zs22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质①
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22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
最值
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
二、学习目标：
1．理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y =a（x - h）2 +k之间 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，体 会数形结合的思想． 3 .会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际 问题． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = a（x - h）2 +k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质．
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为1135米。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
四、课堂小结
二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
2
直接画函数
的图象
y 1 x2 6x 21 2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3
图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
22.1.4y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像特点、增减性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
突破方法：通过大量绘制图像，让学生观察、总结规律，形成直观认识。
（2）对称轴的求解：学生对对称轴的计算公式容易忘记或混淆；
突破方法：引导学生回顾一次函数的对称轴概念，进而理解二次函数对称轴的计算方法，并给出具体例子进行讲解。
（3）二次函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将现实问题抽象为二次函数模型；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
突破方法：通过列举生活中的实际例子（如抛物线形状的拱桥、物体抛掷等），引导学生学会建立二次函数模型，并求解相关问题。
在教学过程中，教师需针对上述重点和难点内容，通过讲解、举例、互动等方式，帮助学生透彻理解二次函数的图像和性质，并能够将所学知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+bx+c的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的函数，它是数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程等领域。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像特点、增减性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
突破方法：通过大量绘制图像，让学生观察、总结规律，形成直观认识。
（2）对称轴的求解：学生对对称轴的计算公式容易忘记或混淆；
突破方法：引导学生回顾一次函数的对称轴概念，进而理解二次函数对称轴的计算方法，并给出具体例子进行讲解。
（3）二次函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将现实问题抽象为二次函数模型；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
突破方法：通过列举生活中的实际例子（如抛物线形状的拱桥、物体抛掷等），引导学生学会建立二次函数模型，并求解相关问题。
在教学过程中，教师需针对上述重点和难点内容，通过讲解、举例、互动等方式，帮助学生透彻理解二次函数的图像和性质，并能够将所学知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+bx+c的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的函数，它是数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程等领域。
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
2020年新人教版初三数学上册《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(1)》课件
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a(x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
。
2a
4a
x b
二次函数的
对称轴为
2a
.
一般表达式
二次函数
的顶点式
因此，抛物线的对称轴是
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
【思考2】你能说出
y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
例1 画出函数
y 1 x2 x 5
2
2
的图象，并说明这个函
数具有哪些性质.
解:
函数
y
1 2
x2
x
5 2
通过配方可得
y 1 (x 1)2 2 2
，
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
然后描点、连线，得到图象如下图：
解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，
根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号． ①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0 ，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0， 所以ac<0，D错误．
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第一课时课件
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
4ac ，b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
4ac ，b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
人教版九年级数学上册课件：22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质
解析：⑴根据题意 得： 解得 所以抛物线的解析式为
y 3
－1 O
x
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
6、已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
化简
再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2
3
4…
… 29 14 5 2 5 14 29 …
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某 一范围内的增减性. 2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称 轴.
学习感知：
同学们：通过这节课的学习，与同 桌分享与交流，学有所获，共同探讨学 有所困。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5） 对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1） 对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 向
对称轴
顶点坐标 （－3，5）
向上 直线x=–3
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
你知道是怎样配 方的吗？
配 方
(1)―提”：提出二次项系数； （3）“化”：化成顶点式。
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
2 1 y= — (x―6) +3 2
归纳
1 二次函数 y= —x2－6x +21图象的
画法：
2 (1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标； (3)“画”：列表、描点、连线。
2
2
y a x h k 的形式。
2
y ax2 bx c
c 2 b a x x a a
2 2 2 b b b c a x x a a 2a 2a
1 2 你能说出二次函数y=—x －6x＋21 2 图像的特征吗？
1 2 如何画出 y x 6 x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 1 2 数 y x 6 x 21也能化成这样的形式吗? 2
1 2 y x 6 x 21 2
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
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2
1 2 y x 4x 3 2
向上
直线x=4
4,-5
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。
①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
a还影响对称轴和顶点的位置。
b (2)a和b共同决定抛物线对称轴 直线： x 2a 的位置， 故
1 2 2.二次函数 y x 6 x 21图象的画法： 2 1 2 y x 6 x 3 (1)“化” ：化成顶点式 ； 2
(2)“画”：根据 顶点式 画出图象。
开口向上； . 列表，描点，连线 对称轴是 :直线 x 6 顶点坐标是 : (6, 3)
3.二次函数y=ax² +bx+c(a≠0)
7.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象 限,则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是( C )
y o x o B -3 y x o C -3 y x o D -3 y x
A
-3
8.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C）
增减性
a >0 在对称轴左侧, y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
a <0 在对称轴左侧, y随着x的增大而增大.
C）
2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （B） A.直线y = x上 B.直线y = -x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的 值是 （ A） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的 是 （D） b y A.a<0 B. 2a >0 C.a+b+c=0 D.
(2)“配”：括号内配 成完全平方式；
1 2 1 2 2 y x 12 x 6 - 6 21 2 2
括号里加上括号里的一次 项系数一半的平方 括号外减去括号里加的数与括 号前系数的乘积 (3)“化”：把二次函 数化成为顶点式；
1 2 y x 6 3 2
注：①不应该移项；②二次项系数只能提出去，不能约去.
向上
y=a(x-h)2+k(a<0)
向下 直线x=h （h，k）
增减性 当x>h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小. 最值 当x =h时,最小值为k. 当x =h时,最大值为k.
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x<h时,y随着x的增大而增大.
1 2 2 1.如何把y x 6 x 21转化为y a x h k的形式 2
y ax bx c
2
提
2
配方
配
b 配方法 a ( x 公式法 x) c a 2 b 4 ac b 2 b b b 2x 2 2 y a a[ x 2 xa ( ) ] 4 (a ) a c a 2a 2a
a b x 2a
化
2
4ac b 4a
最 值 当x= - b 时， 2a 2 4ac-b y有最小值： 4a 当x= - b 时， 2a 2 4ac-b y有最大值： 4a
③c＜0与y轴交于负半轴。
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (5)a+b+c的符号： ∵x= 1时，y=a+b+c.∴a+b+c的值等于 抛物线上 横坐标为1点 的 纵坐标，它的符号 可以根据这个点与x轴的位置确定。 (6)a-b+c的符号： ∵x= -1时， y=a-b+c.∴a-b+c的符号可以 根据抛物线上 横坐标为 -1的点的纵坐标确定.
数学九年级上册
二次函数的定义
一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数， a≠ 0)的函数，叫做二次函数。其中，x是自变 量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常 数项。
二次函数y=a(x-h)2+k(顶点式)的图象和性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0)
最值
a >0 a <0
1. 先把函数化为顶点式，再完成表格.
函数 开口 方向 对称轴 顶点坐标
y 3x 2 x
2
1 向上 直线x= 3
1 1 ， 3 3
y x 2x
2
向下 直线x= 1
， 11 0 2，
y 2x 8x 8 向下 直线x=2
2
二次函数y ax bx c 的性质
2
b 2 4ac b 2 ya （x ） 2a 4a
2 (提示：对照 y a （x h ） k)
当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下. b 对称轴是 :直线 x 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是 : ( , ) 2a 4a
利用配方法
你知道怎样配方吗？
1 2 y x 6 x 21 2
y a x h k
2
你知道怎样配方吗？
1 2 y x 6 x 21 2 1 2 y x 12 x 21 2
y a x h k
2
(1)“提”：提出二次项系 数（不包含常数项）
y o x o y x o y x o y x
A
B
C
D
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： 2 b b 4ac-b 对称轴： 直线 x= 顶点坐标： （- 2a ， 4a ） 2a 与y轴交点： （ 0， c） 开口
向 a>0 上
a>0 向 下
增减性 x<- b x>- b 2a 2a x<- b 2a x>- b 2a
例3 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
2、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物 线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ A ）
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4ac b 2 4a
>0
-1
o
1
x
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
转化成 顶点式 再进行平移的
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则 下列关于a，b，c间关系的判断正确的是（ B ） A、ab＜0 C、a+b+c＞0 B、bc＜0 D、a-b+c＜0
①若b＝0
对称轴为y轴；
②若a，b同号对称轴在y轴左侧；
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
简记为：对称轴，左同右异
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。
当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点；
②c＞0与y轴交于正半轴；
1 2 y x 4x 3 2
向上
直线x=4
4,-5
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。
①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
a还影响对称轴和顶点的位置。
b (2)a和b共同决定抛物线对称轴 直线： x 2a 的位置， 故
1 2 2.二次函数 y x 6 x 21图象的画法： 2 1 2 y x 6 x 3 (1)“化” ：化成顶点式 ； 2
(2)“画”：根据 顶点式 画出图象。
开口向上； . 列表，描点，连线 对称轴是 :直线 x 6 顶点坐标是 : (6, 3)
3.二次函数y=ax² +bx+c(a≠0)
7.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象 限,则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是( C )
y o x o B -3 y x o C -3 y x o D -3 y x
A
-3
8.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C）
增减性
a >0 在对称轴左侧, y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
a <0 在对称轴左侧, y随着x的增大而增大.
C）
2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （B） A.直线y = x上 B.直线y = -x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的 值是 （ A） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的 是 （D） b y A.a<0 B. 2a >0 C.a+b+c=0 D.
(2)“配”：括号内配 成完全平方式；
1 2 1 2 2 y x 12 x 6 - 6 21 2 2
括号里加上括号里的一次 项系数一半的平方 括号外减去括号里加的数与括 号前系数的乘积 (3)“化”：把二次函 数化成为顶点式；
1 2 y x 6 3 2
注：①不应该移项；②二次项系数只能提出去，不能约去.
向上
y=a(x-h)2+k(a<0)
向下 直线x=h （h，k）
增减性 当x>h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小. 最值 当x =h时,最小值为k. 当x =h时,最大值为k.
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x<h时,y随着x的增大而增大.
1 2 2 1.如何把y x 6 x 21转化为y a x h k的形式 2
y ax bx c
2
提
2
配方
配
b 配方法 a ( x 公式法 x) c a 2 b 4 ac b 2 b b b 2x 2 2 y a a[ x 2 xa ( ) ] 4 (a ) a c a 2a 2a
a b x 2a
化
2
4ac b 4a
最 值 当x= - b 时， 2a 2 4ac-b y有最小值： 4a 当x= - b 时， 2a 2 4ac-b y有最大值： 4a
③c＜0与y轴交于负半轴。
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (5)a+b+c的符号： ∵x= 1时，y=a+b+c.∴a+b+c的值等于 抛物线上 横坐标为1点 的 纵坐标，它的符号 可以根据这个点与x轴的位置确定。 (6)a-b+c的符号： ∵x= -1时， y=a-b+c.∴a-b+c的符号可以 根据抛物线上 横坐标为 -1的点的纵坐标确定.
数学九年级上册
二次函数的定义
一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数， a≠ 0)的函数，叫做二次函数。其中，x是自变 量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常 数项。
二次函数y=a(x-h)2+k(顶点式)的图象和性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0)
最值
a >0 a <0
1. 先把函数化为顶点式，再完成表格.
函数 开口 方向 对称轴 顶点坐标
y 3x 2 x
2
1 向上 直线x= 3
1 1 ， 3 3
y x 2x
2
向下 直线x= 1
， 11 0 2，
y 2x 8x 8 向下 直线x=2
2
二次函数y ax bx c 的性质
2
b 2 4ac b 2 ya （x ） 2a 4a
2 (提示：对照 y a （x h ） k)
当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下. b 对称轴是 :直线 x 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是 : ( , ) 2a 4a
利用配方法
你知道怎样配方吗？
1 2 y x 6 x 21 2
y a x h k
2
你知道怎样配方吗？
1 2 y x 6 x 21 2 1 2 y x 12 x 21 2
y a x h k
2
(1)“提”：提出二次项系 数（不包含常数项）
y o x o y x o y x o y x
A
B
C
D
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： 2 b b 4ac-b 对称轴： 直线 x= 顶点坐标： （- 2a ， 4a ） 2a 与y轴交点： （ 0， c） 开口
向 a>0 上
a>0 向 下
增减性 x<- b x>- b 2a 2a x<- b 2a x>- b 2a
例3 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
2、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物 线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ A ）
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4ac b 2 4a
>0
-1
o
1
x
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
转化成 顶点式 再进行平移的
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则 下列关于a，b，c间关系的判断正确的是（ B ） A、ab＜0 C、a+b+c＞0 B、bc＜0 D、a-b+c＜0
①若b＝0
对称轴为y轴；
②若a，b同号对称轴在y轴左侧；
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
简记为：对称轴，左同右异
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。
当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点；
②c＞0与y轴交于正半轴；