山东省烟台市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。

烟台市2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =<，{}13B x x =-<<，则()RA B ⋂=（）A ．{}3x x < B ．{}13x x <<C ．{}1x x ≥D ．{}13x x ≤<2．“11x<”是“1x >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()()21,11,1x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2021f =（）A ．2B ．1C ．0D ．不确定4．函数()2221x xf x x --=+的图象可能为（） A ． B ． C ． D ．5．若函数()21f x ax x=-在[)1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．[)0,+∞ B ．()0,+∞C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23．若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为（）（lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．2.74年B ．3.42年C ．3.76年D ．4.56年7．已知函数()ln ,02,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()f m f n =且n m <，则m n -的最小值为（）A ．2B ．3C ．21e -D ．2e8．已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()10f -=，且()f x 在(),0-∞上单调递增，则不等式()()210xf x ->的解集为（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()()1,00,1-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（）A ．“()0,x ∀∈+∞，21x>”的否定为“()0,x ∃∈+∞，21x≤”B ．“()0,x ∀∈+∞，21x>”的否定为“(],0x ∃∈-∞，21x≤”C ．“0x ∃>，210x x -->”的否定为“0x ∀>，210x x --≤”D ．“0x ∃>，210x x -->”的否定为“0x ∀≤，210x x --≤”10．已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为0D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 11．已知函数()1xf x x =-，()()g x x a a R =-∈，则（） A ．()f x 在()1,+∞单调递减 B ．()f x 的图象关于点()1,0对称C ．若方程()()f x g x =仅有1个实数根，则04a <<D ．当0a <或4a >时，方程()()f x g x =有3个实数根12．若函数()g x 在区间D 上有定义，且对,,a b c D ∀∈，()g a ，()g b ，()g c 均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x-=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的值可能为（） A ．4e -B ．1e -C ．25e -D ．214e三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()f x =的定义域为______．14．已知()272,11,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为______．15．若函数23x y e =-在0x =处的切线与ln y x ax =+的图象相切，则实数a 的值为______． 16．已知函数()(20f x a xx =-<<在其图象上任意一点()(),P t f t 处的切线，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，设OMN △（O 处坐标原点）的面积为()S t ，当0t t =时，()S t取得最小值，则t 的值为______．四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()sin f x x x =-． （1）当0x <时，求函数()f x 的解析式； （2）解关于m 的不等式()()21f m f m >-． 18．（12分）已知函数()31413f x x x =-+． （1）求函数()f x 的极值；（2）讨论方程()()f x a R =∈实数解的个数．19．（12分）已知函数()()()ln 421x xf x k k R =+⋅+∈，()ln2g x x =．（1）若()f x 的定义域为R ，求k 的取值范围； （2）若不等式()()f x g x <有解，求k 的取值范围．20．（12分）如图，将一张长为a ，宽为58a 的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为x ，所得容器的体积为V ．（1）将V 表示为x 的函数()V x（2）x 为何值时，容积V 最大？求出最大容积． 21．（12分）已知函数()()ln f x x x x m m R =-+∈． （1）若()y f x =的图象恒在x 轴上方，求m 的取值范围；（2）若存在正数1x ，2x ()12x x <，满足()()12f x f x =，证明：122x x +>． 22．（12分）已知函数()xf x xe -=．（1）求()f x 的单调区间； （2）令()()()()ln ag x f x a R f x =+∈，对任意1x ≥，()1g x ≥-．求a 的取值范围． 2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学参考答案 一、单选题 DBAA CBBD二、多选题 9．AC 10．BCD11．ACD12．BD三、填空题13．(]0,2 14．[]2,315．116四、解答题17．解：（1）当0x <时，0x ->，()()()sin sin f x x x x x -=---=-+， 又()f x 为偶函数，所以()()sin f x f x x x =-=-+． （2）当0x ≥时，()()sin 1cos 0f x x x x ''=-=-≥， 所以()f x 在[)0,+∞单调递增．又()f x 为偶函数，所以()()()()2121f m f m fm f m >-⇔>-．所以21m m >-，两边平方，整理得()()3110m m -+>， 解得1m <-或13m >．18．解：（1）()24f x x '=-．令()0f x '=，解得2x =-或2x =．因此，当2x =-时，()f x 有极大值，且极大值为()23f -=． 当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为()1323f =-． （2）方程()f x a =的实数解的个数，即为函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的个数． 当x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 结合（1）知()f x 的大致图象如图所示．所以，当193a >或133a <-时，解为1个； 当193a =或133a =-时，解为2个；当131933a -<<时，解为3个． 19．解：（1）要使()f x 的定义域为R ，只需4210x xk +⋅+>在R 上恒成立．令20x t =>，只需210y t kt =++>在0t >上恒成立．当02k-≤，即0k ≥时，()y t 在()0,+∞单增，恒有()()010y t y >=>， 因此，对任意0k ≥均成立．当02k ->，即0k <时，()y t 在0,2k ⎛⎫- ⎪⎝⎭单减，,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单增，只需02k f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 即221042k k -+>，解得22k -<<，所以20k -<<．综上，k 的取值范围为()2,-+∞．（2）若不等式()()f x g x <有解，即()ln 421ln 2ln 2x x xk x +⋅+<=，可得04212x x x k <+⋅+<有解．因为当x →+∞时，421x x k +⋅+→+∞，所以，对任意实数k ，总存在00x >，使得004210x x k +⋅+>，即4210x x k +⋅+>有解．由4212x x x k +⋅+<可得，1122x x k ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭． 令20x t =>，1y t t=--，()()221111t t y t t-+'=-+=， 显然当()0,1t ∈时，函数单调递增，当()1,t ∈+∞时，函数单调递减， 所以当1t =时，y 取最大值2-， 所以12k -<-，即1k <-．20．解：（1）由题意知，长方体容器的长、宽、高分别为2a x -，528a x -，x ， 容器的体积()5228V a x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令20a x ->，5208a x ->，0x >，可得5016x a <<． 故函数()()3225135224848V x a x a x x x ax a x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，5016x a <<．（2）令()221351228V x x ax a '=-+． 令()0V x '=，得11x a =，25ax =（舍去）．因此，18x a =是函数()V x 的极大值点，相应的极大值398256a aV ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也是()V x 在区间50,16a ⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值． 答：截去的小正方形边长为18a 时，容器的容积最大，最大容积39256a ．21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln 1ln f x x x x x'=+⋅-=． 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 因此，当1x =时，()()min 11f x f m ==-． 由题意，()min 0f x >，即10m ->，解得1m >． （2）由（1）及()f x 的单调性知，1201x x <<<． 构造函数()()()2g x f x f x =--，01x <<．则()()()2ln ln 2ln 11g x x x x ⎡⎤'=+-=--⎣⎦，当01x <<时，()2111x --<，()2ln 110x ⎡⎤--<⎣⎦，即()0g x '<，所以()g x 在区间()0,1上单调递减．因为11x <，所以()()110g x g >=，即()()112f x f x >-． 由题意()()21f x f x =，所以()()212f x f x >-． 因为()f x 在()1,+∞，且单调递增，21x >，121x ->， 所以212x x >-，即122x x +>． 22．解：（1）()1xxf x e -'=， 令()0f x '>，得1x <；令()0f x '<，得1x >．所以()f x 的单调增区间为(),1-∞，单调减区间为()1,+∞．（2）由题意知()ln xae g x x x x=-+． 于是()()()221111x xx ae x x e x g x a x x x e --⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭， 由（1）知，在[)1,+∞上，()f x 单调道减，且()10,f x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，取0x e =，显然1e >， 但()1111e g e ae e e -=-+≤-<-，因此，0a ≤不合题意．当10a e<<时，结合（1）中()f x 的单调性知，存在()01,x ∈+∞，得00x ae x =， 此时()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000minln x ae g x g x x x x ==-+()001ln 1ln 1x x ae a =-+=+≥-，解得21a e ≥，即211a e e≤<；当1a e≥时，()0g x '≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调道增，()()min 111g x g ae ==-≥-， 解得0a ≥，即1a e≥；综上所述，a 的取值范围21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

2020-2021学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A= {x|y=√x−2}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A.（2，e）B.[2，e）C.（e，+∞）D.∅2.（单选题，5分）命题“∃x＞0，xx2+1＞0”的否定是（）A.∀x＞0，xx2+1＞0B.∃x＞0，xx2+1＜0C.∀x＞0，xx2+1≤0D.∃x＞0，xx2+1≤03.（单选题，5分）已知a＞0＞b且a2＞b2，那么下列不等式中，成立的是（）A. 1a ＜1bB.a3＜ab2C.a2b＜b3D.a+b＜04.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2-6x+4=0的两根，则a3a9a6=（）A.2B.-2C.-2或2D.3± √55.（单选题，5分）设函数f（x）= x−1x+1，则下列函数中为奇函数的是（）A.f（x-1）-1B.f（x-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+16.（单选题，5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则4a +1b的最小值为（）A.1B.3C. 32 D.97.（单选题，5分）已知函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A. f (x )=(12+1e x −1)•sinx B.f (x )=(12+1e x −1)•|cosx | C.f (x )=(12+1e x −1)•cosx D.f (x )=(12+1e x −1)•|sinx |8.（单选题，5分）设f'（x ）为奇函数f （x ）（x∈R ）的导函数，f （-2）=0，当x ＞0时，xf'（x ）-3f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 取值范围是（ ） A.（-∞，-2）∪（2，+∞） B.（-2，0）∪（2，+∞） C.（-2，0）∪（0，2） D.（-∞，-2）∪（0，2）9.（多选题，5分）已知函数f （x ）= {log 2(x −1)，x ＞12x ，x ≤1 ，则下面结论成立的是（ ）A.f （2）=4B. f (f (32))=12 C.f （f （1））=0 D.若f （a ）=2，则a=110.（多选题，5分）已知定义域为R 的奇函数f （x ）满足f （x+1）=-f （x ），且f （x ）=x 2-x （0＜x≤1），则下列结论一定正确的是（ ） A. f (232)=−14B.f （-1-x ）=f （x ）C.函数f （x ）的图象关于点（-1，0）对称D.f （x ）在区间 (−12，12) 上是单调函数11.（多选题，5分）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称该数列为“兔子数列”，它在现代物理、准晶体结构、化学．等领域都有直接的应用．斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*），记其前n 项和为S n ，则下列结论成立的是（ ） A.S 8=54B.a 1+a 3+a 5+a 7+⋯+a 2019=a 2020C.a 2+a 4+a 6+a 8+⋯+a 2020=a 2021D.S 2020+S 2019-S 2018-S 2017=a 202212.（多选题，5分）我们把有限集合A 中的元素个数用card （A ）来表示，并规定card （∅）=0，例如A={1，2，3}，则card （A ）=3．现在，我们定义A*B= {card (A )−card (B )，card (A )≥card (B )card (B )−card (A )，card (A )＜card (B ) ，已知集合A={x|e x +x 2-2=0}，B={x|（lnx-ax ）（x 2-aex+1）=0}，且A*B=1，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A. (−2e ，−1e ) B. (0，1e ) C. (1e ，2e ) D. (2e，+∞)13.（填空题，5分）不等式|2x-1|＜a 的解集为（0，1），则方程x 2-（2a-1）x-2=0的两根之和为 ___ ．14.（填空题，5分）已知函数f （x ）满足 f (x )=f′(π4)cosx −sinx ，则 f′(π4) =___ ． 15.（填空题，5分）已知不等式 (4x +y )(1x +a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为a i ，j ，例如a 3，2=9，a 4，2=15，a 5，4=23，由此可得a 8，5=___ ，若a i ，j =2021，则i-j=___ ．17.（问答题，10分）已知集合A= {x|x−32−x ＞0} ，B={x|2m ＜x ＜m+3}． （1）当m=0时，求（∁R A ）∩B ；（2）请在 ① 充分不必要条件 ② 必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．若x∈A 是x∈B 的______条件，试判断m 是否存在，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．18.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1= {a n +2，n 奇数a n +1，n 偶数 ．（1）记b n =a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前10项和．19.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x 2e x -ax 2-4ax ． （1）若a=0，求y=f （x ）在x=1处的切线方程；（2）已知函数y=f （x ）在x=1处有极值，求函数的单调递增区间．20.（问答题，12分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业2020年最新研发了一款电子设备，通过市场分析，生产此类设备每年需要投人固定成本200万，每生产x （百台）电子设备，需另投人成本R （x ）万元，且R （x ）= {12x 2+30x +150，(10＜x ＜64)72x +1800x−60−920，(64≤x ＜120) ，由市场调研可知，每台设备售价0.7万元，且生产的设备当年能全部售完．（1）求出2020年的利润W （x ）（万元）关于年产量x （百台）的函数关系式，（利润=销售额一成本）；（2）2020年产量为多少百台时，企业所获利润最大？最大利润是多少？21.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n= a n(S n+2)(S n+1+2)，数列{b n}前n项和为T n，求证：T n＜16．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ 2−ax-1-a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，求整数a的最大值．2020-2021学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A= {x|y=√x−2}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A.（2，e）B.[2，e）C.（e，+∞）D.∅【正确答案】：B【解析】：先利用函数的定义以及指数不等式的解法求出集合A，B，再由集合交集的定义求解即可．【解答】：解：因为A= {x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，所以A∩B={x|2≤x＜e}．故选：B．【点评】：本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.（单选题，5分）命题“∃x＞0，xx2+1＞0”的否定是（）A.∀x＞0，xx2+1＞0B.∃x＞0，xx2+1＜0C.∀x＞0，xx2+1≤0D.∃x＞0，xx2+1≤0【正确答案】：C【解析】：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】：解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可得命题“∃x＞0，xx2+1＞0”的否定是“∀x＞0，xx2+1≤0”．【点评】：本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3.（单选题，5分）已知a＞0＞b且a2＞b2，那么下列不等式中，成立的是（）A. 1a ＜1bB.a3＜ab2C.a2b＜b3D.a+b＜0【正确答案】：C【解析】：A选项，利用a，b的正负判断即可；B、C选项，利用不等式a2＞b2两边同乘a，b判断；D选项，利用不等式开方性质判断．【解答】：解：因为a2＞b2，所以|a|＞|b|，又a＞0＞b，所以a＞-b，即a+b＞0，所以D选项错误；A选项：因为a＞0＞b，所以1a ＞0＞1b，所以A选项错误；B选项：因为a2＞b2，a＞0，所以a3＞ab2，所以B选项错误；C选项：因为a2＞b2，b＜0，所以a2b＜b3，所以C选项正确．故选：C．【点评】：本题考查不等式的基本性质，属于基础题．4.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2-6x+4=0的两根，则a3a9a6=（）A.2B.-2C.-2或2D.3± √5【正确答案】：A【解析】：根据一元二次方根跟与系数的关系可得2a10=4，再根据等比数列的性质可得a2a10=a3a9=a 62 =4，从而可得a6=2，所以a3a9a6 = a62a6=a6可求．【解答】：解：由a2，a10是方程x2-6x+4=0的两根，得a2a10=4，又{a n}是等比数列，所以a2a10=a3a9=a 62 =4，解得a6=2或a6=-2（舍去），所以a3a9a6 = a62a6故选：A ．【点评】：本题考查等比数列的性质，运用到一元二次方程的根与系数的关系，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．5.（单选题，5分）设函数f （x ）= x−1x+1 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.f （x-1）-1 B.f （x-1）+1 C.f （x+1）-1 D.f （x+1）+1 【正确答案】：A【解析】：根据题意，先分析f （x ）的对称性，结合函数平移变换的规律依次分析选项，判断选项中函数的对称中心，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f （x ）= x−1x+1 = x+1−2x+1 =- 2x+1+1，则f （x ）的图象关于点（-1，1）对称， 依次分析选项：对于A ，f （x-1）-1，由函数f （x ）的图象向右平移1个单位，向下平移一个单位得到，即f （x-1）-1的图象关于（0，0）对称，是奇函数，A 正确； 对于B ，f （x-1）+1，由函数f （x ）的图象向右平移1个单位，向上平移一个单位得到，即f （x-1）+1的图象关于（0，2）对称，不是奇函数，B 错误； 对于C ，f （x+1）-1，由函数f （x ）的图象向左平移1个单位，向下平移一个单位得到，即f （x+1）-1的图象关于（-2，0）对称，不是奇函数，C 错误； 对于D ，f （x+1）+1，由函数f （x ）的图象向左平移1个单位，向上平移一个单位得到，即f （x+1）+1的图象关于（-2，2）对称，不是奇函数，D 错误； 故选：A ．【点评】：本题考查函数奇偶性的判断以及性质的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题． 6.（单选题，5分）已知正实数a ，b 满足a+b=3，则 4a +1b 的最小值为（ ） A.1 B.3 C. 32D.9【正确答案】：B【解析】：由a+b=3可得13（a+b）=1，所以4a+ 1b= 13（a+b）（4a+ 1b）= 13（5+ ab+ 4ba）≥ 13（5+2 √ab•4ba）再进一步分析之后即可得出4a+1b的最小值．【解答】：解：由a+b=3，得13（a+b）=1，又a＞0，b＞0，所以4a + 1b= 13（a+b）（4a+ 1b）= 13（5+ ab+ 4ba）≥ 13（5+2 √ab•4ba）=3，当且仅当ab = 4ba，a=2b，即a=2、b=1时，等号成立，所以4a+1b的最小值为3．故选：B．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，考查学生的推理论证和运算求解能力，属于基础题．7.（单选题，5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f(x)=(12+1e x−1)•sinxB. f(x)=(12+1e x−1)•|cosx|C. f(x)=(12+1e x−1)•cosxD. f(x)=(12+1e x−1)•|sinx|【正确答案】：B【解析】：利用f（0）的值排除选项A，D，利用当x∈(π2，3π2)时，f（x）的值排除选项C，即可得到答案．【解答】：解：对于A，当x=0时，f（0）=0，不符合图象，故选项A错误；对于D，当x=0时，f（0）=0，不符合图象，故选项D错误；对于C，当x＞0时，e x＞1，故1e x−1＞0，所以12+1e x−1＞0，则当x∈(π2，3π2)时，cosx＜0，故f（x）＜0，不符合图象，故选项C错误；令g(x)=12+1e x−1，则g（-x）=-g（x），则g（x）为奇函数，又y=|cosx|为偶函数，故函数f（x）为奇函数，有可能是图象的解析式．故选：B．【点评】：本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．8.（单选题，5分）设f'（x）为奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-2）=0，当x＞0时，xf'（x）-3f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x取值范围是（）A.（-∞，-2）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（0，2）【正确答案】：D【解析】：构造函数g(x)=f(x)x3，g（x）是偶函数，结合题意可得g（x）在（0，+∞）上单调递减，再结合f（-2）=0，可得g（-2）=g（2）=0，作出g（x）的草图，利用f(x)＞0⇔x3g(x)＞0⇔xg(x)＞0⇔{x＞0g(x)＞0或{x＜0g(x)＜0可求得答案．【解答】：解：构造函数g(x)=f(x)x3，定义域为{x|x≠0}，因为f（x）是在R上的奇函数，所以f（0）=0，且g(−x)=f(−x)(−x)3=−f(x)−x3=f(x)x3=g(x)，所以g（x）是偶函数，g′(x)=xf′(x)−3f(x)x4，当x＞0时，因为xf′（x）-3f（x）＜0，所以g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（x）是偶函数，所以g（x）在（-∞，0）上单调递增，因为f（-2）=0，所以g（-2）=0，所以g（2）=0，作出函数g（x）的大致草图，当x=0时，f （x ）=0，所以x=0不是不等式f （x ）＞0的解； 当x≠0时， f (x )＞0⇔x 3g (x )＞0⇔xg (x )＞0⇔{x ＞0g (x )＞0 或 {x ＜0g (x )＜0， 数形结合可得x ＜-2或0＜x ＜2． 故选：D ．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性综合，考查导数逆运算构造函数解不等式，考查数形结合的数学思想，属于中档题．9.（多选题，5分）已知函数f （x ）= {log 2(x −1)，x ＞12x ，x ≤1 ，则下面结论成立的是（ ）A.f （2）=4B. f (f (32))=12 C.f （f （1））=0 D.若f （a ）=2，则a=1 【正确答案】：BC【解析】：由分段函数的解析式，逐个求得函数值，即可得出答案．【解答】：解：对于A ：f （2）=log 2（2-1）=0，故A 错误；对于B ：f （ 32 ）=log 2（ 32 -1）=log 2 12 =-1，f （f （ 32 ））=f （-1）=2-1= 12 ，故B 正确； 对于C ：f （1）=2，f （f （1））=f （2）=log 2（2-1）=0，故C 正确； 对于D ：当a ＞1时，令f （a ）=2， 得log 2（a-1）=2，解得a=5， 当a≤1时，令f （a ）=2， 得2a =2，解得a=1，所以a=1或a=5，故D 错误．故选：BC．【点评】：本题考查分段函数，函数值，属于中档题．10.（多选题，5分）已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）=x2-x（0＜x≤1），则下列结论一定正确的是（）A. f(232)=−14B.f（-1-x）=f（x）C.函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称D.f（x）在区间(−12，12)上是单调函数【正确答案】：BCD【解析】：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，f（232）=f（12- 12）=f（- 12）=-f（12），而f（12）=- 14，则f（232）=-f（12）= 14，A错误；对于B，f（x）为奇函数，且f（x+1）=-f（x），即f（x）=-f（x+1），则有f（x）=f（-x-1），B正确；对于C，由A的结论，f（x）是周期为2的周期函数，则有f（x-2）=f（x），即f（x-2）=-f （-x），函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称，C正确；对于D，在区间（0，12）上，f（x）=x2-x=（x- 12）2- 14，是减函数，且有f（x）＜f（0）=0，又由f（x）为奇函数，则在区间（- 12，0）上，f（x）是奇函数且f（x）＞f（0）=0，综合可得：f（x）在区间(−12，12)上是单调减函数，D正确；故选：BCD．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数周期性的分析，属于基础题．11.（多选题，5分）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称该数列为“兔子数列”，它在现代物理、准晶体结构、化学．等领域都有直接的应用．斐波那契数列{a n}满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*），记其前n项和为S n，则下列结论成立的是（）A.S8=54B.a1+a3+a5+a7+⋯+a2019=a2020C.a 2+a 4+a 6+a 8+⋯+a 2020=a 2021D.S 2020+S 2019-S 2018-S 2017=a 2022 【正确答案】：ABD【解析】：由a 1=1，a 2=1，a n =a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*）可计算得出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，直接计算S 8即可；【解答】：解：由a 1=1，a 2=1，a n =a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*）得：a 3=2，a 4=3，a 5=5，a 6=8，a 7=13，a 8=21，于是，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=54，故A 正确；因为a 1+a 3+a 5+a 7+…+a 2019=a 2+（a 4-a 2）+（a 6-a 4）+…+（a 2020-a 2018）=a 2020，故B 正确； 因为a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 2020=（a 3-a 1）+（a 5-a 3）+（a 7-a 5）+…+（a 2021-a 2019）=a 2021-1，故C 不正确；因为S 2020+S 2019-S 2018-S 2017=a 2019+a 2018+a 2019+a 2020=a 2020+a 2021=a 2022，故D 正确； 故选：ABD ．【点评】：本题考查递推数列与数列的前n 项和，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属中档题．12.（多选题，5分）我们把有限集合A 中的元素个数用card （A ）来表示，并规定card （∅）=0，例如A={1，2，3}，则card （A ）=3．现在，我们定义A*B= {card (A )−card (B )，card (A )≥card (B )card (B )−card (A )，card (A )＜card (B ) ，已知集合A={x|e x +x 2-2=0}，B={x|（lnx-ax ）（x 2-aex+1）=0}，且A*B=1，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A. (−2e，−1e) B. (0，1e ) C. (1e ，2e ) D. (2e ，+∞) 【正确答案】：BCD【解析】：数形结合可得card （A ）=2，根据题中定义可得card （B ）=1或3，设f （x ）=lnx x ，g （x ）= 1e （x+ 1x），分析可知直线y=a 与函数f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的图象共有1个或3个交点，数形结合可得实数a 的取值范围，即可得出答案．【解答】：解：对于集合A，由e x+x2-2=0，可得e x=2-x2，作出函数y=e x与函数y=2-x2的图象如下所示：所以函数y=e x与函数y=2-x2的图象有两个公共点，故card（A）=2，因为A*B=|card（A）-card（B）|=1，所以card（B）=1或3，对于集合B，由（lnx-ax）（x2-aex+1）=0，x＞0，由lnx-ax=0，可得a= lnxx，由x2-aex+1=0，可得a= 1e （x+ 1x），设f（x）= lnxx ，g（x）= 1e（x+ 1x），则直线y=a与函数f（x），g（x）在（0，+∞）上的图象共有1个或3个交点，f′（x）= 1−lnxx2，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以f（x）max=f（e）= 1e，当x＞1时，f（x）＞0，g′（x）= 1e （1- 1x2）= x2−1ex2，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min=g（1）= 2e，作出直线y=a与函数f（x），g（x）在（0，+∞）上的图象，如下图所示：由图象可知，当a≤0，a= 1e 或a= 2e时，直线y=a与函数f（x），g（x）在（0，+∞）上的图象共有1个公共点，故选：BCD．【点评】：本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．13.（填空题，5分）不等式|2x-1|＜a的解集为（0，1），则方程x2-（2a-1）x-2=0的两根之和为 ___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：将不等式|2x-1|＜a去绝对值，可得1−a2＜x＜1+a2，由于不等式的解集为（0，1），求出a，再结合韦达定理，即可求解．【解答】：解：∵|2x-1|＜a，∴-a＜2x-1＜a，即1−a2＜x＜1+a2，又∵不等式|2x-1|＜a的解集为（0，1），∴ 1−a2=0且1+a2=1，解得a=1，设x1，x2为方程x2-（2a-1）x-2=0的两根，∴由韦达定理，可得x1+x2=2a-1=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的求解，以及韦达定理的应用，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数f（x）满足f(x)=f′(π4)cosx−sinx，则f′(π4) =___ ．【正确答案】：[1]1- √2【解析】：根据三角函数的求导公式求导得出f′(x)=−f′(π4)sinx−cosx，然后将x换上π4即可得出f′(π4)的值．【解答】：解：∵ f′(x)=−f′(π4)sinx−cosx，∴ f′(π4)=−√22f′(π4)−√22，解得f′(π4)=−1√2+1=1−√2．故答案为：1−√2．【点评】：本题考查了三角函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知不等式(4x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：由x＞0，y＞0可得（4x+y）（1x + ay）=4+a+ yx+ 4axy≥4+a+2 √yx•4axy=4+a+4√a，又不等式(4x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，所以4+a+4 √a≥9，从而解出a的取值范围即可．【解答】：解：由x＞0，y＞0，得（4x+y）（1x + ay）=4+a+ yx+ 4axy≥4+a+2 √yx•4axy=4+a+4 √a，当且仅当yx = 4axy，即y=2 √a x时等号成立，又不等式(4x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，所以4+a+4 √a≥9，即a+4 √a -5≥0，解得√a≥1或√a≤-5（舍去），所以a≥1．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，考查学生推理论证和运算求解能力，属于基础题．16.（填空题，5分）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为a i，j，例如a3，2=9，a4，2=15，a5，4=23，由此可得a8，5=___ ，若a i，j=2021，则i-j=___ ．【正确答案】：[1]65; [2]20【解析】：根据所给数表得到规律：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数…第n 组n 个奇数， 则前n 组共n (n+1)2个奇数，奇数行由大到小排列，偶数行由小到大排列， 第一空：a 8，5代表第八行第5个奇数，由上述规律即可求出答案；第二空：由等差数列的前n 项和公式可得：2021在第n 组中，又2021是从1开始的连续奇数的第1011个奇数，则有 {n (n−1)2＜1011n (n+1)2≥1011，解得n=45，即2021在第45组中，由归纳推理可得：前44组共990个数，又第44组中的奇数从右到左，从小到大，则2021为第45组从右到左的第1011-990=21个数，即2021为第45组从左到右的第45-21+1=25个数，得解．【解答】：解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数…第n 组n 个奇数， 则前n 组共n (n+1)2个奇数，奇数行由大到小排列，偶数行由小到大排列， 因为a 8，5代表第八行第5个奇数，而前7组共 7×82=28个数，则第8组的第一个奇数为57，且此行奇数由小到大排列，故第5个奇数为65；设2021在第n 组中，又2021是从1开始的连续奇数的第1011个奇数，则有 {n (n−1)2＜1011n (n+1)2≥1011，解得n=45，即2021在第45组中， 则前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2021为第45组从右到左的第1011-990=21个数， 即2021为第45组从左到右的第45-21+1=25个数， 即i=45，j=5， 故i-j=45-25=20， 故答案为：65，20．【点评】：本题考查归纳推理，涉及等差数列的前n 项和公式及归纳推理，属中档题． 17.（问答题，10分）已知集合A= {x|x−32−x ＞0} ，B={x|2m ＜x ＜m+3}． （1）当m=0时，求（∁R A ）∩B ；（2）请在 ① 充分不必要条件 ② 必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．若x∈A 是x∈B 的______条件，试判断m 是否存在，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，求出集合A ，B ，由此能求出C R A∩B ．（2）若选条件 ① ：x∈A 是x∈B 的充分不必要条件且2m=2与m+3=3不同时成立，由此能求出存在m ，m∈[0，1]．若选条件 ② ：x∈A 是x∈B 的必要不充分条件，当2m≥m+3，即m≥3时，B=∅，成立．当2m ＜m+3，即m ＜3时， {2m ≥2m +3≤3 ，由此能求出结果．【解答】：解：（1）当m=0时，B=（0，3）， x−32−x ＞0 ，等价于（x-2）（x-3）＜0， ∴A=（2，3），C R A=（-∞，2]∪[3，+∞）， ∴C R A∩B=（0，2]． （2）若选条件 ① ：∵x∈A 是x∈B 的充分不必要条件且2m=2与m+3=3不同时成立， 解得0≤m≤1，所以存在m ，m∈[0，1]， 若选条件 ② ：∵x∈A 是x∈B 的必要不充分条件， 当2m≥m+3，即m≥3时，B=∅，成立．当2m ＜m+3，即m ＜3时， {2m ≥2m +3≤3 ，解得m 不存在，∴存在m≥3．【点评】：本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1= {a n +2，n 奇数a n +1，n 偶数 ．（1）记b n =a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前10项和．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用分类法和赋值法的应用求出数列的b 1，b 2的值和数列的通项公式； （2）利用分组法的求和的公式的应用求出结果．【解答】：解：（1）设2n 为偶数，2n+1为奇数， 则a 2n+1=a 2n +1，a 2n+2=a 2n+1+2， ∴a 2n+2=a 2n +3， 即b n+1=b n +3， 且b 1=a 2=a 1+2=3，∴{b n }是以3为首项，3为公差的等差数列， ∴b 1=3，b 2=6，b n =3n ．（2）当n 为奇数时，a n =a n+1-2，∴{a n }的前10项和为a 1+a 2+...+a 10=（a 1+a 3+...+a 9）+（a 2+a 4+...+a 10）[（a 2-2）+（a 4-2）+...+（a 10-2）]+（a 2+a 4+...+a 10）=2（a 2+a 4+...+a 10）-10， 由（1）可知，a 2+a 4+...+a 10=b 1+b 2+...+b 5= 3×5+5×42×3 =45，∴{a n }的前10项和为2×45-10=80．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x 2e x -ax 2-4ax ． （1）若a=0，求y=f （x ）在x=1处的切线方程；（2）已知函数y=f （x ）在x=1处有极值，求函数的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）当a=0时，f （x ）=x 2e x ，求导得f'（x ），由导数的几何意义可得k 切=f′（1），又f （1）=e ，即可得出答案．（2）求导得f'（x ）=（x 2+2x ）e x -2ax-4a ，若函数y=f （x ）在x=1处有极值，则f'（1）=0，解得 a =e2 ，进而可得f （x ）的解析式，求导，分析f′（x ）＞0，即可得出答案．【解答】：解：（1）当a=0时，f （x ）=x 2e x ，则f'（x ）=（x 2+2x ）e x ， 因此切线斜率k=f'（1）=3e ，又函数图象过点（1，e ），因此切线方程为y-e=3e （x-1），即y=3ex-2e ． （2）f'（x ）=（x 2+2x ）e x -2ax-4a ，函数y=f （x ）在x=1处有极值，则f'（1）=0，解得 a =e 2 ，故f'（x ）=（x 2+2x ）e x -ex-2e=（x+2）（xe x -e ）． 设h （x ）=xe x ，h'（x ）=（x+1）e x ， 可知当时x ＜-1时，h （x ）=xe x 为递减函数， 且h （x ）＜0；x ＞-1时，h （x ）=xe x 为递增函数， 故x=1为xe x =e 的解，且为唯一的解．因此，f'（x ）＞0时，即x ＜-2或x ＞1时，函数单调递增， 因此，函数的单调递增区间为（-∞，-2）和（1，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20.（问答题，12分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业2020年最新研发了一款电子设备，通过市场分析，生产此类设备每年需要投人固定成本200万，每生产x （百台）电子设备，需另投人成本R （x ）万元，且R （x ）= {12x 2+30x +150，(10＜x ＜64)72x +1800x−60−920，(64≤x ＜120)，由市场调研可知，每台设备售价0.7万元，且生产的设备当年能全部售完．（1）求出2020年的利润W （x ）（万元）关于年产量x （百台）的函数关系式，（利润=销售额一成本）；（2）2020年产量为多少百台时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意知销售额为0.7×100x=70x 万元，分两种情况：当10＜x ＜64时，当64≤x ＜120时，写出W （x ）的解析式．（2）分情况：10＜x ＜64，64≤x ＜120时，求出W （x ）的最值，即可得出答案．【解答】：解：（1）由题意知销售额为0.7×100x=70x 万元当10＜x ＜64时， W (x )=70x −(12x 2+30x +150)−200=−12x 2+40x −350 ， 当64≤x ＜120时，W （x ）=70x-（72x+ 1800x−60 -920）-200=-2x- 1800x−60 +720，w （x ）= {−12x 2+40x −350，(10＜x ＜64)720−2x −1800x−−60，(64≤x ＜120) ． （2）若10＜x ＜64， W (x )=−12(x −40)2+450 ，当x=40时，W （x ）max =450万元，若64≤x ＜120时， W (x )=720−2x −1800x−60 600−2(x −60)−1800x−60 ≤600−2√2(x −60)⋅1800x−60=480 ，当且仅当 2(x −60)=1800x−60 时，即x=90时，W （x ）max =480万元．相比较可得，2020年产量为90（百台）时，企业所获利润最大，最大利润是480万元．【点评】：本题考查利用函数知识解决实际问题，属于中档题．21.（问答题，12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=S n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n = a n (S n +2)(S n+1+2) ，数列{b n }前n 项和为T n ，求证：T n ＜ 16．【正确答案】：【解析】：（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）运用等比数列的求和公式，求得b n=2n−1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1−12n+1+1)，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】：解：（1）当n≥2时，a n=S n-1+1，又a n+1=S n+1，两式相减得a n+1-a n=a n，即a n+1=2a n，又a1=1，a2=a1+1=2，a2a1=2，所以数列{a n}是首项为1，公比是2的等比数列，所以a n=2n−1．（2）证明：S n=1+2+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n−1，因为b n=2n−1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1−12n+1+1)，所以T n=b1+b2+⋯+b n=12(13−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1)= 12(13−12n+1+1)=16−12⋅12n+1+1，所以T n＜16．【点评】：本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ 2−ax-1-a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，求整数a的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）求出f（x）的定义域，求出f'（x），通过研究f'（x）的正负，确定函数f （x）的单调性即可；（2）将不等式恒成立转化为a＜xlnx+2−xx+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g(x)=xlnx+2−xx+1，故a＜g（x）min，利用导数以及函数零点的存在性定义，研究函数g（x）的最小值，即可得到a的取值范围，从而得到答案．【解答】：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．因为f(x)=lnx+2−ax−1−a，所以f′(x)=1x +a−2x2=x+a−2x2．当a-2≥0，即a≥2时，f'（x）＞0；当a-2＜0，即a＜2时，由f'（x）＞0，解得x＞2-a，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2-a，综上可得，当a≥2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜2时，f（x）在（0，2-a）上单调递减，在（2-a，+∞）上单调递增；（2）因为f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即lnx+2−ax−1−a＞0在（0，+∞）恒成立，所以xlnx+2-x＞（1+x）a在（0，+∞）恒成立，所以a＜xlnx+2−xx+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g(x)=xlnx+2−xx+1，故a＜g（x）min，则g′(x)=x+lnx−2(x+1)2，令h（x）=x+lnx-2，则ℎ′(x)=1+1x =x+1x，因为x＞0，所以h'（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，因为h（1）=-1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x0∈（1，2）满足h（x0）=0，即x0+lnx0-2=0，当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故g(x)min=g(x0)=x0lnx0+2−x0x0+1=x0(2−x0)+2−x0x0+1=2−x0，所以a＜2-x0，因为1＜x0＜2，a∈Z，所以a的最大值为0．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题以及不等式恒成立的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．。

2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省烟台市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高三上·四川月考) 已知集合 , 则 =（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·淮南模拟) 若复数z满足i•z= （1+i），则z的虚部是（）A . ﹣ iB . iC . ﹣D .3. （2分）(2016·海口模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C： =1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（， ]，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A . （0， ]B . （0， ]C . [ ， ]D . [ ， ]4. （2分） (2018高一下·北京期中) 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）．A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）(2017·吉林模拟) 的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若=32，则n=（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）“成立"是“成立”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）数列的前n项和为，则数列的前50项的和为（）A . 49B . 50C . 99D . 1008. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 若实数x,y满足，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）函数的定义域是[a，b]，值域为，则b﹣a的最大值与最小值之和为（）A . 2πB . πC .D .10. （2分） (2015高一下·湖州期中) 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A .B .C . 5D . 6二、填空题 (共7题；共8分)11. （1分）(2020·杨浦期末) 椭圆的焦点为为椭圆上一点,若 ,则________.12. （1分） (2018高二上·佛山期末) 是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为________．13. （1分）有一射击时击中目标的概率为0.7，记4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P（ξ≥1）=________．14. （1分）口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为________．15. （1分） (2017高三上·南通期末) 已知，是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集M={K| = }，当K1 ，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式| |≤c| |恒成立，则实数c的最小值为________．16. （2分） (2017高二下·温州期末) 函数f（x）= 的对称中心为________，如果函数g（x）=（ x＞﹣1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________．17. （1分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AC，BC，BD，DA的中点，若，，且四边形EFGH的面积为，则AB和CD所成的角为________．三、解答题 (共5题；共60分)18. （15分）已知函数f（x）=2cos（π﹣）•tan（π﹣）•cos ，﹣≤x≤ ．（1）求f（）的值；（2）判断函数是否是偶函数（请直接给出结论）；（3）求f（2x）在区间[﹣， ]上的最大值和最小值．19. （10分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD= AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．20. （10分） (2015高一下·普宁期中) 已知函数f（x）=lnx﹣ a（x﹣1）（a∈R）．（1）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）试比较ea﹣2与ae﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．21. （10分） (2018高三上·大连期末) 已知直线与抛物线交于两点，（1）若，求的值；（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积. 22. （15分） (2018高二下·长春月考) 在数列中，且 .（1）求出a2，a3，a4；（2）归纳猜想出数列的通项公式；（3）证明通项公式 .参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共60分) 18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断高二化学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 S32 Cl35.5 K39 Cr52 Fe56Cu64 Zn65 Ba137一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 化学与生活密切相关。

下列说法正确的是A．汽车尾气中含有的氮氧化物是汽油不完全燃烧造成的B．燃煤中加入CaO可以减少酸雨的形成及温室气体的排放C．使用医用酒精(75%)、“84”消毒液或加热均能有效灭活新型冠状病毒D．纳米铁粉通过物理吸附可除去污水中的Pt2+、Cu2+、Cd2+、Hg2+等2．下列有关元素与物质分类说法正确的是A．胶体区别于其他分散系的本质特征是具有丁达尔效应B．CuCl2、FeCl2、CuS、SO3均可以由单质直接化合生成C．强电解质一定含有离子键，弱电解质一定含有弱极性共价键D．碱性氧化物一定是金属氧化物，酸性氧化物不一定是非金属氧化物3．N A是阿伏加德罗常数的值。

下列说法错误的是A．1L0.1mol·L－1的NaF溶液含有的质子数为2N AB．5.6gFe在7.1gCl2中充分燃烧，转移电子数为0.2N AC．1L 0.1mol·L－1Na2SO3溶液中含阴离子数目大于0.1N AD．标准状况下，2.24 LNH3中含有的共价键数目为0.3N A4．下列反应对应的离子方程式正确的是A．用Na2S处理含Hg2+的废水：Hg2+＋Na2S＝HgS↓＋2Na＋B．将Na218O2加入水中：2Na218O2＋2H2O＝O2↑＋4Na+＋418OH－C．过量SO2与“84”消毒液反应：SO2＋ClO－＋3H2O＝HSO3－＋HClOD．向NaHCO3溶液中加足量Ba(OH)2溶液：HCO3－＋Ba2＋＋OH－＝BaCO3↓＋H2O5．下列说法正确的是A．纯碱是制作面包等糕点的膨松剂B．FeO粉末在空气中受热，迅速被氧化成Fe2O3C．配制FeCl2溶液时，加入少量铁粉是为了防止Fe2＋被氧化D．植物直接吸收利用空气中的NO和NO2作为肥料，实现氮的固定6．利用下列装置（夹持装置略）进行实验，不能达到实验目的的是甲 乙 丙 丁 A ．用甲装置制取并收集少量NH 3B ．用乙装置比较KMnO 4、Cl 2、S 的氧化性强弱C ．用丙装置检验浓硫酸与铜反应后产物中是否含有Cu 2+D ．配制一定物质的量浓度的溶液时，用丁装置进行溶液转移 7．光化学烟雾污染的形成过程可通过如图表示，下列说法正确的是OA ．反应过程中氮氧化物总物质的量不断减少B ．反应I 中，每消耗1molO 3生成3mol NO 2C ．反应II 、反应III 均属于氧化还原反应D ．光化学烟雾的形成只发生在白天 8．实验室由MnO 2制取KMnO 4的流程如下：MnO 2下列说法错误的是A ．步骤①发生反应2MnO 2＋O 2＋4KOH ＝2K 2MnO 4＋2H 2OB ．步骤②用到的玻璃仪器有烧杯、漏斗和玻璃棒C ．试剂X 可为石灰乳D ．上述流程中只有MnO 2可循环利用9．某溶液中只含有K ＋、NH 4＋、SO 42－、Cl －、Fe 2＋、Fe 3＋、CO 32－中的若干种，且各离子浓度均相同。

2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题C C AD B D C A 二、选择题9. ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题12.80− 13.1(,]e −∞ 14.14()3n L −2L 四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································ 3分零假设为0H ：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联， 根据列联表中数据计算得到，2250(828212)25==8.3337.879203010403χ××−×≈>×××. ······························· 6分 根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.···························· 7分 （2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则 ··································· 8分12823101(1)15C C P X C ===，21823107(2)15C C P X C ===， 383107(3)15C P X C ===， ········································ 11分 所以,随机变量X 的分布列为:所以17712()1231515155E X =×+×+×=. ·························· 13分 16.解：（1）当2a =−时，2()(21)e xf x x x =−+，所以2()(1)e x f x x ′=−. ········· 1分 设切点为00(,)x y ，则02000(21)e xy x x =−+，020(1)e xk x =−， 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程2 28 30 合计104050所以，切线方程为00220000(21)e(1)e ()x x y x x x x x −−+=−−. ························ 3分将(1,0)代入得200(1)0x x −=，解得00x =或01x =. ····························· 5分 故过(1,)0的切线方程为0y =或10x y +−=. ················································ 7分（2）2()(2)e (1)e (1)(1)e x x x f x x a x ax x a x ′=++++=+++. ····················· 8分当0a =时，2()(1)e x f x x ′=+，恒有()0f x ′≥，函数()f x 单调递增. ········· 10分 当0a >时，11a −−<−，当(,1)x a ∈−∞−−，或(1,)x ∈−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ···· 12分 当0a <时，11a −−>−，当(,1)x ∈−∞−，或(1,)x a ∈−−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ······· 14分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,1)a −∞−−，(1,)−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减，当0a <时，()f x 在(,1)−∞−，(1,)a −−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减. ······························ 15分17.解：（1）由题意可知，212b b a −=，即211b −=−，故20b =. ························ 1分 由323b b a −=，可得31a =. ······················································ 2分 所以数列{}n a 的公差2d =，所以12(2)25n a n n =−+−=−. ······················ 3分由1n n n b b a −−=，121n n n b b a −−−−=， ，212b b a −=， 叠加可得 123(1)(125)2n n n n b b a a a −−+−−=+++=，整理可得 244(2)n b n n n =−+≥；当1n =时，满足上式，所以244n b n n =−+ ················································································ 5分（2）不妨设(,)m n a b m n ∗=∈N ，即225(2)m n −=−，可得2(2)52n m −+=， ········ 6分当2n k =时，29242m k k =−+，不合题意， 当21n k =−时，22672(3)7m k k k k ∗=−+=−+∈N ， ································ 7分所以21k b −在数列{}n a 中均存在公共项，又因为1357b b b b =<<< ，所以n c =221(21)n b n +=−. ································· 9分 （3）当1n =时，1514T =<，结论成立， ············································ 10分 当2n ≥时，2111111()(21)(22)241n c n n n n n=<=−−−×−， ····················· 12分所以1111111(1)43351n T n n <+−+−++−− 111(1)4n =+− 515444n =−<， 综上，54n T <. ·················································· 15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”，则333311()666520P A =×+×=， ············································ 2分 333()=6510P AB =×，所以()6(|)()11P AB P B A P A ==； ·································· 4分 （2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则 ·············································· 5分3331(0)6668P X ==××=， 33333333391(1)++655665666200P X ==××××××=, 32333233237(2)++654655665100P X ==××××××=,3211(3)65420P X ==××=，10分（3）由题意可知，前1n −次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()]65665665n n n n P −−−=×+××++×× ··························· 12分233232333333=[()()()()]65565656n n n n −−−−××+×+×+ =22213555()[1()()]55666n n −−×+++ 121151()13316()2[()()]5555216n n n n −−−−−=×=×−−*(2,)n n ≥∈N . ···················· 16分 所以11312[()()]52n n n P −−=×−*(2,)n n ≥∈N . ·································· 17分19.解：（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，11()ln (1)1(ln )1x f x a x a x a x x x+′=++⋅+=++， ···································· 1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−， 令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分 因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分 所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分 由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=， 因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ， 注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。

2022年山东省烟台市第二十三中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5参考答案：A【考点】回归分析的初步应用．【专题】计算题．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．2. “杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记a n为图中第n行各个数之和，S n 为{a n}的前n项和，则A. 1024 B. 1023 C. 512 D. 511参考答案：B【分析】依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第行各个数之和的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出【详解】由题可得：，，，，，依次下推可得：，所以为首项为1，公比为2的等比数列，故；故答案选B【点睛】本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题。

3. 关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B ．（﹣4，0] C ．[0，4）D ．（﹣4，0）参考答案：B【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．4. 观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C5. 如右图，阴影部分面积为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 下列说法中运用了类比推理的是（）A. 人们通过大量试验得出掷硬币出现正面向上的概率为0.5B. 在平面内，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4.从而推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为1:8C. 由数列的前5项猜出该数列的通项公式D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数参考答案：B【分析】根据归纳推理、类比推理、和演绎推理对四个选项逐一判断，最后选出正确的答案.【详解】选项A:是归纳推理；选项B：是类比推理；选项C:是归纳推理；选项D:是演绎推理.【点睛】本题考查了类比推理，熟练掌握归纳推理、类比推理、和演绎推理的定义是解题的关键.7. 已知多项式f（x）=4x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8，用秦九韶算法算f（5）时的V1值为( )A．22 B．564.9 C．20 D．14130.2参考答案：A考点：秦九韶算法．专题：算法和程序框图．分析：利用秦九韶算法可得f（x）=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，即可得出．解答：解：∵f（x）=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，∴v0=4，v1=4×5+2=22．故选：A．点评：本题考查了秦九韶算法，属于基础题．8. 已知垂直时k值为 ( )A．17 B．18 C．19D．20参考答案：C9. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

山东省日照市校际高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．已知函数f（x）＝x3﹣2x+2，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）3．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7B．8C．9D．105．函数y＝f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A．y＝﹣e x B．y＝﹣x5C．y＝﹣x4D．y＝﹣lnx6．对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了P （P≥2，P∈N）次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为P阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A．99B．131C．139D．1417．已知函数f（x）＝则不等式f（x+1）＜1的解集为（）A．（1，7）B．（0，7）C．（1，8）D．（﹣∞，7）8．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（其中x1＜x2＜x3），g（x）＝e x﹣e﹣x，且函数f（x）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ＝，μ＝，则（）A．g（α）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ）B．g（λ）＜g（α）＜g（β）＜g（μ）C．g（λ）＜g（α）＜g（μ）＜g（β）D．g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),且P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0．954 4,P (μ-σ<X<μ+σ)=0．682 6．若μ=4,σ=1,则P (5<X<6)=( )A ．0．135 9B ．0．135 8C ．0．271 8D ．0．271 6 1．(文科做)若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ． a >－3C ． a ≤－3D ．a ≥－32．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a ｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．3个 D ． 4个3．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{3,6}B ．{2,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}4．已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B (10,0．6),则E (η)和D (η)的值分别是( ) A ．6和2．4B ．2和5．6C ．2和2．4D ．6和5．64．(文科做)函数y ＝f (2x －1)的定义域为[0,1]，则y ＝f (x )的定义域为( )A ． [0,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ． [－1,1] D ．[]－1，0其线性回归方程一定过的定点是（ ） A ．(2,2) B ．(1,2) C ．(1．5,0)D ．(1．5,5)6．已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A ∩B=( )A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<4或x>5}C ．{x|2<x<5}D ．{x|x<2或x>5}7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(文科做)已知某四个家庭xx 上半年总收入x (单位：万元)与总投资y (单位：万元)的对照数据如表所示：根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0．7x ＋0．35，则m 的值为( )A ． 3B ． 5C ． 4D ．68．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，x 0 1 2 3 y2468x 3 4 5 6y 2．5 3 m 4．5则E (ξ)等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1 9． 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0．12B ．0．42C ．0．46D ．0．889．(文科做)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( )A ．(－∞，－3)B ．[2，＋∞)C ．[0,2)D ．[－3,2]10(文科做)．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．13B ．0C ．－13D ．1 10．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×4911． f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1， 当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．[8,9] C ．(8,9] D ．(0,8) 12．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ． (－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,用ξ表示取到白球的个数,则P (ξ=1)= 13．（文科做）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1．其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为_______14,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )=14(文科做)．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋xx ，且f (xx)＝xx ，则f (－xx)＝________．15．下列是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：那么a= ,b= ,c= ,d= ,e= ．16．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本题满分10分）已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率为2/3 (1)记甲击中目标的次数为X ,求X 的概率分布列及数学期望E (X ); (2)求乙至多击中目标2次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19(文科做)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围20（本题满分12分）将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． (1)求1号球恰好落入1号盒子的概率；(2)求ξ的分布列．20(文科做)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0， 50] (50， 100] (100， 150] (150， 200] (200， 250] (250， 300] (300， ＋∞) 空气 质量 优 良 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 中度 重污染 重度 污染 天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2≥k 0)0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10021．（本题满分12分）已知函数f(x)＝x·|x|－2x．(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．22．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．西宁市第四高级中学xx —17xx 第二学期期末测试试题答案高二数学1 2 3 4 5 6 A DABCD7 8 9 10 11 12 AB D D D B （13)0.6 13文(2)(3)(4) （14)6/5 文 xx （15)47 92 88 82 53 （16) a>5/617. 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18.对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.19. (1)X 的概率分布列为X 0 1 2 3 PE (X )=0E (X )=3(2)乙至多击中目标2次的概率为1(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2.B 1,B 2为互斥事件,P (A )=P (B 1)+P (B 2)19 文科做(1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.20.(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子”，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38，P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13， P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ的分布列为20．文科做(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元”为事件A .由400<S ≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P (A )＝20100＝15. (2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计85 15100K 2＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．21.(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图由图象可得实数m ∈(－1,1)．22. (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

山东省烟台市2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试卷注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。

2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1.由1,2,3,4可以组成无重复数字三位数的个数为A.4B.24C.64D.812.如图，在某城市中,M N 两地之间有整齐的方格形道路网,A 是道路网中的一个交汇处,小明要从道路网的M 处出发,途经A 处到达N 处,则小明可以选择的最短路径条数为A.6B.9C.12D.183.若随机变量~(3,9),(13)0.35N P ξξ<<=,则(5)P ξ>=A.0.15B.0.3C.0.35D.0.74.甲、乙两人各自独立射击,甲射击两次,乙射击一次.若甲每次射击命中目标的概率为45,乙每次射击命中目标的概率为23,甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响.则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下,甲恰好命中目标两次的概率为A.14B.12C.34D.16255.若203a +能被8整除,则a 的值可能为A.1B.2C.4D.76.已知随机变量~(5,)(01)X B p p <<,若5(2)(3)8P X P X =+==,且21Y X =+,则()D Y =A.52B.72C.5D.67.依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子两次,设事件A =“第一次出现的点数是奇数”，B =“第一次出现的点数是1”,M =“两次的点数之和为奇数”,N =“两次的点数之和为7”,则下列结论错误的是A.A 与N 相互独立B.B 与M 相互独立C.B 与N 相互独立D.M 与N 相互独立8.排球比赛一般采用五局三胜制,第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队,在每局比赛中,发球方赢得此球后可获得下一球的发球权,否则交换发球权.甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为13，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为12.则在第一局比赛中,甲队获得第三个球的发球权的概率为A.1736 B.3136 C.3172 D.4372二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。

2020-2021学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A．25B．35C．70D．902．（5分）某校共有学生2500人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为50的样本，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（）A．600B．800C．1000D．12003．（5分）△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（）A．B．2C．2D．44．（5分）我国古典乐器一般按“八音”分为“金，石，木，革，丝，土，匏（páo），竹”，其中“金，石，木，“丝”为弹拨乐器，“土，匏，现从“金，石，土，竹，丝”中任取两种乐器（）A．5B．6C．7D．85．（5分）若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A．πB．πC．πD．2π6．（5分）如图所示，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AA1，P，Q分别是AD和BD 的中点，则异面直线D1P与B1Q所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．（5分）从正方体的八个顶点中任取3个点为顶点，恰好构成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件E＝“第一枚硬币正面朝上”，事件F＝“第二枚硬币反面朝上”（）A．E与F相互独立B．E与F互斥C．E与F相等D．P（E∪F）＝二、多项选择题：本大题共4个小题每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）设a，b为两条不重合的直线，α为一个平面（）A．若a⊥b，b⊂α，则a⊥αB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a∥α，b⊥α，则a⊥b10．（5分）袋子中有3个黑球，2个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（）A．X～B（4，）B．P（X＝2）＝C．X的期望E（X）＝D．X的方差D（X）＝11．（5分）有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，加工的零件混在一起，已知第1，2，30%，45%，事件A i＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则（）A．P（B|A1）＝0.06B．P（A2B）＝0.015C．P（B）＝0.0525D．P（A1|B）＝12．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，沿DE将△ADE折起到A'DE位置（A'不在平面ABCD内），F，G分别为CA'与CD的中点在翻折过程中（）A．FG∥平面A'DEB．DE⊥平面A'AGC．存在某位置，使得A'B⊥AGD．设直线BF与平面DEBC所成的角为θ，则sinθ的最大值是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某地区为调查该地的居民月用水量，调查了本地的10户居民的月平均用水量为：2.0，3.2，5.3，6.0，8.0，9.2，11.6，这组数据的80%分位数为．14．（5分）随机变量ξ的分布列是ξ24P a b若E（ξ）＝，则D（ξ）＝．15．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D满足，则|．16．（5分）三棱锥S﹣ABC的顶点均在半径为4的球面上，△ABC为等边三角形且外接圆半径为2，平面SAB⊥平面ABC．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知的展开式中各项系数之和为32．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项．18．（12分）某校为推进科技进校园活动，组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生参加，80）的学生有20人．（1）求a，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；（2）从成绩在[65，70）与[95，100）学生中任取3人进行问卷调查．记这3名学生成绩在[95，求X的分布列与期望．19．（12分）如图，P A是圆柱的母线，点C在以AB为直径的底面⊙O上，点E在上，且OE∥AC．（1）求证：DE∥平面P AC；（2）求证：平面DOE⊥平面PBC．20．（12分）共享电单车作为一种既环保又便捷的绿色交通出行工具，不仅方便市民短途出行，还可以缓解城市交通压力．A市从2016年开始将其投入运营（单位：万辆）的统计数据：年份20162017201820192020x12345共享单车数y（万辆）1014182326（1）经分析，y与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程；（2）根据往年统计数据可知2020年每辆车的各项支出费用大致符合正态分布N（μ，σ2），μ＝800，σ2＝10000，支出费用在1000元及以上的单车没有利润，支出费用在[800，支出费用低于800元的单车每辆车年平均利润为20元，请预测2021年总利润．参考公式和数据：＝，，若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD＝2AB，M为BC中点1D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D．（1）证明：∠B1A1D＝90°．（2）若此四棱柱的体积为2，求二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．22．（12分）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体．现有n（n∈N*）份血液样本，每份样本取到的可能性均等．有以下两种检验方式：（1）逐份检验；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体，就要对这k份再逐份检验，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为p（0＜p ＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为ξ2.若E（ξ1）＝E（ξ2），求p关于k的函数关系式p＝f（k），并证明p＜1﹣e．2020-2021学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A．25B．35C．70D．90【解答】解：＝+＝15+20＝35，故选：B．2．（5分）某校共有学生2500人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为50的样本，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（）A．600B．800C．1000D．1200【解答】解：由题意知，抽样比例为2500÷50＝50，高二抽取16人，所以该校高三学生人数有20×50＝1000（人）．故选：C．3．（5分）△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（）A．B．2C．2D．4【解答】解：由直观图和原图形的关系易知，△AOB中底边OB＝2，底边OB上的高线长为4，∴△AOB的面积为S＝×4×5＝4．故选：D．4．（5分）我国古典乐器一般按“八音”分为“金，石，木，革，丝，土，匏（páo），竹”，其中“金，石，木，“丝”为弹拨乐器，“土，匏，现从“金，石，土，竹，丝”中任取两种乐器（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：根据题意，从“金，石，土，竹，任选两种乐器52＝10种取法，其中没有吹奏乐器的有C32＝3种，则至少有一种为吹奏乐器的取法有10﹣7＝7种；故选：C．5．（5分）若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A．πB．πC．πD．2π【解答】解：圆锥的底面半径r＝1，设母线长为l，则，解得l＝3r＝4，∴圆锥的高h＝，可得圆锥的体积V＝．故选：B．6．（5分）如图所示，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AA1，P，Q分别是AD和BD 的中点，则异面直线D1P与B1Q所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：以D为原点，DCx轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面边长为2，则D（5，0，0），8，0），2，2），0，0），B4（2，2，3），C1（2，5，1），D1（6，0，1），因为P，Q分别是AD和BD的中点，所以P（6，1，0），2，0），则＝（7，1，＝（﹣3，﹣1），设直线D1P与B8Q所成的角为θ，则cosθ＝，故选：A．7．（5分）从正方体的八个顶点中任取3个点为顶点，恰好构成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从正方体的8个顶点中任取3个有＝56种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和2个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有12×2＝48个直角三角形，故所求的概率：P＝，故选：D．8．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件E＝“第一枚硬币正面朝上”，事件F＝“第二枚硬币反面朝上”（）A．E与F相互独立B．E与F互斥C．E与F相等D．P（E∪F）＝【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所得的总的基本事件数有：“两枚硬币都朝上”，“两枚硬币都朝下”，第二枚硬币朝下”，“第一枚硬币朝下，第二枚硬币朝上”，故事件E与事件F不互斥，也不相等，C错误，且P（E）＝，P（F）＝，故D错误，故选：A．二、多项选择题：本大题共4个小题每小题5分，共20分。

2020-2021学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、单项选择题（共8小题）.1．﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13…的第（）项．A．98B．99C．100D．1012．“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在正四面体P﹣ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．4．日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．设将1t水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为t1，t2，则＝（）A．B．16C．D．255．已知双曲线的离心率为，则点（2，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折至的位置△A1DE，使得面A1DE⊥面BCDE，则点A1到平面BCDE的距离为（）A．1B．2C．D．7．若函数e x f（x）（e＝2.718⋅⋅⋅，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x3C．f（x）＝sin x D．f（x）＝lnx 8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…．则2035年年底存栏头数为（）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4）A．1005B．1080C．1090D．1105二、多项选择题（共4小题）.9．已知直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，圆C：x2+y2﹣2x＝0，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C恒有两个公共点B．圆心C到直线l的最大距离是C．存在一个m值，使直线l经过圆心CD．当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称10．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{S n}不是递增数列C．数列{a n}的最大项为a11D．数列{S n}的最大项为S1111．设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（）A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其长轴长是短轴长的，若点P是椭圆上不与F1，F2共线的任意点，且△PF1F2的周长为16，则下列结论正确的是（）A．C的方程为B．C的离心率为C．双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为D．点Q是圆x2+y2＝25上一点，点A，B是C的左、右顶点（Q不与A，B重合），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，则25k1＝16k2三、填空题（共4小题）.13．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l 的方程为．14．两圆（x+1）2+y2＝9和x2+y2+4x﹣4y＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D 所成角的余弦值为．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B 两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为．四、解答题（共6小题）.17．已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，求实数k的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和是A n，数列{b n}的前n项和是B n，若a1＝1，a n+1＝2a n+1，n∈N*，再从三个条件：①B n＝﹣n2+21n；②B n+1﹣b n＝B n﹣2，b1＝20；③b n＝22﹣2log2（a n+1），中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝，记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间t（x）关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，求直线MN与直线PA 所成角的余弦值．21．已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线x＝4上任取一点T（4，m）（m≠0），直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4ln2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13…的第（）项．A．98B．99C．100D．101解：等差数列﹣5，﹣9，﹣13…中，a1＝﹣5，d＝﹣9﹣（﹣5）＝﹣4∴a n＝﹣5+（n﹣1）×（﹣4）＝﹣4n﹣1令﹣401＝﹣4n﹣1，得n＝100∴﹣401是这个数列的第100项．故选：C．2．“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，由a（a﹣2）﹣3＝0，解得a＝3或﹣1．经过验证a＝3时两条直线重合，舍去．∴“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的充要条件．故选：C．3．在正四面体P﹣ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．解：如图所示，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，D是棱AB中点，所以＝（+），所以•＝•（+）＝•+•＝×1×1×cos60°+×1×1×cos60°＝．故选：D．4．日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．设将1t水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为t1，t2，则＝（）A．B．16C．D．25解：因为，所以，故，，故．故选：B．5．已知双曲线的离心率为，则点（2，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．解：双曲线的离心率为，可得，所以＝＝1，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，点（2，0）到C的渐近线的距离为：＝．故选：A．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至的位置△A1DE，使得面A1DE⊥面BCDE，则点A1到平面BCDE的距离为（）A．1B．2C．D．解：在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，所以△ABD是边长为2的等边三角形，又因为E为AB的中点，所以DE⊥A1E，又面A1DE⊥面BCDE，面A1DE∩面BCDE＝DE，A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥平面BCDE，又A1E＝，故A1E为点A1到平面BCDE的距离为1．故选：A．7．若函数e x f（x）（e＝2.718⋅⋅⋅，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x3C．f（x）＝sin x D．f（x）＝lnx解：对于A：f（x）＝x2﹣1，则g（x）＝e x f（x）＝e x（x2﹣1），g′（x）＝e x（x2﹣1）+2xe x＝e x（x2+2x﹣1）≥0在实数集R上不恒成立，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上不是增函数，对于B：f（x）＝x3，则g（x）＝e x f（x）＝e x•x3，g′（x）＝e x•x3+3e x•x2＝e x（x3+3x2）＝e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，当x＞﹣3时，g′（x）＞0，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上先减后增；对于C：f（x）＝sin x，则g（x）＝e x sin x，g′（x）＝e x（sin x+cos x）＝e x sin（x+），显然g（x）不单调；对于D：f（x）＝lnx，则g（x）＝e x lnx，则g′（x）＝e x（lnx+）＞0，函数g（x）递增，∴具有M性质的函数的为D，故选：D．8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…．则2035年年底存栏头数为（）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4）A．1005B．1080C．1090D．1105解：由题意得：a1＝1200，a2＝1200×1.08﹣100，a3＝1200×1.082﹣100×1.08﹣100，×1.08﹣100，1.082﹣100×1.08﹣100，…∴2035年年底存栏头数为：﹣100（1.0814+1.0813+1.0812+…+1.08+1）≈1200×3.2﹣100×＝1090．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，圆C：x2+y2﹣2x＝0，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C恒有两个公共点B．圆心C到直线l的最大距离是C．存在一个m值，使直线l经过圆心CD．当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称解：由直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，即m（x+y﹣1）﹣2y+1＝0，得，解得，则直线l过定点P（，），圆C：x2+y2﹣2x＝0化为（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标为C（1，0），∵|PC|＝＜1，点P在圆C内部，∴直线l与圆C恒有两个公共点，故A正确；圆心C到直线l的最短距离为|PC|＝，故B错误；∵直线系方程mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0不包含直线x+y﹣1＝0（无论m取何值），而经过P（，）的直线只有x+y﹣1＝0过C（1，0），故C错误；当m＝1时，直线l为x﹣y＝0，圆C的圆心坐标为（1，0），半径为1，圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为（0，1），半径为1，两圆的圆心关于直线x﹣y＝0对称，半径相等，则当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称，故D正确．故选：AD．10．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{S n}不是递增数列C．数列{a n}的最大项为a11D．数列{S n}的最大项为S11解：因为12月27日新增确诊人数小于12月26日新增确证人数，即a7＞a8，所以{a n}不是递增数列，所以A错误；因为1月22日新增确诊病例为0，即S33＞S34，所以{S n}不是递增数列，所以B错误；因为12月31日新增确诊病例最多，从12月20日算起，12月31日是第11天，所以数列{a n}的最大项是a11，所以C选项正确，数列{S n}的最大项是最后一项，所以选项D错误，故选：BC．11．设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（）A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0解：对于A，当a＝﹣4时，f（x）＝x（x﹣1）（x+4），则f（x）在上的平均变化率为，故A正确；对于B，当a＝1时，f（x）＝x（x﹣1）2＝x3﹣2x2+x，则f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），令f'（x）＝0，则x＝或x＝1，∴当x＞1或x＜时，f'（x）＞0；当＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，∵，结合f（x）的单调性可知，方程f（x）＝﹣1有一个实数根，故B正确；对于C，当a＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣1）[（x﹣1）2﹣1]＝（x﹣1）3+（x﹣1），则f（x）+f（﹣x）＝（x﹣1）3+（x﹣1）+（﹣x﹣1）3+（﹣x﹣1）＝﹣2（3x2+2）≠2，∴f（x）的图象不关于点（0，1）中心对称，故C错误；对于D，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），f′（x）＝（x﹣1）（x﹣a）+x（2x﹣a﹣1）＝3x2﹣2（a+1）x+a，令f′（x）＝0，则3x2﹣2（a+1）x+a＝0，∵△＝4（a2﹣a+1）＝（2a﹣1）2+3＞0，且函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴x1，x2为方程3x2﹣2（a+1）x+a＝0的两个实数根，则，∴f（x1）+f（x2）＝x1（x1﹣1）（x1﹣a）+x2（x2﹣1）（x2﹣a）＝＝＝，∵a⩾2，∴f（x1）+f（x2）⩽0，故D正确．故选：ABD．12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其长轴长是短轴长的，若点P是椭圆上不与F1，F2共线的任意点，且△PF1F2的周长为16，则下列结论正确的是（）A．C的方程为B．C的离心率为C．双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为D．点Q是圆x2+y2＝25上一点，点A，B是C的左、右顶点（Q不与A，B重合），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，则25k1＝16k2解：根据题意可得，解得a＝5，b＝4，c＝3，对于A：椭圆的方程为+＝1，即A正确；对于B：e＝＝，即B错误；对于C：双曲线的渐近线为y＝±x＝±x，联立，且x＞0，y＞0，解得x＝，y＝，∴双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为，即C正确；对于D：由题意知，A（﹣5，0），B（5，0），设P（x1，y1），则k1＝，∵Q在圆x2+y2＝25上，且A，P，Q三点共线，∴AQ⊥BQ，∴k2＝＝，∴＝＝＝，即25k1＝16k2，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l 的方程为2x+3y﹣π＝0．解：由，得y′＝﹣sin（），∴，又，∴直线l的方程为y＝，即2x+3y﹣π＝0．故答案为：2x+3y﹣π＝0．14．两圆（x+1）2+y2＝9和x2+y2+4x﹣4y＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为．解：根据题意，设圆C为：（x+1）2+y2＝9，其圆心C为（﹣1，0），半径r＝3，圆C：（x+1）2+y2＝9，即x2+y2+2x﹣8＝0，联立，则有2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0，即两圆公共弦MN所在直线的方程为x﹣2y+4＝0，圆心C到直线x﹣2y+4＝0的距离d＝＝，则|MN|＝2×＝2×＝．故答案为：．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D 所成角的余弦值为．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，连接AF，则∠AFE为直线EF与平面AA1D1D所成角．设正方体的棱长为2a，则AE＝A1F＝a，AF＝a，EF＝a，∴cos∠AFE＝＝．即直线EF与平面AA1D1D所成角的余弦值为．故答案为：16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C 交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为24．解：由抛物线的方程可得F（1，0），所以c＝1，即，解得λ＝4，所以双曲线的方程为：，由题意设直线l1的方程为：y＝k1（x﹣1），直线l2的方程为：y＝k2（x﹣1），则k，联立方程，消去y整理可得：k x，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x，同理可得x，由抛物线的性质可得|AB|＝x，|DE|＝x，所以|AB|+|DE|＝8+＝8+，当且仅当k时取等号，此时|AB|+|DE|的最小值为24，故答案为：24．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，求实数k的取值范围．解：（1）设圆心为（t，t），半径为r，根据题意圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为，可得，所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18或（x+2）2+（y+2）2＝18．（2）由（1）知圆C的圆心为（﹣2，﹣2）或（2，2），半径为，由圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，可知圆心到直线l：y＝kx的距离：．即，所以1+k2﹣4k≤0，解得，所以直线l斜率的取值范围为．18．已知数列{a n}的前n项和是A n，数列{b n}的前n项和是B n，若a1＝1，a n+1＝2a n+1，n∈N*，再从三个条件：①B n＝﹣n2+21n；②B n+1﹣b n＝B n﹣2，b1＝20；③b n＝22﹣2log2（a n+1），中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝，记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）由a n+1＝2a n+1，得a n+1+1＝2（a n+1），又a1＝1，则a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴即．若选①当n＝1时，b1＝B1＝20，当n≥2时，b n＝B n﹣B n﹣1＝22﹣2n，∴b n＝22﹣2n．若选②由B n+1﹣b n＝B n﹣2得b n+1﹣b n＝﹣2，所以数列{b n}是以20为首项，﹣2为公差的等差数列，b n＝22﹣2n．若选③b n＝22﹣2log2（a n+1）＝22﹣2n．（2）由（1）知，∴当1≤n≤3时，，当n≥4时，，所以：．19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间t（x）关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？解：（1）由题意知，|AC|＝300﹣x，∴；（2），令t'（x）＝0，得，当时，t'（x）＜0，故f（x）单调递减，当时，t'（x）＞0，故f（x）单调递增，所以时t（x）取最小值，所以当点C选在距B点68km时运输时间最短．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，求直线MN与直线PA 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵，AD＝3，∴AM＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，∵N为PC的中点，∴TN∥BC，＝AM，又AD∥BC，故TN∥AM，∴四边形AMNT为平行四边形，∴MN∥AT，∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB．（2）解：取BC的中点E，连接AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，，以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P（0，0，h），则A（0，0，0），，∴，设平面AMN的法向量为，则，即，令x＝h，则y＝0，z＝﹣，∴，又平面PAD的法向量为，且平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝，解得h＝2，∴P（0，0，2），，∴，设直线MN与直线PA所成角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝，∴直线MN与直线PA所成角的余弦值为．21．已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线x＝4上任取一点T（4，m）（m≠0），直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，∴点Q的轨迹是以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴曲线C的方程为．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），AT：，BT：，将与联立，消去y整理得（m2+27）x2+4m2x+4m2﹣108＝0，∴，∴，∴，故，同理，当m≠±3时，直线MN方程为，直线MN恒过定点（1，0）；当m＝3时，，直线MN：过点（1，0）；同理可知，当m＝﹣3时直线MN恒过点（1，0），综上，直线MN恒过定点（1，0）．22．已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4ln2．解：（1）∵f（x）＝x2+ax+2lnx，x∈（0，+∞），∴，设g（x）＝2x2+ax+2，x∈（0，+∞），当﹣4≤a≤4时，△≤0，2x2+ax+2≥0成立，则有f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＜﹣4时，△＞0，由2x2+ax+2＞0得x＞或x＜（舍），由2x2+ax+2＜0得＜x＜，令﹣4+＞0，解得：a＞4（舍）或a＜﹣4，故﹣4≤a＜﹣4时，＜0，故f（x）在（0，+∞）递增，a＜﹣4时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减，综上：当﹣4≤a≤4，时，函数f（x）在（0，+∞）的单调递增，当a＜﹣4时，函数f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减；（2）证明：由（1）知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足2x2+ax+2＝0，∴，不妨设0＜x1＜1＜x2，则f（x）在（x1，x2）上是减函数，故f（x1）＞f（x2），∴＝＝，令，则t＞1，又，即，解得1＜x2≤2，故，∴1＜t≤4，设，则，∴h（t）在（1，4]上为增函数，∴，所以．。

2020-2021学年度第二学期期中学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一．单选题D B A C B D D A 二．多选题9.AD 10.BCD 11.AC 12.ACD 三．填空题13. 7 14. 12 15.A 16.3241225四．解答题17.解：（1）展开式的通项为()()2122rrr n rr n rr n n T C x x C x ----+=-=-……………………2分因为展开式中第4项和第6项的二项式系数比是23，即3523n n C C =， ……………………3分 解得9n =. …………………………………………………………4分（2）由（1）知，929012912x a a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭令1x =，得90123912a a a a a ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，① ……………………………6分令1x =-，得90123912a a a a a ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，② ……………………………8分-①②得，91357912)2()2a a a a a ++++=（， …………………………………9分 所以，135791512a a a a a ++++=，即展开式中偶数项的系数和是1512. ……………………………………………10分18.解：（1）设12,A A 分别表示从女生中抽取的两人中有一人和两人选择了物理学科，B 表示从这两人中随机抽取的一人选择了物理学科，1120301250120()245C C P A C ==，220225038()245C P A C ==，11(|)2P B A =，2(|)1P B A = ………2分 所以112212013898()()(|)()(|)12452245245P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=……………3分 即从这两人中随机抽取一人，此人选择了物理学科的概率为98245……………………4分（2）…………………………………………7分（3）零假设0H ：选择物理学科与性别独立，即选择物理学科与性别无关. ……………8分 根据列联表中的数据，计算得：220.005110(40302020)7.8227.87960506050χα⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯， ……………………………11分根据小概率值=0.005α的独立性检验，没有充分证据推断选择物理学科与性别有关，可以认为选择物理学科与性别无关. ………………………………………………12分 19.解：（1）由频率分布直方图可知，在(4.2,4.4]和(5.2,5.4]内的频率分别为0.1和0.05，所以在两个区间的人数分别为10人和5人， ………………………………………2分……………………………………………4分所以()3110464P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21331914464P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()223312724464P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33273464P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭， ……………………8分 所以随机变量Y 的分布列是……………………10分12分20. 解：（1）由题意得：254351245115521652475148511+95360100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，…………2分60μ∴=， ………………………………………………………………3分（2）因为()()214P a P a ξξ>-=<+，∴由正态分布曲线的对称性得，()()214602a a -++=， ………………………………5分解得39a =； ………………………………………………………………6分 （3）由（1）中的数据，()2~60,10X N ，所以601070μσ+=+=．26021080μσ+=+⨯=， …………………………7分 所以物理等级分位于区间(70,80]的概率等于(2+2)(+)(++2)2P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤--<≤<≤=0.95450.68270.13592-== ………………………………………………9分所以，~(10000,0.1359)Y B ， ………………………………………………11分 所以()100000.13591359E Y =⨯=． ………………………………………………12分21. 解：（1）由表中数据可知，7147ii Xx ===∑5.3≈， ………1分所以相关系数()()779.40.95.316.6iix x y y r --=≈⨯∑ …………………3分因为y 与x 的相关系数接近1，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合； ……………………………………………4分由题可得，()()()7712179.4ˆ 2.8428iii i i x x y y bx x ==--==≈-∑∑， ……………………………………6分ˆˆ22.34 2.84410.98ay bx =-=-⨯≈， ……………………………………7分 所以y 关于x 的经验回归方程：ˆ 2.8410.98yx =+， ……………………………………8分 （2）由（1）可知，当此人58岁时，脂肪含量的预测值为ˆ 2.84810.98=33.7y=⨯+， 即如果不健身，到58岁时的脂肪含量为33.7%，…………………………………………9分 每年可有效降低脂肪含量的数学期望为1111.8+1.6+1.2=1.5623⨯⨯⨯， ………………10分 所以此人坚持健身到58岁时的人体脂肪含量为33.7% 1.5%526.2%-⨯=，…………11分 26.2%27%<所以，此人坚持健身到58岁时可将脂肪含量降低到正常水平.…………12分 22.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为9,9.5,10,10.5,11， ………………………1分 设一评、二评、仲裁所评分数分别为,,a b c ，()()()()99,99,11,911,9,9P X P a b P a b c P a b c ====+===+=== 11113152333327=⨯+⨯⨯⨯=， ()()()9.59,112233199100,P X P a b P a b ====+=⨯⨯===，()()1111010,10339P X P a b =====⨯=， ………………………………2分()()()10.510,1111,10P X P a b P a b ====+==()()9,11,1011,9,10P a b c P a b c +===+=== 111118223333327=⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()()()()1111,1111,9,119,11,11P X P a b P a b c P a b c ====+===+=== 11111523333327=⨯+⨯⨯⨯=. …………………………………………………4分 所以X 分布列如下表：……………………5分数学期望()218527199.51010.511=99272727527E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. ………6分 （2）∵515ii a==∑，∴()()1452332P a a a P a a ++==+=， ……………………7分∵()()232320,2P a a P a a +====()()23232,01,1P a a P a a +==+==，()52323218990,2C P a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭==，()25323227992,0C P a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭==，()23531141,1921699P C C a a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎝==⎪⎭=， ………………………………………10分()223323532154521182721699916029196999398C C C C P a a +=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=， …………………………………………………………………………11分∴()1459160419683P a a a ++==，即事件1453a a a ++=的概率为916019683. ……………………………………………12分。