《数学分析》第十五章 Fourier级数

131第十五章 Fourier 级数 （ 1 2 时 ）§1 Fourier 级数（ 6 时 ）一． 三角级数·正交函数系：1. 三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 ∑∞=++10)sin(n n nx n AA ϕω.由于 nx nx nx n n n sin cos cos sin )sin(ϕϕϕ+=+, 设 n n n n n n b A a A a A ===ϕϕcos , sin , 20, 得三角级数的一般形式 ∑∞=++1*)0 , sin cos 2n n n nx b nx a a它是由三角函数列(或三角函数系),sin ,cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x所产生.2. 三角级数的收敛性:Th1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛, 则级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在R 内绝对且一致收敛 .证 ( 用M 判别法).由于nx b nx a n n sin cos +≤n n b a +二. 三角函数正交系统:1. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上( R )可积. 定义内积为⎰=><badx x g x f g f )()(, .当>< , g f =0时,称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交.函数的正交性与区间有关.例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的.1322. 正交函数系统: 标准正交系, 完全系.3. 三角函数正交系统:三角函数系, sin , cos , , 2sin , 2cos , sin , cos , 1 nx nx x x x x是区间] , [ππ-上的正交系统. 验证如下:⎰-=>=<ππ0cos cos , 1 nxdx nx , , 2 , 1 , 0sin sin , 1 ==>=<⎰-n nxdx nx ππ;⎰-=>=<ππnxdx mx nx mx cos sin cos ,sin 21[]0)sin()sin(=-++⎰-dx x n m x n m ππ,, 2 , 1 , =n m ;对 , 2 , 1 , =n m 且n m ≠,有>=< sin , sin nx mx ⎰-=ππ0 sin sin nxdx mx 和>=< cos , cos nx mx ⎰-=ππ0 cos cos nxdx mx .该系统不是标准正交系, 因为 ⎰-=πππ21dx ,⎰-=ππnxdx 2sin ⎰-=πππnxdx 2cos .因此,三角函数系} , sin , cos , 2sin , 2cos , sin , cos, 21{ πππππππnxnx x x x x是标准正交系. 与R 3中的坐标系} , , {k j i 比较 ）三. 以π2为周期函数的Fourier 级数：1． 三角级数的系数与其和函数的关系：Th2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, s i n c o s 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n证 [1]P 641332． Fourier 系数和Fourier 级数：Euler ―Fourier 公式：设函数)(x f 在区间] , [ππ-上（R ）可积，称公式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n为Fourier 公式. 称由Fourier 公式得到的n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数.并称以Fourier系数n a 和n b 为系数的三角级数∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 为函数)(x f 的Fourier 级数,记为 )(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n n nx b nx a a例1 设)(x f x =, ∈x ] , [ππ-. 求函数)(x f 的Fourier 级数. 解 由于)(x f 是] , [ππ-上的奇函数⇒=n a 0;=n b π1⎰⎰==-ππππ0s i n 2s i n n x d x x n x d x xn nxdx n n nx x n 2) 1 (cos 1cos 2100--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰πππ . 因此, )(x f ～ ∑∞=--11sin ) 1 (2n n nnx. 四. 收敛定理:1 按段光滑函数: .定义 若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续, 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;134⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在, 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim0-'=----+→x f tx f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 ) ⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . 2. 收敛定理:Th3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即=-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 s i n c o s 2n n n nx b nx a a ,其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明在§3中进行 ) 推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数,且在] , [ππ-上按段光滑, 则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f . 注: 若)(x f 是以π2为周期的函数,则π1=n a ⎰+π2cos )(c cnxdx x f ， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰+π2sin )(c cnxdx x f ， , 2 , 1=n其中c 为任意实数.3. 函数的周期延拓:五. 展开举例:例5 把函数∈=x x x f , )(] , [ππ-展开为Fourier 级数.解 参阅例1 ,有⎩⎨⎧±=<<-=-∑∞=-., 0,, )(sin ) 1 (211πππx x x f n nx n n135例5 展开函数∈=x x x f , ||)(] , [ππ-. 解 0=n b ; ⎰==πππ002xdx a .⎰⎰-==ππππππ0s i n 2s i n 2c o s 2|n x d x n nx x n nxdx x a n ===|02cos 2ππnx n ⎪⎩⎪⎨⎧-=-., 0, , 4)1(cos 222为偶数为奇数n n n n n πππ函数)(x f 在] , [ππ-上连续且按段光滑, 又)()(ππf f =-, 因此有∑∞=---=12, )12()12cos(42||k k xk x ππ∈x ] , [ππ-. ( 若令π=x , 就有 ∑∞=-+=12)12(142k k πππ , ⇒ ∑∞==-122.8)12(1k k π ) 例4 设⎩⎨⎧<<-≤≤=. 0 , 0, 0, )(x x x x f ππ 求函数)(x f 的Fourier 级数展开式. [1]P 66 E1.例5 . 2 , ,, 0 , 0 , )(22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<=ππππx x x x x x f 把函数)(x f 展开成Fourier 级数. [1]P 67 E2 Ex [1]P 70—71 1—8.§2 以l 2为周期的函数的展开式（ 2 时 ）一. 以l 2为周期的函数的Fourier 级数:设函数)(x f 以l 2为周期, 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =, 则函数) ()(πlt f t F =以π2为周期.由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间] , [ππ-上(R )可积.函数)(t F 的Fourier 系数为 . .136⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n ；⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n )(t F ～ ∑∞=++10 . sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到lxt x f tl f t F , )()()(ππ===, 就有)()(t F x f =～∑∞=++10 . sin cos 2n n n lxn b l x n a a ππ其中 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l lxt dx lxn x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n ； =n b ⎰-l l dx lxn x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n 当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourier 级数. 注： 三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos , 1 { lxn l x n lxlxππππ是区间] , [l l -上的正交函数系统 .例1 把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50, 3 ,05 , 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. [1]P 94 E1二. 正弦级数和余弦级数:1. 区间] , [ππ-上偶函数和奇函数的Fourier 级数:2.奇展开和偶展开:例2 设|sin |)(x x f =, ππ≤≤-x . 求f 的Fourier 级数展开式. [1] P 74 E2 例3 把定义在] , 0 [π上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<=., 0 , , 21 , 0 , 1 )(πx h h x h x x f ( 其中之一) 0π<<h137展开成正弦级数. [1] P 75 E3例1 把函数x x f =)( 在) 2 , 0 (内展开成: ⅰ>正弦级数; ⅱ> 余弦级数. [1]P 99 E4 Ex [1] P 77 1—6 .§3 收敛定理的证明Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑,则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.施证方案:1. 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分, 即⎰-++=πππdt t tn t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.利用该表示式, 式 2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为1382)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1 =2)0(+x f ⎰++-ππ2s i n 2212s i n )(1dt t t n t x f +2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin )(1ππdt t t n t x f ,于是把问题归结为证明[∞→n l i m 2)0(+x f ⎰++-ππ02s i n2212s i n )(1dt t tn t x f ]0=,和 [∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin )(1ππdt t tn t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 2. 为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分, 即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分 2)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为139[∞→n l i m 2)0(+x f ⎰++-ππ02s i n2212s i n )(1dt t tn t x f ]= ∞→=n lim []⎰++-+ππ02sin2212sin )()0(1dt ttn t x f x f . 3. 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零.为此,先证明Bessel 不等式([1]P 78预备定理1 ), 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 4. 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim []⎰++-+ππ02sin2212sin )()0(1dt t tn t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1lim tdt n t n . 为使最后这一极限等于零,由Riemann — Lebesgue 定理,只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1 ) ( 2n n n dx x f b a a πππ ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.140证 [1]P 78.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(lim nxdx x f n .证 [1]P 79.推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有⎰=+∞→π00)21sin()(limxdx n x f n , ⎰-∞→=+00)21sin()(lim πxdx n x f n .证 [1]P 79 — 80.预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 在区间] , [ππ-上可积,则函数)(x f 的Fourie r 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.证 [1]P 80— 81.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证 由三角公式1412sin 2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕ+=++++n n , ⇒ ⎰+ππ02sin212sin 1dt t t n=(⎰⎰--=+ππππππ12sin 2212sin1dt t tn ϕϕϕn cos 2cos cos 21++++ )dt 1=.Din i 定理的证明: [1]P 81—82 .Ex [1] P 83 1—5 .附注1. Parseval 等式 设可积函数)(x f 的Fourier 级数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f ,对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 1222022)(2)()()( 2.142即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++n k k k b a a 12220)(2.令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k nb a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1.因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x Sx f n()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由双逼原理, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f =><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π⎰-∞→∞→=><=ππππdx x S x S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n l i m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=n k k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式还可用公式⎰∑-∞=++=ππβααπ100)(2)()(1n n n n n b a a dx x g x f ( 其中n a 、n b 与n α、n β分别是函数)(x f 和)(x g 的Fourier 系数证明；也可用所谓卷积函数证明.Parseval 等式的意义：设在单位正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnx nx x x *)143下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰->==<ππππdx x f x f A )(2121, )(0 ， 2 )(1220220a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰-； ⎰-=>==<πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1cos, )(， 22 nn a A π=； 同理有 22 nn b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是, Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ1122202222) (2)(n n nn nnB A A b a a dx x f . 注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n nn B A A x f , 这是勾股定理的推广, 即在坐标系*)中的勾股定理. 因此, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理. ( 与三维空间中的勾股定理做比较 ) .1. Fourier 级数与三角级数: Fourie r 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P 116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n n n 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx 不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n nnxα在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .144证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数. 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(1 1212. 即有上式左端的正项级数收敛.但由∑∞=⇒≤<121120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的. 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数. 一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Pe rron 积分 ) 意义下,上例中的三角级数是Fourier 级数.。