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2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
2015年陕西省西安市八校联考高考数学模拟试卷（A卷）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}，则下列关系中正确的是（）A.M=PB.P⊈MC.M⊈PD.∁U（M∪P）=∅【答案】C【解析】解：P={x|x＞1，或x＜-1}，M={x|x＞1}；∴M⊊P．故选C．求出集合P={x|x＞1，或x＜-1}，根据真子集的概念即可得到M⊊P．考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及真子集的概念．2.若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）A.-6B.-4C.4D.6【答案】A【解析】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=-6．故选：A．把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.如图，若N=2015时，则输出的数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入N=2015，k=1，S=0，S=0+；k＜N，是，k=2，S=+；k＜N，是，k=3，S=+；…k＜N，是，k=2015，S=++…+；k＜N，否，输出S=++…+=1+-+…+-+-=，故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的结果是什么．本题考查了程序框图与数列求和的应用问题，解题的关键是得出该程序运行后输出的算式是什么，是基础题．4.已知圆x2+y2=5上两点A、B与坐标原点O恰构成正三角形，则向量与的数量积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：因为圆x2+y2=5上两点A、B与坐标原点O恰构成正三角形，则向量与的数量积是；故选：A．利用向量的数量积公式求之．本题考查了数量积公式的运用．5.若△ABC中，cos A=，cos B=，则cos C的值为（）A. B.- C.- D.【答案】D【解析】解：△ABC中，cos A=，cos B=，即有sin A==，sin B==，则cos C=-cos（A+B）=-（cos A cos B-sin A sin B）=-（×-×）=故选：D．运用同角的平方关系，可得sin A，sin B，再由诱导公式和两角和的余弦公式，计算即可得到所求值．本题考查两角和的余弦公式的运用，同时考查同角的平方关系和诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．6.f（x）=（1+2x）m+（1+3x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为13，则x2的系数为（）A.31B.40C.31或40D.71或80【答案】C【解析】解：（1+2x）m的展开式中x的系数为2C m1=2m，（1+3x）n的展开式中x的系数为3C n1=3n∴3n+2m=13∴或（1+2x）m的展开式中的x2系数为22C m2，（1+3x）n的展开式中的x2系数为32C n2∴当时，x2的系数为22C m2+32C n2=40当时，x2的系数为22C m2+32C n2=31故选C．利用二项展开式的通向公式得x的系数，列出方程求得n，m，然后利用二项展开式的通项公式求出x2的系数即可．本题主要考查了二项展开式的通项公式，通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于中档题．的统计数据如下表为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【答案】B【解析】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．8.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A.100（3+）cm2B.200（3+）cm2C.300（3+）cm2 D.300cm2【答案】A【解析】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100，与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50，故此四棱锥的表面积为S=100（3+）cm2．故选：A本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的力度．9.已知数列{a n}为等差数列，m，n，p，q都是正整数，则“a m+a n=a p+a q”是“m+n=p+q”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等差数列，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q成立，若a n=0，当满足a m+a n=a p+a q时，m+n=p+q不一定成立，故“a m+a n=a p+a q”是“m+n=p+q”的必要不充分条件，故选：B．根据等差数列的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．10.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个三位数，它是渐升数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取3个，每种取法对应一个“渐升数”，则三位共有“渐升数”C93=84个．而三位数共有900个，故任取一个三位数，它是渐升数的概率P==，故选：B求出所有三位数的总数，再求出所有三位“渐升数”的个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．11.已知g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=-ln（1-x），函数f（x）=，若f（2-x2）＞f（x），则x的取值范围是（）A.（-∞，-2）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（2，+∞）C.（-2，1）D.（1，2）【答案】C【解析】解：∵g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=-ln（1-x），∴当x＞0时，-x＜0，g（-x）=-ln（1+x），即当x＞0时，g（x）=ln（1+x），∵函数f（x）=，∴函数f（x）=，可判断f（x）=，在（-∞，+∞）单调递增，∵f（2-x2）＞f（x），∴2-x2＞x，解得：-2＜x＜1，故选：C根据奇函数定义得出当x＞0时，g（x）=ln（1+x），求解得出函数f（x）=，运用单调性转化不等式f（2-x2）＞f（x），为2-x2＞x，即可求解．本题考查了函数的奇偶性，单调性在求解函数解析式，解不等式中的应用，属于中档题，运算难度不大．12.已知x∈（0，1），a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.b＞a＞c【答案】D【解析】解：令g（x）=x-tanx，x∈（0，1），g′（x）=1-＜0，∴函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，∴x＜tanx．令f（x）=，x∈（0，1），∴f′（x）==＜0，∴函数f（x）在x∈（0，1）单调递减，∵x＞x3，∴b＞a，又0＜a＜1，c=a3，∴c＜a．综上可得：b＞a＞c．故选：D．分别令g（x）=x-tanx，x∈（0，1），令f（x）=，x∈（0，1），利用导数研究其单调性，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量与的夹角是120 ，||=3，|+|=，则||= ______ ．【答案】4【解析】解：向量与的夹角是120 ，||=3，|+|=，则（+）2=13，即有++2=13，即9+||2+2×3||•cos120=13，即||2-3||-4=0，即有||=4（-1舍去），故答案为：4．运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，解方程即可得到．本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．14.定积分的值为______ ．【答案】-1【解析】解：==（--x）|+（-x）|=，故答案为：-1．根据分段函数的积分公式进行计算即可．本题主要考查积分的计算，根据分段函数的积分公式是解决本题的关键，比较基础．15.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______ ．【答案】9【解析】解：双曲线中，∵a=3，b=4，c=5，∴F1（-5，0），F2（5，0），∵|PF1|-|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|+|NF2|，∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|-|NF2|=6+1+2=9．故答案为：9．由题设知|PF1|-|PF2|=2a=6，|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|-|NF2|，-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|-|NF2|=6+1+2=9．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．16.设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，且满足S=a2-（b-c）2，b+c=8，则S 的最大值为______ ．【答案】【解析】解：∵满足S=a2-（b-c）2，b+c=8，∴=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccos A，化为sin A+4cos A=4，联立，解得sin A=，∴=bc=，当且仅当b=c=4时取等号．故答案为：．满足S=a2-（b-c）2，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccos A，化为sin A+4cos A=4，与sin2A+cos2A=1，解得sin A，可得=bc，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，S n=2a n-2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整数n，总有T n＜2．【答案】（I）解：∵对于任意的n∈N*，S n=2a n-2，∴当n=1时，a1=2a1-2，解得a1=2；当n≥2时，S n-1=2a n-1-2，∴a n=2a n-2a n-1，∴=2，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2，∴．（II）b n==，∴T n=+…+≤1++…+=1++…+ =2-＜2．【解析】（I）对于任意的n∈N*，S n=2a n-2，当n=1时，a1=2a1-2，解得a1=2；当n≥2时，=2，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）b n==，当n≥2时，≤，利用“裂项求和”即可证明．本题考查了数列的递推式、等比数列的通项公式、“裂项求和”与“放缩法”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，已知菱形ACSB中，∠ABS=60 ．沿着对角线SA将菱形ACSB折成三棱锥S-ABC，且在三棱锥S-ABC中，∠BAC=90 ，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面ASC与平面SCB夹角的余弦值．【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．，，，，，．设平面SAC的法向量=（x，y，z），由，令x=1，得=（1，-1，-1），由（Ⅰ）可知AO⊥平面SCB，因此取平面SCB的法向量，，．…（10分）设平面ASC与平面SCB的夹角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴平面ASC与平面SCB夹角的余弦值为．…（12分）【解析】（Ⅰ）连结OA，△ABC为等腰直角三角形，从而，且AO⊥BC，SO⊥BC，由此能证明SO⊥平面ABC．（Ⅱ）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出平面ASC与平面SCB夹角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）选手甲答3道题可进入决赛的概率为；…1分选手甲答4道题可进入决赛的概率为；…3分选手甲答5道题可进入决赛的概率为；…5分∴选手甲可进入决赛的概率++=．…7分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有，，，…10分因此，有∴．…12分．【解析】（Ⅰ）由于答对3题者直接进入决赛，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答4题，前3题错一题，第4题答对；一类是答5题，前4题错两题，第5题答对，故可求求选手甲可进入决赛的概率；（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出ξ的分布列，进而可求概率．本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．20.如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（-，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C 的方程．【答案】（本题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2-c2）=5a2，∴．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，，得，即，即，从而，进而直线l的方程为，即2x-y+2=0．…（9分）由，即17x2+32x+16-4b2=0．＞＞.，．∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…（13分）【解析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，设椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，，得，直线l的方程为2x-y+2=0．由，由此能求出椭圆C的方程．本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线方程和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设函数f（x）=e x-x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线方程为y=bx．（Ⅰ）g（x）=，x∈（0，+∞），讨论函数g（x）的单调性与极值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2-5x-2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x-x2+a的导数为f′（x）=e x-2x，即有在点x=0处的切线斜率为k=1，由于在点x=0处的切线方程为y=bx，则f（0）=0，f′（0）=b，即为1+a=0，b=1，即a=-1，b=1．f（x）=e x-x2-1，即有g′（x）=′=，x＞0．由y=e x-x-1，y′=e x-1＞0恒成立，即有y=e x-x-1在x＞0递增，则y=e x-x-1＞0，令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1，g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），g（x）的极小值为g（1）=e-2，无极大值；（Ⅱ）f（x）+（3x2-5x-2k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2-x-1-k≥0对任意x∈R恒成立，即k≤e x+x2-x-1对任意x∈R恒成立．令h（x）=e x+x2-x-1，h′（x）=e x+x-，易得h′（x）在R上递增，h′（0）=-＜0，h′（1）=e-＞0，h′（）=-2＜0，h′（）=-＞-＞2-＞0，则存在唯一的x0∈（，）．使h′（x0）=0，即+x0-=0．当x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）min=h（x0）=+x02-x0-1，又h′（x0）=0，则h（x0）=（x02-7x0+3），由于＜x0＜，则h（x0）∈（-，-），即有k≤e x+x2-x-1对任意x∈R恒成立．即为k≤h（x0），由k∈Z，则k max=-1．【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，结合已知切线方程，可得a，b，再求g（x）的导数，由y=e x-x-1，求出导数，可得y＞0恒成立，令g（x）的导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值；（Ⅱ）f（x）+（3x2-5x-2k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2-x-1-k≥0对任意x∈R 恒成立，即k≤e x+x2-x-1对任意x∈R恒成立．令h（x）=e x+x2-x-1，求出导数，运用零点存在定理可得存在唯一的x0∈（，）．使h′（x0）=0，进而得到h（x）的最小值，再由条件，即可得到k的最大值．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的零点存在定理和函数的单调性的运用，运用参数分离和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是解题的关键．22.如图，在R t△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB与E．求证（Ⅰ）AB•AC=BC•AD（Ⅱ）AD3=BC•CF•BE．【答案】证明：（Ⅰ）在R t△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∴S△ABC=AB•AC=BC•AD∴AB•AC=BC•AD（Ⅱ）在R t△ADB中，DE⊥AB与E，由射影定理得：BD2=BE•AB，同理在R t△ADC中，CD2=CF•AC，又∵在R t△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∴AD2=BD•CD，∴AD4=BD2•CD2=BE•AB•CF•AC，又由（I）中AB•AC=BC•AD∴AD4=BE•BC•CF•AD∴AD3=BC•CF•BE．【解析】（I）在R t△ABC中，根据S△ABC=AB•AC=BC•AD，可得结论；（Ⅱ）根据射影定理可得BD2=BE•AB，CD2=CF•AC，AD2=BD•CD，故AD4=BD2•CD2=BE•AB•CF•AC，结合（I）中结论，可得结论．本题考查的知识点是三角形等积法，射影定理，难度不大，属于基础题．23.在直角坐标系x O y中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【答案】解：（Ⅰ）由得从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）时，，所以，（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（-∞，+∞）【解析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24.设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x））=，，＜，＞，令-x+4=4或3x=4，得x=0，x=，所以，不等式f（x）≥4的解集是∞，，∞；（Ⅱ）f（x）在（-∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f（x）≥f（1）=3，由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，所以，|m-2|＞3，解之，m＜-1或m＞5，即实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（5，+∞）．【解析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，结合单调性求出不等式f（x）≥4的解集．（Ⅱ）利用f（x）的单调性求出f（x）≥3，由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，得|m-2|＞3，解绝对值不等式求出实数m的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值得意义，判断f（x）的单调性是解题的关键．。
2015年陕西省西安市八校联考高考数学模拟试卷（理科）(五）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知复数z=1+ai(a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．2．设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的是(）A．=﹣B．∥C．=2D．∥且||=|｜3．已知a=log3，b=3，c=log2,则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b4．已知｛a n}为等比数列，a4+a7=2,a5a6=﹣8，则a1+a10=（)A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣75．已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），为了得到函数g(x）=cos2x的图象，只需将y=f （x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是(单位:cm3）(）A．πB．2πC．4πD．8π7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f(x+2)=﹣f（x）,且f（1)=2，则f（2015）的值为（)A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20 B．21 C．200 D．2109．设点P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1,F2是该双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于（)A．B．C．D．10．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时,θ=（）A．B．C．D．11．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是(）A．线段 B．圆弧C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分12．设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1）=f(x2）=f(x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（]B．（）C．（]D．(）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分,把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（x﹣1）5=a5（x+1）5+a4（x+1)4+a3（x+1）3+a2(x+1）2+a1（x+1）+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=．14．与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．15．在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根的概率为．16．下列说法中，正确的有（把所有正确的序号都填上）．①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”;②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f’(x0）=0”的否命题是真命题；④函数f(x）=2x﹣x2的零点有2个；⑤dx等于．三、解答题，本大题共5小题,共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n｝的通项公式a n；(3）设b n=n（n+1）a n，求数列｛b n}的前n项和S n．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．（Ⅰ)求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．19．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；(2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人,设X表示体重超过60公斤的学生人数,求X的分布列和数学期望．20．已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=﹣1的距离．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2,分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ)的条件下，求△FPQ面积的最小值．21．已知函数f（x）=(x3﹣6x2+3x+t)e x，t∈R．（Ⅰ)若函数f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为4x﹣y+1=0,则求t的值（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（Ⅲ）若存在实数t∈[0,2］，使对任意的x∈[1，m］，不等式f(x）≤x恒成立，求正整数m 的最大值．四、请考生在22，23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4—4:坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数）,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列,点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求｜PA｜2+|PB｜2+｜PC｜2+|PD｜2的取值范围．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x)=｜x+a｜+｜x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x)≥3的解集；（2）若f（x）≤｜x﹣4|的解集包含［1，2]，求a的取值范围．六、选修4-1：几何证明选讲24．如图，已知AD为半圆O的直径，AB为半圆O的切线,割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，AB=2．（Ⅰ）求圆心O到割线BMN的距离；（Ⅱ）求CD的长．2015年陕西省西安市八校联考高考数学模拟试卷(理科）（五）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的,选出正确答案,并写在答题纸上）1．已知复数z=1+ai（a∈R）(i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限,且，则a=（)A．2 B．﹣2 C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】依题意，由（1+ai）（1﹣ai）=1+a2=5可得a=±2,而1+ai在第四象限，从而可得答案．【解答】解：∵z=1+ai（a∈R)在复平面上表示的点在第四象限,∴a＜0，又z•=（1+ai）（1﹣ai)=1+a2=5,∴a=±2，而a＜0，∴a=﹣2，故选B．【点评】本题考查复数的代数运算，熟练利用共轭复数的性质是解决问题的突破口，属于基础题．2．设、都是非零向量,下列四个条件中，使=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．∥且|｜=||【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由于、都是非零向量，使=成立需要满足：同方向共线即可．【解答】解：由于、都是非零向量,使=成立需要满足：同方向共线即可，只有满足．故选:C．【点评】本题考查了向量同方向共线、向量相等的定义，属于基础题．3．已知a=log3，b=3,c=log2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解:∵a=log3＜log3=﹣1，b=3＞0，c=log2=﹣1，∴a＜c＜b．故选:C．【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．4．已知｛a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，,∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得,a1+a10=﹣7故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．5．已知函数f(x）=sin(2x+）（x∈R），为了得到函数g(x)=cos2x的图象，只需将y=f(x)的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式把函数f（x）=sin（2x+）变形为，f(x）=cos（﹣2x）=cos（2x ﹣),得到要得到函数g（x)的图象,只要把函数g（x)平移为f（x)，转化即可．【解答】解:∵f（x）=sin（2x+）变形为，f(x）=cos（﹣2x)=cos（2x﹣），∴平移函数g(x）=cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f（x）的图象．为了得到函数g(x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是中档题．6．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是(单位：cm3）（)A．πB．2πC．4πD．8π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体,其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2,高为h=2cm,故柱体的体积V=Sh=πcm3，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2)=﹣f(x),且f（1)=2,则f（2015）的值为（) A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．【解答】解:∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f［(x+2）+2]=﹣f（x+2）=f(x)，∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f(2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1)，又∵函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=2，∴f(﹣1）=﹣f（1）=﹣2，∴f（2015）=﹣2故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性，函数的值的求法，属基础题．8．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的结果是()A．20 B．21 C．200 D．210【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s,i的值,当i=21时，满足条件i＞20,退出循环,输出s的值为210．【解答】解:执行程序框图,有s=0，i=1s=1，i=2，不满足条件i＞20,s=3，i=3，不满足条件i＞20,s=6，i=4，不满足条件i＞20，s=10，i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5,i=6，不满足条件i＞20,s=21=1+2+3+4+5+6，…观察规律可知，i=20,不满足条件i＞20,s=1+2+3+…+20==210，i=21，满足条件i＞20，退出循环,输出s的值为210．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法,等差数列的求和，属于基本知识的考查．9．设点P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12,则∠F1PF2等于（)A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程算出焦距|F1F2|=2,根据双曲线定义得到｜|PF1｜﹣|PF2｜｜=2．然后在△PF1F2中运用余弦定理，得出关于｜PF1｜、|PF2|和cos∠F1PF2的式子；而△PF1F2的面积为12，得到｜PF1｜、|PF2|和sin∠F1PF2的另一个式子．两式联解即可得到∠F1PF2的大小．【解答】解:∵双曲线方程为x2﹣=1，∴c2=a2+b2=13，可得双曲线的左焦点F1（﹣，0），右焦点F2(，0)根据双曲线的定义，得｜｜PF1｜﹣｜PF2｜|=2a=2∴由余弦定理，得|F1F2｜2=（|PF1|﹣|PF2｜）2+（2﹣2cos∠F1PF2)|PF1|•｜PF2|，即：52=4+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1｜•｜PF2｜，可得|PF1|•｜PF2｜=又∵△PF1F2的面积为12，∴｜PF1|•｜PF2｜sin∠F1PF2=12，即=12结合sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1，解之得sin∠F1PF2=1且cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2等于故选C．【点评】本题给出双曲线上一点P与双曲线两个焦点F1、F2构成的三角形面积，求∠F1PF2的大小，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题．10．在△OAB中，O为坐标原点,，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中,减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈(0，π］∴当2θ=π时取得最大,即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题,用三角函数表示的式子,因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点,PE⊥A1C于E，且PA=PE,则点P的轨迹是（）A．线段 B．圆弧C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分【考点】平面与平面之间的位置关系；轨迹方程．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由PE⊥A1C于E，且PA=PE,得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A,E的中垂面上，从而得到点P的轨迹．【解答】解:连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE⊥A1C,且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP,所以A1A=A1E,即E为定点．因为PA=PE，所以点P位于线段AE的中垂面上，又点P在底面上,所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段．故选A．【点评】本题主要考查空间直线的位置关系的判断，以及空间点的轨迹的求法，综合性较强，难度较大．12．设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2）=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A．(]B．（）C．(]D．(）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】函数的性质及应用．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图,不妨设x1＜x2＜x3,则x2，x3关于直线x=3对称,得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图,不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6)．故选D【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（x﹣1)5=a5（x+1）5+a4（x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1)2+a1(x+1）+a0，则a1+a2+a3+a4+a5= 31．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用赋值法，令x=0，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5的值,再求出a0的值，即得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）5=a5（x+1）5+a4(x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1）2+a1(x+1）+a0，令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=（﹣1）5=﹣1，令x=﹣1，则a0=(﹣2）5=﹣32，∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣1+32=31．故答案为:31．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用赋值法，容易求出正确的结果．14．与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2)2+(y﹣2）2=2．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6)2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2,2）．标准方程为（x﹣2）2+(y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2)2+(y﹣2)2=2．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题．15．在区间（0，1)上随机取两个数m,n,则关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根的概率为．【考点】几何概型．【专题】数形结合．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积,及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解:如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为｛（m，n）|0＜m＜1,0＜n＜1}（图中矩形所示)．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根"的区域为｛｛(m,n)|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m｝(如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量"，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量"只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为:求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A）,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P=求解．16．下列说法中，正确的有①⑤（把所有正确的序号都填上）．①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”;②函数y=sin(2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π;③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f’（x0)=0”的否命题是真命题;④函数f（x)=2x﹣x2的零点有2个；⑤dx等于．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】通过命题的否定判断①的正误;函数的周期判断②的正误；命题的否命题的真假判断③的正误；函数的零点的公式判断④的正误;定积分求出值判断⑤的正误．【解答】解：对于①“∃x∈R,使2x＞3“的否定是“∀x∈R,使2x≤3”,满足特称命题的否定是全称命题的形式,所以①正确；对于②，函数y=sin（2x+）sin(﹣2x)=sin（4x+）,函数的最小正周期,所以②不正确;对于③，命题“函数f（x)在x=x0处有极值,则f’（x0）=0”的否命题是：若f'（x0）=0，则函数f(x）在x=x0处有极值，显然不正确．利用y=x3,x=0时,导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题；所以③不正确；对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点．所以④不正确;对于⑤，dx的几何意义是半圆的面积,圆的面积为π，dx=．所以⑤正确；故答案为：①⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,考查命题的否定，零点判定定理，定积分的求法,函数的周期等知识，考查基本知识的应用．三、解答题，本大题共5小题,共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．数列{a n｝满足a1=1，（n∈N+)．(1）证明：数列是等差数列;（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n｝的前n项和S n．【考点】数列递推式;数列的求和．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）由已知中(n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义,即可得到结论;（II）由（I）的结论,我们可以先求出数列的通项公式,进一步得到数列{a n｝的通项公式a n;(Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列｛b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列｛b n｝的前n项和S n．【解答】解:（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列(Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴(Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1∴S n=（n﹣1)•2n+1+2【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各,其中（I）中利用递推公式,得到数列是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．(Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】(Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥A1C1,由平行公理得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D为坐标轴原点,以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面ABCD的一个法向量和平面A1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．【解答】（本小题满分12分)（Ⅰ)证明：∵在△A1BC1中，E、F分别为A1B、BC1的中点，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD．…(Ⅱ)解：以D为坐标轴原点,以DA、DC、DD1分别为x，y,z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD=DC==1，则A（1，0，0)，B（1，1,0），C1（0,1，2）,D1（0，0，2），A1（1,0，2）,，，∵DD1⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为=(0，0，2），设平面A1BC1的一个法向量为=（a，b，c），则，即，取a=1,得=（1，1，),∴cosθ=|cos＜＞｜=｜｜=．∴平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值为．…【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，涉及到三角形中位线定理、平行公理、向量法等知识点，是中档题．19．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2:3，其中第2小组的频数为12．（1)求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多)任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数,求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2,p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率,然后根据样本容量等于进行求解即可；（2)由（1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为p,通过X服从二项分布p(x=k)，从而求出x的分布列，最后利用数学期望公式进行求解．【解答】解：（1)设该校报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，，解得p1=0。
西安地区陕师大附中 西安中学 西安交大附中 西安市83中长安一中 西安高级中学 西安高新一中 西安铁一中 西工大附中八校联考（“八校”顺序以校名全称按汉语拼音方案字母表顺序排列） 2008届高三年级数学（理科）试题 命题人：武功仁审校人：杜 顺本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题纸上。
2. 考生应按要求在答题纸上答题。
一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
（本大题共有12个小题，每小题5分，满分60分）1. 设全集为R ，集合{}|1A x x =<，集合1|02B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则有 A.A B Ü B.B A Ü C.R A B Üð D.R A B Üð2.已知(,)2x ππ∈，3sin 5x =，则tan x = A.34 B.34- C.45 D.45- 3.已知两个平面向量a (,1),(4,)x b x ==，若a 与b 共线且方向相同，则实数x 等于A.2±B.2-C.2D.04.已知i 为虚数单位，若函数2(1)(0)()2cos (0)i i x f x a x x ⎧-⋅≤=⎨->⎩在R 上连续，则实数a 的值是A.4B.2C.0D.2-5.设m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是A.,,n m n αβαβ⊥=⊥B.,,m αγβγαγ⊥⊥=C.,,m αββγα⊥⊥⊥D.,,m n n ααβ⊥⊥⊥6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S =A.2B.12C.1D.1- 7.在直角坐标系中，O 为坐标原点，向量(1,1)OM =，(1,1)ON =-，点(,)P x y 满足不等式组1,1,OP OM OP ON ⎧⋅≤⎪⎨⋅>⎪⎩uu u v uuu v uu u v uuu v 则点P 的轨迹表示的平面区域为8.已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为4π，则该函数图象的一条对称轴方程可能是A.0x =B.2x π= C.4x π= D.2x π=-9.如图1，已知抛物线22(0)y px p =>，Rt ABC 的三个顶点都在抛物线上，且斜边//AB y 轴，则斜边上的高CD =A.2pB.4pC.pD.2p 10.如图2，A B C 、、是球O 的球面上的三点，且OA OB OC 、、 两两垂直，p 是球O 的大圆上BC 的中点，则直线AP 与直线OB 所成角的弧度数是 A.6π B.4π C.3π D.2π 11.指数函数x y a =和对数函数log (0,a 1)a y x a =>≠且的图象分别为1C 、2C ,点M 在曲线1C 上，线段()OM O 为坐标原点交曲线1C 于另一点N 。
