2015-2016学年南京外国语学校九年级(上)月考数学试卷

南京外国语学校2022-2023学年九年级上学期阶段练习(一)数学试卷（含答案详解）一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）下列是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+0＝0B．x﹣2＝x2C．x2﹣2＝x（x﹣2）D．2．（2分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°4．（2分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（）A．144πB．256πC．400πD．441π5．（2分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°6．（2分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（）A．B．C．D．二、填空题（第8题每空1分，其余每空2分，共21分）7．（2分）已知一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是、1，写出这个方程．8．（3分）在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝30°，∠B与∠C的度数之比是1：3，则∠B＝°，∠C＝°，∠D＝°．9．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是．10．（2分）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是．11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝°．12．（2分）如图，P A与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．13．（2分）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA、CB．如图，若AC ＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，则FD的长为．14．（2分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为cm．15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC 相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为．16．（2分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为，折痕CD的长为．三、解答题（共87分）17．（10分）请用两种方法解方程x2+mx﹣2m2＝0（m为常数）．18．（10分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．19．（10分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．20．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打折销售．21．（8分）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．23．（6分）作图题（要求；保留作图痕迹，写出简要作图步骤）（1）如图①，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M均为格点．以格点O为圆心，AB为直径画圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝；（2）现有半圆形纸片，如图②，点O是圆心，直径AB的长是12cm，分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G，H．使得剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．（13分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE交于点F．（1）如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，求∠BAF的度数；（2）现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，①∠AFB的度数是否改变？请说明理由；②线段AF长度的最大值是，最小值是．南京外国语学校2022-2023学年九年级上学期阶段练习(一)数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）下列是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+0＝0B．x﹣2＝x2C．x2﹣2＝x（x﹣2）D．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C．x2﹣2＝x（x﹣2），x2﹣2＝x2﹣2x，2x﹣2＝0，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】化为一般形式，求出判别式Δ即可得答案．【解答】解：将原方程整理得x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（）A．144πB．256πC．400πD．441π【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，即这个花坛的面积为400π．故选：C．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．5．（2分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°【分析】根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，由此判断A、B选项；过点O 作OF⊥AC于F，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项．【解答】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，∴∠OAD＝∠ODA＝25°．∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．故选项D不符合题意；∵∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，∴OF＝DE．在直角△AFO中，OA＞OF．∵OD＝OA，∴DE＜OD．故选项C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．切线的性质：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．6．（2分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．二、填空题（第8题每空1分，其余每空2分，共21分）7．（2分）已知一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是、1，写出这个方程3x2﹣4x+1＝0．【分析】由一元二次方程的二次项系数是3，可设这个方程为3x2+bx+c＝0，利用根与系数的关系，可求出b，c的值，进而可得出该一元二次方程．【解答】解：∵一元二次方程的二次项系数是3，∴设这个方程为3x2+bx+c＝0．∵该方程的两个根分别是，1，∴﹣＝+1，＝×1，∴b＝﹣4，c＝1，∴这个方程为3x2﹣4x+1＝0．故答案为：3x2﹣4x+1＝0．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．8．（3分）在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝30°，∠B与∠C的度数之比是1：3，则∠B＝50°，∠C＝150°，∠D＝130°．【分析】根据圆内接四边形的性质可知，圆内接四边形的对角互补，已知∠A＝30°，可求出∠C＝150°，已知∠B与∠C的度数之比是1：3，求出∠B＝50°，进而求出∠D＝130°．【解答】解：∵∠A＝30°，∠A+∠C＝180°，∴∠C＝150°，∵∠B与∠C的度数之比是1：3，∴∠B＝50°，∵∠B+∠D＝180°，∴∠D＝130°．故答案为：50，150，130．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握性质并灵活运用，圆内接四边形的对角互补．9．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是1．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出⊙O的半径，即可解答．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∴AD＝＝＝2，∴⊙O的半径是1，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2分）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是30°．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC⊥AB，∴，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝49°．【分析】根据AC是⊙O的切线，可以得到∠BAC＝90°，再根据∠AOD＝82°，可以得到∠ABD的度数，然后即可得到∠C的度数．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∵∠AOD＝82°，∴∠ABD＝41°，∴∠C＝90°﹣∠ABD＝90°﹣41°＝49°，故答案为：49．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2分）如图，P A与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为32°．【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥P A，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OA，∵P A与⊙O相切于点A，∴OA⊥P A，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠C＝64°，∴∠C＝∠AOP＝32°，故答案为：32．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．13．（2分）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA、CB．如图，若AC ＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，则FD的长为2．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD＝EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，∴四边形FCED为矩形，∴FD＝EC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，则BC＝＝4，∵OD⊥BC，∴EC＝BC＝2，∴FD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．14．（2分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为cm．【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，∵长边与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵AC⊥BC，AD⊥OB，∴四边形ACBD为矩形，∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．设⊙O的半径为rcm，则OA＝OB＝rcm，∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，在Rt△OAD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴82+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC 相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为或．【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，∵圆与AC相切于点A．∴OA⊥AC，由题意可知：D点位置分为两种情况，①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，∴OA＝r，OC＝4﹣r，∵AC＝2，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，解得：r＝，即AD＝AO＝；②当∠ADC＝90°时，AD＝，∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，∴AD＝，综上所述，AD的长为或，故答案为：或．【点评】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．16．（2分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为60°，折痕CD的长为4．【分析】设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD 于点H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质可证明∠EO′F ＝60°，则可得的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，则的度数为60°；∵∠AOB＝120°，∴∠O′OF＝60°，∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，∴OO′＝＝＝4，∴O′H＝2，∴CH＝＝＝2，∴CD＝2CH＝4．故答案为：60°，4．【点评】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．三、解答题（共87分）17．（10分）请用两种方法解方程x2+mx﹣2m2＝0（m为常数）．【分析】根据公式法以及因式分解法即可求出答案．【解答】解法一：x2+mx﹣2m2＝0，a＝1，b＝m，c＝﹣2m2，Δ＝m2﹣4×1×（﹣2m2）＝9m2，x＝＝，x1＝﹣2m，x2＝m．解法二：x2+mx﹣2m2＝0，（x﹣m）（x+2m）＝0，x﹣m＝0或x+2m＝0，x1＝﹣2m，x2＝m．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用公式法以及因式分解法，本题属于基础题型．18．（10分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5，±2，﹣2，﹣8．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；（2）利用“平均数法”解方程即可．【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5．（x+5）2﹣22＝5，（x+5）2＝5+22．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣8．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、﹣2、﹣8，故答案为：5、±2、﹣2、﹣8；（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6．（x﹣1）2﹣42＝6，（x﹣1）2＝6+42．x﹣1＝±，∴x＝1±，直接开平方并整理，得．x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．19．（10分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据题意列出不等式，解不等式即可；（2）根据题意确定k的值，计算即可．【解答】解：（1）Δ＝（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）＝4k2﹣12k+9﹣4k2+4＝﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，解得，k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k是符合条件的最大整数，∴k＝0，x2﹣4x＝0，x＝0或4，当x＝0时，x2+mx﹣1＝0无意义；当x＝4时，42+4m﹣1＝0m＝．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打八折销售．【分析】（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天可售出（140﹣2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设该商品打y折销售，利用售价＝原价×折扣率，结合售价不超过50元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天可售出20+10×＝（140﹣2x）件，依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60，又∵商家想尽快销售完该款商品，∴x＝50．答：每件售价应定为50元．（2）设该商品打y折销售，依题意得：62.5×≤50，解得：y≤8，∴该商品至少需打八折销售．故答案为：八．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21．（8分）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．【分析】（1）连结OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧长公式即得的长为；（2）根据AB切⊙O于点A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，从而AD平分∠BDO．【解答】（1）解：连结OA，如图：∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴＝＝；（2）证明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠OAD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ODA，∴AD平分∠BDO．【点评】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．求证：AM＝BM，，．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴，．【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．23．（6分）作图题（要求；保留作图痕迹，写出简要作图步骤）（1）如图①，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M均为格点．以格点O为圆心，AB为直径画圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝；（2）现有半圆形纸片，如图②，点O是圆心，直径AB的长是12cm，分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G，H．使得剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形．【分析】（1）取格点C，连接CM，BC，BM，由勾股定理可得OM＝OB＝BC＝CM，则四边形MOBC为菱形，可得∠ABM＝∠CBM，延长BC，交于点P，即可得，则点P即为所求．（2）分别以点A，B为圆心，线段OA的长为半径画弧，分别交半圆于点E，F，取点A 为点G，点O为点H，点B为点G'，连接EG，EF，FH，EH，FG'，则可得∠EHG＝∠EHF＝∠FHG'＝60°，进而可得四边形EFHG与四边形EFG'H为边长为6cm的菱形．【解答】解：（1）如图①，取格点C，连接CM，BC，BM，并延长BC，交于点P，则点P即为所求．（2）如图②，分别以点A，B为圆心，线段OA的长为半径画弧，分别交半圆于点E，F，取点A为点G，点O为点H，点B为点G'，连接EG，EF，FH，EH，FG'，则四边形EFHG或四边形EFG'H即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、圆周角定理、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．【解答】证明：（1）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．25．（13分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE交于点F．（1）如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，求∠BAF的度数；（2）现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，①∠AFB的度数是否改变？请说明理由；②线段AF长度的最大值是，最小值是4﹣．【分析】（1）证明△ACE≌△BCD（SAS），推出∠CAE＝∠CBD＝20°，可得结论；（2）①结论：∠AFB的度数是60°，为定值．利用全等三角形的性质，“8字型“的性质解决问题即可；②P判断出点F的运动轨迹，分别求出AF的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）如图1中∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴CA＝CNB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD＝20°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝20°；（2）①结论：∠AFB的度数是60°，为定值．理由：如图1中，设AC交BF于点J．∵△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠BJC＝∠AJF，∴∠AFJ＝∠BCJ＝60°，∴∠AFB是定值；②如图2中，∵∠AFB＝∠ACB＝60°，∴点F在△ABC的外接圆⊙O上运动，即图2中弧MN上运动．过点O作OH⊥AB于点H．在Rt△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝BH＝，∠OAH＝30°，∴AO＝＝＝，∴AF的最大值为2OA＝，当CD⊥BF时，AF的值最小如图3中，此时M，F重合．连接CF∵△ACE≌△BCD，∴∠AEC＝∠CDB＝90°，∵AC＝5，CE＝3，∴AE＝＝＝4，∵∠CDF＝∠CEF＝90°，CD＝CE，CF＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF＝CE•tan30°＝，∴AF的最小值＝AE﹣CF＝4﹣．故答案为：，4﹣．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

2015-2016学年第一学期九年级语文第一次月考测试卷（2015.10）温馨提示：1.请在答题卡上作答在试卷上作答无效。

2.本试卷共四大题，23小题，满分150分，考试时间150分钟。

一、积累与运用(28分)1．请用正楷字将下面的汉字抄写在田字格里，要求书写规范、端正、整洁。

(2分)成吉思汗弥足珍贵2．给加点字注音，改正加横线词语中的别字。

(4分)(1) 分．外妖娆 (2) 亵．渎(3) 无限暇想（4）格尽职守3．按要求完成文后各题。

(4分)①人认识了字，最大的快乐就是读书。

②很多年以前，我一个人在偏僻的乡村“插队落户”，是书驱散了我的孤独，使我在灰暗的岁月中保持着对未来的希望，保持着对理想的憧憬。

③在一盏飘摇不定的油灯下，书引我远离封闭和黑暗，向我展现光明和辽阔。

④前不久，有一家报纸的读书副刊约我写一段读书的话，我写了如下的文字：“在黑夜里，书是烛火；在孤独中，书是朋友；在喧嚣中，；在困慵中，书给人激情。

⑤有好书作伴，即便在狭小的空间，也能上天入地，振翅远翔。

”（1）第②句运用了两个“保持”，可用一词替换其中一个，使表达更丰富。

（1分） （2）第③句前后语句不呼应，请写出你的修改建议。

（1分）（3）请依据上下文的句式、句意，把第④句补写完整。

（2分）4．默写填空。

(12分)．（1）足蒸暑土气，背灼炎天光，，。

（《观刈麦》）（2）望长城内外，；大河上下，。

（《沁园春·雪》）（3）《出师表》中写出创业维艰临危受命的千古名句，。

（4）《月夜》诗中通过对昆虫的描写，使人感到春已来临的诗句是:__________ __，___________。

（5）燕子来时新社，梨花落后清明。

，，日长飞絮轻。

（《破阵子》）（6）何处望神州？。

千古兴亡多少事？悠悠。

（《南乡子·登京口北固亭有怀》）5．请依据你阅读名著的积累和体验，填写相应的内容。

(6分)（1）《水浒传》，又名《忠义水浒传》，我国四大古典小说之一，是我国第一部歌颂的长篇章回体小说，鲜明地表现了的主题。

2015-2016学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分)1．（3分）（2015秋•峨眉山市校级月考）在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣12．（3分）（2011•张家界）下列事件中，不是必然事件的是（）A．对顶角相等B．内错角相等C．三角形内角和等于180° D．等腰梯形是轴对称图形3．（3分）（2013•市中区模拟）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为1的面所对的面上的数字是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．34．（3分）（2010•庆阳）如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=的图象过点A，则k=（）A．3 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣65．（3分）（2013•市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2=0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（）A．0 B．2 C．0或2 D．﹣26．（3分）（2015秋•峨眉山市校级月考）如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=θ，那么AB等于（）A．a•sinθB．a•tanθC．a•cosθD．7．（3分）（2013•市中区模拟）如图，一条流水生产线上L1、L2、L3、L4、L5处各有一名工人在工作，现要在流水生产线上设置一个零件供应站P，使五人到供应站P的距离总和最小，这个供应站设置的位置是（）A．L2处B．L3处C．L4处 D．生产线上任何地方都一样8．（3分）（2013•市中区模拟）关于抛物线y=﹣（x+1）2﹣1，下列结论错误的是（）A．顶点坐标为（﹣1，﹣1）B．当x=﹣1时，函数值y的最大值为﹣1C．当x＜﹣1时，函数值y随x值的增大而减小D．将抛物线向上移1个单位，再向右移1个单位，所得抛物线的解析式为y=﹣x29．（3分）（2016•河南模拟）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A．2 B．C．6 D．210．（3分）（2013•市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（）A．63 B．31C．32 D．30二、填空题：（本大题共6题.每题3分，共18分）11．（3分）（2015•庆阳）的平方根是______．12．（3分）（2013•市中区模拟）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组，这些学生共有______人．13．（3分）（2015春•路桥区期末）如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC 边的中点，OE=1，则AB的长是______．14．（3分）（2013•市中区模拟）已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的两实数根，则代数式（α﹣2）（β﹣2）=______．15．（3分）（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．16．（3分）（2010•南宁）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为______．三、（本大题共3题.每题9分，共27分）17．（9分）（2015秋•峨眉山市校级月考）计算：．18．（9分）（2015秋•峨眉山市校级月考）先化简，再求值：，其中x的值是方程x2+x=0的根．19．（9分）（2013•市中区模拟）已知：如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC 的交点，点E是AB的中点．证明：OE⊥AB．四、（本大题共3题.每题10分，共30分）20．（10分）（2015秋•峨眉山市校级月考）青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等．（不写作法，但要保留作图痕迹）（1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；（2）若∠BAC=66°，求∠BPC．21．（10分）（2014•拱墅区二模）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的图象上的概率；（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y＞x﹣1的概率．[选做题]从22、23两题中选做一题，如果两题都做，只以22题计分22．（10分）（2016•湖北模拟）如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）23．（2015秋•峨眉山市校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实根x1，x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．五、（本大题共2题.每题10分，共20分）24．（10分）（2013•市中区模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，D是PQ上一点，且DC=DQ．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）如果CD=AB，求BP：PO的值．25．（10分）（2016•井研县一模）如图，点A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；（3）若C是x轴上一动点，设t=CB﹣CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．六、（本大题共2题.26题12分，27题13分，共25分）26．（12分）（2013•市中区模拟）如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．（1）证明：AB•CD=PB•PD．（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．（3）已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，﹣3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．27．（13分）（2015秋•峨眉山市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=，点O 是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分)1．B；2．B；3．A；4．C；5．A；6．B；7．B；8．C；9．D；10．B；二、填空题：（本大题共6题.每题3分，共18分）11．±2；12．48；13．2；14．-2；15．4；16．；三、（本大题共3题.每题9分，共27分）17．；18．；19．；四、（本大题共3题.每题10分，共30分）20．；21．；[选做题]从22、23两题中选做一题，如果两题都做，只以22题计分22．；23．；五、（本大题共2题.每题10分，共20分）24．；25．；六、（本大题共2题.26题12分，27题13分，共25分）26．；27．；。

2022-2023学年江苏省南京外国语学校方山分校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共6题，每题2分，共12分）1．（2分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，12．（2分）方程（x+2）2＝1的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝33．（2分）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为（）A．B．4C．D．25．（2分）如图，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，则下列关系式中，正确的是（）A．θ＝α+βB．θ＝2α+2βC．θ+α+β＝180°D．θ+α+β＝360°6．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．2二、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）7．（2分）若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．8．（2分）一元二次方程2x2﹣6x+1＝0的两根之和是．9．（2分）已知x＝m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣4m﹣3的值为．10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C＝80°，∠CEA＝30°，则∠CDA＝°．11．（2分）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：．12．（2分）如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A、B，若P A＝2，∠P＝60°，则⊙O的半径为．13．（2分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．14．（2分）已知△ABC的边AB＝2cm，⊙O是其外接圆，且半径也为2cm，则∠C的度数是．15．（2分）已知一个点到圆上的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是．16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝（用含α的代数式表示）．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．18．（6分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD．与相等吗？为什么？19．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC与E、F．（1）求的度数；（2）求证：BE＝CF．20．（8分）已知关于x的方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．21．（8分）如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的内切圆；（2）在图2中，若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB＝∠CDB，BC＝BD，求作点D．22．（7分）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．设销售单价定为x元．据此规律，请回答：（1）商店日销售量减少件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？23．（8分）如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝25°，请用，两种方法求∠P的度数．24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC与AD的延长线相交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．26．（10分）我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，解下列方程：（1）＝x；（2）x+2＝6．27．（11分）问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB BE，由题意知∠E＝90°，故只需证明OB DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB＝∠BAD，因为OB＝OC，所以，因为BD＝BA，所以，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．参考答案一、选择题（本题共6题，每题2分，共12分）1．C；2．A；3．B；4．B；5．B；6．A；二、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）7．相离；8．3；9．3；10．20；11．x2﹣35x+34＝0；12．；13．；14．30°或150°；15．2或3；16．180°；三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（1）x1＝3，x2＝﹣1．（2）x1＝3，x2＝5．；18．；19．；20．；21．（1）（2）作图见解析部分．；22．20（x﹣10）；（x﹣8）；23．；24．（1）见解析；（2）见解析．；25．；26．；27．⊥；∥；∠CBO＝∠BCO；∠BAD＝∠BDA；∠ECB ＝∠CBO。

九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 3．下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．长方形C．菱形D．正方形4．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等5．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=3896．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．4D．27．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．88．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定9．下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形10．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16二、填空题（每小题3分，共27分）11．将方程（x+1）2=2x化成一般形式为，其二次项是，一次项是，常数项是．12．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是．14．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根，则m．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为cm，BC的长为cm．16．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是度．17．菱形两条对角线长度比为1：，则菱形较小的内角的度数为度．18．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．19．如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为．三、解答题（共43分）20．解下列方程：（1）x2﹣18=7x（用配方法解）（2）4x（x﹣1）=1（用配方法解）（3）2x2﹣4x﹣1=0 （用公式法解）（4）（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0 （用因式法解）21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．22．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？四.附加题：（附加题20分）25．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．26．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0是一元一次方程；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程；③x+3=是分式方程；④（a2+a+1）x2﹣a=0是一元二次方程；⑤=x﹣1是无理方程，故选：B．2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．3．下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．长方形C．菱形 D．正方形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故本选项正确；B、长方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；D、正方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误．故选A．4．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等 B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．【解答】解：A、对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A错误；B、四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故B正确；C、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故C错误；D、四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故D错误；故选：B．5．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，由题意，得：389（1+x）2=438．故选B．6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．4D．2【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA 与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，AB==，∴菱形的周长是：4AB=4．故选：C．7．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．【解答】解：矩形的面积=2×4=8；S=×1×2=1；△AEF∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．8．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．【解答】解：x2﹣10x+21=0，因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A9．下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形【考点】多边形．【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进而得出即可．【解答】解；A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，正确，不合题意；B、每组邻边都相等的四边形是菱形，正确，不合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，符合题意；D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，不合题意；故选：C．10．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．二、填空题（每小题3分，共27分）11．将方程（x+1）2=2x化成一般形式为x2+1=0，其二次项是x2，一次项是0，常数项是1．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据完全平方公式，移项、合并同类项，可得答案．【解答】解：（x+1）2=2x化成一般形式是x2+1=0，其二次项是x2，一次项0，常数项为1，故答案为：x2+1=0，x2，0，112．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=2016．【考点】一元二次方程的解．【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0得：a+b﹣2015=0，即a+b=2016．故答案是：2016．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．【考点】正方形的判定；矩形的判定与性质．【分析】由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【解答】解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．14．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根，则m≥且m≠0．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到m≠0且△≥0，即32﹣4×m×（﹣4）≥0，求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根，∴m≠0且△≥0，即32﹣4×m×（﹣4）≥0，解得m≥﹣，∴m的取值范围为m≥﹣且m≠0．故答案为：≥﹣且m≠0．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为4cm，BC的长为2cm．【考点】矩形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据矩形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，推出BD=AC=2OA=4，OA=OB=AB=2，得出等边△OAB，求出∠ACB=30°，根据勾股定理即可求出B C．【解答】解：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB，∵AB=OA=2，∴BD=AC=2OA=4，OA=OB=AB=2，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=90°﹣60°=30°，由勾股定理得：BC===2．故答案为：4，2．16．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是22.5度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：∠ACE=∠AEC==67.5°；∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．故答案为22.5．17．菱形两条对角线长度比为1：，则菱形较小的内角的度数为60度．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】根据已知可得到菱形的较小的内角的一半的度数，从而就不难求得较小内角的度数．【解答】解：因菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得菱形较小的内角的一半的正切值为1：，则菱形较小的内角的一半为30°，则菱形较小的内角的度数为60°．18．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．【考点】菱形的性质．【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．19．如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为28．【考点】平移的性质．【分析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于CD，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．【解答】解：由勾股定理，得AB==6，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，∴五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（6+8）=28．故答案为：28．三、解答题（共43分）20．解下列方程：（1）x2﹣18=7x（用配方法解）（2）4x（x﹣1）=1（用配方法解）（3）2x2﹣4x﹣1=0 （用公式法解）（4）（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0 （用因式法解）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣18=7x，x2﹣7x=18，x2﹣7x+（）2=18+（）2，（x﹣）2=，x﹣=，x1=9，x2=﹣2；（2）4x（x﹣1）=1，4x2﹣4x+1=1+1，（2x﹣1）2=2，2x﹣1=，x1=，x2=；（3）2x2﹣4x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，x=，x1=，x2=；（4）（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0，（2﹣3x）（1+2﹣3x）=0，2﹣3x=0，1+2﹣3x=0，x1=，x2=1．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠F AD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠F AD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，∴∠F AD=∠FDA∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．22．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）由于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；（2）不存在符合条件的实数k．设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又+=，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果【解答】解：（1）由△=[（k+2）]2﹣4×k•＞0，∴k＞﹣1又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又∵+==0，∴=0，解得k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【考点】矩形的判定；正方形的判定．【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．24．某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）直接根据这样每天所获得的利润恰是销售收入的进行计算；（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则根据第一天的4万元增长到6.25万元列方程求解．【解答】解：（1）1.25÷=6.25（万元）所以第三天的销售收入是6.25万元；（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则4（1+m）2=6.25．解得m1=25%，m2=﹣2.25%（不合题意舍去）．答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率约是25%．四.附加题：（附加题20分）25．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；（2）由（1）进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可．【解答】解：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种情况，所以欢欢胜的概率是=；（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．26．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解．【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．∵CD=4t，AE=2t，又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t，∴DF=AE；解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，即当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：当∠EDF=90°时，DE∥B C．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t+4t=60，∴t=时，∠EDF=90°．当∠DEF=90°时，DE⊥EF，∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE，AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，∴60﹣4t=t，解得t=12．综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2C．1.5D．12．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．103．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12B．20和30 C．6和8 D．4和64．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线互相垂直6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等7．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列各图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形10．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．811．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形12．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每题4分，共20分）13．▱ABCD中，∠A=50°，则∠B=，∠C=，∠D．14．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．15．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm2．16．对角线长为2的正方形的周长为，面积为．17．等腰梯形的上、下底分别是3cm和5cm，一个角是135°，则等腰梯形的面积为．三、用心做一做，培养你的综合运用能力，相信你是最棒的18．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：△ADF≌△CBE．19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．20．已知：如图中，AD是∠A的角平分线，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．21．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．22．证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等．23．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥B D．求证：四边形OCED是菱形．24．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC与E，AE=BE，BF⊥AE与F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出您的猜想，再加以证明．25．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．参考答案与试题解析一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2 C． 1.5D．1考点：平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC=2AB﹣BC，继而可得出答案．解答：解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC，同理可证：AE=AB，∴2AB﹣BC=AE+FD﹣BC=EF=1cm．故选D．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．2．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．10考点：平行四边形的性质．分析：先利用平行四边形的性质求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性质得到△AEO ≌△CFO，即可求出四边形的周长．解答：解：已知AB=4，BC=5，OE=1.5，根据平行四边形的性质，AB=CD=4，BC=AD=5，在△AEO和△CFO中OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，所以△AEO≌△CFO，OE=OF=1.5，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+AB+EF=5+4+3=12．则EFCD的周长是12．故选C．点评：本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．3．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：平行四边形的长为10的一边，与两条对角线的一半构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据这个结论可以判断选择哪一个．。

某某省池州市石台中学2015-2016学年九年级数学下学期第一次月考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣22．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．5a2﹣3a2=2a C．（﹣a）2a3=a5D．5a+2b=7ab3．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师X超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米4．分式有意义，则x的取值X围是（）A．x＞1 B．x≠1C．x＜1 D．一切实数5．如图，下列说法错误的是（）A．若∠3=∠2，则b∥c B．若∠3+∠5=180°，则a∥cC．若∠1=∠2，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．李明家一周内每天的用电量是（单位：kwh）：10，8，9，10，12，7，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A．7和10 B．10和12 C．9和10 D．10和108．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：110．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．我们规定[a]]=2；[π]=3，按此规定[2020﹣]=．12．分解因式：4a2﹣16b2=．13．据调查，某市2012年商品房均价为7250元/m2，2013年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2015年商品房均价要下调到7200元/m2．问2014、2015两年平均每年降价的百分率是多少？若设两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：．14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是（填序号）．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=﹣3．16．解不等式：1﹣＞．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．18．如图，马路边安装的路灯由支柱上端的钢管ABCD支撑，AB=25cm，CG⊥AF，FD⊥AF，点G、点F分别是垂足，BG=40cm，GF=7cm，∠ABC=120°，∠BCD=160°，请计算钢管ABCD的长度．（钢管的直径忽略不计，结果精确到1cm．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某景点的门票价格规定如下表购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价12元10元8元某校八年（一）、（二）两班共100多人去游览该景点，其中（一）班不足50人，（二）班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：（1）两班各有多少名学生？（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．六、（本题满分12分）21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图某某息解答下列问题．（1）本次调查的学生人数为人；（2）补全频数分布直方图；（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是（只填所有正确结论的代号）；A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？七、（本题满分12分）22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．八、（本题满分14分）23．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值X围；（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么X围时，满足≤t≤1？2015-2016学年某某省池州市石台中学九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣2【考点】有理数大小比较．【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，∴﹣3＜﹣2＜0＜2，∴最小的数是﹣3．故选B．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．5a2﹣3a2=2a C．（﹣a）2a3=a5D．5a+2b=7ab【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，进行逐项分析解答，用排除法找到正确的答案．【解答】解：A、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误，B、原式=（5﹣3）a2=2a2，故本选项错误，C、原式=a2a3=a5，故本选项正确，D、原式中的两项不是同类项，不能进行合并，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，关键在于根据相关的法则进行逐项分析解答．3．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师X超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：20微米=20÷1 000 000米==2×10﹣5米，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．分式有意义，则x的取值X围是（）A．x＞1 B．x≠1C．x＜1 D．一切实数【考点】分式有意义的条件．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：由分式有意义，得x﹣1≠0．解得x≠1，故选：B．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．5．如图，下列说法错误的是（）A．若∠3=∠2，则b∥c B．若∠3+∠5=180°，则a∥cC．若∠1=∠2，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c【考点】平行线的判定与性质．【分析】直接利用平行线的判定方法分别进行判断得出答案．【解答】解：A、若∠3=∠2，则d∥e，故此选项错误，符合题意；B、若∠3+∠5=180°，则a∥c，正确，不合题意；C、若∠1=∠2，则a∥c，正确，不合题意；D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，当t=时，乙到达B城，y甲=250；综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②共两个，故选B．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．7．李明家一周内每天的用电量是（单位：kwh）：10，8，9，10，12，7，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A．7和10 B．10和12 C．9和10 D．10和10【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10、12，最中间的数是9，则这组数据的中位数是9；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10；故选C．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数8．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】由于a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论即可求解．【解答】解：∵a≠0，∴a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．A、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项错误；B、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确；C、图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；D、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．我们规定[a]]=2；[π]=3，按此规定[2020﹣]= 2015 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出的X围，再求出2020﹣的X围，即可得出答案．【解答】解：∵4＜＜5，∴﹣4＞﹣5，∴2016＞2020﹣＞2015，∴[2020﹣]=2015，故答案为：2015．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出2016＞2020﹣＞2015，难度不是很大．12．分解因式：4a2﹣16b2= 4（a+2b）（a﹣2b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】根据提取公因式，再运用公式法，可分解因式．【解答】解：原式=4（a2﹣4b2）=4（a+2b）（a﹣2b），故答案为：4（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式，分解到不能再分解为止．13．据调查，某市2012年商品房均价为7250元/m2，2013年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2015年商品房均价要下调到7200元/m2．问2014、2015两年平均每年降价的百分率是多少？若设两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设2014、2015两年平均每年降价的百分率是x，那么2014年的房价为7250（1+8.5%）（1﹣x%），2015年的房价为7250（1+8.5%）（1﹣x%）2，然后根据2015年的7200元/m2即可列出方程解决问题．【解答】解：设设两年平均每年降价的百分率为x%，根据题意得：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200；故答案为：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200．【点评】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是①②④（填序号）．【考点】几何变换综合题．【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；②易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式③根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．④当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，在△A1AD1与△CC1B中，，∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），故①正确；②易得△AC1F∽△ACD，∴解得：S△AC1F=（x﹣2）2（0＜x＜2）；故②正确；③∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AB=1，∴AC=2，∵x=1，∴AC1=1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB=D1C1，又AB∥BC1，∴四边形ABC1D1是菱形，故③错误；④如图所示：则可得BD=DD1=BD1=2，∴△BDD1为等边三角形，故④正确．综上可得正确的是①②④．故答案为：①②④【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】先算减法通分，再算除法，由此顺序化简，再进一步代入求得数值即可．【解答】解：原式===．当a=﹣3时，原式=．【点评】此题考查分式的化简求值，掌握运算顺序，化简的方法把分式化到最简，然后代值计算．16．解不等式：1﹣＞．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据解不等式的基本步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集．【解答】解：去分母，得：6﹣（x﹣3）＞2x，去括号，得：6﹣x+3＞2x，移项，得：﹣x﹣2x＞﹣6﹣3，合并同类项，得：﹣3x＞﹣9，系数化为1，得：x＜9．【点评】本题主要考查解不等式的能力，熟知解不等式的基本步骤是基础，去分母和系数化为1时注意不等号的方向是解不等式易错点．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【解答】解：∵PQ∥BC，∴，，∴MN∥BC，∴==，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【点评】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．18．如图，马路边安装的路灯由支柱上端的钢管ABCD支撑，AB=25cm，CG⊥AF，FD⊥AF，点G、点F分别是垂足，BG=40cm，GF=7cm，∠ABC=120°，∠BCD=160°，请计算钢管ABCD的长度．（钢管的直径忽略不计，结果精确到1cm．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据直角三角形的解法分别求出BC，CD的长，即可求出钢管ABCD的长度．【解答】解：在△BCG中，∠GBC=30°，BC=2BG=80cm，CD=≈41.2，钢管ABCD的长度=AB+BC+CD=25+80+41.2=146.2≈146cm．答：钢管ABCD的长度为146cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某景点的门票价格规定如下表购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价12元10元8元某校八年（一）、（二）两班共100多人去游览该景点，其中（一）班不足50人，（二）班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：（1）两班各有多少名学生？（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）设八年级（一）班有x人、（二）班有y人，根据两个班的购票费之和为1126元和824元建立方程组求出其解即可；（2）根据单独购票的费用大于团体购票的费用确定选择团体购票，可以节省的费用为1126﹣824元．【解答】解：（1）设八年级（一）班有x人、（二）班有y人，由题意，得，解得：．答：八年级（一）班有48人、（二）班有55人；（2）∵1126＞824，∴选择团体购票．团体购票节省的费用为：1126﹣824=302元．∴团体购票节省的费用302元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．六、（本题满分12分）21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图某某息解答下列问题．（1）本次调查的学生人数为60 人；（2）补全频数分布直方图；（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是ACD （只填所有正确结论的代号）；A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？【考点】扇形统计图；条形统计图．【专题】数形结合．【分析】（1）根据完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%．可求出抽查的学生人数；（2）根据总人数，现有人数为补上那12人，画图即可；（3）根据中位数、众数、频率的意义对各选项依次进行判断即可解答；（4）先求出60人里学生每天完成课外作业时间在120分钟以下的人的比例，再按比例估算全校的人数．【解答】解：（1）6÷10%=60（人）．（2）补全的频数分布直方图如图所示：（3）A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内，正确；B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数不在第三组内，错误；C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°．正确；D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15，正确．故答案为：60；ACD．（4）==60%，即样本中，完成作业时间不超过120分钟的学生占60%．∴560×60%=336．答：九年级学生中，课业负担适中的学生约为336人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．七、（本题满分12分）22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．八、（本题满分14分）23．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值X围；（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么X围时，满足≤t≤1？【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【分析】（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；（2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值X围；（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值X围：0≤m≤或≤m≤1．【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1当x=b时，y=﹣b+1．则，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1．当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1）当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移m个单位，则（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，∴0≤m≤或≤m≤1．【点评】本题考查了二次函数综合题型．掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．。

广东深圳锦华实验学校2015-2016学年度第一学期九年级第二次月考数学试题一、选择题（本大题共小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项 1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是【 】 A ．ax 2＋bx ＋c=0B ．21x ＋ x ＝2 C ．x 2＋2x ＝x 2－1 D ．3x 2＋1＝2x ＋22．下列关于x 的方程有实数根的是【 】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 3．具有四条边都相等且四个角都是直角的性质的四边形只有【 】 A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形4．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是【 】 A ．43 B ．85 C ．127 D ．215．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是【 】A ．B ．C ．D ．6．关于反比例函数y ＝x2的图象，下列说法正确的是【 】 A ．图象经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限 C ．两个分支关于x 轴成轴对称 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小7．如图，10×2网格中有一个△ABC ，下图中与△ABC 相似的三角形的个数有【 】A ．1个B ．2个C ．3个 D．4个8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， BD 平分∠ABC ，P 点是BD 的中点，若AD ＝6， 则CP 的长为【 】A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．在矩形ABCD 中， AB ＝5，BC ＝15，则CD 的长为______． 10．菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积是 ____．11．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点A 的坐标为（2，3），若以原点O 为位似中心，画△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，使△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比等于1：2，则点A ′的坐标__________．12．蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I （安） 与电阻R （欧）之间关系图象如图所示，若点P 在图 象上，当电流为2安时，电阻R 为________ 欧．13．请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上（填 “主视图”、“左视图”、“俯视图”）． （1）________；（2）________；（3）________． 14．△ABC 中，D 、E 分别是边AB 与AC 的中点，BC ＝4，下面四个结论：①DE ＝2；②△ADE ∽△ABC ；③△ADE 的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有___________．（只填序号） 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 15．用适当的方法解下列方程：x(x －2)＋x －2＝0 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）16．已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长17．如图，矩形ABCD ，AE ，CF 分别垂直对角线BD 于E ，F ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）若∠ABD ＝60°，AB ＝2，求AD 的长．CA B④③②①E AB C DABCDPI( FA BCD E（1） （2） （3） 正面五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）18．现有2个红球，1个白球和1个蓝球，它们除颜色外其它均相同，把这些球放入若干个不透明袋中搅匀，求恰好摸到1个红球和1个蓝球的概率，列表格． （1）把这4个球放入一个袋中，任意摸出两个球；（2）把一个红球和一个白球放入一个袋中，再把一个红球和一个篮球放入另一个袋中，分别从这两个袋中各摸一个球．19．已知：如图，一次函数y ＝x+b 的图象与反比例函数y ＝xk(k ＜0)的图象交于A 、B 两点，A 点坐标为（1，m ），连接OB ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，且△BOC 的面积为23（1）求k 的值；（2）求这个一次函数的解析式．（3）根据图象直接写出：当x 取何值时，反比例函数 的值大于一次函数的值．六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？21．已知：关于x 的一元二次方程x 2－(3m ＋1)x ＋2m 2＋m ＝0 （1）求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC 的两边的长是这个方程的两个实数要根，第三边的长为3，当 △ABC 为等腰三角形时，求m 的值及△ABC 的周长． 七、（本大题共小题，每小题10分，共20分）22．在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．过C 点作CG ∥AD ，交BA 的延长线于G ， 过A 作BC 的平行线交CG 于H 点．（1）若∠BAC ＝900，求证：四边形ADCH 是菱形； （2）求证：△ABC ∽△FCD ；（3）若DE ＝3，BC ＝8，求△FCD 的面积．23．如图．己知四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝DC ，且AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，对角线AC ＝l0cm ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）如图（2），若动点Q 从点C 出发，在CA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点P 从点B 出发，在BC 边上以每秒4 cm 的速度向点C 匀速运动，运动时间为t 秒（0≤t ＜2），连接BQ 、AP ，若AP ⊥BQ ，求t 的值； （3）如图（3），若点Q 在对角线AC 上，CQ ＝4cm ，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿BC 运动至点C 止．设点P 运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q 、P 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．GHA B C D E F 图（1） A B C D图（2） A Q P B C D 图（3）A Q PB CD2015—2016学年度九年级第一学期第二次月考试题数学试卷 答题卡__________ 班级__________ 姓名_________ 考号_________—————CD。

山东省泰安市新泰市羊流中学2016届九年级数学上学期第一次月考试题一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．如图，在△ABC中，DE∥BC， =，则下列结论中正确的是（）A． = B． =C． = D． =2．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．84．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． =D． =7．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A．B．C．D．8．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对9．下列命题中不正确的是（）A．圆有且只有一个内接三角形B．三角形只有一个外接圆C．三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点D．等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点10．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（）A．B． C．D．11．在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A．B．C．D．12．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．313．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．B．C．D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．B．C．D．115．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°17．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米18．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1 D．10119．⊙O内一点M到圆的最大距离为10cm，最短距离为8cm，那么过M点的最短弦长为（）A．1cm B．8cm C． cm D．9cm20．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米二、填空题（本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分）21．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．22．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．23．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为．24．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位．（≈1.4）三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）26．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．28．2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）29．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．2015-2016学年山东省泰安市新泰市羊流中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．如图，在△ABC中，DE∥BC， =，则下列结论中正确的是（）A． =B． =C． = D． =【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B选项均错误；∵△ADE∽△ABC，∴==， =（）2=，故C选项正确，D选项错误．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．2．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】由AD∥BE∥CF可得=，代入可求得EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，∵AB=1，BC=3，DE=2，∴=，解得EF=6，故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，故选D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． =D． =【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．7．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=， =，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=， =，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．8．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．9．下列命题中不正确的是（）A．圆有且只有一个内接三角形B．三角形只有一个外接圆C．三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点D．等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点【考点】命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、圆有无数个内接三角形，故本选项错误；B、三角形只有一个外接圆，正确；C、三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点，正确；D、等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点，正确；故选A．【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（）A．B． C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】探究型．【分析】连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=，则AD==，OD=，再利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为r，∵AB垂直平分半径OC，AB=，∴AD==，OD=，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（）2+（）2，解得r=．故选A．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角形内角和定理求出角的度数后解答．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∴设∠A=x，则∠B=2x．由三角形内角和定理得：x+2x+90°=180°，解得x=30°．∴cosA=cos30°=．故选A．【点评】本题较简单，利用三角形内角和定理及特殊角的三角函数值解答．12．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．3【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB==，故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，∴AB=2CD=10，根据勾股定理，BC===8，tanB===．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．B．C．D．1【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据AB=2BC直接求sinB的值即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA===；∴∠A=30°∴∠B=60°∴sinB=故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可．15．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A ．B ．C ．D ．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB ，AD=BC ，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB ，AD=BC ， ∴，故A 正确；∴， ∴，故B 正确； ∴，故C 错误；∴， ∴，故D 正确．故选C ．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．16．如图，在Rt△ABO 中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（ ）A ．点B 到AO 的距离为sin54°B ．点B 到AO 的距离为tan36°C ．点A 到OC 的距离为sin36°sin54°D ．点A 到OC 的距离为cos36°sin54°【考点】解直角三角形；点到直线的距离；平行线的性质．【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB•sin54°，求出AD，即可判断C、D．【解答】解：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、B选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故C选项正确，D选项错误；故选：C．【点评】本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．17．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．【解答】解：设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC==x，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．故选A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．18．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1 D．101【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．【解答】解：设AG=x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣x=100，解得：x=50．则AB=50+1（米）．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．19．⊙O内一点M到圆的最大距离为10cm，最短距离为8cm，那么过M点的最短弦长为（）A．1cm B．8cm C． cm D．9cm【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【分析】根据线段的和差，可得直径，根据垂径定理，可得AB的长，BC的长．【解答】解：如图，2OB=10+8=18cm，OB=9cm，OA=1cm，AB==4cm，AC=2AB=8cm，故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，利用垂径定理是解题关键．20．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵i==，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分）21．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为 5 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．故答案为5．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．22．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是8 米．【考点】相似三角形的应用．【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴=，CD=8米，故答案为：8．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．23．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为3+．【考点】解直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．24．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17 个这样的停车位．（≈1.4）【考点】解直角三角形的应用．【专题】调配问题．【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．【解答】解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，（56﹣5.04）÷3.1+1=50.96÷3.1+1≈16.4+1=17.4（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．解答错误【点评】考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．【解答】解：∵∠C=30°，∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=CD，∵CD=20米，∴AD=20米，在Rt△ADB中，=sin∠ADB，∴AB=AD×sin60°=20×=10米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．26．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．28．2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】过A作BC的垂线，设垂足为D．BD即为所求的高度．在Rt△ADC中，运用三角函数定义求出AD的值；进而可在Rt△ABD中，求出BD的值．【解答】解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°，∴AD=≈20.76．在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°，∴BD=AD×tan37°≈20.76×0.75=15.57≈15.6．答：气球应至少再上升15.6米．【点评】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形．29．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用轴对称图形的性质进而得出对应点位置进而画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形即可．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．[k12]最新K12【点评】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．。

初中数学试卷启用前★秘密富顺一中九年级上期第二次月考数 学 试 卷重新制版：郑宗平 注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在机读卡上.考试结束后，将机读卡和答题卷交回.2.每道题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上.3.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.第Ⅰ卷 选择题 （共40分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 2.一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个多边形的中心角为 （ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 3.要得到 ()2y 2x 23=-+-的图象，需将抛物线2y 2x =-作如下平移 （ ）A.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C.先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度4.一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同.从袋子中随机摸出1个球，这个球是黄球的是 （ ） A.13 B.25 C.12 D.355.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得 （ ） A ．()21681x 108+= B.()21681x 108-= C.()16812x 108-= D.()21681x 108-= 6.在同一平面坐标系中，函数y mx m =+和2y mx 2x 2=-++（m 是常数，且m 0≠）的）7.已知两圆的半径R r 、分别是方程2x 5x 60-+=的两根，两圆的圆心距为1，则两圆的位置关系是 （ ） A.外离 B.内切 C.相交 D.外切8.在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是（ ）A.4πB.3πC.22πD. 2π 9.如图，⊙O 的直径AB 为垂直于弦CD 于P ,且P 是半径CD 6cm =，则直 径AB 的长是 （ ） A.22cm B.32cmC.42cmD.43cm10.如图。

2023-2024学年（上）厦门外国语学校九年级10月巩固专练数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．3．可以直接使用2B铅笔作图．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（）A. B.C. D.答案：A解析：解：A、，是一元二次方程，符合题意；B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；D、，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．2. 二次方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根答案：A解析：解：∵，∴方程有两个相等的实数根．故选：A．3. 对于函数的图象，下列说法不正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是C. 最大值为0D. 交y 轴于点答案：B解析：解：对于函数的图象，∵，∴开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0，时，，交y 轴于点，故A 、C 、D 正确，故选：B ． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）A. B.C.D.答案：A解析：解：∵，∴，∴．故选：A ． 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）A. B.C. D.答案：C解析：解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是：，即，故选：C．6. 在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：由题意，，又抛物线开口向上，当时，随的增大而增大．故选：D．7. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）A. 560（1＋x）2＝315B. 560（1－x）2＝315C. 560（1－2x）2＝315D. 560（1－x2）＝315答案：B解析：解：根据题意，设每次降价的百分率为x，可列方程为：．故选：B8. 设是抛物线上的三点，则，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，而点离直线的距离为4，点离直线的距离为2，离直线的距离为3，，．故选：C．9. 在同一坐标系中，二次函数和一次函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意；B、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点，故此选项符合题意；C、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意；D、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意．故选：B．10. 已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）A. B. C. D.答案：A解析：解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，∵OE＝，OF＝，∴EF＝，∴PQ的最小值为．故选：A．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11. 二次函数的最____________值是____________．答案：①. 小②. 3解析：解：二次函数的图像开口向上，二次函数有最小值，最小时是3，故答案为：小，3．12. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是____________．答案：且解析：解：x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且,，即，且，故答案为：且．13. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是____________________________．（只需写一个）答案：（答案不唯一）解析：解：设抛物线解析式为，该抛物线的图象开口向上，，，故答案为：（答案不唯一）．14. 二次函数的函数值y的取值范围是____________．答案：##解析：解：，∴抛物线的顶点坐标为，∴当时有最大值是2；当时，，当时，，∴当时，函数值y的取值范围为；故答案为：．15. 如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．答案：y=-x2+x+4解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC=4，∵A（-3，0），∴OA=3，∴AC=5，∵AB平分∠CAO，∴∠BAC=∠BAO，∵BC∥x轴，∴∠CBA=∠BAO，∴∠BAC=∠CBA，∴CB=CA=5，∴B（5，4）．把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，得，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+x+4．故答案为y=-x2+x+4．16. 已知二次函数的最小值为．若当时，y值为负；若当时，y 值为正；则二次函数的解析式是____________．答案：解析：解：根据题意得抛物线的对称轴为直线，当和时，函数值相等，当时，值为负；当时，值为正，和时，，即抛物线经过，，设抛物线解析式为，即，，，解得，抛物线解析式为．故答案为：．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17. 解方程：（1）；（2）．答案：（1）（2）小问1解析：解：或解得：；小问2解析：解：解得：．18. 画出二次函数的图象．答案：见解析解析：解：二次函数，列表如下：xy0∴该函数图象的顶点坐标为，过点，函数图象如图所示．19. 已知抛物线经过点和．求b，c的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴．答案：；，顶点坐标为、对称轴为直线解析：解：把点和代入，可得：，解得：，所以抛物线为，所以此抛物线的顶点坐标为、对称轴为直线．20. 已知关于x的一元二次方程．（1）若，且此方程有一个根为，求m的值；（2）若，判断此方程根的情况．答案：（1）（2）当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程无解小问1解析：解：将代入原方程，得：，解得：；小问2解析：解：当时，原方程为，∴．当时，，此时原方程有两个相等的实数根；当时，，此时原方程无解．21. 如果一元二次方程的两根均为正数，其中．且满足，那么称这个方程有“友好根”．（1）方程____________“友好根”（填“有”或“无”）；（2）若，则关于x的有无“友好根”？请说明理由．答案：（1）有（2）这个方程有“友好根”，理由见解析小问1解析：解：，或，，∵，∴，∴方程有“友好根”，故答案为：有；小问2解析：解：关于x的有“友好根”，理由如下：，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，，∴，∵，∴，即，∴这个方程有“友好根”．22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为．（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当时，求x的值；（3）求矩形花圃的最大面积．答案：（1）（2）6 （3）小问1解析：解：根据题意，得：，∵，∴．S与x的函数关系式为；小问2解析：解：由题意得：，解得：（舍去）或6，即长为6；小问3解析：解：，∵，故当时，S随x的增大而减小，∵，则时S最大为60，此时．答：矩形花圃的最大面积为．23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，（1）求，，的坐标；（2）直线上有一点，在图中画出直线和点，并判断四边形的形状，说明理由．答案：（1），，；（2）图见解析：，四边形是平行四边形．小问1解析：解：当时，，解得或,，，当时，，．小问2解析：解：由可得，抛物线与直线的交点为，点在直线上，，解得，即，如图所示：，，，，，，四边形是平行四边形．24. 如图，在中，，（1）若四边形是正方形，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线，且，求四边形面积．答案：（1）直线（2）小问1解析：解：四边形是正方形，，，即，抛物线的对称轴为直线，即抛物线的对称轴为直线．小问2解析：解：对称轴为，，即①，抛物线与轴交于点，，②，，∴③，联立①③代入②可得,化简，得，解得或（舍去），∴，，即平行四边形中，，，四边形为菱形，如图，连接交于，则，，，在中，，，四边形的面积．25. 已知抛物线的顶点A在第一象限，过点A作轴于点B，C是线段上一点（不与点A、B重合），过点C作轴于点D并交抛物线于点P．（1）若，抛物线交x轴于G、H两点，求的长度；（2）若点是线段的中点，求点P的坐标；（3）若直线交y轴的正半轴于点E，且，求的面积S的取值范围．（请画出示意图再作答）答案：（1）（2）（3）小问1解析：解：把代入抛物线，得：，即，令，得：，解得：，，；小问2解析：解：依题意得顶点的坐标为，设据，得点横坐标为，即，所以，把点的坐标代入得，即点的坐标为；小问3解析：解：如图，把抛物线化为顶点式：，可知，设，把代入得，，，，即，或，又点不与端点、重合，，即，则，由可得，，，的面积，边长为正数，，，，．。

2021-2022学年江苏省南京外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，0B．2，﹣5，0C．2，5，1D．2，3，02．若关于x的一元二次方程x2+3x+4＝0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定3．某校举办校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）中位数众数平均数方差9.39.49.29.5A．中位数B．众数C．平均数D．方差4．下列语句中，错误的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④方程x2−4x+5＝0的两个实数根之和为4．A．1个B．2个C．3个D．4个̂），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60，5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB点C是AB的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20−10√3）m B．20m C．30m D．（20+10√3）m 6．如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2B．√41−3C．2√41+3D．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．）7．将一元二次方程x2−4x+3＝0用配方法可以将其化成．8．若关于x的一元二次方程x2−4x−k＝0有实数根，则k的取值范围是．9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则1x1+1x2=．10．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列方程．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．12．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝．13．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于．14．若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是．15．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．CD＝6，AC＝8，则CE的长为．16．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝70°，∠OCB＝50°，点P是⊙O上一个动点（不与图中已知点重合），若△ACP是等腰三角形，则∠ACP的度数为．三、解答题（本大题共9小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．用适当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．18．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解．（1）解方程√x+1=2解：去根号，两边同时平方得一元一次方程．解这个方程，得x＝，经检验，x＝是原方程的解．学会转化，解决问题．（2）运用上面的方法解下列方程：①√x−2−3＝0；②√4x2−3x+2x＝1．19．某中学开展体育知识比竞赛活动，八年级1、2班根据初赛成绩，两个班各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．（1）根据统计图所给的信息填写下表：班级平均数（分）中位数（分）众数（分）八（1）8585八（2）80（2）若八（1）班复赛成绩的方差S12＝70，请计算八（2）班复赛成绩的方差S22，并说明哪个班级5名选手的复赛成绩更平稳一些．20．已知等腰三角形ABC，如图．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．21．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求整数k可能取值．22．某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，每天销售量（y件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表．销售单价x（元/件）…203040…每天销售量（y件）…500400300…（1）把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；（2）相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？23．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG．（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．25．折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．̂的中点，MD⊥①定理认识：如图1所示，AB，BC是圆O的两条弦（折弦），M是ABCBC，垂足为D，求证：．②定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在CD上截取CE＝AB同学2：过点M 作AB的垂线交AB的延长线于点E同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作BC的平行弦交⊙O于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．③定理应用：如图2，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝3√2，D为圆上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD与点E，则△BDC的周长是．。

福州外国语学校2024-2025学年第一学期数学10月适应性练习一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2. 抛物线()245y x =−−的顶点坐标和开口方向分别是（ ）A. ()4,5−，开口向上B. ()4,5−，开口向下C. ()4,5−−，开口向上D. ()4,5−−，开口向下 3. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线（ ）．A. ()2 223y x =−+B. ()2223y x =−− C ()2223y x =+− D. ()2223y x =++ 4. 若一元二次方程220x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1m ≥B. 1m ≤C. 1m >D. 1m < 5. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ）度．A. 60B. 120C. 180D. 2706. 若1x ，2x 是一元二次方程2560x x −+=的两个根，则12x x +的值为（ ）为.A. 5−B. 5C. 6−D. 67. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，60A ∠=°，4AC =，将CAB △绕点C 按逆时针方向旋转得到CDE ，点D 恰好在AB 边上，连接BE ，则BE 的长为（ ）．A. 8B.C. D. 68. 已知二次函数224y x x =−++，关于该函数在22x −≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最大值5，有最小值4−B. 有最大值0，有最小值4−C. 有最大值4，有最小值4−D. 有最大值4，有最小值09. 函数2y ax bx =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B.C. D.10. 已知抛物线()24219y x =−−+上的两点()11,P x y ，()22,Q x y 满足213x x −=，则下列结论中正确的是（ ）A. 若11x 2<，则120y y << B. 若1122x <<，则120y y >> C. 若11x 2<，则120y y << D. 若1122x <<，则120y y >> 二、填空题11. 点()3,2M −关于原点对称的点的坐标是_______________．12. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 部分对应值如表，x 6.176.186.196.20的y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．13. 请将二次函数2245y x x =−−+改写()2y a x h k =−+的形式为_____．14. 若a 是关于x 的方程2310x x −−=的一个根，则2202662a a −+的值为_____．15. 已知二次函数2y ax bx c ++的部分图象如图所示，则使得函数值y 大于2的自变量x 的取值范围是_________．16. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°， BA BC =， 把ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ， 点D 与点B 对应，点 D 恰好落在AC 上，过E 作EF AB ∥交 BC 的延长线于点F ， 连接BD 并延长交EF 于点G ，连接CE 交BG 于点 H ．下列结论： ①BD DG =； ②CE =；③CH EH =；④.=FG 其中正确的有_________________（填正确的序号）．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 解方程2610x x −+=.18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上．（1）将ABC 向右平移6个单位长度得到111A B C △，请画出111A B C △；（2）画出ABC 关于点O 的中心对称图形222A B C △；（3）若将111A B C △绕某一点旋转可得到222A B C △，请直接写出旋转中心的坐标：_________． 19. 已知二次函数的图象经过点()0,3、()3,0−、()2,5−，且与x 轴交于A 、B 两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点()2,3P −是否在这个二次函数图象上，如果在，请求出PAB 的面积；如果不在，请说明理由．20. 如图，AGB 与CGD △关于点G 中心对称，若点E ，F 分别在GA GC ，上，且AE CF =，求证：BF DE =．21. 已知二次函数()225y x k x k =−−+−（k 是常数）． （1）求证：该二次函数的图象与x 轴一定有两个交点；（2）若点(),2M k k −在该二次函数的图象上，且点M 在第四象限，该二次函数的图象与y 轴交于点N ，求点M 与点N 之间的距离．22. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小明站在距篮圈中心的水平距离6.5m 处的点A 练习定点投篮，篮球从小明正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是x （单位：m ）时，球心距离地面的竖直高度是y （单位：m ）.小明进行了多次定点投篮练习，并做了记录：（1）第一次训练时，篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下： 水平距离/m x 0 1 2 3 4 5 6竖直距离/m y 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y 与x 满足的函数解析式； ②判断小明第一次投篮练习否投进篮筐，并说明理由；（2）将小明第i 次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为i d .小明第二次训练时将球投进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度也相同，则1d _______2d （填“>”，“<”或“=”）． 23. 如图1，在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <，连接AD ，以点A 为中心，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60 ，点D 的对应点E 恰好落在射线BM 上．（1）求证：CD BE =．（2）如图2，若点B 关于直线AD 的对称点为F ，直线AD 交BF 于点N ，连接CF ．①求证：AE CF ．②若BE CF AB +=，求BAD ∠的度数．是。

2021-2022学年江苏省南京市秦淮外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列方程是一元二次方程的是()A. (x−1)(x+2)=x2+3B. 1x2+1x−2=0C. (x−1)2=−2x+5D. ax2+bx+c=02.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=36°，则∠C的度数为()A. 44°B. 54°C. 62°D. 72°3.如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若AB=m，∠BAC=α，则下列结论错误的是()A. ∠BDC=αB. BC=m⋅tanαC. AO=m2sinαD. BD=mcosα4.点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 100°C. 40°或140°D. 40°或100°5.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1+1x2=4m，则m的值是()A. 2B. −1C. 2或−1D. 不存在6.如图，AC是⊙O直径，AC=4，∠BAC=30°，点D是弦AB上的一个动点，那么12DB+OD的最小值为()A. 1+√3B. 1+√32C. √3D. √32二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.已知⊙O的半径r=5，点P和圆心O之间的距离为d，且d是关于x的一元二次方程x2−6x−16=0的实数根，则点P在⊙O______.(填“内”“上”“外”)8.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN=1，则BC的长为______．9.用配方法将方程−5x2+x=−1变形为(x+ℎ)2=k的形式为______．10.已知已知a、b实数且满足(a2+b2)2−(a2+b2)−12=0，则a2+b2的值为______．11.已知等腰三角形的底边和底边上的高分别是方程x2−10x+24=0的两个根，则底角的正弦值是______．12.一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是28L，则每次倒出的液体是多少？设每次倒出的液体x L，可列方程为______．13.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______ °.14.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于______ ．15.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是______．16.如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB=90°，动点C在⊙O上运动(不与A，B重合)，点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）17.计算：sin30°⋅tan260°−cot45°+cos60°cos30∘−sin245∘四、解答题（本大题共10小题，共80.0分）18.解方程：(1)2(x+2)2−8=0；(2)x2−2x−7=0．19.定理证明：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．20.如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2=PA⋅PB．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=3PA，求AC的值．BC21.某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000公斤，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000公斤，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率．22.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．(1)求拱桥的半径；(2)有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？23.已知：x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根，一等腰三角形ABC的一边长为7.若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．24.如图，在海岸边相距12km的两个观测站A、B，同时观测到一货船C的方位角分别为北偏东54°和北偏西45°，该货船向正北航行，与此同时A观测站处派出一快艇以70km/ℎ的速度沿北偏东30°方向追赶货船送上一批货物，正好在D处追上货船，求快艇追赶的时间．(参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4)25.如图，△ABC中，∠C=90°，BD是中线，∠BAC的平分线交BD于点O，⊙O与AC相切于点E．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC=4，AB=5，求⊙O的半径．26.如图1，AB是O的一条弦，点C是优弧AmB上一点．(1)若∠ACB=45°，点P是⊙O上一点(不与A.B重合)，则∠APB=______；(2)如图2，若点P是弦AB与AmBˆ所围成的弓形区域(不含弦AB与AmBˆ)内一点．求证：∠APB>∠ACB；(3)请在图3中直接用阴影部分表示出在弦AB与AmBˆ所围成的弓形区域内满足∠ACB<∠APB<2∠ACB的点P所在的范围．(4)在(1)的条件下，以PB为边，向右作等腰直角三角形PBQ，连结AQ，如图4，已知AB=2，1.当点Q在线段AB的延长线上时，线段AQ的长为______2.线段AQ的最小值为______27.【操作体验】如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB= 30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点．(1)在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B=30°；【方法迁移】(2)如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，(不写做法，保留作图痕迹)．【深入探究】(3)已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P 恰有两个，则m的取值范围为______．(4)已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.方程整理，得x−5=0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；B.是分式方程，故本选项不符合题意；C.是一元二次方程，故本选项符合题意；D.当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，圆周角定理，根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等得出∠B=∠C，利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵⊙O中，AB⏜=AC⏜，∴∠B=∠C，又∵∠A=36°，∴∠B=∠C=180°−36°2=72°故选：D．3.【答案】C【解析】解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠CDA=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，∴AO=OB=CO=DO，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BAC =∠BDC =∠α，故本选项不符合题意； B 、在Rt △ABC 中，tanα=BC m，即BC =m ⋅tanα，故本选项不符合题意；C 、在Rt △ABC 中，AC =mcosα，即AO =m2cosα，故本选项符合题意； D 、∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC =AB =m ， ∵∠BAC =∠BDC =α，在Rt △DCB 中，BD =mcosα，故本选项不符合题意； 故选：C ．根据矩形的性质得出∠ABC =∠DCB =90°，AC =BD ，AO =CO ，BO =DO ，AB =DC ，再解直角三角形求出即可．本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．4.【答案】C【解析】解：如图所示：∵O 是△ABC 的外心，∠BOC =80°， ∴∠A =40°，∠A′=140°， 故∠BAC 的度数为：40°或140°． 故选：C ．利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC 的度数．此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵关于x 的一元二次方mx 2−(m +2)x +m 4=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，∴Δ=(m +2)2−4m ⋅m 4>0且m ≠0，解得：m >−1且m ≠0． ∵x 1、x 2是方程mx 2−(m +2)x +m 4=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m+2m，x 1x 2=14，∵1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=4m ，∴m+2m 14=4m ，∴m =2或−1， ∵m >−1， ∴m =2． 故选：A ．先由二次项系数非零及根的判别式Δ>0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=m+2m，x 1x 2=14，结合1x 1+1x 2=4m ，即可求出m 的值．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根据根与系数的关系：若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1⋅x 2=ca 是解决问题的关键．6.【答案】C【解析】解：作BK//CA ，DE ⊥BK 于E ，OM ⊥BK 于M ，连接OB ．∵BK//AC ，∴∠DBE =∠BAC =30°， 在Rt △DBE 中，DE =12BD ， ∴OD +12BD =OD +DE ，根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，OD +12BD 的值最小，最小值为OM ， ∵∠BAO =∠ABO =30°， ∴∠OBM =60°， 在Rt △OBM 中，∵OB =2，∠OBM =60°，∴OM=OB⋅sin60°=√3，∴12DB+OD的最小值为√3，故选：C．作BK//CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB.在Rt△DBE中，DE=12BD，则OD+1 2BD=OD+DE，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，OD+12BD的值最小，最小值为OM．本题考查平行的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．7.【答案】外【解析】解：∵一元二次方程x2−6x−16=0可化为(x+2)(x−8)=0，∴x1=−2(舍去)，x2=8，∴d=8．∵⊙O的半径为r=5，r<d，∴点P在圆外．故答案为：外．先求出一元二次方程x2−6x−16=0的实数根，再根据点与圆的位置关系即可得出结论．本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．8.【答案】2【解析】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，∴AN=CN，AM=BM，∴MN=12BC，∵MN=1，∴BC=2，故答案为：2．根据垂径定理得出AN=CN，AM=BM，根据三角形的中位线性质得出MN=12BC，再求出BC 即可．本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出AN =CN 和AM =BM 是解此题的关键．9.【答案】(x −110)2=21100【解析】解：−5x 2+x =−1， x 2−15x =15，x 2−15x +(110)2=15+1100，即(x −110)2=21100， 故答案为：(x −110)2=21100．将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10.【答案】4【解析】 【分析】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．设t =a 2+b 2(t ≥0).由原方程得到t 2−t −12=0求得t 的值即可． 【解答】解：设t =a 2+b 2(t ≥0).由原方程得到t 2−t −12=0． 整理，得(t −4)(t +3)=0． 所以t =4或t =−3(舍去)． 即a 2+b 2的值为4． 故答案是：4．11.【答案】3√1010或45【解析】解：方程x2−10x+24=0，分解因式得：(x−4)(x−6)=0，解得：x=4或x=6，当4为底边，6为底边上的高，此时底角的正弦值为√62+22=3√1010；当6为底边，4为底边上的高，此时底角的正弦值为√42+32=45．故答案为：3√1010或45．利用因式分解法求出已知方程的解，确定出底边与高，即可求出底角的正弦值．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，等腰三角形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．12.【答案】(63−x)⋅63−x63=28【解析】解：设每次倒出液体xL，则第一次倒出后容器内剩下纯药液(63−x)L，加满水后药液的浓度为63−x63，依题意得：(63−x)⋅63−x63=28．故答案为：(63−x)⋅63−x63=28．设每次倒出液体xL，则第一次倒出后容器内剩下纯药液(63−x)L，加满水后药液的浓度为63−x63，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量×此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】60【解析】【试题解析】解：∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D=12∠AOC，∴3∠D=180°，解得∠D=60°，∠B=120°，∴∠OAB=∠OCB=180°−∠B=60°．∴∠OAD+∠OCD=360°−(∠D+∠B+∠OAB+∠OCB)=360°−(60°+120°+60°+ 60°)=60°．故答案为：60．利用四边形OABC为平行四边形，可得∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°.利用四边形ABCD是圆的内接四边形，可得∠D+∠B=180°.利用同弧所对的圆周角和圆心角可得∠D=12∠AOC，求出∠D=60°，进而即可得解．本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于中档题．14.【答案】13【解析】解：设小正方形的边长为1，过C作CF⊥AB于F，由勾股定理得：AB=√22+42=2√5，AC=√22+22=2√2，BC=2，由三角形面积公式得：AB×CF=BC×AE，2√5×CF=2×2，解得：CF=2√55，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AF=√AC2−CF2=6√55tan∠BAC=CFAF =2√556√55=13，故答案为：13．设小正方形的边长为1，过C作CF⊥AB于F，根据勾股定理求出AB、AC，根据三角形面积公式求出CF，根据勾股定理求出AF，解直角三角形求出即可．本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，难度适中．15.【答案】(9,2)【解析】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF=90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE=PF，PE//OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE=PF=PE=OF=5，∵A(0,8)，∴OA=8，∴AE=8−5=3，∵四边形OACB为矩形，∴BC=OA=8，BC//OA，AC//OB，∠EAC=∠EOB=90°，∴EG//AC，∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，∴CG=AE=3，EG=OB，∵PE⊥AO，AO//CB，∴PG⊥CD，∴CD=2CG=6，∴DB=BC−CD=8−6=2，∵PD=5，DG=CG=3，∴PG=4，∴OB=EG=5+4=9，∴D(9,2)．故答案为：(9,2)．设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的性质．16.【答案】√5+1【解析】解：如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE．OB=1．则OE=EB=12在△OBC中，DE是△OBC的中位线，OC=1，∴DE=12∴EO=ED=EB，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，OE=EB=1，∴AE=√5，D′E=1，∴AD取最大值为AD′=√5+1，故答案为：√5+1．取OB中点E得DE是△OBC的中位线，知DE=12OC=1，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，从而知求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，据此求解可得．本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的圆．17.【答案】解：原式=12×(√3)2−1+12√32−(√22)=12×3−1+12√32−12=12×3−1+12√32−12=1√3−12=√3+1．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18.【答案】解：(1)2(x+2)2−8=0，(x+2)2=4，∴x+2=±2，∴x1=0，x2=−4；(2)x2−2x−7=0，x2−2x=7，x2−2x+1=7+1，即(x−1)2=8，∴x−1=±2√2，∴x1=1+2√2，x2=1−2√2．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用配方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19.【答案】解：已知：点A，B，C在⊙O上，求证：∠ABC=12∠AOC；证明：在图①中，∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵∠AOC=∠A+∠B，∴∠B=12∠AOC；在图②中，作直径BD，同①可得∠ABD=12∠AOD，∠CBD=12∠COD，则∠ABC=12∠AOC；在图③中，作直径BD．同理∠CBD=12∠COD，∠ABD=12∠AOD，∴∠ABC=∠CBD−∠ABD=12∠COD−12∠AOD=12(∠COD−∠AOD)=12∠AOC．【解析】分”圆周角的一边过圆心“、”圆心在圆周角的内部“、”圆心在圆周角的外部“3种情况，分别结合图①、②、③证明上述结论．本题考查了圆周角定理的证明，以及等腰三角形的性质，正确进行分类讨论是关键．20.【答案】(1)证明：连接OC，∵PC2=PA⋅PB，∴PAPC =PCPB，∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴∠PCA=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵OA=OB，∴∠CAB=∠OCA，∴∠PCA+∠OCA=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB=3PA，∴PB=4PA，OA=OC=1.5PA，PO=2.5PA，∵OC⊥PC，∴PC=√PO2−OC2=2PA，∵△PAC∽△PCB，∴ACBC =PCPB=2PA4PA=12．【解析】(1)由PC2=PA⋅PB得PAPC =PCPB，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA=∠B，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则∠CAB+∠B=90°，由OA=OB得∠CAB=∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA=90°，即OC⊥PC，即可得出结论；(2)由AB=3PA可得PB=4PA，OA=OC=1.5PA，根据勾股定理求出PC=2PA，根据相似三角形的性质即可得出ACBC的值．本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．21.【答案】解：设今年平均亩产量的增长率为x，根据题意得：20000(1+2x)(1+x)=60000，解得：x1=0.5，x2=−2(舍去)．答：平均亩产量的增长率为50%．【解析】设今年平均亩产量的增长率为x.根据增长后的产量=增长前的产量(1+增长率)，设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．22.【答案】解：(1)如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=12m，AB=6m．∴BD=12又∵CD=4m，设OB=OC=ON=r，则OD=(r−4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r−4)2+62，解得r=6.5m，所以拱桥的半径为6.5m；(2)∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.6m，∴CE=4−3.6=0.4(m)，∴OE=r−CE=6.5−0.4=6.1(m)，在Rt△OEN中，EN2=ON2−OE2=6.52−6.12=5.04(m2)，∴EN=√5.04(m)．∴MN=2EN=2×√5.04≈4.49m<5m．∴此货船能不顺利通过这座拱桥．【解析】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．(1)根据垂径定理和勾股定理求解；(2)连接ON，OB，通过求距离水面3.6米高处即ED长为3.6时，桥有多宽即MN的长与货船的宽度5米做比较来判定货船能否通过(MN大于5则能通过，MN小于等于5则不能通过).先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．23.【答案】解：∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，当7是腰时，x=7必是一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的一个解，把x=7代入方程得49−14(m+1)+m2+5=0，整理得m2−14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2(m+1)=22，解得x2=15，而7+7<15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2−6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3<7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．综上所述，这个三角形的周长为17．【解析】分类讨论：若x1=7时，把x=7代入方程得49−14(m+1)+m2+5=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，由根与系数的关系得x1+x2=2(m+1)=22，解得x2=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2−6x+ 9=0，解得x1=x2=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，属于拔高题．24.【答案】解：延长DC交AB于E，那么DE⊥AB．∵直角三角形ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=54°，∴AE=CE⋅tan54°≈1.4CE．∵在直角三角形CEB中，∠BEC=90°，∠CBE=45°，∴BE=CE．∴AB=AE+BE=1.4CE+CE=12，∴CE=5，∴AE=1.4×5=7．∵直角三角形ADE中，∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AD=AE÷sin30°=2AE=14．因此快艇追赶的时间应该是14÷70=0.2小时．【解析】延长DC交AB于E，那么DE⊥AB，CE为直角△ACE和△CEB的公共直角边，可用CE表示出AE和EB，然后根据AB的长来求出CE的长，进而求得AE的长，那么就能在直角△ADE中，根据三角函数求出AD的长，即可求出时间．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.【答案】(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB，垂足为F，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵OA为∠CAB的平分线，∴OF=OE，即OF是⊙O的半径，∴AB与⊙O相切；(2)解：△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，AB=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵BD是中线，∴S△ABD=12S△ABC=12×12AC⋅BC=12×12×4×3=3，S△ABD=S△AOB+S△AOD，即3=12AB×OF+12AD×OE，AC=2，∵OF=OD=r，AD=DC=12∴r(AB+AD)=6，∴7r=6，．解得：r=67即⊙O的半径为6．7【解析】(1)过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据角平分线的性质可得出OF=OE，继而可得出结论；(2)根据S△ABD=S△AOB+S△AOD，可得出⊙O的半径．本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识点，能求出BA是⊙O的切线是解此题的关键．26.【答案】45°或135°4√10−√2【解析】解：(1)如图1所示，根据题意可分两种情况，第一种情况，当点P在P1时，可知，∠AP1B=∠ACB=45°；第二种情况，当点P在P2时，∵四边形ACBP2是圆内接四边形，∴∠AP2B+∠ACB=180°，∵∠ACB=45°，∴∠AP2B=135°，故答案为：45°或135°．(2)证明：如下图2所示，延长AP交⊙O于点Q，连接BQ．则∠PQB=∠ACB，∵∠APB为△PQB的一个外角，∴∠APB>∠PQB，即∠APB>∠ACB．(3)点P所在的范围如下图3所示，(4)1.如图4−1中，当点Q在AB的延长线上时，连接PA．∵∠APB=∠BPQ=∠Q=45°，∴∠APQ=90°，∴∠A=∠Q=45°，∴PA=PQ，∠ABP=90°，∴PB⊥AQ，∴AB=BQ=2，∴AQ=AB+BQ=4．故答案为4．2.如图4−2中，连接PA，设PQ交⊙O于T，连接AT，TB．∵∠APB=∠BPQ=45°，∴∠APT=90°，∴AT是⊙O的直径，∵∠TAB=∠BPQ=45°，∠ABT=90°，∴AB=BT=2，以BT为底边向右作等腰Rt△BKT，KT=KB=√2，∵∠BQT=45°，∴点Q的运动轨迹是以K为圆心KT为半径的圆，作KM⊥BA交AB的延长线于M，连接AK.则BM=KM=1，AM=3，∴AK=√AM2+MK2=√32+12=√10，∵AQ≥AK−KQ，∴AQ≥√10−√2，∴AQ的最小值为√10−√2．故答案为√10−√2．(1)根据题意可知，存在两种情况，针对两种情况，可以画出相应的图形，由题目中的信息和同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，可以分别求得两种情况下∠APB 的度数，本题得以解决．(2)根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决．(3)根据题意和第(2)问，可以画出满足∠ACB<∠APB<2∠ACB的点P所在的范围，本题得以解决．(4)1.画出图形证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题．2.如图4−2中，连接PA，设PQ交⊙O于T，连接AT，TB.以BT为底边向右作等腰Rt△BKT，则KT=KB=√2，由∠BQT=45°，推出点Q的运动轨迹是以K为圆心KT为半径的圆，作KM⊥BA交AB的延长线于M，连接AK，求出AK，KQ，利用三边关系即可解决问题．本题考查圆的综合题、同弧所对的圆周角的关系、圆内接四边形对角的关系、三角形的外角和内角的关系，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．27.【答案】(1)∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∠AOB=30°；由图②得：∠AP1B=12(2)如图，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，②作BC的中垂线，连接EC，交于O，③以O为圆心，OE为半径作圆，则EF⏜上所有的点(不包括E、F两点)即为所求；(3)2≤m<1+√2;(4)√34−2．【解析】【分析】本题是圆的综合题，也是阅读材料问题，运用类比的思想依次解决问题，本题熟练掌握圆周角定理是关键，是一道不错的几何压轴题．(1)先根据等边三角形得：∠AOB=60°，则根据圆周角定理可得：∠AP1B=30°；(2)先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC=90°，则BC⏜所对的圆周角都是45°；(3)先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件；(4)先确定⊙O，根据圆周角定理正确画出∠BPC=135°，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．【解答】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)如图④，同理作⊙O，∵BE=BC=2，∴CE=2√2，∴⊙O的半径为√2，即OE=OG=√2，∵OG⊥EF，∴EH=1，∴OH=1，∴GH=√2−1，∴BE≤AB<MB，∴2≤m<2+√2−1，即2≤m<√2+1，故答案为：2≤m<√2+1；(4)如图⑤，构建⊙O，使∠COB=90°，在优弧BC⏜上取一点H，则∠CHB=45°∴∠CPB=135°，由旋转得：△APQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2AP，∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，在Rt△AFO中，AF=1，OF=3+1=4，∴AO=√12+42=√17，∴AE=√17−√2=AP，∴PQ=√2AP=√2(√17−√2)=√34−2．故答案为：√34−2．。

2023-2024学年江苏省南京市玄武区南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.已知的半径为3，A为线段PO的中点，则当时，点A与的位置关系为()A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定3.一元二次方程的根为()A. B.C.，D.4.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.5.圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是()A. B. C. D.6.如图，AB是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为()A. B. C. D.7.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则的半径为()A. B.3 C.4 D.8.如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是()A.①②③B.②③C.①②④D.①②③④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.方程的解是_________.10.四边形ABCD内接于圆，若，则____度．11.若扇形的圆心角为，半径为6，则这个扇形的弧长为_____结果保留12.一元二次方程的两根为、，则的值是_______.13.抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是__________.14.如图，AB是的直径，弦于点若，，则弦CD的长是___.15.如图，半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与相切时，该直角三角板平移的距离为_____.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，C为平面内的动点，且满足，D为直线上的动点，则线段CD长的最小值为_______.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

2022-2023学年江苏省常州外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x＝x2﹣1B．x（x﹣1）＝1C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣2xy﹣5y2＝02．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．半径相等的半圆是等弧3．若⊙A的半径为5，费心A与点P的距离是2√5，则点P与⊙A的位置关系是（）A．P在⊙A上B．P在⊙A外C．P在⊙A内D．不确定4．关于x的﹣元二次方程x2﹣2ax﹣1＝0（其中a为常数）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根D．没有实数根5．如图，在平面直角坐标系中，圆P经过点A（0，√3）、0（0，0）、B（1，0），点C在第一象限内，则∠BCO的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．15°6．如图，已知⊙O的直径AD＝10，任一圆周角∠ACB＝45°，则弦AB的长为（）A．5B．5√2C．5√3D．5√57．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若设这两天此股票的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=1110B．（1+x）2=109C．1+2x=1110D．1+2x=1098．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°．得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E（i＝2020）的顶点∁i的坐标（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（1，√3）D．（﹣1，√3）二、填空题（每题3分，共30分）9．若关于x的方程x2﹣kx+3＝0的一个根是1，则另一根是，k是．10．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3，则DF＝．11．圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝cm．12．如图所示，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点．则阴影部分面积等于．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°．则∠DCE°．14．⊙O的弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角等于．15．已知⊙O的半径为13cm两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm．则弦AB与CD之间的距离是．16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°．则∠D的度数是．17．如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点E是BC中点，点D，F分别在边AC，AB上（均包括端点），若使△DEP为直角三角形的点F恰好有两个，则CD的长应满足的条件是．三、解答题（19、20、.23题每题10分，21、22题每题8分，共46分）19．解方程：（1）x 2﹣3x +1＝0；（2）4x （2x ﹣1）＝3（2x ﹣1）．20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 1B 1C 1，请在图中y 轴右侧画出△A 1B 1C 1；（2）点P （a ，b ）为△ABC 内一点，请直接写出点P 位似变换后的对应点P '的坐标为 ；（3）△ABC 的外接圆圆心坐标为 ，△ABC 的外接圆半径为 ；（4）请直接写出∠C 1A 1B 1的正切值为 ．21．如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在⊙O 上，点D ，E 分别在AB ，AC 的延长线上，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A ＝∠CDE ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝4，BD ＝3，求CD 的长．22．某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，该商品单价每件涨价1元，每星期可少卖10件．（1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为元；（2）在一个星期内要想获利6090元的利润，该商品每件应涨价多少元．23．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0），线段EF关于点G的“垂直图形”记为EP，点E的对应点为E，点P的对应点为F：①求点E的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，EF上任意一点都在⊙O内部或圆上，求a的范围并直接写出满足条件的EE'的长度的最大值．。

2016-2017学年江苏省南京外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）已知⊙O半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=6时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定2．（2分）（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 3．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D 在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．54°B．64°C．72°D．82°4．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且=3，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}这七个数中随机抽取一个数记为a，则a的值是不等式组的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）（2014•泰安）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O 相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每题2分，共20分）7．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为，常数项为．8．（2分）（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．9．（2分）（2015•南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．10．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件，经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件，若该商品要想平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程为．11．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的值是．12．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）已知⊙P的直径为8，点P的坐标是（﹣4，﹣3），那么⊙P与x轴的位置关系是，与y轴的位置关系是．13．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F，∠B=70°，∠C=60°，M是上的动点（与D、E不重合），∠DMF的度数为．14．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=3；③∠AOB=60°；④四边形ABOC是菱形，其中正确结论的序号是．15．（2分）（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD 为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，S1=2S2．16．（2分）（2014•肥城市校级模拟）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是．三、解答题（共88分）17．（20分）（2016秋•玄武区校级月考）用适当的方法解下列方程（1）（x+1）2﹣6（x+1）+9=0（2）x2﹣4x﹣96=0（3）x（2x﹣4）=5﹣8x（4）（x+4）2=16﹣x2．18．（6分）（2016秋•玄武区校级月考）已知当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，这个二次三项式的值可能是﹣6吗？请说明理由．19．（8分）（2018•石狮市模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．20．（8分）（2014•南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．21．（8分）（2016秋•鞍山期末）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？22．（6分）（2016秋•玄武区校级月考）如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．（1）用尺规作出的中点B，再作出△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=BC=60cm，∠ABC=120°，求外接圆的半径．23．（6分）（2017秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．24．（8分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO 交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D，若AD=2BD，CD=1．求⊙O的半径．25．（8分）（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．26．（10分）（2016秋•玄武区校级月考）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=13 cm，BC=16 cm，CD=5 cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s 的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）是否存在某一时刻，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省南京外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）已知⊙O半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=6时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定【分析】OP=6，A为线段PO的中点，则OA=3，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．【解答】解：∵OA==3，∴OA=⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．故选：B．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．2．（2分）（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．3．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D 在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．54°B．64°C．72°D．82°【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAE=90°，然后用90°减去∠E，求出∠B等于多少度；最后根据平行四边形的对角相等，可得∠ADC=∠B，据此解答即可．【解答】解：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵∠E=36°，∴∠B=90°﹣∠E=90°﹣36°=54°，又∵∠ADC=∠B，∴∠ADC=54°．故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且=3，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=6、x1•x2=k，将其代入=中可得出关于k的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，∴x1+x2=6，x1•x2=k，∴===3，解得：k=2，经检验，k=2是原方程的解，且符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．5．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}这七个数中随机抽取一个数记为a，则a的值是不等式组的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先解不等式组，即可求得a的取值范围，解一元二次方程x2﹣3x+2=0，可求得a的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x＞﹣，∵a的值是不等式组组的解，∴a=0，1，2，3，∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x1=1，x2=2，∵a不是方程x2﹣3x+2=0的实数解，∴a=0或3；∴a的值是不等式组的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为：．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用、不等式组的解集以及一元二次方程的解法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（2分）（2014•泰安）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O 相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故（4）正确；正确个数有4个，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．二、填空题（每题2分，共20分）7．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣8x﹣4=0，常数项为﹣4．【分析】去括号，移项，合并同类项，即可得出答案．【解答】解：（1+3x）（x﹣3）=2x2+1，x﹣3+3x2﹣9x﹣2x2﹣1=0，x2﹣8x﹣4=0，即一般形式为x2﹣8x﹣4=0，常数项为﹣4，故答案为：x2﹣8x﹣4=0，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键．8．（2分）（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是﹣4．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．9．（2分）（2015•南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC=AB=12cm．由半径相等，得OA=OD=13cm．由勾股定理，得OC===5．由线段的和差，得CD=OD﹣OC=13﹣5=8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．10．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件，经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件，若该商品要想平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程为（50﹣x﹣30）（100+x×）=1400．【分析】首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润=1400元列出方程．【解答】解：设设每件应降价x元，则每件定价为（50﹣x）元，根据题意，得：（50﹣x﹣30）（100+x×）=1400，故答案是：（50﹣x﹣30）（100+x×）=1400．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程．11．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的值是3＜r≤4或r=．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=3，BC=4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB=5，当直线与圆相切时，d=r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，∴CD×AB=AC×BC，∴CD=r=，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，∴3＜r≤4，故答案为：3＜r≤4或r=．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．12．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）已知⊙P的直径为8，点P的坐标是（﹣4，﹣3），那么⊙P与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切．【分析】根据直线与圆的位置关系，即可判断．【解答】解：∵P（﹣4，﹣3），∴点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，∵⊙P的直径为8，∴⊙P与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切．故答案为相交，相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．13．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F，∠B=70°，∠C=60°，M是上的动点（与D、E不重合），∠DMF的度数为65°．【分析】连接ID、IF，如图，先利用三角形内角和得到∠A=50°，再根据切线的性质得∠ADI=∠AFI=90°，则根据四边形的内角和得到∠DIF=180°﹣∠A=130°，然后根据圆周角定理计算∠DMF的度数．【解答】解：连接ID、IF，如图，∵∠B=70°，∠C=60°，∴∠A=50°，∵⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI=∠AFI=90°，∴∠DIF=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∴∠DMF=∠DIF=65°．故答案为65°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．14．（2分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=3；③∠AOB=60°；④四边形ABOC是菱形，其中正确结论的序号是①③④．【分析】利用垂径定理可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC=6，则可对②进行判断；通过判断△AOB为等边三角形可对③进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB可对④进行判断．【解答】解：∵点A是劣弧的中点，∴OA⊥BC，所以①正确；∵∠AOC=2∠D=60°，而OA=OC，∴△OAC为等边三角形，∴BC=2×6×=6，所以②错误；同理可得△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，所以③正确；∵AB=AC=OA=OC=OB，∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．15．（2分）（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD 为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t= 6秒时，S1=2S2．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，∴AD=BD=CD=8cm，又∵AP=t，则S1=AP•BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC，∴，∴PE=AP=t，∴S2=PD•PE=（8﹣t）•t，∵S1=2S2，∴8t=2（8﹣t）•t，解得：t=6．故答案是：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．16．（2分）（2014•肥城市校级模拟）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是．【分析】因为PB为切线，所以△OPB是Rt△．又OB为定值，所以当OP最小时，PB最小．根据垂线段最短，知OP=3时PB最小．根据勾股定理得出结论即可．【解答】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，∴PB2=OP2﹣OB2，而OB=2，∴PB2=OP2﹣4，即PB=，当OP最小时，PB最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PB的最小值为=．故答案为：．【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．三、解答题（共88分）17．（20分）（2016秋•玄武区校级月考）用适当的方法解下列方程（1）（x+1）2﹣6（x+1）+9=0（2）x2﹣4x﹣96=0（3）x（2x﹣4）=5﹣8x（4）（x+4）2=16﹣x2．【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；（2）直接利用因式分解法解方程得出答案；（3）直接利用公式法解方程得出答案；（4）直接提取公因式法以及公式法因式分解解方程得出答案．【解答】解：（1）（x+1）2﹣6（x+1）+9=0，（x+1﹣3）2=0，（x﹣2）2=0，故x1=x2=2；（2）x2﹣4x﹣96=0，（x﹣12）（x+8）=0，解得：x1=12，x2=﹣8；（3）x（2x﹣4）=5﹣8x，2x2﹣4x+8x﹣5=0，2x2+4x﹣5=0，△=b2﹣4ac=16+40=56，x=，解得：x1=，x2=；（4）（x+4）2=16﹣x2，（x+4）2﹣（4﹣x）（4+x）=0，则（x+4）（x+4﹣4+x）=0，故2x（x+4）=0，解得：x1=0，x2=﹣4．【点评】此题主要考查了公式法、因式分解法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．18．（6分）（2016秋•玄武区校级月考）已知当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，这个二次三项式的值可能是﹣6吗？请说明理由．【分析】把x=2代入方程x2﹣2mx+4=﹣4求出m，把m的值代入x2﹣2mx+4，利用配方法求得该代数式的最值，观察﹣6是否符合题意即可．【解答】解：不可能．理由：当x=2时，x2﹣2mx+4=﹣422﹣2m×2+4=﹣4解得m=3．此时这个二次三项式是x2﹣6x+4x2﹣6x+4=（x﹣3）2﹣5≥﹣5∴值不可能为﹣6．【点评】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的应用以及配方法的应用，解此题的关键是求出m的值，题目比较好，难度适中．19．（8分）（2018•石狮市模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【分析】（1）由△＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知m=5，还原方程，利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）由题意知，△=（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得：m＜6，又m﹣2≠0，即m≠2，则m＜6且m≠2；（2）由（1）知m=5，则方程为3x2+10x+8=0，即（x+2）（3x+4）=0，解得x=﹣2或x=﹣．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．20．（8分）（2014•南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可【解答】解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．【点评】本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．21．（8分）（2016秋•鞍山期末）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，结合根的判别式，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；（2）将x=2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD 的周长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根，∴△=（﹣m）2﹣4×（﹣）=（m﹣1）2=0，∴m=1，∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，即（x﹣）2=0，解得：x1=x2=，∴菱形ABCD的边长是．（2）把x=2代入原方程，得：4﹣2m+﹣=0，解得：m=．将m=代入原方程，得：x2﹣x+1=0，∴方程的另一根AD=1÷2=，∴▱ABCD的周长是2×（2+）=5．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．22．（6分）（2016秋•玄武区校级月考）如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．（1）用尺规作出的中点B，再作出△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=BC=60cm，∠ABC=120°，求外接圆的半径．【分析】（1）利用垂径定理得出AB，BC的垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；（2）利用垂径定理以及等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2，∵AB=BC=60cm，∠ABC=120°，∴∠AOB=∠BOC=60°，又∵AO=BO，CO=BO，∴△AOB≌△COB，∴△BOC和△AOB是等边三角形，∴∠BCO=∠ABO=60°，∵BO=CO，∴∠OCB=∠CBO=60°，∴△OBC是等边三角形，∴半径为60cm．【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理得出∠OCB=∠CBO=60°，进而得出△OBC是等边三角形是解题关键．23．（6分）（2017秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；【分析】（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE 及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．（8分）（2016秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO 交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D，若AD=2BD，CD=1．求⊙O的半径．【分析】连接OB，则可知DC=BD=1，则AD=2，在△ACD中可求得AC=，设半径为r，则AO=r+，在Rt△AOB中由勾股定理可得OA2=OB2+AB2，代入求r即可．【解答】解：连接OB，∵AB、CD都是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，且DC=BD=1，∴AD=2BD=2，∴AB=2+1=3，在Rt△ACD中，可求得AC=，设半径为r，则OA=r+，在Rt△ABO中，由勾股定理可得：OA2=OB2+AB2，即（r+）2=r2+32，解得r=，∴⊙O的半径是．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握连接圆心和切点是常用的辅助线是解题的关键，注意方程思想的应用．25．（8分）（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD．∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，化简得x2﹣11x+18=0，解得x1=2，x2=9．∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，∴x=2，从而AD=2，AF=5﹣2=3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．26．（10分）（2016秋•玄武区校级月考）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=13 cm，BC=16 cm，CD=5 cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s 的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）是否存在某一时刻，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圆的直径；（2）当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ﹣PD=2CE，即2t﹣（13﹣t）=6，即可求出t的值即可；（3）先假设存在，构造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，则存在，若方程无解，则不存在．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC于E，BE=AD=13，∵BC=16，∴EC=3，在Rt△DCE中，由于DC=5，则DE==4，所以圆的直径为4厘米；（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和2厘米/秒，所以PD=（13﹣t）厘米，CQ=2t厘米，当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ﹣PD=2CE，所以2t﹣（13﹣t）=6，解得t=，（3）存在．若PQ与圆相切，切点G，作PH⊥BC于H，所以PA=PG=t，QG=QB=16﹣2t，又得到QH=QB﹣HB=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t，PQ=BQ+AP=16﹣t，根据勾股定理得PQ2=PH2+QH2，所以（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2，解得t1=4+，t2=4﹣，因为4+和4﹣都在0＜t≤8内，所以在t=（4+）秒或t=（4﹣）秒时，直线PQ与圆相切．【点评】本题考查圆综合题、切线的性质、等腰梯形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。