概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)共38页文档

則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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结束
例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：

(3) 分配律

A (B C ) ( A B) ( A C ) AB AC,
A (B C ) AB AC
(4)对偶律 : A B A B, A B A B.
n
n
Ai Ai ,
i 1
i 1
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
.
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若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形 式A+B 任意事件A与不可能事件为互斥.
.
5.事件的差
事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
概率论与数理统计教程
沈恒范 编 高等教育出版社
.
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
事件与概率 离散型随机变量 连续型随机变量 大数定律与中心极限定理 数理统计的基本概念 点估计 假设检验 方差分析与回归分析
.
第一章 事件与概率
.
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
.
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.

A=A1∪(A1A2) 表示不超过2次就按对密码。
（1）P(A)=P(A1)+P( A1 A2 ) =
1 91 1 10 109 5
例3.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从 0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘 记了密码的最后一位数字。求
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
2.2.1条件概率 Conditional Probability
引例:
(1).3张奖券中只有1张能中奖，现分别
由3名同学无放回地抽取，问最后一名
同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同
学小？
答案：1 3
(2).如果已经知道第一名同学没有抽中
奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖
奖券的概率又是多2
1
，（2）
，（3）2
5
3
5
例3.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从 0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘 记了密码的最后一位数字。求
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就 按对的概率。
解：设第i次按对密码为事件Ai （i=1,2）,则
P(A), P(B), P(A B), P(B A), P(AB),
解：P( A) = 4
5
P(B)=
1 5
P(
AB)
=
3 25
P( A
B)
= P( AB)
3
=
P(B) 5
P(B
A)
=P( AB)
P( A)
=3
20
全年级100名学生中，有男生（以事件A表示） 80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示） 有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语 的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名 女生。求

PX Q 0 . 5 2
1
第三四分位数Q3： PX Q 0 . 7 5 3
例1
为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽
取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位： 厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随
机变量X的分布状况。
87 99 86 87 84 85 96 90 103 88 91 94 94 91 88 109 83 89 111 98 102 92 82 80 91 84 88 91 110 99 86 94 83 80 91 85 73 98 89 102 99 81 80 87 95 70 97 104 88 102 69 94 95 92 92 90 94 75 91 95 102 76 104 98 83 94 90 96 80 80 90 92 105 92 92 90 94 97 86 91 95 94 88 96 80 94 92 91 77 83
样本方差( X X i n 1i 1


几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n) 样本均方差或标准差
2 1 n S X i X n 1i 1


它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总 体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n)
子样的K阶（原点）矩
1 n k Ak X i n i 1
子样的K阶中心矩
1 B k X i X n i1
n


k
数据的简单处理
为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章

答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设

B
A
S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B }称为A与B的和事件. 即A, B中至少有一个发生 , 称为A与B的和, 记A B. 可列个事件A1 , A 2 , 的和事件记为

A .
k k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的 A 积，即事件A与B 同时发生. A B 可简记为AB.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
例 E1,E2等. 例
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.
B A 类似地, 事件 S 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
k 1 K
(2) A B A B
S
(3)A B
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生. 基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}. 复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}. 必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。

贝叶斯网络模型简介
贝叶斯网络定义
一种基于概率图模型的 机器学习算法，用于表 示和推理不确定性知识。
网络结构
由有向无环图和条件概 率表组成，节点表示随 机变量，边表示变量间
的依赖关系。
推理算法
通过贝叶斯网络中的条 件概率表，利用推理算 法计算目标变量的后验
概率分布。
应用领域
广泛应用于分类、聚类、 预测等任务，如自然语 言处理、图像处理、医
掌握条件概率的概念和计算方法对于理解和应用概率论和数理统计具有重要意义。
教学目标和要求
教学目标
通过本课程的学习，使学生掌握条件概率的概念、计算方法和 应用，培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学要求
要求学生能够熟练掌握条件概率的计算方法，理解条件概率在 实际问题中的应用，并能够运用所学知识解决一些实际问题。 同时，要求学生积极参与课堂讨论和思考，提高自己的思维能 力和解决问题的能力。
条件概率与独立性的关系
如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)，即事件A的发生对事 件B的发生没有影响。
条件概率的应用
条件概率在实际问题中有着广泛的应用，如医学诊断、天气预报、金 融风险评估等领域。
拓展延伸：条件期望、条件方差等概念介绍
• 条件期望的定义与性质：条件期望是指在某一事件发生的条件下，另一 随机变量的期望值。它具有线性性、单调性等基本性质。
条件概率在贝叶斯定理中作用
先验概率与后验概率
01
条件概率在贝叶斯定理中，用于计算先验概率和后验概率，即
根据已知信息更新某事件发生的概率。
因果关系分析
02
条件概率可以帮助分析事件之间的因果关系，进而推断出未知
事件的发生概率。

则 B1, B2, B3 是样本空间 的一个划分,
且 P(B1 ) 0.15, P(B2 ) 0.80, P(B3 ) 0.05,
P( A B1) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.03. (1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.
P( AC) 1 P( AC) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由貝葉斯公式得所求概率為
P(C A)
P( AC)P(C)
P( AC)P(C) P( AC)P(C)
0.087.
即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人 患有癌症.
(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的
概率;
(2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是 次品, 为分析此次品出自何厂, 需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.
解 设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i 1,2,3)
表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”.
證明
P ( Bi
A)
P(Bi A) P( A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
i 1,2,,n.
P(ABj)P(Bj)
j 1
引例4：一班與二班各有40人分班上課，其中一班有 20名女生，二班有18名女生。現從兩個班中 任選一名學生，假設每人被選到的可能性相 同，每班被選到的可能性也相同。已知選到 了一名女生，問她來自一班的可能性是多少？
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t

解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一 批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划 10 C99 分， P(B0 ) 0.1, P( A B0 ) 1 P( B1 ) 0.2, P( A B1 ) 10 0.900 C100
例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的 次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有 次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球， 则第二个人取到红球的概率又是 多少？ 一、条件概率 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简 称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。
例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽
取两次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；
(2)求第二次取到红球的概率；
(3)求两次均取到红球的概率。
解 设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球 2 1 3 2 2 1 (2) P( B) (1) P( B | A) 2 P5 5 4 2 1 1 (3) P( AB) 2 P5 10
P(C) P( ABC) P( A BC) P( AB C) P( A B C) P( A) P( B A) P(C AB) P( A ) P( B A ) P(C A B)