天津市河西区2016届高三数学第三次模拟考试试题 理

天津市河西区2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5i B．2+5i C．﹣2﹣5i D．﹣2+5i2．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．13．如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．12 B．24 C．48 D．1204．“”是函数“y=cos22ax﹣sin22ax的最小正周期为π”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．x2=y B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y7．已知函f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣2x]=3，若则f （3）的值是（）A．3 B．7 C．9 D．128．如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=，=，+y，则的最小值为（）A．B． C．6+4D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．设全集U=R，集合A={x|x2＜1}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩（∁R B）=．10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与圆C相切，则实数a=．13．如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=．14．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx在（0，2）上有两个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；（Ⅱ）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（Ⅲ）设取球的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD，BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且．（Ⅰ）求证：DM∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面ADM⊥平面PBC；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）令，设数列{c n}的前n项和T n，求T n．19．已知F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，B是椭圆的上顶点，BF2的延长线交椭圆于点A，过点A垂直于x轴的直线交椭圆于点C．（1）若点C坐标为，且|BF2|=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆的离心率．20．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2．并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求μ=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F （α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．2016年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5i B．2+5i C．﹣2﹣5i D．﹣2+5i【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（2﹣5i）=29，得=2+5i．∴．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．12 B．24 C．48 D．120【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=6时不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为120．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=1满足条件n≤5，S=1，n=2满足条件n≤5，S=2，n=3满足条件n≤5，S=6，n=4满足条件n≤5，S=24，n=5满足条件n≤5，S=120，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为120．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确理解循环结构的功能和会使用判断框中的条件判断何时跳出循环结构是解题的关键，属于基础题．4．“”是函数“y=cos22ax﹣sin22ax的最小正周期为π”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先证充分性：把a=代入函数解析式，利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期为π，成立；再研究必要性，把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，由周期为ω求出ω的值为或﹣，故必要性不一定成立，从而得到前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：函数y=cos22ax﹣sin22ax=cos4ax，∵ω=|4a|，∴T==π，即a=±，故不必要；当a=时，y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π，故充分，则“a=”是“函数y=cos22ax﹣sin22ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，用到的知识有二倍角的余弦函数公式，函数的周期公式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则∠B=（ ）A ．B ．C ．D ． 【分析】已知等式右边利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB ，将得出的关系式代入求出cosB 的值，即可确定出B 的度数．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c 2﹣b 2=ac ﹣a 2，∴a 2+c 2﹣b 2=ac ，∴cosB==， ∵B 为三角形的内角，∴B=．故选：C ．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．6．已知双曲线C 1： =1（a ＞0，b ＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为（ ） A ．x 2=y B ．x 2=y C ．x 2=8y D ．x 2=16y【分析】利用双曲线C 1： =1（a ＞0，b ＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a ，b 的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p ，即可得到抛物线的方程．【解答】解：∵双曲线C 1： =1（a ＞0，b ＞0）的焦距是实轴长的2倍，∴c=2a ，即=4，∴，双曲线的一条渐近线方程为：．抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，∴2=，∵，∴p=8．∴抛物线C2的方程为x2=16y．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．7．已知函f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣2x]=3，若则f （3）的值是（）A．3 B．7 C．9 D．12【分析】由已知函数的关系式可先求出f（1），然后结合函数的单调性可求f（x），进而可求【解答】解：令f（x）﹣2x=t可得f（x）=t+2x∴f（t）=t+2t由函数的性质可知，函数f（t）在R上单调递增∵f（1）=1+2=3∵f[f（x）﹣2x]=3=f（1）∴f（x）=1+2x∴f（3）=9故选C【点评】本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题的关键是赋值及函数的单调性的灵活应用8．如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=，=，+y，则的最小值为（）A．B． C．6+4D．【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【解答】解：=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选D．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．设全集U=R，集合A={x|x2＜1}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩（∁R B）=[0，1）．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＞0}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），即∁R B=[0，2]，故A∩（∁R B）=[0，1）故答案为：[0，1）．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合A，B的元素是解决本题的关键，比较基础．10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【分析】由三视图知该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体的直观图为：即从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，∵四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形、高为2，圆锥底面圆的半径是1、高为2，顶点是P，∴所求的体积V==，故答案为：．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．【分析】欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=∫02x2dx+∫26（6﹣x）dx==，又Rt△AOB的面积为：所以p==．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与圆C相切，则实数a=﹣1．【分析】圆C的参数方程为，（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为普通方程．直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ﹣cosθ）=，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可化为直角坐标方程．再利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：圆C的参数方程为，（θ为参数），化为普通方程：（x﹣a）2+y2=1．直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ﹣cosθ）=，可得直角坐标方程：x﹣y+1=0．∵直线l与圆C相切，∴=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数基本关系式、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF= 2．【分析】由圆的内接四边形性质定理，结合三角相似的判定定理可以证得，△CEF∽△CBA，则我们可以找到EF与已知长度的AB边之间的比例等于两个相似三角形的相似比，故求出相似比是解决本题关键，由∠ACB=60°及AB为直径，我们不难求出相似比代入求解即可．【解答】证明：如图，连接AE，∵AB为圆的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°又∵∠ACB=60°∴CA=2CE由圆内接四边形性质易得：∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的）又因为∠C=∠C△CEF∽△CBA∴又∵AB=4∴EF=2【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质，其中30°所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键点，当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解．14．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx在（0，2）上有两个零点，则实数k的取值范围是（1，）．【分析】由题意设g（x）=|x2﹣1|+x2，h（x）=kx，由x的范围化简g（x），在同一个直角坐标系中画出函数g（x）和h（x）的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k的取值范围即可．【解答】解：由题意设g（x）=|x2﹣1|+x2，h（x）=kx，则g（x）=|x2﹣1|+x2=，在同一个直角坐标系中画出函数g（x）和h（x）的图象如图，当直线h（x）处在两条虚线之间时，函数g（x）和h（x）的图象由两个交点，把点（2，7）和（1，1）代入求出k=、k=1，所以f（x）=|x2﹣1|+x2+kx在（0，2）上有两个零点时，实数k的取值范围是（1，），故答案为：（1，）．【点评】本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…（4分）因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…（6分）所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（8分）（Ⅱ）因为，所以，…（10分）所以．…（12分）所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…（13分）【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；（Ⅱ）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（Ⅲ）设取球的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）设取球的次数为ξ，最多取两次就结束的概率P1=P（ξ=1）+P（ξ=2），由此能求出结果．（Ⅱ）由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，由此能求出恰好取到2个白球的概率．（Ⅲ）随机变量X的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设取球的次数为ξ，则P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以最多取两次就结束的概率P1=P（ξ=1）+P（ξ=2）=．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，所以恰好取到2个白球的概率：P2=×3+==．…（8分）（Ⅲ）随机变量X的取值为1，2，3 …（9分）P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，…（12分）随机变量X的分布列为：X的数学期望是=．…（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD，BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且．（Ⅰ）求证：DM∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面ADM⊥平面PBC；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DM∥平面PAB．（Ⅱ）求出平面ADM的一个法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法能证明平面ADM ⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，…（1分）由题意得，D（0，2，0），C（2，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），A（0，0，0），B（2，0，0），=（1，0，1），平面PAB的法向量=（0，1，0），∵=0，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB．．…（4分）解：（Ⅱ）设平面ADM的一个法向量=（x，y，z），=（0，2，0），=（1，2，1），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），=（2，0，0），=（2，4，0），则，取x=1，得=（1，0，1），∵=0，∴平面ADM⊥平面PBC．…（8分）（Ⅲ）存在符合条件的λ．设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）∴=（0，﹣2，2），=（2，t﹣2，0），设平面PDE的法向量为=（a，b，c），，取b=2，得=（2﹣t，2，2），又平面DEB即为xAy平面，其法向量=（0，0，1），则∵二面角P﹣DE﹣B的余弦值为，∴|cos＜＞|=||==，解得t=3或t=1，进而λ=3或λ=．…（13分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）令，设数列{c n}的前n项和T n，求T n．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知利用等差数列和等比数列的性质列出方程组，求出公差和公比，由此能求出数列{a n}和{b n}通项公式．（Ⅱ）由S n=n（n+2），，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，得，解得d=2，q=2，…（4分）∴a n=2n+1，．…（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，S n=n（n+2），则c n=，即，…（7分）当n为奇数时，T n=（1﹣…+）+（2+23+25+…+2n﹣2）=1﹣+=，…（10分）当n为偶数时，T n=（1﹣…+）+（2+23+…+2n﹣1）=1﹣+=．…（13分）【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．19．已知F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，B是椭圆的上顶点，BF2的延长线交椭圆于点A，过点A垂直于x轴的直线交椭圆于点C．（1）若点C坐标为，且|BF2|=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆的离心率．【分析】（1）根据椭圆的方程和性质，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴+=1，即+=9，∵|BF2|=，a2=b2+c2，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆=1（a＞b＞0）得（+）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，），且A，C关于x轴对称，∴C（，﹣），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴（﹣）=﹣1，由b2=a2﹣c2得=，即e=．【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．20．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2．并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求μ=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F （α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值，从而得到f（2）的值；（2）令u=xlnx，由导数，求得单调区间和范围；再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得l1的斜率和kl2的斜率相等，即a=1，∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，即有0≤u≤e；u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小=t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t时，y最小=y|=﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣f（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣f（x2）|，与题设不符，③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣f（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得m∈（0，1）．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．。

尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

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2016年天津市河北区高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）2．若实数x，y满足条件，则z=x﹣3y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．43．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．i＞4？B．i＜4？C．i＞5？D．i＜5？4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．24 B．40 C．36 D．485．下列结论错误的是（）A．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题B．“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件C．命题：“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”D．命题：“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”6．设曲线y=x2及直线y=1所围成的封闭图形区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（）A．B．C．D．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．8．已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知i为虚数单位，复数=．10．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD 于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=30°，那么⊙O2的半径为．11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为．12．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C1，C2相交于点M，N，则弦MN的长为．13．已知△ABC是边长为2的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则•的最大值为．14．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=1﹣2sin（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x+）在区间[﹣，0]上的最大值和最小值．16．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．18．已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．19．已知数列{a n }是公比为正整数的等比数列，若a 2=2且a 1，a 3+，a 4成等差数列， （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；（Ⅱ）定义：为n 个正数P 1，P 2，P 3，…，P n （ n ∈N*）的“均倒数”，（ⅰ）若数列{b n }前n 项的“均倒数”为（n ∈N*），求数列{b n }的通项b n ；（ⅱ）试比较++…+与2的大小，并说明理由．20．已知函数．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e ]上至少存在一点x 0，使得f （x 0）≥g（x 0）成立，求实数a 的取值范围．2016年天津市河北区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】通过解二次不等式求出集合A，求出B的补集，然后求解它们的并集．【解答】解：因为集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|1≥x≥﹣2}，所以B={x|x＜0}所以A∪B={x|x≤1}，故选B．2．若实数x，y满足条件，则z=x﹣3y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2）时，截距﹣z取最大值，z取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（1，2）时，截距﹣z取最大值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=1﹣3×2=﹣5故选：A3．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．i＞4？B．i＜4？C．i＞5？D．i＜5？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出变量P的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i=1，T=0，P=15满足判断框内的条件，执行循环体，i=2，T=1，P=5满足判断框内的条件，执行循环体，i=3，T=2，P=1满足判断框内的条件，执行循环体，i=4，T=3，P=满足判断框内的条件，执行循环体，i=5，T=4，P=此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为，即i=5时退出循环，故继续循环的条件应为：i＜5？故选：D．4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．24B ．40C ．36D ．48【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱柱切去两个小棱锥得到的，用棱柱的体积减去两个小棱锥的体积即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱柱切去两个大小相等的小棱锥得到的，三棱柱的底面为侧视图中三角形，底面积S==6，三棱柱的高h=8，∴V 三棱柱=Sh=48，切去的小棱锥的底面与棱柱的底面相同，小棱锥的高h ′=2，∴V 棱锥=Sh ′=4，∴几何体的体积V=V 三棱柱﹣2V 棱锥=48﹣2×4=40． 故选：B ．5．下列结论错误的是（ ）A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题B ．“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的充分不必要条件C ．命题：“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣x ≤0”D ．命题：“若x 2﹣3x +2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x +2≠0” 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据p ∨q 的真假判断，一真即真，全假为假，判断A ； c=0时，由“a ＞b ”不能得出“ac 2＞bc 2”，即可判断B ；根据命题“∃x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＞0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，即可判断C ．根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p ”，判断D ．【解答】解：根据p ∨q 的真假判断，一真即真，全假为假，利用“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，正确；c=0时，由“a ＞b ”不能得出“ac 2＞bc 2”，不正确；命题：“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”是特称命题，∴否定命题是“∀x ∈R ，x 2﹣x ≤0”，正确；根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p ”，可得命题：“若x 2﹣3x +2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x +2≠0”，正确， 故选：B ．6．设曲线y=x 2及直线y=1所围成的封闭图形区域D ，不等式组所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，该点恰好在区域D 内的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，用定积分表示出曲线y=x2与直线y=1围成的封闭图形的面积，再求出不等式组所确定的区域的面积为2，即可求得结论【解答】解：联立曲线y=x2及直线y=1，解得x=±1，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S==（）=．不等式组所确定的区域的面积为2，∴在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为=，故选：D．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c=2，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，运用双曲线的定义求得2a=2，然后求得离心率e．【解答】解：抛物线y2=8x焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，则n2=24，即有P（3，±2），可得左焦点F'为（﹣2，0），由双曲线的定义可得2a=|PF'|﹣|PF|=﹣=7﹣5=2，即a=1，即有e==2．故选C．8．已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；【解答】解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知i为虚数单位，复数=3+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：3+i．10．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD 于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=30°，那么⊙O2的半径为3．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据切割线定理和割线定理，证出EP2=EA•EB，代入题中数据解得EB=4，从而得到AB=3．再在△ABM中利用正弦定理加以计算，即可得出⊙O2的半径．【解答】解：∵PE切⊙O1于点P，∴EP2=EC•ED．∵ED、EB是⊙O2的两条割线，∴EC•ED=EA•EB．∴EP2=EA•EB，即22=1•EB，得EB=4，因此，△ABM中AB=EB﹣EA=3，∠AMB=30°，设⊙O2的半径为R，由正弦定理，得，即2R=，解之得R=3．故答案为：3．11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】题设条件中只给出，a=2，，欲求b的值，可由这些条件建立关于b的方程，根据所得方程进行研究，判断出解出其值的方法【解答】解：∵∴bcsinA=，即bc×=，∴bc=3 ①又，a=2，锐角△ABC，可得cosA=由余弦定理得4=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2×3×，解得b2+c2=6 ②由①②解得b=c，代入①得b=c=故答案为12．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C1，C2相交于点M，N，则弦MN的长为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】将两曲线极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由半径r的值，利用垂径定理及勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：∵ρ=2sinθ，∴ρ2=2ρsinθ，又，且ρ2=x2+y2，∴x2+y2=2y，即C1：x2+（y﹣1）2=1；曲线C2在直角坐标系中是过原点且倾斜角为的直线，即C2：y=x，∴圆心（0，1）到直线y=x的距离d=，∵圆的半径r=1，∴由勾股定理可得，MN=2=，则弦MN的长为．故答案为：．13．已知△ABC是边长为2的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则•的最大值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先，建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后，求解其最大值．【解答】解：如下图所示，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，∵该正三角形ABC的边长为2，∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），E（0，﹣1），F（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则﹣≤x0≤，∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），∴•=﹣x02+3，∵﹣≤x0≤，∴•的最大值为3，当点M在边BC上时，∵直线BC的斜率为﹣，∴直线BC的方程为：，设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，∵=（﹣x0，x0﹣4），=（x0，x0），∴•=2x02﹣4，∵0≤x0≤，∴•的最大值为0，当点M在边AC上时，∵直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为：，设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0，x0），∴•=﹣4x02﹣4，∵﹣≤x0≤0，∴•的最大值为3，综上，最大值为3，故答案为：3．14．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是[e﹣2.2] ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣1不大于最小值，且m+1不小于最大值即可．【解答】解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]，∴对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，即有|lnx﹣|≤1，即m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣1≤1且m+1≥e﹣1，∴e﹣2≤m≤2．故答案为：[e﹣2，2]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=1﹣2sin（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x+）在区间[﹣，0]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数周期公式即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+）=cos（2x+），由x∈[﹣，0]，利用余弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣2sin（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]=1﹣2sin2（x+）+2sin（x+）cos（x+）=cos（2x+）+sin（2x+）=cos2x，∴f（x）的最小正周期T=π．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+）=cos（2x+），令g（x）=cos（2x+），∵g（x）在[﹣，﹣]上为增函数，在[﹣，0]上为减函数，且g（﹣）=cos（﹣）=﹣1，g（﹣）=，g（0）=cos=1，∴g（x）在区间[﹣，0]上的最大值为，最小值为﹣1，即f（x+）在区间[﹣，0]上的最大值为，最小值为﹣1．…16．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．0 100 200∴EX=0×+100×+200×=．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE；（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．18．已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，∴c2+（0﹣）2=，解得c=，…∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2由a2=b2+c2得，b=，…∴椭圆C的方程是；…（2）由（1）得点A的坐标（，1），∵（λ≠0），∴直线l的斜率为k OA=，…则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得，，∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，…∴|MN|=|x2﹣x1|===，∵点A到直线l的距离d==，∴△AMN的面积S===≤=，…当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．…19．已知数列{a n}是公比为正整数的等比数列，若a2=2且a1，a3+，a4成等差数列，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）定义：为n个正数P1，P2，P3，…，P n（n∈N*）的“均倒数”，（ⅰ）若数列{b n}前n项的“均倒数”为（n∈N*），求数列{b n}的通项b n；（ⅱ）试比较++…+与2的大小，并说明理由．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}是公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（Ⅱ）（ⅰ）由新定义，可得：，整理，再将n换成n﹣1，相减即可得到所求；（ⅱ）判断：＜2，由放缩法，可得＜，再由累加法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得到．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}是公比为q，由題意a1，a3+，a4成等差数列，即为2（a3+）=a1+a4，即，即（2q2﹣1）（q﹣2）=0，∵q为正整数，∴q=2，故a n=2n﹣1．（Ⅱ）（ⅰ）由题意有：，∴①②由①﹣②得：（n≥2），又b1=1，∴（n∈N*）．（ⅱ）判断：＜2，证明如下：由题意：n≥2而，∴=．20．已知函数．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出切点坐标，然后求出f'（x），从而求出f'（1）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；（Ⅱ）先求导函数，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后将a分离，利用基本不等式可求出a的取值范围；（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数，∴f（1）=1﹣1﹣ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1﹣1=1．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1．…（Ⅱ）．要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．即：ax2﹣x+a≥0得：恒成立．由于，∴，∴∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是．…（III）∵在[1，e]上是减函数∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]f'（x）=令h（x）=ax2﹣x+a当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即）=≥1解得a≥∴实数a的取值范围是[，+∞）2016年8月12日。

天津市河西区2008年高考数学(理)三模考试试卷第I 卷（选择题 共50分）一. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. i 是虚数单位，设复数z 满足i z i21=+，则z=（ ） A. i -1B. 21i +-C. i --1D. 21i -2. 设集合}1|||x {<=x M ，}log |{2a x x N <=则“0<a ”是“N M ⋂=N ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 把函数x y 2=的图象按向量)3,2(-=a 平移，得到)(x f y =的图象，则)(x f 的表达式为（ ）A. 322-+x B. 322--x C. 223++x D. 223--x 4. 设b a , 是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ）A. 22b a < B. b a ab 22< C. 222b a ab +< D.ba ab < 5. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040，（a 为常数）表示的平面区域面积是16，那么实数a 的值是（ ）A. 123+B. 123+-C. 2D. 6-6. 以双曲线191622=-y x 的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是（ ） A. 0161022=+-+x y x B. 091022=+-+x y x C. 0161022=+++x y xD. 091022=+++x y x7. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面11D BC 所成的角为（ ）A. 22arctanB.6π C.4πD. 21arctan8. 已知函数)(sin32)(R x x Rx f ∈=π的图象上相邻的一个最高点与一个最低点恰好都在圆222R y x =+上，则)(x f 的最小正周期为（ ）A. 4B. 34C. 8D. 389. 已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数x 满足)5()3(x f x f +=-，且)5()1(-=-x f x f ，当]4,2[∈x 时，x x f 2)(=，则（ ）A. )2007()2006(f f > B. )2009()2007(f f > C. )2008()2009(f f >D. )2007()2008(f f > 10. 已知函数m x x f m x ,40(3)(≤≤=-为常数）的图象过点)(),31,1(x f 的反函数)(1x f -，则21)]([)(x fx F -=)(21x f --的值域为（ ）A. [2，5]B. [1，5]C. [1，10]D. [2，10]第II 卷（非选择题 共100分）二. 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在题中横线上） 11. 已知772210732)1()1()1()1(x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ ，则7321a a a a ++++ 的值是 。

天津市河西区2016年高考数学一模试卷（文科）（解析版）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设i是虚数单位，若复数z满足（2- 5i）z=29，则z=（）2 - 5i B . 2+5i C. - 2- 5i D.- 2+5iH H 1在区间［-=, w］上随机取一个数x, cosx的值介于0到可之间的概率为£I ktB. C.3 2 2:开始｝1M = 11S = 1A. 12B. 24C. 48D. 1201 2 24.".-一”是函数y=cos 2ax- si n 2ax的最小正周期为n'的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件5 .直线二--「I .H1 - ■ r分割成的两段圆弧长之比为（）A . 1：1B . 1：2 C. 1 : 3 D . 1 : 46.已知函数i :■1 = 1 . ：■：亠的零点为X0,则下列结论正确的是（）A.-心｝1 1"訶＞戶B .卢＞1叫＞療如图所示的程S值为（C •「一 厂■■■■D -■ =:";■-7•已知双曲线C 1：厂=1(a >0,b >0)的焦距是实轴长的 2倍•若抛物线C 2：x 2=2pya 2b 2(p >0)的焦点到双曲线 C i 的渐近线的距离为 2,则抛物线C 2的方程为( )A x 2= yB x 2=——:__yC x 2=8yD x 2=16y'3 ' 3'& 如图所示，在△ ABC 中，AD=DB ，F 在线段 CD 上，设，.•；==「，J =x ；+y '， 则一 + '的最小值为()K yA • 6+2 ；B • 9「C • 9D . 6+4 —二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分•把答案填在题中横线上.9 •设全集 U=R ，集合 A=｛X |X 2V 1｝, B=｛x|x 2-2x > 0｝，则 A n ( ?R B ) = ___________10 •某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ________________ •11 •若曲线f (x ) =acosx 与曲线g (x ) =x +bx+1在交点(0, m )处有公切线，则 a+b= ___________ •31 + a 马+ a呂12 •已知等差数列｛a n ｝的公差d M 0，且纳,3卫9构成等比数列｛b n ｝的前3项，则a 24-a 4+a 1013 •如图，以AB=4为直径的圆与△ ABC 的两边分别交于 E , F 两点，/ ACB=60 °则 EF= ___________I+ I 丄2a的取值范围是_____________三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在△ ABC中，/ A、/ B、/ C所对的边长分别为a, b, c,其中b=6 , △ ABC的面积为15.其外接圆半径为5.(1)求sin2B的值；(2)求厶ABC的周长.16. 某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60, 90](单位：克)，脂肪的摄入量控制在[18, 27](单位：克).某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主，1千克食物A含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(I)如果某学生只吃食物A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(n)为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花费的钱数.17 .如图，在四棱锥A - BCDE 中，平面ABC 丄平面BCDE，Z CDE= / BED=90 ° AB=CD=2，DE=BE=1，盂n『7，F为AD的中点.(I)求证：EF//平面ABC ;(n)求证：AC丄平面BCDE ;(川)求直线AE与平面ABC所成角的正切值.18 •等差数列｛a n｝的前n项和为S n,数列｛b n｝是等比数列，满足a i=3 , b i=1, b2+S2=10, a5 -2b2=a3 •(I)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；n为奇数(n)令Cn =爼设数列｛C n｝的前n项和T n,求T2n.b n,"为偶数h, ■2 219.已知F i, F2分别是椭圆- ’=1 (a>b>0)的左右焦点，B是椭圆的上顶点,a2 X的延长线交椭圆于点A，过点A垂直于x轴的直线交椭圆于点C.(2)若F1C丄AB，求椭圆的离心率.20.设函数f (x) =ae x(x+1)(其中e=2.71828…)，g (x) =x2+bx+2，已知它们在有相同的切线.(I)求函数f (x) , g (x)的解析式;(n)求函数f (x )在[t, t+1] (t>- 3) 上的最小值;(川)若对？ X>- 2, kf (x)> g (x)恒成立，求实数k的取值范围.BF2，且|BF2|=匚求椭圆的方程; x=0处(1)若点C坐标为2016年天津市河西区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 .设i 是虚数单位，若复数 z 满足（2- 5i ） z=29，则z=（ ）A . 2 - 5iB . 2+5iC . - 2 - 5iD .- 2+5i【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.故选：B .【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.n iB.C.：.【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件Cos x 的值介于 0到三”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率. 【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为 二 -■ -匚一」_.£ £••• 一一：二二-匚..丄解得 ^—二二二^ 或—In ••• “os x 的值介于0至”包含的基本事件构成的区间长度为——£由几何概型概率公式得cos x 的值介于0到，之间的概率为 P= 1 故选A .【点评】 本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式.易错题.【解答】解: 由（2 - 5i ） z=29，得_ 2_9 _ _ 29（2+邑）_29（2+5i ） r .P - 亠 5i ）〔2#抒 ~29~~ ' 2 .在区间［- , ］上随机取一个数x , cosx 的值介于0到二■之间的概率为（3 .如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（A . 12B . 24C . 48D . 120【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 退出循环，输出 S 的值为120 . 【解答】解：模拟执行程序，可得 n=1, S=1 满足条件 n w 5, S=1, n=2 满足条件 nw 5, S=2, n=3满足条件 n w5, S=6, n=4满足条件 n w 5, S=24, n=5满足条件 n w5,S=120, n=6 不满足条件n w 5，退出循环，输出S 的值为120. 故选：D .【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图， 正确理解循环结构的功能和会使用判断框中 的条件判断何时跳出循环结构是解题的关键，属于基础题.1 2 24.是函数“=cos 2ax - sin 2ax 的最小正周期为n '的（ ）A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件 C.充分必要条件D •既不充分也不必要条件（开］-1 1“=崔 一S , n 的值，当n=6时不满足条件n w 5,［结束〕【分析】先证充分性：把代入函数解析式，利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析2式，找出3的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期为n成立；再研究必要性，把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，由周期为3求出3的值为•或-,故必要2 2性不一定成立，从而得到前者是后者的充分不必要条件.【解答】解：函数y=cos22ax-sin22ax=cos4ax,••• 3=|4a| ,T^^2L_= n,即a=±丄，故不必要；Hal 22 2当a= 时，y=cos x - sin x=cos2x ,T 3=2 ,T= n,故充分，则a=寺是函数y=cos22ax- sin22ax的最小正周期为n'的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，用到的知识有二倍角的余弦函数公式，函数的周期公式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键.5. 直线j ■■■ U .-4/11 /. 1 : - ■/ :分割成的两段圆弧长之比为（）A. 1 : 1B. 1: 2C. 1 : 3D. 1 : 4【分析】求出圆的圆心，半径r和圆心（1, 0）到直线x - :- 2=0的距离，由此能求出直线丁- -二-L圆相交的弦所对的圆心角，从而能够求出直线〔乔…、「二.［分割成的两段圆弧长之比.2 2【解答】解：•••圆（x- 1）+y =1的圆心（1, 0）,半径r=1 ,.圆心（1, 0）到直线x - 「- 2=0的距离：11^0-21 1d=：-,设直线祗一圆相交的弦所对的圆心角为a,—：迁厂一二=1： 2故选：B .【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用， 是中档题，解题时要注意点到直线的距离公 式的合理运用.6.已知函数i ：• |二丨：.：•：丄的零点为x o ,则下列结论正确的是()x A .厂八 B .「一丄J_C .「-厂■■ ■■D —r【分析】利用函数零点的定义以及判定定理，求得 x o €( 1, 2),可得•••「•、=、lnx o的大小关系.【解答】解：•••函数：.■ != 1, -「的零点为xo ,则xo >0，且lnxo=.xx 0再根据 f ( x )在(0, +s)为增函数，f (1) = - 1v 0, f (2) =ln2 -> 0, f (1) f (2) 2v 0,可得 x °€( 1, 2),「-> 2,■■,,€( 1 , 2), lnx o €( 0, In2 ),■ 11 > In x 0,故选：C .【点评】 本题主要考查函数零点的定义以及判定定理，属于基础题.7.已知双曲线C 1： =1(a >0,b >0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C 2：x 2=2py•••直线:.--二-「I R 二［分割成的两段圆弧长之比为:丄，解得-a2 b2(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(2；,• p=8. a•••抛物线C 2的方程为x 2=i6y .【点评】本题考查抛物线的简单性质， 点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算 能力.8 .如图所示，在△ ABC 中， AD=DB , F 在线段 CD 上，设「■'=-,「. =；,,：. =x +y ,1 4则+的最小值为()x ycA . x 2=^^yB . x 2=332 2C . x =8yD . x =16y【分析】利用双曲线C i ：二-二=1 (a >0, b >0)的焦距是实轴长的 2倍，推出a , b的关系，求出抛物线的焦点坐标, 通过点到直线的距离求出 P ,即可得到抛物线的方程.【解答】解：•••双曲线C ：—-—=1(a >0,a 2+b 2.• c=2a ，即=4,2 a:, a双曲线的一条渐近线方程为:2抛物线 C 2: x =2py (p > 0) 的焦点(0,三)到双曲线C i 的渐近线的距离为2,••• 2=A. 6+2「B . 9 一C. 9 D . 6+4 —【分析】F在线段CD上，"=x】+y ；一= .J+y「，利用向量共线定理可得：2x+y=1 .再利用乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【解答】解：T F在线段CD上，訂=x 一+y. = .、.|+y卜，2x+y=1 . x, y> 0.•••—+」（2x+y）—：丄=6+'丨：■「•*=6+4 二，当且仅当y=2^x=2 -二时K y x y K y Vs y取等号.故选：D.【点评】本题考查了向量共线定理、乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.二、填空本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9 .设全集U=R，集合A={X|X12V 1}, B={x| x2- 2x > 0}，则 A n ( ?R B ) = [0, 1).【分析】求出集合A , B,利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：集合A={X|X2V 1}= (- 1,1), B={x|x2—2x > 0} = (—a, 0 )U( 2, +^), 即?R B=[O, 2],故A n(?R B) =[ 0, 1)[0, 1).故答案为：【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合A , B的元素是解决本题的关键，比较基础.2 - JT10. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ ■1i_L【分析】由三视图知该组合体是：一个四棱锥沿着右侧面挖去一个半圆锥得到的,求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解：由三视图知该几何体的直观图为:即从四棱锥P- ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，•••四棱锥P-ABCD底面是边长为2的正方形、高为2, 圆锥底面圆的半径是1高为2，顶点是P,•••所求的体积v== ' --3 2 38- n=.，g - 71故答案为：- .【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.12. 已知等差数列｛a n｝的公差d z 0，且引,3宀9构成等比数列｛ b n｝的前3项，则'a2+ a4+ a io【分析】31,33, 39构成等比数列｛b n｝的前3叽可得-=3139,化为:3i=d.代入辺+ a4+ a 10 即可得出.【解答】解：T 31, 33, 39构成等比数列｛b n｝的前3项，・2_…::=3139,•- =31 (31 + 8d),化为：31=d.J =二一:=• J由三视图a2+a4+ a10 3 且］+13d 16d 8故答案为：'.8【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13•如图，以AB=4为直径的圆与△ ABC的两边分别交于E, F两点，/ ACB=60 °则EF=2 .【分析】由圆的内接四边形性质定理，结合三角相似的判定定理可以证得，△ CEF s^ CBA , 则我们可以找到EF与已知长度的AB边之间的比例等于两个相似三角形的相似比，故求出相似比是解决本题关键，由/ ACB=60。

天津市河西区2017届高三数学三模考试试题理（扫描版）
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第Ⅰ卷（共40分）一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合{}2230x x x A =+-<，{}240x xx B =-≤，则AB =( )A ．(]3,4-B ．()3,4-C ．(]0,1D ．(]1,4-2。

设变量x ,y 满足约束条件2030x y y kx y k +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,且目标函数z y x =-的最大值是4，则k 等于（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-3.某程序框图如图所示，其中n *∈N ,若程序运行后，输出S 的结果是（ )A ．()312n n - B ．()()3212n n ++ C ．()()3212n n -+D ．()()3212n n +-4.函数()log 2af x x x =-+（0a >，且1a ≠)有且仅有两个零点的充要条件是（ )A ．01a <<B ．1a >C ．12a <<D ．2a >5. 如图，在半径为10的圆O 中，90∠AOB =，C 为OB 的中点,C A 的延长线交圆O 于点D ,则线段CD 的长为( ) A ．5B ．25C ．35D ．536。

已知离心率为2的双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >)的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若∆AOB 的面积为3则抛物线的方程为（）A ．22yx = B ．23y x = C ．24yx =D ．26yx =7。

已知()f x 为R 上的减函数,则满足()111f f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭的实数x 的取值范围是( )A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()(),11,2-∞D ．()(),12,-∞+∞ 8。

已知函数()243,1ln ,1x x x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩，若()f x a ax +≥，则a 的取值范围是（ )A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．(],2-∞-D ．(],0-∞第Ⅱ卷(共110分）二、填空题(每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.i 是虚数单位,复数z 满足()()225z i i --=,则z = ．10。

天津市河西区2016届高三数学第三次模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·棱柱的体积公式Sh V = ·棱锥的体积公式Sh V 31=其中S 表示棱柱（锥）的底面面积h 表示棱柱（锥）的高 ·球的表面积公式24r S π= 其中r 表示球的半径一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数ii z -=123（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知回归直线的斜率的估计值是2.1，样本点的中心为4(，)5，则回归直线方程是（A ）42.1+=∧x y（B ）52.1+=∧x y （C ）2.02.1+=∧x y（D ）2.195.0+=∧x y（3）如图所示的程序框图，若输入的A ，S 的值分别为0，1，则输出的S 的值为（A ）4 （B ）16 （C ）27 （D ）36（4）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（A ）257（B ）27 （C ）26（D ）28（5）双曲线12222=-b x a y 0(>a ，)0>b 与抛物线281x y =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直于y 轴的弦长为332，则双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）332（C ）223（D ）3（6）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x （θ为参数且0[∈θ，]2π），点x P (，)y 在曲线C 上，则xx y 1-+的最大值是 （A ）33（B ）23 （C ）232+ （D ）333+ （7）已知定义在R 上的函数x x x f cos )(2+=，则三个数)1(f a =，)41(log 21f b =，)22(log 2f c =的大小关系为 （A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）c a b >>（D ）b a c >>（8）已知函数⎩⎨⎧-+-=),2(2,11)(x f x x f ),0(]0,2[+∞∈-∈x x ，若方程a x x f +=)(在区间2[-，]4内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（A ）}02{<<-a a（B ）02{<<-a a 或}1=a（C ）02{<<-a a 或}21<<a（D ）}02{≤<-a a河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数 学 试 卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． （9）某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为6:5:1，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年、中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 . （10）函数)3sin(2ϕ+=x y （2πϕ<）图象的一条对称轴为直线12π=x ，则=ϕ .（11）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，12323=-S S ，则公差d 等于 . AD ∥BC ，过点B三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6π=A ，b c 2)31(=+.（Ⅰ）求C 的值；（Ⅱ）若31+=⋅，求a ，b ，c .（16）（本小题满分13分）美国篮球职业联赛（NBA）的总决赛采用的是七场四胜制，即若有一队先胜四场，则该队获胜，比赛就此结束.2015年的总决赛是在金州勇士队和克里夫兰骑士队之间展开的.假设在一场比赛中，金州勇士队获胜的概率为0.6，克里夫兰骑士队获胜的概率是0.4，各场比赛结果相互独立.已知在前4场比赛中，双方各胜2场.（Ⅰ）求金州勇士队获得NBA总冠军的概率；（Ⅱ）设两队决出NBA总冠军还需要比赛的次数为X，求X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，四边形D D CC 11为矩形，已知1BC AB ⊥，4=AD ，2=AB ，1=BC ，21=DD .（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；（Ⅱ）求平面11D AC 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点P 是线段D C 1上的一个动点（端点除外），试判断直线1BC 与直线CP 能 否垂直？并说明理由.（18）（本小题满分13分）设椭圆E ：112222=-+ay a x 的焦点在x 轴上. （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设1F ，2F 是椭圆E 的左、右焦点，P 是椭圆E 上第一象限内的点，直线P F 2 交y 轴于点Q ，并且Q F P F 11⊥，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上.（19）（本小题满分14分）数列}{n a 满足311=a ，且2≥n 时，112---=n n n a a a .（Ⅰ）证明数列}11{-na 为等比数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若对任意的*N n ∈，不等式)1)(1(21a a ++n n a 2)1(⋅≤+λ 恒成立，求λ的 取值范围；（Ⅲ）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：对任意的正整数n 都有)211(32nn S -≥.（20）（本小题满分14分）已知函数是定义在e -[，0()0 ，]e 上的奇函数，当0(∈x ，]e 时, x ax x f ln )(+=（R a ∈）.（Ⅰ）求)(x f 的解析式； （Ⅱ）设xx x g ln )(=，e x -∈[，)0，求证：当1-=a 时，21)()(+>x g x f 恒成立； （Ⅲ）是否存在实数a ，使得当e x -∈[，)0时，)(x f 的最小值是3？如果存在， 求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由.河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. DCDA BDCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）15 （10）4π（11）2 （12）64 （13）415 （14）34 三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理C cB b sin sin =，b c 2)31(=+， …………2分所以=CB sin sin 2321+，即=--CC sin )6sin(ππ2321+， 解得1tan =C ，即4π=C .…………6分 （Ⅱ）解：由31+=⋅，得31cos +=C ab ， …………8分 由（Ⅰ）得4π=C ，即得3122+=ab ，…………10分则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++=Cc A a b c ab sin sin 2)31(3122，解得⎪⎩⎪⎨⎧=+==2312c b a .…………13分（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设金州勇士队获得NBA 总冠军的事件为A+⨯=6.06.0)(A P +⨯⨯6.06.04.0648.06.04.06.0=⨯⨯…………6分 （Ⅱ）解：随机变量X 的取值为2，3，…………7分==)2(X P 52.04.04.06.06.0=⨯+⨯，==)3(X P +⨯⨯6.06.04.06.04.06.0⨯⨯+⨯⨯+4.04.06.04.06.04.0⨯⨯48.0=随机变量X 的分布列为：…………11分X 的数学期望是48.0352.02)(⨯+⨯=X E 48.2=.…………13分（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：由四边形D D CC 11为矩形，得1CC ∥1DD ，又因为⊄1CC 平面1ADD ，⊂1DD 平面1ADD ，所以1CC ∥平面1ADD ，同理BC ∥平面1ADD ，C CC BC =1 ，所以平面1BCC ∥平面1ADD ， …………3分 又⊂1BC 平面1BCC ，所以1BC ∥平面1ADD .…………4分（Ⅱ）解：在平面ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，所以BC AB ⊥， 又因为1BC AB ⊥，B BC BC =1 ，所以⊥AB 平面1BCC ， 所以1CC AB ⊥，又因为四边形D D CC 11为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点，所以⊥1CC 平面ABCD ，因为1CC ∥1DD ，所以⊥1DD 平面ABCD ， …………6分 过D 在底面ABCD 中作AD DM ⊥，所以DA ，DM ，1DD 两两垂直，以DA ，DM ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系，则0(D ，0，)0，4(A ，0，)0，4(B ，2，)0，3(C ，2，)0，3(1C ，2，)2，0(1D ，0，)2，则1(1-=AC ，2，)2，4(1-=AD ，0，)2， 设平面11D AC 的一个法向量m x (=，y ，)z ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111AD m AC m ，即⎩⎨⎧=+-=++-024022z x z y x ，取2=x ，得m 2(=，3-，)4， 平面1ADD 的法向量n 0(=，1，)0， 所以>=<n m ,cos 29293-=⋅⋅n m n m ， 即平面11D AC 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值为29293.…………9分（Ⅲ）解：设0((1∈=λλDC DP ，)1，所以λ3(P ，λ2，)2λ， 所以1(1-=BC ，0，)2，33(-=λ，2-2λ，)2λ， 若CP BC ⊥1，则01=⋅BC ，解得3-=λ，…………12分 这与10<<λ矛盾，所以直线1BC 与直线CP 不可能垂直.…………13分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为椭圆E 的焦点在x 轴上且焦距为1，所以41122=-a ，解得852=a ，…………2分 椭圆E 的方程为1385822=+y x .…………4分（Ⅱ）解：设0(x P ，)0y ，c F -(1，)0，c F (2，)0，其中122-=a c ， 由题意，c x ≠0，则直线P F 1的斜率c x y k P F +=001，直线P F 2的斜率cx y k P F -=002， 故直线P F 2的方程为)(00c x cx y y --=， 当0=x 时，0x c cy y -=，即点Q 的坐标为0(，)00x c cy -，…………7分因此直线Q F 1的斜率为01x c y k Q F -=， …………8分因为Q F P F 11⊥，所以000011x c yc x y k k Q F P F -⋅+=⋅1-=， 化简得)12(22020--=a x y ，…………10分代入椭圆方程，因为点P 是椭圆E 上第一象限内的点， 所以20a x =，201a y -=，…………12分 即点P 在定直线01=-+y x 上.…………13分（19）（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：由题意，1211-=-n n a a ，所以)11(2111-=--n n a a ，2≥n ， 所以211111=---n n a a ，而311=a ，则2111=-a ， …………2分因此数列}11{-na 是首项为2，公比为2的等比数列， n n a 211=-，即nn a 211+=.…………4分（Ⅱ）解：由*N n ∈时，不等式)1)(1(21a a ++n n a 2)1(⋅≤+λ 恒成立，得)1)(1(2121a a n ++⋅λ≤+)1(n a ， …………5分令)1)(1(2121a a b n n ++⋅=)1(n a + ，则)2111(2111++++=n n n b b ，又12111+++n 单调递减，得2121112111++≤+++n 56=， 所以)2111(2111++++=n n n b b 153<≤，即1+>n n b b ，所以数列}{n b 单调递减，有==1max )(b b n )2111(211++⨯32=，则λ≤32， 因此λ的取值范围是32[，)∞+.…………9分（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知n n n a 221211+>+=)21(211-+=n ，得2212121-->>n n n a a a 1121a n ->> ，…………12分所以n a a a +++ 21)21211(311-+++≥n 2121131--⨯=n )211(32n-=， 所以)211(32nn S -≥. …………14分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设[,0)x e ∈-，则(0,]x e -∈，所以()ln()f x ax x -=-+-，又因为()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，所以()()ln()f x f x ax x =--=--，故函数()f x 的解析式为⎩⎨⎧+--=x ax x ax x f ln )ln()(],0()0,[e x e x ∈-∈.…………3分（Ⅱ）证明：当[,0)x e ∈-且1a =-时，)ln()(x x x f ---=，x x x g --=)ln()(，设ln()1()2x h x x -=+-， 因为11()1x f x x x+'=--=-， 所以当1e x -≤≤-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减； 当10x -<<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增， 所以min ()(1)10f x f =-=>， 又因为2ln()1()x h x x --'=， 所以当0e x -≤<时，()0h x '≤，此时()h x 单调递减，所以=-=)()(max e h x h 12121211=+<+e min )(x f =， 所以当[,0)x e ∈-时，()(),f x h x >即1()()2f xg x >+. …………8分（Ⅲ）解：假设存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-时，()ln()f x ax x =--有最小值是3， 则11()ax f x a x x-'=-=， …………9分（ⅰ）当0a =，[,0)x e ∈-时，1()0f x x'=->．()f x 在区间[,0)e -上单调递增， min ()()1f x f e =-=-，不满足最小值是3，（ⅱ）当0a >，[,0)x e ∈-时，()0f x '>，()f x 在区间[,0)e -上单调递增，)()(min e f x f -=01<--=ae ，也不满足最小值是3，（ⅲ）当10a e -≤<，由于[,0)x e ∈-，则1()0f x a x'=-≥，故函数()ln()f x ax x =-- 是[,0)e -上的增函数，所以)()(min e f x f -=31=--=ae ，解得41a e e=-<-（舍去）， （ⅳ）当1a e <-时，则当1e x a -≤<时，1()0f x a x '=-<，此时函数()ln()f x ax x =--是减函数；当10x a <<时，1()0f x a x'=->，此时函数()ln()f x ax x =--是增函数，所以)1()(min a f x f =3)1ln(1=--=a，解得2a e =-，…………13分综上可知，存在实数2a e =-，使得当[,0)x e ∈-时，()f x 有最小值3. …………14分。