中考模拟数学试题汇编压轴题

1、（2009年北京）25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个机战的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，()0,43C ，延长AC 到点D,使CD=12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E.（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）2、（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OCOB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长26题图yxDBCA EOxyMCDPQOAB度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．4、（2009年河北省）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．5、（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.7、（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分） 问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）图（1）A BCDEFMNACBPQED图16O 60204批发单价（元）5 批发量（kg ）①②第23题图（1）O 62 40 日最高销量（kg ）80零售价（元）第23题图（2） 48 （6，80）（7，40）8、（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】9、（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.金额w （元）O批发量m （kg ）300 20010020 40 60A D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1图2A D EBF C P NM 图3A D EBFCPN M （第25题）（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）10、如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。

圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是　P 1，P 3　；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是　P 2、P 3　；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是　D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是　P1，P2　；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是　P1　；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是　Q 2，Q 4　．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为　(2,0)　；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标　(2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)=　23-2　，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围　1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2　；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1，0 ，C 2，3 两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；(2)设点M 3，m ，求使MN +MD 的值最小时m 的值；(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，求PQ 的最大值．【答案】(1)解：由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1，0 ，C 2，3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3，解得b =2c =3 ，∴抛物线为y =-x 2+2x +3；设直线为y =kx +n 过点A -1，0 ，C 2，3 ，得-k +n =02k +n =3，解得k =1n =1 ，∴直线AC 为y =x +1；(2)解：∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴D 1,4 ，令y =0，则0=-x 2+2x +3，解得x =-1或x =3，即抛物线与x 轴的另一个交点为3，0 ，作直线x =3，作点D 关于直线x =3的对称点D ，得D 坐标为5，4 ，如图，连接ND 交直线x =3于点M ，此时N 、M 、D 三点共线时，NM +MD 最小，即NM +MD 最小，设直线ND 的关系式为：y =ax +b ，把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ，1∴直线NM 的函数关系式为：y =15x +3，当x =3时，y =185，∴m =185；(3)解：如图，∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴设Q x ，x +1 ，则P x ，-x 2+2x +3 ，∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94，∵-1<0，∴PQ 有最大值，最大值为94．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为-1,0 ，且OA =OC =5OB ，抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】(1)解：∵点B 的坐标为-1,0 ，∴OB =1，∵OA =OC =5OB ，∴OA =OC =5，∴点A 5,0 ,C 0,-5 ；把点C0,-5代入得：-5a=-5，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x+1x-5=x2-4x-5；(3)解：∵直线CA过点C0,-5，∴可设其函数表达式为：y=kx-5，将点A5,0代入得：5k-5=0解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x-5，过点P作y轴的平行线交CA于点H，∵OA=OC=5，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，∴PD=PH，∵PD⊥AC，∴PD=22PH，设点P x，x2-4x-5，则点H x,x-5，∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528，∵-22<0，∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为252 8，此时点P52,-354 ．3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)解：∵OB =OC ，点C (0,3)，∴点B (3,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ，将点C (0,3)代入得，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，函数的对称轴为：x =1；(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于直线x =1对称点C (2,3)，则CD =C D ，如图所示，取点A -1,1 ，则A D =AE ，点C 与C 关于x =1对称，则C 2,3 ，∴A C =32+22=13，∴CD +AE =A D +DC ，则当A 、D 、C 三点共线时，CD +AE =A D +DC 最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13；(3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×(y C -y P )：12AE ×(y C -y P )=BE ：AE ，则AE=52或32，即：点E的坐标为32,0或12,0，∵C0,3，设直线CP的表达式：y=kx+3，将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立y=-x2+2x+3y=-2x+3，y=-x2+2x+3y=-6x+3，解得：x=4或x=8(x=0舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？【答案】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3，(2)解：∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C(0,-3)，∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时，∴点D在x轴上，∵四边形CPBD是平行四边形，∴CP∥BD，∴点P和点C为抛物线上的对称点，∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1，C(0,-3)，∴P(2,-3)，故答案为：(2,-3)；(3)解：设点P的坐标为(m,y)，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BP2=(3-m)2+y2，CP2=m2+(m+3)2，∵▱CPBD 是菱形，∴BP =CP ，∴BP 2=CP 2，∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2，9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9，m +y =0，∵y =m 2-2m -3，∴m +m 2-2m -3=0，m 2-m -3=0，m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132，即m 1=1+132，m 2=1-132，∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合)，∴0<m <3，∴m =1+132；(4)解：如图所示，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0,-3)代入得，3k +b =0b =-3 ，解得，k =1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =x -3，设P (m ,m 2-2m -3)，则E (m ,m -3)，∴PE =-m 2+3m ，∴S △PBC =12×3(-m 2+3m )，∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274，∴当m =32时，平行四边形CPBD 的面积有最大值．5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，存在的话，请求出点M 的坐标．不存在的话请说明理由．(3)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式．【答案】(1)解：把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得：16a -4b +4=0a +b +4=0 ，解得a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)在对称轴上存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，理由如下：连接AC 交对称轴于M ，则MB +MC 的和最小，如图：∵MA =MB ，∴MB +MC =MA +MC ，而C ，M ，A 共线，∴此时MB +MC 最小，在y =-x 2-3x +4中，令x =0得y =4，∴C 0,4 ，设直线AC 的表达式为y =rx +s ，由A -4,0 ，C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4，由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32，在y =x +4中，令x =-32得y =52，∴M -32,52；(3)设BP 交y 轴于K ，如图：∵PD⊥x轴，∴∠DPB=∠OKB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OKB=2∠BCO，∴∠CBK=∠BCO，∴BK=CK，设OK=m，则CK=BK=4-m，∵OB2+OK2=BK2，∴12+m2=4-m2，解得m=15 8，∴K0,158，设直线BP的表达式为y=px+q，由B1,0，K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158．6.如图，抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C(B在C左边)，交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．(1)求OD的长．(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结P A，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．①求S关于m的函数表达式．②当∠POC=∠DOC时，求S的值．【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3，∴DM=3，OA=6；∵OM =5，∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4．(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得，0=14x 2-32x解得：x =0(舍去)，x =6∴OA =6，∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以，S 关于m 的表达式为：S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ，∴∠MOC =∠MCO ．∵BC ∥x 轴，∴∠AOC =∠MCO =∠MOC ．∵∠POC =∠DOC ，∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ，∴∠POE =∠DOM ，∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34，∴-y p x P =34∴y P =-34x p ，代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3，∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE +CE 的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．【答案】(1)解：将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3，解得b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)解：∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =-1，∵点A 、B 关于对称轴对称，∴BE =AE ，∴AE +CE =BE +CE ，∴当B 、C 、E 三点共线时，BE +CE 最小，即此时AE +CE 最小，∴BC 与对称轴的交点即为点E ，如下图，设直线BC 解析式为y =mx +n ，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =x +3；当x =-1时，y =x +3=2，∴E -1，2 ；(3)解：∵B -3,0 ,C 0,3 ，∴OB =OC =3，∴BC =32+32=32，当B 为顶点时，则PB =BC =32，∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ；当C为顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为3，0；当BC为底边时，则PC=PB，设点P的坐标为m，0，∴-3-m2=m2+32，解得m=0∴点P的坐标为0，0；综上，点P的坐标为0，0或3，0或32-3,0或-32-3,0．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M(点M在第四象限)，对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=12x2+bx，则点M的坐标为：-b,-1 2 b2，当x=-b时，y=12x2=12b2，即点N-b,12b2，则MN=12b2+12b2=4，解得：b=2(舍去)或b=-2，则平移后的抛物线表达式为：y=12x2-2x；(2)解：四边形OMPN是正方形，根据题意可得O0,0，M2,-2，N2,2，P4,0，记MN与OP交于点G，则G2,0，∴OG=GP=2，MG=NP=2，MN=OP=4，NO=NP=22，∴四边形OMPN是平行四边形，∵MN=OP=4，∴四边形OMPN是矩形，∵NO=NP=22，∴四边形OMPN是正方形；(3)解：设A a ,12a 2 ，B a +2,12a 2-2 ，C 2,12a 2-2 ，可得AB =22，AC =a -2 2+22，BC =a 2，①AB =AC ，22=a -2 2+22，即a 2-4a =0，解得a 1=4，a 1=0(舍去0)，∴A 4,8 ；②AB =BC ，22=a 2，解得a 1=22，a 1=-22，∴A 22,4 或A -22,4 ；③AC =BC ，a -2 2+22=a 2，解得a =2，∴A 2,2 ；综上，点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 ．9.综合与探究如图，抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：令y =0，则12x 2-32x -2=0，解得x =4或x =-1，∴A -1,0 ，B 4,0 ，令x =0，则y =-2，∴C 0,-2 ，设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，将A -1,0 ，D 5,3 的坐标代入得，-k +b =05k +b =3 ，解得：k =12b =12，∴y =12x +12；(2)解：存在，理由如下：设P a ,0 ，则E a ,12a 2-32a -2 ，F a ,12a +12，∵P 线段AB 上的一个动点，∴E 在x 轴下方，∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92，∵-12<0，∴当a =2时，EF 有最大值，最大值为92；(3)解：存在，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142；设M m ,12m 2-32m -2 ，N n ,12n +12，∵B 4,0 ，D 5,3 ，①当平行四边形对角线为BN 和DM 时，则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ，解得：m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时，M 4,0 与B 点重合，不符合题意，舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ；②当平行四边形对角线为BM 和DN 时，则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ，解得：m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ，∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142，综上所述，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142 ．10.如图，已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6，0 、B 两点，顶点为E ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接DE ，求tan ∠CDE 的值；(3)设P 为抛物线上一动点，Q 为直线CD 上一动点，是否存在点P 与点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)解：对于y =34x +3，由x =0，得y =3，∴C 0，3 ，∵抛物线过点A -6，0 、C 0，3 ，-14×-6 2-6b +c =0c =3 ，解得：b =-1c =3 ，∴该抛物线为y =-14x 2-x +3；(2)解：由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2，4 ，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥y 轴于G ，连接EC ，则EF =4，DF =2，EG =2，CG =1，∴DF EF =12=CG EG，∵∠DFE =∠CGE =90°，∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ，EC DE =CG DF=12．∵∠CEG +∠CEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠DEC =90°，∴tan ∠CDE =EC DE =12；(3)设Q m ，34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的上方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m +2，34m +7 ，代入抛物线得：34m +7=-14m +2 2-m +2 +3，解得m 1=-7，m 2=-4(舍去)∴Q -7，-94；②若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的下方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m -2，34m -1 ，同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ，③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P -m -6，-34m +1 代入抛物线得：-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3，解得m 1=-1，m 2=-4(舍去)∴Q -1,94，综上所述，点Q 的坐标为-7，-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 ．11.如图，已知抛物钱经过点A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N ．若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，当m 为何值时，△BNC 的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)解：根据题意，抛物钱与x 轴交于点A (-1，0)，B (3，0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0，3)代入可得：-3a =3，解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3；(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3，0)、C (0，3)代入可得：3k +b =0b =3 ，解得k =-1b =3即y =-x +3，则M (m ,-m +3)，N (m ,-m 2+2m +3)，MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ；(3)由题意可得：S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0，开口向下，∴m =-92-2×32=32时，S △BNC 面积最大，∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278．12.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中A 1,0 ，C 0,3 ．直线y =mx +n 经过B ，C 两点．(1)求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使MA +MC 最小，直接写出点M 的坐标；(3)连接BD ，CD ，求△BCD 的面积．【答案】解:(1)将点A 1,0 ，C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ，得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组，得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时，0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ，解得x 1=-3，x 2=1，∴点B 的坐标为-3,0 ，∵直线y =mx +n 经过B ，C 两点，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 解析式为y =x +3；∴当点M是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值，∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴点D的坐标为-1,4，对称轴为直线x=1，将x=1代入直线y=x+3，得：y=-1+3=2，∴点M的坐标为-1,2；(3)∵点D-1，4，点M-1,2，∴DM=4-2=2，∵点B-3，0，∴BO=3，∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3．13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，①求点P的坐标；②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0，即2a-b=24a+b=1，∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-4；(2)解：令x=0得y=-4，∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ，∴直线BC的解析式为：y=x-4 ∵P的横坐标为t，PM∥y轴，∴P t,12t2-t-4，M t,t-4，∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2，∵-12<0，∴当t=2时，PM有最大值2，此时M2,-2；(3)解：①∵B4,0、C0,-4，∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°，∠MNB=∠COB=90°，∴∠NBM=∠NMB，∴BN=MN，∴S△BMN=12BN2，又∠CMH=∠NMB=45°，∠CHM=90°，∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ，∵BN +CH =OB =4，∴CH =1∴P 1,-92 ；②设Q 0,m ，则CQ 2=4+m 2，CP 2=1+-4+92 2=54，PQ 2=1+m +92 2，(Ⅰ)当∠CQP =90°时，54=4+m 2+1+m +92 2，解得：m =-4(舍去)或m =-92，∴Q 0,-92 ；(Ⅱ)当∠CPQ =90°时，54+1+m +92 2=4+m 2，解得：m =-132， ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得：m =-4(舍去)综上所述，存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形．14.如图，抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ．(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．【答案】解：(1)①把A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=-2 c=-3 ，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．②设P(m，0)，过Q作QH⊥x轴于H，则∠PHQ=90°，∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴PC=PQ，∠CPQ=90°，∴∠OPC+∠HPQ=90°，∠HQP+∠HPQ=90°，∴∠OPC=∠HQP，在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP，∴△POC≌△QHP AAS，∴QH=OP=m，PH=OC=3．当点H在点P的右侧时，OH=m+3，∴Q(m+3，-m)，把Q(m+3，-m)代入y=x2-2x-3，得-m=m+32-2m+3-3，解得m=0或-5，此时，P(0，0)或P(-5，0)．当点H在点P的左侧时，H(m-3，0)，∴Q (m -3，m )，代入y =x 2-2x -3，得m =m -3 2-2m -3 -3，整理，得m 2-9m +12=0，解得m =9±332，此时P 9+332,0 或9-332,0 综上，点P 的坐标为P (0，0)或P (-5，0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ，直线AN 为y =k 1x +m 1，联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ，得ax 2+c -t =0，∴x M +x N =0．联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ，得ax 2+b -k x +c -m =0，∴x A x M =c -m a ．同理，得x A x N =c -m 1a．∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0，∴c -m a +c -m 1a=0，∴c -m =m 1-c ．∵D (0，m 1)，E (0，m )，C (0，c )，∴CD =m 1-c ，CE =c -m ，∴CE =CD ，∴点C 为线段DE 的中点．15.如图，二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ，其中点B 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,2)，过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；(2)连接DB，则△DAB的面积为；(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0)，∴0=-22+c，解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b，解得：k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC：y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2，解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为：(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2)，A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时，∵∠AQB=135°，QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ，则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时，根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2，解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理：:过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ，此时M (0,4)，N (-3,1)综上所述，存在，N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC 于点E．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h (h >0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；(3)M 是(1)中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：由D (2,1)可知，-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1，解得：b =4c =-3 ，∴y =-x 2+4x -3．(2)分别令y =-x 2+4x -3中，x =0，y =0得，B (3，0)，C (0，-3)；设BC 的表达式为：y =kx +n k ≠0 ，将B (3，0)，C (0，-3)代入y =kx +n 得，0=3k +n -3=0+n 解得：k =1n =-3 ；∴BC 的表达式为：y =x -3；抛物线平移后的表达式为：y =-x 2+4x -3-h ，根据题意得，y =-x 2+4x -3-h y =x -3，即x 2-3x +h =0，∵该抛物线与直线BC 始终有交点，∴-3 2-4×1×h ≥0，∴h ≤94，∴h 的最大值为94．(3)存在，理由如下：将x =2代入y =x -3中得E 2，-1 ，①当DE 为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN 是平行四边形，∴DE ∥MN ，DE =MN ，∵DE ∥y 轴，∴MN ∥y 轴，∴设M m，-m2+4m-3，N m，m-3，当-m2+4m-3-m-3=2时，解得：m1=1，m2=2(舍去)，∴N1，-2，当m-3--m2+4m-3=2时，解得：m1=3+172，m2=3-172，∴N3+172，17-3 2或N3-172，-17+32；②当DE为平行四边形的对角线时，设M p，-p2+4p-3，N q，q-3，∵D、E的中点坐标为：(2，0)，∴M、N的中点坐标为：(2，0)，∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ，解得：p1=1 q1=3，p2=2q2=2(舍去)，∴此时点N的坐标为(3，0)；综上分析可知，点N的坐标为：1，-2或3+172，17-32或3-172，-17+32或(3，0)．。

专题01 选择压轴题1．（2021•扬州）如图，点P 是函数11(0k y k x =>，0)x >的图象上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数22(0k y k x=>，0)x >的图象于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >．下列结论：①//CD AB ；②122OCD k k S D -=；③2121()2DCP k k S k D -=，其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①2．（2020•扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数2(()ax y a x b =+、b 为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a 、b 的值满足( )A ．0a >，0b >B ．0a >，0b <C ．0a <，0b >D ．0a <，0b <3．（2019•扬州）若反比例函数2y x=-的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y x m =-+的图象上，则m 的取值范围是( )A．m >B．m <-C．m >或m <-D．m -<<4．（2018•扬州）如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC D 和等腰Rt ADE D ，CD 与BE 、AE 分别交于点P ，M．对于下列结论：①BAE CAD D D ∽；②MP MD MA ME =g g ；③22CB CP CM =g ．其中正确的是( )A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③5．（2017•扬州）如图，已知ABC D 的顶点坐标分别为(0,2)A 、(1,0)B 、(2,1)C ，若二次函数21y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．2b -…B ．2b <-C ．2b -…D ．2b >-6．（2021•宝应县一模）把二次函数2(0)y ax bxc a =++>的图象作关于x 轴的对称变换，所得图象的解析式为2(1)2y a x a =--+，若(1)0m a b c -++…，则m 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．47．（2021•江都区模拟）关于x 的一元二次方程220(x x t t --=为实数）有且只有一个根在23x -<<的范围内，则t 的取值范围是( )A ．38t <…B ．18t -<…C ．38t <…或1t =-D ．13t -<<8．（2021•江都区模拟）如图所示，平行四边形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上，O 为坐标原点，以OA 为斜边构造等腰Rt AOD D ，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，交BC 于点E ，连接DE ．若cos AOC Ð=//DE x 轴，DE =，则k 的值为( )A ．12B ．16C ．18D ．249．（2021•江都区一模）如图，ABCD Y 的顶点B 在y 轴上，横坐标相等的顶点A 、C 分别在1k y x =与2k y x=图象上，则ABCD Y 的面积为( )A ．121()2k k +B ．12k k +C ．121()2k k -D ．12k k -10．（2021•邗江区二模）如图，已知点D 是ABC D 的边AC 的中点，点O 为ABC D 内部上的一点，已知90AOB Ð=°，1OD =，5BC =，则AB 的最小值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．411．（2021•宝应县二模）在平面直角坐标系中，长为3的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动，(0,2)A ，(0,4)B ，连接AC ，BD ，则AC BD +的最小值为( )A ．B ．C ．D ．12．（2021•高邮市模拟）如图，90AOB Ð=°，2OC =，D 为OC 中点，长为1的线段EF （点F 在点E 的下方）在直线OB 上移动，连接DE ，CF ，则DE CF +的最小值为( )A B C ．D ．13．（2021•仪征市二模）已知点(P m 、)n 在直线2y x =-+上，双曲线21(k y k x+=为常数）图象经过点P ，则222202*********m n k -+的值是( )A ．4040B ．2020C ．1-D ．114．（2021•江都区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，120C Ð=°，4AD =，2AB =，点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为( )A ．1B 1-CD ．215．（2020•邗江区校级一模）在平面直角坐标系xOy 中，过点(5,0)A -作垂直于x 轴的直线AB ，直线y x b =+与双曲线4y x=-相交于点1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y ，与直线AB 相交于点3(R x ，3)y ．若123y y y >>时，则b 的取值范围是( )A ．4b >B ．4b >或4b <-C ．2945b -<<-或4b >D ．2945b <<或4b <-16．（2020•吴江区三模）如图，正方形ABCD 中，内部有4个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，则tan (AEH Ð= )A ．13B ．25C ．27D ．1417．（2020•广陵区校级一模）我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：(n p q p =´，q 是正整数，且)p q …，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ´是n 的最佳分解，并规定：()p F n q=．例如：12可以分解成112´，26´或34´，因为1216243->->-，所以34´是12的最佳分解，所以3(12)4F =．如果一个两位正整数t ，10(19t x y x y =+………，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）3(48)4F =；（2）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数m ，总有()1F m =；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，()F t 的最大值为34．( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2020•广陵区二模）两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，其中AB =6CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)a a °<<°，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上（如图3)时，tan a 的值等于( )A B ．12C ．13D 19．（2020•高邮市一模）如图，已知菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(1,0)，顶点B 的坐标为(4,4)，若将菱形ABCD 绕原点O 逆时针旋转45°称为1次变换，则经过2020次变换后点C 的坐标为( )A ．(9,4)B ．(4,9)-C ．(9,4)--D ．(4,9)--20．（2020•广陵区校级一模）如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数(0,0)k y k x x=¹>上，若矩形ABCD 的面积为12，则k 的值为( )A ．12B ．6C ．4D ．321．（2020•江都区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0,3)，点B 坐标(4,0)，将点O 沿直线34y x b =-+对折，点O 恰好落在OAB Ð的平分线上的O ¢处，则b 的值为( )A ．12B ．65C ．98D ．151622．（2020•邗江区校级三模）如图，O e 的半径为3，Rt ABC D 的顶点A 、B 在O e 上，90B Ð=°，点C 在O e 内，且3tan 4A =．当点A 在圆上运动时，OC 的最小值为( )A B ．32C D ．5323．（2020•宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD 的的边长为6，60ABC Ð=°，对角线BD 上有两个动点E 、F （点E 在点F 的左侧），若2EF =，则AE CF +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．824．（2020•江都区三模）如图，OAC D 和BAD D 都是等腰直角三角形，90ACO ADB Ð=Ð=°，反比例函数k y x=在第二象限的图象经过点B ，且228OA AB -=，则k 的值( )A ．4B ．8C ．4-D ．8-25．（2020•宝应县二模）当1x =或3-时，代数式2ax bx c ++与mx n +的值相等，则函数2()y ax b m x c n =+-+-与x 轴的交点为( )A ．(1,0)和(3,0)-B ．(1,0)-C ．(3,0)D ．(1,0)-和(3,0)26．（2020•瑞安市一模）已知二次函数222y x x =-+（其中x 是自变量），当0x a ……时，y 的最大值为2，y 的最小值为1．则a 的值为( )A ．1a =B ．12a <…C ．12a <…D ．12a ……27．（2020•广陵区校级二模）如图，点1P 、2P 在反比例函数6(0)y x x=>的图象上，过点1P 作y 轴的平行线，过点2P 作x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，若点Q 恰好在反比例函数2(0)y x x =>的图象上，则12PQ P Q ×的值为( )A ．3B ．4C ．6D ．828．（2020•仪征市模拟）如果二次函数22y x x t =++与一次函数y x =的图象两个交点的横坐标分别为m 、n ，且1m n <<，则t 的取值范围是( )A ．2t >-B ．2t <-C ．14t >D ．14t <29．（2020•邗江区校级二模）已知抛物线2231(0)y ax ax a a =-++¹图象上有两点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，121x x <<-时，有12y y <；当112x -……时，1y 最小值是6．则a 的值为( )A ．1-B ．5-C ．1或5-D ．1-或5-30．（2020•宝应县三模）已知关于x 的二次函数24y x x m =-+在13x -……的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1。

一、中考数学压轴题1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728CG AG =，求点P 的坐标．2．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．3．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．4．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．5．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径OC ；（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线3,2x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.8．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.（1）求点A 的坐标；（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.9．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．10．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．(1) 依题意补全图形； (2) 求证：EG ⊥AD ；(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+6211．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______．（2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值．问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点, A B 在O 上，点C 在O 内，且3tan 4A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值．12．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．13．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）．（1）计算矩形EFGH 的面积；（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．15．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．16．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度17．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积； （2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．18．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．19．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；（2）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45︒，点A，B，C旋转后的对应点为A'，B'，C'，求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ△为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．20．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝33．（1）求弦AC的长；（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜103），连结PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？21．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的关系式；（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ；②DQ=PQ．22．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ．（2）若⊙O 的半径为5，求CA •CE 的最大值．（3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ，①求y 关于x 的函数解析式； ②若CB BE ＝45，求y 的值． 23．已知，抛物线212y x bx c =++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0． （1）求该抛物线的解析式．（2）如图1，若点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作//PE AC ，交BC 于E ，连接CP ，求PCE ∆面积的最大值．（3）如图2，若直线y x m =+与线段AC 交于点M ，与线段BC 交于点N ，是否存在M ，N ，使得OMN ∆为直角三角形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．24．综合与探究：如图1，抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．①当3DM MF =时，求m 的值；②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．C解析：（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN ⊥BE 于点N ，过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明Rt △PME ≌Rt △ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK ≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=BG=6m ，过点G 作GL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标.【详解】解：（1）22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--，∴顶点C 的坐标为(1,4)a -，点C 的纵坐标为2-，42a ∴-=-，12a ∴=， 21322y x x ∴=--； （2）点P 的横坐标为t ，213(,)22P t t t ∴--， 21322y x x =--与x 轴的交点为(1,0)A -，(3,0)B ， ∴设AP 的直线解析式为y kx b =+，则有201322k b kt b t t -+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩，解得3232t k t b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 3322t t y x --∴=+， //CD y 轴交AP 于点D ，(1,3)D t ∴-，321CD t t ∴=-+=-，1m t ∴=-；（3）如图：设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ， CD 垂直平分AB ，ED AD =，//DH BE ∴，12DH BE =， BE x ∴⊥轴， 2(3)26BE t t ∴=-=-，过点F 作FN BE ⊥于点N ，过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，EF BF =，132EN BN BE t PM ∴===-=， EP FE =，Rt PME Rt ENF(HL)∴∆≅∆，MPE FEN ∴∠=∠，90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=︒，90PEF ∴∠=︒，45EPF EFP ∴∠=∠=︒，过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，90KCG ∴∠=︒，45K KGC ∴∠=∠=︒，CK CG ∴=，90AHC BHC ∠=∠=︒，2AH BH CH ===，45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=︒，90ACB ∴∠=︒，AC CB =，90KCA ACG GCB ∴∠=︒-∠=∠，()ACK BCG SAS ∴∆≅∆，45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=︒，AKBG =，90KGB ∴∠=︒， 令8AG m =，则CG =，CK CG =，90KCG ∠=︒，214KG CG m ∴==， 6BG AK KG AG m ∴==-=，过点G 作GL x ⊥轴于点L ，在Rt ABG ∆中，22104AB AG BG m =+==，25m ∴=， 165AG ∴=， 11861022ABG S m m m GL ∆=⨯⨯=⨯⨯， 4825GL ∴=， 22AL AG GL ∴=-，3925OL AL AO ∴=-=， 39(25G ∴，48)25， AG 的解析式为3322t t y x --=+， ∴483393252252t t --=⨯+， 92t ∴=， 9(2P ∴，33)8．【点睛】本题考查二次函数的综合题．熟练掌握二次函数的图象及性质，通过辅助线构造三角形全等，逐步求出G 点的坐标从而求出t 的值是解题的关键．2．B解析：（1）12；（2）533）202【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =， 42AB =，2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=， 11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,22OM QH MQ OH ∴====， 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.3．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477-或727-．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t，AP=7－t∴PN=PQ=2t∵4 tan3A=∴43NPAP=，即2473tt=-解得：t=14 5（2）①如图2，图2四边形PQMN是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -= 解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3，图3 90BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒， 则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G 图4 ∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABCS==∴128 2ABCS=情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E 图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN 是正方形，∴∠EQH=45° ∴△FHQ 是等腰直角三角形 ∵4tan 3A =∴设FH=4y ，则AH=3y ，HQ=FH=4y ，∴AQ=7y∴174282AFQSy y ==，解得：∵AQ=AB －QB=14－(7－t)=7+t∴解得：7∴综上得：t 的值为7或7． 【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．4．A解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②23m ≤；（2）最小值为2． 【解析】 【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可；②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(2W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，2(3W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）． 【详解】解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5， 又∵2≤a ≤3， ∴A ，C 是特征点，故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ； ②如图1，∵2≤a ≤3，∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，设切点为M ，此时2OP =，1MW MP ⊥，145MPW ∠=︒，则1MPW 为等腰直角三角形， ∵⊙W 1半径为1，即11MW =，∴12PW =1122OW OP PW =-=- ∴1(22,0)W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，设切点为N ，此时3OQ =，2NW NQ ⊥，245NQW ∠=︒，则2NQW 为等腰直角三角形， 同理得：22QW =，则2232OW OQ QW =+=+， ∴2(32,0)W +，观察图象可知满足条件的m 取值范围为：2232m ≤ （2）根据0x >，在第一象限画出1y x=的图象， ∴在此坐标系中图象上的点就是1x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，∵特征点满足x y a +=（x ≥0，a 为常数）， ∴在此图象上对应的就是1x a x+=， ∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数1y x =的图象第一次有交点时，1x x+出现最小值， 如图2，由x >0可将1x a x+=整理得：210x ax -+=， ∴2()40a ∆=--=，解得：12a =，22a =-（舍去），∴2a =， ∴12Z x x =+=，即()10Z x x x=+>的最小值为2．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．5．D解析：（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴13 OE OCOC OF==，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝13 OEOC=，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝8，∴CE＝4，∵CE⊥AD，∴OE 2+CE 2＝OC 2， ∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去）， ∴OC ＝3x ＝32， ∴⊙O 的半径OC 为32； （3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ； ∵点F 是OC 的中点， ∴AO ：OF=BD ：DM=2， 又∵BD=DC ， ∴DM=CM ， ∴FM 为中位线， ∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯= ∴S △AOF =3424=32 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.6．B解析：（1）213222y x x =-++；（2）3(,0)2；（3）存在；(0,2)N 或(3,2)N 或(2,3)--N 或(5,18)--N【解析】 【分析】（1）由直线122y x =-+可得B 、C 两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A 点坐标，可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将C 点坐标代入可求得a ，即可得抛物线的解析式；（2）根据绝对值的性质得出BM CM -的值最小时，点M 为BC 的垂直平分线与直线32x =的交点，求得BC 垂直平分线的解析式，联立直线32x =即可求得点M ； （3）分四种情况进行讨论，设出N 的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N 的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】 解：∵直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴当y =0时，即1022x =-+，解得：x =4，则点B 的坐标为(4,0)， 当x =0时，10222=-⨯+=y ，则点C 的坐标为(0,2)， 由二次函数的对称性可知：点A 与点B 关于直线32x =对称， ∴点A 的坐标为(1,0)-，∵抛物线与x 轴的交点为点(1,0),(4,0)A B -， ∴可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-， 又∵抛物线过点(0,2)C ， ∴2(01)(04)a =+-，解得：12a =-， ∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++； （2）如图1，连结CM 、BM ，作线段BC 的垂直平分线l 分别交BC 、直线32x =于点'、N M ，则N 为BC 中点；由绝对值的性质可得：0≥-BM CM ，∴当BM CM -的值最小时，即0=-BM CM ，则此时CM BM =， ∴点M 为l 与直线32x =的交点，此时M 与'M 重合， 设l 的解析式为：y kx b =+， ∵直线BC 的解析式为：122y x =-+，BC l ⊥ ∴112-⋅=-k ，解得：2k =，则l 的解析式可化为：2y x b =+， 由(4,0),(0,2)B C 得点N 的坐标为(2,1)，将(2,1)N 代入2y x b =+得： 14b =+，解得：3b =-，∴23y x =-， 将32x =代入23y x =-，得323=02=⨯-y ，即3'(,0)2M ， ∴当BM CM -的值最小时，点M 的坐标为3(,0)2，（3）抛物线上存在点N ，使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似； ∵(1,0),(4,0),(0,2)-A B C∴1,4==OA OB ，2OC =，5AB =，∴2222125=+=+=AC OA OC 22224225BC OB OC =+=+=， ∵22252025+=+==AC BC AB ， ∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒， ∵NH x ⊥轴，∴90∠=︒NHB ，则90∠=∠=︒NHB ACB ，如图2所示，分四种情况，点N 的坐标分别为1234、、、N N N N ，设点N 的坐标为(,)m n ，①当点1N 在x 轴的上方，要使11N BH ABC ，则11∠=∠N BH ABC ，则此时点1N 与点C 重合，则此时点1H 与点O 重合， 则11≅N BH ABC ，满足题意， ∴此时点1N 的坐标为(0,2)； ②当点2N 在x 轴的上方，要使22BN H ABC ，则2222==N H BCBH AC， ∴24=-nm，即28n m =-+，代入抛物线的解析式得： 21328222mm m ，化简得：27120m m ，解得：13m =，24m =（不符合题意，故舍去）， 将3m =代入抛物线解析式得：2n =， ∴此时点2N 的坐标为(3,2)； ③当点3N 在x 轴的下方，要使33N BH ABC ，则3332==BH BCN H AC， ∴42-=-m n ，即42-=m n ，代入抛物线的解析式得： 24132222m m m ，化简得：2280m m --=，解得：12m =-，24m =（不符合题意，故舍去）， 将2m =-代入抛物线解析式得：3n =-，∴此时点3N 的坐标为(2,3)--； ④当点4N 在x 轴的下方，要使44BN H ABC ，则4442==N H BCBH AC， ∴24-=-nm，即28=-n m ，代入抛物线的解析式得： 21328222m m m ，化简得：2200m m，解得：15m =-，24m =（不符合题意，故舍去）， 将5m =-代入抛物线解析式得：18n =-， ∴此时点4N 的坐标为(5,18)--；综上所述，抛物线存在点N 的坐标为(0,2)或(3,2)或(2,3)--或(5,18)--使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键．7．H解析：（1）3；（2）最短距离为：21，H(914，13314)，I(275，235) 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质，得到A 、B 、C 、O 四点坐标，然后根据平移得到对应点坐标，故可求得C E '和C F '的长，令它们相等可得m 的值；（2）点G 作以C A '为对称轴的点G '，交C F '于点G '，点J 作以O B ''为对称轴的点J '，交A B ''于点J '，G J ''与C A '、A B ''的交点便是点H 、I ；先利用对称的性质，求解得出点G '、J '的坐标，然后利用代入系数法求得线段对应函数解析式，最后联立方程得到点H 、I 的坐标. 【详解】（1）如下图，CB 与y 轴交于点M ，过点C 作x 轴的垂线，交x 轴于点N∵在菱形ABCO 中，∠C=60°，菱形边长为4 ∴在Rt △COM 中，CM=2，3∴O(0，0)，A(4，0)，B(2，3，C(－2，3∵将菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移() 03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C∴O '(4，－m)，A '(8，－m)，B '(6，23m －)，C '(2，23m －) ∴直线AB 的解析式为：y=343x -+∵点E 的纵坐标为：23m －，代入解析式得：x=32m + ∴E(32m +，23m －) 同理，F(34m -，0) ∵四边形AE C F '是菱形 ∴E F C C '=' E 33C m '=∵C '(2，23m －)，F(343m -，0) ∴NF=32m -，∴23F 4C m =-' ∴3234m m =- 解得：m=3（2）如下图，点G 作以C A '为对称轴的点G '，交C F '于点G '，过点C '作x 轴的垂线，交过点G '作y 轴的垂线于点K ，同样作点J '和点Q3C '(23)，E(33 ∵点G 是C E '的中点，∴12C G '=∴12C G ''=，∴14G K '=，4C K '=∴G '(94，) 同理，J 32B J B '''==∴34J Q '=，QB '=∴J '(274，∴G J ==''根据点A 、C '可得直线A C '的解析式为：y x =+根据点O '、B '可得直线O B ''的解析式为：y =-根据点G '、J '可得直线G J ''的解析式为：9y x =联立G J ''和A C '得：x=914，，∴H(914)联立G J ''和O B ''得：x=275，275) 【点睛】本题考查了菱形的性质、一次函数与平面直角坐标系，在第（2）问中，解题关键是利用对称找出最短距离对应的点.8．A解析：（1）A （4，0）；（2）2144S t =-；（3）(4,8)E - 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出42t CN NE NA +===，AC=4+t ，根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可．（3）过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）求出点F 的坐标为(1,3)44t t-+，从而得到1144t t OM =-=-，34tFM =+，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，得出∠FOB=∠BDA ，进而得出∠MFO=∠ODA ，tan ∠MFO =tan ∠ODA ，故而OA OMOD MF=， 即14434t t t -=+，解出t 的值，再求点E 的坐标即可. 【详解】（1）由题意可得：211•••822AOB S OA OB OA ==＝，∴OA 2=16， ∵OA ＞0， ∴OA=OB=4，∴A （4，0），B （0，4）．（2）如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ．∵∠AOB=90°，OA=OB ， ∴∠OAB=45°， ∵AB ⊥CD ， ∴∠CEA=90°， ∴∠ECA=45°，∴△CEA 是等腰直角三角形， ∵∠ECA=45°，∠COD=90°， ∴∠CDO=45°，∴△CDO 是等腰直角三角形. ∵点D 纵坐标为t ， ∴CO=DO=t. ∵OA=OB=4, ∴AC=t+4.∴42t CN NE NA +===，∴()()2141144442224AECABCt S SSt t t +⎛⎫=-=⨯+⨯-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭； ∴S 与t 的函数关系是：2144S t =-. （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）可知，42t CN NE +==， ∴22tON OC CN =-=-， ∴点E 的坐标为(2,2)22t t-+， ∵点B （0,4），点F 为BE 中点， ∴点F 的坐标为(1,3)44t t-+， ∴1144t t OM =-=-，34tFM =+， ∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°， ∴∠FOB=∠BDA ， ∴OF ∥AD ， ∵FM ⊥AC ， ∴FM ∥DO ， ∴∠MFO=∠ODA ， ∴tan ∠MFO =tan ∠ODA ， ∴OA OM OD MF=， 即14434t t t -=+，解得t=12或4=-4（不合题意，舍去） ∴点E 的坐标为(4,8)-.【点睛】本题考查三角形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识，利用参数构建方程解决问题．9．B解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1a ）；（3）≤a ≤13-或13≤a 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围. 【详解】解：（1）在抛物线21y ax a=-中， 002a-=， ∴对称轴为直线x=0，即y 轴； （2）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴A （0，1a-）， ∵点A 关于x 轴的对称点为点B ，∴B （0，1a）； （3）当a ＞0时，点A （0，1a-）在y 轴负半轴上， 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a-=，解得：a =（舍），当点Q 恰好在抛物线上时，代入得：190a a-=， 解得：13a =或13-（舍），∴当13≤a 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；当a ＜0时，点A （0，1a-）在y 轴正半轴上， 同理可知：当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a -=， 解得：2a =（舍）或2-，当点Q 恰好在抛物线上时，代入得：190a a-=， 解得：13a =（舍）或13-，∴当2-≤a ≤13-时，抛物线与线段PQ 只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，a 的取值范围是2-≤a ≤13-或13≤a 2. 【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．10．E解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）()()11a b ++<9+62.【解析】【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到AHE ≌ADC (AAS),依据全等的性质及等量代换可得BH FH =，结合依据相似的判定与性质，得到AB AG =，再依据SAS 可证明GAE ≌BAC ，依据全等的性质得到90AGE ABC ∠=∠=︒，即EG ⊥AD ；（3）依据勾股定理求出GB ，依据平行线分线段成比例可分别证MAG △∽MCB △，BAG ∽BHF ，NBC ∽NFE ，依据相似三角形的性质得到MG GB 、、42a MB ==、BF、122b NF BF ===，即可求出()()11a b ++=()()42121++=9+52<9+62.【详解】解：（1）补全图形如下：（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，设AD n =，CD m =，∵//AE DF ,AE DF =,∴四边形AEFD 是平行四边形， ∴//AD EF ，AD EF n ==， ∴ABG ∽HBF ,∴AB AGBH FH =， ∵矩形ABCD ，∴//AD BC ，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=︒， ∴//BC EF ,∴90AHF ABC ∠=∠=︒, ∴18090AHE AHF ∠=︒-∠=︒， ∴AHE ADC ∠=∠, ∵90EAC BAD ∠=︒=∠,∴EAC BAC BAD BAC ∠-∠=∠-∠，即EAH CAD ∠=∠, 又∵AE AC =， ∴AHE ≌ADC (AAS),∴EH CD m ==,AH AD n ==， ∴BH n m FH =-=,又∵AB AGBH FH =， ∴AB AG =，又∵90BAC CAD GAE ∠=︒-∠=∠，AC AE =， ∴GAE ≌BAC （SAS ）， ∴90AGE ABC ∠=∠=︒， ∴EG ⊥AD ；(3) 当AB =2，BC =4，MB =a ，NF =b 时，()()11a b ++<9+62，理由如下：2AG AB ==,2222GB AG AB +=4EF AD BC ===,4AH AD ==,2BH AH AB =-=, ∵//AD BC ，∴MAG △∽MCB △， ∴MG AG MB BC ==2142=,∴MG GB ==a MB == ∵//AD EF ， ∴BAG ∽BHF ， ∴GB AB BF HB ==212=,∴BF GB == ∵//BC EFNBC ∽NFE ， ∴1BN BCNF EF==,∴12b NF BF ===,()()11a b ++=()11<【点睛】本题考查了矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形，灵活运用相似三角形的性质求各条线段的长度.11．A解析：（1）512；（2）；（3）3 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理算出AC ，再根据正切的定义可得结果；（2）根据题意得出当C B E 、、三点共线，且E 在CB 的延长线上时，线段CE 取得最大值，即此时CF 最大；（3）作DCB 的外接圆O '，连接OO '，设OO '交劣弧DB 于点E ，则OODB ，可得当点C 与点E 重合时，线段OC 取得最小值，延长BC 交圆O 于点F ，连接AF ，证明CDB CBD ∠=∠得出AFBD ，从而可得FC AC ，根据3tan 4A =，在△ABF 中，利用勾股定理列出方程，解得AC 2，在△AOC 中，求出OC 即可. 【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，13AB =，5BC =，∴12=,∴tanA=512BC AC =； （2）2BE =，点B 为定点，∴点E 在以B 为圆心，BE 长为半径的圆上运动.。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题27选择压轴题（几何篇）一．选择题（共40小题）1．（2023•朝阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，将OB绕着点O逆时针旋转40°得到OC，P是⊙O 上一点，且与点C在AB的异侧，连结P A、PC、AC，若P A＝PC，则∠P AB的大小是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2023•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，且∠COA＝45°，OA ＝4，则点B的坐标为（）A．(4+2√2，2√2)B．(2√2，2√2)C．(2+2√2，2）D．(√2，2)3．（2023•奉贤区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1＜r≤√3C．1＜r≤2D．√3＜r≤24．（2023•广灵县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，点O，D，E是AB边上的点，以点O为圆心，DE长为直径的半圆O与AC相切于点M，与BC相切于点N，则图中阴影部分的面积为（）A ．5B ．9﹣2πC ．9﹣πD ．5﹣π5．（2023•普陀区二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AO ＝2，下面结论中不一定正确的是（ ）A ．∠BOC ＝120°B ．∠BAO ＝30°C ．OB ＝3D ．点O 到直线BC 的距离是16．（2023•瓯海区模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连结DH 并延长交AB 于点K ，若DF 平分∠CDK ，则DH HK =（ ）A ．2√33B ．65C ．√5−1D ．4√577．（2023•花溪区模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE ＝1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD ＝6m ），踏板离地的垂直高度CF ＝4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m8．（2023•承德一模）如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD （AC ＞BD ）相交于点O ，E 、F 分别为OA 和OC 上的点（不与点A 、O 、C 重合）．其中AE ＝OF ．过点E 作GH ⊥AC ，分别交AD 、AB 于点G 、H ；过点F 作IJ ⊥AC 分别交CD 、CB 于点J 、I ；连接GJ 、HI ，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE 长度的变化，GH +IJ ＝BD 始终成立．乙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 可能为正方形．丙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 的面积始终不变，都是菱形ABCD 面积的一半．下列选项正确的是（ ）A ．甲、乙、丙都对B ．甲、乙对，丙不对C ．甲、丙对，乙不对D ．甲不对，乙、丙对 9．（2023•石家庄二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是OB 与OD 的中点，依连接点A ，E ，C ，F ，A ，当四边形AECF 是矩形时，与线段BE 相等的线段有（ ）A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条10．（2023•青山区二模）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是BC 边上一点，F 是BD 上一点，连接DE ，EF ．若△DEF 与△DEC 关于直线DE 对称，则OF 的长为（ ）A ．√22B ．2√2−2C ．2−√2D ．√2−111．（2023•柳城县一模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则BF BE 的值为（ ）A ．1+√22B ．√22C ．2+√24D ．2+√2212．（2023•泉州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABC 沿BC 的方向平移至△A 'B 'C '，使得A ′E ＝A ′F ，其中E 是A ′B ′与AC 的交点，F 是A ′C ′与CD 的交点，则CC ′的长为（ ）A ．52−√52B ．112−√5C ．5−√5D ．92−√5 13．（2023•定远县二模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．214．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，点E 在AD 上，点F 在BC 上，且AE ＝CF ，连结CE ，DF ，则CE +DF 的最小值为（ ）A ．26B ．25C ．24D ．2215．（2023•郯城县一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．4.8B ．5C ．2.4D ．416．（2023•白云区一模）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则下列结论错误的是（ ）A ．FD =√2MNB ．△DEF 是等腰直角三角形C ．BN ＝1D ．tan ∠FBE =√317．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为直角三角形，∠CED ＝90°，OE =3√2，若CE •DE ＝6，则正方形的面积为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．2618．（2023•杭州一模）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且B 点D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．815C ．12D ．81719．（2023•高明区二模）矩形ABCD 和直角三角形EFG 的位置如图所示，点A 在EG 上，点D 在EF 上，若∠2＝55°，则∠1等于（ ）A．155°B．135°C．125°D．105°20．（2023•余姚市一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为C1，深色阴影部分的周长为C2，若要求出C1﹣C2的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（）A．①②B．②③C．①③D．②④21．（2023•衡水二模）如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，点M是对角线BD上一点，连接PM 并延长交BA的延长线于点Q，交AD于点G，取PQ的中点N．连接AN．若AQ＝PC，有下面两个结论：①DM＝DG，②AN⊥BD，则这两个结论中，正确的是（）A．①对B．②对C．①②都对D．①②都不对22．（2023•新乡二模）如图，在矩形ABCD中，点B（0，4），点C（2，0），BC＝2CD，先将矩形ABCD 沿y轴向下平移至点B与点O重合，再将平移后的矩形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到矩形EOMN，则点D的对应点N的坐标为（）A．（3，3）B．（4，4）C．（3，4）D．（4，3）23．（2023•荆门一模）如图，菱形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H，若EH＝2EF，则下列结论错误的是（）A．EH⊥EF B．EH＝AC C．∠B＝60°D．AB=√5EF24．（2023•中原区校级二模）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，2+√2）D．（1，3）25．（2023•中原区模拟）如图，▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA 的延长线于点E，已知∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，则点E的坐标为（）A．（﹣2，﹣，2√3）B．（﹣3，3√3）C．（−72，72√3）D．（−52√3，52）26．（2023•武邑县二模）如图，N是正六边形ABCDEF对角线CF上一点，延长FE，CD相交于点M，若S△ABN＝2，则S五边形ABCMF＝（）A．10B．12C．14D．1627．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（）A．1：2：3B．2：2：4C．1：2：4D．2：3：528．（2023•罗湖区二模）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，DB=13AD，连接AC，若AB＝8，则AC的长度为（）A．2√3B．2√5C．4√3D．4√529．（2023•杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（）A．(45−12α)°B．12α°C．2α°D．(45+12α)°30．（2023•西宁一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB所在直线折叠扇形纸片，圆心D恰好落在AB̂上的点C处，则阴影部分的面积是（）A．3π−9√32B．3π−3√32C．2π−3√32D．2π−9√3231．（2023•太原一模）如图，在扇形纸片OAB 中，∠AOB ＝105°，OA ＝6、点C 是半径OA 上的点、沿直线BC 折叠△OBC 得到△DBC ，点O 的对应点D 落在AB̂上，图中阴影部分的面积为（ ）A ．9π−92B ．9π−182C ．9π﹣18D ．12π﹣1832．（2023•西山区校级模拟）如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB 为6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．18π−27√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．18π−18√333．（2023•莆田模拟）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，点C 在AB̂上，连接AC ，BC ，过点B 作BD ⊥AC 的延长线于点D ，当点C 从点A 运动到点B 的过程中，∠CBD 的度数（ ）A ．先增大后减小B ．先减小后增大C ．保持不变D ．一直减小 34．（2023•蚌埠二模）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O 中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O 重合，且AB ＝BC ，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）A ．3√38πB ．√32πC ．√3πD ．2√39π35．（2023•鄞州区校级模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，将弧BC 沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于D ．若BC ＝4√5，sin ∠ABC =√55，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．256πB ．253πC ．8D ．1036．（2023•九龙坡区模拟）如图，在⊙O 中，AB 是圆的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接AC 交⊙O 于点D ，点E 为弧AD 中点，连接AE ，若AE ＝AO ，AB ＝6，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3√32C ．√3D ．3√337．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC 的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．2πB ．2π−√3C ．23πD ．2π+√338．（2023•虹口区二模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，BC ＝12．分别以点O 、D 为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ）A ．12＜r ＜4B ．52＜r ＜6C ．9＜r ＜252D ．9＜r ＜1339．（2023•苏州一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A 为立交桥入口，D 、G 为出口，其中直行道为AB 、CD 、FG ，且AB ＝CD ＝FG ；弯道是以点O 为圆心的一段弧，且BC 、CE 、EF 所在的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以16m /s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x （s ）的对应关系如右图所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A ．该段立交桥总长为672mB ．从G 口出比从D 口出多行驶192mC ．甲车在立交桥上共行驶22sD ．甲车从G 口出，乙车从D 口出40．（2023•滨城区一模）如图，点A ，B 是半径为2的⊙O 上的两点，且AB =2√3，则下列说法正确的是（ ）A ．圆心O 到AB 的距离为√3B ．在圆上取异于A ，B 的一点C ，则△ABC 面积的最大值为3√3C ．以AB 为边向上作正方形，与⊙O 的公共部分的面积为3+√34πD ．取AB 的中点C ，当AB 绕点O 旋转一周时，点C 运动的路线长为3π。

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。

一、解答题1．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2m （m ＞2），P 为CD 中点，以P 为圆心，CP 为半径作半圆P ，交线段AC 于点E ，交线段AD 于点F ．（1）当E 为CA 中点时，①求证：E 是弧CF 的中点．②求此时m 的值．（2）连结PF ，若PF 平行△ABC 的某一边时求出满足条件的m 值．（3）连结PE ，将PE 绕着点E 顺时针旋转90°得到EP '，连结AP '，当AP '⊥AC 时，求此时CE 的长．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠D ＝120°，AB ＝8，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥DC ，交AC 于点Q ．（1）当t ＝2时，求线段NQ 的长；（2）设△AMQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围；（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得△AMQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标； （3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA =1，OB =OC =3．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 为第一象限抛物线上一动点，连接DC ，DB ，BC ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，点P (0，n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合)，连接PB ，将线段PB 以点P 为中心，旋转90°得到线段PQ ，是否存在n 的值，使点Q 落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n 的值，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBOC 的面积最大．求出点P 的坐标．（2）点M 为抛物线上一动点，x 轴上是否存在一点Q ，使点B 、C 、M 、Q 的顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线经过()30A -,，()1,0B ，52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点F ，使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形，如果存在，求出点F 的坐标，若不存在请说明理由（3）设∠CEH=α，∠EAH =β，当αβ>时，直接写出k 的取值范围7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB 相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒10个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．11．在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当1,0,3,0a b c d=-===时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．(1)已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为___；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为___．(2)图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．(3)图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标0d>，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C 恰好落在直线y x t=+上，直接写出t的取值范围．12．已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－23x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC＝2S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规．．．．．作图找到点P的位置； (保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)②求点P的坐标．13．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，013MN2=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．14．△ABC为等边三角形，AB=4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．(1)如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．(2)如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．15．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC∠=︒，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12BC=，将ABD△沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点P作PM x⊥轴，垂足为I，交圆N于点M，点P在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣34x2＋bx＋c经过点A和点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点D （﹣2，﹣1）在直线BC 上，点E 为y 轴右侧抛物线上一点，连接BE 、AE ，DE ，若S △BDE ＝4S △ABE ，求E 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，P 为射线DB 上一点，作PQ ⊥直线DE 于点Q ，连接AP ，AQ ，PQ ，若△APQ 为直角三角形，请直接写出P 点坐标．18．如图1，点A ，点B 的坐标分别（a ，0），（0，b ），且b ＝+4，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BC ．(1)直接写出a ＝ ，b ＝ ，点C 的坐标为 ；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求2+ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值．19．如图1，已知抛物线)(3343y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，(1)写出A 、B 、C 三点的坐标．(2)若点P 为OBC 内一点，求OP BP CP ++的最小值．(3)如图2，点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点，点()4,0D ，直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E 、F 两点，当CEF △为等腰三角形时，请直接写出CE 的长．20．已知等边△ABC ，M 在边BC 上，MN ⊥AC 于N ，交AB 于点P ．（1）求证：BP ＝BM ；（2）若MC ＝2BM ，求证：MP ＝MN ．（3）若E ，F 分别在AB 、AC 上，且△MEF 为等边三角形，当MEF ABC S S ∆∆的值最小时，BM BC＝ ．【参考答案】**科目模拟测试 一、解答题 1．（1）①见解析；②5m =；（2）m 的值为25或6；（3）25CE =【解析】【分析】（1）①连接DE ，证明ADC ∆是等腰三角形，根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠，证得EC EF =，从而可得结论；②根据勾股定理得到AC 45=，由E 为AC 中点得EC 25=，再证明DEC CBA ，由相似三角形的性质列出比例式，求出m 的值即可；（2）分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可； （3）设CE =x ，作PG ⊥AC ，则2x GE =，45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=，再证明AP EBAC '，列比例式求出x 的值即可．【详解】解：（1）如图，连接DE∵CD 是圆P 的直径，∴∠DEC =90°，即DE ⊥AC∵E 为CA 中点∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点；②在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ，90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB∠=︒，即90DCE BCA∠+∠=︒∵90CDE DCE∠+∠=︒∴CDE BCA∠=∠又90B DEC∠=∠=︒∴DEC CBA∆∆∽∴CE DCAB AC=，即252=445m解得，5m=；（2）分两种情况：①当PF//AC时，如图，则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=，即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时，如图，过点A作AH⊥DC，垂足为H，则四边形AHCB是矩形，∴AH//BC，HC=AB=4，AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH，即248m-=解得，6m=综上，m的值为256；（3）过点P 作PG AC ⊥于点G ，如图，∵PE =PC ∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠ ∵90PEP '∠=︒∴90P EA PEG '∠+∠=︒又90PEG GPE ∠+∠=︒∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒，PE P E '=∴P AE EPG '∆≅∆∴AP GE '=设CE x =，则45,2x AE x GE AP '=== ∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒∴GPC BCA ∠=∠∴EPG BCP ∠=∠∴P EA BCA '∠=∠又90P AE B '∠=∠=︒∴AP E BAC '∆∆ ∴AP AB AE BC '=42825x = ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键．2．（143；（2）S =()()22330434348t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩＜；（3）存在，当t =247s 或（32-163）s或163s时，△AMQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；（3）分三种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，∵在△ACD中，AD=DC，∴∠DCA=1801202︒-︒=30°，在直角△CNQ中，NQ=CN•tan30°=4×33=433；（2）由题意得，AM=t，当0≤t≤4时，CN=2t，∵∠D=120°，AB=CD=8，∴∠DCA=30°，连接BD，与AC相交于点定O，过点Q作QG⊥AB于点G，∴OC=CD•cos30︒3AC3∴在Rt△CNQ中，NQ23t，CQ43t，∴AQ=AC-CQ343，QG=12AQ，∴S=12AM• QG =233t+，当4＜t≤8时，延长QN，交AB于G，交CD延长线于H，如图：ND =2t -8，∠HDN =60°，∴HD =12ND =t -4， ∴CH =t -4+8=t +4，∴CQ =23cos303CH =︒(t +4)， ∴AQ =AC -CQ =83-233(t +4)，QG =12AQ ， S =12•AM • QG 234363t t =-+． 综上，S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜； （3）①当0＜t ≤4时，只有MA =MQ 符合条件，过点M 作ME ⊥AC 于点E ，则AE =EQ =AM •cos30︒=32t ， ∴AQ =3t ，由（2）知AQ 343， 3433， 解得t =247； ②当4＜t ≤8时，由（2）知AQ 323t +4)，AQ =AM 时，)4t +=t ，解得tAQ =MQ 时，AM ，t )4t ⎤+⎥⎦， 解得t =163．综上所述，当t =247s 或（s 或163s 时，△AMQ 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．3．（1）245y x x =-++；（2）1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -【解析】【分析】（1）直接将(0,5)A ，(5,0)B 代入2y x bx c =-++，求解即可；（2）先求出AB 的解析式，设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+，用t 表示出PD ，最后利用245AOE APCD S S ∆=四边形求出结果； （3）分三种情况讨论解答：①当EM 为平行四边形的对角线时；②当EP 为对角线时；③当EQ 为对角线时．【详解】（1）将点(0,5)A ，(5,0)B 分别代入2y x bx c =-++得25505b c c -++=⎧⎨=⎩， 45b c =⎧∴⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；（2）//AC x 轴，点()0,5A ，∴当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，()4,5C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将(0,5)A ，(5,0)B 分别代入得505n m n =⎧⎨=+⎩， 解得：1m =-，5n =∴直线AB 的解析式为5y x =-+；设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+()2245(5)5PD t t t t t ∴=-++--+=-+，4AC =，()22114521022APCD S AC PD t t t t ∴=⨯=⨯⨯-+=-+四边形 函数245y x x =-++，当0y =时，有2450x x -++=，11x ∴=-，25x =，(1,0)E ∴-，1OE ∴=，又5OA =，11515222AOE S OE OA ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 245AOE APCD S S ∆=四边形， 22452101252t t ∴-+=⨯=， 解得：12t =，23t =，∴点1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）∵2(2)9y x =--+，∴当x =2时，y =-2+5=3，∴M (2,3),设P (m ，2(2)9m --+，(,5)Q n n -+，而E (-1，0)，①当EM 为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：21222(2)950322m n m n +-+⎧=⎪⎪⎨--+-++⎪=⎪⎩， 解得121261,52m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (舍)， ∴点Q 的坐标为（-5,10）；②当EP 为对角线时，212220(2)93522m m m n -++⎧=⎪⎪⎨--+-+⎪=⎪⎩，解得121223,10m m n n ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， ∴点Q 的坐标为（-1,6）或（0,5）；③当EQ 为对角线时，21222053(2)922n m n m -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩， 解得121261,92m m n n ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）， 点Q 的坐标为（9,-4），综上所得：1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -．【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）278；（3）存在，n =1或n 3+33- 【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；（2）作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式，根据二次函数的性质求解即可；（3）过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N ，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0，3)代入得，1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx ＋b ，代入(3，0)，(0，3)得k =－1，b =3，∴y =－x ＋3∵点D 的横坐标为m ，则DF =223m m -++，EF =－m ＋3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+ ∵302-<，∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒，190Q PM BPO ∠+∠=︒，∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =，∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==，3MP OB ==，∴1()3Q n n +，代入抛物线，得2323n n n +=-++解得11n =，20n =(舍去)同理，2PN Q PBO ≌，∴2Q (－n ，n －3)代入抛物线，得2323n n n =-+－－ 解得13+33n -=2333n --=舍去) 综上，存在n 的值，n =1或n 3+33-【点睛】 此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．5．（1）315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3 ()720，，Q 4)720，． 【解析】【分析】（1）分别求出点B 、C 的坐标，连接PB ，PC ，PO ，设点P 坐标为()2,23m m m --+，四边形PBOC 的面积为S ，根据=BOP COP S S S +△△得到S 关于m 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；（2）分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论，分别求出点M 的坐标，根据平行四边形的性质即可求出点Q 的坐标． 【详解】解：（1）把0x =代入223y x x =--+得y =3， ∴点C 坐标为（0,3）；把y =0代入223y x x =--+得2x 2x 30--+=， 解得123,1x x =-=， ∵点B 在x 轴负半轴上， ∴点B 坐标为（-3,0）； 如图1，连接PB ，PC ，PO ，∵点P 在第二象限抛物线223y x x =--+上，∴设点P 坐标为()2,23m m m --+（-3＜m ＜0），设四边形PBOC 的面积为S ， ∴=BOP COP S S S +△△2211232m m OB O m C =--++ ()()2332223m m m +=+--- 2399222m m =--+， ∵302-＜，∴当322b m a =-=-时，S 有最大值， 此时，215234m m --+=， ∴当点P 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，四边形PBOC 的面积最大；（2）存在，如图2，分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论． ①当点M 在x 轴上方时，点M 与点C 纵坐标相等，∴2233x x --+=， 解得122,0x x =-=， ∴CM 1=2，∵四边形BQCM 1是平行四边形， ∴CM =BQ =2，∴满足条件的点Q 有两个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0）； ②当点M 在x 轴下方时，点M 与点C 纵坐标互为相反数， ∴2233x x --+=-， 解得1271,71x x =--=-，∴点M 2坐标为()713---，，点M 3坐标为()713--，，由平行四边形的性质得点B 向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点M 2向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 3，点M 3向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 4，∴Q 3的坐标为()720-+，，Q 4的坐标为()720+，；综上所述，满足条件的点Q 的坐标有四个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3()720-+，，Q 4()720+，．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解决第（1）步，关键是理解函数图象上点的坐标特点，将四边形分割为两个三角形，分别表示出三角形面积，得到函数解析式，并利用二次函数性质求解；解决第（2）步关键是理解平行四边形的性质，利用分类讨论思想求解，注意要充分考虑各种情况，不要漏解．6．（1）y ＝12x 2＋x −32；（2）（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）−12＜k ＜56且k≠0或56＜k＜43【解析】【分析】（1）把A（−3，0），B（1，0），52,2C⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，分两种情况：①若AB为平行四边形的边时，②若AB为平行四边形的对角线时，得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；（3）分两种情况：①当E点在x轴上方时，②E点在x轴下方时，根据当α＝β时，列方程，可求出k的值，进而求出k的取值范围．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A（−3，0），B（1，0），C（2，52）三点，∴9305 422a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，∴12132abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x−32；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，当x＝−1时，y＝−k＋b，即E（−1，−k＋b）．①若AB为平行四边形的边时，则F（-1+4，−k＋b）或F（-1-4，−k＋b），即：F（3，−k ＋b ）或F （-5，−k ＋b ）， 把F （3，−k ＋b ）代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 把F （-5，−k ＋b ），代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =76-，b =296∴F （3，6）或（-5，6）；②若AB 为平行四边形的对角线时，则F 和E 关于x 轴对称， ∴F （−1，k -b ）， ∴k -b =-2， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =16，b =136，∴F （−1，-2），综上所述：F 的坐标为（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）； （3）如图2所示，①当E 点在x 轴上方时，如图2所示，当α＝β时，∵∠EHA ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEH =∠EGH ， ∵∠AHF =∠FHG =90°， ∴AHF FHG ∽， ∴AE AHEG EH=， ∵A （−3，0），E （−1，−k ＋b ），G （bk-，0），∴()()2222221k bk bbk bk+-+=-+⎛⎫-++-+⎪⎝⎭，∴k2−bk−2＝0，联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得k＝−12（k＝43舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的度数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此当−12＜k＜56且k≠0时，α＞β；②E点在x轴下方时，如图4所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根据①可得此时k＝43（k＝−12舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的度数越来越大，因此当56＜k ＜43时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，k 取值范围为−12＜k ＜56且k ≠0或56＜k ＜43．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可；（2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k = 解得：34k =∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+=解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+∵(4,3)A ∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D 则()0,5C ∴5OC = ∴5OA OC == ∴∠OCA =∠OAC ∵//FE y 轴 ∴∠OCA =∠FEA 又∵∠OAC =∠FAE ∴∠FAE =∠FEA ∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线 ∴∠AFM =∠EFM 又∵FD =FD ∴△AFD ≌△EFD ∴AD =ED ∴点D 为AE 的中点 ∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同 将8x =代入152y x =-+中，得1y =∴()8,1E ∵(4,3)A ，()8,1E ∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =- 令0y =，得2100x -= 解得：5x = ∴()5,0M ∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM ∴//FN OM ∵OM =5 ∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y == ∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF ∵OP =OP ∴△NOP ≌△MOP ∴PN =PM ∵()8,6F∴10OF 又∵1122OMFF SOM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯∴MN =2PM =6，OP 4 ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯==∴75N x ==∴724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）y 14=-x 2+x +3；y 12=x +1；（2）△PAD 的面积的最大值为274，P （1，154）；（3）点Q 的坐标为（0，133）或（0，﹣9） 【解析】 【分析】（1）由A （﹣2，0）、B （6，0）设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣6），把D （4，3）的代入解析式解方程即可，再利用待定系数法求解一次函数的解析式； （2）如图1中，过点P 作PT y ∥轴交AD 于点T ．设P （m ，14- m 2+m +3），则T（m，12m+1），再利用面积列函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值即可；（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，再求解直线DT的解析式为y13=-x133+，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），求解直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，从而可得答案．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在抛物线上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a14 =-，∴抛物线的解析式为y14=-（x+2）（x﹣6）14=-x2+x+3，∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），则2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩，解得，121km⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l的解析式为y12=x+1；（2）如图1中，过点P作PT y∥轴交AD于点T．设P（m，14-m2+m+3），则T（m，12m+1）．∵S△PAD12=•（xD﹣xA）•PT＝3PT，∴PT的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PT14=-m2+m+312-m﹣114=-m212+m+214=-（m﹣1）294+，∵14-<0，抛物线开口向下，∴m＝1时，PT的值最大，最大值为94，此时△PAD的面积的最大值为274，P（1，154）．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，过D作DM x⊥轴于,M过T作TN x轴于,N90,,TNA AMD TAD AD AT90,TAN ATN TAN DAM,ATN DAM,ATN DAM≌6,3,235,TN AM AN DM ON∴T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直线DT的解析式为y13=-x133+，∴Q（0，133），作点T关于AD的对称点T'，同理可得T'（1，﹣6），则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，133）或（0，﹣9）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．二次函数综合题中面积问题的解题通法:（1）直角坐标系中图形面积的求法，以“S三角形=12×水平底×铅直高”为基础求解.（2）图形面积的数量关系：①找出所求图形的顶点，其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来；②结合图形作辅助线，并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来；③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积；④列方程求解.（3）图形面积的最值,解题思路跟（1）中的前三步相同，然后利用函数的增减性求解.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）15714BF=．【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE =EC ，AE ⊥BC ，∴BM =MC ，∴∠MBC =∠MCB ，∵BG ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∠HBC +∠ACE =90°，∴EAC HBC MCB α∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=，∵BC BC =，∴2G BAC α∠=∠=，∴∠G =∠CMG ，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ，∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==， ∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH中，BH == ∵BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠， ∴AHB GHC △△，∴AH BH HG CH = 即：AH HC BHHG =， 51544=⨯， ∴HG =， 由（2）得BF =2HG ，∴BF = 【点睛】 本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）291515404y x x =+-，y ＝﹣34x ﹣15；（2）面积最大值225，C （﹣10，﹣30）；（3）S ＝﹣2553t +160t ﹣240． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 即可求出抛物线的函数表达式；设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，然后利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 即可求出直线AB 的函数表达式；（2）作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15），根据题意表示出CF 的长度，进而表示出ABC S ∆，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）作AN ⊥OD 于N ，AD 与FG 交于点I ，首先根据题意求出OC 的解析式，然后联立33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩求出点D 的坐标，然后求出AD OD =，利用等腰三角形三线合一性质求出ON 的长度，进而利用勾股定理求出AN 的长度，表示出S △AON ，然后证明出△GFI ∽△OGH ∽△ANO ，利用相似三角形的性质表示出S △IJF ＝803（t ﹣3）2，S △GOH ＝253t ，最后利用面积之间的关系即可求出S 与t 之间的函数关系式．【详解】解：（1）由题意得，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 得， 21515(20)(20)04c a c =-⎧⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩， ∴15940c a =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴291515404y x x =+-， 设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 得，∴15200b k b =-⎧⎨-+=⎩， ∴1534b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝﹣34x ﹣15； （2）如图1，作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15）， ∴FC ＝（﹣315)4a -﹣（2940a +154a ﹣15）＝﹣2940a ﹣92a ， ∴ABC S ∆＝12CF •AO ＝12（﹣2940a ﹣92a ）×20＝﹣94（a +10）2+225， ∴当a ＝﹣10时，ABC S ∆＝225， 当a ＝﹣10时，y ＝29(10)40⨯-+()15104⨯-﹣15＝﹣30， ∴C （﹣10，﹣30）；（3）如图2，作AN ⊥OD 于N ，∵C （﹣10，﹣30），∴OC 的解析式是：y ＝3x ，由33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩得， 412x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣12），∵A （﹣20，0），OD 22412+10∴AD ()2220412-++=20，∴AD OD=，又∵AN⊥OD，∴ON＝12OD=AN=S△AON＝1160 22AN ON=⨯=，∵OE，OD＝，∴DE＝，∴JE＝3（），∴FJ＝EF﹣JEt﹣3（t）＝（t﹣3），∵OG AN FJ∥∥，∴GOH OAN DAN AJF∠=∠=∠=∠，又∵90G ANO F∠=∠=∠=︒，∴△GFI∽△OGH∽△ANO，∴IJFAONSS∆∆＝（FJAN）2＝2，GOHAONSS∆∆＝（OGAN）2）2，∴S△IJF＝803（t﹣3）2，S△GOH＝253t，∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH＝10t2﹣53t2﹣803（t﹣3）2＝﹣2553t+160t﹣240，故答案是：S＝﹣2553t+160t﹣240．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．11．(1)(1,，图见解析(2)1322Cx-≤≤1122t<≤【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，勾股定理求解即可；（2）根据题意以MB为边作等边三角形MM B'，以M'为圆心1为半径作M'，根据线段中点坐标公式求解即可；（3）在（2）的基础上，先求得最小值，再确定2个圆心，第1个是A 点运动点C 对应的圆心P '，第2个是点B 的运动时点C 轨迹的对应的圆心P ，进而根据线段和最大，当,,P P Q '共线时候，t 最大，根据（2）的方法求解即可．(1)过点C 作CE x ⊥轴于点E ，作出点C ，B 的逆序等边三角形CBD ，如图1，()()1,03,0A B -,，ABC 是等边三角形()1131222AE BE AB ∴===--=，33CE AE ==()1,0E ∴，(1,3C ,ABC BCD 是等边三角形∴60DCB ABC ∠=∠=︒，AB AC BC CD BD ====,CD AB CD AB ∴=∥(5,23D ∴ 故答案为：(1,23，(5,23(2)如图2，以MB 为边作等边三角形MM B '，以M '为圆心1为半径作M '， 点B (3，0)，点A 在以点M (-2，0)为圆心1为半径的圆上， ∴点A ，B 的逆序等边三角形ABC 的顶点C 在M '23122M x '-+∴== M '的半径为1∴111122C x -≤≤+ 即1322C x -≤≤(3)如图3，设N 与x 轴交于点G ，以GM 为边向上作等边三角形MGH ，以点H 为圆心1为半径，作H ，设直线y x =为1l ，y x t =+为2l ，过点H 作1HJ l ⊥，交x 轴于点J ，交1l 于点S ，交2l 于点L ，过点H ，作HI x ⊥轴于点I ，设2l 与x 轴的交点为T ，则OT t =根据题意，当C 点在第二象限时，能找到t 的最小值，根据定义可知，B 点与G 点重合时，A 点在M 上运动，则C 点在H 上运动，当2l 与H 相切时，t 最小， ()2,0M -,()3,0N ，M 的半径为1，N 的半径为2， 2,321OM OG ∴==-=3MG ∴=33HI ∴=1322MI MG == 1,02I ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 1332H ⎛∴- ⎝⎭1l 与x 轴的夹角为45°，1HJ l ⊥，HI x ⊥轴， HIJ ∴是等腰直角三角形 HI IJ ∴=HJ ∴===12OI =12OJ ∴1,02J ⎫∴⎪⎪⎝⎭1LJ HJ HL ∴=-=12l l ∥ LTJ ∴是等腰直角三角形1TJ ∴===⎝3122OJ =1122TO TJ JO ⎫=-==⎪⎪⎝⎭即t 12， B 的纵坐标0d >，则12t > 如图4，作,M N 的逆序等边三角形MNP '，以P '为圆心，1为半径作P '，则1PP AM '==，连接,AM PP ',ANP MNP '是等边三角形，,,60AN NP MN NP ANP MNP ''∴==∠=∠=︒PNP ANM '∴∠=∠PP N AMN '≌∴当,,P P Q '共线时候，t 最大以P 为圆心，2为半径作半圆P ，当直线y x t =+与半圆P 相切时，设切点为Q ，当C 点与Q 点重合时，即可取得t 的最大值，最大值即为T O '的长，()()2,0,3,0M N - ∴1532P ⎛' ⎝⎭过点P '作P P x '''⊥轴于点P ''，如图，。

中考数学模拟题汇总《几何综合压轴题》练习（含答案解析）一、倍长八字共5小题1.在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE//AB交直线AB′于点E．（1）如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；（2）若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE 之间新的数量关系（不需证明）．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，DF．（1）求∠EDF的度数；（2）用等式表示线段AE，BF，EF之间的数量关系，并证明．3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线C D，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF=EC，连接BF交CD于G.(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE=∠BCD(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明.4.如图，在△ABC中，∠BAC=α,点D在边BC上（不与B,C重合），连接AD,以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE.（1）∠BAC+∠DAE= °（2）取CD的中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明。

5.如图，△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为边BC上一点（不与点C重合），CD＜BD，点E在AD的延长线上，且ED=AD，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE=BF；（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．二、一线三垂直共1小题 6.如图，在Rt △ACB 中， ∠ACB =90°，AC =BC ．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作EF //BD ，交AB 于点F ．（1）①直接写出∠AFE 的度数是____________；②求证：∠DAC =∠E ；（2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．三、三线合一共1小题 7.已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .（1）依题意补全图形；（2）求∠DOC 的度数.A B C D A B C D四、手拉手共5小题8.如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（1）依题意补全图形，写出∠CAE= °（2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．9.如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转α(0∘<α<60∘)，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ．（1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．10.已知：等边△ABC ，过点B 作AC 的平行线l ．点P 为射线AB 上一个动点（不与点A,B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转60°交直线l 于点D ．（1）如图1，点P 在线段AB 上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP =∠PCB ；②用等式表示线段BC,BD,BP 之间的数量关系，并证明；（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC,BD,BP 之间的数量关系．A B C A B C AB C11.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B 的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE,PF,EF．（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D与点B,C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。