江苏南通2018高考数学冲刺小练7PDF版含答案

第35课 等比数列及其前n 项和[最新考纲]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N ＋，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是____________．－2 [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12(a 1＋a 3＋a 5)＝－2.]3．(2017·扬州期末)已知等比数列{a n }满足a 2＋2a 1＝4，a 23＝a 5，则该数列的前5项和为____________．31 [∵{a n }是等比数列，由⎩⎨⎧ a 2＋2a 1＝4，a 23＝a 5，得⎩⎨⎧ a 1(2＋q )＝4，(a 1q 2)2＝a 1q 4，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝(1－25)1－2＝31.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.]n n a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝____________.(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．(1)128 (2)2n －1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4，∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝a 1(1－q 2)1－q＝3，∴4q 2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－23或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎨⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12. 又{a n }为递增数列，∴⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.][规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为____________．(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝__________.【导学号：62172190】(1)1或－12 (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎨⎧a 1q 2＝7， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.]设数列{an }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎨⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.[规律方法] 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N ＋)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于客观题中的判定． [变式训练2] (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.(1)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝____________.(2)(2017·苏州模拟)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2 017110，则a 21＝____________. 【导学号：62172191】(1)73 (2)2 017 [∵{a n }是等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列． 由S 4S 2＝3得S 4＝3S 2，设S 2＝x ，则S 4＝3x ，即x,2x ，S 6－3x 成等比数列，∴S 6＝7x ，∴S 6S 4＝7x 3x ＝73.(2)∵b n ＝a n ＋1a n ，∴a 21＝a 21a 20·a 20a 19·a 19a 18·…·a 2a 1·a 1＝b 20·b 19·b 18·…·b 1·a 1，又{b n }成等比数列，∴b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2 017110， ∴a 21＝(b 10b 11)10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 01711010＝2 017.][规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝1100，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝____________.(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为____________．(1)－2 016 (2)2 [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100 1 008＝lg ()10－2 1 008＝－2 016.(2)由题意得S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝9，所以1－q 41－q ＝9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得a 21q 3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q 41－1q ＝q 4－1a 1q 3(q －1)＝1a 1q 3·9a 1＝9a 21q 3＝2.][思想与方法]1．方程的思想．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．2．函数的思想．通项公式a n ＝a 1q n －1可化为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q n ，因此a n 是关于n的函数，即{a n }中的各项所表示的点(n ，a n )在曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x上，是一群孤立的点．3．分类讨论思想．当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考易错点．[易错与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)．课时分层训练(三十五)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________. 【导学号：62172192】1 [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.]2．(2017·苏州模拟)等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________.4 [由⎩⎨⎧ a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，得⎩⎨⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6， ②①②得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)， 把q ＝2代入①得a 1＝1. ∴a 3＝q 2＝4.]3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于____________．3 [两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3，即q ＝3.]4．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N ＋，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于____________．2 [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝____________.3n －1 [因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.]6．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为____________. 【导学号：62172193】5 [由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.]7．(2016·常州期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为________．117 [∵{a n }是等比数列，设公比为q ，则 a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2， a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)(q 2＋q 4)＝40， 即49(q 2＋q 4)＝40，解得q 2＝9. 又q >0，∴q ＝3， 由a 1＋a 2＝49得a 1＝19，∴a 7＋a 8＋a 99＝19(q 6＋q 7＋q 8)9＝36＋37＋3881＝117.]8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝____________.11 [∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝a n (q 2＋q －2)＝0，又a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴S 5＝1－(－2)51＋2＝333＝11.]9．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝____________.14 [由a 4a 5a 6a 1a 2a 3＝(q 3)3＝3得q 3＝33，∴a n －1a n a n ＋1＝(a 1a 2a 3)q 3n －6＝4×⎝⎛⎭⎫33n －2 由4×⎝⎛⎭⎫33n －2＝324，得n －23＝4，即n ＝14.]10．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N ＋，则a 1＝________，S 5＝________.1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3. 又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.] 二、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 【导学号：62172194】 [解] (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2. 当n ＝1时a 1＝1，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N ＋)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N ＋)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N ＋)， 得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43 ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)． 当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N ＋)． B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．2n －12n －1＋1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为1×(1－2n )1－2＝2n－1.同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，所以S n＝2n －1＋2－12n －1＝2n－12n －1＋1.]2．(2017·南京一模)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．20 [设等比数列的公比为q ，则q >0且q ≠1. 由S 6－2S 3＝5可知， a 1(q 6－1)q －1－2a 1(q 3－1)q －1＝5， ∴a 1(q 3－1)2q －1＝5，∴q >1.则S 9－S 6＝a 1(q 9－1)q －1－a 1(q 6－1)q －1＝a 1q 6(q 3－1)q －1＝5q 6q 3－1＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤(q 3－1)＋1q 3－1＋10≥5×2(q 3－1)·1q 3－1＋10＝20，当且仅当q 3＝2，即q ＝32时取等号． ∴S 9－S 6的最小值为20.]3．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n .4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，是否存在k ∈R ，使得k ≤S n 恒成立？若存在，求实数k 的最大值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，②由①－②得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0，所以a n ＋1＝13a n (n ≥2)．又a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，得a 2＝13，所以a 2＝13a 1，故数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝a 1·qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. (2)假设存在满足题设条件的实数k ，使得k ≤S n 恒成立． 由(1)知S n ＝a 1(1－q n)1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， 由题意知，对任意正整数n 恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以当n ＝1时数列中的最小项为23，则必有k ≤1，即实数k 最大值为1.。

SWhile End I I S S I While I S int Pr 12511+←+←<←←OCDBC 1AB 1A 1D 12018年高考数学冲刺卷（2）【江苏版含答案】考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂N M __________． 2. 已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．3. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 ．5. 甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为 ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．7. 如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV 的值为 ．8. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，80 90 100 110 120 130错误! 0.00.010.00.00.0DFCPAB则AM NM ⋅=．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 .11. 已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 .12. 已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．13. 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ． 14. 设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

江苏省2018年高考：数学卷考试真题与答案解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()f x =的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距，则其离心率的值是 ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．二、解答题本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．答案解析一、填空题1、{1，8}2、23、904、85、[2，+∞）6、3107、π6-8、2910、4311、–312、3 13、914、27二、解答题15．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+==，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得1,2x =所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．19．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．解：（1）由条件知：112(,)n nn a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,32．（2）由条件知：111(1),n nn a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）．①当2n m ≤≤时，1112222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-．②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．。

2018年江苏高考数学模拟冲刺试题【含答案】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．函数f（x）=3sinxcosx的最小正周期为．2．已知复数z=（2+i）i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第象限．3．双曲线的离心率为．4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩（分）80分以下[80，100）[100，120）[120，140）[140，160]人数8 8 12 10 2在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为．5．函数y=ln（x2﹣2）+的定义域为．6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．7．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．8．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为．9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=，点E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为．10．已知函数f（x）=，x∈R，则f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．11．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=3，且数列{}也为等差数列，则a11=．13．已知x＞y＞0，且x+y≤2，则+的最小值为．14．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，（b≠0），不等式f（x）≥mxf′（x）对∀x∈R恒成立，则2m+a﹣b=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．18．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N 都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．（1）当AM=km时，求防护网的总长度；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？20．已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n=2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n ∈N*）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n=0，求数列{a n}的通项公式；}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式（2）若a1=1，a2=3，且数列{a2n﹣1b2n＜b2n的所有正整数的n集合．﹣1四．【选做题】本题包括21、22、23、24共1小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED （E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z都是正数且xyz=8，求证：（2+x）（2+y）（2+z）≥64．四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列及数学期望．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2018年江苏高考数学模拟冲刺试题答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．函数f（x）=3sinxcosx的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】先利用二倍角的正弦函数公式化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，函数f（x）=3sinxcosx=sin2x，所以可得：T==π．故答案为：π．2．已知复数z=（2+i）i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第二象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（2+i）i=﹣1+2i，则复数z在复平面上对应的点（﹣1，2）位于第二象限．故答案为：二．3．双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．【解答】解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩（分）80分以下[80，100）[100，120）[120，140）[140，160]人数8 8 12 10 2在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为0.3．【考点】频率分布表．【分析】根据频率分布表，利用频率=，求出对应的频率即可．【解答】解：根据频率分布表，得；在这次考试中成绩在120分以上的频数是10+2=12；∴随机抽取一名学生，该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为=0.3．故答案为：0.3．5．函数y=ln（x2﹣2）+的定义域为（﹣∞，﹣）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由，解得x．∴函数y=ln（x2﹣2）+的定义域为（﹣∞，﹣）．故答案为：（﹣∞，﹣）．6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵，，∴，∵E为线段AO的中点，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案为：．7．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n ＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1x=，n=2不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4不满足条件n＞5，x=，n=5不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．8．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为3．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】若设矩形场地的宽为x，则长为，其面积为S=•x，整理得x的二次函数，能求出函数的最值以及对应的x的值．【解答】解：如图所示，设矩形场地的宽为x，则长为，其面积为：S=•x=12x﹣2x2=﹣2（x2﹣6x+9）+18=﹣2（x﹣3）2+18当x=3时，S有最大值，为18；所以隔墙宽应为3．故答案为：3．9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=，点E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由PA⊥平面ABCD可得V E﹣PAB =V P﹣ABE=．【解答】解：∵底面ABCD是矩形，E在CD上，∴S△ABE===3．∵PA⊥底面ABCD，∴V E﹣PAB =V P﹣ABE==．故答案为：．10．已知函数f（x）=，x∈R，则f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式或分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=1，当x＜﹣0时，f（x）==﹣1﹣作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为，∴或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．11．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=3，且数列{}也为等差数列，则a11=63．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1=3，且数列{}也为等差数列，可得=+，即=+，解出d，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，且数列{}也为等差数列，∴=+，∴=+，化为d2﹣12d+36=0，解得d=6，则a11=3+10×6=63．故答案为：63．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是[，2）．【考点】圆的切线方程．【分析】考虑特殊位置，即可求出线段PQ的取值范围．【解答】解：由题意，A在坐标原点时，sin∠POC=，∴cos∠POC=，∴sin∠POQ=，∴sin∠PCQ=，∴cos∠PCQ=﹣，∴PQ==，A在x轴上无限远时，PQ接近直径2，∴线段PQ的取值范围是[，2），故答案为：[，2）．13．已知x＞y＞0，且x+y≤2，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】由条件可得x+3y＞0，x﹣y＞0，[（x+3y）+（x﹣y）]（+）=5++，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：由x＞y＞0，可得x+3y＞0，x﹣y＞0，[（x+3y）+（x﹣y）]（+）=5++≥5+2=9，可得+≥=≥．当且仅当2（x﹣y）=x+3y，即x=5y=时，取得最小值．故答案为：．14．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，（b≠0），不等式f（x）≥mxf′（x）对∀x∈R恒成立，则2m+a﹣b=．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求出a﹣b=0即可．【解答】解：∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．若m≠，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴m=，∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0，（舍）若a+2b≠0，则x1=b，x2=，且b=．∵b≠0，则=1，∴a=b，即a﹣b=0且b＜0．综上可得，m=，a﹣b=0，∴2m+a﹣b=，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．（1）若•=，求△ABC的面积；（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求sin（B﹣A）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用•=，求出ab的值，然后求解△ABC的面积．（2）通过∥，求出tanB的值，推出B，转化sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣），利用两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由•=，得abcosC=．又因为cosC=，所以ab==．…又C为△ABC的内角，所以sinC=．…所以△ABC的面积S=absinC=3．…（2）因为∥，所以2sin cos=cosB，即sinB=cosB．…因为cosB≠0，所以tanB=．因为B为三角形的内角，所以B=．…所以A+C=，所以A=﹣C．所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）=sinC﹣cosC=×﹣×=．…16．如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到AC⊥平面CC1B1 B，再由线面垂直的性质得到AC⊥BC1，进一步利用菱形的性质得到B1C⊥BC1，利用线面垂直的判定定理可证；（2）取AA1的中点，连接DF，EF，分别判断EF，DF与平面平面AB1C平行，得到面面平行，利用面面平行的性质可证．【解答】解：（1）∵四边形A A1 C1C为矩形，∴AC⊥CC1，又平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，CC1B1 B∩A A1 C1C=CC1，∴AC⊥平面CC1B1 B，∵BC1⊂平面CC1B1 B，∴AC⊥BC1，∵四边形CC1B1 B为菱形，∴B1C⊥BC1，又B1C∩AC=C，AC⊂平面A1C，B1C⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C；（2）取AA1的中点，连接DF，EF，∵四边形A A1 C1C为矩形，E，F分别是C1C，AA1的中点，∴EF∥AC，又EF⊄平面平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF∥平面AB1C，又D，F分别是A1 B1和AA1的中点，∴DF∥A B1，又DF⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴DF∥平面AB1C，∵EF∩DF=F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面AB1C，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C．17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，一条准线方程为x=2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用=，=2，及其b=，解出即可得出．（2）证法一：设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标为（x1，﹣y1）．可得k AP，直线AP的方程为y=x+1．令y=0，解得m．同理可得n．再利用（x1，y1）在椭圆+y2=1上，即可得出mn．解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，令y=0，得m．联立，解得P，则可得Q点的坐标．可得k AQ，可得直线AQ的方程，可得n，即可得出．【解答】解：（1）∵=，=2，解得a=，c=1，∴b==1．故椭圆的方程为+y2=1．（2）证法一：设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标为（x1，﹣y1）．∵k AP==，∴直线AP的方程为y=x+1．令y=0，解得m=﹣．∵k AQ==﹣，∴直线AQ的方程为y=﹣x+1．令y=0，解得n=．∴mn=﹣×=．又∵（x1，y1）在椭圆+y2=1上，∴=1，即1﹣=，∴mn=2．∴以mn为常数，且常数为2．解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，令y=0，得m=﹣．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kx=0，解得x A=0，x P=﹣，∴y P=k×x P+1=，则Q点的坐标为（﹣，﹣）．∴k AQ==，故直线AQ的方程为y=x+1．令y=0，得n=﹣2k，∴mn=（﹣）×（﹣2k）=2．∴mn为常数，常数为2．18．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N 都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．（1）当AM=km时，求防护网的总长度；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）证明△OAN为正三角形，可得△OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km；（2）设∠AOM=θ，在△AOM和△AON中使用正弦定理求出OM，ON，得出△OMN 的面积关于θ的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值．【解答】解：（1）∵OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6．在△OAM中，由余弦定理得：OM2=OA2+AM2﹣2OA•AM•cosA=．∴OM=．由正弦定理得：，即，∴sin∠AOM=．∴A=30°．∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°．∴△OAN是等边三角形．∴△OAN的周长C=3OA=9．∴防护网的总长度为9km．（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），则∠AON=θ+30°，∠OMA=120°﹣θ，∠ONA=90°﹣θ．在△OAM中，由正弦定理得，即==．∴OM=，在△AON中，由正弦定理得，即=，∴ON=，∴S△OMN===．∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为=km2．19．已知函数f（x）=+（a，b，λ为实常数）．（1）若λ=﹣1，a=1．①当b=﹣1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；②当b＜0时，求函数f（x）在[，]上的最大值．（2）若λ=1，b＜a，求证：不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式写出切线方程，利用导数求出函数在定区间的最大值；（2）根据一元二次不等式与二次函数的关系，通过分类讨论两根得出结论．【解答】解（1）①当b=﹣1时，f（x）=﹣=，则f′（x）=，可得f′（）=﹣4，又f（）=2，故所求切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣10=0．②当λ=﹣1时，f（x）=﹣，则f′（x）=﹣+=．因为b＜0，则b﹣1＜0，且b＜＜故当b＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）在（b，）上单调递增；当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（，）单调递减．（Ⅰ）当≤，即b≤﹣时，f（x）在[，]单调递减，所以[f（x）]max=f（）=；（Ⅱ）当＜＜，即﹣＜b＜0时，[f（x）]max=f（）=．综上所述，[f（x）]max=（2）f（x）≥1即+≥1．…（*）①当x＜b时，x﹣a＜0，x﹣b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式（*）可化为（x﹣a）+（x﹣b）≤（x﹣a）（x﹣b），展开并整理得，x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b）≥0，设g （x）=x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b），因为△=（a﹣b）2+4＞0，所以g （x）有两不同的零点，设为x1，x2（x1＜x2），又g （a）=b﹣a＜0，g （b）=a﹣b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b）≥0的解为b＜x≤x1．③当x＞a时，不等式（*）可化为（x﹣a）+（x﹣b）≥（x﹣a）（x﹣b），展开并整理得，x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b）≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f（x）≥1的解构成的区间为（b，x1]∪（a，x2]，其长度为（x 1﹣b ）+（x 2﹣a ）=x 1+x 2﹣a ﹣b=a +b +2﹣a ﹣b=2． 故不等式f （x ）≥1的解集构成的区间长度D 为定值2．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n =2（S n+1﹣S n ）S n ﹣n （S n+1+S n ）（n ∈N *）．（1）若数列{a n }为等差数列，且b n =0，求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1=1，a 2=3，且数列{a 2n ﹣1}的，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n ＜b 2n ﹣1的所有正整数的n 集合．【考点】数列递推式；等比数列的性质． 【分析】（1）由b n =2（S n+1﹣S n ）S n ﹣n （S n+1+S n ）（n ∈N *），得b n =2a n+1S n ﹣n （2S n +a n+1），由b n =0，得﹣a 1d ﹣a 1=0对一切n ∈N *都成立，由此能求出a n =0或a n =n ． （2）由题意得，，=4×2n ﹣4，从而推导出b 2n ﹣b 2n ﹣1=，设f （n ）=2n []+8，记g（n ）=，则g （n +1）﹣g （n ）=，由此能求出满足条件的正整数n 的集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n+1=a 1+nd ，，由b n =2（S n+1﹣S n ）S n ﹣n （S n+1+S n ）（n ∈N *）， 得b n =2a n+1S n ﹣n （2S n +a n+1）， ∵b n =0，∴对一切n ∈N *都成立， 即﹣a 1d ﹣a 1=0对一切n ∈N *都成立，令n=1，n=2，解得a 1=d=0或a 1=d=1， 经检验，符合题意， ∴a n =0或a n =n ． （2）由题意得，，=4×2n ﹣4，S 2n+1=S 2n +a 2n+1=4×2n ﹣4+2n =5×2n ﹣4， b 2n =2a 2n+1S 2n ﹣2n （2S 2n +a 2n+1）=2×2n ×（4×2n ﹣4）﹣2n （8×2n ﹣8+2n ） =2n+1（2n+2﹣9n ﹣4）+16n ， b 2n ﹣1=2a 2n S 2n ﹣1﹣（2n ﹣1）（2S 2n ﹣1+a 2n ） =6×2n ﹣1×（5×2n ﹣1﹣4）﹣（2n ﹣1）（10×2n ﹣1﹣8+3×2n ﹣1） =2n ﹣1（30×2n ﹣1﹣26n ﹣11）+16n ﹣8，b 2n ﹣b 2n ﹣1=2n+1（2n+2﹣9n ﹣4）+16n ﹣[2n ﹣1（30×2n ﹣1﹣26n ﹣11）+16n ﹣8]==，设f（n）=，即f（n）=2n[]+8，记g（n）=，则g（n+1）﹣g（n）==，当n=1，2，3时，g（n+1）﹣g（n）＜0，当n∈N*时，n≥4，g（n+1）﹣g（n）＜0，∵n=1时，g（1）=﹣＜0，∴g（4）＜0，且g（6）=﹣＜0，g（7）=＞0，∴f（n）=在n≥7（n∈N*）时，是单调递增函数，f（1）=﹣5＜0，f（2）=﹣34＜0，f（3）=﹣100＜0，f（4）=﹣224＜0，f（5）=﹣360＜0，f（6）=﹣24＜0，f（7）=3400＞0，∴满足条件的正整数n的集合为{1，2，3，4，5，6}．四．【选做题】本题包括21、22、23、24共1小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED （E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知条件由切割线定理得CA2=CE•CD，利用C为线段AB的中点推导出BC2=EC•DC，得到△BCE∽△DCB，利用三角形相似的性质得到证明．【解答】证明：∵直线AB，直线CDE分别是⊙O的切线和割线，∴由切割线定理得CA2=CE•CD，∵C为线段AB的中点∴BC2=CA2，∴BC2=CE•CD，在△BCE和△DCB中，∵∠BCE=∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴∠CBE=∠BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．【考点】特征向量的定义；逆矩阵的意义．【分析】（1）利用矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=，建立方程组，求a，b的值；（2）确定A的特征多项式，可求A的特征值．【解答】解：（1）因为AA﹣1===，所以解得a=1，b=﹣．…（2）由（1）得A=则A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由曲线C：（s为参数），消去参数s可得：y=x2．由直线l代入抛物线方程可得=0，解得t即可得出．【解答】解：由曲线C：（s为参数），消去参数s可得：y=x2．由直线l代入抛物线方程可得=0，解得t=0或﹣．∴|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z都是正数且xyz=8，求证：（2+x）（2+y）（2+z）≥64．【考点】不等式的证明．【分析】利用基本不等式，即可证明结论．【解答】证明：因为x为正数，所以2+x≥2，同理2+y≥2，2+z≥2，所以（2+x）（2+y）（2+z）≥2•2•2=8因为xyz=8，所以（2+x）（2+y）（2+z）≥8四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】首先求出5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率和B奖品的概率．（1）获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，得到获得A奖品的人数可能为3，4，5，利用独立重复试验求得概率；（2）由ξ=|X﹣Y|，可得ξ的可能取值为1，3，5，同样利用独立重复试验求得概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望．【解答】解：这5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率为，B奖品的概率为．（1）要获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，则A奖品的人数可能为3，4，5，则则所求概率为；（2）ξ的可能取值为1，3，5，则，，，∴ξ的分布列是：ξ 1 3 5P故随机变量ξ的数学期望E（ξ）=+5×=．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．。

绝密★启封前018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2.若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），z是z的共轭复数，则z=．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ． 10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c的取值范围是 ．12.如图，在△ABC 中，已知AN =21AC ，P 是BN 上一点，若=m +41AC ，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为 ． 14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．15.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE ∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； （2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC .17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)= ﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合102x A x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2【答案】A【解析】由题意得{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭≥≤≤，∴{}1,0,1A B =-．选A ．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336313++=．本题选择B 选项．3．设x ，y 满足约束条件010 30y x y x y -++⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：B ． 5．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，满足3122a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．13D ．1【答案】B【解析】正项等比数列{}n a 满足：3122a a a =+，可得21112a q a a q =+，即220q q --=，2q ∴=，m n a a =，2116m n a a a ∴=，()()1121112216m n a a a --∴⋅⋅⋅=，22211216m n a a +-∴⋅=，6m n ∴+=，()141146m n m n m n ⎛∴+=++ ⎝当且仅当4n m m n =时，等号成立，故14m n +的最小值为32，故选B ． 6．函数()22111222x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()2222111111222222x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =时，()92016f =>，排除B ，故选C ．7．已知函数()()sin 2(0,0)f x A x A ϕϕ=+><<π的图象经过点方程()2f x a =a 的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．12⎡⎢⎣C ．[]1,2D ．⎣ 【答案】D【解析】0ϕ<<π，6ϕπ∴=，3A =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当方程()2f x a =有两个不等的实根时，已知函数()y f x =的图象与直线()2f x a =a <，故选D ．8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．140【答案】C【解析】第1次运行，1n =，2102n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++()()12112312112n n n +=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在，若n 为奇数， 则()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()1221241211a n =+⨯++⨯++-+()()()()122121322n n n n a a+-+-=+=-+，若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立，若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立，故选A ．10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．11．已知函数2ln y a x =+P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B C D ．23,e ⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】函数22y x =--的图象与函数22y x =+的图象关于原点对称，若函数2ln y a x =+的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则函数2ln y a x=+（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象与函数22y x =+的图象有交点，即方程22ln 2a x x +=+（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，即222ln a x x =+-（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，令()222ln f x x x =+-()0f x '＜，当(]1e x ∈，时，()0f x '＞，故当1x =时，()f x 取最小值3，由2114e ef ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e f =，故当e x =时，()f x 取最大值2e ，故23e a ⎡⎤∈⎣⎦，，故选：D ．12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A B C ．1 D【答案】B 【解析】由题意，点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB 于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，11BB AA ∥，NH MQ ∥，则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △的高B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 【答案】32-z 的实部为32-．14．已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线l ：210x y -+=的距离为__________． 5【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则55d == 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B=，则cb的取值范围是________． 【答案】【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，2cos cB b=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032A C B B π<=π--=π-<，64B ππ∴<<，cos 22B ⎛∴∈⎝⎭，cb∈．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0M x 0()2px>是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF =_______． 【答案】1【解析】将M 点坐标代入抛物线方程得082px =，解得04x p =，即4,M p ⎛ ⎝，MF =，由于MA 为圆的半径，而DE MA =，所以2π3DME ∠=，π6BDM ∠=，故411223p MB MA MF p -===，即42p p -=412pp -=，解得2p =，故3MF =，113AF MF ==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知cos m ⎛= ，23sin cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】（1，k ∈Z ；（2）11,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦． 【解析】（1cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝·····3分 k ππ+，则43x π-≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分（2）由2b ac =a c =时取等号）， (8)分所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，()1f B <综上()f B 的取值范围为⎛ ⎝⎦．·······12分 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P Z μσμσ-<+=≤． 【答案】（1）26.5x =（2）0.6826（3）X 的分布列为∴()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·······3分 （2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．·······3分②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．·······11分 ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=．·······12分 19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，3AD =点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得30D B '=（1）求证：当AF =D F BC '⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-【答案】（1）见解析；（2）CF =． 【解析】解:（1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD 6CD =，,60DAC ∠=︒．在ADF △中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=， ∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．·······2分 又在ABF △中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=， ∴在D FB '△中，22222321D F FB D B +='+=',BF D F ∴⊥',·······4分 又AC FB F =,∴D F '⊥平面ABC ．·······5分 ∴D F BC '⊥．·······6分（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E ．沿着对角线AC 翻折后， 由（1）可知，OE ，OC ，OD '两两垂直，以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,3D '，()3,B ，EO ⊥平面AD F ',()1,0,0OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．·······7分 设平面BD F '的法向量为(),,n x y z =，()0,,0F t (3,BD∴=-'()3,BF t =--，由0, 0,n BD n BF ⋅=⋅=⎧'⎨⎩得30x --⎧⎪，取3,y =则x t =z t =，()n t t ∴=-．·······9分,OEOE⋅即2=, t ∴=·······11分 ∴当CF =时，二面角A D F B -'-·······12分 20．对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为22312x ya b+=， 其斜率为222132b a -=-，∴2234a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴221914a b +=．·······2分 解得24a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；·······4分（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:143x x y y m +=，切线22:143x x y yn +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ，∴1010143x x y y +=，2020143x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143x x y y+=．·······7分又003x y +=，·······8分 ∴()003143x yx x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.x y ⎧==⎪⎨⎪⎩∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭．·······12分21．已知函数()ln f x x ax =+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1a =时，函数()()12g x f x x m x=-+-有两个零点12x x 、，且12x x <． 求证：121x x +>．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1······1分①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；·······2分②当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减····4分（2）当1a =时，()1ln 2g x x m x=+-，由已知得：111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，·······5分 两式相减得：112121212211ln0222ln x x x x x x x x x x -+-=⇒⋅=，1211212ln x x x x x -∴=，2121212ln x x x x x -=，122112122lnx x x x x x x x -∴+=，·······8分令()120,1x t x =∈，设()12ln h t t t t=--，' ()h t ∴在()0,1上单调递增，()()10h t h ∴<=，即12ln t t t -<，又ln 0t <，112ln t t t-∴>，121x x ∴+>·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a =+=⎧⎨⎩（a 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6θρπ=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2）6AB =．【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a =+=⎧⎨⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，·······12分 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．·······5分（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24cos 126ρρθθ-=π=⎧⎪⎨⎪⎩消去θ得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴126AB ρρ=-==．·······10分23．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ++＝． （1）求111x y z++的最小值（2）证明：2223x y z ≤＋＋． 【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】（1）因为0x y z ++>≥，1110x y z ++>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥,即1113x y z ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3．·······5分（2）222x y z ++()()()2222222223x y z x y y z z x ++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥()233x y z ++==．·······10分。

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)7命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知1+→x x f ：是集合{}a A ,1=到集合{}3,2=B 的映射，则实数 a 的值为 ▲ _．2．函数|3||2|1)(2-++-=x x x x f 是 ▲ __（奇函数，偶函数，既不是奇函数也不是偶函数）．3．已知1log )(+=x x f a 的部分对应值如表所示， 则不等式1)2(>-x f 的解集是 ▲ __． 4．如图所示，在水平放置的图形OAB 的直观图中， 已知y B A '''//轴，且4=''=''B O B A ， 则图形OAB 的面积为 ▲ __． 5．已知x 、y 之间的一组数据如下：则y 与x 的线性回归方程a bx y+=ˆ必过点 ▲ . 6．在等差数列{}n a 中，若k k q q q p p p +++=+++ 2121 其中*∈N q q q p p p k k ，，，，，，， 2121，则k k q q q p p p a a a a a a +++=+++ 2121，类比这一结论，在等比数列{}n b 中相应的结论为 ▲ .7．曲线)4cos()4cos(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标按从小到大依次记为n P P P ,,,21 ，则=n P P 22 ▲ __．8．已知函数()32(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为（,m n ），令()()F xf x '=，则函数'()2y F x =图像的对称轴方程为 ▲ ．9．将函数74+=x y 的图像按向量a →平移后得到函数14-=x y 的图像，给出以下三个命题：①a →的坐标可以是)0,2(；②a →的坐标可以是)12,1(--；③a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的序号是 ▲ __．10．在ABC ∆中任取一点P ，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于31的概率为 ▲ .11．下面的程序流程图中，能实现数据A ，B 互相交换的有 ．12．定义在R +上的函数)(x f ，若对任意+∈R x x 21,，如果当1)()(21=-x f x f 时，总有2008)()(2008220081=-x f x f ，则满足条件的一个函数)(x f 为 ▲ .13．如图，OA 、OB 、OC 是两个半径分别为1和2的同心圆中大圆的半径，它们与小圆分别相交于A 1，B 1，C 1三点，若存在△PQR 使1112,2,2CC RP BB QR AA PQ ===，如果=++B A λ110，则实数λ的值为____▲_____.14．已知直线l 和中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 上点的坐标一组对应值如下表ABCC 1 B 1A 1O①②③则椭圆在直线右方点的纵坐标集合为▲ .第Ⅱ卷（解答题共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知函数32∈a b c N*f x ax bx cx(),=++其中,,(1) 用a，b，c表示'(1)f；++为奇数(2) 如果符合'(1)16f x等可能的出现，求在其中取一个函数()f=的每个函数()f x满足a b c的概率。

第36课 数列求和[最新考纲]数列求和的常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S n＝a1－a n＋11－q.()(2)当n≥2时，1n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1.()(3)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()(4)如果数列{a n}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么S km＝mS k.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝1n(n＋1)，则S5等于____________。

2018年江苏省南通市高考模拟试卷（七）数学（文）试题南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ．2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α的值为 ▲ ．3． 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校 A 专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多 有 ▲ 人能报考A 专业．5． 袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和 是奇数的概率为 ▲ ．6． 执行如图所示的算法，则输出的结果是 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y k k -=-的一个焦点为，则该双曲线的离心率为 ▲ ．（第3题）（第6题）8． 现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9． 平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ． 10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆2222310x y mx m +--+-= 截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AF ·BF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ．14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =． （1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．（第16题）16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且 BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面P AB ⊥平面PCD ．17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离 是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ． （1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P 作x 轴的 垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ MQ =．（1）求证：当点P 运动时，点M（2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（第18题）BCAl 3l 2l 1 图1 BCl 3l 2l 1 图2A① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）；② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，． （1）设数列{}n a 其前n 项和为n S ，1nn nS b a =-，*n ∈N ． ① 若25a =，540S =，求2b 的值； ② 若数列{}nb 为等差数列，求n b ；（2）求证：数列{}n a 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e x f x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数； （3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 【答案】0 2．3． 【答案】(]2,3 4． 【答案】18．5． 【答案】236． 【答案】2 7．8． 【答案】128π 9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()122AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-．10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q =-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =2km -，设截得的半弦长为p ，则()221pm =+-(2221k mk -=+)2222111m k k -+++（与实数m 无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-， 所以()tan tan 2tan tan 1B C A B C +-=-+===．13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AF ·BF ≤(AF ·BF 2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当16k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f x g x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，，所以4cos 5A =． ……3分 在△ABC 中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得，()2226254c +-=，解得85c =，所以AB 的长为85． ……6分（2）由（1）知，3sin 35tan cos 44A A A ===， ……8分所以()()()31tan tan 1343tan tan 3191tan tan 143A AB B A A B A A B +--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． ……11分 在△ABC 中，πA B C ++=，所以()313tan tan 7949tan tan tan tan 13133149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． ……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点． 因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分 因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-．BAl 3l 2l 1 D则1AB θ=，()22πcos 3BC θ=-． ……2分 因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ=cos θ=，所以边长1cos AB θ== ……6分（2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ． 设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-，则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+．……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，．求导，得333222221sin 8cossin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=， 列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ，cos θ=，0()f θ=．……12分 答：（1）边长AB ；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分18．(本小题满分16分)解：（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．BC Al 3l 2l 1 图2DE因为P 为圆O ：222x y +=上的动点，所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分（2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=， 当10y =时，直线AT的方程为：x =， 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB 过定点()10-，． ……9分 ②设33()C x y ，,44()D x y ，， 则O 到AB的距离d =AB = ……11分 由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-=， ……13分于是AB =，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD． ……16分19．(本小题满分16分)解：设等差数列{}n a 的公差为d ．因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ． （1）①由25a =，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分 ②因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S S Sa a a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． ……8分 （2）因为()111111a a a a d +=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}n a 的第()11a +项， ()1(2)111(2)11a d a a a d d ++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}n a 的第()1(2)1a d ++项， 且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++，所以数列{}n a 中存在三项1a ，11a a +， 1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列． ……16分20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为00(e )x x ，．因为()e xf x '=，所以000e e 1x x k kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分所以00e (1)10x x -+=．令()e (1)1x x x ϕ=-+，()e x x x ϕ'=⋅． 令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e x h x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e x m x=． 令2e ()x t x m=- (0)x >，3e (2)()x x t x -'=． 当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-． 因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的， 当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点； 当2e 4m =时，min ()0t x = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点； 当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点． 又因为33322e 1(3)(e 9)99mm t m m m m m=-=-， 令31()e 3x u x x =-，(2,)x ∈+∞， 则2()e x u x x '=-，()e 2x u x x ''=-，所以()e 20x u x '''=->． 所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->，所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->， 所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 0u x u >=->， 所以31e 3x x >在(2)+∞，恒成立， 所以33e 9m m >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点． 所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点． 综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点； 2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点； 2e 4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分 （3）因为()e x f x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210x x ->， 所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-122121e e e e x x x x +-⇔>212121e e e ex x x x x x --⇔>+ 2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+． 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++．因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0x ϕϕ>=，所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分。