条件．故选：A．例15．设定义域为R 的函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，则b c +值为()A ．0B ．1C ．1-D ．不能确定【解析】解：作函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，∴方程20x bx c ++=有2个不同的实数解1，1x ，11x b ∴+=-，11x c =，故1111b c x x +=--+=-，故选：C．变式14．设定义域为R 的函数|1|21,(1)(),(1)x x f x a x --⎧+≠=⎨=⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．3(0,)2C ．(1,2)D ．33(1,)(,2)22【解析】解：作出()f x 的图象如图：设()t f x =，则方程等价为22(23)30t a t a -++=，由图象可知，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出()f x 的简图：由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根．所以有：12a <<①．再根据22()(23)()30f x a f x a -++=有两个不等实根，则判别式△2(23)4230a a =+-⨯⨯>，解得32a ≠，故312a <<或322x <<，故选：D．变式15．设定义域为R 的函数|1|(1)()1()1(1)2x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．11(0,)(,1)22C ．(1,2)D ．33(1,)(,2)22【解析】解：题中原方程22()(23)()30f x a f x a -++=有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出()f x 的简图：由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根．所以有：12a <<①．再根据22()(23)()30f x a f x a -++=有两个不等实根，得：△23(23)42302a a a =+-⨯⨯>⇒≠②结合①②得：312a <<或322a <<．故选：D ．变式16．设定义域为R 的函数2,1()|(1)|,1x x f x lg x x ⎧=⎨->⎩ ，若关于x 的方程2()()0f x bf x +=有4个不同的实根，则实数b 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(0，2]C ．[2-，0)D ．(,2)-∞-【解析】解：作函数2,1()|(1)|,1x x f x lg x x ⎧=⎨->⎩的图象如下，，2()()0f x bf x +=，()0f x ∴=或()f x b =-，结合图象可知，方程()0f x =有且仅有一个根2x =，故方程()f x b =-有3个不同的根，故02b <- ，故20b -< ，故选：C ．变式17．（多选题）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是()A ．{1，2}B ．{1，3，6，9}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}【解析】解：2()f x ax bx c =++的对称轴为直线2b x a=-，设方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解为1()f x ，2()f x ，则必有211()f x y ax bx c ==++，222()f x y ax bx c ==++，那么从图象上看，1y y =，2y y =是一条平行于x 轴的直线，它们与()f x 有交点，由对称性，则方程21y ax bx c =++的两个解1x ，2x 要关于直线2b x a =-对称，即12b x x a+=-，同理方程22y ax bx c =++的两个解3x ，4x 也要关于直线2b x a =-对称，即34b x x a+=-，在A 中，可以找到对称轴为直线32x =，在C 中，可以找到对称轴为直线 2.5x =，在B 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案B 不可能，在D 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D 不可能，故选：BD ．变式18．设定义域为R 的函数2|1|,0()(1),0x x f x x x +⎧=⎨->⎩，找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个不同的实根．【解析】解：()f x 的图象如图所示：32b =-，12c =满足条件，理由如下：设()f x t =，20t bt c ++=，由图象可得以上有关于t 的方程必须有一解为1，另一解a 在区间(0,1)中，才会使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个解．其中，()1f x =有3个解，()(0f x a =∈，1)有四个解．所以可令11t =，212t =，即可得方程231022x x -+=，则32b =-，12c =．故答案为：32b =-，12c =．变式19．设定义域为R 的函数|1|2,(0)(),(0)x a x f x x bx c x -⎧=⎨++<⎩，f （2）4=，(3)(1)1f f -=-=．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，求实数m 的值．【解析】解：（1）由题意，f （2）4a ==；(3)931f b c -=-+=，(1)11f b c -=-+=；则4a =，4b =，4c =；故|1|24,0()44,0x x f x x x x -⎧=⎨++<⎩ ；（2）作|1|24,0()44,0x x f x x x x -⎧=⎨++<⎩的图象如下，则若使关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则22(21)0t m t m -++=有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；若1是22(21)0t m t m -++=得解，则21(21)0m m -++=；故0m =或2m =；若0m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为1，0；不成立；若2m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为1，4；由图知不成立；若4是22(21)0t m t m -++=得解，则2164(21)0m m -++=；故6m =或2m =；若6m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为4，9；不成立；故不存在．题型六：零点求和问题例16．设定义域为R 的函数1,11()1,11,11x x f x x x x⎧>⎪-⎪==⎨⎪⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值是()A ．1B ．3C ．5D ．10【解析】解：令()f x t =，做出()f x 的函数图象如下：由图象可知当1t =时，()f x t =有三解，当01t <<或1t >时，()f x t =有两解，当0t 时，方程()f x t =无解．关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的解1x ，2x ，3x ，()1f x ∴=，当1x <时，令111x=-解得0x =，当1x >时，令111x =-解得2x =，当1x =时，显然1x =是()1f x =的解．不妨设123x x x <<，则10x =，21x =，32x =，∴2221235x x x ++=．故选：C ．例17．设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++等于()A ．5B ．4C ．1D ．0【解析】解：分段函数的图象如图所示：由图可知，只有当()1f x =时，它有三个根．由11|1|x =-，即|1|1x -=，解得0x =，2x =或1x =．∴关于x 的方程2()()0f x af x b ++=有且只有3个不同实数解，解分别是2，1，0，即12x =，21x =，30x =，2221234105x x x ∴++=++=，故选：A ．例18．设定义域为R 的函数|2|,2()4,2lg x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解(1i x i =，2，3，4，5)，则12345(2)(f x x x x x +++++=)A ．12B ．14C ．2D ．1【解析】解：画出()f x 的图象，由于关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，令()f x t =，则20t bt c ++=有两个不等的实数根，且其中一个为2，画出直线(2)y m m =≠，得到5个交点，其横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，设32x =，且12345x x x x x <<<<，由于|2|y lg x =-的图象关于直线2x =对称，则15244x x x x +=+=，即有1234510x x x x x ++++=，则12345(2)(12)101f x x x x x f lg +++++===，故选：D ．变式20．（多选题）设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．下列说法正确的是()A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-【解析】解：因为函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，作出函数图象如图所示，关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解，由图象可知，只有当()1f x =时，方程有三个根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，故12x =-，21x =-，30x =，所以2221235x x x ++=，故选项A 正确；当()1f x =时，由2[()]()0f x af x b ++=，可得10a b ++=，故选项B 正确；因为1322022x x x +=-+=-=，故选项C 错误；因为13202x x +=-+=-，故选项D 正确；故选：ABD ．变式21．设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345x x x x x ++++=．【解析】解：作出函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，如图所示，令()f x t =，由图象可知，当1t =时，方程()f x t =有3个根，当01t <<或1t >时，方程()f x t =有2个根，则方程2()()0f x bf x c ++=，等价于20t bt c ++=，因为方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，所以等价于方程20t bt c ++=有两个实数解11t =，或201t <<，或21t >，可得这5个根也关于直线1x =对称，所以123455x x x x x ++++=．故答案为：5．题型七：其他型例19．已知()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有13[()log ]4f f x x +=，且方程|()3|f x a -=在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是()A ．01a <B ．1a <C ．01a <<D ．1a 【解析】解：()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，对任意的(0,)x ∈+∞，都有13[()log ]4f f x x +=，∴必存在唯一的正实数a ，满足13()log f x x a +=，f （a ）4=①，f ∴（a ）13log a a +=②，由①②得：134log a a +=，即13log 4a a =-，41(3a a -∴=，解得3a =．故13()log 3f x x a +==，13()3log f x x ∴=-，由方程|()3|f x a -=在区间(0，3]上有两解，即有13|log |x a =在区间(0，3]上有两解，作出13|log |y x =的图象，如图所示：，结合题意，01a < ，故选：A ．例20．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12[()log ]3f f x x +=”，则方程()2f x =+()A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解：定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，满足12[()log ]3f f x x +=，()2f x =+，∴必存在唯一的正实数a ，满足12()log f x x a +=，f （a ）3=，①∴12()log f a a a +=，②由①②得：123log a a +=，12log 3a a =-，31()2a a -=，左增，右减，有唯一解2a =，故12()log 2f x x a +==，12()2log f x x =-，由122log 2x -=+，得2log x =∴x =，令0t =>，则22t t =，此方程只有两个正根2t =，或4t =，4x ∴=，或16x =．故方程()2f x =+2．故选：B ．例21．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有12[()log ]3f f x x +=，则方程3()2f x x =-的解的个数是．【解析】解：定义域为(,)O +∞的单调函数()f x ，满足12[()log ]3f f x x +=，3()2f x x =-，∴必存在唯一的正实数a ，满足12()log f x x a +=，f （a ）3=，①f ∴（a ）12log a a +=，②由①②得：123log a a +=，12log 3a a =-，31()2a a -=，左增，右减，有唯一解2a =，故12()log 2f x x a +==，12()2f x log x =-，由31222log x x -=-，得312log x x =，∴由函数图象可知3()2f x x =-的解只有一个．故答案为1．。

专题11 零点嵌套问题1．已知函数2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为( ) A ．1a − B ．1a − C ．1− D ．12．已知1x ，2x ，3x 是函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−三个不同的零点，且123x x x <<，设1(1i i i lnxM i x =−=，2，3)，则2123(M M M = )A ．1B ．1−C ．eD ．1e3．已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+−+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x ．其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−的值为( ) A ．1B ．2(1)a −C ．1−D ．1a −4．已知函数2()()x x x axf x a e e =+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( ) A ．1B ．1−C ．aD ．a −5．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e +++的值为( ) A ．1m + B ．e C ．1m − D ．16．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=−有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( ) A ．e B ．1m − C ．1m + D ．17．若关于x 的方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<其中m R ∈，2.71828e…，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)x x x e e e −+−+−+ 的值为( )A ．eB ．4C ．1m −D ．1m +8．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．(−∞，10)(2e∪，)+∞ D ．1(2e，)+∞ 9．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．1(,0)[,)2e−∞+∞ D ．1[,)2e+∞ 10．已知函数()(21)u x e x m =−−，()()x ln x m lnx υ+−若存在m ，使得关于x 的方程2()()a u x x x υ= 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是( ) A ．1(,0)(,)2e−∞+∞ B ．(,0)−∞ C ．1(0,)2eD ．1(,0)[,)2e−∞+∞ 11．已知2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 ．12．已知函数2()x f x ax lnx x lnx=+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为 ．专题11 零点嵌套问题1．已知函数2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为( ) A ．1a − B ．1a − C ．1− D ．1【解析】解：令()0f x =，分离参数得x lnxa x lnx x−−， 令()x lnxh x x lnx x=−−， 由22(1)(2)()0()lnx lnx x lnx h x x x lnx −−′==−，得1x =或x e =． 当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<． 即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．12301x x e x ∴<<<<<，11x lnx lnx alnx x lnx x x =−=−−−，令lnxxµ=， 则11aµµ−−，即2(1)10a a µµ+−+−=， 1210a µµ+=−<，1210a µµ=−<，对于lnx x µ=，21lnxxµ−′= 则当0x e <<时，0µ′>；当x e >时，0µ′<．而当x e >时，µ恒大于0． 画其简图，不妨设12µµ<，则111lnx x µ=，322323lnx lnx x x µµ===， 22312123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x µµµ−−−=−−− 2212[(1)(1)][1(1)(1)]1a a µµ=−−=−−+−=．故选：D ．2．已知1x ，2x ，3x 是函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−三个不同的零点，且123x x x <<，设1(1i i i lnx M i x =−=，2，3)，则2123(M M M = )A ．1B ．1−C ．eD ．1e【解析】解：令()0f x =得x lnx a x lnx x−−， 令lnx t x =，则11x t x lnx t=−−−，11a t t ∴=−−． 即2(1)10t a t a +−+−=． 令()lnx g x x =，则21()lnxg x x−′=， ()g x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，且当01x <<时，()0g x <，当x e >时，()0g x >， ()g x g ∴…（e ）1e =，∴当10t e<<时，关于x 的方程()g x t =有两大于1的解，当0t …时，关于x 的方程()g x t =只有一小于1的解． 当1t e=时，关于x 的方程()g x t =有唯一解x e =． ()f x 有三个不同的零点，∴关于t 的方程2(1)10t a t a +−+−=在(−∞，10]{}e 和1(0,)e上各有1个解． 不妨设两解为1t ，2t ，则121t t a +=−，121t t a =−， 若1t e =，则11e a e e=−−，此时方程的另一解为1101e t a e e =−−=−<−， ∴原方程只有两解，不符合题意；同理0t =也不符合题意；设120t t <<，则111M t =−，2321M M t ==−， ∴2222123121212(1)(1)(1)1M M M t t t t t t =−−=−−+=．故选：A ．3．已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+−+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x ．其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−的值为( ) A ．1B ．2(1)a −C ．1−D ．1a −【解析】解：令x t xe =，则(1)x t x e ′=+， 故当(1,)x ∈−+∞时，0t ′>，x t xe =是增函数， 当(,1)x ∈−∞−时，0t ′<，x t xe =是减函数， 可得1x =−处x t xe =取得最小值1e−，x →−∞，0t →，画出x t xe =的图象，由()0f x =可化为2(1)10t a t a +−+−=，故结合题意可知，2(1)10t a t a +−+−=有两个不同的根， 故△2(1)4(1)0a a =−−−>，故3a <−或1a >， 不妨设方程的两个根分别为1t ，2t ， ①若3a <−，1214t t a +=−>， 与1220t t e−<+<相矛盾，故不成立；②若1a >，则方程的两个根1t ，2t 一正一负；不妨设120t t <<，结合x t xe =的性质可得，_111x x e t =，_221x x e t =，_332x x e t =， 故3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−2112(1)(1)(1)t t t =−−− 21212(1())t t t t =−++又121t t a =− ，121t t a +=−，31222123(1)(1)(1)(111)1x x x x e x e x e a a ∴−−−=−++−=． 故选：A ．4．已知函数2()()x x x axf x a e e =+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( )A ．1B ．1−C ．aD ．a −【解析】解：令()x x t x e =，则1x xt e−′=， ∴当1x <时，()0t x ′>，函数()t x 在(,1)−∞单调递增，当1x >时，()0t x ′<，在(1,)+∞单调递减，且()1()1t x t e==极大值， 由题意，2()g t t at a =+−必有两个根10t <，且210t e<<，由根与系数的关系有，12t t a +=−，12t t a =−，由图可知，1x x t e =有一解10x <，2xxt e =有两解2x ，3x ，且2301x x <<<， 故12322222312122121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)][1()](1)1x x x x x x t t t t t t t t t a a e e e−−−=−−−=−−=−++=+−=． 故选：A ．5．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e +++的值为( )A ．1m +B ．eC ．1m −D ．1【解析】解：由方程0xx xx e m e x e ++=+ ⇒101xxxm x e ++=+， 令xxte =，则有101t m t ++=+． 2(1)10t m t m ⇒++++=， 令函数()x x g x e =，1()xx g x e −′=， ()g x ∴在(,1)−∞递增，在(1,)+∞递减，其图象如下，要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<< 结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t << 且111x x t e =，23322x x x x t e e ==， 1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e∴+++ 212[(1)(1)]t t =++．121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m ++=+++=+−++=．1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]1x x x x x x t t e e e ∴+++++． 故选：D ．6．若关于x 的方程0x x x x e m e x e ++=−有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( )A ．eB ．1m −C ．1m +D ．1【解析】解：由方程0xx xx e m e x e ++=−⇒101x x x m x e ++=−， 令xx t e =，则有101t m t ++=−． 2(1)10t m t m ⇒+−+′−=， 令函数()xxg x e =，1()x x g x e −′=， ()g x ∴在(,1)−∞递增，在(1,)+∞递减，其图象如下，要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=−有3个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<< 结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m +−+′−=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t << 且111x x t e =，23223x x x x t e e== ∴1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]x x x x x x t t e e e−−−−−． 121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m −−=−++=−−−+=． ∴1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]1x x x x x xt t e e e−−−−−．故选：D ．7．若关于x 的方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<其中m R ∈，2.71828e…，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)x x x e e e −+−+−+ 的值为( )A ．eB ．4C ．1m −D ．1m +【解析】解：令|1|x t e =−，函数|1|x y e =−的图象如下：方程22|1|00|1|11x xe m t m e t −++=⇒++=−++．即2(1)20t m t m ++++=， 要使方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<，则方程2(1)20t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ， 可验证0t =或1不符合题意，所以方程2(1)20t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，且1201t t <<<． 且_1_21|1||1|x x e e t −=−=，_32|1|x e t −=， 则3122212(|1|1)(|1|1)(|1|1)[(1)(1)]x x x e e e t t −+−+−+++ ． 121212(1)(1)()1(2)(1)12t t t t t t m m ++++++−++．则3122212(|1|1)(|1|1)(|1|1)[(1)(1)]4x x x e e e t t −+−+−+++ ， 故选：B ．8．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．(−∞，10)(2e∪，)+∞ D ．1(2e，)+∞ 【解析】解：由题意得1(12)(1)(2)2m me ln t e lnt a x x−=+−+=−，(11)m t x +>， 令()(2)f t t e lnt =−，(1)t >， 则2()1ef t lnt t′=+−，212()0e f t t t ′′=+>，当t e >时，()f t f ′>′（e ）0=，当1t e <<时，()f t f ′<′（e ）0=， ()f t f ∴…（e ）e =−， 12e a∴−>−， 而1t →时，()0f t →， 则要满足102e a−<−<， 解得：12a e>， 故选：D ．9．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．1(,0)[,)2e−∞+∞ D ．1[,)2e+∞ 【解析】解：由(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=得 2(2)0x mx a x m ex lnx+++−=， 即12(2)0x m x ma e ln x x+++−=， 即设x mt x+=，则0t >， 则条件等价为12(2)0a t e lnt +−=， 即1(2)2t e lnt a−=−有解，设()(2)g t t e lnt =−， 2()1eg t lnt t′=+−为增函数， g ′ （e ）211120elne e=+−=+−=， ∴当t e >时，()0g t ′>，当0t e <<时，()0g t ′<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值为：g （e ）(2)e e lne e =−=−， 即()g t g …（e ）e =−， 若1(2)2t e lnt a−=−有解，则12e a −−…，即12e a…， 则0a <或12a e…， ∴实数a 的取值范围是1(,0)[2e−∞ ，)+∞． 故选：C ．10．已知函数()(21)u x e x m =−−，()()x ln x m lnx υ+−若存在m ，使得关于x 的方程2()()a u x x x υ= 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是( )A ．1(,0)(,)2e −∞+∞ B ．(,0)−∞ C ．1(0,)2e D ．1(,0)[,)2e−∞+∞ 【解析】解：由2()()a u x x x υ= 可得[2(21)2]0x m a e x am lnx x +−−−= ， 即2[(21)]10m x m a e ln x x +−−−= ，即2(2)10x m x m a e ln x x ++−−= ， 令x m t x +=，则方程1(2)2e t lnt a−=有解． 设()(2)f t e t lnt =−，则22()1e t e f t lnt lnt t t −′=−+=−+−， 显然()f t ′为减函数，又f ′（e ）0=，∴当0t e <<时，()0f t ′>，当t e >时，()0f t ′<，()f t ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，()f t ∴的最大值为f （e ）e =， ∴12e a …，解得0a <或12a e…． 故选：D ．11．已知2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 (1，11)(1)e e +− ． 【解析】解：令()0f x =，分离参数得x lnx ax lnx x −−， 令()x lnx h x x lnx x =−−， 由22(1)(2)()0()lnx lnx x lnx h x x x lnx −−′==−，得1x =或x e =． 当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<． 即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．1x ∴=时，()h x 有极小值h （1）1=；x e =时，()h x 有极大值h （e ）11(1)e e =+−； 设lnxx µ=，则1µ<；这是因为对于函数y lnx x =−，0x >，有1xy x −′=，当01x <<时，0y ′>，函数单调递增；当1x >时，0y ′<，函数单调递减； 即1x =时函数有极大值，也是最大值1−，故0x ∀>，0lnx x −<，lnx x <，即得1lnxx <；11()(1)121111h x µµµµ=−=+−−−=−−…；∴当2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，即y a =与()y h x =有三个不同的交点； 111(1)a e e ∴<<+−．故答案为：(1，11)(1)e e +−．12．已知函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnxlnxlnx x x x −−−的值为 1 ． 【解析】解：由2()0x f x ax lnx x lnx =+−=−分离参数得x lnxa x lnx x −−， 令()x lnxh x x lnx x =−−， 由222211(1)(2)()0()()lnxlnx lnx lnx x lnx h x x lnx x x x lnx −−−−′=−==−−，得1x =或x e =．当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<．即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．而当0x →，()h x →+∞，当x →+∞，()1h x →， 又h （1）1=，h （e ）11(1)e e =+−； 结合函数的单调性可得，实数a 的取值范围为(1，11)(1)e e +−． 则12301x x e x <<<<<， 11x lnx lnx a lnx x lnx x x =−=−−−，令lnx x µ=， 则11aµµ−−，即2(1)10a a µµ+−+−=， 1210a µµ+=−<，1210a µµ=−<， 对于lnx xµ=，21lnx x µ−′= 则当0x e <<时，0µ′>；当x e >时，0µ′<．而当x e >时，µ恒大于0． 画其简图，不妨设12µµ<，则31212123,lnx lnx lnx x x x µµ===， ∴22231212212123(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]lnx lnx lnx x x x µµµµµ−−−=−−−=−− 221212[1()][1(1)(1)]1a a µµµµ=−++=−−+−= 故答案为：1。

专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。

可以说是函数中最困难的部分都不为过，如果能把该板块内容理解透彻，那你对函数的理解有上了一个新的台阶。

我们常见有两类嵌套函数分别是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的，再利用数形结合的思想解决具体问题即可。

1.嵌套函数形式：形如f(g(x))2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．目录题型一嵌套（复合）函数求值问题 (2)题型二分段函数等值线（方程根之间的数量关系） (2)题型三分段函数，复合函数由单调性求取值范围 (5)题型四分段函数的满足某条件求参数范围 (6)题型五关于的f(x)的一元二次方程或嵌套函数 (7)题型六分段函数与嵌套函数综合（画2个函数图像） (9)题型一 嵌套（复合）函数求值问题1． 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为________.2． 任意时，恒成立，且函数y ＝f (t )单调，则_________.3． 已知函数f (x )是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m 的取值范围是_______.题型二 分段函数等值线（方程根之间的数量关系）4．设函数若函数有三个零点:，则________.()f x R x ()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦()2log 3f t R +∈1[()]2f f t t −=1()2019f =()2[3)]1(f f x ln x ln －＋＝＋()f x ()f x ＝()xf x m e ＞－0[)x ∈∞，＋1,2()log |2|1,21a x f x x x a =⎧=⎨−+≠>⎩，2()[()]()g x f x bf x c =++123,,x x x 122313x x x x x x ++=重点题型·归类精讲5．已知函数若存在实数，且，则的取值范围是 ．6．已知函数2()|54|f x x x kx =−+−有三个零点123,,x x x ，则123x x x ++=（ ） A.7 B.8 C.15 D.167． 设函数，关于的方程有4个不相等的实数根，则 的最小值为8．已知函数.，若关于x 的方程有四个不同的且有则的取值范围是_______9．已知函数,若方程有4个不同的实根，且,则 .【相似题】()23log ,0221,25x x x f x x −⎧⎪=⎨−⎪⎩＜＜≤＜1234x x x x ＜＜＜()()()()1234f x f x f x f x ===()()341222x x x x −−lg ,03()(6),36x x f x f x x ⎧ <⎪=⎨− <<⎪⎩≤x ()f x m =1234,,,x x x x 22221234x x x x +++22122,)log 02(,x x f x x x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩≤()f x a =1234,,,,x x x x 1234,x x x x <<<212344x x x x x ++()22log (1),131910,322x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪−<≤+>⎩−()f x m =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<341211()x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭10． 已知函数，若方程有四个不同的解且 则的取值范围为( ) A.(－1，＋∞) B.(－1，1] C .(－∞，1) D.[－1，1)11． 已知函数，若实数a,b,c 满足0<a<b<c ，且,下列结论中恒成立的是( ) A.ab=1 B.32c a −= C.a+c<2b D.240b ac−<12． 已知函数,若方程有4个根分别为，且,则的取值范围是______13． （多选）已知函数,若，且,则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．22(1),0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234,x x x x ，，，1234,x x x x <<<3122341()x x x x x ++212log ,02()3log ,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫−> ⎪⎪⎝⎭⎩()()()f a f b f c ==24,[4,0]()|lg |2,(0,)x x x f x x x ⎧−−∈−=⎨+∈+∞⎩()0f x m −=123,,,x x x 4x 1231.x x x x <<<1234x x x x ⋅⋅⋅222,0()|log |,0x x x f x x x ⎧−−≤=⎨>⎩1234x x x x <<<()()()()1234f x f x f x f x ===121x x +=−341x x =412x <<12340 1x x x x <<14． 已知函数，则 .若存在,使得则 .15． 已知函数，若方程有四个不同的实根满足则的取值范围是（ ）A．(0，3) B．（0，4]C．（3，4]D．(1，3)16． （多选）已知函数.若且，则下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 分段函数，复合函数由单调性求取值范围17． 设函数是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围为_________．|21|,1()32,1x xx f x x ⎧−≤=⎨−>⎩((3))f f =a b c <<()()()f a f b f c ==1222a b c +++=32|log |,03()1108,333x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨−+>⎪⎩()f x m ＝1234x x x x ,,,，1234x x x x <<<()()341233x x x x −−★()22log ,0log 1,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨−+≤⎪⎩()()()()1234f x f x f x f x ===1234x x x x >>>12340x x x x +++<12340x x x x ++>+12341x x x x ≥123401x x x x <<2|2|,()6,x x x af x ax x a ⎧−−≥=⎨−<⎩18． 已知0a >且1a ≠,函数11x y a −=+的图像恒过定点()m n ，，函数2log ()a y mx ax n =−+在区间(1],−∞上是减函数，则a 的取值范围是______19． 设函数是定义在R 上的增函数,则实数a 取值范围是 .20． 已知f (x )＝log a (ax 2﹣x )（a ＞0且a ≠1）在1142⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，则实数a 取值范围是 ．题型四 分段函数的满足某条件求参数范围21． 若函数的值域为,则实数a 的取值范围是 .22． 已知且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 取值范围是____________23． 函数在区间上既有最大值又有最小值,实数a 的范围( )A. B. C. D. 2|2|,()6,x x x af x ax x a⎧−−≥=⎨−<⎩224,()22,xx x x af x x a ⎧−+≤=⎨+>⎩[3,)+∞||1,1()1xx a x f x a a x −+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，(0a >()||f x x x a =−()0,1)222,0⎡−⎣(0,222⎤−⎦2,12⎫⎪⎪⎣⎭)222,1⎡⎣24． 设函数，若恰有2个零点,则实数a 的取值范围是_______.25． 已知函数若存在使得则的取值 范围为 .题型五 关于的f (x )的一元二次方程或嵌套函数26． 已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．27． 已知函数,.①若方程有两个解,则的取值范围为 ；②若不等式在R 上恒成立,则m 的取值范围为 ．(第一空1分,第二空2分)28． 设函数则函数的零点个数是 ．29． （天津高考）已知函数 (a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________.2,1()4()(2,1)x a x f x x a x a x ⎧−<=⎨−−≥⎩()f x 221,[0,1)()log ,[1,)x x f x x x −∈⎧=⎨∈+∞⎩12,x x <12()(),f x f x =12()x f x ⋅()11xf x e =−+2()[()](2)()2g x f x a f x a =+−−a (2,1)−−(1,0)−(0,1)(1,2)()2,x f x x R =∈()2f x m −=m 2[()]()0f x f x m +−>2|log |,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨⎩2()3()8()4g x f x f x =−+2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+−+<=⎨++≥⎩，，()2f x x ＝－30． （多选）设定义域为R 的函数，若关于x 的方程有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 ＜ x 2 ＜ x 3．下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．31． 已知函数，若对任意的[]2,1m ∈−−,恒成立,求实数c 的取值范围.【相似题】——改数据32． 已知函数，若对任意的[]2,1m ∈−−,恒成立,求实数c 的取值范围.33． 已知函数，则函数的零点个数为______. 34． 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______.1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩2[()]()0f x af x b ++=2221235x x x ++=10a b ++=1322x x x +>132x x +=−()2x f x =(1)2()()1f xg x f x +−=+()()()()220g mf x c g f x −++<[]0,2x ∈()2x f x =(1)2()()1f xg x f x +−=+()()()()220g mf x c g f x −++<[]0,2x ∈()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩()1y f f x ⎡⎤=−⎣⎦x 21log 02m mx x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭[1]2，m题型六 分段函数与嵌套函数综合（一般画2个函数图像来分析）35． 已知函数，若方程至少有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是_________36． 设定义域为R 的函数若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是_________.37． 已知定义域为R 的函数 若关于x 的函数有5个不同的零点.,则 .38． 已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.39． 已知，则方程的根个数可能是|ln |1,0()1,0x x x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩2()2g x x x =−−()()0f g x a −=2|lg |,0()2,0x x f x x x x ⎧>=⎨−−≤⎩22()2()1y f x bf x =++ln 2,2()1,22x x g x x ⎧−≠⎪=⎨=⎪⎩23()()()2h x g x g x c =−+12345,,,,x x x x x 2222212345x x x x x ++++=|51|1()8,11x x f x x x ⎧−<⎪=⎨≥⎪+⎩()()f f x a =21,0()2,0x x f x x x x ⎧−>⎪=⎨−−≤⎪⎩()(22)0R xf a a −−=∈A ．3B ．4C ．5D ．640． 已知函数，若关于x 的方程恰有个实数根,求m 的取值范围.41． 已知函数则方程的根的个数可能为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．842． 知函数若函数恰有8个零点，则m的取值范围是________.43． 已知函数，若函数，恰有个不同的零点，则实数取值范围为_________.44． （2023·浙江·二模）已知函数()e xf x x a =−，则()()f f x a =至多有______个实数解.45． 已知2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨−>⎩，()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =−有9个零点，则m 的取值范围是___________.lg(),0()|2|,0x x x f x e x ⎧−<=⎨−≥⎩2()()210f x mf x m +++=5221,0,()|log |1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩2()2()10f x f x a −+−=2|ln |,0,()43,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩2()[()]4()1g x f x f x m =−++()()22log 2,2021,0x x f x x x x ⎧+−⎪=⎨−+⎪⎩＜≤＞()()()()21g x f x a f x a =−++a ∈R 3a专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。

专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-， 所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=，因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln ah a a =-，则()1e a h a a'=-，令()1e am a a =-，则()21e a m a a '=+， ∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈， 故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．101x <<B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =xa x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =xa x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x-'=， 当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增； 故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确； 由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确； 又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确； 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ∴()f x 的图象关于直线1x =对称 ∴()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ∴()f x 的极大值为0 ∴()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．∴∴ B ．∴∴ C ．∴∴∴ D ．∴∴∴【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断∴；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断∴；探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断∴；求出()f x 的零点判断∴作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞， 对于∴，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，∴正确；对于∴，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，∴不正确； 对于∴，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，∴正确；对于∴，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，∴正确， 所以所有正确结论的编号为∴∴∴. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点， 所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e 22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，， ()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个． 故答案为：13【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦， 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+， 由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解， 满足121t -<<-，211t -<<，312t <<， 则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根， 当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根， 当312t <<时，方程()t f x =，有3个根，此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解， 满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根， 当22t =，有2个根， 此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根 故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∴[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-， 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ， 则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根， 当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点， 即方程()2t f x =有三个不相等的根，综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∴[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象， 又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得， 即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解， 则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上的公切线之间， 故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上均有2个交点， 故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个． 故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可 【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确， 对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错， 对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =， 若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩， 解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠， 由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2； 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点， 令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.∴当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ∴当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值， 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4 C ．(]3,4 D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围． 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥． 综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点， 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=， 因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=，因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点， 则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤； 当12m >时，()()00p f '>'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点， 所以()()166mf +<且()()11010mf +>，即7e 11e m m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选：C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩ 设()e ex x xg x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅， 由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错， 函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立， 令2211111()()24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1113,,13x x ⎡⎤≤≤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴当111,123x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当2x =时， ()f x 取得最小值为()()min124f x f ==-， 因为211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，所以()min a f x <，即14a <-.故选:B ．例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6e B．(2e +C．(2e +D ．2e【答案】AB【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数， 因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可. 【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=； ()()42e x g x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t的取值范围为()2e,⎡+∞⎣； 6e与(2e均在区间()2e,⎡+∞⎣内，(2e +与2e均不在区间()2e,⎡+∞⎣内； 故选：AB ．【题型】八、一元二次不等式能成立问题31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题意得到20x x a -+≤有解，进而由根的判别式列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】若p ⌝是真命题，由题意知不等式20x x a -+≤有解，140a ∴∆=-≥，解得:14a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可，设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增，所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞。