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自动控制原理第7章 系统稳定性分析

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自动控制原理第7章线性离散控制系统

自动控制原理第7章线性离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统

目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法

自动控制原理第7章离散控制系统

自动控制原理第7章离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。

自动控制原理_第7章_5

自动控制原理_第7章_5
3
1 这样， 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 是通过临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
4
在线性部分为最小相位的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
k =2
试求当开环增益 K = 15 时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 ω0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大 开环增益 K 的值。
22
Im
A
1 N ( A)
a
1
1 2
0
Re
ω
G ( jω )
23
2
死区特性对系统稳定性的影响 死区特性的负倒描述函数为
1 = N ( A)
1
2 2k a a a arcsin + k 1 π A A A
1 N ( A)
b2 b1
A
G( jω )
ω
31
如果线性部分传递函数为
K (τ s + 1) G (s) = 2 s (Ts + 1) 情况如下图所示。
1 k
(τ > T )
Im 0 b3 为稳定交点 代表自持振荡 Re 这类系统无论增益 K 取何值，都不可 避免自持振荡！
32
G ( jω )
∞
ω
G ( jω )
20 lg G ( jω )
∞
-160° °
1 N ( A) A
-120° ° -80° °
13
（3） ） dB

自动控制原理 第七章 非线性系统

自动控制原理 第七章 非线性系统

实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A

M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M

sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。

自动控制原理复习资料——卢京潮版第七章

自动控制原理复习资料——卢京潮版第七章

第七章 非线性控制系统分析§7.1 非线性系统概述● 非线性系统运动的规律，其形式多样。

线性系统只是一种近似描述 ● 非线性系统特征—不满足迭加原理1) 稳定性 ⎩⎨⎧平衡点灯可能有多个入有关关，而且与初条件，输不仅与自身结构参数有2) 自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3) 自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。

自振是非线性系统特有的运动形式。

4) 正弦响应的复杂性 (1) 跳跃谐振及多值响应 (2) 倍频振荡与分频振荡 (3) 组合振荡(混沌) (4) 频率捕捉 ● 非线性系统研究方法 1) 小扰动线性化处理2) 相平面法-----用于二阶非线性系统运动分析3) 描述函数法-----用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。

4) 仿真研究---利用模拟机，数字机进行仿真实验研究。

常见非线性因素对系统运动特性的影响：1. 死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ss σ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2. 饱和(如运算放大器，学习效率等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ 3. 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性 减小间隙的因素的方法：(1) 提高齿轮精度 ； (2) 采用双片齿轮； (3) 用校正装置补偿。

4. 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性 摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性5. 继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性　等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性　等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）§7.2 相平面法基础(适用于二阶系统)1. 相平面相轨迹二阶非线性系统运动方程：()[(),()]xt f x t x t = ――定常非线性运动方程即：[,][,]dxdx f xx dx dtdx f x x dx x⋅==()()xxt x t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩以为纵标，x为横标，构成一个平面（二维空间）称之为相平面（状态平面）系统运动时，，以t为参变量在相平面上描绘出的轨迹称为相轨迹（可以描述系统运动） 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。

自动控制原理胡寿松第七章解析

自动控制原理胡寿松第七章解析

1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
25
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0

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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e

自动控制原理第7章2

自动控制原理第7章2
连续系统的劳斯-赫尔维茨判据，是通过系统特征方程的系 数及其符号来判别系统的稳定性。这个判据实质是判断系统特征 方程的根是否都在s平面左半平面。但是在离散时间线性系统中 需要判断系统特征根是否都在z平面上的单位圆内。因此连续时 间线性系统的劳斯-赫尔维茨判据不能直接使用，必须寻找一个 新变量。
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
2020/12/3
11
(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量

自动控制原理第三版习题答案

自动控制原理第三版习题答案

《自动控制理论》习题参考答案第二章2-1 (a)()()1121211212212122112+++⋅+=+++=CS R R R R CS R R R R R R CS R R R CS R R s U s U (b)()()1)(12221112212121++++=s C R C R C R s C C R R s U s U 2-2 (a)()()RCsRCs s U s U 112+= (b)()()141112+⋅-=Cs RR R s U s U (c)()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=141112Cs R R R s U s U 2-3 设激磁磁通f f i K =φ恒定()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=Θφφπφm e a a a a m a C C f R s J R f L Js L s C s U s 2602 2-4()()()φφφπφm A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +⎪⎭⎫⎝⎛++++=260232-5 ()2.0084.01019.23-=⨯--d d u i2-8 (a)()()()()3113211G H G G G G s R s C +++=(b)()()()()()31243212143211H G H G G G H G G G G G G s R s C +++++=2-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。

图A-2-1 题2-9框图化简中间结果()()()()52.042.018.17.09.042.07.023++++++=s k s k s s s R s C 2-10()()4232121123211G H G G H G G H G G G G s R s C ++-+=2-11 系统信号流程图如图A-2-2所示。

图A-2-2 题2-11系统信号流程图()()()()2154214212654212215421421321111H H G G G G G G G H G G G G G s R s C H H G G G G G G G G G G s R s C -++=-++=2-12 (a)()()()adgi abcdi agdef abcdef cdhs R s C +++-=11(b)()()()1221211222112++++=s C R C R C R s C R C R R s R s C2-13 由选加原理,可得()()()()()()[]s D H G G s D G s D G s R G G G H G H s C 3121221221221111--+++=第三章3-1 分三种情况讨论 (a) 当1>ζ时()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+----+-=-+-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---221221222211112121,122ζζζζωζωζωζζωζζωζζωζζt t n n nn n n e e t t c s s (b) 当10<<ζ时()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-=---+---=-+-=---=---22222222222121121sin 1121sin 1211cos 221,1ζζζωζωζωζωζωζζωζωζωζωζζωζζζωζωζωarctg t et t e t et t c j s j s n tnnn t nn tnnn n n n n(c) 当1=ζ时设系统为单位反馈系统,有()()()()()2222nn n r s s s s R s c s R s E ωζωζω+++=-= 系统对单位斜坡输入的稳态误差为()nn n n s sr s s s s s s im e ωζωζωζω22212220=+++⋅⋅=→ 3-2 (1) 0,0,50===a v p K K K(2) 0,,==∞=a v p K K K K (3) 10,,KK K K a v p =∞=∞= (4) 0,200,==∞=a v p K KK K 3-3 首先求系统的给定误差传递函数()101.0)11.0()(11)()(2+++=+==Φs s s s s G s R s E s e 误差系数可求得如下()⎪⎭⎫⎝⎛++-=-=-t e t t c s n t n nn n 21222,1ωωωωω()()()0)101.0()12.0(20)101.0(2lim lim 1.0)101.0()12.0(10lim lim 0101.0)11.0(lim lim 32220220222001200=+++-++=Φ==+++=Φ==+++=Φ=→→→→→→s s s s s s ds d C s s s s ds d C s s s s s C s e s s e s s e s(1) 0)(R t r =，此时有0)()(,)(0===t r t r R t r s s s ，于是稳态误差级数为()0)(0==t r C t e s sr ，0≥t(2) t R R t r 10)(+=，此时有0)(,)(,)(110==+=t r R t r t R R t r s s s ，于是稳态误差级数为()1101.0)()(R t rC t r C t e s s sr =+= ，0≥t (3) 221021)(t R t R R t r ++=，此时有t R R t rt R t R R t r s s 212210)(,21)(+=++= ，2)(R t r s= ，于是稳态误差级数为 ())(1.0)(!2)()(21210t R R t r C t rC t r C t e s s s sr +=++= ，0≥t 3-4 首先求系统的给定误差传递函数()5001.0)11.0()(11)()(2+++=+==Φs s s s s G s R s E s e 误差系数可求得如下()()()232220220222001200050098)5001.0()12.0(1000)5001.0(100lim lim 5001)5001.0()12.0(500lim lim 05001.0)11.0(lim lim =+++-++=Φ==+++=Φ==+++=Φ=→→→→→→s s s s s s ds d C s s s s ds d C s s s s s C s e s s es s e stt r t t rt t r s s s 5sin 25)(5cos 5)(5sin )(-===稳态误差级数为()[][][]tt tC t C C t e sr 5cos 1015sin 109.45cos 55sin 25224120 -⨯++⨯=-⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-=-3-5 按技术条件（1）~（4）确定的二阶系统极点在s 平面上的区域如图A-3-1 (a) ~ (d)的阴影区域。

自动控制原理参考答案-第7章

自动控制原理参考答案-第7章
等倾线斜率： β = &= 等倾线方程： c
2 −ωn 6 =− 2ξωn + a a
& = 0) (c & < 0) (c
2 −ωn c − 1 −6 1 c+ = 2ξωn + a a a 相变量的方向场如图 & c
1 − 6
1 6
c
(3) 系统方程： && + 6c + 5 = 0 ⎧c ⎨ && − 6c + 5 = 0 ⎩c
题 7-2：试计算题 7-2 图所示非线性结构图的描述函数。
x
k
M
y
d
c
题 7-2 图
非线性串联环节
死区+继电的非线性特性的串联等效特性：
0 ≤ ωt ≤ ψ ⎧0 ⎪ y(t) = ⎨ π M ψ ≤ ωt ≤ ⎪ ⎩ 2 A1 = 0 1 2π B1 = ∫ y(t) sin ωt ⋅ dωt π 0 π 4 = ∫ 2 M sin ωt ⋅ dωt π ψ
2 ωn =1 ⎫ ⎪ ⎧ωn = 1 e ≥ 0 时， ， 所以奇点为稳定焦点 ⎬⇒ ⎨ 2ξωn = 1⎪ ⎭ ⎩ξ = 0.5 < 1
等倾线斜率： β =
2 −ωn −1 = 2ξωn + a 1 + a
e < 0 时，系统特征方程 s 2 + s − 1 = 0 ⇒ s1,2 = −1.618, +0.618 ， 所以奇点为鞍
闭环传函： T ( s ) =
5
& c
c
0 5
题 7-9～题 8-12：
(略)
第 7 章主要知识点
1 描述函数法是在满足一定的条件下，对元件的非线性特性进行谐波线性化处 理，使非线性系统变为一个近似的线性系统，从而可用奈氏稳定判据判别系统 的稳定性和是否有自激振荡产生。 2 描述函数法需对系统的非线性部分进行谐波线性化处理，而不需对系统的线 性部分进行简化。相平面法需将系统的线性部分简化为二阶系统，而不对非线 性环节进行任何处理。 3 描述函数是系统运动状态做周期运动的描述，一般没有考虑外界作用，所以 只用于分析系统稳定性和自激震荡，而不能得到系统的响应。 4 相平面法可给出系统零输入响应的特性，也可观察到系统是否存在自激振荡 (以极限环出现)，但较难确定自激振荡的振幅和频率。

石群自动控制原理(第7章)

石群自动控制原理(第7章)

结论： 数字控制系统中，普遍采用零阶保持器，很少采用一 阶保持器，基本不用更高阶保持器。 工程实践中，可用输出寄存器实现零阶保持器，还应 附加模拟滤波器，有效去除采样频率及其谐波频率附近 的高频分量。
7-3 z变换理论
①z变换的思想源于连续系统。 ②线性离散系统的性能，可用z变换的方法获得。 ③z变换是采样函数拉氏变换的变形，称为采样拉氏 变换。 1. z变换定义
e(nT ) e[(n 1)T ] t T
0 t T
1 eTs 2 Gh ( s) T (1 Ts)( ) Ts 2 sin(T 2) 2 j (T arctan T ) Gh ( j ) T 1 (T ) [ ]e T 2
一阶保持器与零阶保持器相比较： ①复现原信号的准确度更高。 ②幅频特性普遍较大，允许通过高频分量较多，更易造 成纹波。 ③相角滞后更严重，s 处滞后可达 280 ，对稳定性更 加不利。
连接阶梯信号中点， 可得到与e(t)形状一 致，但时间落后T/2 的响应e[t-(T/2)]。
零阶保持过程是理想脉冲 e(nT ) (t nT ) 的结果。
(t )
零阶保持器
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器传递函数(脉冲响应的拉氏变换)： Ts Ts 1 e 1 e Gh ( s) s s s 零阶保持器频率特性：
的
z变换可以把离散系统的s超越方程变换为z的代数方程。
⑵采样信号的频谱 采样信号不包含采样间隔之间的信息，所以采样信号 的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。 研究采样信号的频谱，是为了找出 和 之间的 联系。
3. 香农采样定理 如果采样器的输入信号 具有有限带宽，并且有直 到 的频率分量，则使信号 圆满地从采样信号 中恢复过来的采样周期T，满足以下条件：

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章
基本思想 相轨迹的特点 相轨迹的绘制方法 线性系统的相平面图 非线性系统的相平面图
基本思想
ɺ x
x
相平面分析法是分析非线性系统性能的一种图 示方法。 示方法。而相轨迹和相平面图的绘制为该分析方法的前提 条件。 条件。
x 1 (t), 2 (t) x
相平面定义：由两个线性无关的状态变量 作为坐标的平面称 为相平面。通常采用位移和位移的变化率作为状态变量用于描述一、二 阶系统的运动特性。
ɺɺ = -f(x, x ) ɺ x ⇒ ɺ ɺɺ = d x x = − f(x, x ) ɺ ɺ x dx ⇒ ɺ ɺ dx f(x, x ) = − ɺ dx x
ɺ x
x
相轨迹的绘制方法
解析法
消除变量法 直接积分法
等倾线法绘制相轨迹思 ɺɺ + f(x,ɺ ) = 0 x x 令： ⇒ 路： ɺ dx f(x,ɺ ) x =− ɺ x dx
E 0
Im
∞
Re
死区继电器的负倒描述函数曲线
Im
N(E) N(E)
4M = πE = 0
Δ2 1− E 2 (E ≤ Δ )
(E
≥ Δ)
∆ ∞
E Re
−
1 N(E)
= − 4M
πE
Δ2 1− E 2
(E
≥ Δ)
拐点参数：
E = 2 Δ 1 − N(E) E =
Y ϕ 非线性环节的描述函数 ：N = 1 e j 1 = E
2 2 − A 1 + B 1 jtg 1 B 1 B A = 1+j 1 e E E E
A1
描述函数的自变量为输入正弦信号的幅值
求取描述函数应用举例

自动控制原理 胡寿松 第七章 线性离散系统的分析与校正

自动控制原理 胡寿松 第七章 线性离散系统的分析与校正
当采样开关和系统其余部分的传递函数都具有线性特性时，这样的系统就称为线性采样系统。
2.数字控制系统（也称计算机控制系统，时间和幅值上都是离散的）
被控对象中包含了 放大器，执行器等
计算机控制系统典型原理图
严格讲，此图不一定对。
再看一例计算机控制系统： P9，图1-12
1）A / D 转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。它的转换包括两个过程： 一是采样过程；二是量化过程，计算机中任何数值的离散信号必须表示成二进制 数才能进行运算。 2）D / A 转换器是把离散的数字信号转换为连续的模拟信号的装置。它的转换也经历两个 过程：一是解码过程，把离散数字信号转换为离散的模拟信号；二是复现过程， 经过保持器将离散的模拟信号复现为连续的模拟信号。
7-1 .信号的采样和保持
离散系统的特点是，系统中一处或数处的信号是脉冲序列或数字序列。为 了把连续信号变换为脉冲信号，需要使用采样器；另一方面，为了控制连续式 元部件，又需要使用保持器将脉冲信号变换为连续信号。因此，为了定量研究 离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程用数学的方法加以描述。
本节内容
3）数字控制系统的典型结构图
e
e
数字控制统典型结构图
此图将数字控制器的控制律用线性连续系统传递函数来代替了。
3.离散控制系统的特点
采样和数控技术，在自动控制领域中得到了广泛的应用，其主要原因是采样 系统，特别是数字控制系统较之相应的连续系统具有一系列的特点： 1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现 的控制律易于改变，控制灵活。 2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效的抑制噪声，从而提高了系统的抗 扰能力。 3）允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度（有些高灵敏度的检测 元件提供的检测信号就是离散的）。 4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。 5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。

自动控制原理-第七章 非线性系统分析

自动控制原理-第七章 非线性系统分析

p p p ( x1 , x 2 ) ( x1 x 10 ) ( x 2 x 20 ) x1 x 2 Q ( x , x ) Q ( x x ) Q ( x x ) 1 2 1 10 2 20 x1 x 2
p ( x1 , x 2 ) a ( x1 x10 ) b( x 2 x 20 ) Q( x1 , x 2 ) c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )

c 区域： a Tc c k m
c k m c 1 （k m c) T T ct 0 由奇点定义： k m c 0 c 常数 c k m 1 k m c dc T dc c 区域： c 常数 奇线： c k m
§7-4
奇点及极限环
dx 0 奇点概念：相轨迹上满足 dx 0 不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态 一 奇点分类：(线性系统)
2 2 n x n x 0 x 2 2 n x n x x dx 2 x dx 2 n x n x dt (*) 相轨迹方程 dx x dx x dt
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性 1．线性系统与非线性系统区别： 输出曲线 等幅振荡 稳态输出
2．非线性特性（典型） 1）死区
0 x a y k ( x a ) x a k ( x a ) x a
0 = k ( x aSignx)
x1 a ( x1 x 10 ) b( x 2 x 20 ) x 2 c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )

自动控制原理与应用第7章自动控制系统的校正

自动控制原理与应用第7章自动控制系统的校正

03
非线性系统校正方法
非线性特性分析
描述函数法
通过描述函数将非线性环节近似为线性环节， 从而简化系统分析。
相平面法
在相平面上绘制系统状态轨迹，直观展示非线 性系统的动态特性。
谐波平衡法
通过谐波平衡方程求解非线性系统的稳态响应。
非线性校正策略
反馈线性化
通过引入适当的反馈，将非线性 系统转化为线性系统，从而应用 线性控制理论进行设计。
继电反馈
采用继电反馈方式，将非线性环节的输出作为反馈信 号，通过调整继电器参数实现对系统的校正。
04
数字控制系统校正技术
数字控制系统概述
数字控制系统的定义
通过数字计算机实现的控制系统，具有高精度、高灵活性和 易于实现复杂控制算法等优点。
数字控制系统的组成
包括被控对象、测量元件、数字控制器和执行机构等部分。
06
自动控制系统校正实验与仿真
实验目的与要求
01 掌握自动控制系统校正的基本原理和方法；
02 熟悉自动控制系统的性能指标及其评价方法 ；
03
学会利用仿真软件对自动控制系统进行建模 和仿真分析；
04
培养解决实际工程问题的能力。
实验内容与步骤
设计一个典型的自动控制系统 ，并对其进行数学建模；
对未校正的系统进行仿真分析 ，记录其性能指标；
校正方法
针对电机速度控制系统的非线性、参 数时变和负载扰动等特点，可采用自 适应控制算法进行校正。通过实时辨 识系统参数并调整控制器参数，实现 对电机速度的精确跟踪和控制。
校正效果
经过自适应控制校正后，电机速度控 制系统的动态响应性能和抗干扰能力 得到提高。系统能够快速适应电机参 数变化和负载扰动，保持稳定的转速 输出，提高控制精度和鲁棒性。

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章

饱和特性可以由放大器失去放大能力的饱和现象 来说明，其输入输出关系如图所示。 来说明，其输入输出关系如图所示。
饱和特性
它的数学描述为
+ M , e > +e0 f (e ) = ke,−e0 ≤ e ≤ +e0 − M ,e < 0
在放大器的线性工作区内，叠加原理是适用的。 在放大器的线性工作区内，叠加原理是适用的。但 是输入信号正反向过大时， 是输入信号正反向过大时，放大器的工作进入饱和 工作区，就不满足叠加原理了。从图上可以看到， 工作区，就不满足叠加原理了。从图上可以看到， 在饱和点上，信号虽然是连续的，但是导数不存在。 在饱和点上，信号虽然是连续的，但是导数不存在。 饱和特性在控制系统中普遍地存在。 饱和特性在控制系统中普遍地存在。调节器一般都 是电子器件组成的，输出信号不可能再大时， 是电子器件组成的，输出信号不可能再大时，就形 成饱和输出。有时饱和特性是在执行单元形成的， 成饱和输出。有时饱和特性是在执行单元形成的， 如阀门开度不能再大、电磁关系中的磁路饱和等。 如阀门开度不能再大、电磁关系中的磁路饱和等。
滞环特性
一起， 滞环特性表现为正向行程与反向行程不是重叠 一起，在 输入输出曲线上出现闭合环路因此而得名。 输入输出曲线上出现闭合环路因此而得名。滞环特性又 可以称为换向不灵敏特性。滞环特性与死区特性一样， 可以称为换向不灵敏特性。滞环特性与死区特性一样， 通常也是叠加在其它传输关系上的附加特性， 通常也是叠加在其它传输关系上的附加特性，其输入输 出关系如图所示。 出关系如图所示。
摩擦特性
死区特性
死区又称不灵敏区，在不灵敏区内， 死区又称不灵敏区，在不灵敏区内，控制单元的输入端虽 然有输入信号但是其输出为零。 然有输入信号但是其输出为零。死区特性通常是叠加在其 它传输关系上的附加特性，其输入输出关系如图所示。 它传输关系上的附加特性，其输入输出关系如图所示。

自动控制原理第7章2

自动控制原理第7章2

单位圆从–π逆时针变j化到π，转了一圈，其中ωs为采样角频率。
3
j 3s 2
[s]
Im [z]
次频带 2
主频带 主频带
1 j s 2
0 0
1
0
1 Re
次频带
-1 j s -2 2 -3 j 3s
2
2020/11/13 Friday
s平面内频带映射到z平面
2
把s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从–ωs/2到 ωs/2的周期带为主频带，其余的周期带为次频带。离散函数z变换 的这种周期特性，说明了连续函数经离散化后，其频谱会产生周期 性的延拓。
j
稳 定 区
[s]
不 稳 定 区
Im [z]
稳定区
1
0
不 稳 1 定 Re 区
s平面与z平面的对应关系
2020/11/13 Friday
4
例7-24 二阶离散系统的方框图如图所示。试判断系统的稳
定性，设采样周期T=1s，K=1。
R(s) T
K
C(s)
s(s 1)
二阶离散系统
解 先求出系统的闭环脉冲传递函数为
7.5.1 稳定性分析
(1) s域到z域的映射 在连续时间线性系统中，系统的稳定性可以根据特征方程的根
在s平面的位置来确定。若系统特征方程的根都具有负实部，即都 分布在s平面左半部，则系统稳定。由于离散时间线性系统的数学 模型是建立在z变换的基础上，为了分析系统的稳定性，研究s平 面和z平面之间的映射关系。 在Z变换定义中，z=eTs给出了s域到z域的映射关系。s域中的任 意点可表示为s=σ+jω，映射到z域为
连续系统一定是稳定的。但是当系统成为二阶离散系统时，即 使K值是正的，也不一定能保证系统是稳定的。这就说明了采样 过程的存在影响了系统的稳定性。

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章
2 1 2 1

0

0
• 这个过程实际上是一个线性化过程，经 过线性化输出的信号与输入信号同频率， 只是在幅值和相位上有差异；
• 经过线性化之后的输入输出关系 Y1 A1 2 2 N ( A) 1 A1 B1 A arctg B1 A Y1 Y1 B1 A1 cos 1 j sin 1 j A A A A • N ( A) 被称为非线性特性的描述函数。 • 一般情况下，描述函数 N ( A) 为入幅值 A 的函数，而与频率无关。当非线性特 性为单值时，相应的描述函数为一实 数，表示输入与输出是同相的。
A1 0
B1
KA sin t 2. 饱和特性 y (t ) Kc
2
0 t
t
4


2
0
1
y (t )sin t d t
0
4

KA sin 2 t d t
2 Kc sin t d t

一.实际系统中的非线性因素
图7-1 一些常见的非线性特性

除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因 素外，有时为了改善系统的性能
或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引 入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件， 最简单和最普遍的就是继电器。

图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性
7.3 描述函数法
一、描述函数的基本概念
R


G1
x1
非线性
x2
G2
Y
H
当非线性元件输入一个正弦信号 x A sin t 输出是一个含有高次谐波的周期函数：
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一个控制系统，如果受到外界因素或自 身内部的干扰（例如负载的波动、系统 参数的变化等），就可能会偏离原来的 正常工作状态，并且可能会越偏越远， 而在扰动消失后，也不能恢复到原来状 态，这类现象称为系统的不稳定现象。 显然，一个不稳定的系统是无法工作的 ，也没有任何实用价值。 稳定性是控制系统的重要性能，是系统 能够正常工作的首要条件。因此，分析 系统的稳定性，并提出保证系统稳定的 条件，是设计控制系统的基本任务之一 ，在自动控制理论中占有极重要的位置 。 第7章 系统稳定性分析
2017/6/16
3
7.1 系统稳定性的基本概念
对于一个系统来说，一旦受到扰动的作 用，就会使系统偏离原来的平衡状态， 产生一定的初始偏差。所谓系统的稳定 性，就是指作用到系统的扰动消失后， 系统由初始偏差状态恢复到原来平衡状 态的性能。 在自动控制理论中，有多种稳定性的定 义，这里只讨论其中最常用的一种，即 渐近稳定性的定义。
(i ) c 其中，N0(s)是由初始条件 (0)
（i=0,1,2,…,n-1）有关的s的多项式。
2017/6/16 第7章 系统稳定性分析 9
7.2 线性定常系统稳定的充要条件
根据稳定性的定义，应该研究的是输入 信号没有作用的情况下系统的时间响应 。因此，可以取R(s)=0，则上式可变为
C0(s )
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第7章 系统稳定性分析f A

图7-2不稳定系统
A'
d
A
f
图7-1 单摆运动示意图
c
f
图7－1为稳定的系统。 图7－2为不稳定系统。
A
图7-3小范围稳定系统
图7－3中，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性 的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。
lim c (t ) 0
t
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第7章 系统稳定性分析
7
7.2 线性定常系统稳定的充要条件
设n阶线性定常系统的微分方程为
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a a an c (t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr(t ) b0 b1 bm 1 bm r (t )(m n) dt m dt 1m dt
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第7章 系统稳定性分析
6
7.2 线性定常系统稳定的充要条件
当线性定常系统的输入信号r(t)=0时，则 输出信号c(t)=0，即为系统的平衡工作点 。当有扰动信号作用于系统时，系统的 输出就会产生偏差，也就是说，会使得 c(t)不再为零。 假设扰动信号消失的时间为t=0时刻，那 么如果系统稳定，则输出c(t)会随着时间 的推移而逐渐回到原平衡工作点，也就 是c(t)=0的位置，即满足
i 1
r
q
pi t
Bk e k k t cos(k 1 k2 t )
k 1
r

k 1
Ck Bk k k
k 1 k2
e kk t sin(k 1 k2 t )
2017/6/16 第7章 系统稳定性分析 5
7.1 系统稳定性的基本概念
线性控制系统的稳定性可以叙述如下：
若线性控制系统在初始扰动的作用 下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减， 并趋于零（即原平衡工作点），则称系统 渐近稳定，简称稳定；若在初始扰动作用 下，系统的动态过程随时间的推移而发散 ，则称系统不稳定。
第7章 系统稳定性 分析
1
本章内容
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
2017/6/16
系统稳定性的基本概念 线性定常系统稳定的充要条件 劳斯稳定判据 奈奎斯特稳定判据 对数频率特性的稳定判据 系统的相对稳定性分析
Matlab在系统稳定性分析中的应用
第7章 系统稳定性分析 2
引 言
系统的闭环传函数为
C ( s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm ( s ) R( s ) a0 s n a1 s n 1 an 1 s an
若考虑初始条件不为零，对上式进行拉 普拉斯变换，得
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm C (s) R( s ) n n 1 a0 s a1 s an 1 s an N 0 (s) a0 s n a1 s n 1 an 1 s an
其中为C0(s)为在初始状态影响下系统的 时间响应（即零输入响应）；
D(s) a0 s n a1s n1 an1s an
N 0(s ) D (s)
称为系统的特征多项式，也是系统闭环传 D( s ) 0 称为系统 递函数的分母多项式； 的特征方程。 C0(s)的极点也是系统闭环传 递函数的极点，称为系统的特征根。
r Ai Bk Ck 2 2 i 1 s pi k 1 s 2 kk s k
式中，q+2r=n，Ai,Bk,Ck为待定系数。
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第7章 系统稳定性分析
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
对上式进行拉普拉斯反变换，可得系统 的零输入响应为
c(t ) Ai e
若初始条件为零，对上式进行拉普拉斯 变换，得
b0 s m b1 s m1 bm1 s bm C ( s) R( s ) n n 1 a0 s a1 s an 1 s an
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第7章 系统稳定性分析
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
2017/6/16 第7章 系统稳定性分析 10
7.2 线性定常系统稳定的充要条件
设系统特征方程D(s)=0的根（即系统的 特征根）为pi，其中pi可以为单根、重根 、实根或复根，则上式可变换为
C0( s ) N 0( s )
2 2 ( s p ) ( s 2 s i k k k ) i 1 q k 1 q r