【期末试卷】湖南省娄底市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(A卷)Word版含答案

湖南省娄底地区数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数满足,则复数的共轭复数为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 随机变量服从二项分布 ,且 ,则等于A .B .C . 1D . 03. （2分）(2018·兰州模拟) 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（）A .B .C .D .4. （2分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表广告费用x （万元）4235销售额y （万元）4926a54已知由表中4组数据求得回归直线方程=8x+14，则表中的a的值为（）A . 37B . 38C . 39D . 405. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 观察下列等式：，，，记 .根据上述规律，若，则正整数的值为（）A . 8B . 7C . 6D . 56. （2分）甲、乙两人轮流投一枚均匀硬币，甲先投，谁先得到正面谁获胜，求投币不超过四次即决定胜负的概率（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·佛山期末) 点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的正方形运动一周，记O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），则y=f（x）的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·湖州期中) 已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0 ．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·临淄期末) 若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A . ﹣5B . 5C . ﹣405D . 40510. （2分）(2017·石嘴山模拟) 上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A . 24B . 36C . 42D . 6011. （2分） (2020高三上·贵阳期末) 已知，则的值为（）A .B .C . 2D . 412. （2分）(2020·厦门模拟) 已知函数，给出以下四个结论：⑴ 是偶函数；⑵ 的最大值为2；⑶当取到最小值时对应的；⑷ 在单调递增，在单调递减.正确的结论是（）A . ⑴B . ⑴⑵⑷C . ⑴⑶D . ⑴⑷二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（n，a∈N* ，且n＞a）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为________．14. （1分）(2017·自贡模拟) 设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0 ，则称点（x0 ， f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算： =________15. （1分） (2017高二下·桂林期末) 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S= （a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ，则四面体的体积V=________．16. （1分） (2015高二下·永昌期中) （3x2﹣2x+1）dx=________．三、解答题： (共6题；共70分)17. （10分） (2017高二下·桂林期末) 计算：（1）已知A =6C ，求n的值；（2）求二项式（1﹣2x）4的展开式中第4项的系数．18. （10分） (2017高二下·新乡期末) 为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图（1）完成下列2×2列联表：喜欢旅游不喜欢旅游合计女性男性合计（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）19. （10分） (2015高二下·沈丘期中) 数列{an}中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差数列．（1）计算S1，S2，S3的值；（2）根据以上结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．20. （15分） (2016高三上·遵义期中) 2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）求乙厂生产的产品数量：（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．21. （20分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，男生互不相邻；（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．22. （5分） (2016高二下·揭阳期中) 已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1 ，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时有＞0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、。

2017-2018学年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（60分每题5分）1．若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．△ABC中，已知AB=3，BC=5，B=，这个三角形的面积等于（）A．B．15 C．D．3．在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．564．甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（）A．B．C．D．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．7 B．8 C．10 D．117．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4 D．88．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．9．设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．10．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，﹣1），B（﹣1，3），若点C满足=α+β，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A．2x+3y﹣4=0 B．（x﹣）2+（y﹣1）2=25C．4x+3y﹣5=0（﹣1≤x≤2）D．3x﹣y+8=0（﹣1≤x≤2）11．设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a ∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣2 D．﹣212．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题（20分每题5分）13．已知tan（α﹣）=，tan（β﹣）=﹣，则tan=．14．如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．15．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是．16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为．三、解答题（题型注释）17．设数列{a n}和{b n}满足：a1=，3a n+1=2a n（n∈N*），b1+（n∈N*）（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}前n项的和S n．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）（1）若直线l1与圆相切，切点为B，求线段AB的长度；（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．22．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．2017-2018学年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分每题5分）1．若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆C R P．【解答】解：∵P={x|x＜1}，∴C R P={x|x≥1}，∵Q={x|x＞1}，∴Q⊆C R P，故选D．2．△ABC中，已知AB=3，BC=5，B=，这个三角形的面积等于（）A．B．15 C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出这个三角形的面积．【解答】解：∵AB=3，BC=5，B=，∴这个三角形的面积S===，故选：A．3．在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．56【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】可得a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而S13==，代入计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13====26故选B4．甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】所有的坐法共有种，乙正好坐中间的坐法有种，由此可得乙正好坐中间的概率【解答】解：所有的坐法共有A种，乙正好坐中间的坐法有A种，由此可得乙正好坐中间的概率为：故选B．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC 和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选C6．如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．7 B．8 C．10 D．11【考点】选择结构．【分析】从程序框图中得到求p的解析式；列出方程，求出x3的值．【解答】解：∵∴解得x3=8故选B7．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A． B． C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：=4．故选C．8．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．9．设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出θ的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出f（x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=2[sin（）﹣cos（）]=2sin（﹣），∵图象关于y轴对称，∴θ﹣=kπ+，k∈Z，又∵|θ|＜，∴当k=﹣1时，θ=满足题意，∴f（x）=2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣2cos，由2kπ﹣π≤≤2kπ可得4kπ﹣2π≤x≤4kπ，∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣2π，4kπ]，k∈Z，当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为[﹣2π，0]，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为[2π，4π]，所以A、B、D不正确；C正确，故选：C．10．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，﹣1），B（﹣1，3），若点C满足=α+β，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A．2x+3y﹣4=0 B．（x﹣）2+（y﹣1）2=25C．4x+3y﹣5=0（﹣1≤x≤2）D．3x﹣y+8=0（﹣1≤x≤2）【考点】轨迹方程．【分析】设C（x，y），根据题意得到用x、y表示α、β的方程组，结合α+β=1消去α、β得4x+3y﹣5=0．再由0≤α、β≤1，解出x的取值范围，可得点C的轨迹方程．【解答】解：设C（x，y），可得=（x，y）∵点A（2，﹣1）、B（﹣1，3），∴由=α+β，得，解得，又∵α+β=1，∴两式联解，消去α、β得4x+3y﹣5=0．∵0≤α≤1且0≤β≤1，∴0≤≤1，0≤≤1，解得1≤x≤2．由此可得点C的轨迹方程为4x+3y﹣5=0（﹣1≤x≤2）．故选：C11．设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣2 D．﹣2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．【解答】解：由函数y=﹣得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=﹣2，故选：C．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【考点】分段函数的应用．【分析】若若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，等价为﹣≥f min（x），根据条件求出f min（x），即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴f（x）=f（x+2），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，∴即﹣≥f min（x）=﹣，即4t（t+2）（t﹣1）≥0且t≠0解得：t∈[﹣2，0）∪[1，+∞），故选：B．二、填空题（20分每题5分）13．已知tan（α﹣）=，tan（β﹣）=﹣，则tan=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】直接利用两角和与差的正切函数求解即可．【解答】解：tan（α﹣）=，tan（β﹣）=﹣，则tan=tan[（α﹣）+（β﹣）]===．故答案为：，14．如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m 的值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故答案为：15．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．【解答】解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为470．【考点】数列的求和．【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得， +32cos2π+…+302cos20π，求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解【解答】解：∵a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…= [1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+]= [（12﹣32）+（42﹣62）+…++（22﹣32）+（52﹣62）+…+]= [﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）]= [﹣2×]=470故答案为：470三、解答题（题型注释）17．设数列{a n}和{b n}满足：a1=，3a n+1=2a n（n∈N*），b1+（n∈N*）（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}前n项的和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等比数列的定义即可求出，{a n}为首项为，公比为的等比数列，可得其通项公式，由①，②，两式相减即可得到{b n}的通项公式；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴，∴{a n}为首项为，公比为的等比数列，∴又∵①令令n≥2，②①﹣②得，=，∴（n≥2），当n=1时，满足此式．∴（n∈N*）；（2）令b1+b2+b3+…+b n=S n，∴，相减得：，=，==，=，∴18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果既得．【解答】解：（1）依题意，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005．∴图中a的值0.005．（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分），19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱AB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD的中点G，连接AG，FG，则由中位线定理可知四边形AEFG是平行四边形，于是EF∥AG，从而得出EF∥平面PAD；（2）由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE，由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE，于是CE⊥平面PDE，故而平面PDE⊥平面PEC．【解答】证明：（1）取PD的中点G，连接AG，FG．∵F，G分别是PC，PD的中点，∴GF∥DC，GF=DC，又E是AB的中点，∴AE∥DC，且AE=DC，∴GF∥AE，且GF=AE，∴四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG．又EF⊂平面PAD，AG⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）∵PD⊥底面ABCD，EC⊂底面ABCD，∴CE⊥PD．∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，∴DE=AD，CE=AD，CD=2AD，∴DE2+CE2=CD2，即CE⊥DE，又PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，PD∩DE=D，∴CE⊥平面PDE．∵CE⊂平面PEC，∴平面PDE⊥平面PEC．20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）（1）若直线l1与圆相切，切点为B，求线段AB的长度；（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用几何法，连接AB，BC与AC，则BC⊥AB，且BC=2，从而求出AC与AB的值；（2）讨论斜率不存在以及为0，l1与圆C的位置关系，设出正弦l1的方程，利用直线与直线以及直线与圆的位置关系列出方程求出点M、N的坐标，计算AM•AN的值即可．【解答】解：（1）圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，圆心为（3，4），半径为2，直线l1过定点A（1，0）；直线l1与圆C相切，切点为B，连接AB，BC与AC，则BC⊥AB，且BC=2，所以AC==2，AB===4，即线段AB的长度为4；（2）易知，若斜率不存在，则l1与圆相切，若斜率为0，则l1与圆相离，故直线的斜率存在，可设l1的方程：y=k（x﹣1），由，解得，再由CM⊥l1，解得，又直线CM⊥l1，所以，解得，所以为定值．…21．已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切．【分析】（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值．（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案．【解答】解：（1）由，，∴．（2）原式==，由（1）知cosx﹣sinx≠0，所以上式==cotx+1==．22．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，解得k值，然后进行检验，根据增函数的定义即可证明其单调性；（2）由f（1）=可求得a值，则g（x）=）=（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）+2，令t=2x﹣2﹣x（1≤x≤2），由此g（x）可化为关于t的二次函数，求出t的范围，根据二次函数的性质即可求得g（x）的最小值、最大值，从而得其值域；（3）按照x=0，0＜x，﹣x＜0三种情况，分离出参数λ后转化为函数最值解出λ相应范围，最后取其交集即可；【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，∴f（0）=0，得k=1．此时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），即f（x）是R上的奇函数．设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=﹣﹣（）=（）（1+），∵a＞1，x2＞x1，∴＞，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数．（2）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2或a=﹣（舍去），∴g（x）=22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）+2，令t=2x﹣2﹣x（1≤x≤2），由（1）知t=2x﹣2﹣x[1，2]上为增函数，∴t∈[]，∴g（x）=Φ（t）=t2﹣4t+2=（t﹣2）2﹣2，当t=时，g（x）有最大值，当t=2时，g（x）有最小值﹣2，∴g（x）的值域[﹣2，]．（3）f（2x）=42x﹣4﹣2x=（4x+4﹣x）•（4x﹣4﹣x），f（x）=4x﹣4﹣x，假设存在满足条件的正整数λ，则（4x+4﹣x）•（4x﹣4﹣x）≥λ•（4x﹣4﹣x），①当x=0时，λ∈R；②当x时，4x﹣4﹣x＞0，则λ≤4x+4﹣x，令μ=4x，则μ∈（1，2]，易证z=在（1，2]上是增函数，则λ≤z（1）=2；③当x时，4x﹣4﹣x＜0，则，令μ=4x，则，易证z=在[，1）上是减函数，所以λ≥z（）=，综上所述，知不存在正整数λ满足题意．第21页（共21页）。

湖南省娄底地区数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={（x，y）|f（x，y）=0}，若对任意P1（x1 ， y1）∈M，均不存在P2（x2 ， y2）∈M使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（）A . M={（x，y）|y﹣lnx=0}B . M={（x，y）|y﹣x2﹣1=0}C . M={（x，y）|（x﹣2）2+y2﹣2=0}D . M={（x，y）|x2﹣2y2﹣1=0}2. （2分）(2018·齐齐哈尔模拟) 设 ( 为虚数单位），其中是实数，则等于（）A . 5B .C .D . 23. （2分）(2017·天心模拟) 已知函数，且给定条件p：“ ”，条件q：“|f（x）﹣m|＜2”，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A . （3，5）B . [3，5]C . （2，4）D . [2，4]4. （2分） (2017高二上·长春期末) 在公差为的等差数列中，“ ”是“ 是递增数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且它们的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 3D .6. （2分） (2018高二上·广州期中) 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（）A .B .C .D .7. （2分）函数的导数的图象如图所示，则使函数取得极大值的x的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一下·伊春期末) 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种．A . 24B . 48C . 96D . 11410. （2分）双曲线的左焦点为，顶点为、P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离11. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或12. （2分）(2018·攀枝花模拟) 已知双曲线的左、右顶点分别为 .点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点,连接交轴于点 ,连接交于点 ,且 ,则双曲线的离心率为（）A .B . 2C . 3D . 5二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2020高二下·北京期中) 已知的展开式的二项式系数之和为16，则 ________；设i为虚数单位，复数的运算结果为________.14. （1分）(2017·东城模拟) 某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有________种．（用数字作答）15. （1分）命题“∃x∈R，x≤﹣1或x≥2”的否定是________．16. （1分） (2019高二上·钦州期末) 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，则直线的方程为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）已知集合P={x|x2+x﹣6=0}，Q={x|ax+1=0}满足Q⊊P，求a所取的一切值．18. （5分） (2015高二下·思南期中) 设函数f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．19. （10分）(2019·鞍山模拟) 如图所示，直三棱柱ABC A′B′C′的侧棱长为4，AB BC，且AB＝BC＝4，点D，E分别是棱AB，BC上的动点，且AD＝BE.（1）求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D；（2）当三棱锥B DB′E的体积取最大值时，求二面角D-B′E-A′的余弦值．20. （10分） (2016高二下·咸阳期末) 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为X，求X的分布列．21. （5分）(2017·衡阳模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．22. （10分） (2016高三上·枣阳期中) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+ ）=3 ，射线OM：θ= 与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数，若的解集是或 .（1）求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次0 1 2 3 4数保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次0 1 2 3 4数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平不满合计对教师管理水平好评意对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：0 1 2 3 4②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。

湖南省娄底地区数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·长沙期中) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分） (2017高一上·温州期中) 已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A . （0，1）B . （0，）C . [ ，）D . [ ，1）4. （2分）已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（8.5）等于（）A . ﹣0.5B . 0.5C . ﹣1.5D . 1.55. （2分） (2017高一上·河北月考) 已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（）A .B .C .D .6. （2分）“”是“直线与圆相切”的（）.A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件7. （2分） (2016高一上·宁波期中) 给定函数：① ，② ，③y=|x2﹣2x|，④y=x+，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A . ②④B . ②③C . ①③D . ①④8. （2分）下列函数中，在区间（0，上为增函数且以为周期的函数是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·沈阳开学考) 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A .B .C .D .11. （2分）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A .B .C . 2D .12. （2分）设函数, 若方程f(x)=a有且只有一个实根，则实数a满足（）A . a<0B .C . a=1D . a>1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，那么f(x)dx＝________．14. （1分） (2016高一上·金华期中) 已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f（7）=________．15. （1分）已知函数f（x）=x2﹣6x+5，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最大值为f（a），则实数a的取值范围是________．16. （1分）(2018·长宁模拟) 若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）设命题：函数的值域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围．18. （5分） (2019高一上·西城期中) 已知函数，其中，（1）若的图象关于直线对称，求的值；（2）求在区间[0，1]上的最小值.19. （10分）(2017·合肥模拟) 已知函数f（x）=（ax﹣1）e2x+x+1（其中e为自然对数的e底数）．（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）对∀x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．20. （10分） (2018高二下·邗江期中) 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面 .21. （10分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）求动点f（x）的解析式；（2）当a=1，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数y=f（x）在R上恰好有5个零点，求实数a的取值范围．22. （10分）(2016·淮南模拟) 在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2 ，求a的值．23. （5分）选修4—5：不等式选讲已知 = （）．（Ⅰ）当时，解不等式．（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ）A .3B .4C . 7D .82．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c >9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( ) A .c b a << B .b c a << C . b a c << D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞- 11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-e B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e e D .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---x x xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值． 20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()2MA MB OM OA OB +=++．（1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分）已知函数()x x f ln =，()xe x g =．（1）求函数()x x f y -=的单调区间；（2）求证：函数()x f y =和()x g y =在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>ex x ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

湖南省娄底地区高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·衡水期末) 二项式的展开式中所有项二项式系数和为64，则展开式中的常数项为60，则a的值为（）A . 2B . ±1C . ﹣1D . 12. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 某射手射击所得环数ξ的分布列如下:ξ78910P x0.10.3y已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为（）.A . 0.2B . 0.4C . 0.6D . 0.83. （2分）抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”．已知P（A）=P（B）= ，则“出现1点或2点”的概率为（）A .B .D .4. （2分） (2020高二下·吉林期中) 已知，且，则等于（）A . 0.1B . 0.2C . 0.6D . 0.85. （2分） (2018高二下·重庆期中) 随机变量服从正态分布，若，则的值（）A . 0.6B . 0.4C . 0.3D . 0.26. （2分） (2019高三上·郑州期中) 3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）B .C .D .8. （2分） (2016高一下·三原期中) 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A .B .C .D .9. （2分）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有（）种．A . 432B . 384C . 308D . 28810. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的NBA篮球赛中，休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（）种出场阵容的选择．A . 16B . 28C . 84D . 9611. （2分）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（735,414等），那么这样的三位数共有（）A . 240 个B . 249 个C . 285 个D . 330个12. （2分） (2019高二下·汕头月考) 的展开式中的常数项为A .B .C . 6D . 24二、填空题 (共4题；共19分)13. （2分）盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个球，记摸到黑球的个数为X，则P（X=2）=________，EX=________．14. （1分）以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取份；②已知命题，则：；③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；④设，则“ ”是“ ”的充要条件.其中真命题的序号为________.15. （1分）甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一辆车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场（在此期间货场没有其他车辆），则至少有一辆车需要等待装货物的概率是________．16. （15分）(2020·南通模拟) 设， .（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证： .三、三.解答题 (共8题；共75分)17. （15分）已知：，设．（1）求n的值；（2）写出f（x）的展开式中所有的有理项；（3）求f（x）的展开式中系数最大的项．18. （10分）定义在R上的函数f（x）=|2x+5|+|2x﹣1|≥a恒成立，（1）求a的最大值；（2）若m，n，p是正实数，且满足m+n+p=1，求证：mn+np+mp≤ ．19. （10分） (2020高二下·莆田期中) 已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)20. （5分） (2018高三上·湖南月考) 已知函数，（Ⅰ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若关于的一次二次方程有实根，求实数的取值范围．21. （10分） (2017高二下·榆社期中) 综合题。

湖南省娄底市国藩学校2018年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为（）A．2B．C．3D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个棱长为2的正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个棱长为2的正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球，故2R==2，故R=，故选：B2. 定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令。

给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的，有；（4）。

（注：这里指与的数量积）其中假命题是（）A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．（2）（4）参考答案：B略3. 设，，，则数列成（）A. 等差数列B. 等比数列C. 非等差也非等比数列D. 既等差也等比数列参考答案：A4. 的三内角所对边的长分别为，若直线与直线垂直，则角的大小为（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．6. 设为两条不同的直线，为一个平面，，则“”是“”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略7. （原创）三棱锥D-ABC中，平面，，，E 为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A. B. C.D.参考答案：B略8. 已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于( )A． B．0 C．1 D．2参考答案：A略9. 直线平分圆的周长，则：A．3 B．5 C．－3 D．－5参考答案：D10. 若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则m的取值范围是（）A．m≥4B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣5≤m≤﹣4 D．﹣5＜m＜﹣2参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则，解得m的取值范围．【解答】解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则，解得：m≥4，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将101 101(2)化为十进制结果为；再将该数化为八进制数，结果为 .参考答案：45，55（8）12. 已知双曲线的离心率为，则= _ __参考答案：413. 下列四个命题：①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；③抛物线的准线方程为；④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是(－12,0).其中正确命题的序号是___________．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①②③④【分析】①先由直线方程求出点P坐标，进而可得出所求抛物线方程；即可判断①的真假；②根据双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程得到的值，进而可得出所求双曲线方程；判断出②的真假；③由抛物线方程直接得到准线方程，从而可得③的真假；④根据双曲线方程与离心率范围，求出的取值范围，即可判断出④的真假.【详解】①因为直线可化为，由得，即，设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，由抛物线过点，可得，所以，故所求抛物线的方程为；故①正确；②因为双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，所以，又，所以，故所求双曲线的方程为；故②正确；③抛物线的标准方程为，所以其准线方程为；故③正确；④因为为双曲线，所以，又离心率为，所以，解得，故④正确.故答案为①②③④【点睛】本题主要考查圆锥曲线综合，熟记圆锥曲线的方程与简单性质即可，属于常考题型.14. 已知点在直线上，则的最小值为参考答案：解析：的最小值为原点到直线的距离：15. 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的方法共有种（用数字作答）．参考答案：84先选两个空盒子，再把4个小球分为（2,2），（3,1）两组，故有.16. 圆C1：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线C2，曲线C2的矩阵对应的变换作用下得到了曲线C3，则曲线C3的方程为．参考答案：，设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，，∵P0是圆C1上的点，∴ C3的方程为，即.17. 直线3 x + 2 y = 1上的点P到点A ( 2，1 )，B( 1，–2 )的距离相等，则点P的坐标是。

2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （） A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x C ．}21|{≤<x x D ．}2|{<x x2.下面是关于复数iiz ---=131的四个命题：其中的真命题为（）①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数④5=zA. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3．设0.213121log 3,,23⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c ,则（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C.12 D.225.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c，若a =，B A 2=，则B cos 等于（） A ．33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ．63 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.367.若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.7k =B.6k ≤C.6k <D.6k >俯视图8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm 9.下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A.()0,+∞B.()(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是________14.已知0(sin cos )a t t dt π=+⎰，则61()axx -的展开式中的常数项为. 15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+得最小值为. 16．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）设数列10,10,}{11+==+n n n n a a S n a 项和为的前 9，9991+++n S a n n （1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n a a b n n n 1lg 1lg 11,求数列{}n b 的前n 项和n T ；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点.（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截，倾斜角为45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.FE C 1B 1A 1CBA21.（本小题共12分）已知函数()1x f x e x =--（Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10xa e x -++<成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)．曲线C 2: 2240x y y +-=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4π)．(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知()()2f x x m m R =+∈．(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围．2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2⎤⎡⋃--⎦⎣， 14. 25- 15. 2 16.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故101112=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①又9991++=+n S a n n ②②－①整理得：1011n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，（2）由（1）知，且()n n n qa a 101111=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n ()())1(11lg 1lg 11+=+⋅+=∴+n n a a b n n n()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-=n n ()*∈+=N n n n118.（本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，则113222B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.FE C 1B 1A 1CBA又AFEF F =，∴1B F ⊥平面AEF .（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),(,0,0),(0,(0,)2222F A B E -，1()2AE =-，1(AB =-.由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF的法向量1(0,m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，10,0n AE nAB ⎧⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪⎩由∴可取(3,1,n =-.设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|||||m nmn m n θ⨯+-+⨯=<>===. ∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为619. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得100050.05==n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,第3组的频率为c =300.300100=,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生, 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人,… 6分第4组:206260⨯=人, …7分 第5组:106160⨯=人, …8分CC所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∴122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x，∴得上交点为)22,1(-，∴121122=+ba ② 由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去）， 从而2122=+=b a∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵倾斜角为45的直线l 过点F ，∴直线l 的方程为)1(45tan -=x y，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称. 21. （本小题共12分）解：(Ⅰ) ()1xf x e '=-()12f e =-()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--即()11y e x =--(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10xf x e '=-=0x =0x >时，()0f x '>，0x <时，()0f x '< ()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+=444ln 1ln333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：a <1e .（Ⅲ）由已知得0,x ≥时210xe x tx ---≥恒成立，设()21.xg x e x tx =---()'12.xg x e tx ∴=--由(Ⅱ)知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥即12t ≤时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2(),f x tx ≥12t ∴≤时符合题意。

2018年上学期高二期末考试理科数学(A 卷)试题时量：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{2，4，6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3 C ．4D ．52．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（ ） A ．16 B ．19 C ．24 D ．363．a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．c a b <<B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<5．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋11，则f(1)的值等于( ) A.11 B. 5 C. 2 D. －16．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B ．43 C.253 D.2137．等差数列{a n }中，a 3+a 7=4，则{a n }的前9项和等于（ ） A. 18 B. 27 C.﹣18 D.﹣278．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ） A. a =11 B. a =12 C. a =13 D. a =149．若将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到()g x 的图象，则称()g x 为()f x 的单位间隔函数，那么函数()sin2xf x π=的单位间隔函数为( )A.()sin 12x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()cos2x g x π= C. ()1sin 22x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()cos2x g x π=- 10．已知向量a ，b 的夹角为1200，且2a =，227a b -=，则b =( )2 D. 311．已知,αβ均为锐角，()53cos ,sin 1335παββ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭= A. 3365-B. 3365C.6365-D. 636512．已知点(2,0)A -,(2,0)B ，(0,2)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A.（0，2- B.2(2]3C.(2D.2[,1)3二、填空题（每小题5分）13．若集合A ＝{x|ax 2－4x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________． 14．若函数()6,2{3log ,2a x x f x x x -+≤=+>（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．15．如图，一栋建筑物的高为(30－，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________ m.16．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为________. 三、解答题17．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设4log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=.（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围.19．（本题满分12分）某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（1）求a b 、的值；（2）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。