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线性代数天津城市建设学院 理学院上页 下页在以往的学习中，我们接触过二元、 三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导 出的线性方程组常常含有相当多的 未知量，并且未知量的个数与方程 的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程的个数相 等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行 列式这个计算工具.上页 下页第一章内容提要§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7行列式•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.上页 下页§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.二元线性方程组 由消元法，得⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2(a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − a12b2(a11a22 − a12a21 ) x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0 时，该方程组有唯一解 b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = x2 = a11a22 − a12a21 a a −a a11 22 12 21上页下页二元线性方程组⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.b1a22 − a12 b2 ⎧ ⎪ x1 = a a − a a ⎪ 11 22 12 21 ⎨ ⎪ x = a11b2 − b1a21 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩上页下页二元线性方程组⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2其求解公式为我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.a11 数表 a 21a12 a22a11 记号 a21a12 a22b1a22 − a12 b2 ⎧ ⎪ x1 = a a − a a ⎪ 11 22 12 21 ⎨ ⎪ x = a11b2 − b1a21 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即D=a11 a21a12 a22= a11a22 − a12 a21a 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列. 下页上页原则：横行竖列二阶行列式的计算 ——对角线法则主对角线 副对角线a11 a21a12 a22= a11a22 − a12 a21即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积上页下页⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 二元线性方程组 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2若令D= b1 b2 a12 a22a11 a21a12 a22 D2 =(方程组的系数行列式)D1 =a11 a21b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为b1 a12 D1 b2 a22 , x1 = = D a11 a12 a21 a22a11 b1 D2 a21 b2 . x2 = = D a11 a12 a21 a22上页下页例1求解二元线性方程组 ⎧ 3 x1 − 2 x2 = 12⎨ ⎩ 2 x1 + x2 = 1解因为 D =3 −2 2 1= 3 − ( −4) = 7 ≠ 012 − 2 D1 = = 12 − ( −2) = 14 1 1 3 12 D2 = = 3 − 24 = −21 2 1D1 14 = = 2, 所以 x1 = 7 D D2 −21 x2 = = = −3 7 D上页 下页二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11 a21 a31a11 a21副对角线a12 a22 a32a13a13 a23 a33原则：横行竖列引进记号 主对角线a12 a22 a32a31a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 a33二阶行列式的对角线法则 并不适用！ 下页上页称为三阶行列式.上页下页上页下页三、三阶行列式与三元线性方程组上页下页上页下页上页下页上页下页§2全排列及其逆序数上页下页上页下页上页下页上页下页排列的记号j1 j2 j3…jn ——— 一个n级排列• （ j1 j2 j3…jn ）——— 所有n级排列 • 例如：（ j1 j2 j3 ）表示所有3级排列 当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312上页 下页二、逆序与逆序数对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序3 2 5 1 4逆序 逆序思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.上页 下页定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 排列 i1 i 2i n的逆序数通常记为 t ( i1 i2in ) .奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数 等于零，因而是偶排列.上页 下页计算排列的逆序数的方法逆序数计算方法1：(从最左面的的数开始算) 前 → 后设 p1 p 2p是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定 n由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1大的数排在 p1 前面，记为 t 1 ； 再看有多少个比 p 2 大的数排在 p 2前面，记为 t 2 ; ……则此排列的逆序数为 t = t1 + t 2 +最后看有多少个比 p n 大的数排在 p n前面，记为 t n ;+ tn逆序数计算方法1：(从最右面的的数开始算) 后 → 前 逆序数计算方法1：(从最小的数开始算) n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为 t1;再看有多少个比2大的数排在2前 面，记为t2;继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记tn=0;则此排列的 逆序数为: t =t +t + +t1 2 n上页下页例1：求排列 32514 的逆序数.解：法一 左 → 右 法二 右 → 左 法三 小→大 练习： 解：t (32514) = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5 t (32514) = 0 + 0 + 2 + 1 + 2 = 5t (32514) = 3 + 1 + 1 = 5求排列 453162 的逆序数.t=9上页下页三、例题与讲解例：判断排列135…(2k-1)246…(2k）的奇偶性。
第一章行列式§1.1 n阶行列式§1.2 n阶行列式的性质教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算，了解和掌握n阶行列式的基本性质教学重点：n阶行列式定义及计算义，n阶行列式的基本性质教学难点：n阶行列式定义、基本性质及利用行列式的性质计算行列式教学时数：4学时教学方法：课堂讲授教学内容与过程：1．课堂考勤2．讲授新课§1.1 n 阶行列式定义一、导言线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) n级排列及其奇偶性1.定义：由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。
例1 4321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．2.定义：在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序。
在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列 j1j2…j n的逆序数记为τ(j1 j2… j n)。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例3 在4级排列中，τ(3412)=2+2=4，故4级排列3412为一个偶排列。
τ(2341)=1+1+1=3，故4级排列2341为一个奇排列。
定理1.1：一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性 （二） 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 2=a 11b 2-a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0，方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1.2）容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。
