高考数学 第三单元 基本初等函数及应用

第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r ·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r)s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．③(ab )r ＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． [小题速通] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a. 2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则 xy 的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4二次函数[过双基]1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞10＜a ＜11．函数f(x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)； 当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数， 所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2. 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数， 所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或 12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1， ＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值． 解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22 x 1＋1－1＋22 x 2＋1 ＝2(2 x 1－2 x 2)(2 x 1＋1)(2 x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2 x 1－2 x 2<0，(2 x 1＋1)(2 x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·安徽江南七校联考)已知幂函数f (x )＝(＋2－2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数． ∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112. 即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2．若(a ＋1)-13<(3－2a ) -13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)-13<(3－2a ) -13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16，f (2)＝4a ＋c ＝4，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：(1)二次函数的图象与性质；(2)二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a . ①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a ，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ① 当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x， 令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22， 则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立， 所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a .当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则ba ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k－k －2， 则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)函数f (x )＝e ·x e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确；C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y， 所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥23+11x y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 故1x ＋1y 的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1， 所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32一、选择题。

高考数学第三章知识点总结第一节直线和方程1. 直线的方程直线的方程有两种常见的表示方法：一般式和斜截式。

一般式是Ax+By+C=0，斜截式是y=kx＋b。

2. 直线的性质直线有斜率和倾斜角的概念，斜率是直线的倾斜程度，倾斜角是与x轴的夹角。

3. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点是y=0处的x坐标，与y轴的交点是x=0处的y坐标。

第二节函数及其性质1. 函数的概念函数是自变量和因变量之间的对应关系，表示为y=f(x)。

2. 函数的性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。

3. 基本初等函数的性质基本初等函数包括常函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等。

4. 函数的图像和性质函数的图像可以通过函数的定义域、值域、单调性、极值、奇偶性等来描述。

第三节数列和级数1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列，可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

2. 数列的通项公式数列的通项公式可以用来表示数列的任意一项的通用表达式。

3. 级数的概念级数是数列的和的概念，可以是等差级数、等比级数等。

4. 级数的性质级数有收敛和发散的性质，可以通过极限的概念来分析级数的和是否存在。

第四节不等式与不等式组1. 不等式的性质不等式有加法、减法、乘法、除法以及取对数、指数等运算的性质。

2. 一元一次不等式一元一次不等式可以用图像法或者代数法来解决。

3. 一元二次不等式一元二次不等式可以通过解二次方程的方法来求解。

4. 不等式组不等式组是由多个不等式组成的方程组，可以用图像法、代数法来解决。

结尾总结高考数学第三章主要涉及直线和方程、函数及其性质、数列和级数、不等式与不等式组等知识点。

这些知识点在解决各种数学问题时起着至关重要的作用，掌握这些知识对于高考数学的学习至关重要。

希望同学们能够通过系统的学习和练习，掌握这些知识，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】知识与技能：1.掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.掌握复合函数的导数公式。

过程与方法：培养学生灵活应用公式的能，以及分析探索知识的能力；培养学生的化归思想。

情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，有易入难的探索精神。

【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】复合函数的导数公式及解题应用【学情分析】在前面同学们已经掌握了导数的概念以及几个简单的基本初等函数的导数公式推导过程，也认识了符合函数。

本节，是在原有基础上的加深延续，同学们只要能够记住公式，掌握运算能力，就可以很好的完成本节的内容。

【教学过程】一、 问题导学：1、 依据我们上节课所学的内容，请同学们求出以下函数的导数： y=c y=x y=x 2 y=1/x x y =2、 总结以下函数的导数公式：f(x)=x α(α∈Q *) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x)=a x f(x)=e x f(x)=log a x f(x)=lnx二、 自主学习：1、y=c y ′=0 ； y=x y′=1； y=x 2y′=2x ； y=1/x y′=-1/x 2 ；x y = x y 21='.2、基本初等函数的导数公式：(1)若 f(x)=c (c 为常数)，则f′(x) =0 ；(2)若f(x)=x α(α∈Q *) ，则f ′(x)= αx α-1 ；(3)若 f(x)=sinx ，则f′(x)=cosx ；(4)若f(x)=cosx ，则 f′(x)=-sinx ；(5)若f(x)=a x ， 则f′(x)= a x lna ；(6)若 f(x)=e x , 则f′(x)= e x ；(7)若f(x)=log a x ，则f′(x)= 1/(xlna) ；(8)若f(x)=lnx ， 则f′(x)= 1/x .3、导数运算法则：(1) [f(x)±g(x)]′= f′(x) ± g′(x) ;(2) [f(x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;(3) [f(x)/g(x)] ′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]2(g(x)≠0)三、互动探究：1、求下列函数的导数：（1）y=cf(x) （2）y=x3-2x+3（3）y=x/(2-x) （4）y=log2x（5）y=3cosx-2sinx （6）y=2e x+lnx-ln4（生）（1）y′=cf′(x) （2）y′=3x2-2（3）y′=2/(2-x)2（4）y′=1/(xln2)（5）y′=-3sinx-2cosx （6）y′=2e x+1/x2、复合函数的导数：(1)如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？（生）令y=lnu u=x+2则y′=1/u u′=1 所以y x′=1/(x+2)(2)总结：如何求复合函数y=f(g(x))的导数，并找出与y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系。

第3节 函数的单调性与最值考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值 [常用结论与易错提醒]1.对勾函数y ＝x ＋ax(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数.2.设任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0)⇔f (x )在D 上单调递增； ②f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0)⇔f (x )在D 上单调递减.3.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )(3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以.(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间可以是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A.y ＝1x－xB.y ＝x 2－x C.y ＝ln x －xD.y ＝e x－x解析 对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ′＝e x－1，而当x ∈(0，＋∞)时，y ′＞0，所以函数y ＝e x－x 在(0， ＋∞)上是增函数. 答案 A3.(2018·全国卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.答案 D4.函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是 .解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝lg u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递减. 答案 (－∞，0)5.(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为 .解析 易得f (x )＝xx －1＝1＋1x －1， 当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝1＋12－1＝2. 答案 26.(2019·绿色评价联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x >0，则f (f (－3))＝ ，f (x )的最小值为 .解析 f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f (f (－3))＝f (3)＝2.由图象得f (x )min ＝f (－1)＝－1.答案 2 －1考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)(2019·嘉兴检测)已知函数f (x )＝log 4(4－|x |)，则f (x )的单调递增区间是 ；f (0)＋4f (2)＝ .解析 由f (x )＝log 4(4－|x |)得函数f (x )的定义域为(－4，4)，且函数y ＝4－|x |的单调递增区间为(－4，0]，则函数f (x )＝log 4(4－|x |)的单调递增区间为(－4，0].f (0)＋4f (2)＝1＋412＝3. 答案 (－4，0] 3(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， 因为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，所以f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上递增.规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1). (2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (一题多解)判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明.解 f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数. 证明如下：法一 设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a ).当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数. 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数.综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－a x2>0， 解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0，则1－a x2<0，解得－a <x <a . ∵x >0，∴0<x <a .∴f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝ ，函数f (x )的最大值是 .解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1，则f (f (3))＝f (－1)＝－3， ②当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，得f (x )<0.当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f (x )≤1，综上可知，f (x )的最大值为1.答案 －3 1(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设1≤x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＞2， ∴0＜12x 1x 2＜12，1－12x 1x 2＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.②当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1，＋∞)恒成立. 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立.令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，＋∞)， ∴g (x )在[1，＋∞)上是减函数，g (x )max ＝g (1)＝－3. 又a ≤1，∴当－3<a ≤1时，f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立. 故实数a 的取值范围是(－3，1].规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a ).若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b ).【训练2】 (2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 无关D.与a 无关，但与b 有关解析 因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，但与a 有关，故选B. 答案 B考点三 函数单调性的应用变式迁移【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是 .(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为 .解析 (1)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. (2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3.答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3 【变式迁移1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设m ＝f (－12)，n ＝f (a )，t ＝f (2)，试比较m ，n ，t 的大小.解 由例题知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 且32≤a <2，又－12<a <2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2)，即m <n <t . 【变式迁移2】 在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减”，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集是 Ｗ. 解析 因为f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以f(log 19x )＞0等价于f (|log 19x|)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，所以|log 19x|＜12，即－12＜log 19x ＜12，解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.【训练3】 已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4]D.[1，3]解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝1，于是－1≤f (x －2)≤1等价于f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. 答案 D基础巩固题组一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2 B.2 C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.答案 C2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B ，C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上是减函数. 答案 D3.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c . 答案 B4.定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )在区间[－2，2]上的最大值等于( )A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9]D.(0，8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B6.如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4D.－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称.又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C 二、填空题7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为 .解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38.已知t ∈R ，记函数f (x )＝|x ＋4x ＋2＋t |在[－1，2]的最大值为H (t )，若H (t )≥1，则t 的取值范围是 Ｗ. 解析 记u ＝x ＋4x ＋2，当x ∈[－1，2]时，u ∈[2，3]， 所以H (t )＝max{|2＋t |，|3＋t |}＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t ＋3＋t 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t －（3＋t ）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋52＋12≥1，解得t ≤－3或t ≥－2.答案 (－∞，－3]∪[－2，＋∞)9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是 Ｗ.解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x >1，若f (f (1))＝4a ，则实数a ＝ ，函数f (x )的单调增区间为 Ｗ.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x >1，∴f (1)＝12＋1＝2，f (f (1))＝f (2)＝22＋2a .由f (f (1))＝4a ，∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.当x ≤1时，f (x )在(－∞，0]上递减，在[0，1]上递增，且f (1)＝2；当x >1时，f (x )＝2x＋2x 在(1，＋∞)上递增，令x ＝1时，2x＋2x ＝2＋2＝4＞f (1)，故f (x )的单调增区间为[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞). 答案 2 [0，＋∞)三、解答题11.已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值. (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25.12.已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1].(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－a2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 能力提升题组13.若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A.4 B.2 C.12D.14解析 当a >1时，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意. 当0<a <1时，则y ＝a x为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数.故a ＝14.答案 D14.已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( ) A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D15.(2019·绍兴适应性考试)已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝lg x B.f (x )＝－x 2＋2x C.f (x )＝2xD.f (x )＝sin x解析 由a ∈R ，不妨设a ＝0，g (x )＝|f (x )|，则原问题可看成存在x 0>0，g (x )max ＝g (x 0)＝|f (x 0)|.对于A 选项，g (x )＝|lg x |，结合其函数图象知，g (x )存在最小值0，不存在最大值，排除A ；对于B 选项，g (x )＝|－x 2＋2x |＝|x 2－2x |，g (x )存在最小值0，不存在最大值，排除B ；对于C 选项，g (x )＝|2x|＝2x ，显然g (x )不存在最小值，也不存在最大值，排除C ；对于D 选项，g (x )＝|sin x |≤1，g (x )存在最大值，故选D.答案 D16.(一题多解)设函数f (x )＝1＋x ＋1－ax ，记M (a )为f (x )的最大值，则M (a )的最小值为 Ｗ.解析 法一 由题知当a ≤0时，f (x )无最大值，故a >0.由定义域知0≤x ＋1≤1＋1a ，令aa ＋1(x ＋1)＝cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，代入f (x )＝1＋x ＋1－ax ，则有f (x )＝1＋aacos α＋1＋a sin α＝2＋1a ＋a ·sin(α＋θ)，其中tan θ＝1a，且a >0，所以M (a )＝2＋1a＋a ≥2(当且仅当a ＝1时取到等号).法二 由题知当a ≤0时，f (x )无最大值，故a >0，令导函数f ′(x )＝12·11＋x －12·a1－ax ＝0，得唯一极大值点x ＝1a－1，所以M (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1a＋a ≥2(当且仅当a ＝1时取到等号). 答案 217.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax－2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋ax＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞). 18.a ∈R ，设函数f (x )＝x |x －a |－x . (1)若a ＝3，求函数f (x )的单调区间；(2)若a ≤0，对于任意的x ∈[0，t ]，不等式－1≤f (x )≤6恒成立，求实数t 的最大值及此时a 的值.解 (1)当a ＝3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x <3，x 2－4x ＝（x －2）2－4，x ≥3， 函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3). (2)当a ≤0，x ∈[0，t ]时，x ≥a 恒成立，故f (x )＝x 2－(a ＋1)x . ①当a ≤－1时，a ＋12≤0，f (x )在[0，t ]上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6，即 t 2－(a ＋1)t ≤6，解得0＜t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242.令m ＝－(a ＋1)≥0，h (m )＝m 2＋24－m2＝12m 2＋24＋m在[0，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (0)＝6，即当a ＝－1时，t max ＝ 6. ②当－1<a ≤0时，a ＋12＞0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a ＋12上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋12，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＝－（a ＋1）24∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0，满足f (x )min ≥－1.当0＜t ≤a ＋1≤1时，f (x )max ＝f (0)＝0，满足题意，此时t max ＝1，a ＝0； 当t ＞a ＋1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6， 即t 2－(a ＋1)t ≤6，解得a ＋1＜t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242.令m ＝a ＋1，则0＜m ≤1，h (m )=m ＋m 2＋242在(0，1］上单调递增，所以h (m )max ＝h (1)＝3， 即当a ＝0时，t max ＝3. 综上所述，t max ＝3，此时a ＝0.。

高考数学初等函数知识点函数模型及其应用导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)2.用函数模型解决实际问题的根本步骤：第一步，审清题意，设立变量 ;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比拟精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了表达.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?在“数学建模”中要把握好以下几个问题：1理解问题：阅读理解，读懂文字表达，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.3求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. ○4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比拟，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.5评价与应用：如果模型与实际情形比拟吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，那么要对模型改良，并重复上述步骤.(3)“数学建模”中要注意什么问题?1有的应用题文字表达冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找量与量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，那么可使应用题化生为熟，尽快得到解决. 5.规律总结(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意. (3)建立“数学模型”常用的分析方法：(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.。