高考专题系列立几外接球

知识梳理模型一、圆柱外接球结论：422h r R +=（R：外接球半径 h：圆柱高 r：圆柱底面半径）推导：模型一推广：（1）直棱柱422h r R += （h:圆柱的高 r:直棱柱底面外接圆半径 ）学 科 数学 教师姓名 教材版本 人教版新教材学生姓名所在年级上课时间课题名称外接球问题教学目标 1、圆柱和圆锥的外接球模型2、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题教学重点 教学难点（2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥（3）侧棱垂直于底面的棱锥【2017深二模】已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为( )（A）64π（B）68π（C）72π（D）100π模型二、圆锥外接球结论：hh r R 222+=（R：外接球半径 h：圆锥高 r：圆锥底面半径）推导：模型二推广：（1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球hh r R 222+= （h:棱锥的高 r:棱锥底面外接圆半径 ）【2018深一模】如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．16πD．25π【2017全国一卷文 16】已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为______________．【2019 全国一卷理 12】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D模型一、二总结题型：求几何体的外接球模型一： 422h r R += （圆柱模型） 模型二： h h r R 222+=（圆锥模型）适用于： 适用于：1、所有的圆柱、直棱柱 上顶点在底面外心正上方的棱锥2、侧棱垂直于底面的棱锥3、侧面为任意三角形，底面为矩形， 且侧面垂直于底面的四棱锥模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处如下图，∠ABC=∠ADC=90°，则O 为外接球球心1、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A 2563πB 323π C 16π D 64π专题练习类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________．【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25ΠB．C．50ΠD．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．9πD．10π类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．42. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______．814π16π9π274π3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P −ABC 中，√2PA =AB =4√2，点E 在棱PA 上，且PE =3EA .正三棱锥P −ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，α截球O 所得截面面积的最小值为__________．类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 .【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72Π，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15C ．D ．2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,,,,则球的半径为（）A B ． C．D ．3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 1321111ABCD A B C D -R值，为 .答案与解析类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________． 【答案】 【解析】由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,所以，所以球的表面积.【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O 4πOA OB OC OS ===SA ABC ⊥平面AB BC ⊥S ABC -1SA AB ==BC =22,1R R ==O 244S R ππ==【答案】B【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为.故选：B．【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为R，则2R=4，R=2,所以该长方体的外接球的体积，故选C.2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25蟺B．C．50蟺D．【答案】C【解析】解：如图，把三棱锥S−ABC补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥S−ABC外接球的表面积为．故选：C．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π 【答案】C 【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为9π.故答案为：C.类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．814π16π9π274π【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．4 【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．学科*网因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝233.在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝33，所以SH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22×1＝33.2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】【解析】 解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为x ，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则AO =23AD =√33x ，，，即x=√2a．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．∴正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：．3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P−ABC中，√2PA=AB=4√2，点E在棱PA上，且PE=3EA.正三棱锥P−ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为__________．【答案】3π【解析】因为PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4√2，所以PA2+PC2=AC2，所以∠CPA=π2，同理∠CPB=∠BPA=π2，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R=4√3，设PA的中点为F，连接OF，则OF=2√2且OF⊥PA，所以OE=√8+1=3，当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为√(2√3)2−32=√3，故截面的面积为3π．填3π．类型三 直棱柱的外接球 【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 . 【答案】【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72蟺，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15 C ．D ．【答案】A 【解析】 由题，，因为AB =AC =2，BC =2√2，易知三角形ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高故体积V =12脳2脳2脳8=16 故选A111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒ABC ∆2AB AC ==120BAC ∠=︒BC =ABC ∆O 'O RT OBO '∆R =2420R ππ=2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径,选C.3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 . 【答案】大111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 213252132=1111ABCD A B C D -R。

2020高考热点立体几何之外接球和内切球(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--外接球和内切球题型一 高过外心（正棱锥、圆锥、侧棱相等）【例1】 已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】C 【解析】∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD=221=AC ，OP 222=-=OB PB ，∴O 是球心，球O 的半径r =∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π．故选：C ．【举一反三】1．（2019·广东高考模拟（文））在三棱锥P ABC-中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．163πC ．43πD ．27【答案】B题型二 高不过心（直棱柱、圆柱、侧棱垂直于底面的圆锥）【例2】（1）（2019·天津高考模拟（理））长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB =2，AD =√3，AA 1=1，则球的表面积为______．（2） 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）【答案】（1）8π（2）D【举一反三】1． 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4AA BC BAC π==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2． 四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12 【答案】C3．四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，60BCD ∠=，且2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（ ）A ．25πB ．24πC ．20πD ．16π【答案】C题型三 找高作心（顶点的投影在底边上）【例3】（1） 在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，ΔABC 是边长为2√3的等边三角形，其中PA =PB =√7，则该三棱锥外接球的表面积为_____．（2） 在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【举一反三】1． 已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.【答案】1015π3（2019·河南高考模拟（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C ．193π D ．223π 【答案】A考向四 球心在边上（斜边是球的直径）【例4】 在三棱锥P ABC -中，2AC AB ==BC =90APC ∠=，平面ABC ⊥平面PAC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π【答案】D【举一反三】1． 已知三棱锥A SBC -，各顶点均在以SC 为直径球面上，2AB AC BC ===，则这个球的表面积为_____________。

高考数学专题—立体几何（外接球与内切球）基础知识点：（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．球的问题常见方法：（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径. （2）球与几种特殊几何体的关系：①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； ②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =.常见题型：1、与长方体与正方体有关的外接球类型——寻找球心为关键例1、如图所示，在长方体中，14cm,2cm,3cm,AB AD AA ===则在长方体表面上连接1A C 、两点的所有曲线长度的最小值为__________．【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形11AA D D 和四边形11DD C C 在同一平面内时，最小距离为四边形11AAC C =；当四边形11AA B B 和四边形11BB C C 在同一平面内时，最小距离为四边形11AAC C 的对角线，长=；四边形ABCD 和四边形11CDD C 在同一平面内时，最小距离为四边形11ABC D=． 例2、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________． 【答案】92π【解析】设正方体的边长为a ，则2618a a =⇒=其外接球直径为23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=． 【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心． 例3、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】，，，故选C ．例4、如图，长方体1111ABCD A B C D -的三个面的对角线1AD ，1A B ，AC 的长分别是3，2，3，则该长方体的外接球的表面积为__________．【答案】11π41616π20π24π32π162==h a V 2=a 24164442222=++=++=h a a R 24πS =2．补形法（补成长方体或正方体—棱锥处理方法）例5、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ． 【答案】【解析】，．例6、已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)，则此球的体积为（ ） A ． B． C ． D ．【答案】C【解析】如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，图2图339π933342=++=R 24π9πS R ==P ABCD -ABCD 50318π36πABCD E P ABCD -O EA ∴=正四棱锥的体积为，， 则，，在中由勾股定理可得：，解得，，故选C ．例7、在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么，，所以．由题意，体积的最小值即为最小，时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为。

（完整版）高考数学中的内切球和外接球问题.高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有==h x x 24368936==213x h ∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积ππ942==r S .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)1.已知菱形ABCD满足|AB|=2，∠ABC=120°，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D，则三棱锥B-ACD外接球的表面积为（）。

A。

πB。

8πC。

7πD。

4π2.如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，AB=BD=BC=1，∠CBD=60°，且二面角A-BD-C的大小为120°，∠BAD=45°，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）。

A。

12πB。

20πC。

24πD。

36π3.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）。

A。

28πB。

32πC。

41πD。

31π4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）。

A。

4/3B。

2/3C。

8/3D。

16/35.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）。

A。

2+2+2B。

4+4+2C。

2+4+4D。

4+4+46.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）。

A。

25πB。

20πC。

16πD。

40π7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）。

A。

18+2B。

15+2C。

12+2D。

18+48.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，DE⊥AC，E为棱BC的中点，DG⊥BE，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为S，则tan∠AGD=S/12.A。

1/2B。

1C。

2D。

49.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=90°，SA=SB=SC=2，且三棱锥S-ABC的体积为8/3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）。

A。

4πB。

16πC。

36πD。

72π10.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）。

专题4.2 与球相关的外接与内切问题一．方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。

与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。

二．解题策略类型一构造法（补形法）【答案】 9【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。

长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。

【例2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）【答案】A【解析】【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。

【举一反三】1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝3，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为( )A．πB．2πC．4πD．8π【答案】D【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝3，所以AE＝6，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选D。

第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为2a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为22==R a ，即正四面体外接球半径为=R ．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，==AB CD m ，==AC BD n ，==AD BC t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩b c m a c n a b t ，三式相加可得222++=a b c 222,2++m n t 而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224+=+a b c R，所以=R．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()2=+hR r⇒=R R知识点五：直棱锥外接球如图，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将∆ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为∆ABC 的外心，所以1⊥OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径1=O D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin ===a b c r A B C )，112=OO PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)=+R PA r ⇔2=R②2221=+R r OO ⇔=R ．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222+=r h R h．2、侧棱相等模型：如图，P 的射影是∆ABC 的外心⇔三棱锥-P ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥-P ABC 的底面∆ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1=AO r ，再算出棱锥的高1=PO h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()=-+R h R r ，解出222+=r h R h．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD 中，⊥AB AD ，⊥CB CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===OA OC OB OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知二面角--P AB C 大小为α，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)O x y z ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程来计算R ．如图2，当>PC CB 时，球心在圆锥内部；如图3，当<PC CB 时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，=-OC h R 或-R h ，故222()-+=h R r R ，所以222+=h r R h．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22(2+=hr R ．3、球内接圆台2222222122⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积=V R S知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2024·吉林·则球的表面积为．例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O 的表面积是变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为25π，AB =AD 1111ABCD A B C D -的体积为.变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，BC =，14BB =，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD 的表面积为且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为．例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2024·全国·的正四面体的外接球体积为.变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A B C D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为.变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体-P ABC 中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2==AC BD ，AD BC =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，AB CD ==AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 外接球的体积为（）A ．45πBC D ．例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥S ABC -中，5SA BC ==，SB AC ==，SC AB ==）A ．50πB ．100πC ．150πD ．200π变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==2PB AC ==，PC AB ==-P ABC 外接球的体积为（）AB C D ．6π题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则此直三棱柱的表面积是（）A ．16+B ．8+C ．8+D ．16+例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,90BC AB BCC ==∠= ，AB ⊥侧面11BB C C ，且直线1C B 与底面ABC 则此三棱柱的外接球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）A ．48πB ．60πC ．64πD ．84π题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且4PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥面ABC ，ABC 为等边三角形，且PA AB ==-P ABC 的外接球的表面积为．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC ，其中PA ⊥平面,120,2ABC BAC PA AB AC ∠=︒===，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为.变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥D ABC -中，ABC 为等边三角形，DC ⊥平面ABC ，若6AC CD +=，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的最小值为.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AB BC CA ===，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为4，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为.变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，BC CD ⊥，BE DE ⊥，120CBE ∠=︒，且2AB BC BE ===，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,4PA =,π3BAC ∠=,BC =,则三棱锥-P ABC 外接球的体积是．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且PA =O 的表面积为例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥-P ABC 中，点D 在棱PA 上，且满足2PD DA =，CD PB ⊥，若AB =P BCD -外接球的表面积为.变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成的角为60︒，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC中，1PA =，AB =，该三棱锥的外接球体积为．变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台111ABC A B C -中，AB =116A B =，1AA =111ABC A B C -的外接球表面积为（）A ．64B ．64πC ．256π3D ．64π3变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A ．32πB ．33πC ．34πD ．35π变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为．变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =）A ．332πB ．33πC ．572πD ．57π题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，26AB AC ==，π3BAC ∠=，则该三棱锥外接球的表面积为．例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥S ABC -中，2SA SB CA CB AB =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的各侧棱长均为且3,AB BC AC ===-P ABC 的外接球的表面积为.变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠= ，则球O 的体积为.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为A ．27B ．9C ．323πD ．163π变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥A BCD -中，2AB BC AC CD ====，120BCD ∠=︒，二面角A BC D --的大小为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．823πB ．803πC ．27πD ．2449π变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，AD =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．163πB ．5πC ．20πsD ．203π题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8π，该圆锥内接于球O ，则球O 的表面积为.例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500π3，则该圆台的侧面积为（）A ．60πB ．75πC ．35πD ．变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．250π3B ．500π3C ．100π3D ．125π3变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π3题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD 是边长为2的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒.若A ，B ，C ，D 四点在某个球面上，则该球体的表面积为.例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正ABC 边长为1，将ABC 绕BC 旋转至DBC △，使得平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面ABC ⊥平面,PAB AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，,2PD PB PB PD ⊥==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1A C 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为．变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为．变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，π,42ADB ABC BD BC ∠=∠===，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，连接AC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，且PA PB ==ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形ABCD 中，483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为．变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最大值为.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥-P ABC 中，2PA PC BA BC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为．变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90,90,2ADB ABC BD BC ∠∠==== ，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，90ADC ∠= ，二面角D AC B --的平面角为30 ，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最小值为（）A ．()161πB ．()163π-C ．()161πD ．()163π例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC 中，PA PB ⊥，ABC 是边长为2的等边三角形，若二面角P AB C --的大小为120︒，则四面体PABC 的外接球的表面积为（）A ．13π9B ．26π9C ．52π9D ．104π9例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥,S ABCD SA -⊥平面,,4ABCD AD DC SA BC ⊥==，二面角S BC A --的大小为π3.若点,,,,S A B C D 均在球O 的表面上，则该球O 的表面积为（）A ．152π3B ．52πC ．160π3D ．54π变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体ABCD 中，ABC 与BCD △都是边长为6的等边三角形，且二面角A BC D --的大小为60︒，则四面体ABCD 外接球的表面积是（）A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD ，其中小三角形纸板的斜边AC 与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a ，现将小三角形纸板ACD 沿着AC 边折起，使得点D 到达点M 的位置，得到三棱锥M ABC -，如图2．若二面角M AC B --的大小为23π，则所得三棱锥M －ABC 的外接球的表面积为（）A ．273a πB ．24a πC ．2143a πD ．227a 变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在PBC 中，PA BC ⊥，AM PB ⊥，6BC =，4PA =，沿PA 将PAB 折起，使得二面角B PA C --为60°，得到三棱锥-P ABC ，如图2，若AM PC ⊥，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．64πD ．80π变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，30AD BD AC BC DAB CBA ∠∠⊥⊥== ,,，二面角D AB C --的大小为60 ，若球O 的表面积等于36π，则三棱锥D ABC -的体积等于（）AB ．8C D变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥A BCD -中，,,224AB BC BC CD CD AB BC ⊥⊥===，二面角A BC D --为60︒，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．18πD ．20π题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC-的体积为83，则球O 的体积为（）A ．4πB ．203πC ．6πD ．323π例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，若SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SA 为球的直径,ABC ∆是边长为2的等边三角形,三棱锥S ABC -的体积为3,则球的表面积为()A ．8πBC ．16πD ．1283π变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥S ABC -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC AB ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．9πD ．12π变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥-P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥-P ABC 的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．403πC ．643πD ．803π变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知SC 是球O 的直径，,A B 是球O球面上的两点，且1,CA CB AB ===S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为A ．4πB ．13πC ．16πD ．52π题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 是对角线AC 与BD 的交点，若1PB =，3APB π∠=，则三棱锥P BOC -的外接球的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，PC =，AB =2CA CB ==，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．143πB ．283πC ．9πD ．12π例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥A SBC -中，10,,,4AB ASC BSC AC AS BC BS π=∠=∠===若该三棱锥的体积为153，则三棱锥A SBC -外球的体积为（）A ．πB ．3πC ．5πD ．43π变式47．在矩形A B C D 中，==4,3A B B C ，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角--B A C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为（）A ．π12512B ．π1259C ．π1256D ．π1253变式48．三棱锥-P A B C 中，平面⊥P A C 平面A B C ，=2A C ，⊥P A P C ，⊥A B B C ，则三棱锥-P A B C 的外接球的半径为题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，(2,0,0),(0,3,0),(0,0,5),(2,3,5),A B C D 则四面体ABCD 外接球体积是（）A ．25πB ．36πC ．1083πD ．288π例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：m ）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为2m 例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥A BCD -中，,2,AD AB AB AD ACD ⊥== 为等边三角形，三棱锥A BCD -的体积为23，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为.变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在Rt ABC 中，2C π=，2AC BC ==，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图②.若F 是1A B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是（）A ．2πBC ．6D ．12变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，⊥AE 面ABCD ，2EQ QD = ，2EP PB = ，12ER RC = ，若RP RQ ==，则四棱锥E ABCD -外接球表面积为（）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AD ＝2，M 是棱11B C 的中点，过点B ，M ，1D 的平面α交棱AD 于点N ，点P 为线段1D N 上一动点，则三棱锥1P BB M -外接球表面积的最小值为．变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则三棱锥1A EFG -的外接球表面积的最小值为.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥-P ABC 的外接球半径的取值范围为．题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为2cm ．例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（）A ．11πB ．(8π+C ．(8π+D 题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱ABC A B C '''-中，,4AC BC AC BC ⊥==，棱柱的侧棱足够长，点P 在棱BB '上，点1C 在CC '上，且1PA PC ⊥，则当△1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的体积为.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，3π,24BCA AC BC ∠===，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，三棱锥1E BCC -外接球的体积为.变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC⊥BC ，AC =3BC =，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 为等腰直角三角形且4BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为323，则其外接球的表面积为.变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，2AB AC BC m ===，M 为AC 的中点，若三棱锥P ABM -的顶点均在球O 的球面上，D 是球O 上一点，且三棱锥-D PAC O 的体积为.变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD，则这个球的表面积为.题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球的球心为O ，则球O 的体积为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -存在内切球，若3,4,AB BC AB BC ==⊥，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．26πB ．27πC ．28πD ．29π例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32π3，则该正方体的体积为（）A ．4B ．16C ．8D ．64变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）A ．B ．5:1C ．:1D ．6:1变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，D 是侧棱BB '上一点，E 是侧棱CC '上一点，若线段AD DE EA '++的最小值是在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:4变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，。

专题八：立体几何外接球问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版一、单选题1.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=π，若该直三棱柱的外接球表面积为216π，则此直三棱柱的高为（）．A. 4B. 3C. 4√2D. 2√2【答案】 D【解析】【解答】解：因为∠ABC=π，所以将直三棱柱ABC−A1B1C1补成长方体ABCD−A1B1C1D1，2则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为R，则4πR2=16π，解得R=2，设直三棱柱的高为ℎ，则4R2=22+22+ℎ2，即16=8+ℎ2，解得ℎ=2√2，所以直三棱柱的高为2√2，故答案为：D，所以将直三棱柱ABC−A1B1C1补成长方体ABCD−A1B1C1D1，则直三棱【分析】因为∠ABC=π2柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。

2.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB=2，若四棱锥P−ABCD外接球的体积为8√2π，则该四棱锥的表面积为（）3A. 4√3B. 6√3C. 8√3D. 10√3【答案】B【解析】【解答】设四棱锥P−ABCD外接球的球心为O，过O作底面ABCD的垂线，垂足为M，因为四边形ABCD是长方形，所以M的底面中心，即对角线AC、BD的交点，过O作三角形APD的垂线，垂足为N，所以N是正三角形APD外心，设外接球半径为r，外接球的体积为8√2π3=4πr33，所以r=√2，即OA=√2，过N作NE⊥AD，则E是AD的中点，连接EM，所以EM=12AB=1，EM⊥AD，因为平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，所以NE⊥平面ABCD，所以NE//OM，所以EM⊥平面APD，所以EM//ON，所以四边形MENO是平行四边形，即OM=NE，设AD=2x，则AM=√AE2+EM2=√x2+1，NE=13PE=13×√32AD=√33x，所以OM=NE=√33x，由勾股定理得OA2=OM2+AM2，即2=13x2+x2+1，解得x=√32，所以AD=√3，S△PAD=12AD2sin60∘=3√34，因为AB//CD//OM，所以AB⊥平面APD，CD⊥平面APD，所以PA⊥AB，PD⊥CD，S△PAB=S△PCD=12×AB×AP=√3，因为PB=PC=√PA2+AB2=√7，BC=√3，作PH⊥BC于H，所以H为BC的中点，所以PH=√PB2−(12BC)2=√7−34=52，所以S△PBC=12×PH×BC=5√34，S矩形ABCD=2√3，所以S表=S△PAD+S△PAB+S△PCD+S矩形ABCD=6√3。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题17 立体几何外接球与内切球一、单选题1．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为O 的体积为（）A ．323πBC ．1254πD 【答案】A【分析】根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积【详解】设底面边长为a ，侧棱长为b ，因为底面面积为6，所以26a =，得a =因为侧面积为所以142⨯=b = 连接,AC BD 交于点1O ，连接1PO ，则可得1PO ⊥平面ABCD ，，所以四棱锥P ABCD -的高13PO =，点O 在1PO 上，连接OA ，设球的半径为R ，则222(3)R R =-+，解得2R =，所以球O 的体积为3344322333R πππ=⨯=， 故选：A2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，4PA BC，3AB =，AB BC ⊥，若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 上，则球O 的半径为（）A B ．34 C ．38 D ．32【答案】A【分析】将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.【详解】由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球. 外接球的半径为12R PC ===故选：A3．已知ABC∆是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，3 BC=，PB=PC=P ABC-外接球的体积为（）A．10πBC．53πD【答案】D【分析】由ABC为直角三角形，可知BC中点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC，所以球心在过M与平面ABC垂直的直线上，且球心为PBC的外心.利用正余弦定理求出PBC外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC中点M，过点M做直线l垂直BC，因为ABC为直角三角形，所以点M为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC，所以l⊂平面ABC，根据球的性质，球心一定在垂线l上，且球心为PBC的外心.在PBC中，222 cos2PB BC PCPBCPB BC+-∠==⋅所以sin PBC∠=，则PBC外接圆的半径为12V=故选：D4．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，1BC BD ==，ACD △此三棱锥外接球的表面积为（）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】A【分析】 利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE ，求解直角三角形得,AC AD ，利用余弦定理得出90ACB ADB ∠=∠=，可得AB 为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】1BC BD ==，60CBD ∠=︒，1CD ∴=，又,60,AB AB ABC DBA BC BD ====，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，取CD 中点E ，连接AE ，又由ACD △ACD △的高AE =则可得AC AD ==在ABC 中，由余弦定理2222cos60AC AB BC AB BC ⋅⋅-=+，2131212AB AB ∴=+-⨯⨯⨯，解得2AB =， 则222AC BC AB +=，可得90ACB ∠=，90ADB ∴∠=，,AC BC AD BD ∴⊥⊥，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1，故外接球的表面积为2414ππ⨯=.故选：A.5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，4MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为（） A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π【答案】C【分析】将问题转化为棱长为4的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图所示，鳖臑M ABC -的外接球即为棱长为4的正方体的外接球，∴该鳖臑的外接球半径R == ∴该外接球表面积2448S R ππ==.故选：C .6．已知三棱锥B ACD -中，2AB BC AC ===，CD BD ==BC 的中点为E ，DE 的中点恰好为点A 在平面BCD 上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（）A ．1415BC ．2511D ．1511【答案】D【分析】如图，设点A 在面BCD 上的射影为点F ，根据题意和勾股定理求出BF 、AF ， 设球心到平面BCD 的距离为h ，利用勾股定理求出h ，进而可得出结果.【详解】由题意知，如图，BCD △为等腰直角三角形，E 是外接圆的圆心，设点A 在面BCD 上的射影为点F ，则点F 为DE 的中点，所以BF =，所以2AF =， 设球心到平面BCD 的距离为h ，由BO =AO ，在Rt BOE △和Rt AOM 中，可得2211)4h h +=+，解得h =2215111r h =+=. 故选：D7．如图，把两个完全相同的直三角尺SBC ，SAC 斜边重合，沿其斜边SC 折叠形成一个120°的二面角，其中2SA SB ==，且AB =SABC 外接球的表面积为（）A ．4πB ．163πC ．3πD ．203π 【答案】B【分析】 过点B 作BD SC ⊥于D ，连接DA ，证得BDA ∠为二面角B SC A --的平面角，进而求出SC 的长度，然后取SC 的中点O ,证得O 为空间四边形SABC 外接球的球心，从而可知SC 为球直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.【详解】过点B 作BD SC ⊥于D ，连接DA ，由于Rt SBC △和Rt SAC △全等，所以AD SC ⊥，AD BD =，所以BDA ∠为二面角B SC A --的平面角，即120BDA ∠=，在ABD △中，结合余弦定理得2222cos AB BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，即221322BD BD BD BD ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，因此233BD =，因为0BD >，所以1BD =，在Rt SBD △中，1sin 2BSD ∠=，从而6BSD ∠=π，在Rt SBC △中，cos SB BSD SC∠==，又因为2SB =，所以SC =SC 的中点O ，连接,OB OA ，由于SC 是Rt SBC △和Rt SAC △的斜边，所以OB OA OS OC ===，故O 为空间四边形SABC 外接球的球心，SC 为球直径，所以空间四边形SABC SABC 外接球的表面积为21643ππ⨯=⎝⎭， 故选：B.8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（）A ．6B ．18C ．D ．【答案】B【分析】根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.【详解】设球O 的半径为r ，则2428r ππ=，则r =设三棱柱111ABC A B C -的棱长为a ，连接111,A A C C B B 的外心21,O O ，则21O O 的中点O 即为球心，且22,2a O C OO ==,则2222a r ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a =2318V a =⨯==． 故选：B.9．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 【答案】C【分析】首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.【详解】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，12R =245S ππ==， 故选:D.10．已知正四面体ABCD 的表面积为A 、B 、C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．B C D ．3π【答案】C【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，则根据正四面体ABCD 的表面积即可得出a =1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径. 【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，所以该正四面体的表面积为2142S a =⨯⨯== 所以a =，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，O 的体积为343π⨯=⎝⎭． 故选：C .11．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】利用勾股定理判断PA ⊥平面ABCD ，过正方形ABCD 的中心O '作垂线，再过PA 中点作此垂线的垂线，交点O 即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.【详解】由题意可知222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，过正方形ABCD 的中心O '作垂线，再过PA 中点作此垂线的垂线，交点为O ，此点即为外接球的球心，则外接球半径R =3OA ， 所以四棱锥外接球的表面积2436S R ππ==.故选：C12．三棱锥D -ABC 中，AB =DC =3，AC =DB =2，AC ⊥CD ，AB ⊥DB .则三棱锥D -ABC 外接球的表面积是（）.A ．9πB ．13πC ．36πD ．52π【答案】B【分析】 由题可得球心为AD 的中点，即求.【详解】OC OB，因为AC⊥CD，AB⊥DB取AD的中点为O，连接,∴OC OA OD OB===即O为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴AD∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为13π.故选：B.13．已知一个圆锥的母线长为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A．36πB．48πC．36D．【答案】A【分析】先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r2r π=，解得：r =作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h ，则4h ==.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ,则有R =即R =R =3， 所以该圆锥的外接球的体积为334433633R πππ==. 故选：A.14．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=︒，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为8+O 表面积的最小值是（）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】B【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，根据题意得出4ah =，设ABC 的外接圆半径为r 、球O 的半径为R ，根据勾股定理得出2R 的表达式，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==.因为120BAC ∠=︒，所以BC =，则该三棱柱的侧面积为(28ah =+4ah =.设ABC 的外接圆半径为r ，则2sin BC r a BAC==∠. 设球O 的半径为R ，则2222222164244h h h R r a h ⎛⎫=+=+=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当h =等号成立）， 故球O 的表面积为2416R ππ≥.故选：B15．三棱锥P ABC -的顶点均在一个半径为4的球面上，ABC 为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据球的性质，结合线面垂直的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示：点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥P ABC -体积最大，此时，4OP OB R ===，因为6AB =，所以24ABCS AB == 点M 为三角形ABC 的中心，23BM BE ∴===Rt OMB ∴中，有2OM =，426PM OP PM ∴=+=+=，()max 163P ABC V -∴=⨯= 故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题16．已知D ，E 分别是边长为2的等边ABC 边AB ，AC 的中点，现将ADE 沿DE 翻折使得平面ADE ⊥平面BCDE ，则棱锥A BCDE -外接球的表面积为_________． 【答案】133π 【分析】取BC 的中点G ，连接,DG EG ，可得G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，得出两垂线的交点O 为棱锥A BCDE -外接球的球心，求出半径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】取BC 的中点G ，连接,DG EG ，可知DG EG BG CG ===，则G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，过G 作平面BCED 的垂线，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，设两垂线的交点为O ，则O 为四棱锥A BCDE -外接球的球心，ADE 的边长为1，OG HK ∴=则四棱锥A BCDE -外接球的半径OB =，∴四棱锥A BCDE -外接球的表面积为21343ππ⨯=⎝⎭. 故答案为：133π 17．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M （1B 不在平面AMCD 内），连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_________.①//CN 平面1AB M ；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】①③【分析】取1AB 中点，可判断①；通过1AD B D ⊥不成立，可判断②；当平面1AB M ⊥平面ADM 时，体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断③.【详解】取1AB 中点P ，连接PM ，PN ，故//PN AD ，//PN MC ，四边形PMCN 为平行四边形， 故//NC PM ，即//CN 平面1AB M ，①正确；由底面ABCD 为矩形，可知AD CD ⊥，若CN AD ⊥，则需1AD B D ⊥，由已知可得1AD B D ⊥不成立，故②错误；当平面1AB M ⊥平面ADM 时，体积最大，此时AD 中点O 为外接球球心，则该球的半径1r =，表面积244S r ππ==，故③正确；故答案为：①③.18．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的表面积为____________.【答案】18π【分析】过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，将问题转化为半圆与矩形的内接问题，进而求出半球的半径r，再利用球的表面积公式进行求解.【详解】设该半球的半径为r，过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则面α截半球面得半圆，截正方体得一个矩形，且矩形内接于半圆（如图所示），在矩形ABCD中，2AB=，BC==,则r所以半球的表面积为2222ππ3π18πS r r r=+==.故答案为：18π.19．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A BCD-的体积的最大值为83，则该球O的体积为________．【答案】32 3π【分析】易知CD为该球的直径，由顶点A在底面的射影为球心O，且底面BCD为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD-体积最大求解.【详解】如图所示：因为球心O在CD上，所以CD 为该球的直径，由此易知，当顶点A 在底面的射影为球心O 时，且底面BCD 为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD -体积最大， 所以1182323R R R ⨯⋅⋅⨯=， 解得2R =，故所求球O 的体积为343233S R ππ==. 故答案为：323π. 20．圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3,则该圆台的体积为_______．【答案】3【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为3，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高'OO =据此可得圆台的体积：()22133113V π=⨯+⨯+=.故答案为：3. 21．已知三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝4，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120︒，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为_____． 【答案】32π 【分析】把三棱锥S -ABC 中补形成一个直三棱柱，找出球心，求出球的半径即可求解. 【详解】如图，把三棱锥S -ABC 中补形成一个直三棱柱，设上、下底面外接圆的圆心分别为21,O O ，球的半径为R ，则外接球的球心O 为12O O 的中点， 由正弦定理11224,2sin 30O A O A ⋅==∴=，又112,2OO SA OA R ==∴==，则其外接球的表面积为224432R πππ==． 故答案为：32π.22．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为_________． 【答案】9π 【分析】易知球心O '在正四棱锥的高OP 上，可利用勾股定理构造出关于外接球的半径R ，解方程求得R 后，利用球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，O 为底面正方形的中心，则2OP =，2AB =，则正四棱锥的外接球的球心O '在OP 上，则外接球的半径R 满足()2222R R -+=，解得：32R =，∴该球的表面积249S R ππ==．故答案为：9π.23．已知在四面体ABCD 中，AB CD AD AC BC BD ======ABCD 的外接球表面积为______. 【答案】9π 【分析】把四面体ABCD 补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积. 【详解】对于四面体ABCD 中，因为AB CD AD AC BC BD ====== 所以可以把四面体ABCD 还原为一个长方体，如图：设从同一个顶点出发的三条边长分别为x 、y 、z ，则有：222222855x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 点A 、B 、C 、D 均为长、宽、高分别为2，2，1的长方体的顶点， 且四面体ABCD 的外接球即为该长方体的外接球， 于是长方体的体对角线即为外接球的直径， 不妨设外接球的半径为R，∴2R ， ∴外接球的表面积为224ππ(2)9πR R ==. 故答案为：9π.24．已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，又324AB BC BD ===，，，且60CBD ∠=，则球O 的体积为__________【答案】1256π 【分析】由题可证AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，因此可把四面体ABCD 放入长方体中，则易求其外接球的体积. 【详解】∵四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ， 又324AB BC BD ===，，，且60CBD ∠=， ∴cos6023CD = ∴222BC CD BD +=， ∴AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，∴以BC CD AB 、、为长方体的长、宽、高构造长方体，则球O 的半径为522AD =， ∴球O 的体积为345=632125ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 故答案为：1256π. 25．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑A BCD -中，满足AB ⊥平面BCD ，且有,2,1BD CD AB BD CD ⊥===，则此时它外接球的体积为_______. 【答案】9π2. 【分析】根据题意，将图形还原成长方体，进而求该长方体外接球的体积即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，AB ⊥BD ，又BD ⊥CD ，即AB ，BD ，CD 三条直线两两垂直，如图，将鳖臑还原为长方体111BMCD AM C D -，则问题转化为求该长方体外接球的体积.设外接球的半径为R ，则32R 3R 2=⇒=.所以外接球的体积3439π×π322V ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：9π2.26．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===，则球O 的表面积是_______； 【答案】4π 【分析】先确定外接球的球心，再根据勾股定理得到半径，进而计算表面积得到答案. 【详解】如图，取AC 中点H ，则H 为ABC ∆的外接圆的圆心 易知球心O 在点H 的上方，且12OH =，此时球的半径1r OC ====， 244S r ππ∴==球.故答案为：4π27．一个正四面体表面积为1S ，其内切球表面积为S 2.则12S S =___________.【分析】设正四面体的棱长为a ，用a 表示正四面体表面积为1S ，求得正四面体的高，再利用等体积法求得其内切球的半径为r 即可. 【详解】 如图所示：设正四面体的棱长为a ， 因为正四面体表面积为1S ，所以221142S =⨯=，正四面体的高为h ， 设正四面体的内切球的半径为r ，则正四面体的体积为2211433V r ==⨯⨯，解得r =， 所以22246a S r ππ==，所以126S S28．已知四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AC ＝4，CD ＝AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______． 【答案】88π． 【分析】首先四面体补体为长方体，借助长方体求外接球的半径，求四面体的外接球的表面积. 【详解】解：因为AD ＝6，AC ＝4，CD ＝222AD AC CD +=， 所以AD AC ⊥又因为AB ⊥平面ACD ， 由题意可知几何体是长方体的一部分，如图，长方体的对角线的长为l所以球的表面积为：2488ππ⋅=⎝⎭．故答案为：88π29．设体积为P ABC -外接球的球心为O ，其中O 在三棱锥P ABC -内部．若球O 的半径为R ，且球心O 到底面ABC 的距离为3R，则球O 的半径R =__________． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，结合球的几何性质、棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】 取ABC 的中心G ．连接PG ，则PG ⊥平面ABC 且球心O 在PG 上．由条件知，3R OG =，连接OA ，AG ，则AG =，设等边ABC 的边长为a ，所以等边ABC ，因此23AG ==，所以有R a 362=，于是ABC R ．又OP R =， 故三棱锥P ABC -的高是：1433R R R +=，所以223148)333P ABC V R R R -=⋅⋅=⋅==3R =．故答案为：330．在边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，则所得三棱锥D ABC -外接球的表面积等于___________.【答案】60π【分析】过ABC 的外心1O 作平面ABC 的垂线，过ADC 的外心2O 作平面ADC 的垂线，两垂线交于O ，则点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，然后根据已知的数据求出球的半径，从而可求得球的表面积【详解】解：如图，取AC 的中点E ，连接,BE DE ， 因为边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 和ADC 均为正三角形， 所以,BE AC DE AC ⊥⊥,因为二面角B AC D --为直二面角，所以BE DE ⊥， 设1O ，2O 分别是ABC 和ADC 的外心，过1O 作平面ABC 的垂线，过2O 作平面ADC 的垂线，两垂线交于O ，则O 到,,,A B C D 的距离相等，所以点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，因为2111633OO O E BE ====, 222633DO DE ===所以OD =所以三棱锥D ABC -外接球的表面积为2460ππ=，故答案为：60π。