切线不等式的应用

专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用目录【题型一】“在点”切线1：有切点.......................................................................................................... 1 【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................................................................... 2 【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................................................................... 2 【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 .............................................................................................. 3 【题型三】“过点”切线1 ......................................................................................................................... 4 【题型四】“过点”切线2：切线条数...................................................................................................... 5 【题型五】“过点”切线3：最值与范围 .................................................................................................. 5 【题型六】双函数公切线 .......................................................................................................................... 5 【题型七】三角函数的切线 ...................................................................................................................... 6 【题型八】切线与倾斜角 .......................................................................................................................... 7 【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 ...................................................................... 7 【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 ...................................................................... 8 【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 ...................................................................... 9 【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 ...................................................................... 9 【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 .................................................... 10 【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 .................................................................... 11 【题型十五】综合应用 ............................................................................................................................ 11 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟检测 .. (13)【题型一】“在点”切线1：有切点【典例分析】已知函数1()(3)e ln x f x ax x x -=++（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,(1))f 处的切线的斜率为8，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．eD ．31.已知函数2()2(1)f x x xf =-'，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．680x y --= B ．680x y -+= C ．680x y ++= D ．680x y +-=2.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．3- D ．33.已知函数()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线的斜率为（ ） A ．-3 B ．3 C ．-5 D ．5【题型二】“在点”切线2：无切点【典例分析】已知四条直线1:l y x =，2:32l y x =-，3:32l y x =+，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【变式演练】1.以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =2.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型三】“在点”切线3：双参型【典例分析】已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【变式演练】1.若曲线3y x ax =+在点(1,(1))f 处的切线方程为6y x m =-，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-2.已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，则a b +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12- D ．1【题型四】“在点”切线4：分段函数切线【典例分析】已知函数2(2),0()3(),0f x x x f xg x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（ ）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【变式演练】1.已知函数()()ln 1,0,0x x f x kx x ⎧+>=⎨≤⎩，曲线()y f x =与直线1ln 222x y =-+有且仅有一个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3.已知函数2,0()1,0x x a x f x x x⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点A B ､，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是___________.【题型三】“过点”切线1【典例分析】设01x >，曲线()ln 32f x a x x a =-+在点()0,0P x 处的切线经过点()0,2e ，则0a x +=（ ） A ．eBCD ．2e【变式演练】1.写出a 的一个值，使得直线0x ay a +-=是曲线sin xy x=的切线，则a =______.2.已知直线(R)y ax a =∈与曲线ln y x =相交于两点，则a 的取值范围是___________3.函数2()e x f x =过原点的切线方程是_______.【题型四】“过点”切线2：切线条数【典例分析】若过点(),s t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln s t >B ．ln s t <C ．ln t s <D ．ln t s >【变式演练】1.已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭2.若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ）A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <3.过点()0,b 作曲线e x y =的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【题型五】“过点”切线3：最值与范围【典例分析】已知函数()e xf x b =+的一条切线为y ax a =+，则ab 的最小值为（ ）A ．12e- B ．C ．12eD【变式演练】1.已知曲线()|ln |f x x =在点()()11,x f x 与()()22,x f x 处的切线互相垂直且相交于点()00,P x y ，则（ ） A ．121x x ⋅=-B ．12⋅=x x eC ．1202x x x +=D ．0122=+x x x2.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．3.过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（ ） A ．01t << B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11t e<<【题型六】双函数公切线【典例分析】若函数1()33(0)f x x x x =+->的图象与函数()e xg x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1e B ．2e C ．1e 或D ．1e 或【变式演练】1.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e2.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（ ） A ．2 B ．4 C ．2e D ．2e -3.．若曲线ln y x =与曲线：y =2x -k 有公切线，则实数k 的最大值为（ ）A ．78+1ln22B ．78-1ln22C ．12+1ln22D ．121ln22-【题型七】三角函数的切线【典例分析】函数()2cos 2sin f x x x x =-在πx =处的切线在y 轴上的截距为（ ）A ．2π2π-B ．2πC ．2π2-D ．22ππ22π--【变式演练】1.设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．122.过曲线cos y x =上一点1,32P π⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（ ）A ．2203x π-=B ．212032x y π+--=C．2203x π-= D ．212032x y π--+=3.已知函数()3sin 4cos f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B ．0y = C ．4y =- D ．43y x =-+【题型八】切线与倾斜角【典例分析】设点P是曲线32y x =-+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【变式演练】1.函数()2ln 1sin y x x=++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310C ．35D ．±352.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.已知M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离【典例分析】已知111ln 20x x y --+=，22252ln 20x y +--=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A B C ．95D ．165【变式演练】1.曲线e x y =上到直线e y x =12的点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ）A．B C D3.已知实数a ，b ，c ，d 满足：2e 111a a cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则22()()ac bd -+-的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值【典例分析】设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（ ）AB ．1CD ．2【提分秘籍】基本规律两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图【变式演练】1.已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．2.已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．3.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1B ．2C ．3D ．4【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参【典例分析】已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21e 1,3e 2⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式演练】1.已知函数()2e 2xf x ax ax =++在()0,x ∈+∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参【典例分析】若函数()ln 1f x x ax =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【变式演练】1.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2(,0]4-∞-⋃-B ．()12,0,,4⎛⎫+∞⋃ ⎪⎝⎭C ．[)12,0,4⎛⎤--⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,20,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2.已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,e] B ．(0,e]C ．2[1,e 2e]-D ．2(0,e 2e]-3.函数234,2()log (1),2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()3g x kx k =-，若函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．6,0)B ．6,0)C ．(2,0)-D ．6,0)【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参【典例分析】已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（ ） A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤⎥⎝⎦ D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎪⎝⎭ 【变式演练】1.已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.．已知不等式ln (1)2ln 2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.若关于x 的不等式()()1e 21x a x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等【典例分析】已知直线()R y ax a =∈与曲线ln y x =相交于11(,)M x y ､22(,)N x y 两点，若12x x <，则下列结论错误的是（ ） A ．10e x <<B ．122e x x +>C ．21y >D ．122y y +<【变式演练】1.已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则nm的最小值为______．2.若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=______.3.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【题型十五】综合应用【典例分析】过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e e m -<<B ．250e m -<<C ．10em -<< D ．e m <【变式演练】1.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-1.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 2021年全国新高考I 卷数学试题2.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）3.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）4.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．2021年全国高考甲卷数学（理）试题5.曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.2019年天津市高考数学试卷（文科）6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==- 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）7.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）8.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2019年江苏省高考数学试卷9.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 2019年江苏省高考数学试卷10.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则①PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）11.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 2021年全国新高考II 卷数学试题1.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+2.如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是210y x =-+，则()()44f f +'的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．23.曲线213ln 2y x x =-在点P 处的切线与直线220x y +-=垂直，则点P 的横坐标为（ ） A ．e B ．1 C ．3 D ．2e4.已知函数()sin f x x x =+.曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ）A ．223y x π=-B ．223y x π=-C ．3y x π=-+D ．3y x π=-+5.函数2ln(1)cos y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则cos2=α（ ）A ．310B ．310±C ．35D ．35.6.已知0a >，0b >，直线y x b =+与曲线e x a y -=相切，则41a b+的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97.若过点(1,2)可作曲线3y x ax =+的三条切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)-- B ．(2,1)-- C ．(1,2) D ．(1,3)8.曲线2ln y x =上的点到直线2ln20x y -+=的最短距离是（ ） A．2 B ．2ln2-C ．ln2D9.已知过原点的直线与函数()e ,0ln ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）A ．()1,e e ⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭B ．{}1e 0,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1e,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．()1,e 0,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10.已知曲线()1f x x=-在点()()1,1f --处的切线l 与曲线()ln g x a x =相切，则实数a 所在的区间为（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,611.已知函数2ln ()2x f x x x =-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ）A B C D12.已知曲线()ln()1(1)=-+>f x mx nx m 的一条切线为直线:210l x y -+=，则mn 的最小值为________． 江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题13.若对0x ∀>，关于x 的不等式21ln 12mx mx x x +-≥+恒成立，则整数m 的最小值为___________.14.已知a ，b 为正实数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有ln ax b x -≥成立，则2ba的最大值是______．15.设函数()()sin 12sin 223f x x x αα--=+-（R α∈）图象在点（1，()1f ）处切线为l ，则l 的倾斜角θ的最小值是（ ） A ．4πB ．3π C ．56π D ．34π16..已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.。

切线不等式的应用资料切线不等式是一种在数学和物理学中广泛应用的工具。

它描述的是曲线在某一点的斜率与该点切线的斜率之间的关系。

这种不等式在解决各种问题时具有非常大的价值，包括优化问题、控制理论、微分方程和变分法等。

以下是一些关于切线不等式的应用资料。

1.基础理论在基础数学中，切线不等式通常与微积分和微分几何相关联。

例如，在微积分中，切线不等式可以用来描述函数在某一点的导数（即斜率）与该点切线的斜率之间的关系。

这种关系可以用来解决一些优化问题，例如找到函数的最小值点。

在微分几何中，切线不等式可以用来描述曲线在某一点的曲率与该点切线的曲率之间的关系。

这种关系可以用来研究曲线的形状和性质。

2.物理学应用在物理学中，切线不等式也有着广泛的应用。

例如，在力学中，物体的运动可以描述为位置函数的时间导数，而物体的加速度（即位置函数的时间二阶导数）可以用来确定物体的运动轨迹。

切线不等式可以用来描述物体的加速度与物体在该点的速度之间的关系，这种关系可以用来研究物体的运动规律。

在电磁学中，电场强度和磁场强度可以通过空间中的位置函数来描述。

切线不等式可以用来描述这些场在某一点的斜率与该点的电场强度或磁场强度之间的关系，这种关系可以用来研究场的分布和性质。

3.工程应用在工程领域中，切线不等式也有着广泛的应用。

例如，在机械工程中，物体的运动和力学性质可以通过运动学和动力学方程来描述。

切线不等式可以用来描述物体的加速度与物体在该点的速度和作用力之间的关系，这种关系可以用来研究物体的动态性能和优化设计。

在电子工程中，信号的处理和传输可以通过时间函数来描述。

切线不等式可以用来描述信号的斜率与该点的频率之间的关系，这种关系可以用来研究信号的频谱和滤波效果。

4.经济学应用在经济学中，切线不等式也被广泛应用于各种问题的研究中。

例如，在微观经济学中，需求函数和供给函数可以通过价格和数量的关系来描述。

切线不等式可以用来描述价格的斜率与该点的需求或供给之间的关系，这种关系可以用来研究市场的均衡和稳定性。

得2sinB二cos)又cos)+0 ,所以tanB=-$.点评：4sinBcos.-3sin2B二1这类方程可化为齐次方程，再转化为只含an)的方程求解，也可化为.+2)和os2B的一次式，再利用辅助角公式求解.'2,2-2分析3:由余弦定理得(二-3'x----j&#求出a#b#c间的关系，由此能求出cos.的值•3解法3：因为tanC二才,0vC V"，所以0VC V 号且sinC=-5,cosC二*.又因为c=-3'cos.，所以由余弦定理得C=-3'2'c a，所以5c2=3a2-3'2，即5(a2+'2-2a'cosC)=3a2一3'2，解得a=2'.所以C2=3/一3''2，即C=善5'.所以0S.=a-C'二"1^5#所以sin)=+ /1-COS2)=弓# 2a55即tan)二丁.分析4：灵活应用正余弦定理和同角三角函数的关系求解.3解法4:因为tanC二亍#0VC V"#所以0VC V ■"且sinC二丁#cosC二专.因为c=-3'cos.，所以由-1正弦定理得sinC=-3sin)cos.#所以cos.=V5n0#所以号V"V"，由此得0V)V号，所以os.>0.又由余弦定理得C=-3'吕_—，所以5c2=3a223 -3'2，即 5sin2C=3sin2A-3sin2)#所以sin2A=-^-sin2),所以1-2512)=^-sin2)#得sin)=咅# cos.=,从而tan)=；.点评:本题考查三角形边的代数式求值，考查三角形的角的正切值的求法，考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数恒等式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是一个典型的中档题.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%例析利用切线放缩法巧解函数不等式问题广东省汕头市澄海华侨中学(516007)潘敬贞山东省滨州市邹平县黄山中学(256200)韩景岗广东省市中学(515800)陈焕涛在解有关函数不等式问题时，当题目中的函数解析式含有F或9%的四则运算时就可以考虑利用切线放缩法进行求解.在利用切线放缩法对问题进行求解的过程中，其最关键的是根据题意寻找到合适的切点，从而得出合适的切线，然后利用切线放缩法有效的将问题转化为较为常规、简单的问题进行解答，最后顺利的将问题解决.如：函数*=e%在％=0处的切线方程为*=%+1,因此可得不等式F* %+1，当且仅当％=0时取得等号；函数*=e%在%= 1处的切线方程为*=ee,因此可得不等式e%*ee，当且仅当％=1时取得等号；函数*=9%在%=1处的切线方程为*=%-1,因此可得不等式In%#%-1,当且仅当％=1时取得等号；函数*=9(%-1)在%=0处的切线方程为*=%,因此可得不等式9(%-1)#%,当且仅当％=0时取得等号；函数*=9%在%=e处的切线方程为*=三，因此可得不等式lnx#—,当且仅当%=e时取得等号；函数*=9%在%= e丄处的切线方程为*=e-2,因此可得不等式In%# eee_2,当且仅当％=丄时取得等号等等.是否是能根e据题意有效选取切点然后得到合适的不等式才是解决此类的关键，但解答问题的过程中，利用切线放缩法得到的不等式是需要严格证明的.例1(2018全国卷I文21)已知函数$%)= ae"-ln%-1.(1)设%=2是$%)的极值点，求&,并求$%)的单调区间；(2)证明：当a*丄时,$%)*0.e解析：(1)略.(2)证明：因为当a*丄，所以e%$%)*—一9%-1=e%_1一9%-1.因为函数*=e%_1 e在％二1处的切线方程为*=%,因此用切线放缩法可得不等式e%-1*%,当且仅当％=1时取等号，所以得e%_1-9%-1*%-9%-1当且仅当%=1时取等1%-1号•设g(%)=%-9%-1,贝V g'(%)=1-——=-------x x当0v%v1时,g@%)<0,所以g(%)单调递减；当%>1时，g@%)>0,所以g(%)单调递增.所以%=1是g(%)的最小值点.故当％>0时,g(%)*g(1)= 0.因此，当&*丄时,/(%)*0.e评注：本题的第(2)问利用切线放缩法进行放缩，问题的解答过程简洁，思路清晰、自然.但在函数*=e”"的％=1处取切点，然后得切线方程*=%,从而可得不等式e”"*%成为本题利用切线放缩法解决问题的关键.例2(2018全国卷皿文21)已知函数$%)= &.(1)求曲线*=/(%)在点'0,-1)处的切 e线方程;(2)证明：当a*1时,/(%)+e*0.解析：(1)略•(2 )证明：因为$%)+e*00a%2+%-1—%-----+e*00a%2+%-1+e%+1*0.因为函数e*=e%+1在%=-1处的切线方程为*=%+2，因此用切线放缩法可得不等式e%+1 *%+2,当且仅当%=-1时取等号，所以a%2+%-1+e%+1*a%2+%-1+% +2=a%2+2%+1当且仅当％=-1时取等号.又因为a*1,所以a%2+2%+1*%2+2%+1=(%+1)2* 0，当且仅当%=-1取等号.故当a*1时，有/(%)+ e*0.评注:本题的第(2)问的求解其关键是在函数* =e%+1的%=-1处取切点，然后得切线方程*=%+ 2，从而得不等式e+1*%+2,后面问题的解决就相利.例3(2014全国I理21)设函数$%)=ae”9%%-1+%，曲线*=/(%)在点'1,/(1))处的切线方程%为*=€(%-1)+2.(1)求a,'；(2)证明：/(%)>1.解析：(1)a=1,'=2过程略.(2)证明：因为%-1$%)>10e^ln%+>109%+—>—.因为函数e e*=e%在％二1处的切线方程为*=e，因此用切线放缩法可得不等式e%*e,当且仅当％=1时取等号，112所以亠#—，当且仅当％二1时取等号，所以9%+三e1211>——2In%+——*——09%+——*0.令g(先)=9%+ e%丄，则g@%=e%1,当0<%<丄时,g@%)<0,所e%以g(%)单调递减；当%>丄时,g@%)>0,所以g(%)e单调递增，所以g(%mi n=g(+)=0,所以$%)>1.当然，本题还可以考虑对9%进行切线放缩.因为函数*=9%在％=e处的切线方程为*=三，所以用切e%11线放缩法可得不等式lnx#—，所以In—#丄即9%e x ex-19%+2>1-1+21e%eee%.令g(%=e%-ee,则g@%=e%-e,当0<%<1时,g@%)<0,所以g(%)单调递减；当％>1时，g@%)>0,所以g(%)单调递增，所以g(%min=g(1) =0，所以/(%)>1.评注：当题目同时出现e"与9%时，我们可以根据题意对e"或9%进行切线放缩，本题的第(2 )问就如此，既可以对e*进行切线放缩也可以对9%进行切线放缩，都可以顺利解决问题.例4(2020深圳一模理21)已知函数$%=e%-a9(%-1),(其中常数e«2.71828...,是自然对数的底数)-(1(若a e R,求函数/(%的极值点个数；(2)若函数/(%在区间(1,1+e-&)上不单调，证明丄+—+>a.a a+1解析：(1)函数$%的定义域为(1,+8), (%=(%_1)e-a.①当a#0时,/，(%>0,函数1代%在(1,+8)上单调递增，所以函数/(%无极值 点，即此时极值点个数为0;②当a>0时，令g(%= (%-1)e%-a(%>1),g(1)=(1-1)e1-a=-a <0，因为函数*=e%在％=0处的切线方程为*=% +1,因此用切线放缩法可得不等式e%*%+1,当且仅当％ = 0时取等号，所以g (% = (%-1)e " - & >(% -1) ( % +1) -&.令(% -1) ( % +1) - a = 0 得 % =>1,所以 M) >0,故存在 %0 ! ( 1,Ja +1 )使得 g ( %0 ) =0,所以当 ％ ! ( 1 ,%0 )时,M ( % <0即/( % <0 ,所以函数$( %在(1,%0 )上单调递减，当 ％! ( %0 , + 8 )时,g ( % >0 即 /'( % >0,所以函数$( %在(%0 , + 8 )上单调递增，所以函数/( %有 极小值点%0，即此时函数$( %的极值点个数为1.综上所述，当&#0时，函数$( %的极值点个数为0；当a >0时，函数$( %的极值点个数为1.(2 )证明：因为函数$( %在区间(1,1 +e -&)上不单调，所以函数$( %在区间(1 ,1 +e-&)存在极值点.由(1 )可知，当a >0时,1 + F & > %0 ,所以-a 1 + e _ &/'( 1 +e-a ) = 6，& ~a >0 ,所以 e 1-&"「& >a ,两e边取自然对数得1 - a + e~a > Ina ，即1 一 Ina + e~a >a ,此时要证丄 + 1 - > a ,不妨考虑 + 1 - > 1aa+1 aa+1-Ina +e-a .因为函数* = e %在％二0处的切线方程 为*=% + 1,因此用切线放缩法可得不等式e %*% +1,所以，当且仅当％=0时取等号，所以e e %+1=e，即丄,* e.又 e%* % + 1,所以 e 宁-1 *a 1 a 1[(丄 [—，所以e 書# a ,两边取自然对数得1 - 一 # Ina , aa即—* 1 — Ina ,所以—+ —> a.a a a +1评注：本题的求解过程较为复杂，难度较大，但切线放缩法在简化解答过程，化解思维痛点等起到了很重要的作用.例5 ( 2016山东理20 )已知/ ( %)=2%-1a ( % - 9% +--2—，& ! R . ( 1 )讨论 f( %)的单调性；%3(2)当a = 1时，证明/(%) >/@% +寸对于任意的% ! [ 1,2]成立.解析：(1 )略.(2 )当a = 1时，证明/( %) >33$ (% +—对于任意的％! [ 1,2 ]成立0% - 9% + —212+ + -各-1 >0对于任意的%! , 1,2]成立.因为 X X函数*二9%在% = 1处的切线方程为* = % - 1,因此用切线放缩法可得不等式ln%#%-1 ,当且仅当% = 1时取等号，所以%-ln%*1当且％二1时取等号，所312以此时只需证明2+*->0对于任意的％! [1,% %3122 [成立.令 G (% = — + 飞一——，贝V G ( %)=%%—―"设'(%) = - 3%2 _2%+6，贝寸'(%)在%[1,2]上单调递减，因为'(1) = 1,'(2) = - 10,所以在 4%。

高中不等式公式大全及范围
高中不等式的公式和范围较多，以下是一些常见的不等式公式和范围：1. 一元二次不等式的解：一般地，用不等式的基本性质将一个一元二
次不等式化成形如ax^2+bx+c>0(a>0)或ax^2+bx+c<0(a<0)的形式，即
求出二次函数图像的交点，然后根据二次函数的开口方向确定不等式
的解集。

2. 均值不等式：对于任意实数a、b，都有(a+b)/2≥√ab(当且仅当
a=b时取“=”)，即当且仅当a=b时，等号成立。

3. 基本不等式：一元二次不等式的解集可以转化为相应的一元二次方
程的根的分布问题。

4. 一元二次不等式有唯一解时，其对应的二次函数的图像与x轴的交
点就是解集中的唯一解。

5. 含绝对值的不等式有四种解法：去绝对值号转化为不含绝对值的不
等式求解；零点分区间法；数轴标根法；三角换元法。

6. 大于号小与号的证明即反证法在数学中的广泛应用，比如柯西不等式、排序不等式、切线不等式等都是反证法的成功应用。

至于不等式的范围，一般而言，一元一次不等式的解集为数轴上的点
表示的范围；一元二次不等式的解集为对应的一元二次方程的实数根
的分布范围；对于多元不等式，应结合数轴标根法、数轴穿头法、数
轴穿心法等灵活求解不等式的范围。

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导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。

求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。

典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。

求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。

典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。

1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。

典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。

1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。

典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。

1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。

典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。

1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。

导数中求解法(切线求解、对数均值不等式)一、切线求解方法切线是导数的一种应用，可以用来求解函数的近似值。

切线与函数曲线有且只有一个交点，这个交点可以用来估计函数在该点处的值。

切线的求解方法如下：1. 首先，确定要求解的函数及其导数。

2. 然后，选择一个点作为切线与函数曲线的交点，这个点最好是函数曲线上的一个已知点。

3. 计算函数在该点处的导数值，这个值即为切线的斜率。

4. 根据斜率和已知点，可以得到切线的方程。

5. 利用切线的方程，可以求解函数在该点处的近似值。

切线求解方法可以用于求解函数的极限、导数、最值等问题。

二、对数均值不等式对数均值不等式是在数学中常用的不等式之一，它有以下形式：如果$a$和$b$是正实数，并且$a\neq b$，则有$\frac{\ln a - \ln b}{a - b} > \frac{1}{c}$，其中$c$是$a$和$b$之间的某一个数。

对数均值不等式的求解方法如下：1. 首先，确定要求解的数$a$和$b$。

2. 然后，取$c$为$a$和$b$之间的某一个数。

3. 计算$\frac{\ln a - \ln b}{a - b}$的值。

4. 比较该值与$\frac{1}{c}$的大小关系，如果$\frac{\ln a - \ln b}{a - b} > \frac{1}{c}$，则对数均值不等式成立；如果$\frac{\ln a - \ln b}{a - b} < \frac{1}{c}$，则对数均值不等式不成立。

对数均值不等式的求解方法可以用于证明一些数学问题，例如证明某些函数的单调性、解析几何中的不等式等。

以上就是导数中求解法(切线求解、对数均值不等式)的简要介绍，希望对您有所帮助。

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