数形结合与不等式

± 2
.
x
小
结
本节讲了方程、函数、不等式中 的数形结合问题，在解题时既要由 数想形，又要以形助数。常见的 “以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念， 解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、 并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图象，利用函数图象 分析问题和解决问题是数形结合的基本 方法。
例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小者，则函数f(x)的最大值为 。
分析： y = x + 1即y2 = x + 1( y ? 0), 其 图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线，在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故
华罗庚先生曾指出：
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。
作业：
1.求函数 y = | log |x- 1| | 2 区间 2.已知关于x的方程 x
x
2
的单调递增
- 4| x |+ 5= m
的根的个数
有4个不相等的实根，则实数m的取值范围 3. 求方程
lg = sin x
为_________。
2 2 ( x ， y ) | x + y = 9， 0 < y ? 3} 集合M可化为 { 分析：
表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2
y
5 2
3 4
如图

数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。

在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。

可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。

对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。

这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。

可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。

对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。

这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。

数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。

通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。

这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。

从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。

如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。

下面笔者结合实例加以说明。

例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。

解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。

结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。

图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。

例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。

（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。

解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。

如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。

由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。

图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。

而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。

本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。

数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。

例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。

已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。

函 数 f(x)≤0 在 区 间 [1 ， ＋ ∞) 上 恒 成 立 ， 则 当 a> － 1 时 ，
f1＝lna＋1－e＋a≤0， fx0＝－x0－ex0＋a≤0.
①设 g(a)＝ln(a＋1)＋a－e，a∈(－1，＋
∞)，可知 g(a)在区间(－1，＋∞)上单调递增，又 g(e－1)＝ln(e－1＋1)
主题4 不等式
微专题3 不等式中的存在与恒成立问题 3.1 利用数形结合法求解不等式恒成立问题
内容索引
问题背景 思维模型 典型例题 自主探究
内容索引
不等式恒成立问题是近几年模拟考试、高考的热门考点，需要 学生熟练掌握求解此问题的三种常见方法(数形结合、分离参数、 构造函数)．而我们在利用常见方法求解此问题时，方法的合理选 择成为难点，合理的方法结合熟练的计算会让问题变得简单，不合 理的方法会导致简单问题复杂化，增加计算、思维等各方面的难 度．因此，选择合适的方法是能否顺利解决此类问题的关键．
0<x<12，logax≥x2，则只需
loga12≥14，即
1 loga2
1
≥logaa4，所以
a14≥12，即
a≥116，所以116≤a<1；当
x≥12时，
f(x)＝a1x≥x2，此时若对任意 x≥12，1ax≥x2，即 ln a1x≥ln x2，
即 lna1≥2lxn x，则只需 ln1a≥2lxn xmax.令 g(x)＝2lxn x，则 g′(x)＝2－x22ln x，当
内容索引
k(t)与曲线 g(t)相切时，设切点为(x0，y0)，则－e1t20－t10＝ba，且bat0＋4＝e1t0－ ln t0，整理，得 3＋ln t0＝e2t0，解得 t0＝1e，此时ba＝－2e.

表象和冉造想象 ， 赋 予 其 较 为 恰 当 的 几何 意 义 ， 构 造 与 原 数
学 问 题 相 关 联 的 几 何 图形 ， 同 时 利 用 图 彤 之 间 的 关 系 和 形
的 有 性 质 ， 去推理 、 证明相应的数学问题． 本文将通过 实例 ， 从 以下 几 个 方 面 予 以 说 明 ．
姜 结 全 在 合 的 － 思 轴 想 的 上 可 知 方 ， 不 和 等 式 轴 毫 没 』 有 ＋ 交 ２ ｊ 点 ＋ ， ５ ＜ 数 ｏ 形 的 — ＼ 二 ＝ 二 ／ ｆ — — — — 一
例 ４ 解 不 等 式 二 ≤。 ． 。
３
利 用数 形结 合 的 相 关 思 想 证 明 不 等 式 ， 意 思 就 是 根 据 数 式 的 结 构 特 征 或 者数 学 问 题 的 内 部 关 系 进 行 构 图． 通 过 唤 起
的话
… …
，
可变 为 ｆ
．
ｆ （ ４ ｊ ３ ຫໍສະໝຸດ （ ＋２ ） ／ （ ３ ’ ） ≤（ ） ，
～
求证 ｌ （ ） Ｈ ｌ ≤ Ｉ （ ） Ｈ ｌ ＋ｙ ｌ Ｏ Ｈ ｌ ≤“ ４ － ｂ ．
如同 １ ， 设 Ａ（ “， ） ， １ ３ （ ， ） ， ０为 原点 ， 作 ＯＨ＿ ＿ ＡＢ 于 Ｈ ， 则在 ｕ Ｏｖ坐 标 系 中 ， 直 线 ＡＢ 的方 程 可 写 为 ：
关键词 ： 不等式 ； 数形结合 ； 证 法 与 解 法．
数 形 结 合 的 方 法 是 一 种 非 常 重 要 且 广 泛 使 用 的 解 题 途 径， 同 时 也 是非 常 重 要 的 数学 学科 思想 之 一 ． 数 形 结 合 的思 想 方 法 跨 度 数 学 知 识 的 多个 分 科 ， 具有一定的解题灵 活性 ， 其 独 有 的方 法 特 点 奠 定 了其 在 中学 数 学 中 的重 要 地 位 ． 学 牛 在 单

1 1 代入得： –1=0， – a 1 a 1
3 解之得： a=0 或 a= ，舍去 a=0， 2 3 得答案： a= ． 2
2
例 5． （2012 浙江理 17）设 a∈ R，若 x＞ 0 时均有 [(a–1) x–1](x2–ax–1)≥0，则 a= ．
原不等式等价于 9 x 2 3 6x x 2，
令y1 9 x 2 ，y 2 3 6 x x 2 ，
变形得x2+ y12=9(y1≥0)，
(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3)，
作图， 由图形可知，
不等式的解集
为{x| 0＜x＜3}．
例 3.（ 2009 江西理15）若不等式 9 x2 k ( x 2) 2 的解集为区 间[ a， b]，且b–a=2，则 k= ．
y2 = 13–13a 2 设y1=(x–3) ，y2=13–13a， 作出函数y1在区间(–∞，–2)
x 2或x 2 2 ( x 3) 13 13a
∪(2，+∞)的图象， 由图象可知，1＜13–13a≤4，
9 12 a . 解得 13 13
小结：
1. 抽象问题 直观化、生动化
x＞0 时不恒成立；
当 a≠1 时，由于方程 x2–ax–1=0 有一正一负两根，考虑三 次函数 y=[(a–1) x–1](x2–ax–1)的图象，
则方程[(a–1) x–1](x2–ax–1) =0 有两个根，
1 所以 为方程 x2–ax–1=0 的正根， a 1 1 由根与系数关系得 +1–a=a， a 1
6
x
x
3
p 5p
6
]
C．[ ,

容 时 分 子 总 数 不 变 的 可 逆 反 应 的 等 效 平 衡 换 算 ） 而 。 １ ｍｏＣ 换 算 到 反 应 物 后 ． 与 Ｂ 的 物 质 的 量 之 比 为 ２１与 ． ｌ ４ Ａ ：．
起 始 量 的投 料 比 相 同 ， ｘ ３ 立 。 故 选 Ｂ 故 ＝ 成 Ｃ。
（） 定 平 衡 的 移 动 方 向 ３确
形 结合 的 局 限性 。
在联系 ， 恰 的 变 量 转 化 ， 之 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ， 就 是 使 化 这 数 形 结 合 的解 题 ‘ 。 本 文 主 要 足 介 数 形 结 合 这 一 思 想 法 法 及 其 在 不 等式 巾 的 应 用 。 １ 数 形结合解 不等式 ， 法更形 象 ， 观 ， 洁 明快 。 ． 用 解 直 简
Ｘ （ ２一 ，２（， ＋ Ｉ ａ ）１ｘ ａ ） Ｉ ＝ ／ ＝ ２
解题 思路发 难时 ． 不妨从数形结 合的角度 去探索 ： 在斛 题 过 巾繁 杂 的 运 算 常 使 人 望 生 畏 时 ，不 妨 从 数 形 结 合
观 点 去 开 辟 新 路 。这样 ， 常 会 收 到 事 半 功 倍 的效 。把 数 常 量 关 系 的 准 确 刻 划 Ｌ几 何 罔 形 的 直 观 揣 述 ／ 机 的 结 合 起 ｊ Ｆ 『 来 ， ｆ 分 揭 示 问题 的 条 什 条 什 、 什 Ｌ结 论 之 问 的 内 从 充 条 ｊ
『 象 ｒｊ ： ｌ Ｉ ｑ ｊＪ ’
Ｏ６ １４ ２ ｘ ２ ． ．＋ ．Ｘ ／ ＝
０３ １４ １ｘ ， Ｘ ２ ． ．ｘ ／ ＝１ 得 ｚ ＋
若 反 应 前后 气体 体 积 不 变 （ ｘ ３ ， 效 平 衡 只 需要 两 即 ＝ ）等
种 投 料 方 式 换 算 到 同一 边后 各 组 分 比 例 相 同 即 可 （ 温恒 恒

绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，解决这类不等式时可以使用数形结合法。

该方法可以帮助我们通过图形的几何性质来找到不等式的解集。

以下是使用中文进行说明的绝对值不等式数形结合法：
1. 首先，我们来回顾一下绝对值的定义。

对于任意实数x，绝对值|x|表示x到0的距离，即|x|=x（当x≥0时），|x|=-x（当x<0时）。

2. 在解决绝对值不等式时，我们可以将其表示为一个图形问题。

我们可以将不等式|x|<a（a为正实数）表示为以原点O为中心，半径为a的开区间（-a，a）上的点构成的图形。

3. 同样地，对于不等式|x|>b（b为正实数），我们可以将其表示为以原点O为中心，半径为b的开区间（-∞， -b)∪(b，∞）之外的点构成的图形。

4. 对于不等式|x|≥c（c为正实数），我们可以将其表示为以原点O为中心，半径为c的闭区间[-c， c]上的点构成的图形。

5. 解决绝对值不等式的关键是确定图形的解集。

我们可以根据题目给出的不等式关系来确定图形的部分或全部区域。

6. 最后，我们根据图形的区域表示来确定解集。

如果要求解不等式的解集，我们需要找出表示该区域的数值，即满足不等式的实数值。

通过数形结合法，我们可以将抽象的绝对值不等式问题转化为具体的图形问题，从而更直观地理解和解决这类不等式。

解： 由线性 规划 可知不 等式组 ②确定 的区域 是 ｏ ， 不 等式组 ①
确 定 的区域是 ｂ ，
一 ｌ ２Ｉ ， 由图像６可知 ｓ （ ） ＞ ｒ （ ） ≥ｏ 恒成立．
事实 上 ， 当 ≤ ２时 ， ５ （ ）一ｒ （ ）＝２［ （ 一１ ） 。 ＋１ 】一
显然 ， 命题 Ｐ成立是 命题 ｑ 成立 的充 分不必 要条 件．
一
的各个章 节都 有 着千 丝 万 缕 的联 系 。不 等式 是 解决 数 学 问 题 的 个强有 力 的工具 ， 集合 问题 、 方程 （ 组） 的解 的讨 论 、 函数 单调 性
注 ： 此 题 有 一 错 误 解 口 由 ： 解 得 寻 ３ ③
的研 究 、 函数 定义 域的确 定 、 各 种 类型 的最 大值 、 最小 值 问题 无 一 且 ｏ ≤） ， ≤ ＠ ， 再 由③ × ４＋ ④ ×（ 一 ２ ） 得３ ≤４ 一 ２ ｙ ＜１ ￣ ２ ． 事实 不与不 等式有 着 密 切 的联 系。也 正 是这 个 原 因使 得 不 等式 问 题 满足限制条件③和④的点（ ， Ｙ ） 构成 图５区域 ６ ， 显然区域 ６ 的求解 方法灵 活 多 样 ， 除 了应 用 不 等 式本 身 的性 质 进 行 等 价 转 上， ， 所 以扩大 了限制条件 的范 围而导 致出错 。 化、 分 类讨论 以外 ， 还 可 以 运用 数 形 结合 的思想 赋 予 不 等式 相 应 大 于区域 ｏ ｙ Ｊ 的几 何特 征 ， 借助 于图 形 的性 质 ， 可 以使 抽 象 的数 量 关 系变 得 直
ｙ Ｊ
观而 形象 ， 常常有 事 半 功倍 的效 果 ， 下 面就 以 几个 简 单 的例 子 作 为说 明 。
一
、

数形结合思想是解答高中数学问题常用的一种数学思想.在解答不等式问题时，灵活运用数形结合思想，根据不等式的几何意义画出几何图形，通过图形和数量关系之间的转化，可以使解题的过程变得更加简单，有利于提升解题的效率.一、求参数的取值范围在运用数形结合思想解答含参不等式问题时，可先根据不等式的结构特征，将参数与变量分离，使参数在不等式的一侧；再将不等式另一侧的式子构造成函数，判断出函数的单调性，画出函数的图象，或根据另一侧式子的几何意义画出几何图形，即可通过研究图形的变化趋势，确定不等式另一侧式子的最值，进而求得参数的取值范围.例1.已知集合A ={}|()x ,y m 2≤()x -22+y 2≤m 2,x ,y ∈R ，B ={}|()x ,y 2m ≤x +y ≤2m +1,x ,y ∈R ，若A ⋂B ≠∅，则实数m 的取值范围为_____.解：由A ⋂B ≠∅可知A ≠∅，故m 2≤m 2，可得m ≤0或m ≥12，①当m ≤0时，集合A 表示以()2,0为圆心、以||m 为半径的圆，集合B 表示两平行线y =2m 和y =2m +1之间的区域，而点()2,0到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m >-m ，点()2,0到直线到y =2m +1的距离d 2=||2-2m -12=-2m >-m ，可知集合A 与集合B 无交集，所以不等式无解.②当m ≥12时，集合A 表示以()2,0为圆心、和||m 为半径的圆环，如图1所示.图1则圆心A 到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m ≤m ，解得12≤m ≤2+2，故实数m 的取值范围为éëêùûú12,2+2.解答本题，需将集合A 中的元素看作以()2,0为圆心，||m 为半径的圆环上的点，集合B 中的元素看作两平行线y =2m 和y =2m +1之间的点，通过研究圆与直线之间的位置关系，建立满足题意的关系式，进而求得参数的取值范围.运用数形结合思想解答此类问题，要仔细挖掘代数式的几何意义，并画出相应的几何图形，借助几何图形来分析问题.例2.已知f ()x =x ||x ，若对任意x ∈éëêùûút -2,1t ，不等式f ()x +t ≥4f ()x 恒成立,则实数t 的取值范围为_____.解：由题意可知f ()x =x ||x =ìíîx 2,x ≥0,-x 2,x <0,由图2可知f ()x 在R 上单调递增.图2因为4f ()x =4x ||x =2x ||2x =f ()2x ，所以f ()x +t ≥4f ()x ⇔f ()x +t ≥f ()2x ，即x +t ≥2x ⇔t ≥x 在x ∈éëêùûút -2,1t 上恒成立.图3解题宝典39由图3可知,ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,①当t >0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≥0,t 2-2t -1≤0,解得1≤t ≤1+2，②当t <0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≤0,t 2-2t -1≥0,解得-1≤t ≤1-2，综上可知，实数t 的取值范围为[]-1,1-2⋃[]1,1+2.解答本题,需先根据函数f ()x =x ||x 的解析式画出图象,以根据其图象和单调性去掉f ()x +t ≥4f ()x 的符号“f ”，将不等式转化为常规不等式；然后借助数轴来讨论满足不等式的t 的取值范围.在解不等式时，要学会将问题转化为函数图象、数轴上的点的集合的问题，运用数形结合思想来解题，这样能有效地提升解题的效率.二、求不等式的解集含参不等式问题往往较为复杂，运用数形结合思想来辅助解题，能有效地提升解题的效率.在解题时，要先将不等式变形，构造出合适的函数模型.可构造一个函数模型，将不等式化为f ()x >0、f ()x <0的形式；也可以构造两个函数模型，将不等式化为f ()x >g ()x 、f ()x <g ()x 的形式.再画出函数的图象，研究函数图象与x 轴、图象之间的位置关系，找到使不等式成立的情形，从而建立新不等式.通过解新不等式，求得不等式的解集.例3.解关于x 的不等式：a 2-2x 2>x +a .解：设y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，则y 1=x +a 表示的是一条直线，y 2=a 2-2x 2表示的是半个椭圆，如图4所示.图4由a 2-2x 2=x +a ，可得x =0或x =-2a 3，移动直线，由图4可知，当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方，故不等式的解集为{}|x -2a3<x <0.先将不等式两侧的式子分别构造成函数y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，并画出两个函数的图象；然后移动直线的位置，即可发现要使不等式恒成立，需使直线始终在椭圆的下方；再求得两个函数的交点，就能发现当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方.运用数形结合思想解不等式，关键要根据题意找出临界的情形，并求出相应的值.例4.已知f ()x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，若f ()a =0()a >0，则不等式xf ()x <0的解集为_____.解：由题意可画出f ()x 的图象，如图5所示.图5由xf ()x <0，可知x 与f ()x 异号.由图5可知，当x ∈()-a ,0⋃()a ,+∞时，x 与f ()x 异号，故不等式的解集为{}|x -a <x <0或x >a .若采用常规方法解答本题，则需进行分类讨论，解题的过程较为复杂.我们运用数形结合思想，根据函数的解析式画出图象，讨论满足不等式的情形，即可确定x 的取值范围.运用数形结合思想解不等式，需通过研究图象，找出满足题意的一段曲线，并求出与之对应的x 的取值范围.运用数形结合思想，将不等式问题转化为几何图形问题或函数图象问题，即可通过研究图形或图象的位置关系，快速获解.这样不仅能使题目中的条件变得直观，还能使解题的思路更加明朗，有助于提升解题的效率.（作者单位：新疆巴楚县第一中学）解题宝典40。

柯西不等式数形结合
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济等。

数形结合是数学中一种非常有用的解题方法，它可以通过将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更好地理解和解决这些问题。

当我们使用数形结合的方法来理解柯西不等式时，可以将不等式左边视为一个向量的模长的平方，右边视为各个向量与单位向量的数量积的平方。

这样，柯西不等式可以理解为：一个向量的模长的平方总是大于或等于各个向量与单位向量的数量积的平方。

通过数形结合的方法，我们可以将柯西不等式与几何图形结合起来，从而更好地理解这个不等式的意义和作用。

例如，我们可以将柯西不等式应用于解决直线和圆的位置关系问题。

如果我们设直线的方向向量为a，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，那么柯西不等式可以转化为：a·b≤(a²+b²)/2，其中b为圆心到直线的垂直距离。

这个不等式可以帮助我们判断直线与圆的位置关系，以及求出圆心到直线的最短距离。

此外，数形结合的方法还可以帮助我们解决其他一些问题，例如向量模长问题、线性规划问题等。

通过将这些问题转化为图形问题，我们可以更加直观地理解和解决这些问题，从而更加高效地解决数学问题。

综上所述，数形结合是一种非常有用的解题方法，它可以让我们更好地理解和解决数学问题。

通过将柯西不等式与几何图形结合起来，我们可以更加深入地理解这个不等式的意义和作用，从而更好地应用于各个领域。

高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。

正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。

一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。

如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决。

例1. 已知，解关于x的不等式。

解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。

图1解和交点的坐标，即在时，由，得。

由图1知，当时，曲线的上方。

所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。

解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。

联立和，解得。

图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。

二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。

例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。

解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。

由于直线恒经过定点，由图3可知，要使在时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。

所以a的取值范围是。

图3例4. 已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值。

解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线和直线。

图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得：解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。

例5. 已知：。

求证：。

分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。

证明：如图5所示，设，则（1）当时，在△AOB中由得（2）当时，由得综合（1）、（2）得图5▍ ▍ ▍。

不等式的解题方法不等式是数学中常见的问题，它涉及到比较两个或多个数值的大小。

解决不等式问题需要掌握一些基本的方法和技巧。

1.比较法：这是最直接的方法，用于比较两个数或表达式的大小。

通过直接计算或化简，可以得出它们之间的大小关系。

2.作差法：如果两个数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。

一个常用的方法是计算A 和B 的差，即A - B。

如果差是正的，则A 大于B；如果差是负的，则A 小于B；如果差是零，则A 等于B。

3.作商法：对于两个正数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。

另一种方法是计算A 和B 的商，即A / B。

如果商大于1，则A 大于B；如果商小于1，则A 小于B；如果商等于1，则A 等于B。

4.不等式的性质：对于不等式的基本性质，例如传递性、可加性、可乘性和同号得正等，需要熟练掌握。

这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行简化。

5.不等式的解法：对于一元一次不等式和一元二次不等式，需要掌握基本的解法技巧。

例如，对于一元一次不等式ax + b > c，可以通过移项、合并同类项和化简来求解。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过求解对应的等式来确定不等式的解集。

6.数形结合：在解决不等式问题时，结合图形可以帮助我们直观地理解问题。

例如，对于线性不等式组，可以通过在坐标系中画出直线和区域来直观地找出解集。

7.特殊值法：对于一些难以直接解决的问题，可以通过代入一些特殊的数值来检验或验证不等式的正确性。

综上所述，解决不等式问题需要掌握多种方法和技巧，根据具体问题选择合适的方法进行求解。

数形结合解不等式宜都市一中王从志纵观2008年高考试卷，关于不等式的命题重点考查不等式的基础知识，基本技能和基本思想方法。

预测在2009年的高考试卷中，考查不等式的命题仍将主要考查“三基”。

而准确求解不等式是解决不等式相关问题的基本功。

因此，我们在复习过程中要根椐不等式能成立、恰成立及恒成立等问题的特点，选择各类不等式问题的最佳解法。

类型一：简单不等式的解法例1：解下列不等式：2 (1).2x x x->1 (2). -3<<2x【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜第（1）题图第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为1|2x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭1或x<-3,结果一目了然。

例2：解不等式：1 ||xx≥【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1x 的图象，易知解集为01∞⋃∞（－，）[，＋）类型二：解含参数不等式问题例2变式：解关于x 的不等式：||ax x ≥ 分析：此题若直接求解，需对x 和a 的取值分情况讨论，易混淆。

结合绝对值和反比例函数图象的性质，很容易得到（1）a>0时，解集为a ∞（,＋）（2）a=0时，解集为0(0∞⋃∞（－，），＋）（3）a<0时，解集为,a ∞--（-）练习：1、.|1||1|0x x +--≥解不等式　【引导学生归纳、比较诸如分类讨论、平方法、几何意义法，数形结合等不同等价转化方法，并相互展示交流。

】2、变式练习：如果将以上不等式右边不为0，以上哪些方法更佳例如：.|1||1|32x x +--≥解不等式　。

点在 圆 ０上 ．
图 １
一 一
６ 函数 ＿ ｚ 一 ｚ＋ 图 与 厂 ） （
象 的交点 （ ３ ２ ２ 一 ６ （ ３ ２ ２ 一６ ， 一 — √ ， ）和 一 ＋ √ ， ）
得原不等式的解集为（ —２ 一３ ）Ｕ ～３ √ ， ＋２
｛） １．
推 广 中 图形 变化 较 多 ， 文 仅举 一 例 加 以证 本
点则 Ｐ ｒＳ， ｒｓ， ＝ｃ詈 ，０—ｃ号∞一ｃ譬Ｏ ｒ ， Ｏ 。 Ｒ ｏ ｓ
由余 弦定理 ， 知
Ｐ Ｑ 一 Ｏ Ｐ ＋ Ｏ Ｑ 一 ２ Ｐ ０ ・ （ ・
学 课程 标 准 》中对 复数 要 求较 低 ， 用复 数 变 换来 证 学生难 以理解 ， 而综合法 的证 明又较复 杂 ， 面 下
［ ］ 朱 汉 林 ． 道 普 特 南数 学 竞 赛 题 之 教 学 札 记 ［］ 中 １ 一 Ｊ．
学 数 学 月刊 。０ ９ １ ） ２０ （０ ．
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一ｒ ；［ｓ＋ｏｐ ｏ ６） ｏ ０ ｃ 口 ｃ ｓ ＋ ０ ～ｃ６ 一 ＋ ｏ ｓ—ｃ（ 。 ｓ。
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２１ ０ ０年第 ４期
中学 数学 月刊
・４ ・ ５
式 若用数 形结 合求 解 ， 可简 化过程 ， 使分类 讨 则 或
论 更合理 ．
一
道４ ９届 Ｉ ＭＯ 预 选 题 的推 广
４ １５ ） ０ ５ ５
例 不 式ｌ （ ＋） 的 集 ｌ 等 。ｚ ｇ 十 ６ ｚ ≤３ 解
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Ｄ ＝ ：／ ， ｐ 、２
由Ｏ ＋ Ｃ Ｐ ＋ Ｃ Ｑ Ｃ Ｑ ＋ Ｃ ≥Ｏ ＋ Ｒ
合理 的、 符合学生认 知水平的、 有数学 结构 的学 习 材料 ， 有挑战性 的、 变式的 、 思考性的练 习， 可进行多次 教学 创作 的 学 习材 料都 可 以称之 为 有价值 的 学 习材 料。 有效教学 ” “ 历来是教育界人士 的不懈追求。 只要我 们 广大数 学教 师在新 课程 改革 中多做 一些 务 实的探
例 １ 设 ００ １ ＜ ＜ ＜ ， ６＜１ 求 证 ： ０ ，
、 Ⅱ＋ ＋ 、 ＋１ ６２ ＋ ／２６ ／ （— ）
、 耳 ＝ ＋
、 ］ ／ ， 求证 ：ｕ ｖ （ － 、
≥８ 。
一９
课 堂 教 学 是 学 生 在 教 师 的组 织 、 导 和 帮助 下 ， 指 继
点 Ｑ（， ）在 曲 线
， Ｊ
教 师 应 努 力从 日常 生 活 入 手 ，从 生 活 经验 和 客 观
事实出发 创设 生动有趣 的问题情境 ，吸引学生 的注 意
力 ， 发 学 生 的 学 习兴 趣 。 如 ： 在 教 学 《 程 的 意 义 》 激 我 方
作单位正方形
Ｏ Ｑ 令Ｏ ＝ ， Ｐ Ｒ， Ａ 。 Ｏ ＝， Ｂ ｂ于是 问题 转
究， 把研 究 教 材 与 教 学 实 践 相 结 合 ， 断 积 累 和 掌握 有 不
、
Ａ（ ， ） ｙ ９ ＞ ，＞ ） ｙ 交 点 为 １ １ ， ＝ （ Ｏｙ ０ ｘ ｘ 与
易知原不等式成立。
例 ２ 已 知ｎ＞０ ｂ ， ＞０ 求 ， ＞０ ｃ ，

数形结合在不等式证明中的应用不等式是数学中非常重要的一个概念，它用于描述数量之间的大小关系。

在进行不等式证明时，数形结合方法是一种常用的技巧。

数形结合是指将代数方法与几何图形相结合，通过对几何图形的分析和推理，得到不等式的证明。

数形结合方法在不等式证明中的应用主要有以下几个方面：1.图形的面积与不等式之间的关系几何图形的面积是一个可以直观表示数量大小的概念。

在不等式证明中，可以利用图形的面积与不等式之间的关系来推导不等式的成立。

例如，通过比较两个图形的面积大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的面积来推导不等式的性质。

2.图形的周长与不等式之间的关系几何图形的周长是指图形边界上的线段的长度之和，它也可以用来表示一些数量之间的大小关系。

在不等式证明中，可以通过图形的周长与不等式之间的关系来推导不等式的成立。

例如，通过比较两个图形的周长大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的周长来推导不等式的性质。

3.图形的长度、宽度与不等式之间的关系几何图形的长度、宽度是指图形边界上的线段的长度，它们也可以用来表示一些数量之间的大小关系。

在不等式证明中，可以通过图形的长度、宽度与不等式之间的关系来推导不等式的成立。

例如，通过比较两个图形的长度、宽度大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的长度、宽度来推导不等式的性质。

4.图形的角度与不等式之间的关系几何图形的角度是指两条交叉线之间的夹角，它也可以用来表示一些数量之间的大小关系。

在不等式证明中，可以通过图形的角度与不等式之间的关系来推导不等式的成立。

例如，通过比较两个图形的角度大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的角度来推导不等式的性质。

5.图形的对称性与不等式之间的关系几何图形的对称性是指图形经过一些中心点或中心轴旋转、平移或反射后仍与原来的图形完全相同，它们在不等式证明中也起到了重要的作用。

通过利用图形的对称性，可以推导出不等式的对称性质，从而进一步证明不等式的成立。