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第 2 讲数形联合思想1．数形联合的数学思想：包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大概能够分为两种情况：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精准性和规范严实性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精准地说明曲线的几何性质．2．运用数形联合思想剖析解决问题时，要按照三个原则：(1)等价性原则．在数形联合时，代数性质和几何性质的变换一定是等价的，不然解题将会出现破绽．有时，因为图形的限制性，不可以完好的表现数的一般性，这时图形的性质只好是一种直观而浅易的说明，要注意其带来的负面效应．(2)两方性原则．既要进行几何直观剖析，又要进行相应的代数抽象探究，仅对代数问题进行几何剖析简单犯错．(3)简单性原则．不要为了“数形联合”而数形联合．详细运用时，一要考虑能否可行和能否有益；二要选择好打破口，适合设参、用参、成立关系、做好转变；三要发掘隐含条件，正确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应想法选择动直线与定二次曲线．3．数形联合思想解决的问题常有以下几种：(1)建立函数模型并联合其图象求参数的取值范围．(2)建立函数模型并联合其图象研究方程根的范围．(3)建立函数模型并联合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)建立函数模型并联合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构成立体几何模型研究代数问题．(6)建立分析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)建立方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、地点关系、性质等．4．数形联合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇异功能，这就要求我们在平常学习中增强这方面的训练，以提升解题能力和速度．详细操作时，应注意以下几点：(1)正确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法议论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种卓有成效的方法，值得注意的是第一要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适合调整，以便于作图 )，而后作出两个函数的图象，由图求解．热门一 利用数形联合思想议论方程的根例 1(2014 ·山东 )已知函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1， g( x)＝ kx ，若方程 f(x) ＝ g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ()11 ， 1)A ．(0， )B ． (22C ． (1,2)D ． (2，＋ ∞)答案 B分析先作出函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1 的图象，如下图，当直线 g(x)＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)＝ kx 过 A 点时斜率为1，故 f(x)＝ g(x) 有两个不相等的实根时，k 的范围为 (1， 1)．22思想升华 用函数的图象议论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟习函数的表达式 (不熟习时，需要作适合变形转化为两个熟习的函数 )，而后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程 解的个数．x 2＋bx ＋ c ， x ≤0，设函数 f(x)＝ 若 f(－ 4)＝ f(0)， f( － 2)＝－ 2，则对于 x 的方程2， x>0，f(x)＝ x 的解的个数为 ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． 4答案 C分析由 f(－ 4)＝ f(0)， f(－2) ＝－ 2，x 2＋ 4x ＋ 2， x ≤0，解得 b ＝4， c ＝ 2，∴ f(x)＝2， x>0.作出函数 y ＝ f(x)及 y ＝ x 的函数图象如下图，由图可得交点有 3 个．热门二利用数形联合思想解不等式、求参数范围例 2(1)已知奇函数 f(x)的定义域是 { x|x≠0， x∈R } ，且在 (0，＋∞)上单一递加，若f(1)＝ 0，则知足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 ________．1(2) 若不等式 |x－ 2a| ≥x＋ a－ 1 对 x∈R恒成立，则 a 的取值范围是 ________．2答案 (1)( － 1,0)∪ (0,1)(2)－∞，12分析(1) 作出切合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 (－ 1,0)∪ (0,1)．1(2) 作出 y＝ |x－ 2a|和 y＝2x＋ a－1 的简图，依题意知应有2a≤2－ 2a，1故 a≤2.思想升华求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特色，选择适合的两个(或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下地点关系转变数目关系来解决问题，常常能够防止烦杂的运算，获取简捷的解答．(1)设 A＝{( x， y)|x2＋ (y－1) 2＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x＋ y＋ m≥0}，则使 A? B 成立的实数 m 的取值范围是 __________ ．(2) 若不等式9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为区间 [a， b] ，且 b－a＝ 2，则 k＝ ________.答案(1)[2－ 1，＋∞) (2)2分析(1) 会合 A 是一个圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上的点的会合，会合 B 是一个不等式 x＋y＋ m≥0 表示的平面地区内的点的会合，要使 A? B，则应使圆被平面地区所包括(如图 )，即直线 x＋ y＋ m＝ 0 应与圆相切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有|m＋1|＝1，又 m>0，2因此 m＝2－ 1，故 m 的取值范围是 m≥ 2－ 1.(2) 令 y1＝ 9－ x2，y2＝ k(x＋ 2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为 [a， b]且 b－ a＝ 2.联合图象知b＝ 3， a＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2)．又因为点 ( －2，－2)在直线上，22＋2因此 k＝＝ 2.热门三 利用数形联合思想解最值问题例 3 (1)已知 P 是直线 l ： 3x ＋4y ＋ 8＝ 0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x 2＋ y 2－ 2x － 2y ＋ 1＝0 的两条切线， A 、 B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为 ________．x － 2y ＋ 1≥0，)(2) 已知点 P(x ， y)的坐标 x ， y 知足则 x 2＋ y 2－ 6x ＋9 的取值范围是 (|x|－y － 1≤0， A ． [2,4] B ． [2,16] C ． [4,10] D ． [4,16]答案 (1)2 2 (2)B分析(1) 从运动的看法看问题，当动点P 沿直线 3x ＋ 4y ＋8＝ 0 向左上方或右下方无量远处运动时，直角三角形PAC 的面积S＝1Rt △PAC21 P 从左上、|PA| |AC|·＝ |PA|愈来愈大，进而 S 四边形 PACB 也愈来愈大；当点2右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，明显，当点 P 抵达一个最特别的地点，即CP垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有独一的最小值， 此时 |PC|＝ |3 ×1＋ 4×1＋ 8|＝ 3，32＋ 42进而 |PA|＝ |PC |2－ |AC|2 ＝ 2 2.1 因此(S四边形 PACB )min ＝ 2× ×|PA| ×|AC|＝ 22.2(2) 画出可行域如图，所求的 x 2＋ y 2－ 6x ＋ 9＝ (x － 3)2＋ y 2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线 x － y － 1＝ 0(x ≥0)的距离 d 的平方，最大值为 |QA|2＝ 16.2|3－ 0－ 1|2＝ ( 2∵ d ＝ (22)2) ＝2.1 ＋ －∴ 取值范围是 [2,16] ．思想升华 (1) 在几何的一些最值问题中，能够依据图形的性质联合图形上点的条件进行变换，迅速求得最值．(2) 假如 (不 )等式、代数式的构造包含着明显的几何特色，就要考虑用数形联合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013 ·重庆 )设 P 是圆 (x － 3)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2x － y ＋ 1≤0，(2) 若实数 x 、y 知足 x>0，则 y的最小值是 ____．xy ≤2，答案(1)B (2)2分析(1) 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－ 1)，圆的半径长为 2，|PQ |的最小值为圆心到直线x＝－ 3 的距离减去圆的半径长，因此|PQ|min＝3－ (－ 3)－ 2＝ 4.应选 B.(2)可行域如下图．又y的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. x由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小．联立x－ y＋ 1＝ 0，得 A(1,2)，y＝ 2，因此 k OA＝2－0＝ 2.因此y的最小值为 2. 1－ 0x1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面地区、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的门路，当试题中波及这些问题的数目关系时，我们能够经过图形剖析这些数目关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，纯真从图形上没法看出问题的结论，这就要对图形进行数目上的剖析，经过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形联合解题，有时只需把图象大概形状画出即可，不需要精准图象．4．数形联合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1． (2013 ·重庆 )已知圆 C1： (x－ 2)2＋ (y－3) 2＝1，圆 C2： (x－ 3)2＋ (y－4)2＝9， M， N 分别是圆C1， C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 |PM|＋ |PN|的最小值为 ()A ．52－ 4 B.17－ 1C．6－2 2 D.17答案A分析设 P(x,0) ，设 C1对于 x轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC121′|＋(2,3)|＋ |PC |＝ |PC|PC2 |≥|C1′C2|＝－ 2 ＋－ 3－2＝5 2.而 |PM |＋ |PN|＝ |PC1|＋ |PC2|－ 4≥5 2－ 4.2． (2014 ·江西 )在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C面积的最小值为 ()4 A. 5π3 B. 4πC． (6－2 5) π5 D. 4π答案A分析∵∠ AOB ＝90°，∴点 O 在圆 C 上．设直线 2x＋ y－ 4＝0 与圆 C 相切于点 D ，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线2x＋ y－ 4＝0 的距离，∴点 C 在以 O 为焦点，以直线2x＋ y－ 4＝ 0 为准线的抛物线上，∴当且仅当O， C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD |＝ |2 ×0＋ 0－ 4|＝ 4 ，55∴圆 C 的最小半径为2，5∴圆 C 面积的最小值为224π.π( )＝55－ x2＋ 2x， x≤0，3． (2013 ·课标全国Ⅰ )已知函数 f(x)＝若 |f(x)| ≥ax，则 a 的取值范围是 ()x＋， x>0.A ． (－∞，0]B．(－∞，1]C． [－2,1] D ． [－ 2,0]答案D分析函数 y＝ |f(x)|的图象如图．①当 a＝0 时， |f(x)|≥ax 明显成立．②当 a>0 时，只需在 x>0 时，ln( x＋1) ≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y＝ ax 的增加速度．明显不存在a>0 使 ln( x＋ 1)≥ax 在 x>0 上恒成立．2③当 a<0 时，只需在x<0 时， x －2x≥ax 成立．综上所述：－2≤a≤0.应选 D.4． (2014 ·天津 )已知函数 f(x)＝ |x2＋ 3x|， x∈R.若方程 f(x)－ a|x－ 1|＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ________．答案(0,1)∪ (9，＋∞)分析设 y1＝ f(x)＝ |x2＋ 3x|， y2＝ a|x－ 1|，在同向来角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|， y2＝ a|x－ 1|的图象如下图．由图可知 f(x)－a|x－ 1|＝ 0 有 4个互异的实数根等价于y1＝ |x2＋ 3x|与 y2＝ a|x－ 1|的图象有 4 个不一样的交点．当 4 个交点横坐标都小于 1 时，y＝－ x2－3x，有两组不一样解x1， x2，y＝ a － x消 y 得 x2＋ (3－ a) x＋a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x1＋ x2＝ a－ 3<2， x1x2＝a<1 ，联立可得 0<a<1.当 4 个交点横坐标有两个小于1，两个大于 1 时，y＝ x2＋ 3x，有两组不一样解x3， x4.y＝ a x－消去 y 得 x2＋ (3－ a)x＋ a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x3＋ x4＝ a－ 3>2， x3x4＝a>1 ，联立可得 a>9，综上知， 0< a<1 或 a>9.押题精练221．方程 |x－2x|＝ a ＋ 1(a>0)的解的个数是 ()A ．1 B．2 C．3 D．4答案B分析(数形联合法 )∵a>0 ，∴ a2＋ 1>1.而 y＝ |x2－ 2x|的图象如图，∴ y＝ |x2－ 2x|的图象与y＝a2＋1 的图象总有两个交点．22．不等式 |x＋ 3|－ |x－ 1| ≤a－3a对随意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()A ． (－∞，－ 1]∪ [4，＋∞)B ． (－∞，－ 2]∪ [5，＋∞)C． [1,2]D ． (－∞，1] ∪[2，＋∞)答案A－ 4x<－，分析f(x)＝ |x＋ 3|－ |x－ 1|＝2x＋ 2－ 3≤x，画出函数f(x)的4x≥图象，如图，能够看出函数f(x)的最大值为4，故只需 a2－3a≥4 即可，解得 a≤－ 1 或 a≥4.正确选项为A.3．经过P(0，－ 1)作直线l，若直线l 与连结 A(1，－ 2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l________，________.的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为答案π3π[－1,1] [0， ]∪[， π)44分析如下图，联合图形：为使l 与线段 AB 总有公共点，则 k PA ≤k ≤k PB ，而 k PB >0， k PA <0 ，故 k<0 时，倾斜角 α为钝角， k ＝ 0 时， α＝ 0， k>0 时， α 为锐角．－ 2－－又 k PA ＝＝－ 1，1－ 0－ 1－1k PB ＝＝ 1， ∴－ 1≤k ≤1.0－ 2π又当 0≤k ≤1 时， 0≤α≤ ；4当－ 1≤k<0 时，3ππ 3π4 ≤α<π故.倾斜角 α的取值范围为 α∈ [0， 4]∪[， π)．42x ＋ 3y － 6≤0，4． (2013 ·山东 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组 x ＋ y － 2≥0，所表示的地区上一y ≥0动点，则 |OM|的最小值是 ________．答案 2分析由题意知原点 O 到直线 x ＋ y － 2＝ 0 的距离为 |OM|的最小值．因此 |OM|的最小值为2＝ 2.25． (2013 ·江西 )过点 ( 2，0) 引直线 l 与曲线 y ＝ 21－ x 订交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为 ________．3答案 － 3分析11 1∵S△ AOB＝|OA ||OB|sin ∠ AOB ＝ sin ∠ AOB ≤ .2 22π当 ∠ AOB ＝ 2时， S △ AOB 面积最大．2此时 O 到 AB 的距离 d ＝ 2 .设 AB 方程为 y ＝ k(x － 2)(k<0)，即 kx － y － 2k ＝ 0.由 d ＝| 2k|＝2得 k ＝－3k 2＋ 1 2 3 .6．设函数 f(x)＝ ax 3－ 3ax ， g(x)＝ bx 2－ ln x(a ， b ∈ R )，已知它们在 x ＝ 1 处的切线相互平行．(1) 求 b 的值；(2) f x ， x ≤0， a 的取值范围．若函数 F(x)＝且方程 F( x)＝ a 2有且仅有四个解，务实数gx ，x>0 ，解函数 g(x)＝ bx2－ ln x 的定义域为 (0，＋∞)，(1) f′(x)＝ 3ax2－3a? f′(1)＝ 0，1g′(x)＝ 2bx－x? g′(1)＝ 2b－ 1，1依题意得2b－ 1＝0，因此 b＝2.1(2) x∈(0,1) 时， g′(x)＝ x－x<0，即 g( x)在 (0,1)上单一递减，1x∈ (1，＋∞)时， g′(x)＝ x－x>0，即 g(x)在 (1，＋∞)上单一递加，1因此当 x＝ 1 时， g(x)获得极小值g(1) ＝；当 a＝ 0 时，方程 F(x)＝ a2不行能有四个解；当 a<0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1) 上单一递减，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递加，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极小值f( －1)＝ 2a，又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象能够看出F(x)＝a2不行能有四个解．当a>0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递减，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极大值f( －1)＝ 2a.又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (2)所示，从图 (2)看出，若方程F(x) ＝ a 2有四个解，则122<a <2a，因此，实数 a 的取值范围是2. 2， 2。
1 / 11⎢- , 高考数学（理科）专题练习数形结合思想1. 方程 题组 1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题x 2 - 2x = a 2 + 1(a > 0) 的解的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知函数f (x )= log 2 x⎛ 1 ⎫x- ⎪⎝ 2 ⎭ ，则下列结论正确的是()A.f (x )有三个零点，且所有零点之积大于-1B.f (x )有三个零点，且所有零点之积小于-1C. f (x )有四个零点，且所有零点之积大于 1D.f (x )有四个零点，且所有零点之积小于 13．(2016·广州二模)设函数f (x )的定义域为 R ， f (-x )= f (x )， f (x )= f (2 - x )，当 x ∈[0,1]时，f (x )= x 3g (x )= cos (πx ) - f (x ) ⎡ 1 5 ⎤ 2 2 ⎦，则函数 在 上的所有零点的和为()A ．7B ．6C ．3D ．24．(2016·合肥二模)若函数 f (x )= a + sin x 在[π, 2π]上有且只有一个零点，则实数a = ．2 / 11⎪,( ) { } ( ) ( ) ( ) ⎨ 1 ⎪x 3, x ≤ a f (x )= ⎩⎨x 2 , x > a b g (x )= f (x )= b a5. 已知函数 若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是．题组 2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围log a x > sin 2x (a > 0, a ≠ 1) x ∈⎛ 0, π ⎫4 6. 若不等式 对任意 ⎝ ⎭ 都成立，则a 的取值范围为( )⎛ 0, π ⎪⎫ ⎛ π ,1⎫⎪A ．⎝ 4 ⎭ B ．⎝ 4 ⎭⎛ π π⎫C ． ⎝ 4 2 ⎪⎭D ．(0,1) f x x | x ≠ 0 f 1 = 1 f ' x f x 7．(2016·黄冈模拟)函数 是定义域为 的奇函数，且 ， 为的导函数，当f (x )+ xf ' (x )> 1x > 0 时， x ，则不等式 xf (x )> 1 + ln x 的解集是( )A ． (-∞, -1) (1, +∞) C ．(1, +∞) x - 2a ≥ 1x + a -1B ． (-∞, -1) D ．(-1,1) (－1，1)8. 若不等式2 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是 ．⎧ lg x , 0 < x ≤ 10f (x )= ⎪ - x + 6, x > 10 f (A )= f (B )= f (C ) abc9. 已知函数 ． ⎪2 若 a ，b ，c 互不相等，且f (x )= sin ⎛2x + π ⎫ π 3 ⎪，则 f (x )的取值范围是π 10. 已知函数⎝ ⎭ 的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数 的图象向右平移8 个 ⎡ π ⎤0,单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 g (x )的图象，若 g (x )+ k = 0 在⎢ 2 ⎦ 上有且 x ∈3 / 11F l C 只有一个实数根，则 k 的取值范围是 ．题组 3 利用数形结合解决解析几何问题C : ( x - 3 )2+(y-4)2 = 1A (-m , 0)B (m , 0 )m ( > 0)C P11. 已知圆和两点 ，．若圆 上存在点 ，使得∠APB = 90o ，则 m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4y 2 = 2 px (p > 0 ) 12．(2016·衡水模拟)过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 与抛物线的准线交于点 A ，且 AF = 6， AF = 2BF ，则BC = ( )9A ．213C ．2B ．6D ．813. 已知P 是直线l : 3x + 4 y + 8 = 0 上的动点， PA ， PB 是圆 x 2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 = 0 的两条切线， A ， B 是切点，C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ．已知过原点的动直线l 与圆 C 1:x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B ．(1) 求圆C 1 的圆心坐标；(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ，使得直线l : y = k (-4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．14.⎥2高考数学（理科）专题练习数形结合思想答案1．B2．A3．A4．15．(-∞, 0) (1, +∞) 6．A7．A⎛-∞,1 ⎤8．⎝⎦9．(10,12)⎧k | -1<k ≤1或k=- 1⎫⎨ 2 2 ⎬10．⎩⎭11．B12．A13．2C x2 +y2 - 6x + 5 = 0 (x-3)2+y2=4(3, 0)14.解：(1)圆 1 的方程可化为，所以圆心坐标为． 2 分(2)设A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )(x1 ≠x2 )，24 / 115 / 11= ⎝ 3 l2 2 2M (x , y) x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 20 0 ，则， 02 ． 由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为 y = tx ．C(1+ t 2 )x 2 - 6x + 5 = 0 将上述方程代入圆 1 的方程，化简得 ． 5 分6 3∆ = 36 - 20(1+ t 2 )> 0(*) x 1 + x 2 = 1 + t 2 x 0 = 1 + t 2 l由题意，可得 ， ，所以 ，代入直线 的方程，得3t y 0 1 + t 2． 6 分9 9t 2 9(1+ t 2 ) 9 3 9 x 0 + y 0 = (1 + t )2 + (1 + t )2 = (1 + t )2= 1 + t 2 = 3x 0 ⎛ ⎫ + y 2= x 0 - 2 ⎪ 04因为 ，所以⎝ ⎭ ．(*) t 2 < 45< x ≤ 3 由 解得 5 ，又t 2≥ 0 ，所以 3 0 ．⎛3 ⎫29 ⎛ 5 ⎫x - ⎪ 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程为⎝ 2 ⎭+ y 2= 4 3 < x ≤ 3⎪⎭ ． 8 分⎛ 5 ,3⎤⎥(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝⎦ 上的一段圆弧．D ⎛ 5 , 2 5 ⎫E ⎛ 5 , -2 5⎫ F (3, 0) G (4, 0)如图， ⎝ 3 3 ⎭ ， ⎝ 3 3 ⎭， ，直线l 过定点 ．(1 + k 2)x 2- 3( - 8k 2 x + 16k 2 = 0联立直线 的方程与曲线 的方程，消去 y 整理得．k = ± 3 I = 12 ∈⎛ 5 ,3⎤令判别式∆ = 0 ，解得4 ，由求根公式解得交点的横坐标为x H ， 5 ⎝ 3 ⎦ ． 11 分 0 26 / 112 5 7 由图可知：要使直线l 与曲线C 只有一个交点，则 k ∈[k DG , k EG ] {k GH , k GI }，即⎡ k ∈ ⎢- 2 5 ⎤ ⎧ 3 3 ⎫ , 7 ⎥ ⎨- , ⎬⎣ ⎦ ⎩ 4 4 ⎭ ． 12 分7 / 11( )1 11 5 151 5上的零点的和为 7，故选 A ． 高考数学（理科）专题练习数形结合思想 解 析1．∵a ＞0，∴a 2＋1＞1． 而 y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与 y ＝a 2＋1 的图象总有 2 个交点．12. 在同一坐标系中分别作出 f 1(x )＝|log 2|x ||与 f 2(x )＝2 x 的图象，如图所示，由图象知 f 1(x )与 f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是 x 1，x 2，x 3， (－2) (－4)2 4 2因为 f＜0，f1＞0，所以－ ＜x 1＜－ ，同理 ＜x 2＜1，1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－8，即所有零点之积大于－1．3. 函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在[－2，2 ]上的零点为函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )的交点的横坐标．因为 f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数 f (x )为关于 x ＝1 对称的偶函数，又因为当 x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则 在平面直角坐标系内画出函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )在[－2，2 ]内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有 7 个交点，不妨设从左到右依次为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以 x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x ) [－2，2 ]4. 函数 f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程 a ＋sin x ＝0 在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与 y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得 a ＝1．1 1 1 在8 / 114(5. 函数 g (x )有两个零点，即方程 f (x )－b ＝0 有两个不等实根，则函数 y ＝f (x )和 y ＝b的图象有两个公共点．①若 a ＜0，则当 x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当 x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．②若 0≤a ≤1，则 a 3≤a 2，函数 f (x )在 R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 y ＝b 至多有一个公共点．③若 a ＞1，则 a 3＞a 2，函数 f (x )在 R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0 或 a ＞1．6. 记 y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为 y 1＞y 2，由题意作出两个函数(π，1) π4 π4的图象，如图所示，知当 y 1＝log a x 的图象过点 A时，a ＝ ，所以当 ＜a ＜1 时，π 0，对任意 x ∈ 都有 y 1＞y 2．7. 令 g (x )＝xf (x )－ln|x |，则 g (x )是偶函数，9 / 113((1且当 x ＞0 时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－x ＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式 xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)，∴|x |＞1，解得 x ＞1 或 x ＜－1．故选 A ．1 18. 作出 y ＝|x －2a |和 y ＝2x ＋a －1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－2a ，故 a ≤2．]9. 作出 f (x )的大致图象．由图象知，要使 f （A ）＝f （B ）＝f （C ），不妨设 a ＜b ＜c ，1则－lg a ＝lg b ＝－2c ＋6．∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝C ． 由图知 10＜c ＜12，∴abc ∈(10，12)．π T π π10. 因为 f (x )相邻两条对称轴之间的距离为4，结合三角函数的图象可知2＝4，即 T ＝2．2π π 2ω 2 (4x ＋π)又 T ＝ ＝ ，所以 ω＝2，f (x )＝sin ．π π π π[ ( ) ] ( 4 x － ＋ 4x －将 f (x )的图象向右平移 个单位得到 f (x )＝sin 8 π 2x －原来的 2 倍得到 g (x )＝sin 的图象．π2x －所以方程为 sin＋k ＝0.ππ ＝sin 8 的图象，再将所有点的横坐标伸长为[60，令 2x － ＝t ，因为 x ∈ 2 ，π 5π 所以－6≤t ≤ 6 ．ππ5π[0，]－，]若g(x)＋k＝0 在x∈上有且只有一个实数根，即y＝sin t 与y＝－k 在 6 6 上有且只有一个交点．如图所示，由正弦函数的图象可知1 1－2≤－k＜2或－k＝1，1 1即－2＜k≤2或k＝－1．]11.根据题意，画出示意图，如图所示，1则圆心C 的坐标为(3，4)半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝2|AB|＝m．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6．32＋42＝5，所以→→AF FB12.如图所示，直线与抛物线交于B，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵ ＝2 ，∴F 在A，B 中间，C 在A，F 之间，分别过B，C 作准线的垂线BB1，CC1，垂足分别为B1，C1．由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|CF|＝|CC1|．→→AF FB∵ ＝2 ，|AF|＝6，∴|FB|＝|BB1|＝3．由△AFK∽△ABB1可知，|FK| |AF||BB1|＝|AB|，∴|FK|＝2．10 / 1111 / 11 32＋42 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，|CC 1| |AC |由△ACC 1∽△AFK ，得 |FK | ＝|AF |．a 6－a 3∴2＝ 6 ，∴a ＝2．3 9∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋2＝2．13. 从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x ＋4y ＋8＝0 向左上方或右下方无1 1穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S Rt △PAC ＝2|PA |·|AC |＝2|PA |越来越大，从而 S 四边形PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，|3 × 1＋4 × 1＋8|此时|PC |＝ ＝3，从而|PA |＝ |PC |2－|AC |2＝2 2．1所以(S 四边形PACB )min ＝2×2×|PA |×|AC |＝2 2．14. 14．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
第2讲 数形结合思想真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝－2＋－3－2＝5 2.而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π. 3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a －x 有两组不同解x 1，x 2， 消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1.当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋3x ，y ＝a x －有两组不同解x 3，x 4.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9，综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 x <－，2x ＋2 －3≤x ， 4 x 画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k P A ＝－2－－1－0＝－1， k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4； 当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)． 4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．答案 2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. 6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行．(1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≤0，g x ，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围． 解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，(1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1， 依题意得2b －1＝0，所以b ＝12. (2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x<0，即g (x )在(0,1)上单调递减， x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12； 当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增，x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示， 从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． 又因为点(－2，－2)在直线上， 所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三 利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.(2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2， 消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9， 综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 答案2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值． 所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数，∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点： ①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率． 所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AM OA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有 (1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥则y x －x y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]答案 B解析 作出不等式组301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x，f (t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A.答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.。
二数形结合思想
以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
2.若2x>2x>log2x ，则x的取值范围为( )
A．(3，4) B．(4，＋∞)
C．(0，2) D．(1，2)
对接训练
2.已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范
围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
二数形结合思想
[例2]
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝2x，y＝log2x的图象，如图所示，根据数形结合可知：当1<x<2时，2x>2x>log2x，∴x的取值范围为(1，2)．故选D.
答案：D
对接训练
2.
解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)
的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
答案：C。
专题能力训练20 数形结合思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)2.函数f(x)=lg(|x|+1)-sin 2x的零点个数为()A.9B.10C.11D.123.(2017浙江杭州适应性考试)若函数y=kx的图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数k的最大值为()A.1B.2CD4.已知集合M={(x,y)|x2+y2≤1},若实数λ,μ满足:对任意的(x,y)∈M,都有(λx,μy)∈M,则称(λ,μ)是集合M的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是()A.{(λ,μ)|λ+μ=4}B.{(λ,μ)|λ2+μ2=4}C.{(λ,μ)|λ2-4μ=4}D.{(λ,μ)|λ2-μ2=4}5.已知点P是抛物线y2=-16x上一点,设P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是()A.4B.6C.7D.86.设函数f(x)=若关于x的方程f(x)-log a(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根,则实数a的取值范围是()A.(1,)B.(,+∞)C.(,+∞)D.()7.圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆M的方程为(x-2-5sin θ)2+(y-5cos θ)2=1(θ∈R),过圆C 上任意一点P作圆M的两条切线PE,PF,切点分别为E,F,则的最小值为()A.6 B C.7 D8.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,=-2,动点P,M满足||=1,,则||2的最大值是() ACD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江吴越联盟第二次联考)若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则x-y的取值范围是.10.对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.11.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为.12.已知a是实数,函数f(x)=2a|x|+2x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是.13.已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=a·b=3,若(c-2a)=0,则|b-c|的最小值是.14.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.16.(本小题满分15分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点,若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.参考答案专题能力训练20数形结合思想1.D2.D解析由于y=lg(|x|+1)=画出函数图象,注意y=lg(x+1)的图象就是把y=lg x的图象向左平移一个单位,取x≥0的部分,另外这个函数是偶函数,图象关于y轴对称即可,再画出函数y=sin 2x的图象,如下图所示:注意周期为π,两个图象原点左侧有6个交点,在原点右侧有5个交点,另外在原点相交,共计12个交点,因此函数f(x)零点个数为12,选D.3.B解析约束条件对应的平面区域是以点(1,2),(1,-1)和(3,0)为顶点的三角形,当直线y=kx经过点(1,2)时,k取得最大值2,故选B.4.C5.C解析设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义可知d1=|PF|,故d1+d2的最小值就是点F到直线x+y-10=0的距离,即=7.6.C解析要使方程f(x)-log a(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根,只需y=f(x)与y=log a(x+1)的图象在区间[0,5]内恰有5个不同的交点,在同一坐标系内作出它们的图象,要使它们在区间[0,5]内恰有5个不同的交点,只需得a>,故选C.7.B解析由题意可得,圆C的圆心坐标为(2,0),半径为2,圆M的圆心坐标为(2+5sin θ,5cos θ),半径为1,∵|CM|=5>2+1,∴两圆相离.∵=||·||·cos ∠EPF,要使最小,则需||·||最小,∠EPF最大.如图,直线CM和圆C交于点H,则的最小值为,又|HM|=5-2=3,|HE|==2,sin∠MHE=,∴cos ∠EHF=.∴=||·||cos ∠EHF=2×2.故选B.8.B解析由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,||=||=||=2.以D为原点,直线DA为x轴,过点D的DA的垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(2,0),B(-1,-),C(-1,).设P(x,y),由已知||=1,得(x-2)2+y2=1,∵,∴M.∴.∴,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-3)距离平方的,∴(||2)max=,故选B.9.[-2,0] 解析由约束条件作出可行域如图,由图可知,A(1,1),B(0,2),令z=x-y,化为y=x-z,当直线y=x-z过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为0;直线y=x-z过B时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-2.∴x-y的取值范围是[-2,0].10. 解析由定义可知,f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,当0<m<时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3.不妨设x1<x2<x3,易知x2>0,且x2+x3=2×=1,∴x2x3<.令解得x=或x=(舍去).∴<x1<0,∴<x1x2x3<0.11.解析圆的半径r=1,正方形ABCD的边长a=1,正方形的边为弦时所对的圆心角为,正方形在圆上滚动了三圈,点的顺序依次为如图,第一次滚动,点A的路程A1=×|AB|=,第二次滚动时,点A的路程A2=×|AC|=π,第三次滚动时,点A的路程A3=×|DA|=π,第四次滚动时,点A 的路程A4=0,点A所走过的路径长度为3(A1+A2+A3+A4)=.12.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析易知a≠0,f(x)=0,即2a|x|+2x-a=0,变形得|x|-=-x.分别画出函数y1=|x|-,y2=-x的图象(如图所示),由图易知:当0<-<1或-1<-<0时,y1和y2的图象有两个不同的交点,∴当a<-1或a>1时,函数y=f(x)有且仅有两个零点,∴a∈(-∞,-1)∪(1,+∞).13.2-解析由题意,得<a,b>=,故如下图建立平面直角坐标系,设a=(1,),b=(3,0),c=(x,y),∴(c-2a)·=0⇒(x-2)2+y(y-2)=0⇒(x-2)2+(y-)2=3,其几何意义为以点(2,)为圆心,为半径的圆,故其到点(3,0)的距离的最小值是2-.故选A.14. 解析设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D.取点C.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=,k PA==1,所以≤a<1.15.解 (1)f(x)=sin 2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,由题意知,最小正周期T=2×,T=,∴ω=2,∴f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象.∴g(x)=sin.令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数g(t)=sin t与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1.∴-<k≤或k=-1.16.解 (1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),∵点M为弦AB中点,即C1M⊥AB,∴·k AB=-1,即=-1,∴线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,为半径的部分圆弧EF(如下图所示,不包括两端点),且E,F,又直线l:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线l与圆C相切时,由得k=±,又k DE=-k DF=-,结合上图可知当k∈时,直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.。
第2讲 数形结合思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么yx的最大值为________．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12， x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是____________．3．若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．4．函数f (θ)＝sin θ2＋cos θ的最大值为________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．7．已知y ＝f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1 (k ∈R ，k ≠1)有4个根，则k 的取值范围为__________．8． 设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1,2]上f (x )＝________.9．若方程x 3－3x －a ＝0有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．10．函数f (x )＝x 2＋9＋(x －3)2＋1的最小值为________．11．若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.12．y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6， x ≥－2－6－3x ， x <－2，若不等式f (x )≥2x －m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．二、解答题13．不等式x 2＋|2x －4|≥p 对所有x 都成立，求实数p 的最大值．14.设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．15．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1 (x ∈R )． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值；(3)试讨论函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 的交点个数． 答 案1. 3 2．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 3.⎝⎛⎦⎤512，34 4．1 5．1 6．2 7.⎝⎛⎭⎫－13，0 8．x 9．(－2,2) 10．5 11. 2 12．[－4，＋∞) 13．解 构造函数f (x )＝x 2＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－5 (x ≥2)，(x －1)2＋3 (x <2).作出函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知f (x )的最小值为3， ∴p ≤3，即p 的最大值为3. 14．解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a ，②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4 (y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，其倾斜角为α，则有tan α＝43，0<α<π2，∴sin α＝45，cos α＝35，OA ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°＋α2＝2·1－cos (90°＋α)sin (90°＋α)＝2·1＋sin αcos α＝2⎝⎛⎭⎫1＋4535＝6. 要使f (x )≤g (x )在x ∈[－4,0]时恒成立，则②所表示的直线应在直线AT 的上方或与它重合，故有1－a ≥6，∴a ≤－5.15．解 (1)x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a－x 2＋ax ＋1， x <a，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a ；②当1<a ≤2时，x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴x ＝a2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0， 所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.(3)因为a >0，所以a >a2，所以y 1＝x 2－ax ＋1在[a ，＋∞)上递增；y 2＝－x 2＋ax ＋1在⎝⎛⎭⎫－∞，a 2上递增，在⎣⎡⎭⎫a2，a 上递减． 因为f (a )＝1，所以当a ＝1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有2个交点；又f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24＋1≥2·a 2·1＝a ，当且仅当a ＝2时，等号成立．所以，当0<a <1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有1个交点； 当a ＝1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有2个交点； 当1<a <2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个交点； 当a ＝2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有2个交点；。
卜人入州八九几市潮王学校【专题八】数形结合的思想【考情分析】纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数〞。
巧妙的运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能防止复杂的计算与推理，大大简化理解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
其思想思维与方法也是高考中重点考察的思维才能之一。
【知识交汇】1、知识要点概述数与形是数学中和两个最古老的，也是最根本的对象，是数学中两个最古老、最根本的问题，是数学大厦深处的两块基石，数学的所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、开展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描绘.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联络，将数的问题利用形来观察，提醒其几何意义，而形的问题借助数去考虑，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合〞，寻找解题思路，使问题得到解决，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察.这种处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在数学中占有重要的地位.在高考中，充分利用选择题、填空题型的特点(这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程)，为考察数形结合的思想提供了方便，能突出考察学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考察那么以由“形〞到“数〞的转化为主.2、解题方法指导1.转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解.②转化为勾股定理或者平面上两点间的间隔等.③构造，比方构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①“由形化数〞：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提醒出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.②“由数化形〞：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提醒出数与式的本质特征.③“数形转换〞：就是根据“数〞与“形〞既对立，又统一的特性，观察图形的的形状，分析数与式的构造，引起联想，适时将它们互相转换，化抽象为直观及提醒隐含的数量关系.【思想方法】一、利用数形结合解决集合问题【例1】评注：对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；假设借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、详细，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。
专题强化训练(二) 数形结合思想一、选择题1．[2019·金华十校模拟]在下面四个x ∈[－π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |sin2x 的图象可能是( )解析：因为f (－x )＝|－x |sin(－2x )＝－|x |sin2x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ；当x ＝π时，f (π)＝πsin2π＝0，排除A ，故选C.答案：C2．[2019·江淮十校模拟]函数f (x )＝e x＋e－x4x的图象为( )解析：由f (－x )＝－e x＋e－x4x ＝－f (x )，得f (x )的图象关于原点对称，排除选项C ，D ；当x >0时，得f (x )>0，排除选项B ，故选A.答案：A3．[2019·甘肃二诊]函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，如图所示，则方程(f (x ))2－5f (x )＋6＝0的所有根之和为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：因为[f (x )]2－5f (x )＋6＝0，所以f (x )＝2或3.由函数y ＝f (x )的图象得f (x )＝2有两个根x 1，x 2，且两个根关于直线x ＝2对称，所以x 1＋x 2＝2×2＝4，同理f (x )＝3的两个根的和为x 3＋x 4＝2×2＝4，所以方程[f (x )]2－5f (x )＋6＝0的所有根之和为4＋4＝8，故选A.答案：A4．[2019·河南八市五模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.23D.63解析：如图，由题意可得，2b ＝c ，则2b 2＝c 2，即2(a 2－c 2)＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴c 2a 2＝23，即e ＝c a ＝63，故选D. 答案：D5．[2019·河南郑州质检三]我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数f (x )＝x 4|4x－1|的图象大致是( )解析：因为函数f (x )＝x 4|4x －1|，f (－x )＝(－x )4|4－x －1|＝x4|4－x －1|≠f (x )，所以函数f (x )不是偶函数，图象不关于y 轴对称，排除A 、B 选项；又因为f (3)＝8163，f (4)＝256255，所以f (3)>f (4)，而选项C 在x >0是递增的，排除C ，故选D.答案：D6．[2019·湖北重点中学起点考试]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N .若∠MFO ＝π3，则|MF ||MN |＝( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：如图，作MQ 垂直l 于Q ，则在Rt △MQN 中，∠MQN ＝π2，∠MNQ ＝π6，所以|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝12，故选C.答案：C7．[2019·湖南师大附中模拟]如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF →＝( )A.34AB →＋14AD →B.14AB →＋34AD →C.12AB →＋AD → D.34AB →＋12AD → 解析：根据题意，得AF →＝12(AC →＋AE →)，又AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →，所以AF →＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选D.答案：D8．[2019·宣城第二次调研]已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >d >bB ．a >d >c >bC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：由题意设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝2019＋g (x )，所以g (x )＝0的两个根是a 、b ，由题意知f (x )＝0的两根c ，d ，也就是g (x )＝－2 019的两根，画出g (x )以及直线y ＝－2 019的大致图象，则与f (x )交点横坐标就是c ，d ，f (x )与x 轴交点就是a ，b . 又a >b ，c >d ，则c ，d 在a ，b 内，由图得a >c >d >b ，故选A. 答案：A9．[2019·河南新乡二模]设a ，b ，c 分别是方程x ＋3＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x ＋3的实数根，则有( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <cD ．c <a <b解析：如图，方程x ＋3＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x ＋3的根转化为y ＝x ＋3和y ＝和y ＝x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x和y ＝的交点问题．在同一坐标系中画出函数图象，得c <a <b ，故选D. 答案：D10．[2019·大庆质检三]定义在R 上的函数f (x )同时满足：①对任意的x ∈R 都有f (x ＋1)＝f (x )；②当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x .若函数g (x )＝f (x )－log a x (a >0且a ≠1)恰有3个零点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，14B ．(1,2]C ．(2,3]D ．(3,4]解析：由题意得方程f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)有三个解，所以函数y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象有三个交点．因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋1)＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是周期为1的函数．又当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x ，画出函数y ＝f (x )的图象，如下图所示．又由题意可得，若函数y ＝log a x 的图象与函数y ＝f (x )的图象有交点，则需满足a >1.结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 2<1log a 3≥1，解得2<a ≤3，所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.答案：C11．[2019·江西八校联考]在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AE →·EC →＝( )A.725 B.14425 C.125D.1225解析：如图，由AB ＝3，AD ＝4，得BD ＝9＋16＝5，AE ＝AB ·AD BD ＝125.AE →·EC →＝AE →·(EO →＋OC →)＝AE →·EO →＋AE →·OC →＝AE →·EO →＋AE →·AO →.∵AE ⊥BD ，∴AE →·EO →＝0.∵AE →·AO →＝|AE →||AO →|cos ∠EAO ＝|AE →||AO →|·|AE →||AO →|＝|AE →|2＝14425，∴AE →·EC →＝14425，故选B.答案：B12．[2019·陕西榆林三模]已知函数f (x )＝|ln|1＋x ||，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i ＝14x i 2＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：作出函数f (x )＝|ln|1＋x ||的图象，如图所示．函数f (x )＝|ln|1＋x ||关于x ＝－1对称，即x 1＋x 4＝－2，x 2＋x 3＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i ＝14x i 2＝f (－2)＝0，故选A.答案：A13．[2019·湖南师大附中模拟]长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，设点A 关于直线BD 1的对称点为P ，则P 与C 1两点之间的距离为( )A ．2 B. 3 C ．1D.12解析：将长方体中含有ABD 1的平面取出，过点A 作AM ⊥BD 1，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP ＝AM ，则P 是A 关于BD 1的对称点，如图所示．过P 作PE ⊥BC 1，垂足为E ，连接PB ，PC 1，依题意AB ＝1，AD 1＝3，BD 1＝2，∠ABD 1＝60°，∠BAM ＝30°，∠PBE ＝30°，PE ＝12，BE ＝32，所以PC 1＝1，故选C.答案：C14．[2019·山西晋城三模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝x解析：作出图形，如图所示．过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x . 因为cos ∠FAA ′＝35，所以|AF |＝5x ，|FF ′|＝4x .由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，所以x ＝p 2，四边形AA ′PF 的面积S ＝(|PF |＋|AA ′|)·|PA ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，故选B.答案：B15．[2019·福建龙岩质检]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x，x ≥1－(x －1)3，x <1，若关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1－m ＝0恰好有4个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1e －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1e ，－1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 解析：解方程[f (x )]2＋mf (x )－1－m ＝0，得f (x )＝1或f (x )＝－m －1；解f (x )＝1得x ＝0，所以方程f (x )＝－m －1有3个不是0的根．当x ≥1时，f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2，所以f (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减；f (1)＝0，f (e)＝1e ，且x >1时，ln xx>0；当x <1时，f (x )＝－(x －1)3在(－∞，1)上是减函数，则f (x )的大致图象如下：所以若使方程f (x )＝－m －1有3个不是0的根，则0<－m －1<1e ，即－1－1e <m <－1，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1e ，－1，故选B.答案：B 二、填空题16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．解析：画出函数|f (x )|的图象，数形结合求解． 作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2.∴a 的取值范围是[－2,0]．答案：[－2,0]17．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________.解析：如图所示，圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝1，抛物线的焦点为F (2,0)，准线x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，设直线与抛物线交于A (x A ，y A )，D (x D ，y D )，则x A＋x D ＝12.|AB |＋|CD |＝(|AF |－|BF |)＋(|DF |－|CF |)＝(|AF |－1)＋(|DF |－1)＝|AF |＋|DF |－2，由抛物线的定义得|AF |＝x A ＋2，|DF |＝x D ＋2，故|AB |＋|CD |＝(|AF |＋|DF |)－2＝x A ＋x D ＋2＝14.答案：1418．已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝________.解析：不妨设P 在双曲线的左支上，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1.答案：119．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．解析：不等式(y －x )⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图阴影部分所示．由于曲线y ＝1x，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半．答案：π220．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，2x，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为________．解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图所示，观察函数的图象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5.答案：5。
专题升级训练数形结合思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值为( )A. B. C. D.2.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为( )A.1B.3C.4D.123.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.2B.3C.D.4.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(4)的大小关系为( )A.f(-a2)≤f(4)B.f(-a2)<f(4)C.f(-a2)≥f(4)D.f(-a2)与f(4)的大小关系不确定5.设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )6.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( )A. B.1 C. D.2二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.已知点A(-2,4),B(4,2),直线l过点P(0,-2)与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是.8.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆=1(a>b>0)的焦距为2c,以点O为圆心,a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为.9.函数f(θ)=的最大值为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,求实数m的取值范围.11.(本小题满分15分)已知A(1,1)为椭圆=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点,求|PF1|+|PA|的最大值和最小值.12.(本小题满分16分)已知平面向量a=,b=,且存在实数x,y,使得m=a+(x2-3)b,n=-y a+x b且m⊥n.(1)求y=f(x)的关系式;(2)已知k∈R,讨论关于x的方程f(x)-k=0的实根个数.##一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.D解析:设k=,即y=kx,如图所示,k OB=tan∠O'OB=,k OA=-tan∠O'OA=-=-,且k OA≤k≤k OB,∴k max=.2.A解析:∵=1+,而表示点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,∴作出可行域如图所示,由题知的最小值是,即⇒a=1,选A.3.A解析:记抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),注意到直线l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,于是抛物线y2=4x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|,问题即转化为求抛物线y2=4x上的动点P 到直线l1:4x-3y+6=0的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值,结合图形,可知,该最小值等于焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即等于=2,故选A.4.A解析:∵f(x)=x3-x2-x,∴f'(x)=x2-2x-.由f'(x)=(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=.当x<-1时,f(x)为增函数;当-1<x<时,f(x)为减函数;当x>时,f(x)为增函数,计算可得f(-1)=f(4)=2,f(0)=0,又-a2≤0,由图象可知f(-a2)≤f(4).5.C解析:由a<b,y=(x-a)2(x-b)知x (-∞,a)a(a,b)b(b,+∞)y-0 -0 +故选C.6.B解析:由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x=m经过函数y=2x的图象与直线x+y-3=0的交点P时取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:数形结合法.由k PA=-3,k PB=1,如图得直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).8. 解析:设切点为A,B,如图所示,切线PA,PB互相垂直,又半径OA垂直于AP,所以△OPA为等腰直角三角形.可得a=,所以e=.9.1 解析:可以与两点连线的斜率联系起来,它实际上是点P(cosθ,sinθ)与点A(-,0)连线的斜率,而点P(cosθ,sinθ)在单位圆上移动,问题变为:求单位圆上的点与A(-,0)连线斜率的最大值.如图,显然,当P点移动到B点(此时,AB与圆相切)时,AP的斜率最大,最大值为tan∠BAO==1.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.解:法一:设方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根分别为x1,x2,由题意知由①②③解得-3<m<0.即实数m的取值范围是{m|-3<m<0}.解法二:设f(x)=(m+3)x2-4mx+2m-1.由题意知解得-3<m<0.即实数m的取值范围为{m|-3<m<0}.11.解:由=1可知a=3,b=,c=2,左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.如图,由||PA|-|PF2||≤|AF2|=,知-≤|PA|-|PF2|≤.当P在AF2的延长线上的P2处时,取右“=”;当P在AF2的反向延长线的P1处时,取左“=”,即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为,-.于是|PF1|+|PA|的最大值是6+,最小值是6-.12.解:(1)a·b=··=0,|a|=,|b|=1.因为m⊥n,所以m·n=0,即[a+(x2-3)b](-y a+x b)=0,化简整理得y=x3-x,即f(x)=x3-x.(2)方程f(x)-k=0实根个数由两函数y=f(x),y=k的图象交点个数确定.由f'(x)=x2-1=(x-1)(x+1)知:f(x)在(-∞,-1)及(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,极大值f(-1)=,极小值f(1)=-.作y=f(x)和y=k的图象如图,知当k<-或k>时,两图象有一个交点,原方程有一个实根;当k=±时,原方程有两个实根; 当-<k<时,原方程有三个实根.。
2016广东高考理数大二轮专项训练第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12) B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． 又因为点(－2，－2)在直线上， 所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三 利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16] 答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S四边形P ACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____． 答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B. (2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－22D.17 答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2， 消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9， 综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________. 答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 答案2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值． 所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. 6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ， 所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
