宁波市八校联考高一数学试题

宁波市第一学期学年3201八校联考高一数学试题选择题部分（共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集}3,2,1,0{=U ，集合}2,1,0{=M ，}3,2,0{=N ，则N C M U 等于（ ） A ．}1{ B ．}3,2{ C ．}2,1,0{ D ．φ2．若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3．若(2,1)a =，(3,4)b =，则向量在向量方向上的投影为（ ）A ．52B ．2C ．5D ．104．设3log 21=a ，2.031⎪⎭⎫⎝⎛=b ，312=c ，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．函数)1(log )(2x x f -=的图象为（ ）6．下列函数中，既是偶函数又在区间),0(+∞上单调递增的函数是（ ）A ．xy 1ln= B ．3x y = C ．x y cos = D ．xy 2= 7．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：（ ）A ．xy 10= B ．10552+-=x x y C ．x y 25⋅= D ．10log 102+=x y 8．若圆中一段弧长正好等于该圆外切．．正三角形的边长，设这段弧所对的圆心角是θ，则θs i n A ．C ．的值所在的区间为（ ） A ．)0,22(-B ．)22,0(C ．)1,22(D ．)22,1(-- 9．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则（ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+< 10．在平面直角坐标系中，如果不同的两点),(b a A ，),(b a B -在函数)(x f y =的图象上，则称),(B A 是函数)(x f y =的一组关于y 轴的对称点（),(B A 与),(A B 视为同一组）， 则函数31,0,()2log ,0,xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩关于y 轴的对称点的组数为（ ） （第9题图） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 非选择题部分（共100分）二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

宁波市 二00九学年第二学期 八校联考高一数学试题一、选择题(本大题共10个小题. 每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线10x -+=的倾斜角的大小为 （ ）A.30B. 60C. 120D. 1502．不等式260ax x -+>的解集是{32}x x -<<，则不等式260x x a -+>的解集是 （ ）A 11{}23x x -<<B 11{}32x x -<< C 11{}23x x x ><-或 D 11{}32x x x ><-或3．在ABC ∆中， sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC ∆ ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，321a ，1a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为（ ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215-或215+5．设m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．,//αγβγαβ⊥⊥⇒ B ．//,m l m l ββ⊥⇒⊥C ．//,////m n m n αα⇒D ． ,//m n m n αα⊥⊥⇒6．已知数列{}n a 中，12112009,2010,(2,)n n n a a a a a n n N -+===+≥∈，则这个数列的前2010项和2010S 等于 （ ）A ．0B ．1C ．2010D ．20117．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ， F ，且2EF =，则下列结论中错误的是 （ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值8．三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，1,2,3PA PB PC ===，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为 （ ）A ．27π B ．56π C ．14π D ．64π9．如果点P 在平面区域2202010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩内,点Q 在曲线221(2)4x y ++=上，那么||PQ 的最小值为（ ）A ．12BCD110．不等式22348()28()90x x a a a a ⋅+-⋅+-+>对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．13,(,)22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B ． 1(2,)4-C ．13(,)22- D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卡的相应位置) 11．在空间直角坐标系中，A (2,3,4)，(3,1,2)B 两点之间的距离为 ． 12．与直线4350x y ++=平行，且在y 轴上的截距为13的直线方程为 13．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 14．若a 是b 21+与b 21-的等比中项，则2211ba +的最小值是 ．15．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________________. 16．已知()()f x g x =+=-则min max ()()f x g x -= 17．定义：在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{}n a 是“等方差数列”，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}(2)n-是“等方差数列”； ③若{}n a 是“等方差数列”，则数列{}kn a （k ∈N *，k 为常数）也是“等方差数列”； ④若{}n a 既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列． 其中正确的命题为 ．（写出所有正确命题的序号）宁波市二00九学年第二学期八校联考高一数学答题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11． 12. 13.14. 15. 16.17.三．解答题 (本大题共5个小题，共72分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18． (本小题14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且32,cos 5a B ==． (1)若4b =，求sin A ；(2)若ABC ∆的面积4ABC S ∆=，求b 的值19．（本小题14分）已知圆C 圆心在直线1y x =-上，且过点(1,3)A ，(4,2)B .（1）求圆C 的方程；（2）若直线20x y m ++=与圆C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，且60MON ︒∠=，求m 的值．20．（本小题14分）如图，在等腰梯形PDCB 中，3,1,PB DC ==PD BC ==AD PB ⊥将PAD ∆ 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角P DC B --的大小；（3）若M 是侧棱PB 中点，求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值.21．（本小题15分）若关于x 的不等式2(3)280()m x mx m R --->∈的解集是一个开区间D ，定义开区间(,)a b 的长度l b a =-。

2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题。

（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一题项是符合题目要求的）1．设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{3，5}B ．{2，6}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，4，6}2．“√a 2=√b 2”是“(√a)2=(√b)2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2﹣ax +1＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．[﹣2，2]4．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，下列结论中错误的是（ ） A ．xy 的最大值是18B ．2x +4y 的最小值是2C ．1x+2y的最小值是9D ．x 2+4y 2的最小值是125．设（﹣∞，a ）是函数y ＝x 2﹣4|x |+5的一个减区间，则实数a 的取值为（ ） A ．a ≥﹣2B ．a ≤﹣2C ．a ≥2D ．a ≤26．已知函数f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，则f （x ）+g （x ）＝x 2+x ﹣2，则f （2）＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)5，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在（0，+∞）上单调递增 B ．偶函数且在（0，+∞）上单调递减C ．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增D ．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递减二、多项选择题。

浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。

2023-2024学年浙江省宁波市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足43i z =+，则z =（）A B ．1C ．5D【正确答案】C【分析】根据复数的模长运算直接求解即可.【详解】由于43i z =+，所以5z =.故选：C.2．设{}12,e e是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能．．作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e -B ．1e 和12e e + C ．123e e + 和213e e +D ．1232e e - 和2146e e - 【正确答案】D【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于{}12,e e 是平面内的一个基底，故21,e e不共线，根据向量的加减法法则可知12e e + 和12e e - 不共线，1e 和12e e +不共线，2112133()3e e e e +=+ 和123e e +不共线，故A ，B ，C 中向量能．作为平面的基底，211224)6(32e e e e --=-，故1232e e - 和2146e e - 共线，不能．．作为平面的基底，D 错误，故选：D3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是．．（）A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥【正确答案】D【分析】对于选项A ，考虑正四面体.对于B ，C ，D 选项，画出满足部分条件的几何体，通过证明来说明是否存在满足题意的图形.【详解】对于选项A ，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A ；对于选项B ，考虑如图所示的正四棱锥.满足AB BC CD DA EA EB =====，O 为底面正方形中心，EO ⊥平面ABCD .因底面为正方形，故OA OB OC OD ===，则EOA △，EOB ，EOC △，EOD △两两全等，得EA EB EC ED ===.故存在满足条件的正四棱锥，排除B ；对于选项C ，考虑如图所示的五棱锥.满足AB BC CD DE EA FA FB ======，O 为底面正五边形中心，FO ⊥平面ABCDE .因底面为正五边形，故OA OB OC OD OE ====，则FOA ，FOB △，FOC ，FOD ，FOE V 两两全等.得FA FB FC FD FE ====.故存在满足条件的正五棱锥，排除C ；对于选项D ，考虑如图所示的正六棱锥.满足AB BC CD DE EF FA GA GB =======，O 为底面正六边形中心.GO ⊥平面ABCDEF .但注意到OA =AB ，GO AO ⊥，则有GA AO AB >=.这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D 正确.故选：D4．已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A ．86,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．856555⎝⎭C ．254555⎝⎭D ．(85,65【正确答案】A【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可得：22142310,435a b b ⋅=⨯+⨯=+=r r r ，故向量a 在向量b方向上的投影向量为()210286cos ,,25555b a b b a b a a ba b b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎛⎫ ⎪=⨯==== ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭r r rr r r r r r r rr r r r rr r .故选：A.5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且2cos CAB ∠=）A ．45mB ．60mC ．452mD ．603m【正确答案】B【分析】由题意分析可得2AC CO =，2BC CO =，在ABC 中利用余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：60AB =，在Rt OAC 中，由45CAO ∠=︒可得AC =；在Rt OBC △中，由30CBO ∠=︒可得2BC CO =；在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠，即2224260260CO CO ⎛=+-⨯⨯ ⎝⎭，整理得23018000CO CO --=,解得60CO =或30CO =-（舍去），所以此建筑物的高度为60m.故选：B.6．已知ABC 斜二侧画法下的直观图是边长为2的正三角形A B C '''（如图所示），则AC =（）AB C ．D ．4【正确答案】A【分析】过C '作//C N x '''轴，与y '轴交于点N '，由正弦定理可求出A N ''和C N ''的值，再在平面直角坐标系中得出AN 与CN ，利用勾股定理可得AC .【详解】如图所示，过C '作//C N x '''轴，与y '轴交于点N '，则604515C A N '''∠=︒-︒=︒，120A C N '''∠=︒，45A N C '''∠=︒，由正弦定理得sin sin sin C N A N A C C A N C A N A N C ''''''=='''''''''∠∠∠，即2sin15sin120sin 45C N A N ''''==︒︒︒，则1C N ''=，A N ''=将三角形还原到直角坐标系中，如图所示，1CN C N ''==，2AN A N ''==，所以AC =，故选：A.7．已知平面向量a ，b，c 均为单位向量，且243a b c += ，则a c ⋅= （）A ．14-B ．14C ．12D ．12-【正确答案】A【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质求解即可.【详解】平面向量a ，b ，c均为单位向量，所以1a b c === ，又243a b c+= 所以234a c b -= ，平方得222491216a c a c b +-⋅=，则22249164916112124a cb ac +-+-⋅==-.故选：A.8．已知ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足1162BP BA BC =+ ，则BPDBPE S S △△的值为（）A ．43B ．52C ．53D ．109【正确答案】C【分析】令EP EA μ= ，BE BC λ= ，令DP tDC = ，BD k BA =，利用平面向量基本定理确定点,,P E D 的位置即可求解作答.【详解】如图，令EP EA μ= ，BE BC λ=，于是()(1)(1)BP BE EP BE EA BE BA BE BE BA BC BA μμμμλμμ=+=+=+-=-+=-+ ，而1162BP BA BC =+ ，并且,BA BC 不共线，因此11,(1)62μλμ=-=，解得35λ=，令DP tDC = ，BD k BA = ，则()(1)(1)BP BD DP BD tDC BD t BC BD t BD tBC k t BA tBC =+=+=+-=-+=-+ ，从而11,(1)26t k t =-=，解得11,32k t ==，因此点P 是线段CD 的中点，所以3355BPE BPC BPD S S S == ，所以53BPD BPE S S = .故选：C思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、多选题9．下列结论中正确．．的是（）A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面【正确答案】ABC【分析】根据各几何体的定义直接判断.【详解】A 选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A 选项正确；B 选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B 选项正确；C 选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C 选项正确；D 选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D 选项错误；故选：ABC.10．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为π2θθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若12c xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量c的斜坐标，若()11,a x y = ，()22,b x y = ，则（）A ．()1212,a b x x y y -=--B．a = C ．()11,a x y λλλ=D ．1212a b x x y y ⋅=+【正确答案】AC【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义判断．【详解】由已知1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+，因此121122()()a b x x e y y e -=-+- ，所以a b -的斜坐标为1122(,)x y x y --，A 正确；1112a x e y e λλλ=+ ，因此a λ的斜坐标是11(,)x y λλ，C正确；a = 1212122112()a b x x y y x y x y e e ⋅=+++⋅，在1e 与2e 不垂直时，BD 错；故选：AC ．三、单选题11．下列命题中正确．．的命题是（）A ．若复数z 满足z z +∈R ，则z ∈RB ．若复数z 满足22z z =，则z ∈RC ．若复数1z ，2z 满足1221z z z z =，则12=z z D ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z ⋅=⋅，则12=z z 【正确答案】C【分析】设复数i,,z a b a b =+∈R ，根据复数的运算，验证,a b 即可判断A,B ；设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，根据已知等式结合复数运算，即可判断C,D.【详解】对于A ，设复数i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，所以2z z a +=∈R 恒成立，则C z ∈，故A 不正确；对于B ，设复数i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，若22z z =，则()()22i i a b a b +=-，所以2i 2i ab ab =-，则0ab =，故0a =或0b =，则复数z 是纯虚数或实数，故B 不正确；对于C ，设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，若1221z z z z =，即1122z z z z ⋅=⋅，所以()()()()i i i i a b a b c d c d +-=+-，整理得2222+=+a b c d ，所以12=z z ，故C 正确；对于D ，设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，若1212z z z z ⋅=⋅，则()()()()i i i i a b c d c d a b +-=+-，整理得ad bc =，而12=z z 可得2222+=+a b c d ，所以D 不正确.故选：C.四、多选题12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确．．的是（）A ．若60B =︒，2b ac =，则ABC 一定是等边三角形B ．若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 一定是钝角三角形C ．若()cos cos a b c B A -=-，则ABC 一定是等腰三角形D ．若tan tan a ba b A B+=+，则ABC 一定是直角三角形【正确答案】ABD【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换逐项计算、判断作答.【详解】对于A ，ABC 中，60B =︒，2b ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：222cos 60ac a c ac =+- ，即2()0a c -=，因此a c =，ABC 一定是等边三角形，A 正确；对于B ，由222cos cos cos 1A B C +->得：2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0C A B -->，由正弦定理得2220c a b -->，由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，因此角C 是钝角，ABC 一定是钝角三角形，B 正确；对于C ，ABC 中，由(cos cos )a b c B A -=-及余弦定理得：22222222a c b b c a a b a b+-+--=-，整理得223322a b ab a b bc ac -=-+-，即222()()()()ab a b a b a ab b c a b -=-++--，因此a b =或222+=a b c ，ABC 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；对于D ，ABC 中，由tan tan a ba b A B+=+及正弦定理得：sin sin sin sin sin sin cos cos A BA B A B A B+=+，因此sin sin cos cos A B A B +=+，即sin(sin()cos(cos()22222222A B A B A B A B A B A B A B A B+-+-+-+-++-=++-，整理得：2sin cos 2cos cos 2222A B A B A B A B+-+-=，显然ππA B -<-<，ππ222A B --<<，即cos02A B->，因此tan 12A B +=，而π022A B +<<，于是π24A B +=，所以π2A B +=，ABC 一定是直角三角形，D 正确.故选：ABD结论点睛：ABC 的三边分别为a ，b ，c （a≥b≥c ），若222b c a +>，则ABC 是锐角三角形；若222b c a +=，则ABC 是直角三角形；若222b c a +<，则ABC 是钝角三角形.五、填空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点1C 的最短距离是__________．【分析】做出正方体的侧面展开图，在平面图形内计算最短距离.【详解】如图所示，将正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 与11BB C C 展开，则最短距离为1AC =故答案为14．已知复数ω，且1ω=，则2i ω-（i 是虚数单位）的最大值是______．【正确答案】3【分析】利用复数的几何意义求解.【详解】因为1ω=，复数ω表示圆心在原点的单位圆，如图所示：2i ω-表示单位圆上的点到点()0,2的距离，由图知：当i ω=-时，2i ω-取得最大值3，故315．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长1AB =，则AC AD ⋅=__________．2【分析】连接AC ，AD，根据正八边形可知)2OB OA OC =+，()2OD OC OA =- ，以OA ，OC 为基底表示AC ，AD，在AOB中，由余弦定理可得222OA = ，求数量积即可.【详解】如图所示，连接AC ，AD ，由ABCDEFGH 为正八边形可知4AOB BOC π∠=∠=，且//OD AC ，则2AOC π∠=，所以OA OC +==，即)2OB OA OC =+，AC OC OA=-且)OD AC OC OA =- ，所以1AD OD OA OA ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则()122C A OC OA A O OA C D ⎤⎛⎫=-⋅-+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⋅⎦2211222OA OC OA OC OA ⎛⎫⎫-⋅-+⋅++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)21OA =+ ，在AOB中，由余弦定理2222221cos 222OA OB AB OA AOB OA OB OA+--∠===，解得2222OA = ，所以)2122AC AD OA ⋅==+ ，故答案为216．已知ABC 中，3A π∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，2AD =，AE =BC =__________．【分析】根据角分线的向量性质及中线的向量性质化简得解.【详解】由已知AB ACAB AC+ BAE CAE ∠=∠，则AB AC AE AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以AB AC AE AB AC λ=+==uu u r uuu ruu u r uu ur uuu r 65λ=，所以666555AB AC AE AC c b AB AC ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎝⎭，即()()666615555AB AE AC AE AE c c c b ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭ ，即666615555EB EC AE c c c b ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，又点E 在BC 上，所以661055c b--=，所以()65b c bc +=，即()222363672250b c bc bc ++-=，又BD DC =，则1122AD AB AC =+，11222AD AB AC =+ ，即2219c b bc ++=，联立()2222236367225019b c bc bc b c bc ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，得()225366840bc bc --=，解得6bc =，或11425bc =-（舍），所以BC AC AB =-，则222222222cos 1927BC AC AB AB AC b c bc A b c bc bc =+-⋅=+-=+-=-= ，所以BC =故答案为六、解答题17．已知复数()i 0,0z x y x y =+>>满足2z =，且1z -为纯虚数．(1)求i1z -；(2)若20z b z c +⋅+=，(),R b c ∈，求实数b ，c 的值．【正确答案】(2)2b =-，4c =【分析】（1）根据纯虚数的概念可得x ，再由模长可得y ，即可确定z 与i1z-；（2）法一：代入，根据复数相等解方程即可；法二：根据复数方程的解列方程即可.【详解】（1）11i z x y -=-+ 为纯虚数，1x ∴=，2z = 且0y >，y ∴=，1z =+，()()()()11i 1i 1i 1i z ⨯+∴=--⨯+；（2）法一：把1z =+代入：20z b z c +⋅+=，()()2110b c +⋅+=，化简得：2i 0b c +-++=，即200b c+-=⎧⎪+=，解得：2b =-，4c =.法二：20z b z c +⋅+=的一根为1z =，则另一根为：1z =，则24z z b z z c +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2b =-，4c =.18．已知平面直角坐标系内存在三点：()1,5A ，()7,8B ，()5,2C ．(1)求cos BAC ∠的值；(2)若平面上一点P 满足：AP CB ，CP AB ⊥，求点P 的坐标．【正确答案】(2)()2,8P 【分析】（1）根据题意结合向量的夹角公式运算求解；（2）根据题意结论向量平行、垂直关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：()6,3AB = ，()4,3AC =- ，则15AB AC ⋅=，AB ==uu u r5AC ==uuu r ，故cos AB AC BAC AB AC ⋅∠=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r （2）由题意可得：()2,6CB =，∵AP CB，设()()2,6AP tCB t t t ==∈R uu u r uu r ，∴()24,63CP AP AC t t =-=-+uu r uu u r uuu r，又∵CP AB ⊥，则()()6243630CP AB t t ⋅=-++= ，解得12t =，∴()3,6CP =-，设(),P x y ，则()5,2CP x y =--uu r，可得5326x y -=-⎧⎨-=⎩，解得28x y =⎧⎨=⎩，即()2,8P .19．如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：1BC=，AC =阴影部分绕直线AB 旋转180°得到一个几何体．(1)求阴影部分形成的几何体的体积；(2)求阴影部分形成的几何体的表面积．【正确答案】(1)5π1215334+【分析】（1）过点C 作1CO AB ⊥，垂足为点1O ，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．分别求出两个半圆锥的体积12,V V ，即可得出答案；（2）分别求出两个半圆锥的表面积12,S S ，ACB 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为3S ，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分4S ，求出3S ，4S ，则阴影部分形成的几何体的表面积为1234S S S S +++，求解即可.【详解】（1）过点C 作1CO AB ⊥，垂足为点1O ，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．3AC 1BC =，2AB =，132CO =，1Rt AO C △以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为211111π23V CO AO =⨯⨯⨯，1Rt BO C 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为221111π23V CO BO =⨯⨯⨯，2221211111111πππ666V V CO AO CO BO CO BA +=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯13ππ2644=⨯⨯=，半圆面以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为33142π1π233V =⨯⨯=，3122π5ππ3412V V V V =--=-=几何体.（2）1Rt AO C △以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为113ππ24S =⨯=，1Rt BO C 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为21π12S =⨯=，ACB 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为2314π12π2S =⨯⨯=，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：241π121π2S =⨯-⨯⨯=12343π2ππ4S S S S S =+++=++=几何体.20．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且2cos 2a B c +=，2a =．(1)若c =，求ABC 的面积；(2)求ABC 周长的最大值．【正确答案】(2)2+【分析】（1）法一：由正弦定理得出A ，再由余弦定理得出b ，进而求出面积；法二：由余弦定理求出A ，b ，进而求出面积；（2）法一：由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质得出ABC 周长的最大值；法二：由余弦定理结合基本不等式得出ABC 周长的最大值.【详解】（1）法一：∵2cos 2a B c +=，由正弦定理得，2sin cos sin 2sin A B B C +=∴()2sin cos 2sin A B B A B +=+，∴2cos sin A B B =，∵()0,πB ∈，∴sin 0B ≠，∴cos A =()0,πA ∈，∴π6A =．由余弦定理得：241222b b=+-⨯，2680b b-+=，()()420b b--=，∴2b=或4，∴111sin4222ABCS bc A==⨯⨯=或111sin2222ABCS bc A==⨯⨯=△．综上，ABC法二：由余弦定理得，222222a c ba cac+-⋅+=，∴222b c a+-，∴cos2A=，∵()0,πA∈，π6A=．由余弦定理得：241222b b=+-⨯，2680b b-+=，()()420b b--=，∴2b=或4，∴111sin4222ABCS bc A==⨯⨯=或111sin2222ABCS bc A==⨯⨯=△．综上，ABC（2）法一：由正弦定理得：241sin sin sin2a b cA B C====，5π124sin sin241sin cos622a b c B B B B⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫++=+⨯+-=+⨯++⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()224222xϕ=++≤++其中tanϕ=，所以当()sin1xϕ+=时，()max2a b c++=++法二：由余弦定理得：∵(2242b c bc+=≥，∴(42bc≤，∵()(242b c bc+=+(244232≤+⨯+=+，∴b c+≤()max2a b c++=++b c==21．如图，在梯形ABCD中，2AD=，3DC CB==，2AB DC=，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点．(1)求AB AD ⋅的值；(2)求FH的值；(3)直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN的值．【正确答案】(1)4(3)47AM AN =【分析】（1）以AB，AD 为基底表示CB ，3CB = ，可得AB AD ⋅；（2）以AB，AD 为基底表示FH ，进而计算模长；（3）根据向量共线定理分别可表示AM ，AN ，进而确定AMAN.【详解】（1）设AB a =，AD b =1122CB CD DA AB a b a a b =++=--+=- ，22211394CB a a b b a b ∴=-⋅+=-⋅=，即4AB AD a b ⋅=⋅= ；（2）22113323AF AD DC b a a b =+=+⨯=+ ，13FH AH AF a b =-=-，FH = （3）设AN xAF y AH =+，即()()()x AF AN y AH AN AN x y AN -+-=-+ ，()1xNF yNH x y AN +=--，因为N 在FH 上，所以10x y --=，即1y x =-，()()1221113333AN xAF x AH x a b x a x a xb ⎛⎫⎛⎫∴=+-=++-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2133AN x AB xAD ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()()2121221333333x AB AN x AD AN AN x AN xAN x AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即212213333x NB xND x AN ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于D ，N ，B 三点共线，所以221033x --=，12x ∴=，1122AN a b =+ ，设AM AE AG λμ=+，则()()()1AE AM AG AM AM λμλμ-+-=-- ，即()1ME MG AM λμλμ+=-- ，又M 在EG 上，则10λμ--=，即1μλ=-，()()111111132336AM AE AG AD AB AB AB AD λλλλλλλ⎛⎫=+-=+⋅⋅+-⋅=-+ ⎪⎝⎭，由于A ，M ，N 三点共线，所以111362112λλ-==，即27λ=，所以224777AM b a AN =+= ，47AM AN =.22．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O．(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABC S mS =△△求m 的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接1AO ，3AO ，在13O AO 中，由余弦定理可求出13O O ，同理可得12O O ，再结合正弦定理即可证明1213O O O O =，同理可得1322O O O O =；（2）由123O O O ABC S mS =△△化简可得()()23211sin b c m A c b ϕ+=-+⨯+，再由基本不等式求出b cc b+的最小值，即可求出m 的最小值.【详解】（1）如图，连接1AO ，3AO ，则133AO c =，333AO b =，13π3O AO A ∠=+在13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，即2222213π2cos π32cos 33333b c bc A b c bc O O A ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+-⋅⋅+= ⎪⎝⎭2222132cos sin 22cos 3sin 33b c bc A A b c bc A bc A ⎛⎫+-⨯- ⎪+-+⎝⎭==222222223sin 32sin 36b c a b c bc Aa b c A+-+-+++==+同理可得2222123sin 63a b c O O B ++=+，∵sin sin a bA B=，∴sin sin a B b A =，∴1213O O O O =.同理：1322O O O O =，即123O O O 为等边三角形.（2）1232221333cos 3sin sin 4432O O O b c bc A bc A m S O O bc A +-=⨯==△则)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ+=-+=+∵2b c c b +≥=，)max 21sin cos m A A ⎤-+=⎦2≥，解得：m 1≥当且仅当π3A =，b c =时123O O O ABC S S △△取到最小值1．。

2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分（共58分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个合题目要求的．1.设集合{}{}21,2,1,0,1,2A x x B =-<<=--，则A B = （）A.{}1,0- B.{}0 C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合之间的关系利用交集运算法则可得结果.【详解】由集合{}{}21,2,1,0,1,2A x x B =-<<=--可得{}1,0A B ⋂=-。

故选：A 2.已知1，12是方程20x bx a -+=的两个根，则a 的值为（）A.12-B.2C.12D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求得12a =.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可得112112b a⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即可得12a =.故选：C3.“10x -=”是“210x -=”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】由10x -=解得1x =；由210x -=解得1x =±；所以“10x -=”是“210x -=”的充分不必要条件.故选：A4.已知幂函数a y x =的图象过点()9,3，则a 等于（）A.3B.2C.32D.12【答案】D 【解析】【分析】直接将点的坐标代入解析式，即可求出参数的值.【详解】因为幂函数a y x =的图象过点()9,3，所以93a =，即233a =，则21a =，解得12a =.故选：D5.已知0.20.50.23,3,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.c a b<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数单调性即可限定出,,a b c 的范围，可得结论.【详解】由指数函数3x y =为单调递增函数可知00.20.51333a b <<=<=，即1a b <<；再由对数函数0.2log y x =为单调递减函数可知0.20.2log 5log 10c =<=，即0c <，所以可得c a b <<.6.方程2ln 50x x +-=的解所在区间为（）A.()4,5 B.()3,4 C.()2,3 D.()1,2【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln 5f x x x =+-，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+-=+>，(5)10ln555ln 50f =+-=+>，所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+-=+>，所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+-=-<，所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +-=的解所在区间为()2,3，所以C 正确，对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+-=-<，所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误，故选：C7.已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是=1，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.8.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[0,1)为减函数，在[1,+)∞为增函数，且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +≥的解集为（）A.(,2][0,1][2,)-∞-+∞B.(,1][0,1][2,+)-∞-∞C.(,2][1,0][1,)-∞--+∞D.(,2][1,0][2,)-∞--+∞ 【答案】D 【解析】【分析】利用函数奇偶性以及单调性结合函数值(2)0f =，画出函数图象草图即可解不等式.【详解】根据题意可知(0)0f =，由(2)0f =可得(2)0f -=，再根据函数奇偶性和单调性画出函数图象示意图如下：对于不等式(1)()0x f x +≥，当10x +≥时，即1x ≥-时，()0f x ≥，由图可知[1,0][2,)x ∞∈-⋃+；当10x +≤时，即1x ≤-时，()0f x ≤，由图可知(,2]x ∞∈--；因此不等式的解集为(,2][1,0][2,)∞∞--⋃-⋃+.故选：D二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列叙述正确的是（）A.2R,230x x x ∃∈-->B.命题“R,12x y ∃∈<≤”的否定是“R,1x y ∀∈≤或2y >”C.设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D.命题“2R,0x x ∀∈>”的否定是真命题【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B ，根据充分条件、必要条件的定义判断C ，写出命题的否定，即可判断D.【详解】对于A ：当10x =时，223770x x --=>，所以2R,230x x x ∃∈-->为真命题，故A 正确；对于B ：命题“R,12x y ∃∈<≤”的否定是“R,1x y ∀∈≤或2y >”，故B 正确；对于C ：由2x ≥且2y ≥，可以推得出224x y +≥，故“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分条件，故C 错误；对于D ：命题“2R,0x x ∀∈>”的否定为：2R,0x x ∃∈≤，显然200=，所以命题2R,0x x ∃∈≤为真命题，故D 正确；故选：ABD10.已知集合{}1,2,3A =，集合{},B x y x A y A =-∈∈，则（）A.{}1,2,3A B =B.{}1,0,1,2,3A B =-C.0B ∈D.1B-∈【答案】CD 【解析】【分析】用列举法表示集合B ，利用集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断选项A ，B 错误，选项C ，D 正确.【详解】由题意得，{}{},2,1,0,1,2B x y x A y A =-∈∈=--.A.{}1,2A B ⋂=，选项A 错误.B.{}2,1,0,1,2,3A B ⋃=--，选项B 错误.由集合与元素的关系得，0B ∈，1B -∈，选项C ，D 正确.故选：CD.11.下列说法不正确的是（）A.函数()1f x x=在定义域内是减函数B.若()g x 是奇函数，则一定有()00g =C.已知函数()()()2511x ax x f x ax x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,1--D.若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】对于AB ，取()()1g x f x x==，11-<即可说明；对于C ，分段讨论，但要注意结合21151aa --⨯-≤，由此即可判断；对于D ，由2212x -≤-≤即可判断.【详解】对于AB ，若()()1g x f x x ==，因为11-<，()g x 是奇函数，但()()1111f f -=-<=，0x =时，()g x 无意义，故AB 描述不正确，符合题意；对于C ，已知函数()()()2511x ax x f x ax x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，首先当1x >时，()af x x=单调递增，则0a <，其次当1x ≤时，()25f x x ax =---（对称轴为2ax =-）单调递增，则12a -≥，即2a ≤-，但若要保证函数()()()2511x ax x f x ax x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，还需满足21151aa --⨯-≤，即3a ≥-，所以实数a 的取值范围是[]3,2--，故C 描述不正确，符合题意；对于D ，若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域满足2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤，故D描述正确，不符合题意.故选：ABC.非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数22,1()23,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则((2))f f -的值是________．【答案】7【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为22,1()23,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，所以()()22222f -=--=，所以()()()222237ff f -==⨯+=.故答案为：713.计算：()0ln 2πe lg 252lg 2+-+=________．【答案】1【解析】【分析】由指数与对数的运算性质求解即可.【详解】()ln 2πelg 252lg 2+-+()122lg5lg 2=+-+321=-=故答案为：114.x ∀∈R ，用()m x 表示()(),f x g x 中的最小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，()(){}2min 1,1m x x x =-+--，则()m x 的最大值为______．【答案】0【解析】【分析】利用分段函数的概念结合函数图象求最大值.【详解】令()2()1,()1f x x g x x =-+=--，由()2()1()1f x x g x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩解得，1x =或2x =，作出函数()2()1,()1f x x g x x =-+=--图象如下，由图象可得，()(){}222(1),1min 1,11,12(1),2x x m x x x x x x x ⎧--≤⎪=-+--=-+<≤⎨⎪-->⎩，则函数()22(1),11,12(1),2x x m x x x x x ⎧--≤⎪=-+<≤⎨⎪-->⎩的图象如下，所以()()max 10m x m ==，故答案为:0.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知集合{}|13A x x =<<，集合{}|21B x m x m =<<-．（1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23x x -<<（2）{}2m m ≤-【解析】【分析】（1）先分别求出,A B ，然后根据集合的并集的概念求解出A B 的结果；（2）根据A B ⊆得211321m m m m ≤⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：当1m =-时，{}22B x x =-<<，{}|13A x x =<<，所以，{}23A B x x ⋃=-<<；【小问2详解】解：因为A B ⊆，所以211321m m m m ≤⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，解得12213m m m ⎧≤⎪⎪≤-⎨⎪⎪<⎩，所以，实数m 的取值范围为{}2m m ≤-16.已知函数2()23(R)f x x ax a =-+∈．（1）若函数()f x 在(,2]-∞上是减函数，求a 的取值范围；（2）当[1,1]x ∈-时，讨论函数()f x 的最小值．【答案】（1）[2,)a ∈+∞（2）答案见解析【解析】【分析】（1）计算()f x 的对称轴，利用单调区间和对称轴的关系即可得到结果.（2）讨论1a ≤-、11a -<<、1a ≥三种情况，根据对称轴和区间的关系计算最小值.【小问1详解】由题意得，函数()f x 对称轴为直线x a =，∵函数()f x 在(,2]-∞上是减函数，∴2a ≥，即[2,)a ∈+∞.【小问2详解】①当1a ≤-时，()f x 在[1,1]-上为增函数，min ()(1)24f x f a =-=+②当11a -<<时，()f x 在[1,]a -上为减函数，在[,1]a 上为增函数，2min ()()3f x f a a ==-+③当1a ≥时，()f x 在[1,1]-上为减函数，min ()(1)24f x f a ==-+.综上得，当1a ≤-时，min ()24f x a =+，当11a -<<时，2min ()3f x a =-+，当1a ≥时，min ()24f x a =-+.17.已知函数()af x x x=+，且(1)2f =．（1）求a ；（2）根据定义证明函数()f x 在区间()1,∞+上单调递增；（3）在区间()1,∞+上，若函数()f x 满足(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）证明见解析（3）13a <<【解析】【分析】（1）由(1)2f =，求解即可；（2）利用函数的单调性的定义证明即可；（3）利用函数的单调性求解不等式即可.【小问1详解】∵(1)2f =，∴21a =+，∴1a =.【小问2详解】由于1()f x x x=+，证明：12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12()()f x f x -121211x x x x =+--211212x x x x x x -=-+12121()(1)x x x x =--，∵1212,(1,)x x x x <∈+∞，∴121212110,01,10x x x x x x -<<<->，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，故()f x 在(1,)+∞上单调递增.【小问3详解】∵()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()()221f a f a +>-，∴21211221a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，113a a a >-⎧⎪>⎨⎪<⎩，∴13a <<.18.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，记集合A 为()f x 的定义域．（1）求集合A ；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）当x A ∈时，求函数221()(2x x g x +=的值域．【答案】（1）{}11A x x =-<<（2）奇函数（3）1(,2)8【解析】【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可；（2）由函数的奇偶性判断即可；（3）令22t x x =+，利用单调性求复合函数的值域即可.【小问1详解】由真数大于0可知1010x x ->⎧⎨+>⎩，11x x <⎧⎨>-⎩，{}11A x x =-<<.【小问2详解】()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭可知定义域{}11A x x =-<<关于原点对称，()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫⎛⎫-===-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，故()f x 为奇函数．【小问3详解】令22t x x =+，对称轴1x =-，在()1,1x ∈-上，(1,3)t ∈-，又1()2t y =在R 上递减，故221()()2x x g x +=的值域是：1(,2)8．19.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]14,45t ∈时，曲线是函数()log 583a y t =-+(0a >且1a ≠)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．【答案】（1）()()(]()(]21311282,0,144log 583,14,45t t f t t t ⎧--+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩（2）老师在()12-这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得()f t 在(]0,14上的解析式，再利用点代入求得()f t 在(]14,45上的解析式，从而得解；（2）分(]0,14t ∈，(]14,45t ∈，由()80f t >求解即可.【小问1详解】由题意知，当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12,82)，且曲线过点(14,81)，设二次函数为()21282y a t =-+，则()214128281a -+=，解得14a =-，则可得()()2112824f t t =--+，(]0,14t ∈．又当[]14,45t ∈时，曲线是函数()log 583a y t =-+(0a >且1a ≠)图象的一部分，且曲线过点()14,81，则log 92a =-，即29a -=，解得13a =，则()()13log 583f t t =-+，[]14,45t ∈．则()()(]()(]21311282,0,144log 583,14,45t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩.【小问2详解】由题意知，注意力指数p 大于80时听课效果最佳，当(]0,14t ∈时，令()()211282804f t t =--+>，解得：1214t -<≤.当(]14,45t ∈时，令()()13log 58380f t t =-+>，解得：1432t <<.综上可得，12t ⎡⎤∈-⎣⎦.故老师在()12-这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．。

宁波市2010学年第一学期八校联考高一数学试卷一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合{}1|3,xA y y x R -==∈，{}|14B x x =≤≤，则( )A ．AB φ=B ．[]1,3A B =C ．()0,A B =+∞D ．(]0,4A B =2．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图所示．则下面结论中错误的一个是( ) A ．甲的中位数是21 B ．乙的众数是21C ．甲罚球命中率比乙高D ．甲的极差是29 3．函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是中心对称图形，它的一个对称中心是( )A ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则下列正确结论的是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<5．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos > B ．若α、β是第二象限角，则βαtan tan > C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos > D ．若α、β是第四象限角，则βαtan tan > 6．为了得到函数2sin(),36xy x R π=+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点( ) A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)C ．横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移6π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移2π个单位长度 7．已知实数对(),αβ，任取{},1,3,5αβÎ，则使得sin cos 0αβ?的概率是( )A ．13B ．49C ．59D ．238．给出30个数：1,2,4,7,……其规律是 第1个数是1；第2个数比第1个数大1； 第3个数比第2个数大2； 第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( ) A ．29≤i ；1++=i p p B ．30≤i ；1-+=i p p C ．30≤i ；i p p += D ．31≤i ；i p p +=9．函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则a 的取值范围是( ) A ．(,2](1,2]-∞- B ．[2,1)[2,)--+∞ C ．(1,2]D ．[2,)+∞10．已知函数()2log ,0839,84x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是( )A ．()1,8B ．()4,6C ．()8,12D ．()16,24二、填空题(每小题4分，共28分) 11．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数共有_____________． 12．求值：243log 03423(21)(8)lg 20lg 2log 3log 22--++--⋅+=_____________． 13．已知3sin cos 23cos sin αααα+=-，则()()2323s i n3s i n c o s 2παπαα⎛⎫----- ⎪⎝⎭的值为___． 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x a x=+，且()()2342f f =+()1f -，则a =_____________．15．函数12log cos 34x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为_________________． 16．已知x a xx f a a -=≠>1)(,1,0且，当),21(+∞∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值范围为_____________．17．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，且()62f -=-，当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则给出下列命题：①()20102f =-；②函数()y f x =图象的一条对称轴为直线6x =-；③函数()y f x =在[9,6]--上为减函数；④函数()f x 在[9,9]-上有4个零点，上述命题中的所有正确命题的序号是_____________．(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题(5小题，共72分)18．已知函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象如下图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()y f x =-的单调区间及在[]2,2x ∈-上最值，并求出相应的x 的值．19．已知()23xx f ex =+，x R ∈．(1)求()f x 的表达式； (2)若方程()()14ln 1f x x =+有两个不相等的实数根,αβ，求αβ的值；(3)若函数()()g x f x a =-在[]1,x e ∈上有零点，求实数a 的取值范围．20．某厂生产篮球、足球、排球，三类球均有A 、B 两种型号，该厂某天的产量如下表(单位：个)：篮球 足球 排球 A 型 120 100 x B 型180200300在这天生产的6种不同类型的球中，按分层抽样的方法抽取20个作为样本，其中篮球有6个． (1)求x 的值；(2)在所抽取6个篮球样本中，经检测它们的得分如下： 9.4 9.2 8.7 9.3 9.0 8.4把这6个篮球的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率；(3)在所抽取的足球样本中，从中任取2个，求至少有1个为A 型足球的概率．21．已知函数()()21f x x ,g x x ==-．(1)若存在x R ∈使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[]01,上单调递增，求实数m 的取值范围．22．设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义域在R 上的奇函数．(1)若2(1)0,(2)(4)0f f x x f x >++->试求不等式的解集； (2)若223(1),()2()[1,)2x x f g x a a mf x -==+-+∞且在上的最小值为—2，求m 的值．宁波市2010学年第一学期八校联考高一数学参考答案一、选择题CABBD DBCAC 二、填空题40，2，0，2，()15216,644k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦，9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，①②③④ 三、解答题 18．解：(1)由图像知 2.A = 8T =,28T πω== ,4πω∴=,又图象经过点(1，2)2sin 24πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Zπϕπ=+∈4πϕπϕ<∴=()2sin()44f x x ππ∴=+．………………………7分(2)()2sin 2sin 4444y f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由222442k x k ππππππ-≤-≤+，得8183,k x k k Z -≤≤+∈，故()y fx =-在[]81,83,k k k Z -+∈上是减函数；同理函数在[]83,87,k k k Z ++∈上是增函数．[]2,2x ∈- ，由上可知当1x =-时，()y f x =-取最大值2；当2x =时，()y f x =-取最小值2-．……………………………………14分19．解：(1)令xt e =时，则ln ,0x t t =>，由已知()2ln ,0ln 3tf t t t =>+，即()2ln ,0ln 3xf x x x =>+．……………………………………………………4分(2)由()()14ln 1f x x =+可得，23ln 4ln 30x x +-=．由已知，4ln ln 3αβ+=-，故43e αβ-=．…………………………………8分(3)函数()()g x f x a =-在[]1,e 上有零点，等价于()f x a =在(]1,e 上有解． ①当1x =时，()0f x =； ②当(]1,x e ∈时，(]ln 0,1x ∈， 则()13ln ln f x x x=+，(]ln 0,1x ∈ ，3ln 4ln x x∴+≥，当且仅当ln 1x =，即x e =时取等号，因而()10,4f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．……………………14分20．解：(1)设该厂这天生产篮球、足球、排球的总数为n ，由题意得：20n ＝6120180+ 所以n ＝1000∴x ＝n －120－180－100－200－300＝100．……………………………4分 (2)样本的平等数为x ＝16(9.4＋9.2＋8.7＋9.3＋9.0＋8.4)＝9.0 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的数为9.2，8.7，9.3，9.0共4个数，总个数为6．所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率为46＝23．…………8分 (3)设A 、B 型足球抽取的个数分别为n 1，n 2； 由分层抽样的方法知：201000＝1100n ＝2200n ，所以n 1＝2, n 2＝4． 即A 、B 型足球的个数分别为2，4又2个A 型足球记作A 1、A 2，4个B 型足球记作B 1，B 2，B 3，B 4．则从中任取2个的所有基本事件为：|A 1，A 2|，|A 1，B 1|，|A 1，B 2|，|A 1，B 3|，|A 1，B 4|，|A 2，B 1|，|A 2，B 2|，|A 2，B 3|，|A 2，B 4|，|B 1，B 2|，|B 1，B 3|，|B 1，B 4|，|B 2，B 3|，|B 2，B 4|，|B 3，B 4|，共15个其中至少一个A 型足球的基本事件有9个：|A 1，A 2|，|A 1，B 1|，|A 1，B 2|，|A 1，B 3|，|A 1，B 4|，|A 2，B 1|，|A 2，B 2|，|A 2，B 3|，|A 2，B 4|， 所以从中任取2个，至少有1个为A 型足球的概率为915＝35．………14分 21．解：(1)存在x R ∈,()()f x bg x <⇒存在x R ∈,20x bx b -+<()24004b b b b ⇒-->⇒<>或．……………………………………………6分(2)()221F x x mx m =-+-，()2224154m m m ∆=--=-①当0∆≤即252555m -≤≤时,则需满足025********5mm m ⎧≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩②当0∆>即252555m m <->或时.设方程()0F x =的根为()1212x ,x x x <若12m ≥,则10x ≤，2122(0)10m m F m ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪=-≤⎩若02m ≤则20x ≤，2025125(0)10mm F m ⎧≤⎪⇒-≤<-⎨⎪=-≥⎩综上所述：102m m -≤≤≥或 …………………………… 15分22．解：(1)()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴=1(1)0,0f a a>∴-> ，又0a >且1, 1.a a ≠∴> 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-224x x x ∴+>-，即2340x x +->14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或．………………………………7分(2)313(1),22f a a =∴-= ，即212320,22a a a a --=∴==-或(舍去) 222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+，令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m<时，当32t=时，min17()324g t m=-=-，解得253122m=>，舍去综上可知2m=．……………………………………………………………15分。

浙江省宁波市八校2013-2014学年高一上学期期末联考数学试卷1） A【答案】A 【解析】{=1U C NA 正确.考点：集合之间的关系与运算.2是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】C 【解析】试题分析：根据各个象限的三角函数符号:. 考点：三角函数符号的判定.3） A【答案】B 【解析】122=bx+考点：向量的坐标表示、数量积.4）A【答案】B 【解析】A考点：函数的值域、图象及性质.5 ）【答案】A 【解析】A 正确. 考点：函数的图象和性质.6） A【答案】D 【解析】试题分析：A为偶函数，B 为奇函数，单调递增；C上不单调；D .考点：函数的奇偶性、单调性.（ ）AC【答案】C 【解析】试题分析：由表格中的数据可以看出，函数值的增长非常快，呈指数形式增长，故C 正确. 考点：函数的图象及性质.8．若圆中一段弧长正好等于该圆外切．．）A A ．C ．【答案】A 【解析】D 、E 、F则23AB r l ==，l r θ=考点：三角函数的定义、三角函数值域的求法.9若）A【答案】C【解析】试题分析：如图所示：∵OC OE OF xOA =+=A 、B ； ∵OC OB OA==∴2OC∴，当时，即考点：向量的加减运算、数量积.10， 则）A【答案】C 【解析】试题分析：由指数函数和对数函数的图象及性质可知，对称点的组数为2. 考点：新定义问题、函数零点问题.11【解析】试题分析：第一象限角，解所以考点：诱导公式、三角函数之间的关系.12的值为 .【解析】考点：分段函数的运算.132倍（纵坐标不变），再把所得个单位长度，所得图象的函数解析式为 .【解析】2倍（纵坐标不变），得到考点：三角函数图象的变换.14．的取值范围是 .【解析】.考点：三角恒等变换、三角函数的值域.15．如图，在边长为1【解析】试题分析：由图可知32,3,cos AE EB c EB ==-,所以3c s ,131E B c E B c E B ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪. 考点：向量的数量积.16．【解析】试题分析：根据1，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x考点：函数的图象和性质.17a b ≥【解析】试题分析：cos 2ab b b ==⋅cos 2b a==两式相乘,可得),0(πθ∈k,即考点：向量的数量积、新定义问题.18（125c=，且（25b=【答案】（1（2【解析】试题分析：（125c可以求出（2）a b，可以直接求出试题解析：（124cλ=+7分（214分考点：向量的坐标表示、数量积.19．. （1（2.【答案】（13(,3]2B=（23(,)2+∞【解析】试题分析：（13(,)2+∞求出交集即可；（2）B B=⇒，可求出取值范围.试题解析：（1）由3 (,) 2+∞3(,3]2B=7分（2B B=⇒1<3>a14分考点：集合之间的关系、集合之间的运算.20．已知函图象上，直线（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1（2）.试题解析：（1分分7分（214分考点：三角函数解析式的求法、三角函数的图象和性质.21.（1；（2）若存在，.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）构造新函（2）假设存在，则由已知得试题解析：（1）令(g分分分8分 （2）解法一：假设存在，则由已知得11分15分解法2：假设存在，则由已知得11分15分考点：函数的最值、分类讨论思想、数形结合思想.22(1)(2)【答案】(1)证明过程详见试题解析； (2)【解析】试题分析：(1)(2)分别求出各段的最大值即可.试题解析：(1). 1分. 5分(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给5分)(2)分9分11分13分分考点：函数的性质、函数最值的求法、分类讨论思想.。

宁波2023学年第一学期高一数学期中考试卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为（）A.x ∀∈Z ，20x ≤B.x ∀∉Z ，20x ≤ C.x ∃∈Z ，20x ≤ D.x ∃∉Z ，20x ≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为“x ∃∈Z ，20x ≤”.故选：C.2.“1x >-”是“2230x x -++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由2230x x -++<可得2230x x -->，解得3x >或1x <-，因为1x >-成立推不出3x >或1x <-，而3x >或1x <-成立不能推出1x >-，故“1x >-”是“2230x x -++<”的既不充分也不必要条件.故选：D 3.函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点（）A.()0,1- B.()1,1-- C.()0,0 D.()1,0-【答案】D【分析】令10x +=即可求解.【详解】令10x +=，则=1x -，代入函数()11x f x a +=-，解得0y =，则函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点()1,0-.故选：D4.设1lg 202a =+4log 5b =，则2b a +的值为（）A.2+B.1+C.27D.26【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为1lg 202a =+4log 5b =，所以41log 5log 24lg10412b a =++==++，故选：B5.函数()321y x =+的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A .向左平移1个单位得到B.向左平移12个单位得到C.向右平移1个单位得到 D.向右平移12个单位得到【答案】B 【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】()321y x =+可以由()32y x =向左平移12个单位得到，其中()()32y g x x ==定义域为R 且()()()()3322g x x x g x -=-=-=-，即()32y x =为奇函数.故选：B6.函数()f x =）A.(]2,3 B.[][)1,23,⋃+∞ C.()[),23,-∞⋃+∞ D.[)[)1,23,+∞【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：()()21302--≥-x x x ，因为()210x -≥，原不等式等价于302x x -≥-，等价于()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x ≥或2x <，所以函数()f x 的定义域为()[),23,-∞⋃+∞.故选：C.7.若不等式240x ax ++≤对任意实数[]3,1x ∈--恒成立，则实数a 的最小值为（）A.0B.4C.133D.5【答案】D 【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当[]3,1x ∈--时，240x ax ++≤恒成立，即4a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭恒成立，令4(),[3,1]g x x x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，1212122112124()()((4)4x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+++=- ⎪⎝⎭当[]12,3,2x x ∈--且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->->>，则12()()0g x g x ->，当[)121,2,x x --∈且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->-<>，则12()()0g x g x -<，可得()g x 在[]3,2--上单调递减，在(]2,1--上单调递增，又13(3),(2)4,(1)53g g g -=-=-=，所以()g x 最大值为(1)5g -=，∴5a ≥，则实数a 的最小值为5．故选：D ．8.已知函数()f x =，()()g x f x =，则使()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥成立的实数m 的取值范围为（）A.11,28⎡⎤--⎢⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥，由此求得m 的取值范围.【详解】依题意，()f x =，由12010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得112x -≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.由112x -≤≤，解得11x -≤≤，所以()()g x f x =的定义域为[]1,1-，由于()()()()g x fx f x g x -=-==，所以()g x 是偶函数.当01x ≤≤时，()()()g x fx f x ===所以当10x -≤≤时，()g x 为减函数.由()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥得()2524g m g m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以225245121411m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩，解得11,28m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数的是（）A.y x =B.y =C.2y =D.2x y x=【答案】AB 【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ．,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故A 正确；,0,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故B 正确；2y =的定义域为[0,)+∞，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故C 错误；2x y x =的定义域为{}|0x x ≠，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若0a b >>，则11a b b a+>+C.若a b >，c d >，则ac bd > D.若0a b >>，0c <，则c ca b>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A ，若a b >，则22a b >，A 正确；对B ，若0a b >>，则110b a >>，则11a b b a+>+，B 正确；对C ，若a b >，c d >，设2,1,1,2a b c d ===-=-，此时ac bd =，C 错误；对D ，若0a b >>，0c <，则110b a >>，则c cb a<，D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A.ab 的最大值为12 B.11a b+的最小值为4C.22a b +的最大值为12 D.22a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断ab 、11a b+、22a b +、22a b +的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A ，由a b +≥，又1a b +=，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，A 错误；对B ，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得()2222()a b a b +≥+，即2212a b +≥，当且仅当12a b ==时等号成立，C 错误；对D ，由22a b +≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，D 正确.故选：BD12.已知函数()22f x x x =--，()2g x x =-，用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，x ∀∈R ，记函数()()(){}max ,h x f x g x =，则下列选项中正确的是（）A.方程()2h x =有3个解B.方程()()f h x k =最多有4个解C.()1h x x >+的解集为⎪()1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.方程()()h h x x =在[)0,x ∈+∞上的根为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据定义求得()h x 的表达式，作出()h x 的图象，利用图象可判断ABD ，结合()y h x =的图象分类讨论解不等式()1h x x >+判断C ．【详解】由222x x x -->-得0x <或2x >，即此时2()2h x x x =--，02x ≤≤时，()2h x x =-，作出()h x 的图象，如图，由图象可知，()2h x =有两个解，()2h x =-有一个解，即()2h x =有3个解，A 正确；例如0k =时，由2()20f x x x =--=得=1x -或2x =，显然()1h x =-与()2h x =都有2个解，因此(())0f h x =有4个解，又()f x m =与()h x n =都最多有2个解，因此B 正确；作出()y h x =的图象和直线1y x =+，如下图，由21x x -=+得12x =，由221x x x -->+，解得1x <-或3x >，结合()y h x =的图象与直线1y x =+知C 正确；02x ≤≤时，()2h x x =-，由(())h h x x =得2(2)(2)2x x x ----=的解是35x =35x =+舍去），2x >时，2()2h x x x =--，由222x x --=得1172x +=（1172舍去），11722x +<≤时，由(())h h x x =得2(2)2x x x ---=，无解，1172x +>时，由(())h h x x =得222(2)(2)2x x x x x ------=，化简22x x x --=或22x x x --=-，2x =±13x =±，只有13x =符合题意，其它均舍去，因此在[0,)+∞上的解是35-13+D 错．故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知12x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为______________．【答案】22x -【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令12=+xt ，则22x t =-，可得()22=-f t t ，所以()22f x x =-.故答案为：22x -.14.已知集合{}2,2,1A a a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为______________．【答案】1-或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，1A -∈，若1a =-，此时223,11a a a -=---=，符合题意；若21a -=-，则1a =，此时211a a --=-，不符合题意；若211a a --=-，则1a =或0a =，1a =时，221,11a a a -=---=-，不符合题意；0a =时，222,11a a a -=---=-，符合题意，综上，1a =-或0a =.故答案为：1-或0.15.设函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是______________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，故需2y x ax =+在区间()0,1上单调递增，即02a-≤，即0a ≥.则a 的取值范围是[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞16.函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为______________．【答案】21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】由题意分析可得关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，分0y =和0y ≠两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为2167x y x x -=-+，整理得()261710-+++=yx y x y ，可知关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，若0y =，则10x -+=，解得1x =，符合题意；若0y ≠，则211670⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭x x y y ，可得1602170y y ⎧+⎪≤⎪⎨⎪+<⎪⎩或2160211Δ6470y y y ⎧+⎪>⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得17<-y或14≥y 且10≠y ，则107-<<y 或0y >或224y +≤-；综上所述：17>-y 或224y +<-，即函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（110.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）已知11222a a -+=，求133a a a a --++的值．【答案】（1）298（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】10.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213334(0.75)2712182⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3912142-=-++298=【小问2详解】因为11222a a -+=，所以21112224a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即12a a -+=，所以()212224a a a a --+=++=，即222a a -+=，所以1133122221111(21)()1a a a a a a a a a a a a -------+-+++====++-.18.设集合{}52A x x =-<，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当5m =时，求A B ⋃R ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】18.{R |7A B x x ⋃=<ð或9}x ≥19.{|4m m <且2}m ≠【解析】【分析】（1）求集合A 与R B ð，再结合并集的概念计算即可；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，由B A ⊆列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得{}{}|52|37A x x x x =-<=<<，当5m =时，{}|69B x x =≤≤，所以{R |6B x x =<ð或}9x >，所以{R |7A B x x ⋃=<ð或}9x >.【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当2m =时，{}3B =，不满足题意，当121m m +<-，即m>2时，要使B A ⊆成立，只需13,217,m m +>⎧⎨-<⎩即24m <<.综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{|4m m <且}2m ≠.19.已知函数()3131-=+x x f x ．（1）判断()f x 在R 上单调性并证明；（2）当1x ≥时，()()g x f x =，且x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，求()g x 的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设12,R x x ∈，且12x x <，()()120f x f x -<；（2）由()()11g x g x +=-转化为()()2g x g x =-，设1x <时，则21x ->，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()x x x x x x x x f x f x ----=+++=+-1212121212313123331313131，12x x < ，,,x x x x ∴<>>1212333030，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.【小问2详解】当1x ≥时，()3131x x g x -=+，由x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，即()()2g x g x =-，当1x <时，则21x ->，则()22319331932x xx x g x ---=--=++，则当1x <时，()xx g x -=+9393，故函数()g x 的解析式为31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.20.（1）若x ∀∈R ，210ax ax -+>，求实数a 的取值范围；（2）若[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[0,4)（2）11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为x ∀∈R ，210ax ax -+>，①当0a =时，不等式10>对x ∀∈R 成立，符合题意.②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，实数a 的取值范围[0,4).（2）[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，即[]2,1a ∃∈--，21x x a-<-，所以2max1x x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，而1y x =-在[]2,1x ∈--上单调递增，所以21x x -<，解得1122x -+<<，故实数x的取值范围11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()211,022,0a x x f x ax x a x ⎧--<⎪=⎨⎪+-≥⎩．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为()f x 在R 上单调递增，则有：若0a =，则()1,022,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，因为1,22=-=y x y x 在定义域内单调递增，且102-<，所以0a =符合题意；若0a ≠，则1001012a a a a ->⎧⎪>⎪⎪⎨-≤⎪⎪-≤-⎪⎩，解得102a <≤，综上所述：实数a 的取值范围10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为[]1,2x ∈，则()22=+-f x ax x a ，（i ）若0a =，可知()2f x x =在[]1,2上单调递增，最大值为()24f =；（ⅱ）若0a >，则()22=+-f x ax x a 开口向上，对称轴10x a=-<，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；（ⅲ）若a<0，则()22=+-f x ax x a 开口向下，对称轴10x a =->，①当101a <-≤，即1a ≤-时，可知()f x 在[]1,2上单调递减，最大值为()12f =；②当12a -≥，即102a -≤<时，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；③当112a <-<，即112a -<<-时，可知()f x 在11,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭a 上单调递增，在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；综上所述：若12a ≥-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()234=+f a ；若112a -<<-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；若1a ≤-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()12f =.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,(,N ,)0,010,1p p x p q q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数或或内的无理数．（1）请用描述法写出满足方程(),(0)R x x x =≠的解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式()1155R x x >+；（3）探究是否存在非零实数,k b ，使得()y R kx b =+为偶函数？若存在，求k ，b 应满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{|x 1,x q=q 为大于1的正整数}（2）11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）存在，11,2k b ==【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得()(1)R x R x =-，则()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，0x ≠，当1x =时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)时，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，则由方程()R x x =，解得1x q=，q 为大于1的正整数，综上，方程(),(0)R x x x =≠的解集为{|x 1,x q =q 为大于1的正整数}.【小问2详解】若0x =或1x =或x 为()0,1内无理数时，()0R x =，而11055x +>，此时()1155x x R <+，若p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，由()1155R x x >+，得11155q p q >⋅+，解得5p q +<，又因为p x q =(,N ,p p q q+∈为既约真分数)，所以11,23x =，综上，不等式()1155R x x >+的解为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数，即12y R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：当0x =或1x =时，有(0)(1)0R R ==成立，满足()(1)R x R x =-，当x 为(0,1)内的无理数时，1x -也为(0,1)内的无理数，所以()(1)0R x R x =-=，满足()(1)R x R x =-，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则11p q p x q q--=-=为既约真分数，所以1()(1)R x R x q =-=，满足()(1)R x R x =-，综上，对任意[0,1]x ∈，都有()(1)R x R x =-，所以()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以，存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数.。