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图形个数类解题方法图形个数类解题考生只要记住三大考点规律即可.第一规律，图形数量的加减乘除；第二规律，图形数量的数列规律（等差数列等比数列递推数列）；第三规律，局部图形数量规律。
如下列例题第一个图形用乘法得出的数列规律是8,12，8,12，8，（），括号里面自然就是12这个答案了；第二个图形中的曲线数目是，1,2，3，4，（），下一个当然就是5，正好构成等差数列；第三个图形的局部数量分别是,1个气球，2个车轮，3支蜡烛，4个等腰梯形，5个三角形，则下个图形就是6个的，这样就可出答案.这个是考试中最为经典的考法，实际上每年的考试出题人都想创新,可是不是那么容易，因为出题有固有惯性，或者保持稳定。
稳定是压倒一切的，所以，每年的题目还是出的还是能够找到其中的规律。
下表是2007-2012国考图形的考试趋势统计。
图形推理分类2007年2008年2009年2010年2011年2012年合计数量类31312414位置类225110样式类3142414重构类113117根据这个趋势图，不难看出，数量考题一直公务员考试中图形推理的重点和热点.就历年真题的情况简单归纳出两种主要的考法:第一，传统数量的点线角面素做数字推理。
就是给出点线角面素，然后根据数字推理的规则进行演算,得出结果。
例题1：2012-国家- 84从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：【答案】B【公务员考试信息网解析】本题考查数量类，第一到第五幅图分别有2、3、4、5个封闭空间，故下一幅图应该有6个,B选项符合题意。
例题2：2009—国家-66.请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性:【答案】A【公务员考试信息网解析】封闭空间均只有一个，故选A。
例题3：2009—山西-54。
所给的四个图形呈现一定的规律性，根据这种规律在所给出的备选答案中选出一个最合理的正确答案。
【答案】D【公务员考试信息网解析】本题属于样式类。
答案：D解析一：图形凌乱，可以看空间数，2-2-1-2-2-1，可知答案选D。
解析二：由选项A，可以看出此题可能考察对称轴的问题。
图形依次排列为：中心对称（双轴对称）-中心对称-轴对称（三轴对称，迷惑图形，不是轴对称）-中心对称（双轴对称）-中心对称（双轴对称）-？，可知备选答案应该选一个轴对称的，且只是轴对称的，A项既是中心对称又是轴对称，不行，B项是迷惑选项，既不是中心对称，也不是轴对称，C项既是中心对称又是轴对称，D项是轴对称，所以选D。
答案：B解析：此题一看便可看出是考察点的问题，但是却把折点拐点融合在了一块考察，第一组都是两个点，第二组都是三个点，所以选B。
答案：不知道选什么解析：这题我把所有的关于点接触的问题想了一遍，最终还是没有得到答案，如果蒙的话，我蒙C，至于原因，就是感觉其他答案不爽。
答案：B解析：看到这个题的第三个图形，我推测此题可能考察的是点接触的问题。
由此可以排除D选项，又因为所有的图形都是轴对称图形，所以我选择B。
答案：B解析：看到第一组的第三个图形，我感觉应该考察的问题。
又因为都是对称图形，所以排除A、D两个选项。
第一组重心为：下面-中间-上面，那么第二组也应该遵循此规律，为什么选B而不选C呢？此时我们应该想到凹凸性的问题，所以B选项正确。
答案：B解析：这题很简单。
只需考虑对称轴的问题便可迎刃而解。
第一组图形的对称情况如下：中心对称-轴对称-双轴对称（亦可称之为中心对称，双轴对称一定是中心对称，但中心对称不一定是双轴对称），那么第二组图形也应该遵循此规律，所以选B。
答案：A解析：此题一看便有诸多考点，比较杂糅，但细心思考仍可究其根源。
先看对称轴方向，第一组方向如下：左上至右下-左下至右上-交叉，那么第二组也应遵循此规律，排除了B、C选项，但是不选D的原因是，看题干所给元素，都是一样的，D项多出了一条线段，所以选A。
答案：C解析：我知道此题可能考察元素种类的问题，但是我还是判定不出答案，要是蒙，我就蒙C，因为竖着看，第一竖排和第二竖排都有两个是一样的，第三竖排就有三个是一样的。
2．2.2 间接证明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？ 提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？ 提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2.1．间接证明的方法通常称为间接证不是直接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种等．枚举法、同一法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有反证法明．2．反证法(1)反证法证明过程新的否，从而达到逻辑矛盾，导致正确的推理开始，经过否定结论反证法证明时，要从”的过程可以用下面的框图表示：q 则p ，用反证法证明命题“若)即肯定原命题(定肯定条件p 否定结论q →导致逻辑矛盾→“p且q”为假→“若p 则q”为真(2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤不成立，即假定原结论的反面为真．命题的结论假设——反设①出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．已知条件和反设从——②归谬，断定反设不真，从而肯定原结论成立．矛盾结果由——③存真1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[对应学生用书P30][例1]锐角三角形．[思路点拨]本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析]假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通](1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨]“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通]证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．[例3]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨]本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析]假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1.与ac＋bd>1相矛盾．∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．[一点通](1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：6．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0，∴(1－a)＋b2≥(1－a)b ＞14＝12. 同理(1－b)＋c 2＞12，(1－c)＋a 2＞12.三式相加，得(1－a)＋b 2＋(1－b)＋c 2＋(1－c)＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.7．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个根，设α，β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形(1)一些基本命题、基本定理； (2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题； (4)“惟一性”命题； (5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题； (7)涉及“无限”结论的命题．2．用反证法证明问题应注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．[对应学生用书P32]一、填空题1．命题“1＋b a ，1＋ab 中至多有一个小于2”的反设为________．答案：1＋b a ，1＋ab都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根． 答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根1． 用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为 ____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②5．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x ≠a 且x ≠b ”的否定应为“x ＝a 或x ＝b ”． 答案：x ＝a 或x ＝b 二、解答题6．(陕西高考)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a1(1－qn)1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q ＝1，a1(1－qn)1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．7．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12<1＋a ＋b<12，－12<4＋2a ＋b<12，－12<9＋3a ＋b<12.于是有⎩⎪⎨⎪⎧－32<a ＋b<－12， ①－92<2a ＋b<－72，②－192<3a ＋b<－172. ③由①、②得－4<a <－2，④ 由②、③得－6<a <－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P ∉直线a .求证：过点P 和直线a 平行的直线b 有且只有一条． 证明：(1)存在性：∵P ∉直线a ，∴点P 和直线a 确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P 能作出一条直线与直线a 平行，故直线b 存在． (2)惟一性：假设过点P 还有一条直线c 与a 平行． ∵a ∥b ，a ∥c ，∴b ∥c ，这与直线b 、c 有共点P 矛盾． 故假设不存在，因此直线b 惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．。
