全国2006年4月高等数学自学考试试卷

绝密★启用前试卷类型：B2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）注意事项：1．本试卷分第一部分和第二部分。

第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的 试卷类型信息点。

3．所有答案必须在答题卡指定区域内作答，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 选择题（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．已知集合Q P x x R x Q x N x P 则集合},06|{},101|(2=-+∈=≤≤∈=等于（A ）{－2，3}（B ）{－3，2}（C ）{3}（D ）{2}2．函数)(11)(2R x xx f ∈+=的值域是（A ）[0，1]（B ）)1,0[（C ）]1,0(（D ）（0，1）3．已知等差数列8,}{82=+a a a n 中，则该数列前9项和S 9等于（A ）45（B ）36（C ）27（D ）184．设函数)1,0)((log )(≠>+=a a b x x f a 的图像过点（0，0），其反函数的图像过点（1，2）， 则a +b 等于（A ）3（B ）4（C ）5（D ）65．设直线过点（0，a ）其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为（A ）±4（B ）22±（C ）±2（D ）2±6．“α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+ γ)=sin2β成立”的（A ）必要而不充分条件 （B ）充分而不必要条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件BB B 卷7．设y x ,为正数，则)41)((yx y x ++的最小值为（A ）15（B ）12（C ）9（D ）68．已知非零向量与满足 ||||AC AB +·=0 且 ||AB ||AC 21.则△ABC 为（A ）等边三角形（B ）直角三角形（C ）等腰非等边三角形（D ）三边均不相等的三角形9．已知函数)0(42)(2>++=a ax ax x f . 若21x x <，21x x +=0，则 （A ）)()(21x f x f > （B ）)()(21x f x f =（C ）)()(21x f x f <（D ）)()(21x f x f 与的大小不能确定10．已知双曲线)2(12222>=-a y ax 的两条渐近线的夹角为,3π则双曲线的离心率为 （A ）332 （B ）362 （C ）3（D ）211．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是 （A ）平面ABC 必不垂直于α （B ）平面ABC 必平行于α （C ）平面ABC 必与α相交（D ）存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明 文（解密）. 已知加密规则为：明文a ,b ,c ,d 对应密文a+2b ,2b +c ,2c +3d ,4d . 例如，明文 1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 （A ）1,6,4,7 （B ）4,6,1,7 （C ）7,6,1,4 （D ）6,4,1,7第二部分（共90分）二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）. 13． 167cos 43sin 77cos 43cos +的值为 . 14．（xx 12-）6展开式中的常数项为 （用数字作答）.15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同 去，则不同的选派方案共有 种（用数字作答）.16．水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是.53,21,52现3人各投篮1次，求： （Ⅰ）3人都投进的概率；（Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率. 18．（本小题满分12分）已知函数).()12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合.19．（本小题满分12分）如图，βαβαβα∈∈=⊥B A l ,,, ，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 上的射影为B 1. 已知AB =2， AA 1=1，BB 1=2，求：（Ⅰ）直线AB 分别与平面βα,所成角的大小； （Ⅱ）二面角A 1—AB —B 1的大小. 20．（本小题满分12分）已知正项数列}{n a ，其前n 项和S n 满足65102++=n n n a a S ，且1531,,a a a 成等比数列，求数列}{n a 的通项.n a 21．（本小题满分12分）如图，三定点A （2，1），B （0，－1），C （－2，1）；三动点D ，E ，M 满足AB t AD =，BC t BE =，].1,0[,∈=t t（Ⅰ）求动直线DE 斜率的变化范围； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程. 22．（本小题满分14分）设函数13)(23+-=x kx x f ).0(≥k（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值大于0，求k 的取值范围.B 卷文科数学答案（必修+选修Ⅱ）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1.A2.B3.C4.C5.B6.A7.B8.D9.A 10.D 11.D 12.C 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13.21-14.60 15.1320 16.3R. 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）. 17．解：（I ）记“甲投进”为事件A 1，“乙投进”为事件A 2，“丙投进”为事件A 3，则.53)(,21)(,52)(321===A P A P A P ∴P(A 1A 2A 3)=P(A 1)·P(A 2)·P(A 3)=.253532152=⨯⨯ ∴3人都投进的概率为253.（II ）设“3人中恰有2人投进”为事件B ，则,5019)531(215253)211(525321)521()()()()()()()()()()()()()(321321321321321321=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=A P A P A P A P A P A P A P A A P A A A p A A A P A A A P B P∴3人中恰有2人投进的概率为5019.18．解：（I ）)12(2cos 1)12(2sin 3)(ππ--+-=x x x f.22.1)32sin(21]6)12(2sin[21)]12(2cos 21)12(2sin 23[2πππππππ==∴+-=+--=+---=T x x x x（II ）有取最大值时当,1)32sin(,)(=-πx x f}.,125|{),(125,2232Z k k x R x x Z k k x k x ∈+=∈∴∈+=+=-πππππππ的集合为所求即19．解法一：（I ）如图，连接A 1B ，AB 1.∵α⊥β，α∩β=l ，AA 1⊥l ，BB 2⊥l ，∴AA 1⊥β，BB 1⊥a . 则∠BAB 1，∠ABA 1分别是AB 与α和β所成的角. Rt △BB 1A 中，BB 1=2，AB=2， ∴sin ∠BAB 1=,221=AB BB ∴∠BAB 1=45° Rt △AA 1B 中，AA 1=1，AB=2， ∴sin ∠ABA 1=,211=AB AA ∴∠ABA 1=30°. 故AB 与平面α，β，所成的角分别是45°，30°.（II ）∵BB 1⊥α， ∴平面ABB 1⊥α.在平面α内过A 1 作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E ，则A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.在Rt △ABB 1中，∠BAB 1=45°，∴AB 1=B 1B=2. ∴Rt △AA 1B 1中，AA 1=A 1B 1=1，∴.222111==AB E A 在Rt △AA 1B 中，.3142121=-=-=AA AB B A 由AA 1·A 1B=A 1F ·AB 得A 1F=,2323111=⨯=⋅AB B A AA ∴在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=3611=F A E A ，∴二面角A —AB —B 1的大小为arcsin 36.解法二：（I ）同解法一.（II ）如图，建立坐标系，则A 1（0，0，0）， A （0，0，1），B 1（0，1，0），B （2，1，0）.在AB 上取一点F （x , y , z ），则存在t ∈R ，使得t =， 即(x , y , z －1)=t(2,1,－1), ∴点F 的坐标为(2t, t, 1－t). 要使,0,11=⋅⊥A A 须即(2t, t, 1－t)·(2,1,－1)=0, 2t+t －(1－t)=0,解得t=41, ∴点F 的坐标为).43,41,42(),43,41,42(1=∴A 设E 为AB 1的中点，则点E 的坐标为（0，），,3331214316316181161161162169161162)41,41,42()43,41,42(||||cos .,,0414121)1,1,2()41,41,42().41,41,42(1111==⋅+-=++⋅++-⋅=⋅=∠∠∴⊥∴=--=-⋅-=⋅-=∴EF F A FE A FE A 又为所坟一面角的平面角又∴二面角A 1—AB —B 1的大小为arccos33. 20．,65102++=n n n a a S ①,65101212++=∴a a a 解之得a 1=2或a 2=3.又)2(65101211≥++=---n a a S n n n ②由①—②得 0)5)((),(5)(10111212==-+-+-----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即35,2,,72,12,2.3,,,.73,13,3).2(5,0115123153111531153111-=∴=∴====≠===≥=->+--n a a a a a a a a a a a a a a a n a a a a n n n n n 有时当不成等比数列时当21．解：（I ）解法一：如图（1）设D(x D , y D ), E(x E , y E ), M(x , y).由),2,2()1,2(,,--=--==t y x t t D D 知].1,1[],1,0[.21)22(2)12(12.12,2.12,22-∈∴∈-=+---+---=--=∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+-=+-=∴DE D E D EDE E E D D k t t t t t t x x y y k t y t x t y t x 同理 （II ）,DE t DM =]2,2[)21(2],1,0[.4,4,)21(),21(2),24,2()24,2()1212,222()12,22(2222-∈-=∴∈==∴⎩⎨⎧-=-=∴--=--=-+--+-=-=-+∴t x t y x x y t y t x t t t t t t t t t t t y t x 即即所求轨迹方程为].2,2[,42-∈=x y x 解法二：（I ）同上. （II ）如图，.)1(2)1()1()(,)1()(,)1()(22OC t OB t t OA t OEt OD t OD OE t OD DE t OD DM OD OM OC t OB t OB OC t OB BC t OB BE OB OE OB t OA t OA OB t OA AD t OA AD OA OD +-+-=+-=-+=+=+=+-=-+=+=+=+-=-+=+=+=设M 点坐标为(x , y)，由)1,2(),1,0(),1,2(-=-==得],2,2[],1,0[,4,)21(1)1()1(21)1(),21(2)2(0)1(22)1(222222-∈∴∈=⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅+-⋅-+⋅-=-=-⋅+⋅-+⋅-=x t y x t t t t t t y t t t t t x 得消去故轨迹方程是 ]2,2[,42-∈=x y x 22．解：（I ）当k =0时，f (x )=－3x 2+1.∴f (x )的单调增区间为],0,(-∞单调减区间为).,0[+∞当k >0时),2(363)(2k x kx x kx x f -=-='∴f (x )的单调增区间为),,2[],0,(+∞-∞k 单调减区间为]2,0[k.（II ）当k =0时，函数f (x )不存在极小值.当k >0时，依题意 ,01128)2(22>+-=k k k f 即k 2>4. 由条件k >0，所以k 的取值范围为（2，+∞）.。

------------- 全国2006年10月高等教育自学考试高等数学（工专）试题课程代码：00022一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

（一）（每小题1分，共20分）1.函数y=xsinx 在其定义域内是（ ）A.有界函数B.周期函数C.无界函数D.奇函数2.函数2x 1x 1y --=的定义域是（ ）A.[)(]1,0,0,1-B.[)0,1-C.(][)+∞-∞-,1,1,D.(]1,03.函数2e e y xx --=是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.周期函数4.设|q|<1，则n n q lim ∞→=（ ）A.不存在B.-1C.0D.15.若函数f(x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f(x)在点（x 0, f(x 0)）处的法线的斜率等于（）A.)x (f 0'-B.)x (f 10'-C. )x (f 0'D. )x (f 10'6.设y=x 4+ln3，则y '=（ ）A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnxD. x 4lnx+31------------- 7.设y=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则y '''=（ ）A.6B.a 3C.0D.6a 38.设⎩⎨⎧-=+=t 1y t1x ，则=dxdy （ ） A.t 1t 1-+ B.- t 1t1-+ C. t 1t 1+- D.- t 1t1+-9.函数f(x)=arctgx 在[0，1]上使拉格朗日中值定理结论成立的c 是（） A. ππ-4 B.-ππ-4 C.ππ-4 D.- ππ-410.函数y=x+tgx 在其定义域内（ ）A.有界B.单调减C.不可导D.单调增11.函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ）A.y=1B.x=1C.y=0D.x=0 12.⎰x dx=（ ） A.C x 2+ B.2x C.23x 32 D. 23x 32+C13.设⎰=Φ1x tdt sin )x (，则)x (Φ'=（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx-------------14.广义积分⎰-112dx x 1（ ） A.收敛B.敛散性不能确定C.收敛于-2D.发散15.方程组⎩⎨⎧==-8z z 8y 4x 22在空间表示（ ）A.双曲柱面B.（0，0，0）C.平面z=8上的双曲线D.椭圆 16.二元函数xy1cos z =的所有间断点是（ ） A.{}0y 0x |)y ,x (==或 B.{}0x |)y ,x (=C.{}0y |)y ,x (=D.（0，0） 17.设y x z +=，则)1,1(x z ∂∂=（ ） A.4 B.2C.1D.21 18.设（σ）是矩形域：a ≤x ≤b,c ≤y ≤d ，则⎰⎰σσ)(d =（ ）A.a+b+c+dB.abcdC.(b-a)(d-c)D.(a-b)(d-c)19.微分方程x(y ')2-2y y '+x=0是（ ）A.二阶微分方程B.一阶微分方程C.二阶线性微分方程D.可分离变量的微分方程20.等比级数a+aq+aq 2+…+aq n-1+…(a ≠0)（ ）A.当|q|<1时发散；当|q|≥1时收敛B.当|q|≤1时发散；当|q|>1时收敛C.当|q|≤1时收敛；当|q|>1时发散D.当|q|<1时收敛；当|q|≥1时发散（二）（每小题2分，共20分） 21.=→x1sin x lim 20x （ ）------------- A.2B.1C.0D.不存在 22.=-→x 10x )x 1(lim （ ） A.e -1B.eC.+∞D.1 23.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x ,则f(x)在x=0是（ ） A.可微的B.可导的C.连续的D.不连续的 24.⎰=+dx 1e e x 2x（ ） A.ln(e 2x +1)+CB.arctg(e x )+CC.arctgx+CD.tge x +C25.函数y=xe -x 的单调增区间是（ ）A.（-∞,+ ∞）B.[)+∞,1C.(]1,∞-D.(1+∞) 26.过两点P 1(1,1,1),P 2(2,3,4)的直线方程为（ ） A.31z 21y 11x -=-=- B.x-1+2(y-1)+3(z-1)=0 C.41z 31y 21x -=-=- D.11z 11y 11x -=-=- 27.微分方程0y y =+''的通解为（ ）A.y=sinx+cosxB.y=cosxC.y=sinxD.y=C 1cosx+C 2sinx28.级数∑∞=1n 2n na sin （ ） A.发散B.绝对收敛------------- C.条件收敛D.敛散性不能确定29.微分方程xy 2y x y 2-='是（ ）A.一阶线性非齐次微分方程B.齐次微分方程C.可分离变量的微分方程D.二阶微分方程30.当|x|<1时，幂级数1+x+x 2+…+x n +…收敛于（ ） A.x1x 2- B.1-x C.x 1x - D.x11- 二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）31.求xx xx x e e e e lim --+∞→-+.32.设y=x x (x>0)，求y '.33.求⎰x dx ln x .34.求⎰πθθ402d tg .35.求微分方程sinxcosydx=cosxsinydy 满足初始条件y|x=0=4π的特解.36.计算二重积分⎰⎰σσ+)(22d )y x (, 其中(σ)是圆环:1≤x 2+y 2≤4.37.判别级数∑∞=-+1n )n 1n (的敛散性.三、应用和证明题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）38.求由抛物线y 2=4ax(a>0)及直线x=x 0(x 0>0)所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.39.求函数f(x)=xln x 的极值.------------- 40.设z=)x y (F , 其中F(u)为可导函数, 求证0yz y x z x =∂∂+∂∂.。

2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

1． 已知a R ∈，函数()sin ||,f x x a x R =-∈为奇函数，则a =（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）1±2．圆22(1)(1x y -++=的切线方程中有一个是（A ）0x y -= （B ）0x y += （C ）0x = （D ）0y =3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5．101)3x 的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）66．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点，满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为（A ）28y x = （B ）28y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =-7．若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有 （A ）A C ⊆ (B)C A ⊆ (C)A C ≠(D)A =∅ 8．设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是A BCD （A ）||||||a b a c b c -≤-+- （B ）2211a a aa +≥+ （C ）1||2ab a b -+≥- （D≤-9．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可 放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）无穷多个10．右图中有一信号源和五个接收器。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

全卷共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=baA. 41B. 4C. 21D. 2 3、已知2sin 23A =＝32，A ∈（0，π），则sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 4、在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9A. 81B. 27527C.3 D. 2435、甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③7、设f(x)＝x x -+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为 A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4) 8、在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项9、设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2且⋅=，则点P 的轨迹方程是A. )0,0(123322>>=+y x y x B. )0,0(123322>>=-y x y xC.)0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132322>>=+y x y x 10、关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11.23 12. 0.94 13. (0，34) 14. 78 15.（34πR 3）`＝4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

华东交通大学2006—2007学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科06级) 课程类别：必闭卷（√） 考试日期：2007.1.15 题号 一 二三四 五 总分 12 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 7777777998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为设函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt t y x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、_________141=+⎰dx x x、__________ } 3 2{}2 1 1{ 5==-=λλ则垂直，，，与，，已知向量、b a二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A )B ()sin 11( 122limx x x x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln(arctan 2t t t dxy d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、 得分 评阅人得分 评阅人1dx x211+222ln 1-21xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)D (0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sinA.) A ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx xf xx x f ++-++-='=⎰则，设、⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+=-+⎩⎨⎧=+=++822 D. 0 822 C.0 822 B. 822 A.)D ( 19522222222222z y y x y y y x x y y x y y x xoy z y z y x 为平面上的投影曲线方程在曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 112lim--→、21 42 21422 1 2222limlimlimlim23042==-=-=--=→→→→xxe xe x xxe x x ex x xx x x xx 原式解：)22(2lim n n n n n --+∞→、 2 21214 224 limlim=-++=-++=∞→∞→nn nn n n nn n 原式解：得分 评阅人得分评阅人y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 xx x x xxxx x x x e ee e e e e e e ee y 222122221 ]2)1(21[11 )1(11+=⋅++++='++++='-解：dxx x ⎰-2214、Cx x xCt t dtt tdttdttttdt dx t x +---=+--=-=====⎰⎰⎰arcsin 1 cot )1(csccot cos sincos cos sin 2222原式则，令解：dxx x ⎰1arctan 5、)1(arctan 121+=⎰x d x 原式解：得分 评阅人得分 评阅人得分 评阅人分扣缺1C。

2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:如果时间A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=,其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、已知向量a b 、满足1,4,a b ==,且2a b =,则a 与b 的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π ⑵、设集合{}20M x x x =-<,{}2N x x =<,则 A.M N =∅ B.M N M = C.MN M = D.MN R =⑶、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A.()22()x f x e x R =∈ B.()2ln 2ln (0)f x x x => C.()22()x f x e x R =∈ D.()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑷、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A.14-B.4-C.4D.14⑸、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a = A.8 B.7 C.6 D.5⑹、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A.,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.()(),1,k k k Z ππ+∈C.3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑺、从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为A.12B.35C.2D.0 ⑻、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =A.14B.34 ⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是 A.16π B.20πC.24πD.32π 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A.43B.75C.85D.3 ⑽、在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,4x 的系数为A.120-B.120C.15-D.15 ⑾、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A.43B.75C.85D.3 ⑿、用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为A.2B.2C.2D.220cm2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。

自学考试高等数学练习试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题选择题1．在下列极限求解中，正确的是( )．正确答案：C解析：根据洛必达法则可知2．设y=f(x)可导，则f(x－2h)－f(x)等于( )．A．f’(x)h+o(h)B．－2f’(x)h+o(h)C．－f’(x)h+o(h)D．2f’(x)h+o(h)正确答案：B解析：3．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则A．cos4x+CB．C．2cos4x+CD．sin4x+C正确答案：A解析：根据函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=－4sin2x，f’(2x)=－4sin4x，所以4．设二重积分的积分域D是x2+y2≤1，则等于( )．A．B．4πC．3πD．5π正确答案：A解析：积分区域D如图所示：0≤r≤1，0≤θ≤2π．所以5．在区间[－1，1]上，不满足罗尔定理的函数是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：罗尔定理必须满足下列条件：函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且f(x)在区间端点的函数值相等．6．在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )．A．y2=xB．C．D．3x+4z=0正确答案：D解析：平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0故选D项．另外，A项：y2=x 是一条抛物线B项：是两条平面正交线，显然是一空间直线C项：是空间直线方程的一般式．填空题7．正确答案：1解析：8．yy”－(y)2=0的通解为_____________．正确答案：y=C2eC1x解析：令y’=p，则因为所以当p≠0时，则即y’=C1y y=C2eC1xp=0，那么y=C，方程通解为y=C2eC1x9．曲线y=x2(x－3)的拐点坐标是____________．正确答案：(1，－2)解析：y=x2(x－3)=x3－3x2y’=3x2－6x y”=6x－6当y”=6x－6=0时x=1，y=－2.10．设则正确答案：1解析：11．的收敛区间是____________．正确答案：[－1，1]解析：当x=1时，发散，当x=－1时，条件收敛，所以其收敛域为[－1，1)．12．设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_____________．正确答案：y”－5y’+6y=0解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ－2)(λ－3)=0，即λ2－5λ+6=0，所以对应微分方程为y”－5y’+6y=0．解答题13．若在x=0处连续，求a，b，c．正确答案：因为f(x)在x=0处连续，所以f(0－0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce－4=1所以c=e4，b=1，a为任意实数．14．求不定积分正确答案：15．求正确答案：16．求函数哪一点上的切线与直线y=x成60°角?正确答案：设切线斜率为k2＜0，y=x=k1=1解得那么解得17．已知u=f(x+y，x2，y sinx)，求正确答案：18．求微分方程xy’－y=x2ex的通解．正确答案：原方程化为：19．求级数的和数．正确答案：∴对上式两边求导得：对上式两边再次求导，得：于是，对上式两边取x=1，得20．当k为何值时，广义积分收敛?当k为何值时，这个广义积分发散?又当k为何值时，广义积分取得最小值?正确答案：当k≠1时，当k=1时，发散，即，当k＞1时，广义积分收敛；当k≤1时，广义积分发散．设则令f’(k)=0，得驻点但当k＜k0时，f’(k)＜0；当k＞k0时，f’(k)＞0，所以，当时，广义积分取极小值，也就是最小值．综合题21．设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．正确答案：由xf’=(x)=f(x)+3x2，可得所以q=3x.那么所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx.由题意可得：所以C=2.所以f(x)=3x2+2x.设其中Dt，是由x=t，y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．22．求a的值使得g(t)连续；正确答案：如图，画出积分区域，则根据函数连续定义，满足所以a=0．23．求g’(t)．正确答案：当t≠0时，t=0时，所以，g’(t)=f(t)．24．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系：z=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?正确答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y) =15+14x+32y－8xy －2x2－10y2－(x+y) =15+13x+31y－8xy－2x2－10y2于是令得驻点又Lxx”(x，y)=－4，Lxy”(x，y)=-8，Lyy”(x，y)=-20，故B2－AC=64－(－4)×(-20)=一16＜0．又A=－4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点．即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略．证明题25．证明：当x＞0时，成立．正确答案：(1)变形：这是对函数的增量形式令f(t)=lnt，t∈[x,1+x].(2)f(t)=lnt在[x,1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx=(x+1-x)，(3)∵x＜ξ＜x+1，故有26．设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．正确答案：(1)因为F(x)·G(x)=－1，(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=ex．(ii)若F(x)=－f(x)，即f(x)=－f’(x) →lnf(x)=－x+C2，f(x)=Ce-x 由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e－x．。

全国2006年4月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设有向量=-=→→→→b a b a 2},0,2,1{},1,0,2{则（ ） A ．3→→→+-k j i 22 B ．3→→→-+k j i 22 C ．→→→--k j i 223D ．-3→→→++k j i 222．向量的位置关系是及与向量→→→→⨯b a b a （ ） A ．共面 B ．共线 C ．垂直D ．斜交3．平面2(y-3)=0的位置特点是（ ） A ．平行于y 轴 B ．垂直于y 轴 C ．垂直于x 轴D ．平行于yz 面 4．设平面5x+2y-3z-2=0与平面3x+ky+z+7=0互相垂直,则数k 的值等于（ ） A ．5 B ．-5 C ．6D ．-65．直线052131121=++-=-+=-z y x z y x 与平面的位置关系是（ ） A ．平行 B ．斜交C ．互相垂直D ．直线在平面上6．球面x 2+y 2+z 2-4x+6y+10z+36=0的半经为（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．37．方程组⎩⎨⎧==+2422y y x 在空间直角坐标系中表示（ ）A ．平面y=2中的圆B ．点(0,2)C ．平行于z 轴的直线D ．直圆柱面8．下列各对函数中,为相等函数的是（ ） A ．y=|x|与y=2xB ．y=2lnx 与y=lnx 2C ．y=ln|x|与y=|lnx|D ．y=x 与y=|x|9．设函数f(x)=⎩⎨⎧=≥<|)(|,01x f x xx 则（ ） A ．x B ．-x C ．|x|D ．f(x)10．设有数列:1,0,}{01,,51,0,31n a n n na n 则数列为偶数为奇数即⎪⎩⎪⎨⎧= （ ） A ．以0为极限B ．以为极限n1C ．有两个极限:0和n1D ．没有极限11．下列命题正确的是（ ） A ．若数列{a n }有极限,则{a n }有界 B ．若数列{a n }有界,则{a n }有极限 C ．若数列{a n }无极限,则{a n }无界D ．若数列{a n }有极限,则{a n }递增或者递减12．当x →0时,下列函数中以e 为极限的是（ ） A ．(1+x)x1 B ．(1+x)x C ．(1-x)x 1D ．(1-x)x13．下列函数中,当x →0+时,与x 是等价无穷小的为（ ） A ．xB ．x 2C ．ln(1+x)D ．1-cosx14．下列函数中,在点x=0处连续的是（ ）A ．f(x)=x1B ．f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠001x x xC ．f(x)=xxsinD ．f(x)⎪⎩⎪⎨⎧=≠010sin x x x x15．点x=1是函数f(x)=的23122+--x x x （ ） A ．第一类且可去的间断点 B ．第二类间断点 C ．第一类但不可去的间断点D ．连续点16．设f(x)=ln=)(',2x f x则（ ） A ．2x B ．x 2 C ．x1D ．x1-17．设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===2),20(sin cos a x dx dy t t b y t a x 则π（ ）A ．a bB ．b a C ．ab -D ．ba -18．设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,则（ ）A ．f(x)一定在[a,b]上可微B ．f(x)一定在[a,b]上有界C ．至少有一点0)(),,(=∈ξξf b a 使得D ．至少有一点0)('),,(=∈ξξf b a 使得19．函数f(x)=x+的极小值是)0(2>a xa （ ） A ．-2a B ．-a C ．aD ．2a20．下列函数中,在区间(0，+∞)内上凸的是（ ） A ．y=x1 B ．y=x2 C ．y=|x|D ．y=-x1 21．设方程y-F(x)=0表示函数f(x)的一条积分曲线,则下列式子中正确的是（ ） A ．⎰=)()(x F dx x f B ．F ′(x)=f(x) C ．⎰+=C x f dx x F )()(D ．f ′(x)=F(x)22．下列不等式成立的是（ ）A ．⎰⎰<1142dx x dx xB ．⎰⎰≤21212)(ln ln dx x xdxC ．0⎰≤-≤2122)3(dx xxD ．-1⎰≤-≤2121)3(dx x x23．设=+=+⎰)(,arctan)(11x C x dx x x ϕϕ则（ ）A ．2xB ．xC ．x21D ．x124．设G(x)=⎰=>21)('),0(1x x G x dt t则（ ）A ．x1 B ．x C ．1D ．225．n 阶排列123……n 的逆序数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2)1(-n nD ．n26．设方程⎩⎨⎧==+=+a ax x x ax 则有非零解,02121（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．027．下列行列式的值一定为零的是（ ）A ．0021221112 n n nn a a a a a aB ．nnn n in i i ini i n a a a a a a a a a a a a 21212111211222------------------------------C ．n 阶行列式中零元素多于n 个D ．行列式的转置行列式28．设A 为m ×n 矩阵,且其秩r(A)=r,则（ ） A ．A 中r 阶子式都不为零 B ．r=min{m,n} C ．A 中(r+1)阶子式都为零D ．r=m 或r=n29．设A,B 为任意两个n 阶可逆方阵,则必有（ ）A ．(AB)-1=A -1B -1 B ．(AB) –1=B -1A -1C ．(AB) –1=ABD ．(AB) –1=AB -130．设Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b 的导出组,则下列说法正确的是（ ） A ．Ax=0有非零解时,Ax=b 有无穷多个解 B ．u 1,u 2是Ax=b 的解时,u 1-u 2是Ax=0的解． C ．Ax=0只有零解时, Ax=b 有唯一解 D ．Ax=0与Ax=b 同时有解或同时无解二、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2006年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
高等数学(一) 试卷
(课程代码0020)
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。

请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

二、填空题（大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
22．将一长为l的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形
与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少？
五、应用题（本大题9分）
六、证明题（本大题5分）。

1全国2018年4月自学考试高等数学(工本)试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.在空间直角坐标系中,方程1222222=++cz b y a x 表示的图形是( )A.椭圆抛物面B.圆柱面C.单叶双曲面D.椭球面2.设函数z =x 2y ,则=∂∂xz( ) A.212-y yxB.x xyln 2C.x x yln 22 D.()12-y yx3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=⎰⎰⎰Ωdxdydz ( ) A.81 B.61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( ) A.2C 1x +C 2cos x B.2Cx +cos x C.cos x +C (2x -cos x ) D.C (2x -cos x )5.设幂级数∑∞--1)3(n n nx a在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )A.绝对收敛B.条件收敛2C.发散D.敛散性不定二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数y x y z cos sin =,则=∂∂xz. 7.已知dy e dx e y x yx +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , .8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分⎰⎰∑=dS .9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= .10.无穷级数∑∞=0!2n nn 的和为 .三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P (3,-1,0)并且与直线321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求x z ∂∂,yz∂∂. 13.设方程xyx ln=确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数.15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,22,22π处的切线方程.16.计算二重积分()dxdy e I Dy x⎰⎰+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x17.计算二次积分⎰⎰=22sin ππydx xxdy I . 18.计算对弧长的曲线积分()⎰+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段. 19.计算对坐标的曲线积分⎰+Lydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段3弧.20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. 21.判断级数()∑∞=-+-131321n n nn 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?22.设函数()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.求函数()y x xy y x y x f 311381021,22-----=的极值.24.设曲线()x y y =在其上点(x ,y )处的切线斜率为x +y ,且过点(-1,e -1),求该曲线方程. 25.将函数()2312+-=x x x f 展开为(x +1)的幂级数.。