四川省南充市2019届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题.docx

2019届四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)Word版含解析18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．21．已知函数（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程（Ⅱ）求f（x）的单调区间；处取得极值，且，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成（Ⅲ）若f（x）在x立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共2小题，满分10分）22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．2019届四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|（x﹣1）（x﹣4）=0}，N={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）A．∅B．{1} C．{4} D．{1，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中方程解得：x=1或x=4，即M={1，4}，由N中不等式解得：﹣1＜x＜3，即N=（﹣1，3），则M∩N={1}，故选：B．2．已知复数z=1+i，则=（）A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用分子多项式展开，化简复数的表达式，求解即可．【解答】解：因为复数z=1+i，则===2．故选B．3．已知向量，，若，则锐角α为（）A．30°B．60°C．45°D．75°【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值【解答】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．4．设a=log310，b=log37，则3a﹣b=（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由已知得3a=10，3b=7，从而3a﹣b=．【解答】解：∵a=log310，b=log37，∴3a=10，3b=7，∴3a﹣b==．故选：D5．已知等差数列{an }的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{an }的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差数列{an }的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a=﹣6．2故选：B．6．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是（）A．20+8 B．24+8 C．8 D．16【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．故选A．7．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S=（）A．10 B．17 C．19 D．36【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为n＜4，即n=0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S 值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：当n=0时，S=0+20+1=2；当n=1时，S=2+21+1=5； 当n=2时，S=5+22+1=10； 当n=3时，S=10+23+1=19；当n=4时，退出循环，输出S 的值为19．故选：C ．8．已知点P （a ，b ）（ab ≠0）是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax+by=r 2，那么（ ）A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由P 在圆内，得到P 到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a 2+b 2＜r 2，由直线m 是以P 为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP 与直线m 垂直，根据直线OP 的斜率求出直线m 的斜率，再表示出直线l 的斜率，发现直线m 与l 斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l 的距离，利用得出的不等式变形判断出d 大于r ，即可确定出直线l 与圆相离．【解答】解：∵点P （a ，b ）（ab ≠0）在圆内，∴a 2+b 2＜r 2，∵k OP =，直线OP ⊥直线m ，∴k m =﹣，∵直线l 的斜率k l =﹣=k m ，∴m ∥l ，∵圆心O 到直线l 的距离d=＞=r ，∴l 与圆相离．9．设sin （+θ）=，则sin2θ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】二倍角的正弦．【分析】将已知由两角和的正弦公式展开可得（sin θ+cos θ）=，两边平方可得（1+sin2θ）=，即可得解．【解答】解：∵sin （+θ）=，∴（sin θ+cos θ）=，∴两边平方，可得：（1+sin2θ）=，解得：sin2θ=﹣，故选：B ．10．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ）A ．9：4B ．4：3C ．3：1D ．3：2【考点】球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，利用三角形相似，求出圆锥的底面半径，然后求出球的表面积，圆锥的全面积，即可得到比值．【解答】解：设球的半径为1；圆锥的高为：3，则圆锥的底面半径为：r由△POD ∽△PBO 1，得，即，所以r=圆锥的侧面积为： =6π，球的表面积为：4π所以圆锥的侧面积与球的表面积之比6π：4π=3：2．11．已知抛物线y 2=2px （p ＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=1B ．x=﹣1C ．x=2D ．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设A ，B 的坐标，根据A ，B 满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB 的中点的纵坐标的值可求出p 的值，进而得到准线方程．【解答】解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有y 12=2px 1，y 22=2px 2，两式相减得：（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=2p （x 1﹣x 2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y 1+y 2=2p ，又线段AB 的中点的纵坐标为2，即y 1+y 2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故选B ．12．已知α，β是三次函数的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由已知中α，β是三次函数的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），我们易得f′（x）=x2+ax+2b的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）上，由零点存在定理，我们易构造关于a，b的不等式组，将问题转化为一个线性规划问题，分析的几何意义，即可根据数形结合求出答案．【解答】解：∵函数∴f′（x）=x2+ax+2b又∵α∈（0，1），β∈（1，2），∴其对应的平面区域如下图所示：由图可得：当x=﹣3，y=1时，取最小值；当x=﹣1，y=0时，取最大值1；故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．的展开式中，x3的系数是80 （用数学填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：T==25﹣r x5﹣2r，令5﹣2r=3，解得r=1．r+1∴x3的系数是=80．故答案为：80．14．a＞1，则的最小值是 3 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据a＞1可将a﹣1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0=a﹣1++1≥2+1=3当a=2时取到等号，故答案为315．如果函数f（x）=sin（2x+θ），函数f（x）+f'（x）为奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，则tanθ= ﹣2 ．【考点】正弦函数的奇偶性；导数的运算．【分析】求函数的导数，根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ），∴f′（x）=2cos（2x+θ），则f（x）+f'（x）=sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），∵f（x）+f'（x）为奇函数，∴sin（﹣2x+θ）+2cos（﹣2x+θ）=﹣sin（2x+θ）﹣2cos（2x+θ），即﹣sin（2x﹣θ）+2cos（2x﹣θ）=﹣sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），则﹣sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ+2sin2xsinθ=﹣（sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ﹣sin2xsinθ）=﹣sin2xcosθ﹣cos2xsinθ﹣2cos2xcosθ+2sin2xsinθ，即2cos2xsinθ=﹣4cos2xcosθ，即sinθ=﹣2cosθ，即tanθ=﹣2，故答案为：﹣216．已知正数数列{a n }的前n 项和，则a n = 2n ﹣1 ．【考点】数列递推式．【分析】，n=1时，a 1=S 1=，解得a 1．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵，∴n=1时，a 1=S 1=，解得a 1=1．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=2，∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．故答案为：2n ﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcosC=（2a ﹣c ）cosB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若c=2，b=3，求△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可得sinA=2sinAcosB ．结合sinA ≠0．可求cosB ，利用特殊角的三角函数值即可求得B 的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理得a 2﹣2a ﹣5=0，解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinBcosC=（2sinA ﹣sinC ）•cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB ．…则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB ．…sin （B+C ）=2sinAcosB ，故sinA=2sinAcosB ．因为，在△ABC中，sinA≠0．所以，．…（Ⅱ）由已知及余弦定理得9=4+a2﹣4acosB，又，所以：a2﹣2a﹣5=0，解得：a=1+，或a=1﹣（舍去），=acsinB=（1+）×=…12分所以：S△ABC18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；（2）由于题意可以知道随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解．【解答】解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则P（A）=（1﹣，（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P （ξ=5）=，所以随机变量的分布列为：故Eξ=．19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．（Ⅱ）以为x轴的正方向，为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣PB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）由ABCD是菱形可得BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，故平面PBD⊥平面PAC．…解：（Ⅱ）以为x轴的正方向，为y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则O（0，0，0），B（0，1，0），，．…设平面PBD的一个法向量，由，，可得，即，所以可取．…同理可得平面PBC的一个法向量．…所以．故二面角D﹣PB﹣C的余弦值为．…20．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得2c=4，．则a=4，c=2．由b2=a2﹣c2=12，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）过（4，0）的直线方程为：x=my+4，代入抛物线y2=4x，由韦达定理可知：，则•=x1x2+y1y1=0，即可求证OA⊥OB．【解答】解：（Ⅰ）解：椭圆焦点在x轴上，由题意可得2c=4，．则a=4，c=2．由b2=a2﹣c2=12，∴椭圆标准方程为：．…（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为（4，0），由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4．…由，消去x得：y2﹣4my﹣16=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．…∴，则•=0，则⊥故OA⊥OB．…21．已知函数（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程（Ⅱ）求f（x）的单调区间；处取得极值，且，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成（Ⅲ）若f（x）在x立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（3），f′（3）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；处有极值，求出，得到f（x）在[e+2，e3+2]上单调，根据函（Ⅲ）由（Ⅱ）知x数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（x＞2）（Ⅰ）当a=1时，，f'（3）=﹣2.，所以，函数f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：，即4x+2y﹣3=0．…（Ⅱ）=，因为x＞2，所以x﹣2＞0，①当a＜0时，（x﹣1）2﹣（a+1）=x（x﹣2）﹣a＞0在x＞2上成立，所以f'（x）当x＞2恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上是增函数．…②当a＞0时，，因为x＞2，所以，a（x﹣2）＞0，当时，f'（x）≤0，f（x）为减函数；当时，f'（x）≥0，f（x）为增函数．…综上：当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．…（Ⅲ）由（Ⅱ）知x处有极值，故a＞0，且，因为且e+2＞2，所以f（x）在[e+2，e3+2]上单调．…当[e+2，e3+2]为增区间时，f（x）≥0恒成立，则有．当[e+2，e3+2]为减区间时，f（x）≥0恒成立，则有解集为空集．综上：当a＞e6+2e3时满足条件．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共2小题，满分10分）22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，…结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4 …（Ⅱ）由直线l的参数方程为，化为普通方程，得x﹣y﹣a=0．结合圆C与直线l相切，得=2，解得a=﹣2或6．…23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过令m=3，然后去绝对值符号，对于分段函数取最大值即可；（2）通过对|x﹣m|≥2|x﹣1|两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，比较2﹣m与的大小，分类讨论即可．【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，即f（x）=，∴当x=1时，函数f（x）的最大值f（2）=1+1=2；（2）∵f（x）≥0，∴|x﹣m|≥2|x﹣1|，两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，令2﹣m=，解得m=1，下面分情况讨论：①当m＞1时，不等式的解集为[2﹣m，]；②当m=1时，不等式的解集为{x|x=1}；③当m＜1时，不等式的解集为[，2﹣m]．。

南充市高2019届第次高考适应性考试理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 A1-27 S-32 Ni-59第1卷(选择题共126分)一、选择题(本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是A.细胞膜上的受体是细胞间信息交流所必需的结构B.所有活细胞都含有与能量转换有关的细胞器C.没有细胞核的细胞既不能生长也不能分裂D.细胞质可为细胞核的生命活动提供原料和能量2.下列有关酶的叙述中正确的是A.底物浓度能影响酶促反应速率是通过影响酶活性来实现的B.从唾液提取液中分离唾液淀粉酶等蛋白质可用盐析的方法C.酶溶液中加入双缩脲试剂，在一定条件下都会出现紫色D.有酶参与的反应能释放出更多的能量3.下列关于细胞分裂的说法正确的是A.进行有性牛殖的生物，其体内细胞分裂方式都是减数分裂B.两次连续的细胞分裂之间一定要进行染色体复制C.精原细胞是原始的生殖细胞，正常情况下细胞中所含染色体的数目与体细胞相同D.在有丝分裂中期，两个中心粒复制形成两组中心粒4.下列有关DNA、基因、性状的叙述，正确的是A.一个DNA分子只含一个基因B.生物的性状完全是出基因控制的C.基因与基因、基因与基因产物、基因与环境之间都存在着复杂的相互作用D.基因的复制、转录都是以DNA一条链为模板，翻译则以mRNA为模板5.下列关于细胞呼吸的叙述，错误的是A.细胞呼吸过程中产生的ATP不能用于光合作用的暗反应过程B.细胞无论进行何种呼吸方式都产生ATP并释放能量C.有氧呼吸产生水的过程发生在线粒体基质中D.细胞呼吸必须在酹的催化下进行6.下列有关生物实验的描述中，正确的是A.植物细胞的吸水和失水实验中，加入蔗糖溶液的目的是使细胞质与细胞壁分离B.用溶解于清水的健那绿染液对口腔上皮细胞染色后用于观察线粒体C.用标志重捕法调查蚜虫的种群密度时，需要注意标记物不能太大和醒目D.单基因遗传病的遗传方式的调查对象应该是总者家系7.化学与生活密切相关。

2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7 5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2019）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；∴A∩B中元素的个数至多一个．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得==，∴z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．故选：D．4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2019）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，那么f（2019）=asin（2019π+α）+bcos（2019π+β）=asinα+bcosβ=1，故选：A．6．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=log m x是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m ＞1﹣m＞0，∴log m（1+m）＜log m（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴log m（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．【解答】.解：由题意得，若设AD=DC=1，则AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，△BCD中，由余弦定理得DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．如图，作，，则CC′=x﹣1，C′B=y，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即6=（x﹣1）2+y2，②由①②可得x=1+，y=．那么：x+y=1+2故选：B．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A．11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为k PA=，k PB=．由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以k PA•k PB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、2、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．=2a n﹣1﹣2，当n≥2时，S n﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

四川省南充市2018-2019学年高三理数第一次高考适应性考试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2=x}，则A∩B=（）A．B．C．D．2．（1分）(1+i)2=（）A．B．C．2D．-23．（1分）下列命题中的假命题是（）A．，B．，C．，D．，4．（1分）α是第四象限角，tanα=−43，则sinα=（）A．B．C．D．5．（1分）在(x2−1x3)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．4B．5C．6D．76．（1分）点M，N是圆x2+y2+kx+2y−4=0上的不同两点，且点M，N关于直线x−y+1=0对称，则该圆的半径等于（）A．B．C．1D．37．（1分）已知函数f(x)=lgx，则函数g(x)=|f(1−x)|的图像大致是（）A．B．C．D．8．（1分）设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X=k)=ak+b，又X的数学期望为E(X)=3，则a+b=（）A．B．0C．D．9．（1分）将边长为2的正ΔABC沿高AD折成直二面角B−AD−C，则三棱锥B−ACD的外接球的表面积是（）A．B．C．D．10．（1分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30°，ΔABC的面积为32，则b=（）A．B．C．D．11．（1分）在实数的原有运算法则（“ ⋅” “ −”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“ ⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a<b时，a⊕b=b2，则当x∈[−2,2]时，函数f(x)=(1⊕x)⋅x−(2⊕x)的最大值等于（）A．-1B．1C．6D．1212．（1分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与函数y=√x(x≥0)的图像交于点P .若函数y=√x在点P处的切线过双曲线左焦点F(−1,0)，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）若变量x，y满足约束条件{2x−y+1≥0,3x+2y−23≤0,y−1≥0,则z=2y−x的最大值是．14．（1分）若sinα=13，则cos2α=．15．（1分）已知函数f(x)=sinx+2x，f(1−a)+f(2a)<0，则实数a的取值范围是．16．（1分）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，直线l:y=x+m与抛物线交于不同的两点A，B.若0≤m<1，则ΔFAB的面积的最大值是．三、解答题 (共7题；共14分)17．（2分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n．（1）（1分）求{a n}的通项公式；（2）（1分）数列{b n}是等差数列，S n为{b n}前n项和，若b1=a1+a2+a3，b3=a3，求S n.18．（2分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）（1分）请将上面的列联表补充完整；（2）（1分）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.19．（2分）如图，三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥ 平面 ABC ， ΔABC 为正三角形， D 是BC 边的中点， AA 1=AB =1 .（1）（1分）求证：平面 ADB 1⊥ 平面 BB 1C 1C ； （2）（1分）求二面角 B −AB 1−D 的余弦值.20．（2分）已知椭圆的焦点 F 1(−4,0) ， F 2(4,0) ，过点 F 2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B ，并且 |F 1B|+|F 2B|=10 ，椭圆上不同的两点 A(x 1,y 1) ， C(x 2,y 2) 满足条件： |F 2A| ， |F 2B| ， |F 2C| 成等差数列. （1）（1分）求椭圆的方程；（2）（1分）求弦 AC 中点的横坐标.21．（2分）已知函数 f(x)=e x −ax −1−x 22.（1）（1分）若 a =12，求 f(x) 的单调区间；（2）（1分）设函数 F(x)=f(x)+f(−x)+2+x 2 ，求证： F(1)⋅F(2)⋅⋯⋅F(n) >(en+1+2)n2(n ∈N ∗) .22．（2分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =2cosθ,y =4sinθ （ θ 为参数），直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =2+tsinα （ t 为参数）. （1）（1分）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）（1分）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率．23．（2分）设函数 f(x)=5−|x +a|−|x −2| .（1）（1分）当 a =1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； （2）（1分）若 f(x)≤1 ，求 a 的取值范围.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵B={x|x2=x}={0,1}则A∩B={0,1}.故答案为：C.【分析】用求解一元二次方程的方法求出方程的解，从而求出集合B，再利用集合的交集运算求出集合A和B的交集。

南充市高2019届第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出．【详解】则.故选C.【点睛】本题考查集合交集的求法，属基础题.2.A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算法则运算即可.【详解】故选A.【点睛】本题考查复数的乘方运算，属基础题.3.下列命题中的假命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对四个选项，逐一举例子进行真假性的判断，由此得到正确选项.【详解】对于选项A，当时，故A选项为真命题.对于B选项，当时，，故选项B为真命题.当时，，故C选项为真命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.4.是第四象限角，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．【详解】由题是第四象限角，则故选B.【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】当存在与时，展开式有常数项，此时.【详解】由于和的最小公倍数为，故当存在与时，展开式有常数项，即为常数项，此时，故选B.【点睛】本小题主要考查二项式的展开式，考查两个数的最小公倍数.二项式展开式的通项公式为.属于基础题.6.点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，所以直线l：x-y+1=0经过圆心，所以．所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．7.已知函数，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，排除BCD，即可得到答案.【详解】函数，函数，则函数的定义域为，故排除B，C，D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象，考查同对数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．8.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则A. B. 0 C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.【详解】依题意可的的分布列为依题意得，解得，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9.将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，所以求出长方体的对角线的长为：，所以球的直径是，半径为，所以球的表面积为：故选D．【点睛】本题主要考查了外接球的表面积的度量，解题关键将三棱锥B-ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．10.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：成等差数列，．平方得．又的面积为，且，故由，得，．由余弦定理，解得．又∵为边长，∴．故B正确.考点：等差数列，三角形面积，余弦定理的应用.11.在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于A. -1B. 1C. 6D. 12【答案】C【解析】此题是信息类的题目，考查分段函数的最值问题的求法、学生的自学能力和逻辑推理能力；由已知得所以，可求出：当时，函数最大值是-1；当时，函数最大值是6；当时，函数不存在最大值是；所以函数的最大值等于6，选C12.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．考点：双曲线离心率的计算．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】11【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.若，则__________．【答案】【解析】15.已知函数，，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则的面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.【详解】由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形的面积公式.由于抛物线的参数只有一个，故只要一个条件就可以求得的值.直线和抛物线形成的弦长公式可以利用韦达定理计算出来.求得面积的表达式后，由于表达式是高次的，故利用导数求得它的最大值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）数列是等差数列，为前项和，若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比数列的定义可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则的通项公式易求；（2）由（1）得：，由此求得公差，代入等差数列前公式计算即可.【详解】（1）因为所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）得：，则，，所以 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：【答案】（1）见解析；（2）在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【解析】（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .所以列联表补充如下：（2）因为所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．19.如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，所以平面，又平面，所以平面平面因为为正三角形，为的中点，所以，又平面平面，所以平面，又平面所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量则即令，则得同理可求得平面的法向量设二面角的大小为，所以.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的焦点，，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）求弦中点的横坐标.【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，利用椭圆的定义得到，利用求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用，，成等差数列列出方程，将的坐标代入，可求得的值，由此求得中点的横坐标.【详解】（1）由题意可知.所以，又，所以，所以椭圆方程为：.（2）由点在椭圆上，得.由，，成等差数列，得①点在椭圆上，得所以②同理可得③将②③代入①式，得：所以设中点坐标为，则横坐标：.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档题.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）设函数，求证：.【答案】（1）在单调递增；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，利用的二阶导数，求得函数的单调区间.（2）先求得的表达式，化简得到.将要证明的不等式的左边利用倒序相乘的方法，证得不等式成立.【详解】（1）当时，（），令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以所以在单调递增.（2）证明：，当时，所以由此得故（）【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，要有一定分析问题和运算的能力，属于难题.22.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）. （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

南充市高2019届第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则AB =A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0,1,2} 2.2(1)i +=A ．2iB ．2i -C ．2D ．-2 3.下列命题中的假命题是A ．x R ∃∈，lg 0x =B ．x R ∃∈，tan 1x =C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，30x> 4.α是第四象限角，4tan 3α=-，则sin α= A ．45 B ．45- C. 35 D ．35-5.在231()n x x-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是A ．4B ．5 C. 6 D ．76.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．22B ．2 C. 1 D ．37.已知函数()lg f x x =，则函数()|(1)|g x f x =-的图像大致是A ．B ． C. D ．8.设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110 B ．0 C.110- D ．159.将边长为2的正ABC ∆沿高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积是 A ．20π B ．10π C.203π D ．5π 10.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，则b = A ．132+ B ．13+ C.232+ D ．23+ 11.在实数的原有运算法则（“⋅” “-”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则当[2,2]x ∈-时，函数()(1)(2)f x x x x =⊕⋅-⊕的最大值等于A ．-1B ．1 C. 6 D ．1212.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数(0)y x x =≥的图像交于点P .若函数y x =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A ．32 B ．312+ C. 522+ D ．512+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件210,32230,10,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2z y x =-的最大值是 ．14.若1sin 3α=，则cos 2α= ． 15.已知函数()sin 2f x x x =+，(1)(2)0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 ．16.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，直线:l y x m =+与抛物线交于不同的两点A ，B .若01m ≤<，则FAB ∆的面积的最大值是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在数列{}n a 中，11a =，13n n a a += （1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是等差数列，n S 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 5 女生 10 合计50已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 k2.7063.8415.0246.63519.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，D 是BC 边的中点，11AA AB ==.（1）求证：平面1ADB ⊥平面11BB C C ； （2）求二面角1B AB D --的余弦值.20.已知椭圆的焦点1(4,0)F -，2(4,0)F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且12||||10F B F B +=，椭圆上不同的两点11(,)A x y ，22(,)C x y 满足条件：2||F A ，2||F B ，2||F C 成等差数列.（1）求椭圆的方程； （2）求弦AC 中点的横坐标.21.已知函数2()12xx f x e ax =---.（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）设函数2()()()2F x f x f x x =+-++，求证：(1)(2)()F F F n ⋅⋅⋅12(e2)n n +>+*()n N ∈.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.23.选修4-5：不等式选讲设函数()5|||2|f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CACBB 6-10: DAADB 11、12：CD二、填空题13. 11 14.79 15. (,1)-∞- 16.869三、解答题17.解：（1）因为11a =，13n n a a +=所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 所以13n n a -=.（2）由（1）得：112313913b a a a =++=++=，39b =， 则3124b b d -==-，2d =-， 所以(1)13(2)2n n n S n -=+⨯- 214n n =-+.18.解：（1）设喜好体育运动人数为x ，则65010x =. 所以30x = 列联表补充如下：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050（2）因为2250(2015105)30202525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯258.333 6.6353==> 所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关. 19.（1）证明：因为三棱柱中1AA ⊥平面ABC ， 所以1BB ⊥平面ABC ，又1BB ⊂平面11BB C C ， 所以平面11BB C C ⊥平面ABC因为ABC ∆为正三角形，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，又平面11BB C C ⋂平面ABC BC =， 所以AD ⊥平面11BB C C ，又AD ⊂平面1ADB 所以平面1AB D ⊥平面11BB C C .（2）解：以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，13(0,,1)2A ，1(,0,0)2C ，3(0,,0)2A ，11(,0,1)2B -所以3(0,,0)2AD =，11(,0,1)2B D =-设平面1ADB 的法向量1(,,)n x y z =则12100n AD n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3(,,)(0,,0)021(,,)(,0,1)02x y z x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即302102y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 令1z =，则2x =得1(2,0,1)n =同理可求得平面1AB B 的法向量2(3,1,0)n =-设二面角1B AB D --的大小为θ， 所以121215cos 5||||n n n n θ⋅==⋅. 20.解：（1）由题意可知122||||10a F B F B =+=. 所以5a =，又4c =， 所以223b a c =-=， 所以椭圆方程为：221259x y +=. （2）由点(4,)B B y 在椭圆上，得29||||5B F B y ==. 由2||F A ，2||F B ，2||F C 成等差数列，得222211229(4)(4)25x y x y -++-+=⨯①点11(,)A x y 在椭圆22111259x y +=上， 得12219(25)25y x =- 所以2222111119(4)816(25)25x y x x x -+=-++- 214(5)5x =-11(254)5x =-② 同理可得222221(4)(254)5x y x -+=-③ 将②③代入①式，得：121118(254)(254)555x x -+-= 所以128x x +=设AC 中点坐标为00(,)x y ，则横坐标：12042x x x +==. 21.解：（1）当12a =时，21()122xx f x e x =---（x R ∈）1()2x f x e x '=--，令()()g x f x '=，则()1x g x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()f x '单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()f x '单调递增. 所以1()(0)02f x f ''≥=> 所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增.（2）证明：()xxF x e e -=+，当12x x ≠时，121212()12()()x x x x x x F x F x e e e +-+-⋅=++12121212()22x x x x x x x x e e e e -++-+++>++>+所以1(1)()2n F F n e+⋅>+12(1)2n F F n e +⋅->+1()(1)2n F n F e +⋅>+由此得2[(1)(2)()]F F F n ⋅[(1)()][(2)(1)]F F n F F n =⋅⋅⋅-⋅⋅1[()(1)](2)n n F n F e +⋅>+故12(1)(2)()(2)n n F F F n e+⋅⋅⋅>+（*n N ∈）22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：221416x y += 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为：tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为：1x =（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=①因为曲线C 截直线l 所得线段中点(1,2)在C 内，所以①有两解1t ，2t ，则120t t += 又1224(2cos sin )13cos t t ααα++=+故2cos sin 0αα+=于是直线l 的斜率tan 2k α==-.23.解：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26,2,x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥而|||2||2|x a x a ++-≥+ 且当2x =时，等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4a +≥所以6a ≤-或2a ≥所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-⋃+∞。

高三数学( 理科) 一诊答案 第 1 页( 共 4 页)992南充市高 2019 届第一次高考适应性考试数学试题( 理科) 参考答案及评分意见一、选择题:1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. A9. D10. B11. C12. D二、填空题:13． 1114．7 15． (-∞ ,-1)16．三、解答题:17． 解:(1) 因为 a 1 = 1,a n +1 = 3a n所以数列{ a n } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 a n = 3n -1 .…………6 分 (2) 由(1) 得:b 1 = a 1 +a 2 +a 3 = 1 +3 +9 = 13,b 3 = 9, …………8 分 则 b 3 -b 1 = 2d = -4,d = -2, …………10 分所以 S n = 13n +n ( n -1)×(-2) = -n 2 +14n.…………12 分18． 解:(1) 设喜好体育运动人数为 x ,则 x = 6.50 10所以 x = 30 …………2 分列联表补充如下:…………7 分(2) 因为 k= = 8. 333 >6. 635…………10 分 30×20 ×25 ×25 3所以可以在犯错误率不超过 0． 01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关. …………12 分 19. (1) 证明:因为三棱柱中 AA 1 ⊥平面 ABC ,所以 BB 1 ⊥平面 ABC ,又 BB 1 ⊂平面 BB 1 C 1 C , 所以平面 BB 1 C 1 C ⊥平面 ABC (2)分因为△ABC 为正三角形,D 为 BC 的中点, 所以 A D ⊥B C ,又平面 BB 1 C 1 C ∩平面 A B C = B C ,高三数学( 理科) 一诊答案 第 2 页( 共 4 页)a 2 -c 2 ( x 2 -4)2 +y 2 25 551 所以 A D ⊥平面 BB 1 C 1 C ,又 A D ⊂平面 A D B 1 所以平面 AB 1 D ⊥平面 BB 1 C 1 C.…………5 分 (2) 解:以 D 为坐标原点,DC 为 x 轴,DA 为 y 轴建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A 1(01),C ( 1 ,0,0),A (00),B 1(- 1,0,1)…………7 分2222所以 A →D = (00),B 1→D = ( 1,0,-1)设平面ADB 2 1 的法向量 →n 1 2=( x ,y ,z ) 则 {→n ·A →D = 0⎧( x ,y ,z )(00)= 0= 01→ ⎨ 1 2即⎨ 2 n 2 ·B 1 D = 0 ⎩( x ,y ,z )( 2 ,0,-1)= 0 1 x -z = 0 令 z = 1,则 x = 2得 →n 1 2= (2,0,1) 同理可求得平面 A B 1 B 的法向量 →n 2 = ( 3 ,-1,0) …………11 分设二面角 B -AB 1 -D 的大小为 θ,所以 cos θ =→n 1 ·→n 2 |→n 1 | |→n 2 |…………12 分20. 解:(1) 由题意可知 2a = | F 1 B | + | F 2 B | = 10.所以 a = 5,又 c = 4, 所以 b = = 3, 所以椭圆方程为:x 2 + y 2= 1. …………5 分25 9(2) 由点 B (4,y B ) 在椭圆上,得| F 2 B | = | y B | = 9.…………7 分由| F 2 A | ,| F 2 B | ,| F 2 C | 成等差数列,得 ( x 1 -4)2 +y 1 2 + = 2 × 9 ① x 2 y 2点 A ( x 1 ,y 1 ) 在椭圆251 + 91= 1 上,得 y 2 = 9(25 -x 2 )1251所以 ( x 1 -4)2 +y 2 =⎩高三数学( 理科) 一诊答案 第 3 页( 共 4 页)( x 2 -4)2 +y 2 255 222 n同理可得 = 1 (25 -4x 1 ) ② = 1 (25 -4x 2 ) ③ …………10 分将②③代入①式,得: 1 (25 -4x 1 )+ 1 (25 -4x 2 )= 18555所以 x 1 +x 2 = 8设 A C 中点坐标为( x 0 ,y 0 ),则横坐标:x 0 = x 1 +x 2= 4. …………12 分21． 解:(1) 当 a = 1 时,f ( x )= e x - 1 x -1- x 2 ( x ∈R )22 2f ′( x )= e x -x - 1,…………2 分令 g ( x )= f ′( x ),则 g ′( x )= e x -1,当 x ∈(-∞ ,0) 时,g ′( x )<0,f ′( x ) 单调递减, 当 x ∈(0,+∞ ) 时,g ′( x )>0,f ′( x ) 单调递增. (4)分所以 f ′( x ) ≥f ′(0)= 1>0所以 f ( x ) 在(-∞ ,+∞ ) 单调递增. …………6 分(2) 证明:F ( x )= e x +e -x ,当 x 1 ≠x 2 时,F ( x 1 )·F ( x 2 )= e x 1+x 2 +e -( x 1+x 2) +e x 1-x 2 +e -x 1+x 2 >e x 1+x 2 +e -( x 1+x 2) +2 >e x 1+x 2 +2…………8 分所以F (1)·F ( n )>e n +1 +2F 2 ·F ( n -1)>e n +1 +2…F ( n )·F (1)>e n +1 +2…………10 分由此得[ F (1)·F (2)…F ( n )]2= [ F (1)·F ( n )]·[ F (2)·F ( n -1)]·…·[ F ( n )·F (1)]>( e n +1 +2) n 故 F (1)·F (2)·…·F ( n )>( e22． 解:(1) 曲线 C 的直角坐标方程为: n +1+2) 2 ( n ∈N ∗ )…………12 分 x 2 + y2= 1…………2 分4 16当 c os α≠0 时,l 的直角坐标方程为:高三数学( 理科) 一诊答案 第 4 页( 共 4 页)1 +3cos αy = t a n α·x +2 -t a n α,当 cos α = 0 时,l 的直角坐标方程为:x = 1…………5 分(2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,得(1 +3cos 2 α) t 2 +4(2cos α+sin α) t -8 = 0①因为曲线 C 截直线 l 所得线段中点(1,2) 在 C 内,所以①有两解 t 1 ,t 2 ,则 t 1 +t 2 = 0…………8 分又 t 1 +t 2 = -4(2c os α+s 2i n α)故 2c os α+s i n α = 0 于是直线 l 的斜率 k = tan α = -2.…………10 分⎧2x +4,x ≤-1,23． 解:(1) 当 a = 1 时,f ( x )= ⎨2,-1 <x ≤2, ⎩-2x +6,x >2,可得 f ( x ) ≥0的解集为{ x | -2≤x ≤3}…………5 分(2) f ( x ) ≤1 等价于| x +a | + | x -2 | ≥4 而| x +a | + | x -2 | ≥| a +2 |且当 x = 2 时,等号成立,故 f ( x ) ≤1 等价于| a +2 | ≥4 所以 a ≤-6 或 a ≥2所以 a 的取值范围是(-∞ ,-6] ∪[2,+∞ ) .…………10 分高三数学( 文科) 一诊答案 第 1 页( 共 3 页)2南充市高 2019 届第一次高考适应性考试数学试题( 文科) 参考答案及评分意见一、选择题:1. C2. A3. C4. B5. D6. B7. C8. D9. A 10. D 11. B 12. A二、填空题:13． 12 14． 215． 1116． 9三、解答题:17． 解:(1) 因为 a 1 = 1,a n +1 = 3a n所以数列{ a n } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 a n = 3n -1 .…………6 分 (2) 由(1) 得:b 1 = a 1 +a 2 +a 3 = 1 +3 +9 = 13,b 3 = 9, …………8 分 则 b 3 -b 1 = 2d = -4,d = -2, …………10 分所以 S n = 13n +n ( n -1)×(-2) = -n 2 +14n.…………12 分18． 解:(1) 设喜好体育运动人数为 x ,则 x = 6.50 10所以 x = 30 …………2 分列联表补充如下:…………7 分(2) 因为 k= = 8. 333 >6. 635…………10 分 30×20 ×25 ×25 3所以可以在犯错误率不超过 0． 01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关. …………12 分 19. (1) 证明:因为三棱柱中 AA 1 ⊥平面 ABC ,所以 BB 1 ⊥平面 ABC ,又 BB 1 ⊂平面 BB 1 C 1 C , 所以平面 BB 1 C 1 C ⊥平面 ABC (2)分因为△ABC 为正三角形,D 为 BC 的中点, 所以 A D ⊥B C ,又平面 BB 1 C 1 C ∩平面 A B C = B C , 所以 A D ⊥平面 BB 1 C 1 C ,又 A D ⊂平面 A D B 1高三数学( 文科) 一诊答案 第 2 页( 共 3 页)+ = 1, 38 222所以平面 AB 1 D ⊥平面 BB 1 C 1 C.…………6 分(2) 解:由(1) 可得△A D B 1 为 R t △,又 A DB 1 D所以 S △A D B = 1A D ·B 1 D =12 2 2 8又 S △ADB = 1S △ABC …………9 分28设点 B 到平面 ADB 1 的距离为 d ,则 V B -ADB 1 = V B 1-ADB , 1 S △A D B ·d = 1S △A D B ·BB 1 , 33所以 d= S △A D B ·BB 1…………12 分S △ADB 1 20. 解:(1) 因为 l ⊥x 轴,15 5所以 F 2 坐标为( 2 ,0),⎧ 2 1 所以⎨a 2 b 2 ⎩c 2 = a 2 -b 2= 2, a 2 = 4, b 2= 2, 所以椭圆方程为x 2 + y 2= 1. …………5 分 4 2(2) 直线 BF 2 的方程为 y = x - 2…………7 分 ⎧y = x - 2 联立⎨x 2 + y 2 = 1得到N 的纵坐标为…………10 分⎩ 4 2 又| F 1 F 2 | = 2 2所以 S △F 1BN = S △BF 1F 2 +S △NF 1F 2 = 1×( 2 + ×2 2 = .…………12 分23321． 解:(1) f ′( x )= e x -ax - 1,所以 f ′(0)= 1, f (0)= 0,因此曲线 y = f ( x ) 在(0,0) 处的切线方程为: x -2y = 0…………5 分 (2) f ′( x )= e x -x - 1…………7 分 令 g ( x )= f ′( x ), 则 g ′( x )= e x -1, …………9 分解得{高三数学( 文科) 一诊答案 第 3 页( 共 3 页) 21 +3cos α当 x ∈(-∞ ,0) 时,g ′( x )<0,f ′( x ) 单调递减,当 x ∈(0,+∞ ) 时,g ′( x )>0,f ′( x ) 单调递增.所以 f ′( x ) ≥f ′(0)= 1 >0 …………11 分 所以 f ( x ) 在(-∞ ,+∞ ) 单调递增.…………12 分 22． 解:(1) 曲线 C 的直角坐标方程为: x 2 + y 2 = 1…………2 分4 16当 c os α≠0 时,l 的直角坐标方程为:y = t a n α·x +2 -t a n α,当 cos α = 0 时,l 的直角坐标方程为:x = 1…………5 分 (2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,得(1 +3cos 2 α) t 2 +4(2cos α+sin α) t -8 = 0 ① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段中点(1,2) 在 C 内,所以①有两解 t 1 ,t 2 ,则 t 1 +t 2 = 0…………8 分又 t 1 +t 2 = -4(2c os α+s 2i n α) 故 2c os α+s i n α = 0 于是直线 l 的斜率 k = tan α = -2. …………10 分⎧2x +4,x ≤-1,23． 解:(1) 当 a = 1 时,f ( x )= ⎨2,-1 <x ≤2, ⎩-2x +6,x >2,可得 f ( x ) ≥0的解集为{ x | -2≤x ≤3}…………5 分 (2) f ( x ) ≤1 等价于| x +a | + | x -2 | ≥4 而| x +a | + | x -2 | ≥| a +2 |且当 x = 2 时,等号成立,故 f ( x ) ≤1 等价于| a +2 | ≥4所以 a ≤-6 或 a ≥2所以 a 的取值范围是(-∞ ,-6] ∪[2,+∞ ) . …………10 分。

南充市高2019届第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出．【详解】则.故选C.【点睛】本题考查集合交集的求法，属基础题.2.A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算法则运算即可.【详解】故选A.【点睛】本题考查复数的乘方运算，属基础题.3.下列命题中的假命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对四个选项，逐一举例子进行真假性的判断，由此得到正确选项.【详解】对于选项A，当时，故A选项为真命题.对于B选项，当时，，故选项B为真命题.当时，，故C选项为真命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.4.是第四象限角，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．【详解】由题是第四象限角，则故选B.【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】当存在与时，展开式有常数项，此时.【详解】由于和的最小公倍数为，故当存在与时，展开式有常数项，即为常数项，此时，故选B.【点睛】本小题主要考查二项式的展开式，考查两个数的最小公倍数.二项式展开式的通项公式为.属于基础题.6.点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，所以直线l：x-y+1=0经过圆心，所以．所以圆的方程为：x2+y2+3x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．7.已知函数，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，排除BCD，即可得到答案.【详解】函数，函数，则函数的定义域为，故排除B，C，D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象，考查同对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．8.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则A. B. 0 C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.【详解】依题意可的的分布列为依题意得，解得，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9.将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，所以求出长方体的对角线的长为：，所以球的直径是，半径为，所以球的表面积为：故选D．【点睛】本题主要考查了外接球的表面积的度量，解题关键将三棱锥B-ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．10.的内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】成等差数列，,平方得,又的面积为，且故由,得由余弦定理解得又为边长，故答案选点睛：根据等差中项的性质可得运用平方求得边长的数量关系，再根据面积公式求出的值，代入余弦定理求得结果11.在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于A. -1B. 1C. 6D. 12【解析】【分析】新定义运算“”是选择两个数中较大的一个.将所在的区间分为两类，写出函数的解析式，再由解析式求得函数的最大值.【详解】新定义运算“”是选择两个数中较大的一个.当时，，此时函数为增函数，故.当时，，此时函数为增函数，故.故函数的最大值为.因此选C.【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了一次函数和幂函数的单调性.对于新定义运算的题目，关键的突破口在于理解新定义的运算.理解新定义运算后，观察的表达式，有两个关键元素和，所以对给定的定义域，要分成两段来讨论，将表示为分段函数的形式，再来求最大值.12.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．考点：双曲线离心率的计算．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y-x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.若，则__________．【答案】【解析】15.已知函数，，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则的面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.【详解】由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=. 【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形的面积公式.由于抛物线的参数只有一个，故只要一个条件就可以求得的值.直线和抛物线形成的弦长公式可以利用韦达定理计算出来.求得面积的表达式后，由于表达式是高次的，故利用导数求得它的最大值. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）数列是等差数列，为前项和，若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知，由等比数列的定义可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则的通项公式易求；（2）由（1）得：，由此求得公差，代入等差数列前公式计算即可.【详解】（1）因为所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）得：，则，，所以 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：【答案】（1）见解析；（2）在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【解析】【分析】（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .所以列联表补充如下：（2）因为所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．19.如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，所以平面，又平面，所以平面平面因为为正三角形，为的中点，所以，又平面平面，所以平面，又平面所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量则即令，则得同理可求得平面的法向量设二面角的大小为，所以.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的焦点，，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）求弦中点的横坐标.【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，利用椭圆的定义得到，利用求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用，，成等差数列列出方程，将的坐标代入，可求得的值，由此求得中点的横坐标.【详解】（1）由题意可知.所以，又，所以，所以椭圆方程为：.（2）由点在椭圆上，得.由，，成等差数列，得①点在椭圆上，得所以②同理可得③将②③代入①式，得：所以设中点坐标为，则横坐标：.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档题.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）设函数，求证：.【答案】（1）在单调递增；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，利用的二阶导数，求得函数的单调区间.（2）先求得的表达式，化简得到.将要证明的不等式的左边利用倒序相乘的方法，证得不等式成立.【详解】（1）当时，（），令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以所以在单调递增.（2）证明：，当时，所以由此得故（）【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，要有一定分析问题和运算的能力，属于难题.22.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2019届四川省南充市高三一诊考试数学(理)试题Word版含答案第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是 （用数学填写答案）；14.若1a >，则11a a +-的最小值是 ． 15.如果函数()()sin 2f x x θ=+，函数()()'f x f x +为奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，则tan θ= ． 16.已知正数数列{}na 的前n 项和()2114nnS a=+，则n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC△的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知()cos 2cos b C a c B =-.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2c =，3b =，求ABC △的面积.18. （本小题满分12分）某示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：（Ⅰ）求数学辅导在周一、周三、周五都不满座的概率； （Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .19. （本小题满分12分） 如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，60BAD ∠=︒.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D PB C --的余弦值.PODCBA20. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x=于 A B ，两点，求证：OA OB ⊥（O 为坐标原点）.21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 22xf x x a=--（a 为常数，0a ≠）. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点()()3 3f ，的切线方程 （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在0x 处取得极值，且32 2x e e ⎡⎤∉++⎣⎦，，而()0f x ≥在32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.（其中e 为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x a t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.23. （本小题满分10分）已知函数()()f x x a x a R=---∈.21（Ⅰ）当3f x的最大值；a=时，求函数()（Ⅱ）解关于x的不等式()0f x≥.2019届四川省南充市高三一诊考试数学（理）试题参考答案及评分意见一、选择题1-5:BACDB 6-10:ACCDD 11、12：BA二、填空题13.80 14.3 15.2- 16.21n -三、解答题17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B=-⋅=-.………………2分则sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.………………4分()sin 2sin cos B C A B+=，故sin 2sin cos A A B =.因为，在ABC △中，sin 0A ≠.所以1cos 2B =，3B π=.…………………………6分 （Ⅱ）由已知及余弦定理得2944cos a a B=+-，又3B π=，18.解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则()122111123318A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5.()40121112348X P =⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………6分()34141112121111223238X P C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-+-⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………7分()22321442112112711122322324X P C C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 ()3223244311211211112232233X P C C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………9分()43344121123112322316X P C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()451212324X P =⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.……………………10分数学期望()117131801234548824316243E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………12分19.（Ⅰ）证明：由ABCD 是菱形可得BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又PAAC A=，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ， 故平面PBD ⊥平面PAC .……………………5分（Ⅱ）解：以OA 为x 轴的正方向，OB 为y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则()0 0 0O ，，，()0 1 0B ，，，) 0 2P，，，()3 0 0C -，，.……7分设平面PBD 的一个法向量()1111n x y z =，，，由1n OB ⊥，1n OP ⊥，可得1111110100020x y z y z ⋅+⋅+⋅=⎧⎪+⋅+=，即111320y x z =⎧⎪+=， 所以可取131 0 n ⎛= ⎝，，.……………………9分同理可得平面PBC 的一个法向量(2 13 3n =-，，.………………11分所以1212125cos 7n n n nn n ⋅<>==，.故二面角D PB C --的余弦值为57.………………12分 20.（Ⅰ）解：由题意可得24c =，12c a =.所以 4 2a c ==，. 由222b ac =-可得212b =，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=.……………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为()4 0，，由题意得，可设过()4 0，的直线方程为：4x my =+.………………………………………………7分由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：24160y my --=.设()11 A x y ，，()22B x y ，，则1212416y y my y +=⎧⎨=-⎩.………………10分 所以()()()()21212121212124414160OA OB x xy y my my y y m y y m y y ⋅=+=+++=++++=，故OA OB ⊥.………………………………………………12分21.解：()1'2xf x x a=--（2x >） （Ⅰ）当1a =时，()1'2f x x x =-，()'32f =-.()932f =-， 所以，函数()f x 在点()()3 3f ，处的切线方程为： ()9232y x +=--，即4230x y +-=.…………………………3分 （Ⅱ）()()212'22x x x a f x x a a x --=-=---()()()21112x a a x ⎡⎤=---+⎣⎦-，因为2x >，所以20x ->， ①当0a <时，()()()21120x a x x a --+=-->在2x >上成立，所以()'f x 当2x >恒大于0，故()f x 在()2 +∞，上是增函数.………………………………5分②当0a >时，()()(1'11112f x x a x a a x =--++-+-，因为2x >，所以10x -+>，()20a x ->，当1x ≥时，()'0f x ≤，()f x 为减函数；当21x ≤≤+()'0f x ≥，()f x 为增函数.………………7分综上：当0a <时，()f x 在()2 +∞，上为增函数； 当0a >时，()f x在(2 1+，上为增函数，在()1 ++∞，上为减函数.…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知0x 处有极值，故0a >，且011xa =++，因为32 2x e e ⎡⎤∉++⎣⎦，且22e +>，所以()f x 在32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，上单调.……………………10分当32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，为增区间时，()0f x ≥恒成立，则有()363211220e a a e ef e ⎧+<+⎪>+⎨+≥⎪⎩.当32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，为减区间时，()0f x ≥恒成立，则有()2633221144206a e e e a e e f e a ⎧<+⎧+>+⎪⎪⇒⎨⎨+++≥≥⎪⎪⎩⎩解集为空集.综上：当632a ee >+时满足条件.…………………………12分22.解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得224xy x+=，即()2224x y -+=.…………………………5分（Ⅱ）由3x a ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程，得30x a -=，l与圆C 相切，2213a -=+.所以2a =-或6.…………………………10分 23.解：（Ⅰ）当3a =时，()()()()133********x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩，所以，当1x =时，()f x 取得最大值2.……………………5分 （Ⅱ）由()0f x ≥，得21x a x -≥-， 两边平方得()()2241x a x -≥-，()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以①当1a >，不等式解集为22 3a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②当1a =，不等式解集为{}1x x =；③当1a <，不等式解集为2 23a a +⎛⎫-⎪⎝⎭，.……………………10分。