函数的概念与表示方法

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。

函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。

事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。

为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。

一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作().,A x x f y ∈=其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。

我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。

对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。

当A>0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2。

对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。

两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。

函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

函数的概念及表示方法
1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

其中，
函数定义注意点：一个x 只能对应一个y ，集合A 中的全部元素要找到它的对应元，集合B 可以多出元素，即值域应包含于B ；
2.定义域：x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
抽象函数的定义域的求解思路：
注意两点：⎩
⎨⎧价的括号里表示的东西是等的取值范围定义域指的是f x .2.1 3.与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．
4.同一函数的判定：①定义域是否相同②化简，看对应法则是否相同；
5.求值；
6.求函数解析式的方法
①代入法（已知f(x)的函数解析式）
②待定系数法（已知函数的函数类型，如一次函数等）
③配方法
④换元法
⑤解方程组
⑥赋值法
7.分段函数
8．映射
9.函数的表示法：解析式，表格，图像.。

函数的概念及其表示方法一函数的概念1 概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x) ,x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2 定义域①概念函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.3 值域①概念函数值y的取值范围②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3) 换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法4 区间实数集R表示为(−∞ ,+∞).二函数的表示方法1表格法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.2 图像法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.3 解析式求函数解析式的方法(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法【题型一】函数概念的理解【典题1】设集合M={x|0≤x≤2} ,N={y|0≤y≤2} , 给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)图象A不满足条件，因为当1<x≤2时，N中没有y值与之对应.图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.图象C 不满足条件，因为对于集合M ={x|0<x ≤2}中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义.只有D 中的图象满足对于集合M ={x|0≤x ≤2}中的每一个x 值，在N ={y|0≤y ≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应，故选D .【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( ) ① x 2+y 2=1 ② |x －1|+√y 2−1=0 ③ √x −1+√y −1=1 ④ y =√x −2+√1−x ． A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】①由x 2+y 2=1得y =±√1−x 2，不满足函数的定义， 比如x =0，y =±1，所以①不是函数．②由|x －1|+√y 2−1=0得|x －1|=0，√y 2−1=0， 所以x =1 ,y =±1，所以②不是函数．③由√x −1+√y −1=1得y =(1−√x −1)2+1，满足函数的定义，所以③是函数．④要使函数y =√x −2+√1−x 有意义，则{x −2≥01−x ≥0，解得{x ≥2x ≤1，此时不等式组无解，所以④不是函数．故选：C ．【点拨】函数中自变量x 与函数值y 的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”.【题型二】求函数的定义域 【典题1】 函数y =√−x 2+2x+3x的定义域是 .【解析】要使函数有意义，则{−x 2+2x +3≥0x ≠0，即{−1≤x ≤3x ≠0.即−1≤x <0或0<x ≤3，即函数的定义域为[−1 ,0)⋃(0 ,3]．【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( ) A ．f(x)=x ,g(x)=√x 33B ．f(x)=√x 2 ,g(x)=|x|C ．f (x )=x 2−3x ,g (t )=t 2−3tD ．f(x)=x 2−4x−2 ,g(x)=x +2【解析】A ,B ,C 的定义域和对应法则相同，表示同一函数，D中g(x)=x+2的定义域是R，f(x)=x2−4x−2=x+2定义域为{x|x≠2}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：D．【点拨】①判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；②函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项C的f(x)=x2－3x ,g(t)=t2－3t是同一函数.【典题3】已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2x−1)的定义域.【解析】∵0≤x≤3 ∴−1≤x2−1≤8∴−1≤2x−1≤8 ∴0≤x≤9 2故函数f(2x−1)的定义域是[0 ,92].【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，若把题目换成“已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2t−1)的定义域.”好理解多了，①谨记定义域指的是自变量的取值范围，所以由“f(x2−1)定义域为[0 ,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t−1)的定义域”指的就是求t的范围.②把“x2−1”和“2t−1”都看成整体，它们的范围是相等的这样就有“−1≤x2−1≤8 ⇒−1≤2t−1≤8”.【题型三】求函数的值域方法1 配方法【典题1】求函数y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.【解析】y=5x 2−4x+1x2=1x2−4x+5=(1x−2)2+1∵x∈[14 ,1] ∴1x∈[1 ,4]，∴1≤(1x−2)2+1≤5，即y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域[1 ,5].【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.方法2 数形结合【典题2】 求函数f (x )={2x −x 2 ,(0≤x ≤3)x 2+6x ,(−2≤x ≤0)的值域.【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域) f (x )=2 x −x 2=−(x −1)2+1，开口向下，最大值为f (1)=1 , 而f(0)=0 ,f(3)=−3 ,f (x )=x 2+6 x =(x +3)2−9 , 开口向上，而f(−2)=−8 ,f(0)=0， 可得到函数图像如右图，易得函数值域为[−8 ,1]. 【点拨】数形结合最大的好处是直观.方法3 换元法【典题3】 求函数f (x )=2x +√1−x 的值域.【解析】令t =√1−x (t ≥0)，(要注意新变量t 的取值范围) 得x =−t 2+1，∴原函数化为y =−2t 2+t +2=−2(t −14)2+178≤178(把函数转化为二次函数值域问题)∴函数f (x )=2 x +√1−x 的值域为(−∞ ,178].【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题，即求函数f (x )=2x +√1−x 的值域⇔y =−2t 2+t +2 (t ≥0)的值域，其中特别注意t ≥0不能忽略！这正是体现了数学中的“等价转化”思想.【典题4】 函数f(x)=−9−x +(13)x−1+34在[−1 ,+∞)上的值域为 ．【解析】f(x)=−9−x +(13)x−1+34=−(13)2x +3×(13)x +34，(本题主要是注意到了9−x 和(13)x−1均可(13)x 或3x 的形式，故想到换元法) 令t =(13)x ，因为x ∈[－1 ,+∞)，所以t ∈(0 ,3]，原函数的值域等价于函数g(t)=−t 2+3t +34=−(t −32)2+3(0<t ≤3)的值域， 由二次函数的性质可知，f(x)=[34 ,3]，即所求函数的值域为[34 ,3]． 【点拨】① 换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”，前2题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数，故解题过程中特别要注意式子的结构特征.②换元法要注意换元后变量的取值范围，比如典题3的“t≥0”，典题4中的“t∈(0 ,3]".方法4 函数单调性法【典题5】函数f(x)=2x2−2x+3 ,x∈[0 ,3]的值域为.【解析】由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0 ,1]上单减，在[1 ,3]上单增，又f(0)=23=8 ,f(1)=22=4 ,f(3)=26=64，∴函数值域为[4 ,64]．【点拨】①利用函数单调性是求函数值域最常见的方法，高二还会学到导数，它是一把利器.②复合函数的单调性是"同增异减".方法5 分离常数法【典题6】求函数f(x)=2x 2−1x2+1的值域.【解析】函数f(x)=2x 2−1x2+1=2(x2+1)−3x2+1=2(x2+1)x2+1−3x2+1=2−3x2+1，(在分子2x2−1中“凑出”分母x2+1，最终达到“分式中的分子是个常数3”的目的)∵x2+1≥1 ,∴0<1x2+1≤1⇒−3≤−3x2+1<0⇒−1≤2−3x2+1<2，故函数f(x)=x 2−1x2+1的值域是[－1 ,2).【点拨】形如f(x)=a∙g(x)+bc∙g(x)+d 均可用分离常数法求函数值域，比如求函数y=3x+14x−2,y=3∙2x+42x−1的值域.方法6 基本不等式法(对勾函数法)【典题7】求函数f(x)=x 2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.【解析】∵f(x)=x 2+4x+1x2+1=x2+1x2+1+4xx2+1=1+4xx2+1，(也有点分离常数法的感觉)∴①当x=0时，f(x)=1；(x=0这个不能漏)②当x>0时，0<4xx2+1=4x+1x≤4√x⋅1x=2，当且仅当x=1时“=”成立；此时1<f(x)≤3，(利用对勾函数y=x+1x(x>0)的图像求解也可以)∴函数f(x)=x 2+4x+1x 2+1(x ≥0)的值域为[1,3]．【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y =dx 2+ex+fax 2+bx+c 的值域. 巩固练习1(★) 函数y =f(x −1)与函数y =f(x +1) ( ) A ．是同一个函数 B ．定义域相同 C ．图象重合 D ．值域相同【答案】 D【解析】由于函数y =f(x －1)中x －1的范围与函数y =f(x +1)中x +1的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f ，故函数y =f(x －1)与函数y =f(x +1)具有相同的值域， 故选：D ．2(★) 函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 . 【答案】[−2,4)∪(4,6]【解析】解{−x 2+4x +12≥0x −4≠0得，－2≤x ≤6，且x ≠4； ∴f(x)的定义域为：[－2,4)∪(4,6]．3(★★) 已知函数f(x +1)定义域为[1 ,4]，则函数f(x －1)的定义域为 . 【答案】[3 ,6]【解析】∵f(x +1)的定义域为[1,4]；∴1≤x ≤4；∴2≤x +1≤5； ∴f(x)的定义域为[2,5]；∴f(x －1)满足：2≤x －1≤5；∴3≤x ≤6； ∴f(x －1)的定义域为[3,6]．4(★★) 函数y =2−√−x 2+4x 的值域是为 . 【答案】 [0,2]【解析】∵0≤－x 2+4x ≤4，∴0≤√−x 2+4x ≤2， ∴0≤2−√−x 2+4x ≤2，故函数y =2−√−x 2+4x 的值域是[0,2]．5(★★) 函数y =√x −1+√x +1,(x ≥1)的值域为 . 【答案】[√2,+∞]【解析】函数y =√x −1+√x +1显然在 x ≥ 1上是增函数，所以函数值域为[√2,+∞]. 6(★★) 函数f(x)=x−1x+3(x ≥1)的值域为 . 【答案】 [0,1)【解析】f(x)=x+3−4x+3=x+3x+3−4x+3=1−4x+3， 则当x ≥1时，f(x)为增函数， 则f(1)≤f(x)＜1，即0≤f(x)＜1， 即函数的值域为[0,1)．7(★★) 函数y =4x +2x+1+3的值域为 . 【答案】(3 ,+∞) 【解析】令t =2x (t >0)，∴函数y =4x +2x+1+3(x ∈R)化为f(t)=t 2+2t +3=(t +1)2+2(t >0), ∴f(t)>3，即函数y =4x +2x+1+3的值域为(3,+∞)． 8(★★★) 求函数y =2x 2−x+12x−1(x >12)的值域.【答案】[12+√2 ,+∞) 【解析】 y =2x 2−x+12x−1=x(2 x−1)+12 x−1=x +12 x−1=x −12+12 x−1+12∵ x >12， ∴ x −12>0 ∴ x −12+12x−12≥2 √( x −12)×12x−12=√2当且仅当 x −12=12x−12时，即x =1+√22时等号成立，∴ y ≥√2+12 ，所以原函数的值域为 [12+√2,+∞) .【题型四】分段函数【典题1】设函数f(x)={x 2+2 (x ≤2)2x (x >2)，若f(x 0)=8，则x 0= ．【解析】由题意，得①当x 0≤2时，有x 02+2=8，解之得x 0=±√6， 而√6>2不符合，所以x 0=−√6；②当x 0>2时，有2x 0=8，解之得x 0=4． 综上所述，得x 0=4或−√6．【典题２】已知函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0，若互不相等的实数x 1 ,x 2 ,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围为 .【解析】(乍眼一看，不太理解题意，设f (x 1)=t ，本题就函数y =t 与y =f(x)交点横坐标的问题，自然想到数形结合)函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2 ,x 3关于直线x =3对称，故x 2+x 3=6， 且x 1满足−73<x 1<0；则x 1+x 2+x 3的取值范围是−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6； 即x 1+x 2+x 3∈(113 ,6)．【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”，特别要注意“每段函数”的定义域. 处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.【题型五】求函数解析式 方法1 配凑法【典题1】已知f(x +1x )=x 2+1x 2(x >0) , 求f(x)的解析式. 【解析】 ∵x >0 ∴x +1x ≥2∵ f (x +1x )=(x +1x )2−2 , ∴ f(x)=x 2−2 (x ≥2) (注意函数的定义域)【点拨】本题主要是观察到x +1x 与x 2+1x 2之间存在“完成平方”的关系.方法2 待定系数法【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0 ,且f(x +1)=f(x)+x +1，求f(x)的解析式． 【解析】依题意可设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0)，若f(0)=0，且f(x +1)=f(x)+x +1，∴c =0且a (x +1)2+b (x +1)+c =ax 2+bx +c +x +1 即c =0且(2a +b )x +a +b +c =(b +1)x +c +1， ∴{c =02a +b =b +1a +b +c =c +1，解得a =12,b =12,c =0． ∴f(x)=x 2+x2；【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.方法3 换元法【典题３】已知f(√x +1)=x +2√x , 求f(x +1). 【解析】令t =√x +1，则t ≥1 , x =(t −1)2，∵ f(√x +1)=x +2√x∴ f(t)=(t −1)2+2(t −1)=t 2−1，∴ f (x )=x 2−1 (x ≥1) ∴ f (x +1)=(x +1)2−1=x 2+2x (x ≥0). 【点拨】② 用换元法时注意新变量的取值范围.② 用配凑法f(√x +1)=x +2√x =(√x +1)2−1⇒f (x )=x 2−1 (x ≥1)，但要求观察力足够好.方法4 构造方程组法【典题４】设f(x)满足f(x)−2 f(1x )=x , 求f(x)的解析式. 【解析】∵ f(x)−2 f(1x )=x ①显然x ≠ 0，将x 换成1x，得：f(1x)−2 f(x)=1x②解①②联立的方程组，得：f(x)=−x 3−23x .方法5 代入法【典题５】与函数y =x 2−3x +2的图象关于点(0,1)对称的函数是 . 【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于点(0,1)对称的点是Q(−x ,2−y)．由题意知点Q(−x ,2−y)在函数y =x 2−3x +2的图象上，则2−y =x 2+3x +2，化简得y =−x 2−3x ．【点拨】① 由下图可对本题有个更清晰的理解.② 求与一已知函数关于点对称或轴对称的函数解析式均可以用“代入法”.若把本题的函数y =x 2−3x +2换成y =2x 或者把“关于点(0,1)对称”换成“关于y =−1对称”，其解题过程大同小异.巩固练习1(★) 已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x >0)，若f(a)=10，则a 的值是 ． 【答案】 －3或5【解析】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =−2；当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．2 (★★) 已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(−∞ ,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 [38 ,12) 【解析】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(－∞,+∞)上单调递减 则{2a −1<00<a <1(2a −1)+7a −2≥a解得：38≤a <12 故答案为：[38,12)3(★★) 已知一次函数f(x)满足条件f(x +1)+f(x)=2x ，则函数f(x)的解析式为 ．【答案】 f(x)=x −12【解析】设f(x)=kx+b，k≠0，∵f(x+1)+f(x)=2x，∴k(x+1)+b+kx+b=2x，即2kx+k+2b=2x，∴{2k=2k+2b=0，解可得k=1，b=−1 2，∴f(x)=x−12.4(★★)已知f(√x)=x2−2x，则函数f(x)的解析式为．【答案】f(x)=x4－2x2(x≥0)【解析】f(√x)=x2−2x=(√x)4−2(√x)2，∴f(x)=x4－2x2(x≥0)．5(★★★) 已知f(0)=1，对于任意实数x ,y，等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)，求f(x)的解析式. 【答案】f(x)=x2+x+1【解析】对于任意实数x、y,等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)恒成立，不妨令x=0,则有f(−y)=f(0)−y(−y+1)=1+y(y−1)=y2−y+1再令−y=x,得函数解析式为f(x)=x2+x+1 .。

什么是函数函数有几种表示方法
函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出
之间的映射关系。

在数学中，函数被用来描述不同数值之间的关系，也被广泛应用在计算机科学、物理学、经济学等各个领域。

一个函数通常表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。

函数有多种表示方法，包括解析式、图像、表格和公式等。

下面将逐一介绍这些表示方法：
解析式表示
解析式是最常见的函数表示方法。

通过解析式，我们可以
直接得到函数的表达式，从而方便计算。

例如，一个线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

图像表示
函数的图像表示了函数的输入和输出之间的关系。

图像通
常用坐标系表示，其中横轴表示输入，纵轴表示输出。

通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质，如增减性、奇偶性等。

表格表示
函数的表格表示了函数输入和输出的对应关系。

通过表格，我们可以直观地看出不同输入对应的输出是什么，从而更好地理解函数的性质。

公式表示
函数还可以通过数学公式表示。

数学公式是用数学符号和
运算符描述函数的关系，是一种抽象和形式化的表示方法。

通过以上几种表示方法，我们可以更加全面地了解函数的
概念和性质。

函数是数学中一个非常重要的概念，也是解决各
种问题的基本工具之一。

不同的表示方法可以帮助我们更好地理解和运用函数。