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高二线性规划知识点线性规划是运筹学中的一种常见方法，被广泛应用于解决各种实际问题。
它的基本思想是通过数学模型来描述问题，然后利用线性规划算法寻找最优解。
在高二数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将对高二线性规划的相关概念、模型和解题步骤进行详细介绍。
一、线性规划的基本概念线性规划是在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最优值问题。
它有以下基本要素：1. 目标函数：线性规划的目标是要优化一个线性函数，通常是最小化或最大化该函数的值。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：线性规划中的决策变量是需要确定的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 非负约束：线性规划中的决策变量通常要求非负，即变量的取值不能为负数。
二、线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，通常采用标准型或者松弛型的形式。
1. 标准型：标准型是指目标函数最大化，约束条件为等式的线性规划问题。
其数学模型如下：max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，aᵢₙ是约束条件中的系数，bᵢ是约束条件的常数项，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量。
2. 松弛型：松弛型是指将不等式约束条件转化为等式约束条件的线性规划问题。
其数学模型如下：max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0三、线性规划的解题步骤求解线性规划问题的一般步骤如下：1. 建立数学模型：将实际问题转化为线性规划的数学模型，并确定目标函数和约束条件。
高考数学中的线性规划方法与应用随着社会的发展，人们的生活方式发生了改变，竞争压力也越
来越大。
在这样一个背景下，高考成为了每个学生追求的目标。
高考数学中，线性规划是一个重要的知识点，不仅在考试中会涉
及到，而且在现实生活中也有广泛的应用。
一、线性规划的概念与优化目标
线性规划是在一些约束条件下，寻求最大或最小值的一种优化
方法。
其优化目标是一种线性函数，约束条件可以是等式或不等式，且约束条件和目标函数都具有线性关系。
在高考数学中，线
性规划通常会考察如何列出约束条件和目标函数。
二、线性规划的解法
线性规划的解法有图像法、单纯形法和对偶理论法。
其中，单
纯形法是应用最广泛的一种解法，通过不断寻找相邻基的交点，
找出最优解。
三、线性规划在实际生活中的应用
线性规划在实际生活中有着广泛的应用。
比如，在物流领域中，通过线性规划可以优化物流路线和货物分配，从而降低成本和提
高效率。
在工业生产中，线性规划可以优化设备运行状态和员工
分配，实现生产效益的最大化。
在金融投资方面，线性规划可以
帮助投资者优化组合投资方案，最大化投资回报。
在航空运输方面，线性规划可以优化航线安排和机组人员分配，实现航空运输
的安全和效率。
以上仅是线性规划在实际生活中应用的一部分。
结语
高考数学中的线性规划知识点，虽然看起来有些枯燥，但是它
在实际生活中有着广泛的应用。
掌握线性规划的解法和应用场景，可以为学生的未来发展打下坚实的基础。
希望读者可以通过对线
性规划的学习，更好地了解这个领域的发展和应用。
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
第43讲简单的线性规划问题1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．3．利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z＝0，画出直线l0；(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值．热身练习1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C)A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－1)将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选 C.2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B)直线定界，因为2x－y＝0不经过(2,1)点排除D,2x－y<0不包括边界，排除A，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x－y<0表示的区域内，故排除C，选B.3．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于(C)A.32B.23C.43D.34不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：所以S阴＝12×4－43×1＝43.4．目标函数z＝x＋2y，将其看成直线方程时，z的意义是(C) A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线纵截距的2倍D．该直线纵截距的1 2将z＝x＋2y化为y＝－12x＋z2，可知z＝2b，表示该直线的纵截距的2倍．5．(2015·北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为7.把z＝2x＋3y变形为y＝－23x＋13z，通过平移直线y＝－23x知，当过点A(2,1)时，z＝2x＋3y取得最大值且z max＝2×2＋3×1＝7.。
线性规划知识点总结一、概述线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本思想是通过线性目标函数和线性约束条件，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1, c2, ..., cn为常数，x1,x2, ..., xn为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，用于表示问题的解。
决策变量通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，用于限定解的可行域。
约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ..., am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为常数，b1, b2, ..., bm为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、线性规划的解法线性规划问题可以通过以下几种方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图，找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
它从一个可行解开始，每次迭代都朝着更优的方向移动，直到找到最优解或证明问题无解。
3. 对偶理论：线性规划问题可以通过对偶理论转化为对偶问题，并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。
4. 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，问题称为整数线性规划。
整数线性规划问题通常比线性规划问题更难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、求解方法以及相关的应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一组线性等式或者不等式，称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的决策变量是用来表示问题中需要决策的量，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型建立方法1. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。
2. 建立约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性等式或者不等式。
3. 确定变量范围：确定变量的取值范围，可以是实数或者非负实数。
4. 建立数学模型：将目标函数和约束条件整合成一个数学模型。
三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过逐步迭代，不断改变可行解以找到最优解。
3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
该方法将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过特定的算法求解最优解。
四、应用案例1. 生产计划问题：某工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料消耗和利润都不同。
通过线性规划，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户，每一个仓库和客户之间的运输费用和容量都不同。
通过线性规划，可以确定最优的运输方案，以最小化总运输成本。
3. 资源分配问题：某公司有限的资源需要分配给多个项目，每一个项目的收益和资源需求都不同。
高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题 一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
简单线性规划1．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】푥+2푦≤8例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件{0≤푥≤4．0≤푦≤3（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S =12퐵퐶⋅퐴퐵=12×1×2=1．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，此时z 最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，此时z 最大为z＝4+3＝7，1/ 5故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是（）7343A．3B．7C．3D．44 4分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平33面区域面积的条件即可．解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx +44过定点（0，）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx +3343能平分平面区域．15因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（，）．22当y＝kx +4155过点（，）时，3222=푘2+43，所以k =73．答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值2/ 5典例 2：设x，y 满足约束条件：，求z＝x+y 的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y达到最大值．故z min＝2，z max＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元0.55 万元韭菜 6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．3/ 5푥+푦≤50解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知{1.2푥+0.9푦≤54푥，푦∈푁+求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值푦典例 4：（1）设实数x，y 满足，则푥的最大值为．→（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|푂퐴+→푂푀|的最小值是．分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．푦3解答：（1）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．24/ 5→（2）依题意得，푂퐴+→→푂푀=（x+1，y），|푂퐴+→푂푀| =(푥+1)2+푦2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向→直线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|푂퐴+→푂푀|的最小值是|―1+0―2|2=322．332故答案为：（1）（2）．22点评：常见代数式的几何意义有（1）푥2+푦2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）(푥―푎)2+(푦―푏)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；푦（3）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；푦―푏（4）푥―푎表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．푧푧2．在通过求直线的截距푏的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距푏取最大值时，z 也取最大值；截푧푧푧距푏取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距푏取最小值时，z 取最大值．푏取最大值时，z 取最小值；截距5/ 5。
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
第43 线性规划——作图与求解一、基础知识 1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y （3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。
例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。
例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示 3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a zy x b b=-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。
② 分式——与斜率相关（分式）：例如y bz x a-=-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 连线的斜率。
③ 含平方和——与距离相关：例如()()22z x a y b =-+-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 距离的平方。
（3）根据z 的意义寻找最优解，以及z 的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。
例如：若变量,x y 满足约束条件00321228x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则34z x y =+的最大值等于_____作出可行域如图所示，直线3212x y +=的斜率132k =-，直线28x y +=的斜率212k =-，目标函数的斜率34k =-，所以21k k k <<，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在()2,3A 取得最优解。
但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比28x y +=还要平，则会发现最优解在()0,4B 处取得，以及若平移的直线比3212x y +=还要陡，则会发现最优解在()4,0C 处取得，都会造成错误。
所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。
（1）在斜率符号相同的情况下：k 越大，则直线越“陡”（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。
二、典型例题：例1：若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（ ）A. 52-B. 2-C. 32- D. 2 思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：2y x z =-，则z 的最小值即为动直线纵截距的最大值。
目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。
通过平移可发现在A 点处，纵截距最大。
且20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2z x y =-的最小值()min 152122z =⋅--=- 答案：A例2：设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数122zy x =-+，通过平移可得最优解为()20:1,11x y A A y +-=⎧⇒⎨=⎩，所以min 3z = 答案：B例3：若变量,x y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）B. 7C. 9D. 10 思路：目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为()1,3A -，所以2max 10z OA == 答案：D例4：设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []1,2D. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦思路：所求11y s x +=+可视为点(),x y 与定点()1,1--连线的斜率。
从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在()1,0处的斜率最小，即()()min 011112k --==--，在()0,1处的斜率最大，为()()max 11201k --==--，结合图像可得11y s x +=+的范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D例5：若实数,x y 满足条件01001x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则3x y -的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3思路：设3z x y =-，则可先计算出z 的范围，即可求出z 的最大值：1133y x z =-，则最优解为()()1,1,1,2A B -，所以[]5,4z ∈-，则max 5z = 答案：B例6：设O 为坐标原点，点M 的坐标为()2,1，若点(),N x y 满足不等式组43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则使OM ON ⋅取得最大值的点N 的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个思路：设2z OM ON x y =⋅=+，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线2120x y +-=重合，所以有无数多个点均能使OM ON ⋅取得最大值答案：D例7：（2015，福建）变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 2 思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线y mx =为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数2y x z =-，若z 最大则动直线的纵截距最小，可观察到A 为最优解。
22022:,2121x y m A A y mxm m -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪=--⎝⎭⎩，则有22222121mz m m =⋅-=--，解得：1m =答案：C小有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在变化中寻找区域的规律。
找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数例8：在约束条件21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ）A. (B. ⎡⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. ⎡⎣思路：先做出常系数直线，动直线20x y m -+=时注意到20m ≥，斜率为常数1，且发现围成的区域恒为一个三角形。
目标函数2y x z =+，通过图像可得最优解为2221011:,220x y m m A A x y m +-=⎧⎛⎫-+⇒⎨ ⎪-+=⎝⎭⎩，所以222max113122222m m z m -+=-⋅+=-，则231422m -≤解得：m ⎡∈⎣ 答案：D例9：若变量,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-思路：如图作出可行域，目标函数为y ax z =-+，由于a 决定直线的方向，且约束条件中的直线斜率有正有负。
所以先考虑a 的符号：当00a a ->⇒<时，此时与y x =的斜率进行比较： 若11a a -≥⇒≤-，则z 的最大值为0，不符题意； 若0110a a <-<⇒-<<，则最优解为()1,1A ，代入解得3a =与初始范围矛盾，故舍去；当00a a -<⇒>时，直线与2x y +=斜率进行比较：若11a a -<-⇒>，则最优解为()2,0B ，代入解得2a =，符合题意 若1a =，可得z 的最大值为2，不符题意，舍去若0101a a >->-⇒<<，则最优解为()1,1A ，代入解得3a =与初始范围矛盾，舍去 综上所述：2a = 答案：B小有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。
（2）本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出a 的值，再带入验证。
