最新等式两边都有未知数的方程

概念：一元二次方程只含有一个未知数、未知数的最高次数为2 且两边都为整式的等式叫做一元二次方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解（solution）也叫做方程的根。

其一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0）。

一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

一个一元二次方程经过整理化成（a≠0）后，其是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

方程特点（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

化简后未知数的二次项系数不为 0.（3）该方程中未知数的最高次数是 2。

满足以上三点的方程，就是一元二次方程。

判断方法要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。

里面要有等号，且分母里不含未知数。

解一元二次方程：方法：一元二次方程有 3 种解法，即配方法、公式法、因式分解法。

（其中因式分解法主要为十字相乘法。

）1.配方法：首先将二次项系数 a 化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。

2.公式法可以解任何一元二次方程。

3.因式分解法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为 0。

配方法步骤将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

四年级数学方程一、方程的概念。

1. 定义。

- 含有未知数的等式叫做方程。

例如：2x + 3=9，这里x是未知数，整个式子是一个等式，所以它是方程。

2. 方程与等式的关系。

- 所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。

等式可以是不含未知数的，比如3 + 5 = 8，这是等式但不是方程；而方程必须含有未知数。

二、解方程（以简单的一元一次方程为例）1. 利用等式的性质。

- 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

- 例如：x - 5 = 10，方程两边同时加5，得到x-5 + 5=10 + 5，即x = 15。

- 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

- 例如：3x=18，方程两边同时除以3，得到3x÷3 = 18÷3，即x = 6。

2. 解方程的步骤。

- 写“解”字。

- 例如解方程2x+4 = 10。

- 将方程中的常数项移到等号右边，注意移项要变号。

2x=10 - 4。

- 然后计算等号右边的值，2x = 6。

- 方程两边同时除以未知数的系数，x = 6÷2，解得x = 3。

三、列方程解决实际问题。

1. 步骤。

- 设未知数。

一般根据问题中的关键量设未知数，通常用x表示。

- 例如：一个数的3倍加上5等于20，求这个数。

设这个数为x。

- 找出等量关系。

- 在上述例子中，等量关系就是“这个数的3倍加上5等于20”，即3x+5 = 20。

- 列方程并求解。

- 按照前面解方程的方法，解得x = 5。

- 检验答案。

- 把x = 5代入原方程3×5+5 = 20，等式成立，说明答案正确。

2. 常见的实际问题类型。

- 购物问题。

- 例如：小明买了3支铅笔，每支x元，又买了一个笔记本花了5元，一共花了14元。

可列方程3x+5 = 14。

- 行程问题。

- 路程 = 速度×时间。

如果已知甲、乙两人的速度和行驶时间，以及他们行驶的路程关系，就可以列方程求解。

方程含有未知数的等式叫做方程.只含有一个未知数（元），含未知数的项的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程.方程ax+b＝0（其中x是未知数，a，b是已知数，并且a≠0）叫做一元一次方程的标准形式.使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根）.求方程的解的过程，叫做解方程.用等号“＝”来表示相等数量关系的式子叫做等式.像m+n＝n+m，x+2x＝3x，3×3+1＝5×2，3x+1＝5y这等式样的式子，都是等式.我们可以用a ＝b 表示一般的等式.①如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； ②如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 如果a ＝b ，那么ac ＝bc （c ≠0）. 拓展：等式还具有下列性质 (1)对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a .(2)传递性：如果a ＝b ，且b ＝c ，那么a ＝c ，这一性质也叫做等量代换.方程中的任何一项都可以改变符号后从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.这个法则叫做移项法则，移项的根据是等式的性质.变形 名称具体 做法变形 依据注意 事项去分母在方程的两边同乘各分母的最小公倍数等式的性质(1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是一个多项式，需加上括号变形名称具体做法变形依据注意事项去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律(1)不要漏乘括号里的项；(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）等式的性质(1)移项要变号；(2)不要丢项合并同类项把方程化为ax＝b（a≠0）的形式合并同类项法则(1)未知数及其指数不变，系数相加；(2)不要漏项系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝ba等式的性质切忌分子、分母位置颠倒这一过程一般包括审、设、列、解、检、答等步骤.提示：列方程解应用题的注意事项 步骤注意事项设未知数 (1)设未知数，一般是问什么就直接设什么； (2)若直接设未知数有难度，可间接设未知数；(3)设未知数时，必须写清楚未知数的单位名称，如“设火车的速度是x”是不正确的，应是“设火车的速度是x 千米/时”s 列方程(1)列方程的等量关系是否正确； (2)方程两边的量所用单位是否统一解答 求得方程的解必须检验，看是否符合题意，是否使实际问题有意义基本量、基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量.（1）基本量、基本数量关系：大小两个年龄差不会变. （2）寻找相等关系的方法：一年一岁、人人如此.（1）基本量、基本数量关系：常见几何图形的体积公式.（2）寻找相等关系的方法：变形前后体积相等.（1）相向问题寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离.（2）追及问题寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程.（3）航行问题①基本量、基本数量关系：路程＝速度×时间，顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度-水流速度.②寻找相等关系的方法：抓住两码头之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变的特点来考虑.寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑.（1）基本量、基本数量关系：把总工作量看作单位“1”，工作量＝工作效率×工作时间.（2）相等关系：各部分工作量之和等于1.（1）基本量、基本数量关系：商品利润＝商品售价-商品进价，商品利润率＝商品利润商品进价×100%.（2）寻找相等关系的方法：抓住价格升降对利润率的影响来考虑.（1）基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别为a 和b ，则这个两位数可以表示为10a +b . （2）寻找等量关系的方法：抓住数字间或新数、原数之间的关系，常需设间接未知数.（1）基本量、基本数量关系：甲∶乙∶丙＝a ∶b ∶c . （2）相等关系：全部数量＝各部分数量之和（设一份为x ）.（1）基本量、基本数量关系：利息＝本金×利率×期数.（2）寻找相等关系的方法：本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数.二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1的两个整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组.常见形式有以下几种：①两个二元一次方程合在一起组成的方程组；②一个一元一次方程和一个二元一次方程合在一起组成的方程组；③两个含有不同未知数的一元一次方程组成的方程组.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.提示：①在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值.②一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.提示：①二元一次方程组的解是方程组中每个方程的解.②二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解或无解.如2224x y x y +=⎧⎨+=⎩，有无数多个解，252412x y x y +=⎧⎨+=⎩，无解.二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.其一般步骤如下： 步骤名称具体做法 目的 注意1变形用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为y ＝ax+b （或x ＝ay+b ）的形式选系数简单的方程变形 2 代入把y ＝ax+b （或x ＝ay+b ）代入另消去一个未知数，将二代入时要“只代不算”步骤 名称 具体做法 目的 注意一个没有变形的方程中元一次方程组转化为一元一次方程3 解解代入后的一元一次方程求出一个未知数去括号时不要漏乘，移项时要变号4回代把求得的未知数的值代入变形后的方程中 求出另一个未知数一般代入变形后的方程5写出解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为,x y =⎧⎨=⎩的形式当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.其一般步骤如下：1 变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数①选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单.②方程两边同乘某个数时不要漏乘2 加减当同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程尽量避免出现未知数的系数为负数的情况3 解解消元后得到的一元一次方程求出一个未知数4 回代把求得的未知数的值代入方程组中的某个系数较简单的方程中求出另一个未知数求另一个未知数时选择系数较为简单的方程5 写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来表示为,x y =⎧⎨=⎩的形式含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个整式方程的方程组叫做三元一次方程组.①把方程组中的一个方程分别与另外两个方程组成两组，用代入法或加减法消去这两组中的同一个未知数，得到一个含有另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组；③将所求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，求得第三个未知数的值，从而求出原方程组的解.列二元一次方程组解应用题的分析方法和解题步骤与列一元一次方程解应用题类似，一般可按如下步骤进行：.三、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程，如752x =-，22xx -＝1等.解分式方程的一般步骤：“一化，二解，三检验”.增根注意：在去分母前，需确定分式方程的最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母.使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根.（1）审：理解题意，弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系；（2）设：设未知数，用x （或其他字母）表示某个未知量，由该未知量与其他数量的关系，写出表示相关量的式子； （3）列：找出等量关系，列出分式方程； （4）解：解这个分式方程；（5）检：双重检验，先检验是否为增根，再检验是否符合题意； （6）答：写出答案.四、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的公式法是一般方法，一般方法对任何一元二次方程都适用.一般地，对于方程x 2=p .（1）当p >0时，根据平方根的意义，方程x 2=p 有两个不相等的实数根：x 1=√p ，x 2=−√p .（2）当p =0时，方程x 2=p 有两个相等的实数根x 1=x 2=0.（3）当p <0时，因为对任意实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2=p 无实数根.如果方程能化成x 2=p 或(mx +n )2=p （p ≥0）的形式，那么可得x =±√p 或mx +n =±√p .通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)化二次项系数为1.(2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.(4)直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解.（1）求根公式：当Δ=b 2−4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的实数根可写成x ＝24b b ac-±-的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式.（2）公式法：把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.（3）用公式法解一元二次方程的步骤：提示：用公式法解一元二次方程的记忆口诀：要用公式解方程，首先化成一般式.调整系数随其后，使其成为最简比.确定系数a，b，c，计算方程判别式.判别式值与零比，有无实根便得知.若有实根套公式，若无实根要告之.通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤：拓展：十字相乘法将ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）配方成22b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2244b aca -后，可以看出，只有当b 2−4ac ≥0时，方程才有实数根，这样b 2−4ac 的值就决定着一元二次方程根的情况.一般地，式子b 2−4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根的判别式，通常用“Δ”表示它，即Δ=b 2−4ac .若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根，设这两个实数根分别为x 1，x 2，由求根公式得x 24b b ac-±-（b 2−4ac ≥0），令x 1＝24b b ac-+-，x 224b b ac---.由此可得x 1+x 2＝-b a，x 1x 2＝c a.这一结论可表述为：一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系.（1）验根：不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，可以检验两个数是不是一元二次方程的两根.（2）已知方程的一个根，求另一根及未知系数.（3）不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求关于x 1，x 2的对称式的值.（4）已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，两者的解题方法类似，但由于一元二次方程有两个实数解，所以要注意检验得出的方程的解是否符合实际意义.其步骤如下：（1）审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.（2）设：选用适当的方式设未知数（直接设未知数或间接设未知数），不要漏写单位，用含未知数的代数式表示题目中涉及的量. （3）列：根据题目中的等量关系，用含未知数的代数式表示其他未知数，列出含未知数的等式.注意等号两边量的单位必须一致. （4）解：解所列方程，求出未知数的值.（5）验：一是检验得到的未知数的值是否为方程的解，二是检验方程的解是否符合题意.（6）答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位.。

北师大版一元一次方程知识点一、知识概述《北师大版一元一次方程知识点》①基本定义：一元一次方程呢，简单说就是方程里只有一个未知数（这个未知数就像一个神秘的小盒子，我们不知道里面藏着什么数），而且这个未知数的次数是1。

比如说3x + 5 = 14，这里x就是那个唯一的未知数，而且它是一次的。

②重要程度：在数学学科里，一元一次方程可是个基础的大角色。

它就像是建房子的砖块，之后学更复杂的方程，像二元一次方程、一元二次方程都得先把它学好。

不懂一元一次方程，后面的就像是在空中盖楼，不靠谱。

③前置知识：起码得知道数的运算吧，像加、减、乘、除。

要是连这些基本运算都还迷糊着，那解一元一次方程就像在迷雾里找路，根本走不通。

还得了解等式的基本性质，比如说等式两边同时加上或减去一个数，等式还是成立的。

④应用价值：在生活中有好多地方能用到。

就说买东西吧，假如一个苹果3块钱，你买了x个，给了老板15块钱，老板找你3块钱，那这个关系就可以用一元一次方程3x + 3 = 15来表示。

这能算出你到底买了几个苹果。

二、知识体系①知识图谱：在代数这边，一元一次方程算是很靠前的知识了。

就像是数学大厦的底层基石一样。

②关联知识：和有理数的运算联系可紧密了，还有后面学到的代数式的求值之类的知识也相关。

打个比方，如果把代数知识看成一张大网，一元一次方程就是网上的一个重要节点，和好多线都连着。

③重难点分析：掌握难度其实不算大，关键是要明白等式性质怎么在解方程里用。

比如说移项的时候，就要把数字和未知数按照等式性质移到另一边，要习惯这种思维方式。

这就像刚学骑自行车，平衡感很重要一样。

④考点分析：在考试里，那经常会遇到一元一次方程的题目。

要么让你解个方程，要么是给个生活场景让你列出一元一次方程来解决问题。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：核心概念就是有一个未知数，且次数为1的等式才是一元一次方程。

比如说2/x+3 = 5就不是一元一次方程，因为这里x在分母上，次数就不是1了。

小学解方程步骤在小学数学中，解方程是一个重要的知识点，它不仅能帮助我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维能力。

那么，小学解方程都有哪些步骤呢？下面就来给大家详细讲解一下。

首先，我们要明确什么是方程。

方程就是含有未知数的等式。

比如3x ＋ 5 ＝ 14，这里的 x 就是未知数。

解方程的第一步是写“解”字。

这是一个很重要的习惯，可别小看这一步，它能让我们的解题过程更加规范和清晰。

接下来，我们要观察方程，看看如何将未知数单独放在等式的一边。

如果方程中有括号，我们要先去括号。

比如 2(x ＋ 3) ＝ 10，我们要使用乘法分配律将括号去掉，得到 2x ＋ 6 ＝ 10。

然后，如果方程两边都有数字，我们要把含未知数的项移到等式左边，常数项移到等式右边。

记住，移项时要变号。

比如 3x ＋ 5 ＝ 14，我们把 5 移到等式右边，就变成 3x ＝ 14 5，也就是 3x ＝ 9。

在移项之后，如果方程中未知数的系数不是 1，我们就要进行系数化为 1 的操作。

比如 3x ＝ 9，两边同时除以 3，得到 x ＝ 3。

再举个例子，比如 4x 7 ＝ 17。

第一步，写“解”字。

第二步，先把 7 移到等式右边，变成 4x ＝ 17 ＋ 7，也就是 4x ＝24。

第三步，两边同时除以 4，得到 x ＝ 6。

还有一种常见的情况是方程两边都有含未知数的项。

比如 5x ＋ 3＝ 2x ＋ 9。

我们先把含 x 的项移到左边，常数项移到右边，得到 5x 2x ＝ 9 3。

然后计算左边的 5x 2x 得到 3x，右边 9 3 得到 6，即 3x ＝ 6。

最后两边同时除以 3，得出 x ＝ 2。

另外，如果方程中出现分数，我们要先去分母。

比如：（x ＋ 1)／2 ＝ 3。

我们在等式两边同时乘以 2，得到 x ＋ 1 ＝ 6，然后再进行后续的计算。

总之，小学解方程的步骤可以总结为：写“解”字，去括号（如果有），移项，合并同类项（如果有），系数化为 1。

数学七年级下册二元一次方程组性质数学七年级下册二元一次方程组性质导语：书是人类进步的阶梯，这句话说得真不错，我总是爱看书。

因为我从书本里明白了很多很多的道理。

下面是小编为大家整理的，数学知识，想要知更多的资讯，请多多留意CNFLA学习网!第一章二元一次方程组一、二元一次方程组 1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数(即次数)都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程(或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程;或两个都是一元一次方程;但未知数个数仍为两个)合在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等(即等式成立)的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组(对)数，用大括号联立;②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组;③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解(即无公共解)。

二元一次方程组的解的讨论：a1x + b1y = c1 已知二元一次方程组a2x + b2y = c2①、②、③、当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解; 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解; 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。

x + y = 4 2x + 2y = 8x + y = 4 x + y = 3 例如：对应方程组：①、②、③、 3x - 5y = 9 2x + 2y = 5例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：a +b = 2 ②、x = 4 ③、3t + 2s = 5 ④、x = 11 ①、b +c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数;用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。

第5单元简易方程解题技巧解简易方程的口诀准备讲简易方程的数学教师看看，口诀很实用的，可能会对你的教学会有很大帮助的。

口诀：左边相反，两边一致。

解释：左边相反——左边含有未知数的一边加上几就减去几，减去几就加上几，乘以几就除以几，除以几就乘以几。

两边一致——左边加上几，右边加上几；左边减去几，右边减去几；左边乘以几，右边乘以几；左边除以几，右边除以几。

举例：（1）x﹢5=50解：x﹢5﹣5=50﹣5x=45（2）x﹣5=50解：x﹣5﹢5=50﹢5x=55（3）5x=50解：5x÷5=50÷5x=10（4）x÷5=50解：x÷5×5=50×5x=250按住Ctrl键单击鼠标打开配套的名师解题教学视频播放五年级上册解简易方程之方法及难点归纳重点概念：方程，方程的解，解方程，等式的基本性质（详见“知识点汇总”）要点回顾：“解方程”就是要运用“等式的基本性质”，对“方程”的左右两边同时进行运算，以求出“方程的解”的过程。

（方程的解即是如同“X＝6”的形式）“解方程”就好像是要把复杂的绳结解开，因此一般要按照“绳结”形成的过程逆向操作（逆运算）。

过程规范：先写“解：”，“＝”号对齐往下写，同时运算前左右两边要照抄，解的未知数写在左边。

注意事项：以下内容除了标明的外，全都是正确的方程习题示例，且没有跳步，请仔细观看其中每步的解题意图。

带“*”号的题目不会考查，但了解它们有助于掌握解复杂方程的一般方法，对简单的方程也就自然游刃有余了。

一、一步方程只有一步计算的方程，直接逆运算除未知数外的部分。

难点：当未知数出现在减数和除数时，要先逆运算含未知数的部分。

二、两步方程两步方程中，若是只有同级运算，也可以先计算，后当做一步方程求解。

注意要“带符号移动”，增添括号时还要注意符号的变化。

“先乘后减”，则先逆运算减法（即两边同加），再逆运算乘法（即两边同时除以），依此类推。

【精选】人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》知识点+典型例题知识点、概念总结1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。

3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件：(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数最高次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质：等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。

等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。

5.合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。

6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。

(2)依据：等式的性质(3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。

7.一元一次方程解法的一般步骤：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号(4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.8.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

9.方程的同解原理：(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

七年级一元一次方程知识点一、目录1、从问题到方程2、一元一次方程的解法3、用一元一次方程解决实际问题教学目标：（a ）了解一元一次方程的定义（b ）运用一元一次方程的解法（c ）掌握用一元一次方程解决实际问题二、知识点结构梳理及例题一元一次方程1.方程：含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。

3.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程可以化为ax+b=0（a ≠0）的形式,分母中不能含有未知数。

4.求方程的解叫做解方程定义类：1、如果 x 3n-2-6=0是一元一次方程,则n=_____________.2、下面的等式中,是一元一次方程的为（ ）A ．3x ＋2y ＝0B ．3＋m ＝10C ．2＋x1＝x D ．a 2＝16 3、如果（n-3）x n -2+5=0是关于x 的一元一次方程,求n 的值.4、如果关于x 的方程（2m+5）x-3=2x,当a 满足什么条件时,该方程是一元一次方程？5、若2x-17的绝对值与18-3x 的绝对值相等,则得到关于x 的方程为6、一个两位数,两个数位上的数字之和是7,把两个数位上的数字对调后得到新的两位数,比原来的两位数大25,求原来的两位数。

（设出未知数,列出方程）练习：等式的性质（解方程的依据）1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式）,所得结果仍是等式。

如果a=b,那么a ±c=b ±c 。

2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式）,所得结果仍是等式。

如果a=b,那么ac=bc,c a =c b （c ≠0） 拓展：①对称性：如果a=b,那么b=a,即等式的左右互换位置,所得的结果仍是等式；②传递性：如果a=b,b=c,那么a=c （等量代换）练习：1．等式的两边都加上（或减去） 或 ,结果仍相等．2．等式的两边都乘以 ,或除以 的数,结果仍相等．3．下列说法错误的是（ ）A ．若则B ．若,则C ．若则D ．若则4.下列等式变形错误的是( )A.由a=b 得a+5=b+5;B.由a=b 得99a b =--; C.由x+2=y+2得x=y; D.由-3x=-3y 得x=-y5.运用等式性质进行的变形,正确的是( )A.如果a=b,那么a+c=b-c;B.如果a b c c =,那么a=b;C.如果a=b,那么a b c c =;D.如果a 2=3a,那么a=3 6.如果方程2x+a=x-1的解是x=-4,求3a-2的值是________.7．已知2x=3y （x ≠0）,则下列比例式成立的是（ ）A B C D4．在下列式子中变形正确的是（ ）A ． 如果a=b,那么a+c=b ﹣cB ． 如果a=b,那么C ． 如果,那么a=2D ． 如果a ﹣b+c=0,那么a=b+c8．下列说法正确的是（ ） A ．如果ab=ac,那么b=c B ． 如果2x=2a ﹣b,那么x=a ﹣b C ． 如果a=b,那么 D ． 等式两边同时除以a,可得b=c 9．下列叙述错误的是（ ）A ．等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等B ．等式两边乘以（或除以）同一个数（或式子）,结果仍相等C ．锐角的补角一定是钝角D ．如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等10．下列各式中,变形正确的是（ ）A ．若a=b,则a ﹣c=b ﹣cB ．若2x=a,则x=a ﹣2C ．若6a=2b,则a=3bD ．若a=b+2,则3a=3b+29．如果a=b,则下列等式不一定成立的是（ ）A a ﹣c=b ﹣cB a+c=b+cC cb c a D ac=bc11．下列等式变形错误的是（ ）A ．若a+3=b ﹣1,则a+9=3b ﹣3B ．若2x ﹣6=4y ﹣2,则x ﹣3=2y ﹣1C ．若x 2﹣5=y 2+1,则x 2﹣y 2=6D ．若,则2x=3y12．下列方程变形正确的是（ ）A ．由方程,得3x ﹣2x ﹣2=6 B ．由方程,得3（x ﹣1）+2x=1 C ．由方程,得2x ﹣1=3﹣6x+3 D ．由方程,得4x ﹣x+1=4 A a+m=b+m B ﹣a=﹣b C ﹣a+1=b ﹣1 D14．下列说法正确的是（）A在等式ax=bx两边都除以x,可得a=bB在等式两边都乘以x,可得a=bC在等式3a=9b两边都除以3,可得a=3D在等式两边都乘以2,可得x=y﹣115．（2013•东阳市模拟）如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是（）A a＜c＜bB a＜b＜cC c＜b＜aD b＜a＜c16．已知mx=my,下列结论错误的是（）A． x=y B． a+mx=a+my C． mx﹣y=my﹣y D． amx=amy17．下列变形正确的是（）A．若x2=y2,则x=y B．若axy=a,则xy=1C．若﹣x=8,则x=﹣12 D．若=,则x=y18．如果,那么= _________ ．19．已知2y=5x,则x：y= _________ ．20．已知3a=2b（b≠0）,那么= _________ ．三、解答题：21.利用等式的性质解下列方程并检验:(1)x+3=2 (2)-12x-2=3 (3)9x=8x-6(4)8y=4y+1 (5)7x-6=-5x (6)-35x-1=4;一元一次方程的解法1.移项：把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。