上海市上海理工大学附属中学高三数学第二次月考试卷(文)

第一学期高三数学第二次月考试题一．填空题（每小题4分，共52分）： 1.已知31)sin(-=+απ，且α是第二象限角，则sin 2α＝ 2.已知平面向量b a ,的夹角为60°，)1,3(=a1=______=+ 3. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 的极限存在，且3=4a ，527S S -=，则数列{}n a 各项的和为4.已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -=5.直线032=++y ax 和直线012=-+ay x 具有相同的法向量.则_____=a6.已知数列{}n a 是等差数列，415a =，555S =，则过点()20104,P a 和点()20113,Q a 的直线的倾斜角是 .（用反三角函数表示结果）7.圆22(1)(2)3x y -++=的一条弦的中点为13(,)22-，这条弦所在的直线方程为______ 8.在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为9.设4=⋅b a若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于_______________10.若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为_________________ 11.已知函数[]()2011sin ,0,1,()log ,1,,x x f x x x π∈⎧=⎨∈+∞⎩若满足()()()f a f b f c ==，（a 、b 、c 互不相等），则a b c ++的取值范围是 . 12. 数列{}n a 满足性质“对任意正整数n ，212n nn a a a +++≤都成立”且11a =，2058a =，则10a 的最小值为13. 已知函数()f x 满足：(1)对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；(2)当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是 二.选择题（每小题4分，共16分）：14. 若直线013=--y x 与直线0=-ay x 的夹角为6π，则实数a 等于 ( ) A.3； B.0； C.2； D.0或3 15.已知向量()2cos ,2sin a ϕϕ=，,2πϕπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，向量()0,1b =-，则向量a 与b 的夹角为 ( )A. ϕ；B.2πϕ+； C. 2πϕ-； D.32πϕ-. 16.已知直线1l 的方程是0=+-b y ax , 2l 的方程是0=--a y bx (b a ab ≠≠,0，则下 列各示意图中，正确的是 ( )17.函数()()()⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,1x x x x x f 则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是 ( ) A.{}121|-≤≤-x x B.{}1|≤x xC.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x三．解答题18.（本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知向量),cos 1,(sin B B m -=且与向量)0,2(=n 夹角为3π，其中A ，B ，C 是ABC ∆的内角。

上海市上海理工大附中【精品】高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数0y =的定义域是 ． 2．函数()f x =()g x =的积函数()h x =____________ 3．已知2211()f x x x x+=+,则()f x =________． 4．已知()(1000)2(1000)x f x f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩，≥，，则()2016f =____________5．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()()21f x x x =-，()f x 在R 上的解析式_______．6．函数22,(1)(),(1)x x f x x x +≤-⎧=⎨>-⎩，()3,f x =则x=_____ 7．函数4y x =____________8．2236x y x x +=++的最大值为____________ 9．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________ 10．已知53()10f x x ax bx =++-，且()310f -=，则()3f =____________ 11．已知函数()f x 满足()12f x f x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()f x =______． 12．函数21yx 的定义域是()[),12,5-∞，则其值域是______．二、解答题 13．解关于x 的方程：212324x x +-=． 14．若函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，且在（0，1）上递增，解关于a 的不等式()2(2)40f a f a -+-<.15．设函数()243f x x x =-+. （1）作函数()y f x =的图象；（2）讨论方程()f x a =的解的个数．16．已知函数()()2223f x x mx m m R =+++∈，若关于x 的方程()0f x =有实数根，且两根分别为1x 、2x .（1）求()1212x x x x +⋅的最大值；（2）若函数()f x 为偶函数，证明：函数()()f x g x x=在[]2,3上的单调性． 17．已知()21f x x =-，()()()1020x x g x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩. （1）求()g f x ⎡⎤⎣⎦；（2）设()()(){}max ,F x f x g x =，作函数()F x 的图象，并由此求出()F x 的最小值．参考答案1．{}|01x x x <≠-且【解析】 试题分析：10{0x x x +≠->，解得01x x <≠-且． 考点：函数的定义域．【名师点晴】函数定义域的求法：通过解关于自变量的不等式（组）来实现的．要熟记基本初等函数的定义域；通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集．复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求．函数定义域是研究函数性质的基础和前提，解答有关函数问题必须遵循定义域优先的原则，否则极易出错．2．()h x =（2x -≤或1x ≥）【分析】根据函数的关系建立方程关系即可得到结论．【详解】 解：函数()f x()g x =， 22()()()11x h x f x g x x x +∴==-+， 由210201x x x ⎧-⎪⎨+⎪+⎩得1112x x x x -⎧⎨>--⎩或或，即1x ≥或2x -≤， 此时2222()()()1(1)(1)(11x x h x f x g x x x x x x x ++==-=-=-++ 故答案为：()h x =，(1x ≥或2)x ≤-【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，注意定义域的限制作用，属于基础题．3．()(][)22,,22,f x x x =-∈-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】利用配凑法求函数的解析式.【详解】（配凑法） (1)222111 2f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1x x +∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴()(][)22,,22,f x x x =-∈-∞-⋃+∞． 故答案为：()(][)22,,22,f x x x =-∈-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 4．504【分析】直接利用分段函数解析式，化简求解函数值即可．【详解】解：已知()(1000)2(1000)x f x f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩，，，则(2016)(1008)(504)504f f f ===．故答案为：504．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．5．()()()221,01,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 【分析】利用奇函数的性质可求()f x 在R 上的解析式.【详解】设0x <，则0x ->，故()()()()2211f x x x x x -=-+=+，因为()f x 是R 上的奇函数，故()00f =且()()f x f x -=-，所以当0x <时，有()()()21f x f x x x =--=-+， 又()()201000f -⨯==，所以()()()221,01,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩.故答案为：()()()221,01,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩. 【点睛】本题考查奇函数一侧解析式的计算，可用奇函数的性质来求解，注意R 上的奇函数满足()00f =，本题为基础题.6【分析】根据已知中()()22,1,(1)x x f x x x ⎧+≤-=⎨>-⎩，分类讨论满足f （x ）＝3的x 值，综合讨论结果，可得答案．【详解】解：∵()()22,1,(1)x x f x x x ⎧+≤-=⎨>-⎩，当x ≤﹣1时，由x +2＝3得，x ＝1（舍去），当x ＞﹣1时，由x 2＝3得：x =x =，综上所述，x =【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值，难度不大，属于基础题．7．158⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】利用换元法，转化为一元二次函数进行求解即可．【详解】解：由210x -得12x ，即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，设t =0t ，且221t x =-，即212t x +=， 则原函数等价为22211154222248t y t t t t +⎛⎫=⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 0t ，158y ∴， 即函数的值域为158⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，， 故答案为：158⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【点睛】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．8．13【分析】 令2x t +=，则2x t =-，(0)t >；从而化简2214361x y x x t t +==+++-，利用基本不等式化简可得11431t t+-（当且仅当4t t =，即2t =，0x =时，等号成立）；从而得到答案． 【详解】解：易知2360x x ++>，故只需讨论20x +>，令2x t +=，则2x t =-，(0)t >；22221436(2)3(2)64431x t t y x x t t t t t t t +====++-+-+-+++-，44t t +，故413t t +-，故11431t t+-， 13y ∴≤ （当且仅当4t t =，即2t =，0x =时，等号成立）； 故答案为：13．【点睛】本题考查了换元法的应用及基本不等式的化简与应用，属于中档题．9．15【分析】 可令1()2g x =，得出x 的值，再代入可得答案． 【详解】 解：令1()2g x =，得1122x -=，解得14x =． 221511()11164()[()]151124()416f fg -∴====． 故答案为15．【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．10．30-【分析】函数()f x 不具备奇偶性，但其中53()g x x ax bx =++是奇函数，则可充分利用奇函数的定义解决问题．【详解】解：令53()g x x ax bx =++，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；则()()10f x g x =-所以(3)(3)1010f g -=--=得(3)20g -=，又因为()g x 是奇函数，即()()33g g =--所以()220g =-，则()()331030f g =-=-．故答案为：30-．【点睛】本题较灵活地考查奇函数的定义及奇函数的性质，属于基础题．11．223x x+- 【分析】构造函数方程组可求解析式.【详解】因为()12f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()112f f x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故可得()23f x x x -=+即()223x f x x+=-. 故答案为：223x x+-. 【点睛】本题考查解析式的求法，一般是根据函数恒等式构造函数方程组求解，主要考查学生的运算求解能力，属于基础题.12．()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】求出1x -的范围后利用反比例函数的性质可求函数的值域. 【详解】因为()[),12,5x ∈-∞，故10x -<或114x ≤-<，故201x 或12221x <≤-，故函数的值域为()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分式函数的值域，可以根据反比例函数的性质来求此函数的值域，注意较为复杂的分式函数（分子分母均为一次的形式）应先分离常数后再求值域，此类问题属于基础题.13．2x =或4x =-【分析】就32x <、32x ≥分类求解后可得方程的解. 【详解】 由212324x x +-=可以得到23212324x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或23212324x x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得2x =或4x =-故方程的解为：2x =或4x =-【点睛】本题考查含绝对值的方程的解，可依据绝对值符号内的代数式的符号分类讨论，将方程转化为给定范围上的一元二次方程的解，此题属于基础题.14．)2 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将函数不等式转化关于自变量的不等式组进行求解即可．【详解】 解：奇函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，且在()0,1上递增， ∴奇函数()f x 是定义在(1,1)-上的为增函数，则2(2)(4)0f a f a -+-<．等价为2(4)(2)(2)f a f a f a -<--=-．即2212114142a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，即22133560a a a a <<⎧⎪<<⎨⎪+-<⎩，即1332a a a a <<⎧<<<-<<⎩2a <<，即不等式的解集为)2． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15．（1）见解析；（2）当0a <时，无解；当0a =时，四个解；当01a <<时，8个解；当1a =时，6个解；当13a <<时，4个解；当3a =时，3个解；当3a >时，2个解．【分析】（1）作出243y x x =-+的图像后再翻折可得()y f x =的图象. （2）考虑()y f x =的图象与动直线y a =的交点个数后可得方程()f x a =的解的个数．【详解】（1）作函数()y f x =的图象如下，，（2）结合图象可知，当0a <时，方程()f x a =无解，当0a =时，方程()f x a =有四个解，当01a <<时，方程()f x a =有8个解，当1a =时，方程()f x a =有6个解，当13a <<时，方程()f x a =有4个解，当3a =时，方程()f x a =有3个解，当3a >时，方程()f x a =有2个解．【点睛】本题考查函数的图像变换以及方程的根，绘制函数的图象需根据解析式的特点选择合适的变换，方程的根可转化为简单函数的图像的交点去考虑，本题属于基础题.16．（1）2（2）证明见解析【分析】（1）先求出m 的取值范围，再利用韦达定理可把()1212x x x x +⋅转化为关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求最大值.（2）先求出m 的值，再利用单调性的定义可判断()g x 的单调性.【详解】（1）由题意，∵()244230m m ∆=-+≥,∴1m ≤-或3m ≥. 由韦达定理得122x x m +=-；1223x x m =+.又()()2121239223444x x x x m m m ⎛⎫+⋅=-+=-++ ⎪⎝⎭. ∵239444t m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在(],1-∞-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减， 而1m =-时2t =，3m =时54t =-，∴()1212x x x x +⋅的最大值为2．（2）证明：因为函数()f x 为偶函数，所以0m =， ()()3f x g x x x x==+. 任取1223x x ≤<≤，则()()21212133g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()12211230x x x x x x -=->, 因为1223x x ≤<≤，故210x x ->，121230,0x x x x ->>，故()()210g x g x ->即()()21g x g x >，故()g x 在[]2,3上递增．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、函数单调性的判断与证明，利用韦达定理考虑范围问题时注意判别式的要求，本题属于基础题.17．（1）()222,113,11x x x g f x x x ⎧-≤-≥⎡⎤=⎨⎣⎦-+-<<⎩或；（2）图像见解析，-1. 【分析】（1）就21x -的符号分类讨论后可得复合函数()g f x ⎡⎤⎣⎦.（2）令()()()h x f x g x =-，判断()h x 的正负后可得分段函数()F x ，利用常见函数的图象可得()F x 的图象，结合图象可得所求的最小值.【详解】（1）当210x -≥，即1x ≤-，或1x ≥时，()22112g f x x x =--=-⎡⎤⎣⎦， 当210x -<，即11x -<<时，()()22213g f x x x =--=-+⎡⎤⎣⎦． ∴()222,113,11x x x g f x x x ⎧-≤-≥⎡⎤=⎨⎣⎦-+-<<⎩或．（2）令()()()22,03,0x x x h x f x g x x x x ⎧-≥=-=⎨+-<⎩， 当0x ≥时，令20x x -≥，解得1x ≥，令20x x -<，解得01x <<．当0x <时，令230x x +-≥，解得x ≤，令230x x +-<0x <<， ∴()211,121,0120x x x F x x x x x ⎧---≥≤⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-<<⎪⎩或．函数图象如图所示：∴()F x 的最小值是1-．【点睛】本题考查分段函数的复合函数、分段函数的最值的求法，求分段函数的复合函数，要结合外函数的不同解析式对应的范围求出内函数的自变量的范围，分段函数的最值等性质的讨论，可分类讨论，也可以结合函数的图象来考虑，本题属于中档题.。

上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

开始S=0 ，n=12010n ≤sin 3S S n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n=n+1输出S结束否上海市部分重点中学高三第二次联考文科数学试卷一、填空题（每小题4分,共计56分） 1、()i i ⋅-21=______________2、已知b a ,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a b+=______3、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =_________4、圆心为(2,1)且与直线1x y +=相切的圆的方程为___________________5、若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为6、已知函数12)(+=xx f 的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则方程()2g x =的解为_______ 7、若圆柱的底面半径为1，高为3，则该圆 柱的全面积为_________8、数列{}n a 中，若()1525nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数（是偶数）设n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则2lim n n S →∞=______9、方程22log ||2x x =-的实根个数为___ 10、阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的 值为 ______11、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为______(用分数表示)12、右表给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则85_____a =13、已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB AC =,3A π∠=,3ABC S ∆=.若球的表面积为16π则,A B 两点的 球面距离是____14、设n a (n ＝2,3,4…)是(3)n x +的展开式中x 的一次项的系数,则2342010234201020103333()2009a a a a ++++的值是________ 二、选择题（每小题4分,共计16分）15、与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉ 16、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件17、一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为( ).A.223π+B. 423π+C. 2323π+D. 2343π+18、已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：当[]1,1,21-∈x x 时，都有|)()(|21x f x f -||421x x -⋅≤，在以下函数①5)(=x f ；②34)(-=x x f ；③x x x f 2)(2+=；④21)(+=x x f 中 可以是集合M 中的元素的序号为（ ）（A ）①②③④； （B ）①②④； （C ）②③； （D ）①②③。

上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一．填空题（每题4分，共56分）1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为．2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为．3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是．4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．5．设a∈{﹣2，﹣}，已知幂函数y=x a为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为．6．函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a 的值为．7．不等式≥1的解集为．8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为．9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是．10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为．11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是．12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O 到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是．13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log x，则不等式f（x）≤2的解集是．14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}=．二．选择题（每题4分，共16分）15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（）A．仅充分条件B．仅必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（）A．B．C．D．17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数 f （x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若B=C，求a的值．21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．（1）求侧棱AA1的长．（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2（1）将y表示成x的函数，并求定义域；（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．23．（16分）设f（x）=为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．24．（16分）已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x ∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（每题4分，共56分）1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为a≥3．【分析】由A与B的交集为A，得到A为B的子集，根据A与B，求出a的范围即可．解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，且A∩B=A，∴A⊆B，则a的取值范围为a≥3，故答案为：a≥3．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为arccos．【分析】由所有棱长都相等的正三棱锥，令S在底面ABC上的投影为O，则O 为正三角形ABC的中心，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，根据等边三角形的性质，求出AO后，解三角形SAO，即可求出答案．解：∵三棱锥S﹣ABC为正三棱锥，∴S在底面ABC上的投影为ABC的中心O连接SO，AO，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角设AB=AC=BC=SA=SB=SC=3∴AO=，在Rt△SAO中，cos∠SAO==∴∠SAO=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成角，其中根据正三棱锥的几何牲，构造出∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，是解答本题的关键．3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是[0，8）．【分析】讨论k是否为0，当k不等于0时，根据判别式与系数的关系得到不等式恒成立的等价条件．解：①k=0时，不等式为2＞0恒成立，故满足题意；②k≠0时，x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，等价于，解得0＜k＜8；综上x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，k的取值范围是0≤k＜8；故答案为：[0，8）．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立时求参数范围；首先要考虑二次项系数是否为0，然后根据判别式与系数的关系得到关于k的不等式解之．4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=﹣．【分析】本题考查的知识点是：原函数的定义域是反函数的值域，只要会这个概念解题较简单，也可以直接求出反函数，再求值！解：f（x）=log2（x2+1）（x≤0），要求f﹣1（2）的值，可以使log2（x2+1）=2，即22=x2+1，解得x=或x=﹣，由x≤0，得出x=﹣f﹣1（2）=﹣【点评】此题提供的解法是最优解，学生还可以根据反函数的定义，求出反函数再代入求值也可以，但是要求注意原函数的定义域！5．设a∈{﹣2，﹣}，已知幂函数y=x a为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为﹣2，．【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．解：a∈{﹣2，﹣}，幂函数y=x a为偶函数，所以a∈{﹣2，，2}，即y=x﹣2，y=x2，y=x，在（0，+∞）上递减，有y=x﹣2，y=x，所以a的可能值为：﹣2，．故答案为：﹣2，．【点评】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．6．函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a 的值为或．【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f （1）﹣f（2）=，解得a的值，综合可得结论．解：由题意可得：∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．∵当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．综上可得，a=，或a=．【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．7．不等式≥1的解集为{x|} ．【分析】由已知得，从而得到或，由此能求出不等式≥1的解集．解：∵≥1，∴﹣1=，∴或，解得．∴不等式≥1的解集为{x|}．故答案为：{x|}．【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3] ．【分析】先解出不等式组的解集，再由题设中的包含关系得出参数a的不等式组解出其范围．解：由即，解得，2＜x＜3．不等式2x2+ax﹣9＜0相应的函数图象开口向上，令f（x）=2x2+ax﹣9，故欲使不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，只需，即有即，解得，a≤﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题考查一元二次不等式的解法以及已知一元二次不等式的解集求参数，综合考查了一元二次函数的图象与性质．9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是2．【分析】方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，结合图象得出结论．解：方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数为2，故答案为2．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为cm3．【分析】由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为6cm的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求圆锥的底面的半径r，求出底面圆的面积，求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为6cm的扇形∴圆锥的母线长为l=6，底面周长即扇形的弧长为×6=8π，∴底面圆的半径r=4，可得底面圆的面积为π×r2=16π又圆锥的高h===2故圆锥的体积为V=×8π×2=，（cm3）．故答案为：cm3．【点评】本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．【分析】设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f（2﹣x）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．【点评】本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O 到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是π．【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．【解答】解答：解：∵AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点．O’C=，AC=3 ，∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，则B、C两点的球面距离=．故答案为：π．【点评】点评：高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log x，则不等式f（x）≤2的解集是{x|﹣4≤x≤0，或x≥} ．【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，此时满足不等式f（x）≤2，此时x=0，当x＞0时，由f（x）=log x≤2，解得x≥，当x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=log（﹣x）=﹣f（x），解得f（x）=﹣log（﹣x），x＜0，此时由﹣log（﹣x）≤2，即log（﹣x）≥﹣2解得﹣x≤4，即﹣4≤x＜0，综上﹣4≤x≤0，或x≥综上不等式的解集为{x|﹣4≤x≤0，或x≥}，故答案为：{x|﹣4≤x≤0，或x≥}【点评】本题主要考查不等式的求解，根据减函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}={2﹣，2+，1，，2，} ．【分析】根据基本不等式，可求出∈（0，]，解方程求出满足条件的x值，可得答案．解：∵x＞﹣1，∴≥2，∴=∈（0，]，若∈Z，则=1，或=2，或=3，解得：x=2﹣，或x=2+，或x=1，或x=，或x=2，或x=，故M={2﹣，2+，1，，2，}，故答案为：{2﹣，2+，1，，2，}【点评】本题考查的知识点是集合表示法，基本不等式，是集合和不等式的综合应用，难度中档．二．选择题（每题4分，共16分）15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（）A．仅充分条件B．仅必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义．得到既不充分又不必要条件．解：函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义，故前者不能推出后者，后者也不能推出前者，故选：D．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（）A．B．C．D．【分析】取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE，运用题目的条件得出∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，△BEC中，BE=CE=，BC=2，运用余弦定理求解即可．解：取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE∵∠BPE=∠CPE=60°，∴△PBE≌△PCE，∴BE=CE，根据余弦定理得出：BE=CE=，∴根据勾股定理判断出BE⊥PE，CE⊥PE，∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，∵△BEC中，BE=CE=，BC=2，∴cos∠BEC==，∠BEC=．故选：D．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角转化为三角形中求解是解答本题的关键．17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，从而解得．解：作函数f（x）=的图象，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，∴方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，∴1+x1=﹣b，1•x1=c，故b+c=﹣1﹣x1+x1=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了函数方程的转化思想和数形结合的思想应用及根与系数的关系应用，属于中档题．18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数 f （x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解．解：易知函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数．故①正确；当x＞0时，f（x）==，该函数在（0，+∞）上递增，且x→0时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→1．结合奇偶性，作出f（x）的图象如下：易知函数的值域是（﹣1，1），故②正确；结合函数为定义域内的增函数，所以③正确；又x≥0时，g（x）=f（x）﹣x=，令f（x）﹣x=0得x=0，故此时g（x）只有一个零点0，g（x）显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以④错误．故正确的命题是①②③．故选：B．【点评】本题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用．三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．【分析】运用配方法可得，a2﹣ab+b2=（a﹣）2+b2，再由非负数的思想，即可得证．【解答】证明：a2﹣ab+b2=a2﹣ab+b2+b2=（a﹣）2+b2，由（a﹣）2≥0，b2≥0，可得（a﹣）2+b2≥0，当a=b=0时，取得等号．即有a2﹣ab+b2≥0．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用配方的思想方法，以及非负数的概念，属于基础题．20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若B=C，求a的值．【分析】先求出集合B，C，需要分类讨论，再根据集合相等即可求出a的值．解：∵A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），∴B={y|y=x+1，x∈A}=[0，a+1]，当﹣1＜a≤1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，1]，∵B=C，∴a+1=1，解得a=0；当a＞1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，a2]，∵B=C，∴a+1=a2，解得a=（舍去），a=；综上所述a的值为0，或．【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．（1）求侧棱AA1的长．（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【分析】（1）设AA1=a，求侧棱AA1的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，由于此角余弦值已知，且△A1BC的边A1B，A1C的长度都可以用侧棱AA1的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA1的方程．（2）作出直线与平面所成角，利用三角形的解法求解角的大小即可．解：（1）∵B1C1∥BC，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，…设AA1=a，则在△A1BC中，A1B=A1C=，BC=2，…于是cos∠A1BC==，…解得a=4．…．所以，侧棱AA1的长为4．…（2）做BO⊥AC于O，连结A1O，几何体是正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，可知AO=1，BO=，并且BO⊥AA1，BO⊥平面A1ACC1，A1B与平面A1ACC1所成角就是∠BA1O，A1O==，A1B与平面A1ACC1所成角的大小为θ，tanθ===，θ=arctan．…【点评】本题考查空间的距离求法，直线与平面所成角的求法，此类题求解时，技巧是转换角度，且点所对的多边形的面积易求，若这些条件不满足，则此法不好用，学习一种典型题的解法，要注意它的适用范围，适时总结．22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2（1）将y表示成x的函数，并求定义域；（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．【分析】（1）通过对xy+•π•=8变形、计算即得结论；（2）通过（1）可知框架用料l=（2+）x+，进而利用基本不等式计算即得结论．解：（1）依题意，xy+•π•=8，整理得：y==﹣•x，定义域为：0＜x＜；（2）由（1）可知框架用料l=2x+2y+•2π•=2x+2（﹣•x）+•x=（2+）x+≥2=4，当且仅当（2+）x=，即x=时取等号，此时x≈2.397m，y=﹣=≈2.397m，故当x=y≈2.397m时用料最省．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（16分）设f（x）=为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；（2）不等式f（x）＞恒成立，等价于f（x）﹣＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）﹣，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，由，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．令（x﹣1）（1﹣ax）=0，得x1=1，x2=，∴=﹣1，解得a=﹣1．令u（x）==1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），则u（x1）﹣u（x2）=，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．∴u（x）=1+（x＞1）是减函数，又为减函数，∴f（x）=在（1，+∞）上为增函数．（2）由题意知﹣＞m，x∈（3，4）时恒成立，令g（x）=﹣，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上为增函数，又﹣在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，∴g（x）的最小值为g（3）=﹣=﹣，∴m≤﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．24．（16分）已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x ∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k 的范围另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求（2）取特值说明即可，不是闭函数．（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的图象可求解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．∴得，即所求．另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，所以，函数y=2x+lgx是不是闭函（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+则有k=x﹣=，（令t=），如图则直线若有两个交点，则有k．【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．。

上理工附中2011学年第一学期高三数学摸底测试卷一． 填空题(每题4分，共72分)1. ,z C ∈且84z z i +=-，则z ＝________。

2. x ≠0，则1x x+的取值范围为_________________ 3. 设两角,αβ满足22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围_______________4..线性方程21437x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是_____________________ 5. 计算32lim 42n n n →∞+=-_________________ 6. 解不等式：2112x x+≤-的解集为_________________ 7. 集合{}{}121,25A x a x a B x x =+≤≤-=-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________________8．若,2=z 求i z 43-+取最大值时的z =_____________9. 不等式22(1)(1)10a x a x ---+<的解集为空集，则实数a 的取值范围为_____________ 10. 2a >，则22a a -的最小值为__________________ 11. 81()x x -的二项展开式中常数项为__________________12. 已知()()2,3,1,a m b m =--=-，若//a b ，则m =________13. 不等式02||32<+-x x 的解集为：__________________。

14．若z C ∈，且210z z ++=，则200320031zz +=__________________。

15.方程20x m +=的两个复数根为,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为______。

16．数列{}n a 中，()113,34*n n a a a n N +==-∈，则通项公式n a =__________________。

上理工附中2015学年第一学期高二数学月考（二）15.12.15一、填空题：（每题4分）1． 化简： AB BC DA CD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ____________；2．计算100111002⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______________； 3．250380x y x y --=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵为_______________； 4．已知等差数列}{n a 中，7916a a +=，41a =，则12a =____________；5．计算33lim 1n n C n →∞=+____________； 6．若向量,a b r r 满足1,2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ____________； 7．若行列式417xx 5 3 8 9中，元素1的代数余子式大于0，则x 满足的条件是____________；8．已知(),2a x =r ，()2,4b =r ，且a r ，b r 的夹角为锐角，则x 的取值范围是____________；9．若1PP u u u r =322PP u u u r ，且设212P P PP λ=u u u r u u u u r ，则实数λ=____________； 10．若22121212 (232323)n n n S =++++++，则lim n n S →∞=____________； 11．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200,OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r 且,,A B C 三点共线，（该直线不过原点O ），则200S =____________；12．若272020x x C C -=，则正整数x =____________；13．五个工程队承建编号为1，2，3，4，5的五个不同项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建1号项目，则不同的承建方案有____________种；14．小李打算从10位朋友中邀请4位去旅游，这10位朋友中有一对是双胞胎，对于这对双胞胎，要么都邀请，要么都不邀请，则不同的邀请方法有____________种；15．732x ⎛ ⎝的二项展开式中，常数项是____________；16．()31n x +的二项展开式中，二项式系数和为256，则在展开式中2x 的系数是__________；17．右图所示的程序框图中，最后输出的W =__________；二、解答题： 18．用行列式对方程组 ⎩⎨⎧=++=+a ay x a y ax 21 解的情况进行讨论．19．已知3=a ，4=b ，（1）若()()2220a b a b +⋅-=-u u r u u r u u r u u r ，求a 与b 的夹角； （2）若a 与b 的夹角为ο60，试确定实数k ，使b a k +与b a -垂直．20．在数列{}n a 中，13a =-，()*12232,n n n a a n n N -=++≥∈（1）求23,a a 的值； （2）设()*32n n n a b n N +=∈，证明：{}n b 是等差数列； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S ．。

2015-2016学年上海市理工大附中高一（上）第二次月考数学试卷一、填空题：1．函数y=的定义域是．2．与函数的积函数h（x）= ．3．设f（x+）=x2+，则f（x）= ．4．已知，则f（2016）=_ ．5．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2（1﹣x），f（x）在R上的解析式_ ．6．已知函数，若f（a）=3，则a= ．7．函数的值域为．8．函数的最大值为．9．设，则= ．10．已知f（x）=x5+ax3+bx﹣10，且f（﹣3）=10，则f（3）= ．11．已知函数f（x）满足，则f（x）=_ ．12．函数的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是．二、解答题：13．解关于x的方程： x2+|2x﹣3|=2．14．若奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在[0，1）上递增，解关于a的不等式：f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0．15．设函数f（x）=|x2﹣4|x|+3|，（1）作函数y=f（x）的图象；（2）讨论方程f（x）=a的解的个数．16．已知函数f（x）=x2+2mx+2m+3（m∈R），若关于x的方程f（x）=0有实数根，且两根分别为x1、x2，（1）求（x1+x2）•x1x2的最大值；（2）若函数f（x）为偶函数，证明：函数g（x）=在[2，3]上的单调性．17．已知（1）求g[f（x）]；（2）设F（x）=max{f（x），g（x）}，作函数F（x）的图象，并由此求出F（x）的最小值．2015-2016学年上海市理工大附中高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．函数y=的定义域是{x|x＜0，且x≠﹣1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0，0的0次幂无意义，可得自变量x须满足，解不等式组可得函数的定义域．【解答】解：若使函数y=的解析式有意义，自变量x须满足解得x＜0且x≠﹣1故函数的定义域为{x|x＜0，且x≠﹣1}故答案为：{x|x＜0，且x≠﹣1}【点评】本题考查的知识点是的定义域及其求法，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式式是解答此类问题的关键．2．与函数的积函数h（x）= ，（x＞1或x≤﹣2）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】根据函数的关系建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵函数，∴h（x）=f（x）•g（x）=•，由得，即x＞1或x≤﹣2，此时h（x）=f（x）•g（x）=•==，故答案为：，（x＞1或x≤﹣2）【点评】本题主要考查函数解析式的求解，注意定义域的限制作用．3．设f（x+）=x2+，则f（x）= x2﹣2，x≥2或x≤﹣2 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】运用换元法，配方法求解，注意范围．【解答】解：设t=x+，t≥2或t≤﹣2∵f（x+）=x2+，∴f（t）=t2﹣2，t≥2，t≤﹣2，即f（x）=x2﹣2，x≥2或x≤﹣2故答案为：x2﹣2，x≥2或x≤﹣2【点评】本题考查了换元法函数求解析式，难度不大．4．已知，则f（2016）=_ 504 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，化简求解函数值即可．【解答】解：已知，则f（2016）=f（1008）=f（504）=504．故答案为：504．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2（1﹣x），f（x）在R上的解析式_ f（x）=．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，利用对称关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2（1+x）=x2（1+x），又f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=x2（1+x）=﹣f（x），即当x＜0时f（x）=﹣x2（1+x）．综上f（x）=，故答案为：f（x）=．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的对称性进行转化求解是解决本题的关键．6．已知函数，若f（a）=3，则a= ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数知a+2=3或a2=3，从而解得．【解答】解：∵f（a）=3，∴a+2=3或a2=3，解得，a=1或a=±，故a=；故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用．7．函数的值域为[，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法，转化为一元二次函数进行求解即可．【解答】解：由2x﹣1≥0得x≥，即函数的值域为[，+∞），设t=，则t≥0，且t2=2x﹣1，即x=，则原函数等价为y=4×﹣t=2t2﹣t+2=2（t﹣）2+，∵t≥0，∴y≥，即函数的值域为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．8．函数的最大值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】令x+2=t，则x=t﹣2，（t＞0）；从而化简=，利用基本不等式化简可得≤（当且仅当t=，即t=2，x=0时，等号成立）；从而得到答案．【解答】解：易知x2+3x+6＞0，故只需讨论x+2＞0，令x+2=t，则x=t﹣2，（t＞0）；===，∵t+≥4，故t+﹣1≥3，故≤，（当且仅当t=，即t=2，x=0时，等号成立）；故答案为：．【点评】本题考查了换元法的应用及基本不等式的化简与应用．9．设，则= 15 ．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】令1﹣2x=求出对应的x=，即求出了f（g（x））中的x，再代入f（g（x））即可求出结论．【解答】解：令1﹣2x=解得x=，∴f（）=f（1﹣2×）=f（g（））===15．故答案为：15．【点评】本题主要考查函数的值的计算．解决本题的关键在于令1﹣2x=求出对应的x=，即求出了f（g（x））中的x．10．已知f（x）=x5+ax3+bx﹣10，且f（﹣3）=10，则f（3）= ﹣30 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）不具备奇偶性，但其中g（x）=x5+ax3+bx是奇函数，则可充分利用奇函数的定义解决问题．【解答】解：令g（x）=x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；则f（x）=g（x）﹣10所以f（﹣3）=g（﹣3）﹣10=10得g（﹣3）=20，又因为g（x）是奇函数，即g（3）=﹣g（﹣3）所以g（3）=﹣20，则f（3）=g（3）﹣10=﹣30．故答案为：﹣30．【点评】本题较灵活地考查奇函数的定义．11．已知函数f（x）满足，则f（x）=_ ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】令t=，则x=，求出，和，联立方程组，求解即可．【解答】解：，①令t=，则x=，，∴，②②×2+①，得：∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，是基础题．12．函数的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（﹣∞，0）∪（，2] ．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题考查的是利用函数的单调性求函数的值域．【解答】解：因为函数在区间（﹣∞，1）和区间[2，5）上单调递减，当x∈（﹣∞，1）时y∈（﹣∞，0），当x∈[2，5）时y∈（﹣∞，0）∪（，2]．故答案为：（﹣∞，0）∪（，2]．【点评】本题利用函数的单调性就可以直接求出函数的值域，属于基础题．二、解答题：13．解关于x的方程： x2+|2x﹣3|=2．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接去掉绝对值符号，然后求解即可．【解答】解：或，解之x=2或．方程的解为：x=2或；【点评】本题考查函数的零点与方程的根的知识，基本知识的考查．14．若奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在[0，1）上递增，解关于a的不等式：f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式转化不等式组进行求解即可．【解答】解：∵奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在[0，1）上递增，∴奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的为增函数，则f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0．等价为f（a2﹣4）＜﹣f（a﹣2）=f（2﹣a）．即，即，即，即＜a＜2，即不等式的解集为（，2）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15．设函数f（x）=|x2﹣4|x|+3|，（1）作函数y=f（x）的图象；（2）讨论方程f（x）=a的解的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）结合二次函数的图象及对称性作函数y=f（x）的图象即可；（2）结合图象可知当a＜0时，方程f（x）=a无解，当a=0时，方程f（x）=a有四个解；当0＜a＜1时，方程f（x）=a有8个解；当a=1时，方程f（x）=a有6个解；当1＜a＜3时，方程f（x）=a有4个解；当a=3时，方程f（x）=a有3个解；当a＞3时，方程f（x）=a有2个解．【解答】解：（1）作函数y=f（x）的图象如下，，（2）结合图象可知，当a＜0时，方程f（x）=a无解，当a=0时，方程f（x）=a有四个解；当0＜a＜1时，方程f（x）=a有8个解；当a=1时，方程f（x）=a有6个解；当1＜a＜3时，方程f（x）=a有4个解；当a=3时，方程f（x）=a有3个解；当a＞3时，方程f（x）=a有2个解．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用．16．已知函数f（x）=x2+2mx+2m+3（m∈R），若关于x的方程f（x）=0有实数根，且两根分别为x1、x2，（1）求（x1+x2）•x1x2的最大值；（2）若函数f（x）为偶函数，证明：函数g（x）=在[2，3]上的单调性．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）由韦达定理可得x1+x2=﹣2m；x1x2=2m+3；从而化简；再由△≥0解出m的取值范围，从而求最值；（2）由题意可得m=0；故；从而由定义法证明函数的单调性．【解答】解：（1）由题意，x1+x2=﹣2m；x1x2=2m+3；；又∵△=4m2﹣4（2m+3）≥0；∴m≤﹣1或m≥3，∵在m∈（﹣∞，﹣1]上单调递增，m=﹣1时最大值为2，在m∈[3，+∞）上单调递减，m=3时最大值为﹣54，∴（x1+x2）•x1x2的最大值为2．（2）证明：因为函数f（x）为偶函数，所以m=0，；任取2≤x1＜x2≤3，则f（x2）﹣f（x1）==；故g（x）在[2，3]上递增．【点评】本题考查了二次函数的性质应用及单调性与最值的求法，属于中档题．17．已知（1）求g[f（x）]；（2）设F（x）=max{f（x），g（x）}，作函数F（x）的图象，并由此求出F（x）的最小值．【考点】函数的图象．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）对f（x）的值进行讨论，迭代；（2）分段求出F（x）的解析式，作出图象，得出最小值．【解答】解：（1）当x2﹣1≥0，即x≤﹣1，或x≥1时，g[f（x）]=x2﹣1﹣1=x2﹣2，当x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1时，g[f（x）]=2﹣（x2﹣1）=﹣x2+3．∴g[f（x）]=．（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=，当x≥0时，令x2﹣x≥0，解得x≥1，令x2﹣x＜0，解得0＜x＜1．当x＜0时，令x2+x﹣3≥0，解得x≤，令x2+x﹣3＜0，解得＜x＜0，∴F（x）=．函数图象如图所示：∴F（x）的最小值是﹣1．【点评】本题考查了不等式的解法，分段函数的图象及应用．。

上海市杨浦区上海理工大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．集合[]1,4A =，()2,5B =，则A B =.2．已知0a >=.3．不等式31121x x +≤-的解集为.4．已知集合{}1,4,2A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则x =.5．幂函数()y x αα=∈R 的图像经过点()2,3，则α=.6．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中.7．不等式123x x +++<的解集为.8=.9．已知a ∈R ，11x a x ++-≥对所有实数x 恒成立，则a 的取值范围是.10．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram ），可知同时参加田赛和径赛的有人．11．设集合S 为实数集R 的非空子集，若对任意x S ∈，y S ∈，都有()x y S +∈，()x y S -∈，()xy S ∈，则称集合S 为“完美集合”.给出下列命题：①若S 为“完美集合”，则一定有0S ∈；②“完美集合”一定是无限集；③集合{},,A x x a a Z b Z ==∈∈为“完美集合”；④若S 为“完美集合”，则满足S T R ⊆⊆的任意集合T 也是“完美集合”.其中真命题是.（写出所有正确命题的序号）12．已知正整数2n ≥，对集合{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅及其每一个非空子集X ，记{}12,,,k X x x x =⋅⋅⋅，其中12k x x x >>⋅⋅⋅>，定义一个运算“交替和”()11231k X k S x x x x +=-+⋅⋅⋅+-.例如：对于集合{}9,6,4,2,1X =，964216X S =-+-+=.则当7n =时，集合{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅的所有子集的“交替和”的总和为.二、单选题13．“12a <”是“12a >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（）A<B ．22a b <C ．33a b <D ．2ab b >15．若对任意()()1,00,1x ∈-U ，都有kx x ≥成立，则k 的值可能是（）A ．−2B ．1-C ．1D ．216．已知()()()()22221234()4444f x x x c x x c xx c x x c =-+-+-+-+，集合{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，且1234c c c c ≤≤≤，则41c c -不可能的值是（）A ．4B ．9C ．16D ．64三、解答题17．已知2a <，关于x 的不等式组()()()232320220x x x a x a ⎧-+>⎪⎨-++≥⎪⎩没有实数解，求实数a 的取值范围．18．（1）已知13log 7a =，134b =，用a 、b 表示28log 52﹒（2）已知()2250,xxa aa x -+=>∈R ，求x xa a -+的值．19．命题甲：关于x 的不等式2210ax ax a -++>的解集为R ；命题乙：关于x 的方程()()21240a x a x a -+-+=有两个不相等的实数根.(1)若命题甲为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题甲、命题乙中至多有一个命题为真，求a 的取值范围.20．某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员()*x x ∈N 名，调整后研发人员的年人均投入增加4%x ，技术人员的年人均投入调整为26025x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(1)要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x 最多为多少人?(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数m 的最大值.21．对于两个实数a ，b ，规定*a b a b =-，(1)若*2*325x x x +=-，求x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式()**121x x a ->的解集非空，求实数a 的取值范围；(3)设关于x 的不等式220*2ax x a -+<的解集为A ，试探究是否存在自然数a ，使得不等式220x x +-<与12*22x x +<的解集都包含于A ，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a 的所有值．。