(完整版)x数形结合常见例题

1 / 2数形结合练习一．选择题：1．向高为 H 的水瓶中灌水，注满为止，假如灌水量 v 与水深 h 的函数关系以以以下图，那么水瓶的形状是2．已知定义在R 上的偶函数 f(x)在（ 0， +∞）上是增函数且 f( 1)＝0 则知足3f (log 1 x) ＞0 的 x 的取值范围是8（A ）{ 1} ∪(2, +∞ ) （ B ）(0,1)（C ）(0, 1)∪ (2, +∞) （D ） (2, +∞ )2223．方程 lgx=sinx 的根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）无数个4．函数 y ＝a|x|和 y= x+a 的图像恰巧有两个公共点，则实数 a 的取值范围为（A ）(1, +∞ ) （ B ）(－1, 1) （C ）(－∞ , －1) （D ）(－∞ , － 1)∪(1, +∞) 5．已知 0<a<1，方程 a |x| | log a x | 的实数根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）以上都有可能 ．若不等式2－log a ＜ 0在 (0, 1 内恒建立 ,则 a 的取值范围是6x x )2（A ）[ 1, 1)（ B ） (0, 1)（C ） ( 1, 1) （D ）(0, 1)1616167．代数式 x 2 y 2 x 2( y 1)2( x 1) 2 y 2(x 1) 2( y 1)2 的最小值为（A ）2 （B ）2 2（ C ）4 （D ）4 2．函数 ＝ sin2x+acos2x 图像的一条对称轴为 x ＝－，那么 a 等于8 y8（A ） 2（ B ）－ 2（ C ）1 （D ）－ 19．直线 y=a （a ∈R ）与曲线 y ＝ cot(ωt)，（ω＞ 0）的相邻两交点之间的距离是（A ）k（B ）2（ C ） （D ）以上都不对二．填空题：1．已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 分别为（－ 1，1）和（ 2, 2），若直线 l ：x+my+m=0 与 PQ 的延伸线订交，则 m 的取值范围是 . 2．若直线 l ：y ＝kx+1 与曲线 c ：x ＝y 2 1 只有一个公共点，则实数 k 的取值1范围是.3．函数 y=23x 的值域是1x4．若 a ∈ (0,1) ，则T＝ sin(1+a) ， T =sin(1－ a), T =cos(1+a) 的大小关系1232为．5．方程 |x－ |2x+1||=1 的不一样样样实根的个数为.6．函数 u＝2x 15 2x 的最大值是.三．解答题：．已知+十 3的最大值 .）, 求 2a b14a+9b＝10（a，b∈6 R2．假如对于x 的方程sinx+acosx= 2 恒有解，务实数 a 的取值范围3．已知函数 f(x)=ax2－c 知足一 4≤f(1)≤－ 1，－ 1≤f(2)≤5，求 f(3)的范围．4．已知 a ≥0, b≥0, a+b=1，求证：a1b 1≤2.225．若 A={ x| －2≤x≤a} ， B={ y| y＝2x+3，x∈A}, C＝{ z| z=x2, x∈ A} ，若 C B，求 a 的值．6．已知抛物线 C：y＝－ x2+mx－1，点 A（3，0）， B(0, 3), 求抛物线 C 与线段AB 有两个不一样样样交点时 m 的范围．22 / 2。

x + 2 a a 数形结合例题分析实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式 的结构含有明显的几何意义。

如等式( x - 2) 2 + ( y - 1) 2 = 4一、联想图形的交点例 1. 已知0 < a < 1，则方程a |x | =|log x |的实根个数为()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 1 个或 2 个或 3 个分析： 判断方程的根的个数就是判断图象y = a |x |与y =|log x |的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选（B ）。

例 2. 解不等式 > x令y 1 = x + 2，y 2 = x ，则不等式 > x 的解，就是使y 1 = x + 2的图象在y 2 = x 的上方的那段对应的横坐标， 如下图，不等式的解集为{x | x A ≤ x < x B } 而x B 可由 = x ，解得，x B = 2，x A = -2，故不等式的解集为{x |-2 ≤ x < 2}。

⎧ lg x - 1 练习：设定义域为 R 函数 f (x ) = ⎨ ⎩0x ≠ 1 x = 1，则关于 x 的方程 f2 (x ) + bf (x ) + c = 0 有 7 个不同实数解的充要条件是（ ）A .b < 0, c > 0B .b > 0, c < 0C .b < 0, c = 0D .b ≥ 0, c = 0答案 C二、联想绝对值的几何意义例 1、已知c > 0 ，设 P ：函数 y = c x 在 R 上单调递减， Q ：不等式 x + x + 2c > 1 的解集为 R ，如果 P 与Q 有且仅有一个正确，试求c 的范围。

六年级数形结合的典型例题
小明和小红在操场上走路，小明每走一步，小红就走两步，他们同时从操场的同一个起点出发，小明走了10步，小红走了20步，他们此时在同一个位置上，问他们此时距离起点的距离分别是多少？
解题思路：
这是一个有关步数的问题。

由于小红每走一步，小明就走了两步，所以他们步数之间的比例是2：1，所以假设小明走了x 步，小红走了2x步，利用两点间的距离公式，可以得出小明距离起点的距离为10x，小红距离起点的距离为20x。

因为他们此时在同一个位置上，所以10x=20x，从中可以解出 x=5，因此小明距离起点的距离为50步，小红距离起点的距离为100步。

答案：小明距离起点的距离为50步，小红距离起点的距离为100步。

高考数学：数形结合法及题型实例数形结合思想基础知识点1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

经典例题剖析方法总结与高考预测（一）方法总结1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：（1）集合的运算及文氏图（2）函数图象，导数的几何意义（3）解析几何中方程的曲线（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。

（二）高考预测1．在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。

数形结合的题目1. 已知一个圆的面积为 $\pi$，求它的周长。

解：圆的面积为$\pi r^2$，所以$r=1$。

周长为$2\pi r=2\pi$。

2. 在一个边长为 $1$ 的正方形中，一只苍蝇从一个角爬到另一个角，求苍蝇爬行的最短距离。

解：由于正方形的两条对角线相等，所以苍蝇从一个角到另一个角的最短距离为对角线的长度，即 $\sqrt{2}$。

3. 已知一个等边三角形的周长为 $6$，求其面积。

解：设该三角形的边长为 $a$，则 $a\times 3=6$，即 $a=2$。

由于该三角形是等边三角形，所以它的高等于边长的一半，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。

所以该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

4. 在一个正方形中，一条对角线被分成两段，比为 $3:4$。

求正方形的边长。

解：设正方形的边长为 $a$，则对角线的长度为 $\sqrt{2}a$。

由于对角线被分成的两段比为 $3:4$，所以两段分别为$\frac{3}{7}\sqrt{2}a$ 和 $\frac{4}{7}\sqrt{2}a$。

根据勾股定理，我们得到$(\frac{3}{7}\sqrt{2}a)^2+(\frac{4}{7}\sqrt{2}a)^2=(\sqrt{2}a)^2$，化简得 $a=7$。

5. 已知半径相等的两个圆相切，其中一个圆的面积为$16\pi$，求另一个圆的面积。

解：由于两个圆相切，所以它们的切点处连线的长度等于两个圆的半径之和，即 $r+r=2r$。

设另一个圆的面积为 $S$，则$S=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2$。

设第一个圆的面积为 $16\pi$，则 $\pi r^2 = 16\pi$，即 $r=4$。

所以另一个圆的面积为 $3\pir^2=3\times 16\pi=48\pi$。

数形结合初中数学题
数形结合是初中数学中一个重要的概念,是指将数与形结合起来进行思考和推理。

以下是一些数形结合的初中数学题:
1. 一个圆的半径是2,它的面积是多少?
2. 一根长度为6cm的棒,它的周长是多少?
3. 一张桌子上有n个苹果,它们的重量之和是20千克,每个苹果的重量是多少?
4. 一个矩形的长和宽相等,高是4cm,它的面积是多少?
5. 一个三角形的三个底之和等于12,求这个三角形的高的值。

6. 一根长度为10cm的棒,它的重心在它的5cm直径的截面的中心,那么这个棒的质量是多少?
7. 一个正方形的边长是5cm,它的周长是多少?
8. 一个圆的半径是3cm,它在平面上的位置是A,它在立体空间的坐标是多少?
这些题目通过将数形结合,提供了更多的思考方法和解决问题的思路。

学生可以通过理解这些题目,掌握数形结合的概念和技巧,提高自己的数学思维能力。

⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。

⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。

⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。

专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。

2。

」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。

高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =−，由()0g x =得2log x x =−.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =−的图像， 由图像知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例2、（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a a f a −=−．易知1e ex x y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图像，如图所示，则两图像交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例3、（2023·全国·高三专题练习）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x −'=>， 由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0x f x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln e πe<， 所以eln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 在同一坐标系中作出xy =与y x =的图像，如图：由图像可知在()2,4中恒有x x >， 又2π4<<，所以ππ>， 又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以e πe πe π=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例3、（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()lng x x =，()31h x x =−的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=， 由题意可得：1ln a α=， 令()1ln G x x x=−，则α为()G x 的零点， 可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->， ∴()1,e α∈；又∵()31h x x =−，则()23h x x '=， 由题意可得：3213ββ−=，令()3231H x x x =−−，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=−=−，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞−，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈−∞时，()()010H x H ≤=−<，则()H x 在(),2−∞内无零点， 当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =−<=>，则()3,4β∈， 综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.。