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高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
新数学高考第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．353．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．1004．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30C ．45︒D ．15︒6．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{1,3,5,6}D ．{1,2,3,4}7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-，D ．(2]-∞，8．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.9．若双曲线22221 x ya b-=的离心率为3，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=2x±C．12y x=±D．22y x=±10．设三棱锥V ABC-的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P AC B--的平面角为γ，则（）A．,βγαγ<<B．,βαβγ<<C．,βαγα<<D．,αβγβ<<11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A．32 B．0.2 C．40 D．0.2512．已知,a b是非零向量且满足(2)a b a-⊥，(2)b a b-⊥，则a与b的夹角是（）A．6πB．3πC．23πD．56π二、填空题13．已知曲线lny x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x=+++相切,则a= ．14．函数()22,026,0x xf xx lnx x⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．已知实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y=-的最小值是__________．16．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点,则实数a的取值范围是__________．17．计算：1726cos()sin43ππ-+=_____．18．记n S为数列{}n a的前n项和，若21n nS a=+，则6S=_____________．19．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则AB AC⋅=______．20．设函数21()ln2f x x ax bx=--，若1x=是()f x的极大值点，则a取值范围为_______________.三、解答题21．已知直线352 :{132x t lyt=+=+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cosρθ=.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求MA MB⋅的值.22．已知数列{}n a满足1112,22nn na a a++==+.（1）设2nn nab=，求数列{}n b的通项公式；（2）求数列{}n a的前n项和n S；（3）记()()211422n nnn nn nca a+-++=，求数列{}n c的前n项和n T.23．设函数22()ln(0)f x a x x ax a=-+>（Ⅰ）求()f x单调区间（Ⅱ）求所有实数a，使21()e f x e-≤≤对[1,e]x∈恒成立注：e为自然对数的底数24．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，H是正方形11AA B B的中心，122AA=，1C H⊥平面11AA B B，且15.C H=（Ⅰ）求异面直线AC与11A B所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B--的正弦值；（Ⅲ）设N为棱11B C的中点，点M在平面11AA B B内，且MN⊥平面111A B C，求线段BM的长．25．已知(3cos,cos)a x x=，(sin,cos)b x x=，函数()f x a b=⋅.（1）求()f x的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]xππ∈-时，求()f x单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.3．A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项.4．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.5．C解析：C 【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.6．A解析：A 【解析】 【分析】先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.7．C解析：C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。
新高考数学第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．33．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．344．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种C ．18种D ．20种7．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}8．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a-=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.则上述证法（）A．过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确11．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为A．1220B．2755C．2125D．2722012．已知,a b∈R，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b=--恰有三个零点，则（）A．1,0a b<-<B．1,0a b<->C．1,0a b>-<D．1,0a b>->二、填空题13．设函数()212log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是__________．14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m--共线，则m的值为．15．已知(13)nx+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.16．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．17．在极坐标系中，直线cos sin(0)a aρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则a=__________．18．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.19．在ABC∆中，若13AB=3BC=，120C∠=︒，则AC=_____．20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．三、解答题21．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .23．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
新高考数学第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈2．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6B ．8C ．26D ．424．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．806．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．328．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318B ．322C ．1322D ．3189．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．1210．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A 3B ．2C 6D ．511．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B 12± C 110± D 322± 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．16．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲17．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.18．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 20．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：P（K 2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d ）22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 23．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.24．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.25．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．2．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑3．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。
２０２４年新高考数学模拟卷(一)李春林(甘肃省天水市第九中学ꎬ甘肃天水７４１０２０)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００９４－０６收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:李春林(１９７８.１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ从事高中数学教学及解题研究.㊀㊀(河南㊁山西㊁江西㊁安徽㊁甘肃㊁青海㊁内蒙古㊁黑龙江㊁吉林㊁宁夏㊁新疆㊁陕西)第Ⅰ卷(选择题)一㊁选择题(本题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.)１.已知复数ｚ满足３＋ｉｚ＝１－ｉꎬ则ｚ＝(㊀㊀).Ａ.５㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.２２.设集合Ａ＝ｘｘɤａ{}ꎬＢ＝ｘｘȡ２{}ꎬ∁ＲＢ()ɣＡ＝Ａꎬ则ａ的取值范围为(㊀㊀).Ａ.ａ>２㊀㊀Ｂ.ａ<２㊀㊀Ｃ.ａȡ２㊀㊀Ｄ.ａɤ２３.ｘ＋２ｘæèçöø÷５的展开式中ｘ的系数为(㊀㊀).Ａ.１０㊀㊀Ｂ.４０㊀㊀Ｃ.３０㊀㊀Ｄ.２０４.已知数列ａｎ{}为等比数列ꎬＳｎ为ａｎ{}的前ｎ项和ꎬ且Ｓ３＝１ꎬＳ６＝３ꎬ则ａ１０＋ａ１１＋ａ１２＝(㊀㊀).Ａ.８㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.７５.已知Ｐ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上一点ꎬＦ１ꎬＦ２分别是椭圆的左㊁右焦点ꎬ若әＰＦ１Ｆ２的周长为６ꎬ且椭圆的离心率为１２ꎬ则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.３２㊀㊀Ｄ.２６.已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－１６ｌｎｘ在区间(２ａ－１ꎬ２ａ＋１)上单调递减ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.１２ꎬ３２æèçöø÷㊀㊀㊀㊀Ｂ.１２ꎬ３２[]Ｃ.５２ꎬ＋ɕæèçöø÷Ｄ.５２ꎬ＋ɕ[öø÷７.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是 每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和 ꎬ如４０＝３＋３７.在不超过３０的素数中ꎬ随机选取两个不同的数ꎬ其和等于３０的概率是(㊀㊀).Ａ.２４５㊀㊀Ｂ.１１５㊀㊀Ｃ.１４５㊀㊀Ｄ.１９８.如图１ꎬ该几何体为两个底面半径为１ꎬ高为１的相同的圆锥形成的组合体ꎬ设它的体积为Ｖ１ꎬ它的内切球的体积为Ｖ２ꎬ则Ｖ１ʒＶ２＝(㊀㊀).Ａ.２ʒ３㊀㊀Ｂ.２２ʒ３㊀㊀Ｃ.２ʒ２㊀Ｄ.２ʒ１二㊁多选题(本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项符合题目要图１㊀第８题图求.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分.)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋ａｃｏｓ２ｘ(ａɪＲ)且∀ｘɪＲꎬｆ(ｘ)ȡｆ－π１２æèçöø÷ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的图象关于点５π３ꎬ０æèçöø÷对称Ｃ.将ｆ(ｘ)的图象向左平移５π１２个单位长度ꎬ得到函数ｙ＝２ｃｏｓ２ｘ的图象Ｄ.若αɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｆ(ａ)＝６５ꎬ则ｓｉｎ２ａ＝３＋４３１０１０.如图２ꎬәＡＢＣ和әＤＢＣ所在平面垂直ꎬ且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤꎬøＣＢＡ＝øＤＢＣ＝１２０ʎꎬ则(㊀㊀).图２㊀第１０题图Ａ.异面直线ＡＤ与ＢＣ所成角的大小为６０ʎＢ.异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角的余弦值为３４Ｃ.直线ＡＤ与平面ＢＣＤ所成角的大小为４５ʎＤ.直线ＡＤ与平面ＢＣＤ所成角的大小为６０ʎ１１.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＝１ꎬ点Ｐ为直线ｌ:ｘ－ｙ－２＝０上的动点ꎬ则(㊀㊀).Ａ.圆Ｃ上有且仅有两个点到直线ｌ的距离为１２Ｂ.已知点Ｍ３ꎬ２()ꎬ圆Ｃ上的动点Ｎꎬ则ＰＭ＋ＰＮ的最小值为１７－１Ｃ.过点Ｐ作圆Ｃ的一条切线ꎬ切点为ＱꎬøＯＰＱ可以为６０ʎＤ.过点Ｐ作圆Ｃ的两条切线ꎬ切点为ＭꎬＮꎬ则直线ＭＮ恒过定点１２ꎬ－１２æèçöø÷１２.定义ｎ－１阶导数的导数叫做ｎ阶导数(ｎɪＮ∗ꎬｎȡ２)ꎬ即ｆｎ()ｘ()＝ｆｎ－１()ｘ()[]ᶄꎬ分别记作ｆᵡｘ()ꎬｆ‴ｘ()ꎬｆ４()ｘ()ꎬ ꎬｆｎ()ｘ().设函数ｆｘ()＝ａｘｅｘꎬ不等式ｆ２０２３()ｘ()>ｘ２＋２０２３ｘ对任意ｘɪ０ꎬ＋ɕ()恒成立ꎬ则实数ａ的取值可能为(㊀㊀).Ａ.１ｅ２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.１ｅ㊀㊀Ｄ.ｅ第Ⅱ卷(非选择题)三㊁填空题(本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分)１３.已知ａ＝３２ꎬｂ＝５ꎬｍ＝ａ＋ｂꎬｎ＝ａ＋λｂꎬ‹ａꎬｂ›＝１３５ʎꎬ若ｍʅｎꎬ则λ的值为.１４.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异ꎬ经过大量调查ꎬ得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图(如图３):图３㊀第１４题图利用该指标制定一个检测标准ꎬ需要确定临界值ｃꎬ将该指标大于ｃ的人判定为阳性ꎬ小于或等于ｃ的人判定为阴性ꎬ此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率ꎬ记为ｐ(ｃ)ꎻ误诊率是将未患病者判定为阳性的概率ꎬ记为ｑ(ｃ).假设数据在组内均匀分布ꎬ以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数ｆ(ｃ)＝ｐ(ｃ)＋ｑ(ｃ)ꎬ则函数ｆ(ｃ)在区间[９５ꎬ１０５]取得最小值时ｃ＝.１５.已知ａ>０ꎬ曲线ｆ(ｘ)＝ａｘ２－４ｅｘ－２ｅ２ｌｎｘ－１ｅ２ȡ０(ａ>０)恒成立ꎬ则实数ａ的最小值为.１６.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为ＦꎬＡꎬＢ分别为双曲线的左㊁右顶点ꎬ以ＡＢ为直径的圆与双曲线Ｃ的两条渐近线在第一㊁二象限分别交于ＰꎬＱ两点ꎬ若ＯＱʊＰＦ(Ｏ为坐标原点)ꎬ则该双曲线的离心率为.四㊁解答题(本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.)１７.已知数列ａｎ{}为等差数列ꎬＳｎ为ａｎ{}的前ｎ项和ꎬａ３＝１ꎬＳ９＝４５.(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)记ｂｎ＝ａｎ ２ｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.如图４ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ平面ＰＣＤʅ平面ＡＢＣＤꎬ侧面ＰＣＤ是等边三角形ꎬøＡＢＣ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬＡＢ＝２ＣＤ＝２ＢＣꎬＭ在棱ＡＢ上ꎬ且满足ＡＢ＝４ＢＭ.图４㊀第１８题图(１)求证:ＰＭʅＣＤꎻ(２)求二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ的余弦值.１９.在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ对应的边分别是ａꎬｂꎬｃꎬ且ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝３ａｃｏｓＡ.(１)求ｃｏｓＡꎻ(２)若әＡＢＣ的面积是２ꎬａ＝２ꎬ求әＡＢＣ的周长.２０.已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左㊁右焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ离心率为１２.点Ｐ是椭圆Ｃ上不同于顶点的任意一点ꎬ射线ＰＦ１ꎬＰＦ２分别与椭圆Ｃ交于点ＡꎬＢꎬәＰＦ１Ｂ的周长为８.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)若ＰＦ１ң＝λ１Ｆ１ＡңꎬＰＦ２ң＝λ２Ｆ２Ｂңꎬ求证:λ１＋λ２为定值.２１.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一ꎬ能对柚子树造成严重伤害ꎬ每只红蜘蛛的平均产卵数ｙ(个)和平均温度ｘ(ħ)有关ꎬ现收集了以往某地的７组数据ꎬ得到下面的散点图及一些统计量的值(如图５).图５㊀第２１题图(１)根据散点图判断ꎬｙ＝ｂｘ＋ａ与ｙ＝ｃｅｄｘ(其中ｅ＝２.７１８ 为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数ｙ(个)关于平均温度ｘ(ħ)的回归方程类型?(给出判断即可ꎬ不必说明理由)(２)由(１)的判断结果及表中数据ꎬ求出ｙ关于ｘ的回归方程.(计算结果精确到０.１)附:回归方程中ｙ＾＝ｂ＾ｘ＋ａ＾ꎬｂ＾＝ðｎｉ＝１ｘｉ－ｘ－()ｙｉ－ｙ－()ðｎｉ＝１ｘｉ－ｘ－()２＝ðｎｉ＝１ｘｉｙｉ－ｎｘ－ｙ－ðｎｉ＝１ｘ２ｉ－ｎｘ－２ꎬａ＾＝ｙ－－ｂ＾ｘ－参考数据(ｚ＝ｌｎｙ)ð７ｉ＝１ｘ２ｉð７ｉ＝１ｘｉｙｉð７ｉ＝１ｘｉｚｉｘ－ｙ－ｚ－５２１５１７７１３７１４２７８１.３３.６㊀㊀(３)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计ꎬ得到以下数据:平均气温在２２ħ以下的年数占６０％ꎬ对柚子产量影响不大ꎬ不需要采取防虫措施ꎻ平均气温在２２ħ至２８ħ的年数占３０％ꎬ柚子产量会下降２０％ꎻ平均气温在２８ħ以上的年数占１０％ꎬ柚子产量会下降５０％.为了更好地防治红蜘蛛虫害ꎬ农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变ꎬ无虫害的情况下ꎬ某果园年产值为２００万元ꎬ根据以上数据ꎬ以得到最高收益(收益＝产值－防害费用)为目标ꎬ请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案ꎬ并说明理由.方案１:选择防害措施Ａꎬ可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产ꎬ费用是１８万ꎻ方案２:选择防害措施Ｂꎬ可以防治２２ħ至２８ħ的蜘蛛虫害ꎬ但无法防治２８ħ以上的红蜘蛛虫害ꎬ费用是１０万ꎻ方案３:不采取防虫害措施.２２.已知函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ａｘ(ａɪＲ). (１)若ｆｘ()ɤ０在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ求ａ的取值范围:(２)设ｇｘ()＝ｘ３－ｆｘ()ꎬｘ１ꎬｘ２为函数ｇｘ()的两个零点ꎬ证明:ｘ１ｘ２<１.参考答案１.Ａ㊀２.Ｃ㊀３.Ｂ㊀４.Ａ㊀５.Ｂ㊀６.Ｂ㊀７.Ｂ８.Ｄ㊀９.ＢＣＤ㊀１０.ＢＣ㊀１１.ＡＢＤ㊀１２.ＢＤ１３.－３１０/－０.３㊀１４.１００㊀１５.３㊀１６.２１７.(１)据题意ꎬ数列ａｎ{}为等差数列ꎬ则Ｓ９＝９ａ５＝４５ꎬ所以ａ５＝５.故２ｄ＝ａ５－ａ３＝４.所以ｄ＝２ꎬ则ａｎ＝ａ３＋(ｎ－３)ｄ＝２ｎ－５. (２)ｂｎ＝ａｎ ２ｎ＝(２ｎ－５) ２ｎꎬ则Ｔｎ＝(－３)ˑ２１＋(－１)ˑ２２＋ ＋(２ｎ－５)ˑ２ｎꎬ①２Ｔｎ＝(－３)ˑ２２＋(－１)ˑ２３＋ ＋(２ｎ－５)ˑ２ｎ＋１.②由①－②ꎬ得－Ｔｎ＝(－３)ˑ２１＋２ˑ２２＋ ＋２ˑ２ｎ－(２ｎ－５)ˑ２ｎ＋１＝－６＋２(２２－２ｎ ２)１－２－(２ｎ－５)ˑ２ｎ＋１＝－１４＋(７－２ｎ)ˑ２ｎ＋１.则Ｔｎ＝１４＋(２ｎ－７)ˑ２ｎ＋１.１８.(１)取ＣＤ中点Ｎꎬ连接ＭＮꎬＰＮꎬ图６㊀第１８题第(２)问答案示意图因为øＡＢＣ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ所以ＡＢʊＣＤ.又因为ＡＢ＝２ＣＤꎬＡＢ＝４ＢＭꎬ所以ＣＮ＝ＢＭ.所以四边形ＢＭＮＣ是平行四边形.而øＡＢＣ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ故▱ＢＭＮＣ是矩形.所以ＣＤʅＭＮ.又因为әＰＣＤ为等边三角形且Ｎ为ＣＤ中点ꎬ所以ＰＮʅＣＤ.ＰＮꎬＮＭ⊂平面ＰＮＭꎬＰＮɘＮＭ＝Ｎꎬ所以ＣＤʅ面ＰＭＮꎬＰＭ⊂面ＰＭＮ.所以ＣＤʅＰＭ.(２)因为平面ＰＣＤʅ平面ＡＢＣＤꎬ且平面ＰＣＤɘ平面ＡＢＣＤ＝ＣＤꎬＰＮʅＣＤꎬＰＮ⊂平面ＰＣＤꎬ所以ＰＮʅ平面ＡＢＣＤꎬＭＮꎬＮＤ⊂平面ＡＢＣＤ.所以ＮＭꎬＮＤꎬＮＰ两两垂直.连接ＣＭꎬＮＭꎬ以ＣＤ中点Ｎ为坐标原点ꎬＮＭꎬＮＤꎬＮＰ分别为ｘꎬｙꎬｚ轴ꎬ建立如图６所示空间直角坐标系ꎬ设ＣＤ＝２ꎬ则Ｎ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＣ０ꎬ－１ꎬ０()ꎬＭ２ꎬ０ꎬ０()ꎬＰ０ꎬ０ꎬ３().所以ＣＰң＝０ꎬ１ꎬ３()ꎬＭＰң＝－２ꎬ０ꎬ３().平面ＡＢＣＤ的一个法向量可取为ｍ＝０ꎬ０ꎬ１()ꎬ设平面ＰＣＭ的法向量为ｎ＝ｘꎬｙꎬｚ()ꎬ所以ＣＰң ｎ＝０ꎬＭＰң ｎ＝０.{即ｙ＋３ｚ＝０ꎬ－２ｘ＋３ｚ＝０. {令ｚ＝２ꎬ则取ｎ＝３ꎬ－２３ꎬ２()ꎬ设二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ的平面角为αꎬ则ｃｏｓα＝ｃｏｓ‹ｍꎬｎ›＝｜ｍ ｎ｜｜ｍ｜｜ｎ｜＝２１ˑ１９＝２１９１９.由图６知:二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ为锐角ꎬ所以二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ的余弦值为２１９１９.１９.(１)由ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝３ａｃｏｓＡꎬ可得到ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｃｏｓＢ＝３ｓｉｎＡｃｏｓＡ.即ｓｉｎＢ＋Ｃ()＝３ｓｉｎＡｃｏｓＡ.因为Ｂ＋Ｃ＝π－Ａꎬ所以ｓｉｎＢ＋Ｃ()＝ｓｉｎＡʂ０.故ｃｏｓＡ＝１３.(２)由ｃｏｓＡ＝１３ꎬ可得ｓｉｎＡ＝２２３.因为ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡꎬ所以２＝１２ｂｃｓｉｎＡ.则ｂｃ＝３.由余弦定理ꎬ得４＝ｂ２＋ｃ２－２３ｂｃ＝ｂ＋ｃ()２－８３ｂｃ.所以ｂ＋ｃ＝２３.故әＡＢＣ的周长是ａ＋ｂ＋ｃ＝２３＋２.２０.(１)因为ＣәＰＦ１Ｂ＝ＰＦ１＋ＰＦ２＋ＢＦ１＋ＢＦ２＝２ａ＋２ａ＝４ａꎬ所以４ａ＝８ꎬａ＝２.由离心率为１２得ｃ＝１ꎬ从而ｂ＝３.所以椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.(２)如图７ꎬ设Ｐｘ０ꎬｙ０()ꎬＡｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｘ２０４＋ｙ２０３＝１.可设直线ＰＡ的方程为ｘ＝ｍｙ－１ꎬ其中ｍ＝ｘ０＋１ｙ０ꎬ图７㊀第２０题第(２)问答案示意图联立ｘ＝ｍｙ－１ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï化简ꎬ得３ｍ２＋４()ｙ２－６ｍｙ－９＝０.则ｙ０ｙ１＝－９３ｍ２＋４＝－９３(ｘ０＋１)/ｙ０[]２＋４.同理可得ꎬｙ０ｙ２＝－９３(ｘ０－１)/ｙ０[]２＋４.因为ＰＦ１ң＝λ１Ｆ１ＡңꎬＰＦ２ң＝λ２Ｆ２Ｂңꎬ所以λ１＋λ２＝ＰＦ１ＡＦ１＋ＰＦ２ＢＦ２＝ｙ０－ｙ１＋ｙ０－ｙ２＝－ｙ０１ｙ１＋１ｙ２æèçöø÷＝ｙ２０３(ｘ０＋１)/ｙ０[]２＋４＋３(ｘ０－１)/ｙ０[]２＋４{}９＝３ｘ０＋１()２＋３ｘ０－１()２＋８ｙ２０９＝６ｘ２０＋８ｙ２０＋６９＝２４＋６９＝１０３.所以λ１＋λ２是定值１０３.２１.(１)由散点图可以判断ꎬｙ＝ｃｅｄｘ更适宜作为平均产卵数ｙ关于平均温度ｘ的回归方程类型.(２)将ｙ＝ｃｅｄｘ两边同时取自然对数ꎬ可得ｌｎｙ＝ｌｎｃ＋ｄｘ.由题中的数据可得ꎬð７ｉ＝１ｘｉｚｉ－７ｘ－ｚ－＝３３.６ꎬð７ｉ＝１ｘｉ－ｘ－()２＝ð７ｉ＝１ｘ２ｉ－７ｘ－２＝１１２.所以ｄ＝ð７ｉ＝１ｘｉｚｉ－７ｘ－ｚ－ð７ｉ＝１ｘ２ｉ－７ｘ－２＝３３.６１１２＝０.３.则ｌｎｃ＝ｚ－－ｄｘ－＝３.６－０.３ˑ２７＝－４.５.所以ｚ关于ｘ的线性回归方程为ｚ＝０.３ｘ－４.５.故ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝ｅ０.３ｘ－４.５.(３)用Ｘ１ꎬＸ２和Ｘ３分别表示选择三种方案的收益.采用第１种方案ꎬ无论气温如何ꎬ产值不受影响ꎬ收益为２００－１８＝１８２万ꎬ即Ｘ１＝１８２.采用第２种方案ꎬ不发生２８ħ以上的红蜘蛛虫害ꎬ收益为２００－１０＝１９０万ꎬ如果发生ꎬ则收益为１００－１０＝９０万ꎬ即Ｘ２＝１９０ꎬ不发生２８ħ以上的红蜘蛛虫害ꎬ９０ꎬ发生２８ħ以上的红蜘蛛虫害.{同样ꎬ采用第３种方案ꎬ有Ｘ３＝２００ꎬ不发生虫害ꎬ１６０ꎬ只发生２２－２８ħ虫害ꎬ１００ꎬ发生２８ħ以上虫害.ìîíïïïï所以ＥＸ１()＝１８２ꎬＥＸ２()＝１９０ˑＰＸ２＝１９０()＋９０ˑＰＸ２＝９０()＝１９０ˑ０.９＋９０ˑ０.１＝１７１＋９＝１８０ꎬＥＸ３()＝２００ˑＰＸ３＝２００()＋１６０ˑＰＸ３＝１６０()＋１００ˑＰＸ３＝１００()＝２００ˑ０.６＋１６０ˑ０.３＋１００ˑ０.１＝１７８.显然ꎬＥＸ１()最大ꎬ所以选择方案１最佳.２２.(１)若ｆｘ()ɤ０在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ即ａɤ－２ｌｎｘｘ.令ｕｘ()＝－２ｌｎｘｘꎬ所以ｕᶄｘ()＝－２－２ｌｎｘｘ２＝２ｌｎｘ－１()ｘ２.所以当０<ｘ<ｅ时ꎬｕᶄｘ()<０ꎬ当ｘ>ｅ时ꎬｕᶄｘ()>０ꎬ所以ｕｘ()在０ꎬｅ()上单调递减ꎬ在ｅꎬ＋ɕ()上单调递增.所以ｕｘ()ｍｉｎ＝ｕｅ()＝－２ｅ.所以ａɤ－２ｅ.即ａ的取值范围是－ɕꎬ－２ｅæèç].(２)令ｇｘ()＝０ꎬ即ｘ２－２ｌｎｘｘ－ａ＝０.令ｈｘ()＝ｘ２－２ｌｎｘｘ－ａꎬ则ｈᶄｘ()＝２ｘ－２１－ｌｎｘ()ｘ２＝２ｘ３＋ｌｎｘ－１()ｘ２.令ｒｘ()＝ｘ３＋ｌｎｘ－１ꎬ所以ｒᶄｘ()＝３ｘ２＋１ｘ>０.所以ｒｘ()在０ꎬ＋ɕ()上单调递增.又ｒ１()＝０ꎬ所以当０<ｘ<１时ꎬｒｘ()<０.所以ｈᶄｘ()<０.当ｘ>１时ꎬｒｘ()>０ꎬ所以ｈᶄｘ()>０.所以ｈｘ()在０ꎬ１()上单调递减ꎬ在１ꎬ＋ɕ()上单调递增.不妨设ｘ１<ｘ２ꎬ则０<ｘ１<１<ｘ２ꎬ０<１ｘ２<１.因为ｈｘ１()＝ｈｘ２()＝０ꎬ所以ｈｘ１()－ｈ１ｘ２æèçöø÷＝ｈｘ２()－ｈ１ｘ２æèçöø÷＝ｘ２２－２ｌｎｘ２ｘ２－ａæèçöø÷－１ｘ２２－２ｌｎ(１/ｘ２)１/ｘ２－ａ[]＝ｘ２＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２－１ｘ２－２ｌｎｘ２æèçöø÷.设函数φｘ()＝ｘ－１ｘ－２ｌｎｘ(ｘ>１)ꎬ则φᶄｘ()＝１＋１ｘ２－２ｘ＝ｘ－１()２ｘ２>０在１ꎬ＋ɕ()上恒成立.所以φｘ()在１ꎬ＋ɕ()上单调递增.所以φｘ２()＝ｘ２－１ｘ２－２ｌｎｘ２>φ１()＝０.所以ｈｘ１()－ｈ１ｘ２æèçöø÷>０.即ｈｘ１()>ｈ１ｘ２æèçöø÷.又函数ｈｘ()＝ｘ２－２ｌｎｘｘ－ａ在０ꎬ１()上单调递减ꎬ所以０<ｘ１<１ｘ２<１.所以ｘ１ｘ２<１.[责任编辑:李㊀璟]。
2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考I卷）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是，再根据共轭复数定义即可得结果．．．．【答案】C【分析】根据奇偶性和赋值即可判断选项【详解】由2()sin ln f x x x f -=-⋅=-()x 是奇函数，且定义域为{BD ；π时，()2πsinπln π0f =⋅=，排除C．已知n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列}n a 的前n 项和，设甲：数列*N n ∈，均有0n S >，则（．甲是乙的充分条件但不是必要条件．甲是乙的必要条件但不是充分条件．甲是乙的充要条件．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】利用定义法直接判断符合数列7．已知tan(+)αβ，tan(α-A ．2-B ．-【答案】D【分析】由题意可求出tan(α()()2ααβαβ=++-，2β式求值即可.【详解】因为tan(+)αβ，tan(所以tan(+)+tan()=a b a b --因为()()sin sin 2cos 2cos αβαβαβ++⎡⎣=+-⎡⎣()()()()tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++-=++⋅-故选：D8．已知91ln ,,e 89a b c -===A ．a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学•全解全析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{23}A xx −<<∣，{}250,B x x x x =−<∈N ∣，则A B = （ ） A ．{03}xx <<∣ B ．{25}x x −<<∣ C ．{0,1,2} D ．{1,2}【答案】D【分析】先求集合B ，注意x N ∈，再求A B ∩.【详解】250x x −<⇒05x <<，又因为x N ∈，所以{1,2,3,4}B =，得{1,2}A B = ． 故选：D ． 2．已知复数z 满足4i2i z z −=−，则z 的虚部为（ ） A ．1i 5B ．1i 10 C ．15D ．110【答案】C【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果. 【详解】因为4i2i z z−=−，所以4i 12z z +=，所以()124i z =−,所以()()124i 24i 11i 24i24i 24i 20105z ++====+−−+，所以z 的虚部为15，故选：C ．3．已知π(0,),3sin 2cos 212ααα∈=+，则tan 2α=（ ）AB C ．34D ．43【答案】C【分析】利用二倍角的正余弦公式求出tan α，再利用二倍角的正切公式计算即得.【详解】由3sin2cos 21αα=+，得26sin cos 2cos ααα=，而π(0,)2α∈，即cos 0α>， 则1tan 3α=，所以22122tan 33tan 211tan 41()3ααα×===−−. 故选：C4．若命题：“a ∃，R b ∈，使得cos cos a b b a −≤−”为假命题，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b < B ．a b > C ．a b ≤ D ．a b ≥【答案】B【分析】由命题的否定为真命题，转化为cos cos a a b b +>+成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“a ∀，R b ∈，使得cos cos a b b a −>−”为真命题， 即cos cos a a b b +>+，设()cos f x x x =+，则()1sin 0f x x ′=−≥， 所以()f x 为增函数，所以由()()f a f b >可知a b >， 故选：B5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2311.31cmB ．2300.88cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm【答案】A【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为R ，r （其中R r >）， 则222.5R =，214.4r =， 3.80.83h =−=，所以5l ≈，故圆台部分的侧面积为()()21 π311.2276.7557.25cm S R r l =+≈×+×=， 圆柱部分的侧面积为222π0.867.20.834.56cm S r =⋅=××=， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为212276.7534.56 311.31cm S S +≈+=.故选：A.6．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高PQ 为（ ）米A． B． C．1)− D．1)【答案】A【分析】在ABP 中，利用正弦定理求AP ，进而在Rt PAQ 中求山的高度.【详解】依题意，45PAQ ∠=，15BAQ ∠= ，则30PAB ∠= ，45APQ ∠= ， 又60PBC ∠= ，则30BPC ∠= ，即有15BPA ∠= ，135PBA ∠= ， 在ABP 中，90AB =， 由正弦定理得sin sin AP ABABP APB=∠∠，且sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45=−=−=，则sin 90sin135sin sin15AB ABP APAPB ∠===∠， 在Rt PAQ中，sin 45PQAP ==， 所以山高PQ为米. 故选：A7．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与E 的右支交于A ，B两点，且222BF AF =，若10AF AB ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ） ABCD【答案】B【分析】设2AF t =，则22BF t =，根据双曲线的定义，可得1AF 和1BF ，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于a ，c 的关系，可得双曲线的离心率.【详解】如图：设2AF t =，则22BF t =，根据双曲线的定义，可得12AF a t =+，122BF a t =+， 因为10AF AB ⋅=，所以190BAF ∠=°， 所以222121222211AF AF F F AF AB BF += += ⇒()()()()()222222222322a t t c a t t a t ++= ++=+ 由()()()2222322a t t a t ++=+⇒23a t =， 代入()()22222a t t c ++=可得22179a c =⇒e ca ==故选：B【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)12f = B ．方程()f x x =有解 C ．12f x+是偶函数D ．12f x−是偶函数【答案】C【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=， 取1xy ==，得(1)(1)(2)22f f f +=−+，则(2)4f =， 取2xy ==，得(2)(2)(4)82f f f +=−+，则(4)14f =，故A 错误； 对于B ，取1y =，得()(1)(1)22f x f f x x +=+−+，则(1)()2f x f x x +−=， 所以()(1)2(1),(1)(2)f x f x x f x f x −−=−−−−=2(2),,(2)(1)2x f f −−=， 以上各式相加得[]22(1)2(1)()(1)2x x f x f x x −+⋅−−==−，所以2()2f x x x −+，令2()2f x x x x =−+=，得2220x x +=−，此方程无解，故B 错误. 对于CD ，由B 知2()2f x x x −+，所以22111722224f x x x x+=+−++=+是偶函数，21112222f x x x −−−−+21124x x −+不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到(1)()2f x f x x +−=，再利用等差数列数列的求和公式得到2()2f x x x −+，从而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω =+−++−++.A ．0.004a =B ．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数a 的值，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 选项；利用总体平均数公式可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则()23762102001a a a a a a ++++×==，解得0.005a =，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为()2310500.250.5a a a +×==<， 前三个矩形的面积之和为()237101200.60.5a a a a ++×==>， 设计该年级学生成绩的中位数为m ，则()70,80m ∈，根据中位数的定义可得()0.25700.0350.5m +−×=，解得77.14m ≈， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对； 对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为62859587.56262a aa a a a×+×=++分，C 对； 对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为()()22311287.5851087.59530.2544 +−++−=，D 对.故选：BCD.10．已知函数π()sin 33f x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈− 1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x ′()()y f x f x =+′ 【答案】ACD【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠，所以π,06 不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤，根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x =+，ππ,189x ∈− 有两个交点，1a ≤<，故C 正确； 设()f x ′为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确， 故选：ACD ．11．已知1x 是函数 ()()30f x x mx n m =++<的极值点，若()()()2112f x f x x x =≠，则下列结论 正确的是（ ） A ．()f x 的对称中心为()0,n B ．()()11f x f x −> C ．1220x x += D ．120x x +>【答案】AC【分析】利用()()002f x f x n ++−=，可判断A ；令()0f x ′=，解得x ，代入()()11f x f x −−可判断B ；利用导数判断出()y f x =的单调性并求出极值点，结合图像分情况由()()()2112f x f x x x =≠解出2x ，可得1220x x +=可判断C ；利用C 选项，若1x =2x =120x x +<可判断D.【详解】对于A ，因为()()33002f x f x x mx n x mx n n ++−=++−−+=，所以()f x 的对称中心为()0,n ，故A 正确；对于B ，()23f x x m =′+，令()0f x ′=，解得x =当1x =时， ()()33111111f x f x x mx n x mx n −−=−−+−−−()21123m x x m m −=−+−+因为0m <，所以0>，可得()()11f x f x −>，当1x = ()()33111111f x f x x mx n x mx n −−=−−+−−−()21123m x x m m − =−++，因为0m <0<，可得()()11f x f x −<，故B 错误；对于C ，令()0f x ′=，解得x =，当x >或x <()0f x ′>，()y f x =是单调递增函数，当x <()0f x ′<，()y f x =是单调递减函数，所以()y f x =在x =时有极大值，在x =如下图，当1x =()()()2112f x f x x x =≠，则 ()()()()33221211*********f x f x x mx n x mx n x x x x x x m −=++−−−=−+++=，可得2211220x x x x m +++=，即22203m x m −++=，解得2x =， 所以1220x x +=；当1x =时，如下图，若()()()2112f x f x x x =≠，则 ()()()()33221211*********f x f x x mx n x mx n x x x x x x m −=++−−−=−+++=，可得2211220x x x x m +++=，即22203m x m −++=，解得2x = 所以1220x x +=；综上所述，1220x x +=，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，若1x =，2x =所以120x x +，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020年新高考数学第一次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．设x∈R，则“2x＞8”是“|x|＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）A．B．C．D．7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB的面积等于，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．8．设函数则下列结论中正确的是（）A．对任意实数a，函数f（x）的最小值为B．对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是C．当且仅当时，函数f（x）的最小值为D．当且仅当时，函数f（x）的最小值为二、多项选择题（共4小题）9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC．若n⊥α，m∥α，则n⊥mD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β10．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ+3μ，则（）A．P为线段OC的中点时，μ＝B．P为线段OC的中点时，μ＝C．无论μ取何值，恒有λ＝D．存在μ∈R，λ＝11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最大值B．S15是最大值C．S29＝0D．S1是最小值12．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]三、填空题（共4小题）13．若函数f（x）＝x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，则实数a＝．14．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），则a10＝．15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．18．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计/mm件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF 沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．21．如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：y＝kx+m（k≠0，m∈R）交椭圆于P，Q两点，线段PQ 的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，求证：直线l过定点．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R【分析】可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．解：B＝{x|x＞0}，A＝{x|x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}，A∪B＝{x|x＞0}．故选：B．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．3．设x∈R，则“2x＞8”是“|x|＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由2x＞8得x＞3，由“|x|＞3”得x＞3或x＜﹣3，即“2x＞8”是“|x|＞3”的充分不必要条件，故选：A．4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【分析】作差比较可得．解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5线，由24%• 1.5x﹣28%•x＝8%•x＞0，故选项A不正确；由（40%• 1.5x﹣32%•x）÷32%•x＝，故选项B不正确；由8%• 1.5x﹣8%•x＝4%•x＞0，故选项C不正确；由28%• 1.5x﹣32%•x＝42%•x＞0，故选项D正确．故选：D．5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），|OP|＝1，∴sinα＝，cosα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝，故选：B．6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】用对立事件解决，设A＝{小张和小王至多1人被抽中}，B＝{小张和小王都被抽中}，A，B互为对立事件，B包含一个基本事件，代入概率公式即可．解：小王和小李至多1人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中．设A＝{小张和小王至多1人被抽中}，B＝{小张和小王都被抽中}，则B包含1个基本事件，∴p（A）＝1﹣p（B）＝1﹣＝．故选：D．7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB的面积等于，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，利用三角形的面积转化求解即可．解：抛物线y2＝8x的准线：x＝﹣2，双曲线的两条渐近线y ＝x，抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B 两点，可得|AB|＝，△FAB的面积等于，F为抛物线的焦点（2，0）可得：＝8，可得b＝，所以b2＝3a2＝c2﹣a2，可得e＝＝2．故选：C．8．设函数则下列结论中正确的是（）A．对任意实数a，函数f（x）的最小值为B．对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是C．当且仅当时，函数f（x）的最小值为D．当且仅当时，函数f（x）的最小值为【分析】运用指数函数的值域，以及二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到所求结论．解：当x≤a时，f（x）＝e x∈（0，e a]，当x＞a时，f（x）＝x2﹣x+a＝（x﹣）2+a﹣，要使f（x）取得最小值a﹣，即为x＝处取得，从而a＜，又当x≤a时，f（x）∈（0，e a]，可得a﹣≤0，可得a≤，故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC．若n⊥α，m∥α，则n⊥mD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β【分析】利用直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，判断选项的正误即可．解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在①中，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β，①是真命题；α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故错误；在②中，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β，或α与β相交或平行，故②错误；在③中n⊥α，m∥α，则n⊥m，故③是真命题；在④中，α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β，也可能n⊂β，故④错误．故选：AC．10．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ+3μ，则（）A．P为线段OC的中点时，μ＝B．P为线段OC的中点时，μ＝C．无论μ取何值，恒有λ＝D．存在μ∈R，λ＝【分析】运用向量的加法表示；再应用平面向量基本定理得λ和μ．解：＝+＝+λ＝+λ（）＝（1﹣λ）+λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为OC中点时，则＝，则1﹣λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误；故选：AC．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最大值B．S15是最大值C．S29＝0D．S1是最小值【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，∴d＜0，11a1+55d＝18a1+d，化为：a1+14d＝0＝a15．∴S29＝29a15＝0．S14，S15都是最大值．故选：BC．12．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，由三角函数图象的性质得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当x时，2x∈[，]，函数g（x）值域为[﹣，2]，得解解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，易得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[﹣，2]，故选项D正确，故选：D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）＝x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，则实数a＝﹣1．【分析】求出原函数的导函数，再由f′（1）＝2列式求解a值．解：∵函数f（x）＝x﹣alnx的导数为f′（x）＝1﹣，∴在点（1，1）处的切线斜率为f′（1）＝1﹣a，又∵在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，∴1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故答案为：﹣1．14．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），则a10＝3+ln10．【分析】通过数列的递推关系式，利用累积法，结合对数运算法则，转化求解即可．解：数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），a2＝a1+ln（1+1），a3＝a2+ln（1+），a4＝a3+ln（1+），…a10＝a9+ln（1+），累积可得a10＝a1+ln2+ln+ln+…+ln＝3+ln10．故答案为：3+ln10．15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为【分析】设正四棱柱的高为h，结合过正四棱柱的圆锥的轴截面，根据三角形相似得到正四棱柱底面边长和高的关系，用h表示出正四棱柱的体积，求最值即可．解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为h，底面边长为a，则O，O1分别为AC，A1C1的中点，所以A1C1＝，EF＝2，△SA1C1∽△AEF，所以，即，所以a＝，（0＜h＜2）所以正四棱柱的体积V＝a2h＝＝，令V'＝＝（h﹣2）（3h﹣2）＝0，得h＝，或者h＝2（舍）．当时，V'＞0，当时，V'＜0，所以当时，V（h）单调递增，当时，V（h）单调递减，故当h＝时，V有最大值，此时a＝＝．故填：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为﹣2．【分析】利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断P所在的位置，求解最小值即可．解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA 边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD 上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．在△ABC中，3sin A＝2sin B ，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C ＝的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a＝2b，结合b﹣a＝1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C ＝，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．解：（1）∵，∴cos2C ＝＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝﹣．（2）∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：3a＝2b，又∵AC﹣BC＝1，即：b﹣a＝1，∴解得：a＝2，b＝3，∵由（1）可得：cos C ＝，∴由余弦定理可得：c ＝＝＝，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计/mm件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）＝2×＝；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E（Z）．解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝P（62.8＜X≤67.2）＝0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝P（60.6＜X≤69.4）＝0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝P（58.4＜X≤71.6）＝0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）＝2×＝；…（ⅱ）由题意可知Z的分布列为Z012P故E（Z）＝0×+1×+2×＝．…19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【分析】（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，可得，即，解得a1．利用通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．解：（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得a1＝1．………………所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n．………………………………………（2），………两式相减得………所以………………………所以．…………………………………20．如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF 沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF＝E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF＝FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN＝M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（﹣2，2，0），M（﹣1，1，1），∴＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（2，﹣1，0），设面EMF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量＝（1，2，1），设二面角E﹣MF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角E﹣MF﹣C的余弦值为．21．如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：y＝kx+m（k≠0，m∈R）交椭圆于P，Q两点，线段PQ 的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，求证：直线l过定点．【分析】（1）由离心率和三角形OAB的面积及a，b，c之间的距离求出a，b的值，进而求出椭圆的方程．（2）设P，Q的坐标，因为线段PQ的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，可得以PQ为直径的圆过A点，即所以＝0，求得k，m的关系进而切线直线l的方程，可得过的定点的坐标，将过的A点舍弃．解：（1）有题意可得＝，＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）证明：由（1）可得A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与椭圆联立可得：，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝+2m＝，因为线段PQ的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，所以可得以PQ为直径的圆过A点所以＝0，（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，可得x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，即4（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，可得12k2+16km+5m2＝0，解得：k＝﹣，k＝﹣m，所以直线为：y＝﹣m（x﹣2），或y＝﹣（x﹣），所以直线l过定点（2，0）或（，0），而直线不过A点，所以直线l过（，0）．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+∞），可构造函数g（x）＝xe x﹣1﹣a，通过求导及分类讨论，即可求得a的取值范围．（2）由（1）令﹣a＝0，通过分离参数得a＝，同时求对数，根据函数f（x0）≥0，可得1﹣x0﹣lnx0≥0．构造函数g（x）＝1﹣x﹣lnx及H（x）＝x﹣lnx ﹣1，由导数即可判断H（x）的单调情况，进而求得H（x）的最小值，结合f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）即可证明不等式成立．解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．∴．令g（x）＝xe x﹣1﹣a，则g′（x）＝（x+1）e x﹣1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）存在极小值点．综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．证明：（2）由（1）知﹣a＝0，即a＝．∴lna＝lnx0+x0﹣1，f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）．由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即e x﹣1≥x，∴，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，∴f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）≥•2（1﹣x0）＝2（﹣），∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．。
新数学高考第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．16252．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．135．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．46．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A ．2B ．3C ．22D ．327．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π8．对于不等式2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,211+<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,即2k k +<k+1. 那么当n=k+1时,()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 310．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1011．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C 2D ．212．在[0,2]π内，不等式3sin 2x <-的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =，b=1,则c =_____________15．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.16．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.17．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）19．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．三、解答题21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.22．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c . 23．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 24．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.26．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．2．A解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．3．B解析：B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（），2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B. 4．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.5．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．6．C解析：C 【解析】 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为2d =， 所以公共弦长为：22222l r d =-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2），∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 时有21k k k +<+ 成立，即2(1)(1)(1)1k k k +++<++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.9．B解析：B 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B ．考点：由三视图求面积、体积．10．D解析：D 【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.11．C解析：C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a = 则该双曲线的离心率为 e 2ca==， 故选C ． 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】解：在[0，2π]内，若sin x 32-＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53π）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =，因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 故答案为:42． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．14．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的解析：4 【解析】 试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．16．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可. 详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+39110i =-+=+=，故答案为10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++17．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数 解析：6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z 的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ， 此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.18．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画 解析：画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件，∴C 在散步，则D 在画画，故答案为画画20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n n n a a a a q --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a 取得最大值6264=.考点：等比数列及其应用三、解答题21．(1)； (2)36000；（3）. 【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．22．(1)3A π=(2)b c ==2【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得 3sin sin cos sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A 故bc =4， 而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==223．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．24．（1）1；（2）见解析【解析】【分析】 （1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果.【详解】（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭23321112233b c a c a b a a b b c c=++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c======时，等号成立． 所以239a b c ++≥. 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题． 25．（1）19；（2）89. 【解析】试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为31279= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199-= 考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．26．（I ）(4,),(2)24ππ（II ）1,2a b =-= 【解析】【分析】【详解】（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=联立得22(2)4{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C交点的极坐标为(4,)24ππ （II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为20x y -+= 由参数方程可得122b ab y x =-+，所以1,12,1,222b ab a b =-+==-=解得。
2024新高考数学一模练习卷（一）数学试卷本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟．考生注意事项：1．答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答题卡的张数与印刷情况．2．在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动，用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑．3．在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域．4．答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合AA={xx|xx2−4xx+3<，BB={xx|yy=ln(xx−1)} ，则CC BB AA= （ * ）．（A）{xx|xx≥1} （B）{xx|xx≥3}（C）{xx|1≤xx≤3} （D）{xx|xx≤3}2. 在复平面中，点ZZ1对应的复数为zz，点ZZ2对应的复数为zz̅，若|ZZ1|=|ZZ1ZZ2|=2 ，则OOZZ1��������⃗·OOZZ2��������⃗= （ * ）．（A）−5（B）−4（C）4（D）53. 已知事件AA，BB，CC相互独立，且PP(AA) ,PP(BB) ,PP(CC)∈(0,1)，则在以下说法中，错误的是（ * ）．（A）事件AA，BB，CC均为随机事件（B）事件AA，BB，CC均与必然事件MM相互独立（C）事件AA，BB，CC均与不可能事件NN不互斥（D）事件AA，BB，CC均与事件AA∩BB∩CC对立4. 记SS nn为数列{aa nn}的前nn项和，若aa1=1 ，SS nn=2aa nn+aa nn+1，则在aa1~aa2024中，整数的个数是（ * ）．（A）1012（B）1011（C）2024（D）20235. 中国是瓷器的故乡．“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为 6cm ）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为 20cm ，底面直径AABB=10cm ，底面直径CCCC=20cm ，EEEE=16cm ，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ * ）．图1 图2（A）669ππ cm3（B）1338ππ cm3（C）650ππ cm3（D）1300ππ cm36. 已知椭圆Γ:xx2aa2+yy2bb2=1 (aa>bb>0)过点�32√2,√2�，则下列直线方程不与Γ相切的是（ * ）．（A）3√3xx+4yy−16=0（B）3xx+4yy+12=0（C）4xx+6yy−17=0（D）xx−4yy−10=07. 已知函数ff(xx)=2sin�ωωxx+ππ6�在区间(0,ππ)上有ωω个极值点（ωω∈NN∗），则ωω的最小值是（ * ）．（A）1（B）2（C）3（D）48. 已知aa=1+sin110，bb=√ee10，cc=1.0110，dd=1716，则（ * ）．（A）bb>aa>dd>cc（B）bb>cc>aa>dd（C）bb>aa>cc>dd（D）bb>cc>dd>aa二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论．某课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男同学40 60女同学60 40考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男士60 40女士70 30则（ * ）．（A）该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验（B）高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5，25至30周岁的为0.65（Cαα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关（D）通过下表的小概率值αα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关注：χχ2=nn(aadd−bbcc)2(aa+bb)(cc+dd)(aa+cc)(bb+dd)，其中nn=aa+bb+cc+ddαα0.10.050.01 0.005 0.001xxαα 2.706 3.841 6.635 7.897 10.82810. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3，沿着BBBB1和CCCC1分别作上底面的垂面，垂面经过棱EEPP，PPPP，PPHH，HHEE的中点EE，GG，MM，NN，则两个垂面之间的几何体2如图4所示，若EENN=AABB=EEAA=2 ，则（ * ）．（A）BBBB1=2√2（B）EEGG//AACC（C）BBCC⊥平面BBEEBB1GG（D）几何体2的表面积为 16√3+8图3 图411. 已知椭圆EE:xx24+yy23=1 ，过椭圆EE的左焦点EE1的直线ll1交椭圆EE于AA、BB两点，过椭圆EE的左焦点EE2的直线ll2交椭圆EE于CC、CC两点，则（ * ）．（A）若AAEE1�������⃗=2EE1BB�������⃗，则ll1的斜率kk=√62（B）|AAEE1|+4|BBEE1|的最小值为274（C）以AAEE1为直径的圆与圆xx2+yy2=4 相切（D）若ll1⊥ll2，则四边形AABBCCCC面积的取值范围为�28849,6�图5 12. 已知正实数mm，nn，qq满足：�2mm+3nn=6qq2mm·3nn=5qq，则（ * ）．（A）ln2<qq<1（B）0<mmnn<12（C）√2<mm+nn qq<√6（D）ln5ln6<mm2+nn2<ln5+ln6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在�√xx+1xx�4的展开式中，√xx的系数是________．（用数字作答）14. 函数ff(xx)=sin|xx|+|cos xx| ,xx∈(0,2ππ)的极值点个数为________．15. 已知函数ff(xx)=�(xx+1)2 ,xx≤0ln xx ,xx>0，若方程ff(xx)=mm有三个不同的实根aa，bb，cc，则SS=|aaff(aa)+bbff(bb)+ccff(cc)|的取值范围是__________．16. 若实数aa，bb满足aa2+bb2≤6aa，则(2aa+bb)(2bb−aa+3)≤0 的概率为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知在△AABBCC中，角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc．且有 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3 ．（1）求 sin CC；（2）若cc=2 ，记AABB的中点为MM，求CCMM的取值范围．18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后，小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：小李同学找来了小王同学；小李同学制作了三张标号，分别为1，2，3的相同规格纸片；每轮开始前，小李同学心里默想1，2，3中的一个随机数字；小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同标号的纸片；小王同学再进行一次选择；小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分，否则记录一次0分；重复进行多轮试验．（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望EE(XX2)；19.（12分）记数列{aa nn}的前nn项和为SS nn，已知SS nn=nnaa nn+1−nn2−nn．（1）证明：{aa nn}是等差数列；（2）若aa1=43，证明：1SS1+1SS2+1SS3+⋯+1SS nn<2720．20.（12分）如图6，在四棱柱AABBCCCC−AA′BB′CC′CC′中，底面AABBCCCC和侧面BBBB′CC′CC均为正方形，AABB=2 ．连接BB′CC，点EE、EE分别为BB′CC、CC′CC′的中点．（1）求AA′EE和CC′EE夹角的正弦值；（2）求平面AA′BBEE和平面CCCC′EE的夹角．图6 21.（12分）如图7，已知OO为坐标原点，抛物线的方程为xx2=2ppyy(pp>0)，EE是抛物线的焦点，椭圆的方程为xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)，过EE的直线ll与抛物线交于MM，NN两点，反向延长OOMM, OONN分别与椭圆交于PP，HH两点．（1）求kk OOOO、kk OOOO的值；（2）若|OOPP|2+|OOHH|2=5 恒成立，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，SS△OOOOOO SS△OOOOOO的最小值为1，求抛物线的方程．（其中SS△OOOOOO，SS△OOOOOO 分别是△OOMMNN和△OOPPHH的面积）图7 22.（12分）已知函数ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1 .（其中aa>0 ）（1）若∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1 ，求aa的取值范围；（2）若yy=ff(xx)与yy=gg(xx)有且仅有一个交点，求实数aa的值.2024年广东省新高考数学一模练习卷（一）数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A B C A B二、选择题题号9 10 11 12答案BCD ABC BCD ABC三、填空题题号13 14 15 16 答案 4 4 [0,ee−2]12四、解答题17.（1）由题 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3⇒tan AA+tan BB=−√3(1−tan AA tan BB)⇒tan AA+tan BB1−tan AA tan BB=−√3⇒tan(AA+BB)=−√3⇒tan CC=−tan(AA+BB)=√3⇒CC=ππ3所以 sin CC=√32.（2）如图所示，构造△AABBCC的外心NN，连接AANN，BBNN，CCNN，MMNN由题得AAMM=BBMM=1 ，AANN=CCNN=BBNN=RR=2cc sin CC=2√33，MMNN=12AANN=√33由三角形三边关系得CCNN−MMNN≤CCMM≤CCNN+MMNN，即√33≤CCMM≤√3 ，故CCMM∈�√33,√3�.18.（1）记事件 AA 1 为“第二次选择时不换纸片”，AA 2 为“第二次选择时换纸片”，BB 1 为“记1分”，BB 2 为“记0分”，由贝叶斯公式得：PP (BB 1|AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)+PP (BB 2)PP (AA 1|BB 2)=13PP (BB 1|AA 2)=1−PP (BB 1|AA 1)=23>PP (BB 1|AA 1)所以如果我是小王同学，我会选择换纸片（2）记2轮的总得分为 XX ，结合（1）得 XX 的分布列为PP (XX =0)=19 ，PP (XX =1)=49 ，PP (XX =2)=49用表格表示 XX 的分布列，如下表所示：XX 012PP19 49 49 EE (XX 2)=0×19+1×49+2×49=43故进行2轮试验总计分的数学期望 EE (XX 2) 为 4319.（1）由题意 SS nn =nnaa nn+1−nn 2−nn ，SS nn +aa nn+1=SS nn+1=(nn +1)aa nn+1−nn 2−nn=(nn +1)(aa nn+1−nn )=(nn +1)aa nn+2−(nn +1)2−(nn +1)=(nn +1)(aa nn+2−nn −2)，所以 aa nn+1−nn =aa nn+2−nn −2 ，即 aa nn+2=aa nn+1+2 ，所以 {aa nn } 是以2为公差的等差数列 （2）由（1）及题意得等差数列 {aa nn } 的前 nn 项和SS nn =nn 2(aa 1+aa nn )=nn 2�23+2nn�=nn �nn +13�1SS nn =1nn �nn +13�=3nn (3nn +1)1SS 1+1SS 2+⋯+1SS nn =3�11×4+12×7+⋯+1nn ×(3nn +1)� 即证 33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<920易知 (3nn −1)(3nn +2)<3nn (3nn +1)则 33nn (3nn +1)<3(3nn −1)(3nn +2)33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<14+�35×8+⋯+3(3nn −1)×(3nn +2)�=14+�15−18+18−111+⋯+13nn−1−13nn+2�<14+15=920原题得证，证毕20.（1）如图，以AA′为坐标原点，AA′BB′为x轴，AA′DD′为y轴，AA′AA为z轴，建立空间直角坐标系则AA(0,0,2)，BB(2,0,2)，CC(2,−2,2)，DD(0,−2,2)，BB′(2,0,0)，CC′(2,−2,0)，DD′(0,−2,0)，EE(1,−1,1)，FF(1,−2,0)则AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，cos<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=AA′FF�������⃗·CC′EE�������⃗|AA′FF�������⃗|×�CC′EE�������⃗�=−3√15=−√155sin<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=�1−cos2<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=2√55（2）设θθ为平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角由（1）得AA′BB�������⃗=(2,0,2)，AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，设平面AA′BBFF的法向量nn1����⃗=(xx1,yy1,zz1)，则有�2xx1+2zz1=0xx1−2yy1=0，令xx1=2 得�yy1=1zz1=−2，所以nn1����⃗=(2,1,−2)；CC′CC�������⃗=(0,0,2)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，设平面CC′CCEE的法向量nn2����⃗=(xx2,yy2,zz2)，则有�2zz2=0−xx2+yy2+zz2=0，令xx1=1 得�yy2=1zz2=0，所以nn2����⃗=(1,1,0)；cosθθ=cos<nn1����⃗ ,nn2����⃗>=nn1����⃗·nn2����⃗|nn1����⃗|×|nn2����⃗|=33√2=√22又因为θθ∈�0,ππ2�，所以θθ=ππ4，故平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角为ππ421.（1）设直线OOMM的斜率为kk1(kk1>0)，直线OONN的斜率为kk2，由题可知，直线MMNN的斜率不为0，设MM(xx1, yy1), NN(xx2, yy2)，设直线MMNN: yy=kkxx+pp2，则由�yy=kkxx+pp2xx2=2ppyy，可得xx2−2ppkkxx−pp2=0，易知 ΔΔ>0 ，由韦达定理得 xx 1xx 2=−pp 2,yy 1yy 2=(xx 1xx 2)24pp 2=pp 24，则 kk 1kk 2=yy 1xx 1⋅yy 2xx 2=−14 ； （2）设 PP (xx 3,yy 3), QQ (xx 4, yy 4)， 由题可知，ll OO OO : yy =kk 1xx , ll OO OO :yy =kk 2xx ，其中kk 1kk 2=−14，联立方程�yy =kk 1xxxx 2aa 2+yy 2bb 2=1⇒xx 32=aa 2bb 2bb 2+aa 2kk12 ，同理 xx 42=16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12 ，因为：|OOPP |2+|OOQQ |2=xx 32+yy 32+xx 42+yy 42=xx 32+�1−xx 32aa 2�bb 2+xx 42+�1−xx 42aa 2�bb 2=2bb 2+�1−bb 2aa2�(xx 32+xx 42)=2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2��aa 2bb 2bb 2+aa 2kk 12+16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12� =2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2�⋅aa 2⋅aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14 =2bb 2+(aa 2−bb 2)aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14．因为 |OOPP |2+|OOQQ |2=5 为定值，所以上式与 kk 1 无关， 所以当 32bb 4=aa 4+16bb 4 ，即 aa 2=4bb 2 时，此时 aa 2+bb 2=5 ，所以 aa 2=4 , bb 2=1 ，所以椭圆的方程为xx 24+yy 2=1．（3）因为 SS △OOOOOOSS△OOOOOO=12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO 12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO =|OOOO ||OOOO ||OOOO ||OOOO |=�xx 1xx2xx 3xx 4� ，由（2）可知，当aa 2=4， bb 2=1时，xx 32=41+4kk12， xx 42=16kk 121+4kk 12， xx 1xx 2=−pp 2，SS △OOOOOO SS △OOOOOO =�xx 1xx 2xx 3xx 4�=pp 28|kk 1|1+4kk 12=pp 28�1|kk 1|+4|kk 1|�≥pp 22， 故pp 22=1⇒pp =√2，当且仅当kk 1=±12时，等号成立，此时抛物线方程为xx 2=2√2yy .22.（1）ff (xx )=aa ln xx −xx +ln aa −1 ,xx ∈RR + ，ff ′(xx )=aaxx −1=aa−xx xx，令 ff ′(xx )=0 得 xx =aa当 0<xx <aa 时，ff ′(xx )>0 ，ff (xx )↑ ；当 xx >aa 时，ff ′(xx )<0 ，ff (xx )↓ . 所以 ff (xx )max =ff (aa )=aa ln aa −aa +ln aa −1=(aa +1)(ln aa −1) . 令 ℎ(aa )=(aa +1)(ln aa −1) ，ℎ′(aa )=ln aa +1aa =aa ln aa+1aa，再令φφ(aa)=aa ln aa+1 ，φφ′(aa)=1+ln aa，令φφ′(aa)=0 得aa=1ee当 0<aa<1ee时，φφ′(aa)<0 ，φφ(aa)↓；当aa>1ee时，φφ′(aa)>0 ，φφ(aa)↑.所以φφ(aa)min=φφ�1ee�=1−1ee>0 ，即φφ(aa)>0 ，即ℎ′(aa)>0 ，所以ℎ(aa)↑,原题“∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1”等价于“ff(aa)≥ee2+1”，即(aa+1)(ln aa−1)=ℎ(aa)≥ee2+1 ，观察到ℎ(ee2)=ee2+1 ，又由ℎ(aa)↑得：当 0<aa<ee2时，ℎ(aa)<ℎ(ee2)=ee2+1 ；当aa≥ee2时，ℎ(aa)≥ℎ(ee2)=ee2+1所以aa≥ee2，即aa的取值范围为[ee2,+∞).（2）令tt=ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，则ee tt=ee aa ln xx−xx+ln aa−1=ee(ln aa+ln xx aa)−(xx+1)=aaxx aa ee xx+1所以gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1=ee tt−1 ，联立ff(xx)=gg(xx)，即tt=ee tt−1 .令Φ(tt)=ee tt−1−tt，所以方程“tt=ee tt−1”的解等价于Φ(tt)的零点.Φ′(tt)=ee tt−1 ，令Φ′(tt)=0 得tt=0 ，当tt<0 时，Φ′(tt)<0 ，Φ(tt)↓；当tt>0 时，Φ′(tt)>0 ，Φ(tt)↑.所以Φ(tt)min=Φ(0)=0 ，所以方程“tt=ee tt−1”的解仅为tt=0 ，再由题意，tt=ff(xx)=0 有且仅有一根，即ff(xx)仅有唯一零点.ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ff(xx)=aa xx−1=aa−xx xx，令ff′(xx)=0 得xx=aa当 0<xx<aa时，ff′(xx)>0 ，ff(xx)↑；当xx>aa时，ff′(xx)<0 ，ff(xx)↓.所以ff(xx)max=ff(aa)=aa ln aa−aa+ln aa−1=(aa+1)(ln aa−1).又注意到当xx→0 时，ff(xx)−∞；当xx→+∞时，ff(xx)−∞；所以ff(xx)的唯一零点即其极值点，即(aa+1)(ln aa−1)=0 ，得aa=−1 （舍）或aa=ee. 故aa的值为ee.。
2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（一）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，，则下列结论错误．．的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．设复数满足，则的实部为（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．i3．已知随机变量，，则（ ） A ．B ．C ．D ．1 4．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是 A ．B ．C ．D ．25．函数的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋…＋f （2017）＋f（2018）的值为（）A．2＋B．C．2＋2D．06．已知函数，若方程有4个零点，则的可能的值为（）A．B．C．D．7．定义在R上的奇函数满足，且对任意的正数a、b（），有，则不等式的解集是（）A．B．C．D．8．已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（）A．• 1B．与的夹角为钝角C．向量在方向上的投影为D．2m+n＝410．已知，，则（）A．B．C．D．11．在中，，，下述四个结论中正确的是（）A．若为的重心，则B．若为边上的一个动点，则为定值2C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2 12．在棱长为1的正方体中，为侧面（不含边界）内的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（）A．线段的长度为B．的最小值为1C．对任意点，总存在点，便得D．存在点，使得直线与平面所成的角为60°三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有___________.14．设O是坐标原点，动点P在圆上，点Q在直线上，且，过点P且垂直于的直线l过定点__________．15．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.16．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17．已知数列中，，.设（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.18．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足，．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．19．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？20．如图，在三棱锥中，三角形ABC是边长为2的正三角形.(1)若平面平面BCD，且，求证：；(2)若二面角的大小为，且，求直线AD与平面BCD所成角的大小. 21．在中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程：（2）过点作直线交曲线于，两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.22．已知函数（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.（1）求k的值和f（x）的单调区间；（2）设，其中为f（x）的导函数，证明：对任意.2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（一）数学答案1．C解：因为集合，，，所以，，，，2．A设，则，所以，故的实部为0.3．B由二项分布的性质知，即，所以.4．C设圆半径为r则由平面几何知识，内接正三角形的边长为r，所以由弧度制定义知，其圆心角的弧度数是r÷r=,故选C．5．A由图可知A＝2，，T＝8，，∴，∵周期为T＝8，∴f(1)＋f(2)＋…＋f（8）＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f（2018）＝252•[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f（8）]＋f(1)＋f(2)＝0＋2sin ＋2＝＋2．6．B当，所以.令，得，依题意，的图象与的图象有四个不同的交点，画出和的图象如下图所示.由图可知，要使的图象与的图象有四个不同的交点，需，即.四个选项中只有B选项符合.另外注意：当时，，，，所以过的切线方程为，即，故此时切线方程过原点.也即与只有个公共点，不符合题意.故选：B7．C∵对任意的正数a、b（），有，∴函数在上单调递减，∴在上单调递减.又∵，∴令所以不等式等价为或∴或，∴或，∴或，即不等式的解集为.8．D由知：为中点，又为外接圆圆心，，，，，，，向量在向量上的投影为.故选：D.9．AD2×1+1×（﹣1）＝1，故A正确；∵1＞0，∴，的夹角不是钝角，故B错误；向量在方向上的投影为||•，故C错误；（1，2），∵，∴﹣n﹣2（m﹣2）＝0，∴2m+n＝4，故D正确.故选：AD.10．BC解：对于A，，，，即，故A错误，对于B，，，，，，，故B正确，对于C，，，，故C正确，对于D，，，，即，，即，故D错误．故选：BC．11．AC如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，因为为的重心，所以，则，所以，所以，故A正确；设，则，则，，故B错误；不妨设M靠近B，，得，则，当时，的最小值为：故C正确；由，且P为内一点，BP=1，则，即，令，则，因为，则，所以，所以的范围是，故D错误.故选：AC12．ABC建立如上图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，，，，，，，设点，，由直线与的夹角为，则有：，故有：解得：为线段上的动点，则有：（）解得：对选项，则有：，故选项正确；对选项，过点作平面的垂线，垂足为易知：（由于）故的最小值等价于求故有：当且仅当时成立，结合，可得此时故选项正确；对选项，若，则有：，，又则有：则有：又，则有：，故对任意点，总存在点，便得，故选项正确；对选项，易知平面的法向量为，若直线与平面所成的角为，即直线与平面的法向量成，则有：解得：，矛盾，故选项错误.故选：13．141利用间接法，用总的情况减去共面的情况，总的情况数为；共面的情况①四点均在侧面上，；②三点在一条棱上，第四点在该棱的对棱中点，共有6个中点，即6种情况；③四点均为中点，有3种情况；综上，.14．设，，可得：，由，所以，即，可得，则过点P且垂直于的直线l为：，即，所以，即，也即，所以直线l过定点.故答案为：15．解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.则.由条件概率易得，，，由全概率公式，可得. 故答案为：16．M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，∴三角形的AC=2，从而可得MC=2，那么ABC内接球的半径r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2解得：r=2-∵△ABC时等腰直角三角形，∴外接圆的半径为AC=外接球的球心到平面ABC的距离为=1．可得外接球的半径R=．故得：外接球表面积为.由已知，设内切球半径为，，，内切球表面积为，外接球与内切球的表面积之和为故答案为：.点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.17．（1）证明：因为,所以====2，又, 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，18．(1)解：由及正弦定理可得，，则，故，，，因此，.(2)解：，所以，，即，即，，则，，则，由正弦定理可得，则，，因此，.19．（1）设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛；第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛；故所求概率，所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为；（2）设事件表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军，则；；；因为，所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.20．(1)因为平面平面BCD，平面平面，因为，平面BCD，所以平面ABC，又平面ABC，所以.(2)过点A作平面BCD于点O，取BC的中点E，连接OD，OE，AE.因为三角形ABC是正三角形，点E为BC中点，所以.因为平面BCD，则OE为AE在平面BCD内的射影，由三垂线逆定理知. 所以是二面角的平面角，即.因为三角形ABC是边长为2的正三角形，所以.在中，.因为平面BCD，所以DO是AD在平面BCD内射影.所以是直线AD与平面BCD所成角.在中，，因为，所以.所以直线AD与平面BCD所成角的大小为.21．（1）设，，，，因为，所以，即，整理得：，即.在中，三顶点不可能共线，所以，故曲线的方程为.（2）结论：以为直径的圆经过定点若直线斜率不存在，可得圆：，若直线斜率为0，可得圆：，解得两个圆的公共点为，若直线斜率存在且不为0时，设其方程为，，可得，恒成立，设点，，可得韦达定理：，，即，以为直径的圆经过定点，综上所述，以为直径的圆经过定点22．（1）的定义域为.，所以，令，，所以在上递减，所以在区间上递增，在区间上递减.即的增区间为，减区间为.（2）.由得.令，，所以在区间上递增；在区间上递减，所以.而在上递增，所以，所以对任意.。
2023年高考数学全真模拟试卷01（新高考专用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022秋·天津南开·高三南开翔宇学校校考期末）设全集为{}270U x N x x =∈-<，{}2,3,5UA =，{}2,5,6B =，则()UAB =（ ）A ．{}1,4B ．{}2,5C ．{}6D ．{}1,3,4,6 【答案】A【分析】把{}270U x N x x =∈-<化简，分别求出集合A ，UB ，然后求解()U A B ∩.【解析】{}{}{}270071,2,3,4,5,6U x N x x U x N x =∈-<∴=∈<<=又{}{}2,3,51,4,6U A A =∴=，又{}{}2,5,61,3,4U B B =∴=(){}1,4UAB ∴=，故选：A2．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）复数()()231i 1i --在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则化简后，即可确定复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标，进而判断其所在象限.【解析】()()()()()232221i 1i 1i i 12i i 2i 1i 2i 2i 2i 2----==-⋅=+=+---，则复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标为()2,2-，位于第四象限，故选：D.3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．2π3C ．5π6 D ．π3【答案】B【分析】先求得数量积1a b ⋅=-，再利用向量夹角公式即可求得a 与b 的夹角. 【解析】因为3a b +=，所以()22222523a b a ba b a b a b +=+=++⋅=+⋅=,则1a b ⋅=-.则11cos ,122a b a b a b⋅-===-⨯⋅. 又因为[],0,π∈a b ，所以2,π3a b =,即a 与b 的夹角为2π3.故选：B. 4．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数()32sin22xx x f x +=的部分图像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解． 【解析】∵()32sin22xx xf x += ，x ∈R ， 33||||()2sin(2)2sin 2()()22x x x x x xf x f x --+-+-==-=- ，则()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B 、D ； 对12sin 2(1)02f +=> 故可排除选项C ．故选：A ． 5．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知等差数列{}n a 前9项的和为1027,8a =，则90a =（ ） A ．87 B ．89C ．88D ．90【答案】C【分析】根据已知条件求得公差d ，从而求得正确答案. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()199195927,22a a S aa a +⨯==+=，所以53a =．又因为108a =，所以1051105a a d -==-． 故()90109010188a a =+-⨯=．故选：C6．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若22sin 291cos 2αα+=-，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）A ．3-B ．3C ．97D ．97-【答案】B【分析】由题知sin 0,cos 0αα<<，进而结合二倍角公式整理得sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=，再代入求解即可.【解析】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα<<，()()()()222221sin 2212sin cos sin cos 22sin 291cos 22sin sin 112sin αααααααααα++++====---，所以sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=所以cos sin 2sin sin 3cos sin 2sin sin αααααααα++==--.故选：B 7．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）设120231e 2023a =，2024ln2023b =，sin(0.2023)c =︒，则（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数()()()e ln 1,0,1xf x x x x =-+∈，利用导数确定函数的单调性可得()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断,a b 大小关系；估计实数12023与0.2023π0.2023180︒=的大小关系及大致倍数关系，构造函数()1e sin 6,0,1000xh x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，利用导数确定单调性可得()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而结合正弦函数的单调性可比较,a c 大小，即可得结论．【解析】设()()()e ln 1,0,1x f x x x x =-+∈，则()()11e 1xf x x x =+-+'， 设()()()11e 1x g x f x x x==+-+'，则()()()212e 01x g x x x =++>+'恒成立， 所以()f x '在()0,1上单调递增，所以()()00f x f ''>=恒成立，则()f x 在()0,1上单调递增，故()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12023112024e ln 1ln 202320232023⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，所以a b >； 因为10.000494322023≈，0.2023π0.20230.0035308160.00049432180︒=≈>⨯， 则10.202362023︒>⨯，设()1e sin 6,0,1000x h x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()1e 6cos6xh x x x '=+-，又设()()()1e 6cos6xm x h x x x ==-'+，故()()2e 12sin60xm x x x =++>'恒成立，所以()h x '在10,1000x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()110001111e 6cos 0100010001000h x h ⎛⎫⎛⎫<=+-< ⎪ ⎪⎝'⎭⎝⎭'恒成立，则()h x 在10,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1202311e sin 620232023⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭ 又()1sin 6sin 0.20232023⎛⎫⨯<︒ ⎪⎝⎭，则()120231e sin 0.20232023<︒，即c a >； 综上，c a b >>.故选：D ．8．（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a = (当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h ==.故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a =令2(02)a t t =<<，V ()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=， 403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V最大，此时h =．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中0.028a =B ．在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C ．估计短视频观众的平均年龄为32岁D ．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】CD【分析】根据频率和为1可构造方程求得a ，知A 错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在10~20岁的人数，知B 正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD 正确. 【解析】对于A ，()0.0150.0330.0110.011101a ++++⨯=，0.03a ∴=，A 错误；对于B ，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10~20岁的人对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有40000.15600⨯=人，B 错误；对于C ，平均年龄()0.015150.033250.03350.011450.011551032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，C 正确；对于D ，设75%分位数为x ，则()0.015100.03310300.030.75x ⨯+⨯+-⨯=， 解得：39x =，D 正确.故选：CD.10．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，给出下列判断正确的是（ ）A ．直线1B D ⊥平面1ACD ； B ．1A P ∥平面1ACD ；C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；D ．三棱锥1D APC -的体积不变 【答案】ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证明判断； 对于B ，利用线面平行和面面平行的判定定理证明判断；对于C ，分P 与线段1BC 的B 端和1C 端以及线段1BC 的中点重合判断；对于D ，由11D APC P ACD V V --=，结合1BC ∥平面1AD C 判断. 【解析】对于A ，如图所示：连接BD ，根据正方体的性质，∵1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，∴1BB AC ⊥，又∵BD AC ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥面1BB D ， ∴1AC B D ⊥，连接1A D ，根据正方体的性质，∵11A B ⊥平面11A D DA ，且1AD ⊂面11A D DA ，∴111A B AD ⊥； 又∵11AD A D ⊥，且1111A B A D A =，∴1AD ⊥面11A B D ， ∴11AD B D ⊥，且1ACAD A =，∴直线1B D ⊥平面1ACD ，故A 正确 对于B ，如图所示：连接111,A B A C ，在正方体中，∵AC ∥11A C ， 且AC ⊂平面1ACD ，11AC ⊂/平面1ACD ，∴11A C ∥平面1ACD ，同理可证1BC ∥平面1ACD ， 又∵11A C 、1BC ⊂平面11BA C ，且1111=AC BC C ，∴平面11//BA C 平面1ACD ，又∵1A P ⊂平面11BA C ，∴1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，当P 与线段1BC 的B 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11A BC ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3BC A =∠； 当P 与线段1BC 的1C 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11AC B ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3AC B ∠=； ∴当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值，∴11A PC ∠为异面直线1A P 与1AD 所成角，又∵111A B AC =， 且P 为线段1BC 的中点，∴11π2A PC ∠=，故1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，11D APC P ACD V V --=，∵1BC ∥1AD ， 且1BC ⊂/平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴1BC ∥平面1AD C ，∴点P 到平面1ACD 的距离不变，且1ACD △的面积不变， 所以三棱锥1P ACD -的体积不变，故D 正确；故选：ABD.11．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知函数21e 1()e x x f x +-=，()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．方程()f x x =只有一个实根B ．()f x '的最小值为2eC ．函数()()()f x G x f x '=的值域为(1,1)- D ．函数()()()F x f x f x '=⋅为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程()f x x =不止一个实根；利用()f x ''的正负，求出()f x '的单调性，进而求得()f x '的最小值；利用分离常数法，求得2()1e 21x G x =+-，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；2222()e e x x F x ---=-，而()()F x F x -=-不符合偶函数的定义.【解析】对于A ，方程()f x x =，即2111e 1e e 0ex x x x x x ---+---==-，显然0x =是方程的一个根，令()11ee x x x g x ---=--，由于()0201e e 1g --=-<，()1302e e 2g --=->，根据零点存在定理可知，函数()g x 在()1,2上有一个零点， 因此方程()f x x =不只有一个实根，A 选项错误；对于B ，2111e 1()e e ex x x x f x ---+-=-=，则()1111()e e e 1e 1+x x x x f x ------'⋅-⋅=-=，()1111()e 11e e e x x x x f x ------'==-'⋅+⋅-，令()0f x ''=，即110e e x x ----=，解得0x =，当0x <时，()0f x ''<，所以()f x '在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，因此()f x '的最小值为112+e(0)e e f --'==，B 选项正确； 对于C ，1122112221122+111()e e e e ()1()e e e e e x x x x x x x x x f x G x f x --------+-'====+-++=， 22222122011010220e 11e e e e 1x x x x x >⇒+>⇒<<⇒<<⇒-<-<+++， 则2111e 21x -<-<+，所以函数()G x 的值域为(1,1)-，C 选项正确； 对于D ，()()11112222()()()e e e e ee +x x x x x x F xf x f x ---------'-==-⋅= 而()22222222()ee e e ()x x x x F x F x ------=-==----，所以函数()()()F x f x f x '=⋅不是偶函数，D 选项错误；故选：BC.12．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知抛物线23y x =上的两点()00,A x y ，()()000,0B x y x -≠及抛物线上的动点(),P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，坐标轴原点记为O ，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程为32x =-B ．三角形AOB为正三角形时，它的面积为C ．当0y 为定值时，1211k k -为定值D ．过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠的圆的周长大于3π 【答案】BCD【分析】由抛物线方程判断A ，根据正三角形求出直线OA 斜率，联立抛物线求点A 坐标即可判断B ，直接计算1211k k -结合,A P 在抛物线方程上化简可判断C ，根据题意及圆的性质求出半径，结合点A 在抛物线上可得出半径范围，即可判断D.【解析】对A ，由抛物线23y x =知准线方程为34x =-，故A 错误；对B ，当三角形AOB 为正三角形时，不妨设A 在第一象限，则π6AOx ∠=，直线AO方程为y =，联立23y x =，可得009,x y ==故0||22AB y ==⨯=2||AOB S AB ==△B 正确； 对C ，001200,y y y y k k x x x x -+==--，当0y 为定值时 00000000022000020103((122)2)2)()()()331(x x x x y y x x y x x y x x y y y y k y y y y y k y x x -----===-+-+---=-=为定值，故C 正确；对D ，因为圆过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠，所以可设圆心为(,0)a ，则0R x a =-=22000()()2y x ax =-，故20003()2x x ax =-，因为00x ≠，所以0230x a =+>，即32a >-，故0332R x a a =-=+>，所以圆的周长32π2π3π2R >⨯=，故D 正确.故选：BCD第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）()8111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为___.（用数字作答）【答案】28-【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可 【解析】()81x +的展开式通项为818C rrr T x-+=，所以22867C 28T x x ==，53368C 56T x x ==．故所求2x 的系数为1285628⨯-=-．14．（2023·广西梧州·统考一模）直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC 为等边三角形，则a 的值为______．【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【解析】由条件和几何关系可得圆心C 到直线:l y x =a =． 15．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知()2e e x xmf x -=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，则m n +=__________．【答案】1【分析】根据()()0f x f x -+=，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得m ，再根据导数的几何意义可得()2f n '=，从而可求得n ，即可得出答案．【解析】函数()2e e x xmf x -=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f m =-=，解得1m =，经检验成立所以()2e 1e x xf x -=，则()()22222e e e 1e e 1e e x x x xx xxf x ⋅--+'==， 因为()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，所以()2e 12e n nf n +'==，解得0n =，所以1m n +=．16．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点（异于点A ，B ），直线BP 交x 轴于点D ．若直线AB ，AP 的斜率之积为49，且BDO BOD ∠=∠，则椭圆C 的离心率为______．【分析】设点的坐标，求斜率，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，化简得22AP BP b k k a ⋅=-，结合BDO BOD ∠=∠，知2249AP ABb k k a ⋅==，再利用222c a b =-及离心率公式即可求解. 【解析】设()00,P x y ，(),A m n ，(),B m n --，则直线AP 的斜率为00y n x m --，BP 的斜率为00y nx m++，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220022x m y n a b --=-， 即200200x m y n a y n b x m +-=-⨯+-，即221AP BP a k k b =-⨯，即22AP BP b k k a⋅=-， 又BDO BOD ∠=∠，则AB BP k k =-，即22AP ABb k k a⋅=， 即2249b a =，则2249b a =，所以2222224599c a b a a a =-=-=，即2259c a =，则椭圆C的离心率为c a =四、解答题：本小题共6小题，共70分。
一、选择题1. 下列选项中，函数y=2x-3的图像是（）A. B. C. D.答案：A解析：由于函数y=2x-3的斜率为2，且y轴截距为-3，所以其图像是一条通过点(0,-3)且斜率为2的直线，故选A。
2. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的性质可知，a4=a1+3d，代入已知条件得11=3+3d，解得d=2。
3. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D解析：由复数的几何意义可知，|z+1|表示复数z到点(-1,0)的距离，|z-1|表示复数z到点(1,0)的距离。
由于|z+1|=|z-1|，所以复数z到这两个点的距离相等，即复数z位于这两个点的中垂线上。
由于点(-1,0)和点(1,0)位于x轴上，所以复数z位于x轴上，即第四象限。
4. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的最小值为（）A. -4B. 0C. 4D. 8答案：B解析：由于f(x)是一个二次函数，其开口向上，所以最小值在顶点处取得。
顶点的横坐标为x=-b/2a=-(-4)/21=2，代入f(x)得f(2)=2^2-42+4=0，所以f(x)的最小值为0。
5. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=32，则q=（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B解析：由等比数列的性质可知，a4=a1q^3，代入已知条件得32=2q^3，解得q=4。
二、填空题6. 函数y=3x^2-6x+5的图像的对称轴方程为________。
答案：x=1解析：由于函数y=3x^2-6x+5是一个二次函数，其对称轴的方程为x=-b/2a，代入系数得x=-(-6)/(23)=1。
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则S10=________。
新高考数学第一次模拟试卷带答案一、选择题1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.16.12 y1.54.04 7.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =-B ．1()2xy =C ．2y log x =D ．()2112y x =- 3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜04．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．110B ．310C ．35D ．255．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的6．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2） B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2）7．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( )A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组8．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．22B ．32C ．52D ．7210．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定12．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 15．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 17．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．18．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________. 三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .25．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出． 【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.3．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：()255P x y ≤==，故本题选C .【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =(1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．7．B解析：B 【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．9．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．C解析：C 【解析】 【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-， 则2()3cos022xf x x ππ'=+>，即3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin22mnn m ππ-<-，即33sinsin22mnm n ππ+<+，所以()()f m f n <，所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．12．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅，代入夹角公式即可.【详解】设,a b 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，所以222a ba b ==⋅，则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．14．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同解析：－34【解析】因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+＝22sin cos cos sin sin ααααα+＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα-＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．15．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】 【分析】 【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:23． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.18．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr ∵含有x2的系数是54∴r ＝2∴54可得6∴6n ∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考 解析：4【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n=（3x ）r ＝3rr nx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223n=54，可得2n=6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定解析：16【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．【详解】2b =，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C=，可得：233sin sin22sin cos B B B B==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 484816A B C B C B C ∴=+=+=⨯+⨯=，11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.20．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径解析：4【解析】 【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABCh S ⨯⨯代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题21．（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（26525【解析】 【分析】（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩，两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离()231116555d ⨯+-⨯+==， 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为6525d r +=+. 【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.22．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .B =由正弦定理，得42sin sin c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1().33B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 3c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=172242233927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 23．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②.【解析】 【分析】（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。
新高考数学第一次模拟试卷含答案一、选择题1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12D ．15 2．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．26D ．423．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．22B ．23C ．28D ．244．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．3-B ．3 C ．12D ．12-6．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．27．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．272208．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．129．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．32二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 14．复数()1i i +的实部为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 16．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）18．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.19．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．24．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.26．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．2．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。
新高考数学第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对2．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．3．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．34．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．168．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角9．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.10．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．11．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．1212．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是14．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =25. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.24．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 25．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xx x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C解析：C 【解析】因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.6．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4y x =-=，故所给的复数的模该为5，故选D.考点：复数相等，复数的模.7．B解析：B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B.8．B解析：B 【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。
新高考数学第一次模拟试卷带答案一、选择题1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的3．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)7．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >B ．0x 或2x -C ．0x <或2x >D ．12x -或3x 8．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = AB ．532CD9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．15．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .23．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且14EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大26．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.4．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x ，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．8．C解析：C 【解析】试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =，故选C ．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．9．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+考点：样本平均数11．C解析：C 【解析】 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
