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例题_任意角的三角函数-优质公开课-人教A版必修4精品

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人教高中数学A版必修4 任意的三角函数 精讲精析

人教高中数学A版必修4 任意的三角函数 精讲精析

1·2 任意的三角函数1·2·1 任意角的三角函数1. 任意角三角函数的定义（1） 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ） 则P 与原点的距离①把比值叫做的正弦 记作：②把比值叫做的余弦 记作：③把比值叫做的正切 记作：上述三个比值都不会随P 点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan 无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：R R2. 三角函数的符号αα02222>+=+=y x y x rr yαr y =αsin r xαr x =αcos x yαx y =αtan ααZ)(2∈+=k k ππααr y=αsin r x=αcos x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°＝sin30° cos390°＝cos30°sin （－330°）＝sin30° cos （－330°）＝cos30° 诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4. 三角函数的集合表示：1．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的六个三角函数值。

【解析】因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =， ,2xa y a ==当0sin y a r α>====时，Z ∈k ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+ksin 1y yy MPr α====cos 1x xx OM r α====tan y MP ATAT x OM OAα====cosx r α===；1tan 2;cot ;sec 22αααα====；当0sin5y a r α<====-时，cos5x r α===-；1tan 2;cot ;sec 2αααα====2． 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。

人教A版高中数学必修四_课件1.2任意角三角函数(共3份)

人教A版高中数学必修四_课件1.2任意角三角函数(共3份)
OP r
tan MP b
OM a
锐角三角函数可以用
其终边与圆的交点的坐标 来表示
二、基础知识讲解
1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与圆O交于P(x,y)，则
r x2 y2
y
y 叫做α的正弦，记作 sin
r
即sin y
P(x, y)
α
x
r 叫做α的余弦，记作
r
即cos x
y
付出就要赢得回报，这是永恒的真理，自古以来很少有人能突破它。然而，如果有人能够超越它的限制，付出而不求回报，那么他一定会得 到得更多。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。
二、基础知识讲解 单位圆
在平面直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆。
y
A
R=1
O
x
二、基础知识讲解 1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆O交于P(x,y)，则
y
y叫α的正弦 sin α y
P(x, y)
x叫α的余弦 cos x
α
y 叫α的正切
四、课时小结
1、任意角的三角函数的定义
sin α y , cos α x ,
r
r
tan α y x
2、三个三角函数的在各象限的符号
记法：
一全正 二正弦
三正切 四余弦
作业：P20 习题1.2
2 3(1) (3) 4(2) (4)
锐角三角函数定义
设α是一个锐角，它的终边与单位圆交于P(a,b)，则
sin =- 4 ,
5
O
x

最新新课标人教A版高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数(三)公开课课件

最新新课标人教A版高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数(三)公开课课件

复习引入
练习2.
B 若 sin θ cos θ 0, 则θ在 ________ .
B. 第一、三象限 D. 第二、四象限
A. 第一、二象限 C. 第一、四象限
复习引入
练习3.
若 cos θ 0，且sin2 0则θ的终
边在 ____
A. 第一象限 C. 第四象限 B. 第三象限 D. 第二象限
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
1. 三角函数的定义 2. 诱导公式
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
复习引入
练习1.
tan600 的值是 ____________ .
x P(x , y)
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos 有向线段．
的
的终边 的终边 y y

O
x
O
x
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos 有向线段．
的
的终边 的终边 y y
P(x , y)

O
x
O
x
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos 有向线段．
的
的终边 的终边 y y
o
3 A. 3
3 B. 3
C. 3
D. 3
复习引入
练习1.
D __ . tan600 的值是 __________
o
3 A. 3
3 B. 3
C. 3
D. 3
复习引入
练习2.
若 sin θ cos θ 0, 则θ在 ________ .
B. 第一、三象限 D. 第二、四象限

人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任意角的三角函数

人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任意角的三角函数

2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
y
OMP ∽ OMP
P
﹒ P(a,b)
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
O
M M
x
OP OP
tan MP M P
OM OM
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
我们发现：1、角度一定时，角的终边上任意一点的纵 坐标与该点到原点的距离的比值就一定。
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
例题
例1：已知角 的终边经过点 P0 (3,4)， 求角的正弦、余弦、正切值 .
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
例题
变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0)，求角α 的正弦、余弦、正切值．
例题
tan( ) ?
3
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课引入 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
x叫α的余弦
cos x
y x 叫α的正切 tan y
x
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
O

高中数学人教A版必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(1) 课件

高中数学人教A版必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(1) 课件

o
x
p
α终边
T
例7：不查表，比较大小。
⑴ sin 2
3
和
sin 4
5
解：
y 1
由图形得到
sin 2π > sin 4π
3
5
o 1x
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
y 1
o 1x
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
tan 2π < tan 4π
sinθ < 0 tanθ > 0
探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值 是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
{ k2 , k Z }
∴
终边相同
点的坐标相同
同一三角函数值
诱导公式
终边相同的角的同一三角函数值相 等，由此得到（公式一）：
sin(α + k 2π) = sinα;
示角α的正弦值和余弦值吗？
y
| MP |= y = sinα
P（x，y）
| OM |= x = cosα
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆 的交点为P（x，y），则 sin y ，
cos x都是负数，此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
p
Mo
y
M
o
p
y α终边
p(x , y)
x
oM x
正弦线
余弦线

人教A版高中数学必修4课件-任意角的三角函数 (共15张PPT)

人教A版高中数学必修4课件-任意角的三角函数 (共15张PPT)

r 13
tan y 5
x 12
方法小结：已知终边上任意一点P（x,y），先 计算OP=r，再用三个比值求出。
• 1.已知 P( 3，y) 为角的终边上的一点，且 sin 13 则 y
值为（ A ）
13
A. 1 2
B. 1 2
C. 1 2
B. 1 4
• 2.已知角终边上一点 p x,3 x 0 ，且 cos 10 x ，求
sin 7 1 , cos 7 3 , tan 7 3
﹒6
2
6
2
63
x A
﹒
方法小结：作出图形，利用终边与单
B 位圆相交，找出交点的坐标，再利用三角
函数的定义求出相应的值。
例2 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
sin , tan
10
•
3（．1）求下0；列各角（的2三）个；三角函数（值3：）3 ．
2
归纳 总结
1. 内容总结： 任意角的三角函数的概念. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
作业：
课本第20页 习题1.2A组 1、2题.
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0 P0 M0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
Px, y P0 3,4
于是，sin y y | MP | M0P0 4 ;
1 OP

高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角


S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋

高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)



tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?

人教A版高中数学必修四(1.2.1-2任意角的三角函数)

y
P2 P
xf ( )21 2 cos
1
OM
x
x P1 1 2
[ 3 2k , 3 2k ] (k Z)
小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变 化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别 是原点O和点A（1，0）.
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
知识探究（二）：正切线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用哪条有向线段表示 角α的x正切值最合适？
yT P
tan y AT
x
O MA x
思考2：若角α为第四象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则tan y 是负数，此时用哪条有向线段表示角α x 的正切值最合适？
的正切值最合适？
y
T
tan y AT
x
AM O Ax
P
T
思考5：根据上述分析，你能描述正切线
的几何特征吗？
yT P
y P
O
Ax
A
O
x
T
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tanα.
思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角 α的正切线的含义如何？ y
P
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。

人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件


概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
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17 tan 7 3 tan 7 0 4 tan 8 8 8 4 sin 4 2 sin 2 0 5 sin 3 3 3
② tan 0. 证明:如果①②式都成立,那么θ为第三象限角. 若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第三或第 四象限,也可能位于y轴的非正半轴上 又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于第一或 第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于 第三象限.于是θ为第正切值. 3 5 解: 在直角坐标系中,作出 AOB = 3 5 3 y
sin 3 2
5 3
5 1 cos 3 2
5 tan 3 3
O
A x
1 3 B 2 , 2
.
9 2 2 cos cos 2 cos 4 4 4 2
11 3 tan 6
3 tan 2 tan 6 6 3
例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角θ为第三角限角 sin 0, ①
tan 360 196 sin196 0 6 tan 556
例1 求下列三角函数值

9 11 1 sin1480 10; 2 cos ; 3 tan 4 6 解:1 sin1480 10 sin 40 10 4 360 sin 40 10 0.6451
练习 确定下列三角函数值的符号 1 sin156 >0
16 cos 0 2 cos cos 2 5 5 5 cos 450 720 cos 270 0 3 cos 450