概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布

一维随机变量是概率论中一个重要的概念。

在概率论中，我们经常需要研究各种随机现象，而一维随机变量是对这些现象进行建模和描述的工具之一。

通过一维随机变量，我们可以从数学的角度来分析和研究随机现象的规律性和不确定性。

一维随机变量是指只有一个自变量的随机变量。

在概率论中，我们将这个自变量通常记作X，并且我们通常定义了一个函数P(X=x)，表示随机变量X取到某个特定值x的概率。

这个函数通常被称为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）或者概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。

在研究一维随机变量时，我们通常会关注一些重要的性质和特征。

下面，我将逐步介绍一些常见的概率论知识点和相关概念。

第一步：随机变量的定义我们首先需要明确一维随机变量的定义。

一维随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量是指取值有限或者可数的随机变量，而连续随机变量是指取值是一个区间或者整个实数集的随机变量。

对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（PMF）来描述。

PMF可以给出随机变量取各个值的概率。

对于连续随机变量，我们则需要使用概率密度函数（PDF）来描述。

PDF是一个非负函数，且满足积分为1的条件。

它可以用来描述随机变量落在某个区间的概率。

第二步：一维随机变量的期望和方差一维随机变量的期望和方差是对随机变量的中心位置和离散程度进行度量的重要指标。

期望是对随机变量的平均值的度量。

对于离散随机变量，期望可以通过求加权平均值得到，其中权重是每个值的概率。

对于连续随机变量，期望可以通过对概率密度函数乘以自变量后积分得到。

方差是对随机变量离散程度的度量。

它描述了随机变量取值与其期望的偏离程度。

方差可以通过计算每个值与期望的差的平方后加权平均得到。

第三步：一维随机变量的分布一维随机变量的分布是描述随机变量取值的概率分布情况的重要工具。

常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

一维随机变量及其分布知识点 一、 随机变量的分类：二、 分布函数定义 设X 是随机变量,对任意实数x,事件{}X x ≤的概率{}P X x ≤称为随机变量X 的分布函数.记为F(x),即(){},F x P X x x =≤-∞<<∞。

性质 单调不减性：若x 1<x 2, 则 12()();F x F x ≤ 归一性：对任意实数x ，0()1F x ≤≤ ，且()lim ()0,()lim ()1;x x F F x F F x →-∞→+∞-∞==+∞==右连续性：000(0)lim ()()x x F x F x F x +→+==.运算 P {a<X ≤b}＝P{X ≤b}－P{X ≤a}＝ F(b)－F(a). 三、 离散型随机变量定义 若随机变量X 取值12,,...x x ，且取这些值的概率依次为12,,...p p , 则称X 为离散型随机变量,而称{},1,2,...k k P X x p k === 为X 的分布律. 性质 非负性：0,1,2,...k p k ≥=归一性：11k k p +∞==∑.常见问题1．通过分布律求事件的概率若随机变量X 的分布律为{},1,2,...k k P X x p k ===，则{}k kx DP X D p∈∈=∑,即随机变量落在区域D 的概率等于所有的⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩离散型随机变量随机变量连续型非离散型奇异型（混合型）{},1,2,...k X x k ==的概率之和.2. 通过分布律求分布函数例1 设随机变量X 具有分布律如表试求出X 的分布函数及P{X ≤1},P{0.5<X ≤1.5}, P{1≤X ≤2}. 解：P{X ≤1}=F(1)=0.7,P{0.5<X ≤1.5}=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6, P{1≤X ≤2}=P{X=1}+P{X=2}=0.6+0.3=0.9. 三类重要离散型随机变量 1.(0-1)分布若以X 表示进行一次试验事件A 发生的次数,X 只取0和1,其分布律为P{X ＝k}＝p k (1－p)1－k , (0<p<1, k ＝0,1,)则称X 服从(0－1)分布(两点分布) .2. n 重伯努利试验, 二项分布设将试验独立重复进行n 次,每次试验都只有两种可能的结果A 和A,设事件A 发生的概率为p ,则称这n 次试验构成的试验为n 重伯(){}F x P X x ≤＝0,00.1,010.7,121,2x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨≤<⎪⎪≥⎩＝0,0{0},01{0}{1},12{0}{1}{2},2x P X x P X P X x P X P X P X x <⎧⎪=≤<⎪⎨=+=≤<⎪⎪=+=++≥⎩＝努利试验.若以X 表示n 重伯努利试验事件A 发生的次数，则称X 服从参数为n,p 的二项分布.记作X 〜b （n,p),其分布律为：{}(1),(0,1,...,)kk n k n P X k p p k n C -==-=.3. 泊松(Poisson)分布若随机变量X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==，k ＝0, 1, 2, … (λ>0),则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为~()X πλ.四、连续型随机变量定义 对于随机变量X ，若存在非负函数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数x ，都有()()xF x f u du -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量, f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数. 性质 非负性： f(x)≥0，(-∞<x<∞)；归一性：()1f x dx +∞-∞=⎰;若x 是f(x )的连续点，则()()dF x f x dx=. 运算 {}{}{}{}()baP a X b P a X b P a X b P a X b f x <≤=≤≤=<<=≤<=⎰常见问题 1.确定未知参数 2.求分布函数 3.求事件的概率例2 已知随机变量X 的概率密度为01()2120kx x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求1) 常数k;2) X 的分布函数F(x); 3)求P{X ∈(0.5,1.5)}. 解：1)由概率密度函数的归一性可知，12131()1(2)(2)112222k k f x dx kxdx x dx k ∞-∞=⇒+-=+-=+=⇒=⎰⎰⎰. 2) ()()xF x f u du -∞=⎰000101012012(),0()(),01()()(),12()()()(),2xxxxf u du x f u du f u du x f u du f u du f u du x f u du f u du f u du f u du x -∞-∞-∞-∞⎧<⎪⎪+≤<⎪=⎨⎪++≤<⎪⎪+++≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220,01,012121,1221,2x x x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩. 3) 1 1.50.513{(0.5,1.5)}(2)4P X udu u du ∈=+-=⎰⎰或者3{(0.5,1.5)}(1.5)(0.5)4P X F F ∈=-=. 三类重要连续型随机变量1.均匀分布 若随机变量X 的概率密度函数为1,()0a x bf x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其它则称X 在(a,b)内服从均匀分布.记作 X~U(a,b).注：在(a,b)上服从均匀分布的随机变量X 落在(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.2.指数分布若随机变量X的概率密度函数为1,0, ()0,,xe xf xθθ-⎧>⎪⎨⎪⎩＝其它则称X服从参数为θ(>0)的指数分布.3.正态分布若随机变量X的概率密度函数为22()2(),.xf x xμσ--=-∞<<+∞其中μ为实数, σ>0 ,则称X服从参数为μ ,σ的正态分布,记为N(μ, σ2),可表为X～N(μ, σ2).标准正态分布参数μ＝0，σ2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1).其密度函数表示为22(),.xx xϕ--∞<<+∞分布函数表示为22(){},txx P X x e dt x--∞Φ=≤=-∞<<+∞.注：(1) Φ(x)＝1－Φ(－x)；(2) 若X～N(μ, σ2)，则~(0,1)XZ Nμσ-=即有,(){}()xF x P X xμσ-=≤=Φ,{}()()b aP a X bμμσσ--<<=Φ-Φ.。