高三数学总复习--排列组合与概率统计

高中数学中的排列组合与概率统计高中数学是我们学习的重要学科之一，其中排列组合与概率统计是数学中的两个重要概念。

它们在数学中的应用广泛，不仅帮助我们解决实际问题，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。

一、排列组合排列组合是数学中的一种方法，用于计算一组对象的不同排列或组合的数量。

在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是不重要的。

排列的计算方法可以通过以下例子来理解。

假设有3个球，分别是红球、蓝球和绿球，现在要将这3个球放在一个篮子里。

那么，一共有多少种不同的排列方式呢？首先，我们可以将红球放在篮子的第一个位置，然后将蓝球放在第二个位置，最后将绿球放在第三个位置。

这样的排列方式是一种情况。

同样的，我们可以将红球放在第一个位置，绿球放在第二个位置，蓝球放在第三个位置，这样的排列方式也是一种情况。

根据这个思路，我们可以得出结论，一共有3个球，所以一共有3!（3的阶乘）种不同的排列方式。

组合的计算方法则是通过以下例子来理解。

假设有5个人，我们要从中选出3个人组成一个小组。

那么，一共有多少种不同的组合方式呢？首先，我们可以从5个人中选出一个人作为小组的第一个成员，然后从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，最后从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员。

这样的组合方式是一种情况。

同样的，我们可以从5个人中选出一个人作为第一个成员，从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员，这样的组合方式也是一种情况。

根据这个思路，我们可以得出结论，一共有5个人，我们要选出3个人，所以一共有5C3（5的组合数）种不同的组合方式。

二、概率统计概率统计是研究随机事件发生的可能性的一门学科。

它可以帮助我们预测事件发生的概率，并根据概率进行决策和分析。

概率的计算方法可以通过以下例子来理解。

假设有一个装有10个红球和10个蓝球的箱子，现在我们从中随机抽取一个球。

那么，抽到红球的概率是多少呢？首先，我们可以计算出总共有20个球，其中10个是红球。

高考数学排列组合与概率计算重点清单一、背景介绍在高考数学中，排列组合和概率计算是不可忽视的重要内容。

掌握了这两个知识点，可以帮助学生在考试中获得更好的成绩。

本文将为大家列出高考数学排列组合与概率计算的重点清单，帮助大家快速掌握这些知识点。

二、排列组合的重点1. 排列的定义和运算法则- 不重复元素的全排列：n!- 重复元素的全排列：n!/(n1!×n2!×...)- 部分相同元素的排列：n!/(n1!×n2!×...)，其中n1、n2等表示重复出现的元素个数2. 组合的定义和运算法则- 不重复元素的组合：C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)- 重复元素的组合：C(n+k-1, k-1)- 全部选或全不选的方案数：2^n3. 排列组合的应用- 在几何问题中，通过排列组合可以确定数量关系、判断位置关系等- 在概率问题中，通过排列组合可以计算事件发生的概率- 在工程问题中，通过排列组合可以计算不重复的方案数三、概率计算的重点1. 事件的概率定义- 事件发生的概率：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A发生的可能性，n(S)为样本空间中的所有可能性数- 事件的对立事件：P(A') = 1-P(A)- 事件的必然事件：P(S) = 1，其中S为样本空间2. 概率的运算性质- 事件的和事件概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)- 事件的积事件概率：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率3. 条件概率与独立事件- 条件概率的计算：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)- 事件的独立性：如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则事件A与事件B 相互独立4. 一些常见的概率问题- 排列组合与概率计算相结合的问题- 球与盒子问题、扑克牌问题等四、总结通过本文的介绍，我们了解到高考数学中排列组合与概率计算的重点知识点，这些内容对于考生来说至关重要。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的计数与事件高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率的计数与事件数学作为一门基础学科，对于高中学生来说，无疑是学习过程中必不可少的一部分。

在高中阶段，学习数学的内容相当繁杂，其中涉及的知识点众多。

本文将对高中数学的排列组合与概率的计数与事件进行系统的总结，并提供相关公式大全供参考。

一、排列组合基础知识排列与组合是数学中的两个基本概念，具有广泛的应用。

在学习排列组合的过程中，有几个核心的概念需要掌握。

1. 排列排列是从若干元素中按照一定的顺序选取出一部分元素，形成一个有序的序列。

常见的排列可以分为全排列和局部排列两种。

- 全排列：将若干元素按照不同的顺序进行排列，所得的不同排列数称为全排列。

全排列的公式为：A(n, n) = n!，其中 n 表示元素的个数。

- 局部排列：从若干元素中选取出其中的一部分元素，按照一定的顺序进行排列，所得的不同排列数称为局部排列。

局部排列的公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

2. 组合组合是从若干元素中选取出一部分元素，不考虑其顺序，形成一个无序的集合。

常见的组合有全组合和局部组合两种。

- 全组合：将若干元素选取出所有可能的组合，所得的不同组合数称为全组合。

全组合的公式为：C(n) = 2^n，其中 n 表示元素的个数。

- 局部组合：从若干元素中选取出其中的一部分元素，不考虑其顺序，所得的不同组合数称为局部组合。

局部组合的公式为：C(n, m) =n!/[m!(n-m)!]，其中 n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

二、概率与事件概率和事件是数学中研究随机事件发生可能性的重要内容。

在学习概率与事件的过程中，有几个核心的概念需要了解。

1. 概率概率是对随机事件发生可能性的量化描述。

以事件 A 在随机试验中发生为例，事件 A 发生的概率记为 P(A)。

概率的计算公式为：P(A) =N(A)/N(S)，其中 N(A) 表示事件 A 中有利的试验结果的个数，N(S) 表示样本空间 S 中的所有可能结果的个数。

1 高考数学140分专题讲解-排列组合、概率统计2013 张金星23 排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣但题型多样思路灵活因此解决排列组合问题首先要认真审题弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题其次要抓住问题的本质特征采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理加法原理完成一件事有n类办法在第1类办法中有1m种不同的方法在第2类办法中有2m种不同的方法??在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmm 种不同的方法2.分步计数原理乘法原理完成一件事需要分成n个步骤做第1步有1m种不同的方法做第2步有2m种不同的方法??做第n步有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmm 种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存每步中的方法完成事件的一个阶段不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由012345可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求应该优先安排以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288CCA 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法. 解可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素同时丙丁也看成一个复合元素再与其它元素进行排列同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。

专题六 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点聚焦】考点1：排列、组合的概念，排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；考点2：二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题；考点3：利用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，利用互拆事件的加法公式一些事件的概率，利用独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【自我检测】1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做从n 个不同元素中取出个元素的一个排列，排列数m n A ＝_____________________________=_________.2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个排列，组合数m n C ＝______________________=_______________.3、 组合数的性质：（1）m n C ＝＿＿＿＿＿＿＿，（2）m n C ＋1-m n C ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4、 二项式定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.其通项为1+r T ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、 二项式系数的性质是（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、 在大量重复进行同一试验时，事件A 发生＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做事件A 的概率，记作＿＿＿＿.7、 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的＿＿＿＿＿＿，那么每一个基本事件的概率都是＿＿＿，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P （A ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿.8、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做互斥事件，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿对立事件.设A ，B 是互斥事件，P （A ＋B ）＝＿＿＿＿＿.P （A ）＝＿＿＿＿＿.9、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是相互独立事件，则P （A ·B ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿.10、若n 次独立重复试验中，每次试验结果的概率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则称这n次试验是独立的.在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)=_________.【重点∙难点∙热点】问题1：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.例1：在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m mn n m m n n m +++++++++思路分析：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合 解法一 第一类办法 从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个； 第二类办法 从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形 解法二 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个 所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个 答案 C点评：本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法例2：四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 思路分析 解法一，采用处理分堆问题的方法 解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的解：（法一）分两步 先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A 33种 依乘法原理，共有N =C 2433A =36(种) （法二）分两步 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因此，共有N =21A 34·3=36(种) 点评：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A 34种 忽略此种办法是 将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的演变1：四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）A ．96 B.48 C.24 D.0点拨与提示：本题考查了排列组合综合运用问题，可以画出四棱锥标出8个数字帮助直观分析，注意分类要全面准确,抓住问题实质.演变2：4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18点拨与提示：注意对甲进行分类讨论.问题2：求展开式中的系数二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理.例3：n x )21(-展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.思路分析：先求出n 的值，再由二项式系数的最大项是“最中间”的项，求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对值最大项.解：66165515)2(,)2(x C T x C T n n -=-=++，依题意有665522n n C C =，∴n=8.则nx )21(-展开式中二项式系数最大的项为x x C T 1120)2(4485=-=. 设第r+1项系数的绝对值最大，则有65,,65222211881188==∴∈≤≤⇒⎩⎨⎧≥≥++--r r Z r r C C C C r r r r r r r r 或又 . 则系数绝对值最大项为67561792,1792x T x T ==.点评：求展开式中某一项或某一项的系数问题是高考题型之一，复习时要给予重视. 演变3：如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 A.7 B.7- C.21 D.21-点拨与提示：本题考查二项展开式的性质.演变4：已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos ．点拨与提示：分别求出x 2和x 3的系数.问题3：求复合事件的概率对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率. 例4：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3.4假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解：(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A 1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故)(1)(11A P A P -==.8165)32(14=- 答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：.8165 （2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B 2，则 P 278)321()32()(22242=-⋅⋅=C A ， 6427)431()43()(13342=-⋅⋅=C B P 由于甲乙射击相互独立，故 .816427278)()()(2222=⨯==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.81（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3“乙第i 次射击末中”为事件Di （I=1,2,3,4,5）,则A 3=12345D D D D D ⋅⋅⋅ ，且41)(=i D P 由于各事件相互独立，故 )()()()()(123453D D P D P D P D P A P ⋅⋅⋅=.102445)41411(434141=⨯-⨯⨯⨯ 答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.102445 点评：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.演变5：甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.点拨与提示：对于（Ⅰ）分甲中乙未中和乙中甲未中两类；对于（Ⅱ）可考虑其对立事件. 问题四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）例5：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .思路分析：随机取出2张奖券奖品总价值的可能情况有：0，10，20，50，60，求出ξ取每一个值时的概率，列出分布列，根据离散型随机变量的期望与方差的概念、公式及性质解答.解：（法一）（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. .151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二： （Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.点评：在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要准确运用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度. 演变6：袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I ）求袋中所有的白球的个数；（II ）求随机变量ξ的概率分布；（III ）求甲取到白球的概率.点拨与提示：对于（II ）ξ的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出它们的概率，得到分布列. 专题小结1、解决排列组合应用问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.2、二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理3、对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率.4、求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）【临阵磨枪】一．选择题1．6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为（ ）A 4433A AB 44A C 3366A A ÷ D 3544A A 2．某人射击8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，则不同的结果有（ ）A 20种B 240种C 480种D 720种3．两人掷一枚硬币，掷出正面者为胜，但这枚硬币不均匀，以致出现正面的概率P 1与出现反面的概率P 2不相等.已知出现正面与出现反面是对立事件.设两人各掷一次成平局的概率为P ，则P 与0.5的大小关系为（ ）A P ＜0.5B P ＞0.5C P ＝0.5D 不确定4．三边长均为整数，且最长边长为11的三角形的个数为（ ）A 25B 26C 36D 375．某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，组成一注，则这人把这种特征的号买全，至少要花（ ）A 3360元B 6720元C 4320元D 8640元6．在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )A −14B 14C −28 D287．若,)1()1()1()21(1001002210100-++-+-+=+x a x a x a a x 则10021a a a +++ ＝（ ）A 10010035-B 1005C 1003D 13100-8．若二项式61(x x x -展开式中的第5项是5，则111(lim 123-∞→+++n n xx x 等于 A 21 B 83 C 1 D 89 9．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201 10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83二．填充题 11 从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示)12．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球.若从左口袋里取出1个球 装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为＿＿13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有＿＿＿（用数字作答）14．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为_____.三、解答题15．假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是相互独立，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，问对于多大的P 而言，四引擎飞机比二引擎更安全？16．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而每个保护区每个季度发现的违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区 乙保护区试评定这两个保护区的管理水平. 17 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？ 18 二次函数y =ax 2+bx +c 的系数a 、b 、c ，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？19．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.20．设函数)2,()(22432≥∈++++=-n N n xC x C x C C x f n n n n n n n ，当x>－1且x ≠0时，试证明：0)(>x f n 恒成立. ζ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 ζ 0 1 2 P 0.1 0.50.4参考答案1． C 提示：6个人的全排列中，A 、B 、C 三人的顺序已定.2． A 提示：将3次和1次命中看着2个元素插入四次未命中的空中，有25A 种.3． B 提示：因为P 1≠P 2，P 1＋P 2＝1，P ＝2221P P +，又因为41)2(22212221=+>+P P P P ，2221P P +＞0.5 4． C 提示：另两边边长用x, y 表示，且不妨设1≤x ≤y ≤11,构成三角形必须x+y ≥12.当y 取11时，x=1,2，3，…,11，可能有11个三角形；当y 取10时，x=2，3，…,10，可能有9个三角形；……；当y 取6时，x=6，有1个三角形；所以所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36个.5． D 提示：这种特殊要求的号共有432061098+⨯⨯⨯（注）.6． B7． A 提示：令x-1=0,即x=1时得到10003=a ，再令x-1=1即x=2时得1001002105=++++a a a a ，∴1001001002135-=+++a a a .8． B 提示：51515==-x T ，x=3,原式＝8391131=- 9．A 提示：将1,2，3，…，9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为4,所以答案为B10．A 提示：由图象可知，前4组的公比为3，最大频率40.130.10.27a =⨯⨯=，设后六组公差为d ，则560.010.030.090.27612d ⨯+++⨯+=，解得：0.05d =-， 后四组公差为－0.05， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A.11．30 提示 因为直线过原点，所以C =0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A 、B 两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A 26=3012．154 提示：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是6253⨯；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是6152⨯，相加得所求概率. 13．7214．50 提示：设不到40岁的教师中应抽取的人数为x 人，则xx -=70140350，则x ＝50 15．解：四引擎飞机成功飞行的概率为4443342224)1()1(P C P P C P P C +-+-；二引擎飞机成功飞行的概率为22212)1(P C P P C +-，要使四引擎的飞机比二引擎的飞机更安全，则4443342224)1()1(P C P P C P P C +-+-≥22212)1(P C P P C +-，解得P ≥32 16．解：甲保护区的违规次数的数学期望与方差分别为1.3和1.21；乙保护区违规次数的数学期望与方差分别为1.3和0.41.两保护区每季度发生的违规平均次数相等，但乙保护区的违规事件次数更集中和稳，而甲保护区的违规事件数相对分散和波动. 17 解 出牌的方法可分为以下几类(1)5张牌全部分开出，有A 55种方法；(2)2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法；(3)2张2一起出，3张A 一起出，有A 45种方法；(4)2张2一起出，3张A 分两次出，有C 23A 35种方法；(5)2张2分开出，3张A 一起出，有A 35种方法；(6)2张2分开出，3张A 分两次出，有C 23A 45种方法因此，共有不同的出牌方法A 55+A 25+A 45+A 23A 35+A 35+C 23A 45=860种 18 解 由图形特征分析，a ＞0,开口向上，坐标原点在内部⇔f (0)=c ＜0;a ＜0,开口向下，原点在内部⇔f (0)=c ＞0,所以对于抛物线y =ax 2+bx +c 来讲，原点在其内部⇔af (0)=ac ＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a 和c ，再确定b ,故满足题设的抛物线共有C 13C 14A 22A 16=144条19．解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C - （II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p20．解：1)1()(2--+=nx x x f x n n ，要证0)(>x f n 由于x>－1且x ≠0所以只要用数学归纳法证明01)1()(2>--+=nx x x f x n n 即可.【挑战自我】已知数列｛a n ｝满足a n ＝n2n-1(n>0,n ∈Z),是否存在等差数列｛b n ｝,使a n ＝n nn n n C b C b C b +++ 2211对一切自然数n 成立，证明你的结论. 解：n=1时b 1=1，当n=2时b 2=2，因为｛b n ｝是等差数列，∴b n =n.当b n =n 时，n nn n n C b C b C b +++ 2211=n n n n nC C C +++ 212. 令x n =112211--+++n n n n n C b C b C b =121)1(2--+++n nn n C n C C =121)2()1(nn n n n C C n C n ++-+--- . 2x n ＝)22()(121-=+++-n n n n n n C C C n∴x n ＝)12(1--n n .n nn n n C b C b C b +++ 2211＝x n ＋n n n C b ＝)12(1--n n ＋n n n C b ＝12-n n ∴ a n ＝n nn n n C b C b C b +++ 2211对一切自然数n 成立【答案及点拨】演变1：由题意分析，如图,先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有2444=A 种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③， 5放入④两种放法.综上所述:共有48244=⨯A 种放法.故选B.演变2：设四个人为A ，B ，C ，D.（1）设A 选甲且回答对，则选B 、C 、D 回答错有C 13种；余下两人答乙，一个答对，一个答错共有：C 13.A 622=种. A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 P（2）设A 选甲且回答错，同（1）有6种.同理B ，C ，D 再同样讨论，则共有12+12+12+12=48种.除去其中有12种重复的情况. 综合得4位同学不同的得分情况为36种.故选B 演变3：n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，所以n =7，展开式中第7项为616617321(3)(T C x x+=⋅=，∴ 31x 的系数是21. [答案] C 演变4：解：4)45(+x 的通项为r r rr x C T )45(441⋅⋅=-+，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R R x C T -+⋅=551)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ. 演变5：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=12,P(B)=25,P(A )=12,P(B )=35甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为A B B A ⋅+⋅ P(A B B A ⋅+⋅)=P(A B ⋅)+P(A B ⋅)=1321125522⨯+⋅= 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为12(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是113392255100P =⨯⨯⨯= ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-P =1-991100100= 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为91100演变6：解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯ 可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ== ()4322;767P ξ⨯===⨯ 4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+==。

数学高三复习知识点组合与排列数学高三复习知识点：组合与排列在数学中，组合与排列是两个重要的概念，也是数学高三复习的重点知识点之一。

组合与排列在概率统计、离散数学等领域都具有广泛的应用。

本文将介绍组合与排列的基本概念及其相关性质，帮助高三学生复习和理解这一知识点。

一、排列的概念和性质排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素的方式。

设有n个元素，从中选取m个进行排列，则记为P(n,m)。

排列的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1乘到n的乘积。

排列的性质有以下几点：1. 排列的个数是固定的，对于不同的n和m，排列的个数是不同的。

2. 当m=n时，全排列的个数为n!。

3. 当m>n时，排列的个数为0。

4. 当m<n时，排列的个数为负数，表示无意义。

排列涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行排列，问有多少种不重复的排列方式；从n个元素中选出m个元素进行排列，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。

二、组合的概念和性质组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。

设有n个元素，从中选取m个进行组合，则记为C(n,m)。

组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)组合的性质有以下几点：1. 组合的个数是固定的，对于不同的n和m，组合的个数是不同的。

2. 当m=0或m=n时，组合数为1。

3. 当m>n时，组合数为0。

4. 当m<n时，组合数为正整数。

组合涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行组合，问有多少种不重复的组合方式；从n个元素中选出m个元素进行组合，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。

三、排列与组合的联系与应用排列与组合有很多联系与应用，在实际问题中经常出现。

以下是一些常见的联系与应用：1. 从n个元素中选取m个元素进行排列，等价于从n个元素中选取m个元素进行组合，再将这m个元素进行排列。

高考数学知识归纳分析第一讲 排列组合与概率分析 [排列组合] 一、基本知识点1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+．．．．．．．．…．+mn ．．．种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。

4．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n mnCC -=；（2）11--+=n n m nm n CC C；（3）kn k n C C k n =--11；（4）nnk kn n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。

①先分类再分步②有无特殊条件的限制；③检验是否有重复或遗漏
特殊优先法优先安排特殊元素或特殊位置
1.并(和)事件包含三种情况：①事件A 发生，事件B 不发生；②事件A 不发生，事件B 发生；
③事件A ，B 都发生.即事件A ，B 至少有一个发生.2.互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A 发生且事件B 不发生；曲线与x 轴之间的面积为1
若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，X 是随机变量，①Y 也是随机变量；
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均任何事件的条件概率都在0和1之间
“X 与Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推。