证明二 方程复习

二次函数与方程方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．（一）用函数观点看方程【例1】已知关于x 的二次函数()12221--+=x x m y 和()1222++++=m mx x m y 的图象都经过x 轴上的点（n ，0）. （1）求m 的值； （2）将二次函数()12221--+=x x m y 的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数3y 的图象．①求3y 的解析式；②在所给的坐标系中画出2y 和3y 的大致图象，并结合函数的图象回答：当x 取何值时，23y y >？〖练1〗函数()1122+++=x k kx y （k 为实数）．（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一坐标系中，用描点法画出这两个函数的图象；（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； （3）对任意负实数k ，当m x <时，y 随x 的增大而增大，试求m（二）二次函数与判别式【例2.1】已知抛物线1C 的解析式为223412++=x x y ，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，且2C 经过1C 上一点P （2，m ），2C 交y 轴于Q ，当PQ 与y 轴相交所成的锐角为45°时，求2C 的解析式；（3）将抛物线1C 沿直线BC 平移，与射线AC 仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值范围．【例2.2】抛物线c bx x y ++=21412与y 轴相交于点B ，其顶点A 在直线x y 43=上运动．（1）当b ＝2时，求点B 的坐标；（2）已知△CDE 的三个顶点的坐标分别为C （-5，2）、D （-3，2）、E （-5，6），当抛物线c bx x y ++=21412对称轴左侧的部分与△CDE 的三边一共有两个公共点时，求b 的取值范围．【练2.1】如图，已知抛物线243y x x =-+-的顶点为M ，直线29y x =--与y 轴交于点C ，与直线MO 交于点D ．现将抛物线的顶点在直线OD 上平移，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．【练2.2】给定直线l ：kx y =，抛物线C ：12++=bx ax y ．（1）当1=b 时，l 与C 相交于A 、B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l 向上平移12+k 个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P 是此抛物线上任意一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线2=y 交于Q ，求证：OP ＝PQ ．（三）根与系数关系的应用距离公式的应用【例3.1】某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图象问题时，发现了三个重要结论： ①抛物线()0322≠++=a x ax y ，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线l 上； ②抛物线32++=bx x y ，当实数b 变化时，它的顶点都在某条抛物线f 上；③如图1，二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象与x 轴的两个交点为A （1x ，0），B （2x ，0），顶点为C ，若△ABC 为直角三角形，则m ac b =-42． （1）求直线l 的解析式；（2）求抛物线f 的解析式及m 的值；（3）如图2，将直线l 沿y 向下平移k 个单位得到直线2l ，抛物线f 沿直线l 平移得到抛物线2f ，若直线2l 与抛物线2f 的两个交点P 、Q 间的距离不小于25，求k图1【拓展】已知二次函数c bx ax y ++=2和一次函数bx y -=，其中实数a 、b 、c 满足c b a >>，0=++c b a ． （1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；（2）设这两个函数的图象交于A 、B 两点，作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，求线段A 1 B 1的取值范围．〖练3〗已知直线321-=x y 分别交x 轴于A ，交y 轴于B ，抛物线b x x y C ++=4:21的顶点D 在直线AB 上． （1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 的顶点沿射线DA 的方向平移得到抛物线2C ，抛物线2C 交y 轴于C ，顶点为E ，若CE ⊥AB ，求抛物线2C 的解析式；（3）将直线AB 沿y 轴正方向平移t （0>t ）个单位得到直线l ，抛物线1C 的顶点在直线AB 上平移得抛物线3C ，直线l 和抛物线3C 交于P 、Q ，当t5焦点弦问题【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数m x y +=45的图象与x 轴交于A （－1，0），与y 轴交于C ．以直线2=x 为对称轴的抛物线()0:21≠++=a c bx ax y C 经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于B ．（1）求m 的值及抛物线1C 的函数解析式；（2）设点D （0，1225），若F 是抛物线1C 的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线1C 于M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）两点，试探究NFMF 11+是否为定值？请说明理由．〖练4.2〗如图，在矩形ABCD 中，把点D 沿AE 对折，使点D 落在OC 上的F 点，已知AO ＝8，AD ＝10． （1）求F 点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O 、F ，且直线366-=x y 是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； （3）直线()4353--=x k y 与（2）中的抛物线交于P 、Q 两点，点B 的坐标分别为（3，435-），求证：OBPB 11+为定值．x解析几何方法应用【例5.1】如图，直角坐标系中，已知点A （2，4），B （5，0），动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x s ． （1）Q 点的坐标为 ；（用含x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形？（3）记PQ 的中点为G ，请你探求点G 随P 、Q【例5.2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点P 、Q 分别是AB 边和CD 边上的动点，点P 从点A 向点B 运动，点Q 从点C向点D 运动，且保持AP ＝CQ ．设AP ＝x ． （1）当PQ ∥AD 时，求x 的值；（2）当线段PQ 的垂直平分线与BC 边相交时，求x 的取值范围；（3）当线段PQ 的垂直平分线与BC 边相交时，设交点为E ，连接EP 、EQ ，设△EPQ 的面积为S，求S 关于x 的函数关系式，并写出S 的取值范围．〖练5〗如图1，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AD ＝4cm ，AB ＝dcm ．动点E 、F 分别从点D 、B 出发，点E 以1cm /s 的速度沿边DA 向点A 移动，点F 以1cm /s 的速度沿边BC 向点C 移动，点F 移动到点C 时，两点同时停止移动．以EF 为边作正方形EFGH ，点F 出发xs 时，正方形EFGH 的面积为yc m 2．已知y 与x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量x 的取值范围是 ；（2）d ＝ ，m ＝ ，n ＝ ；（3）F 出发多少秒时，正方形EFGH 的面积为16 c m 2？xAEAGD x。

一元二次方程知识点总结和例题——复习的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆6.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

7.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

（参考教材：初中数学九年级人教版）知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0.(2)4y-y 2=0.(3) t 2=0.(4) x 3-x 2=1.(5) x 2-2y-1=0. (6)21x -3=0.(7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-x4+6=0.(10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于22、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x nx m ，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a 。

3、已知关于x 的方程()2220m m xx m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c是常数项。

小学数学点知识归纳解两元二次方程数学是一门重要的学科，是培养学生逻辑思维和解决问题能力的基础。

在小学数学教学中，解两元二次方程是一个重要的知识点。

本文将对小学数学解两元二次方程的方法进行归纳和解析。

一、什么是两元二次方程两元二次方程是由两个未知数和二次项构成的方程。

一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c为已知数，x为未知数。

二、解二次方程的一般步骤1. 将方程化为标准形式：将方程整理成ax^2 + bx + c = 0的形式，确保二次项系数a不为0。

2. 求解二次方程的根：根据二次方程的判别式(b^2 - 4ac)的正负情况，可以判断方程的解的个数。

- 若判别式大于0，方程有两个不相等的实数解。

- 若判别式等于0，方程有两个相等的实数解。

- 若判别式小于0，方程无实数解，但可以有复数解。

3. 计算方程的解：利用求根公式或配方法等解二次方程的方法，求出方程的解。

三、解二次方程的方法1. 求根公式：对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来解。

求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 配方法：当二次方程存在两个完全平方的项时，可以采用配方法解方程。

例如，对于x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其改写为(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3两个解。

3. 图像法：通过观察二次方程y = ax^2 + bx + c的图像，可以得到方程的解的情况。

当图像与x轴有两个交点时，方程有两个不相等的实数解。

当图像与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实数解。

当图像与x轴无交点时，方程无实数解。

四、小学生解二次方程的实例例题一：解方程x^2 - 6x + 8 = 0。

解法：首先，将方程化为标准形式，得到x^2 - 6x + 8 = 0。

然后，使用求根公式，代入a = 1，b = -6，c = 8，计算得到∆ = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×8 = 36 - 32 = 4。

人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附解析一、选择题1．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩【答案】12x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】 解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．2．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．3．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①② 由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．4．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩ 【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.5．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．6．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y. 【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得 ()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.所以，方程组的解是1 14 3x y =-⎧⎨=-⎩，221xy=⎧⎨=⎩【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.7．解方程组【答案】原方程组的解为：，【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一个方程，求出y即可.【详解】解：把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4，x2+4x=0，解得：x=-4或x=0，当x=-4时，y=-3，当x=0时，y=1，所以原方程组的解为：，．故答案为：，．【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.8．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：沿x轴翻折后，与x轴交于点A，与y轴交于点B ，抛物线与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F（点F在点E的右侧）．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）（1，），（3，0）．【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB 的解析式即可求出h的值，即可得到答案；（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析式，解由方程和的解即可得出P、Q的坐标．【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），沿x轴翻折，∵直线，直线AB与x轴交于同一点（-2，0）∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称∴B（0，），∴解得k＝，b＝，∴直线AB的解析式为.（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），抛物线解析式为：∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），又点F在直线AB上，∴，解得 h1=3，h2＝（舍去），∴抛物线的解析式为.（3）解：过M作MT⊥FH于T，∴Rt△MTF∽Rt△AGF．∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，则FN=AH+HF+AF)-FM=16-5k，∴S△MNF＝(AH+HF+AF)-FM=16-5k，又∵S△MNF＝S△AFH．∴＝24，解得k＝=或k=2 （舍去），∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，∴M（，））、N（6，-4），代入得：=k+b且-4=6k+b，解得：k=，b=4，∴y＝x+4，联立y＝x+4与y＝,求得P（1，），Q（3，0）．答：存在P的坐标是（1，），Q的坐标是（3，0）．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．9．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.10．解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②， 由②得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．11．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.12．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0， x ＋y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．13．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．14．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①②求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．15．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩【答案】10x y =-⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．【详解】解：由①得：1y x =+③把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,整理得：220x x --=，解得11x =-，22x =．当11x =-时，1110y =-+=当22x =时，2213y =+=∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．16．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB ； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM； （联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM的值．【答案】（1）证明见解析；(2)11 15；（3）45. 【解析】分析：(1)过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ，根据矩形的性质证明△PDA ∽△QAB ；(2)根据(1)的结论可得BN AM；(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于R ，交BC 的延长线与S ，SC ＝x ，DS ＝y ，在Rt △CSD ，Rt △ARD 中，用勾股定理列方程组求出AR ，AB ，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ．∴四边形AEFP ，四边形BHGQ 都是平行四边形，∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠QAT ＋∠AQT ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D ＝90°，∴∠DAP ＋∠DPA ＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN ARAM AB＝．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③，222525x yx y⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34xy⎧⎨⎩＝＝，5xy-⎧⎨⎩＝＝(舍)，所以AR＝5＋x＝8，则84105DN ARAM AB＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.17．解方程组：222220,21,x xy yx xy y⎧--=⎨++=⎩【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．【详解】2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得 （x+y ）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩， 所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．18．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.19．()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】运用代入法进行消元降次，即可得解.【详解】 ()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②由①，得8x y +=-③将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④将④代入①，得22y =∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为：302x yx y-=⎧⎨-=⎩或2x yx y+=⎧⎨-=⎩解得：113 1x y =⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=-⎩∴原方程组的解为113 1x y =⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。

九年级数学二次方程知识点九年级数学课程中，二次方程是一个非常重要的内容。

它在数学中的地位不容小觑。

掌握了二次方程的知识，学生不仅能够解决实际问题中的数学计算，还能培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

下面我们来详细介绍一下九年级数学中的二次方程知识点。

一、二次方程的定义和一般形式二次方程是包含一个二次项的方程，它的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a≠0。

在这个方程中，x表示未知数。

二、二次方程的解及解的性质对于一个二次方程而言，它的解可以是实数、复数或无解。

解的性质也是数学中的重要概念之一。

1. 实数解：当二次方程的判别式D=b^2-4ac≥0时，方程存在实数解。

实数解可以进一步分为两种情况：一是D=0时，方程有唯一实数解；二是D>0时，方程有两个不同的实数解。

2. 复数解：当二次方程的判别式D<0时，方程存在复数解。

复数解通常具有形式a+bi，其中i表示虚数单位。

3. 无解：当二次方程的判别式D<0且不等于0时，方程无解。

三、二次方程的解的求解方法为了求解一个二次方程的解，可以利用以下两种常见的方法：1. 因式分解法：如果二次方程可以从已知的因式推导出来，那么就可以使用因式分解法来求解。

通过将方程因式化为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于零，可以得到方程的解。

2. 公式法：利用一元二次方程的求根公式可以求解任何一个二次方程。

一元二次方程的求根公式是x = (-b±√(b^2-4ac))/2a。

通过带入方程中的常数a、b、c，计算出解。

四、二次方程在实际问题中的应用二次方程在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，二次方程可以用于描述抛体运动的轨迹；在经济学中，二次方程可以用于分析企业的成本和利润；在建筑工程中，二次方程可以用于计算拱桥的弧线等等。

通过将数学知识与实际问题相结合，学生不仅可以更好地理解和应用二次方程，还可以培养他们的问题解决能力和逻辑思维能力。

综合检测题一、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请把下列各题的正确答案填写在横线上．1、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是 2、方程：33-=-y y y )(的解为：____________________。

3、已知关于x 的方程032112=-+-+x x m m)(是一元二次方程,则m 的值为：___________。

4、在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b=a 2-b 2,根据这个规则，方程(x+2) ﹡5=0的解为5．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其他两边长为 ________________ 6．等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为 7．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm S ABC =∆，AB=18cm ，BC=12cm ，则DE= cm ．8．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若BC=8，EO=3，则CD=9．如图，△ABC 中，BC=5，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的垂直平分线交BC 于E ，则△ADE 的周长是 ．二、细心做一做好事1、已知方程2m 2-5m-1=0与2n 2-5n-1=0且m ≠n 求nm 11+的值第8题第9题第10题2、αβ是方程x 2+2x-5=0的两个实根，则α2+αβ+2α=（ ）关于x 的一元二次方程x 2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求的取值范围3、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -4、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （5）)31)(31(1221x x x x ++5、已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．6、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．7、已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．8、如图Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与()1+--=k x y 在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且23=∆ABO S ，（1）求这两个函数的关系式，（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积。

初三数学二次函数复习 二次根式 二次方程复习某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：二次函数复习 二次根式 二次方程复习二. 复习目标：1. 二次根式的定义及a a =2)(，与||2a a =。

2. 最简二次根式的定义，合并同类项。

3. 韦达定理及韦达定理举例应用。

4. 二次函数的三种形式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=≠++=))(()()0(2122x x x x a y k m x a y a c bx ax y 及二次函数的性质。

【典型例题】[例1] 化简ba b a ---1)(。

精析：仔细探求题中的隐含条件，如b a --1中的01≥--ba ，从而可以化去绝对值。

解：∵01≥--ba ∴0<-b a ∴原式a b a b ab ba b a b a b a --=-⋅--=--⋅-⋅-=)(||1)( [例2] 解下列方程：（1）0112=-++m m ；（2）2241102x x -=-+解：（1）∵方程左边是两个非负数的和，右边是零。

∴⎩⎨⎧=-=+01012m m ∴1-=m 经检验1-=m 是原方程的解。

（2）∵3101022>≥+x ∴211022>-+x 而242≤-x所以方程无实根。

[例3] 已知：1x 、2x 是方程01682=+-x x 的两根，求一个以2,221++x x 为根的一元二次方程。

分析：根据所给条件求一个一元二次方程，关键是求所求方程的两根之和与两根之积。

解：根据题意，得⎩⎨⎧=⋅=+)2(6)1(82121x x x x由（1）得12)2()2(21=+++x x由（1）（2）得2641664)(2)2()2(212121=++=+++⋅=+⋅+x x x x x x因此所求的方程是026122=+-t t[例4] 已知)1()12()1(2+++--=k x k x k y 的图水平开口向上，且在x 轴上截得的线段的长为13，（1）求k 的值；（2）当x 为何值时，0>y ？分析：当c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个公共点时，这两个公共点的横坐标为1x 、2x ，则图象与x 轴上截得的线段长为||||21a x x ∆=-；同时注意检验有无增根，应用了韦达定理时，∆是否大于等于零？是否符合题意。

二次方程的像与性质知识点总结一、二次方程的定义及基本形式二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

常见的二次方程通常可写为一般形式：ax^2+bx+c=0。

二、二次方程解的表示方式1. 解的定义：对于二次方程ax^2+bx+c=0，如果存在实数r使得代入方程后等式成立，则称r为方程的根或解。

2. 二次方程的根的表示方式：二次方程的解有三种表示形式：（1）实根：如果二次方程的解为实数，可表示为r1和r2，且r1≠r2，则方程的解为x=r1和x=r2。

（2）重根：如果二次方程的解为实数，但是r1=r2，则方程的解为x=r1=r2。

（3）虚根：如果二次方程的解为复数，可表示为r1±ri，其中i为虚数单位，则方程的解为x=r1+ri和x=r1-ri。

三、二次方程的判别式1. 判别式的定义：对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，判断方程的解的性质通常可通过判别式D=b^2-4ac来进行。

2. 判别式的三种情况：（1）D>0，方程有两个不相等的实根。

（2）D=0，方程有两个相等的实根，即重根。

（3）D<0，方程没有实数解，只有虚根。

四、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程存在重要的关系，二次方程的解可以对应到二次函数的图像上。

1. 二次函数的标准形式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

a决定了二次函数的开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下。

(h, k)决定了二次函数的顶点坐标。

2. 二次函数的顶点坐标与二次方程的根的关系：若二次方程的判别式D>0，则二次函数的图像与x轴有两个交点，分别为顶点上下两个点，在x轴上的两个实根对应到顶点的两个交点。

若二次方程的判别式D=0，则二次函数的图像与x轴有一个交点，在x轴上的一个重根对应到顶点的唯一交点。

若二次方程的判别式D<0，则二次函数的图像与x轴没有交点，对应到顶点不在x轴上。

（第21章、二次方程）21.1 一元二次方程知识点1 一元二次方程（重点）一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.友情所示：从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.(2)未知数的最高次数是2,即未知数的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之，是一元二次方程，那么它就一定满足以上三个条件.【方法归纳】：判断一个方程是否为一元二次方程，首先要将方程化简，使方程右边为0，然后观察它是否具备一元二次方程的三个条件：（1）只含有一个末知数，（2）末知数的最高次数是2，（3）整式方程，这三个条件缺一不可.知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 【友情提示】：一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式，它的左边是未知数的二次三项式，且其中a通常写成大于0的形式，而右边是0.一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础. 【方法归纳】一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b=0；若没有出现常数项c，则c=0.知识点3 一元二次方程的解（根）（难点）一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.判定一个数是不是一元二次方程解的方法是：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则这个数是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.友情所示：一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c ＝0（a≠0）成立，则m一定是ax2+bx+c＝0的根.【方法归纳】在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题.21.2 降次----解一元二次方程知识点1 配方法解一元二次方程（难点）配方法就是通过将原方程配成完全平方式来解一元二次方程的方法.配方法的理论依据是完全平方公式.配方法的步骤是：1. 移项：使含未知数的项在左边，常数项在右边；2. 化二次项系数为1：两边同除以二次项系数；3.配方：方程两边都加上一次项系数的一半，写成的形式；4.求解：利用平方根定义直接开平方（n＜0无解）.友情所示：（1）配方法是一种很重要的数学方法，但使用起来较复杂，故没有特别说明，一般不使用.但此方法非常重要，以后有着广泛的应用，必须掌握它.（2）运用上面的步骤时，一定要注意先化二次项系数为1，配方时，要注意方程两边都加上一次项系数的一半，不能只加一边.【方法归纳】配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案.知识点2 一元二次方程根的判别式（难点）一般地，式子b2-4ac叫做方程(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△来表示，即△=b2-4ac.用根的判别式可不用解方程直接判断一元二次方程的根的情况.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac的符号来判定：（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.友情所示：①应用根的判别式要准确确定a、b、c的值；②根的判别式只适用于一元二次方程.【方法归纳】根的判别式是用来判断一元二次方程根的情况的，再应用它来解题时要把方程化为一般形式，再确定a、b、c的值，最后计算出b2－4ac 的值.知识点3 公式法解一元二次方程（难点）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），当b-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可以写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）推导过程如下：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0，∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±242b ac a -，即x=242b b ac a-±- ∴x 124b b ac -+-x 224b b ac --- 【友情提示】公式法是在配方法的基础上推理得到的方法，公式法使解方程的过程简单化，体现了优化思想.公式法可以称为“解一元二次方程的万能公式”.【方法归纳】公式法是解一元二次方程最常用的方法，它的一般步骤是：（1）把方程化成一元二次方程的一般形式，（2）写出方程各项的系数，（3）计算出b2-4ac 的值，看b2-4ac 的值与0的关系，若b2-4ac ＜0，则此方程没有实数根， 当b2-4ac ≥0时， 代入求根公式计算出方程的根.知识点4 因式分解法解一元二次方程（重点）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.友情所示：分解因式法是解一元二次方程较简洁的方法，关键是化方程右边为，左边能分解因式.但使用起来有一定的局限性，一般方程ax2+bx+c=0(a ≠0) ，当c=0时用因式分解法比较简单.【方法归纳】因式分解法是最简单的解一元二次方程的方法，它的一般步骤是：（1）移项，使方程的右边为0；（2）利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式等对左边进行因式分解；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知识点5 一元二次方程根与系数的关系（选学）探索一元二次方程根与系数的关系我们知道方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的两根是：x 1=24b b ac -+-，x 2=242b b ac a--则 x 1+x 2=242b b ac a --+242b b ac a---=-22b b a a =-， x 1·x 224b b ac -+-24b b ac ---222222()(4)44b b ac b b ac c a a----+==. 规律：x 1+x 2=b a - ，x 1·x 2=c a称为一元二次方程根与系数. 友情所示：只有在方程有根即△= b 2-4ac ≥0的前提下，才有x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a. 【方法归纳】若x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，则x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q ；1、 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）. A.2210x x+= B.20ax bx c ++= C 、(1)(2)1x x -+= D.223250x xy y --=2、(★)下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ).A 、3(x +1)2=2(x +1) B.2112x x+-=0 C.（a -1）x 2+bx +c =0 D.x 2+2x =x 2-13、 (★★) 方程(m +2)x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则( ).A.m =±2 B 、m =2 C.m =-2 D.m ≠±24、已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +1=0的一个根，则m 的值是（ ）.A.1 B 、﹣1 C.0 D.无法确定5、(★★) 已知a 是方程012=-+x x 的一个根，则aa a ---22112的值为（ ）.A ．152- B ．251±- C ．－1 D 、16、若关于x 的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（ ）.A、2018 B.2008 C.2014 D.20127、已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a (a≠0)，则a－b的值为（）.A、﹣1 B．0 C．1 D．28、如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）.A.k＜12B.k＜12且k≠0 C.-12≤k＜12D、-12≤k＜12且k≠0课程顾问签字： 教学主管签字：。