二轮专题复习(2021新高考)专题二 培优点7 三角函数中的范围、最值问题

2021年高考数学二轮复习 三角函数解答题专题训练（含解析）一、选择题1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R . (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x 的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )， 在[0，π]上列表如下：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12图象为：2．已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos2x .(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (θ)＝15，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，求sin2θ的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －cos2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos2x ＋3sin2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以f (x )的值域为[－3,1]．(2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1，由题设2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1＝15，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝35. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， ∴2θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－45， ∴sin2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6sin π6＝35×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33＋410. 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值． 解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4. 又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2，∴π4＋φ＝π2.解得φ＝π4， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4＝－1，∴M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． ∴|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35.∵∠MNP ∈(0，π)， ∴sin ∠MNP ＝45.4．已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由m ⊥n ，得m ·n ＝2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3.即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. ∴A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .又0<A <π， ∴A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ， ∴4＝(b ＋c )2－3bc ， 又b ＋c ＝4， ∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.5．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2cosωx ＋φ2＋sin2ωx ＋φ2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，0<φ<π2.其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角．且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值． 解 (1)f (x )＝32sin ()ωx ＋φ＋12[1－cos(ωx ＋φ)] ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋12. ∵两个相邻对称中心的距离为π2，则T ＝π， ∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2. 又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12，∴cos φ＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23，又∵0<C <π2，∴cos C ＝53.又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25，∴b ＝6，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝5＋36－25×6×53＝21， ∴c ＝21.623073 5A21 娡29239 7237 爷31834 7C5A 籚fP27984 6D50 浐37192 9148 酈 39340 99AC 馬_21649 5491 咑R"d。

专题考案(3)三角板块 第4课 三角函数的最值(时间：90分钟 满分：100分)题型示例已知f (x )=4m sin x -cos2x (x ∈R ).若f (x )的最大值为3，求实数m 的值.分析 将sin x 整体代换成变量t ，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量t 的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解f (x )=4m sin x -cos2x =2sin 2x +4m sin x -1=2(sin x +m )2-(2m 2+1),令t =sin x ,则f (x )可化为g (t )=2(t +m )2-(2m 2+1)(-1≤t ≤1).①当-m ≤0时，则在t =1处,f (x )max =1+4m , 由⎩⎨⎧≤-=+0341m m 得m =21;②当-m >0时，则在t =-1处，f (x )max =1-4m ,由⎩⎨⎧>-=-0341m m ;综上，m =±21.点评 本题主要考查三角函数的值域问题和二次函数的值域问题.一、选择题(9×3′＝27′)1．函数y =2sin x sin2x 的最大值是 ( ) A .398 B.2764C.932D.2 2．若函数y =1-2cos x -2sin 2x 的值域为［a ,b ］，则b 2+4a 的值为 ( )A.1B.2C.3D.4 3．函数y =(sin 2x +csc 2x )+(cos 2x +sec 2x )的最小值是 ( ) A.4 B.3 C.5 D.不存在4．函数y =cos2x +3sin x 的最小值与最大值分别是 ( ) A.-4,4 B.817,4 C.-4, 817 D-817,817 5．函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1-sin x )，当x ∈［-6π,4π］时的值域为 ( ) A.［-1,0］ B.(-1,]0 C.［0,1］ D.［0,1］ 6．函数f (x )=sin(2π-x )·sin(2π+2x )·cos(25π+x )的最大值和最小值分别为 ( ) A.41,-41 B 21,-21C.1,-1D.1,0 7．函数y =x 21x -,x ∈［-1,1］的最大值、最小值分别是 ( ) A .1，0 B.1,-1 C.21，-21 D 21，0 8．函数y =x2sin 3+sin 2x (x ≠k π,k ∈Z )的值域是 ( ) A.［23,+)∞ B.(1,2]3 C.(0,]4 D.［4,+∞］9．当0<x <4π时，函数f (x )=xx x x 22sin sin cos cos -的最小值是 ( )A.41 B.21C.2D.4二、填空题(4×3′＝12′) 10．y =sin(x -6π)cos x 的最大值是 ，最小值是 . 11．函数y =2sin(kx -12π)的周期为T ,且T ∈(1,3)，则正整数k 的最大值是 . 12．函数f (x )=2sin 1sin 3+-x x 的最大值和最小值分别为 和 .13．已知函数y =a cos x +b 的最大值为1，最小值为-7,则a cos x +b sin x 的最大值是 . 三、解答题(7′＋3×8′＋10′＝41′)14．求函数f (x )=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期，最大值和最小值.15．求下列函数的最值：(1)y =2sec 2x +cot 4x .(2)y =(1+cos x )·sin2x(0<x <π). 16．求函数y =sin x ·cos x +a (sin x +cos x )的最值.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且cos A =31.(1)求sin 22CB ++cos2A 的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.18．欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ， 则水渠壁的倾角α(0<α<90)应为多大时，方能使修建成本最低? 四、思考与讨论 (2×10′＝20′) 19．求函数y =x 2sin 41-+|sin x |的值域. 20．记x 的函数y =1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为f (a ),试用a 表示f (a ).参考答案图11．A y =4sin 2x cos x =2.3983cos 2sin sin 22cos 2sin sin 23222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤∙∙∙x x x x x x 2．C y =cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2(cos x -21)2-23. 当cos x =21时,y min =-23=a ;当cos x =-1时,y max =3=b .∴b 2+4a =9+4×(-23)=3. 3．C y =1+csc 2x +sec 2x =3+cot 2x +tan 2x ≥3+2=5. 4．C y =1-2sin 2x +3sin x =-2(sin x -43)2+817.sin x =43时，y max =817;sin x =-1时，y min =-4. 5．A y =log 2(1-sin 2x )=log 2cos 2x .x ∈［-6π,4π］时，cos x ∈［22,1］，cos 2x ∈［21,1］∴y ∈［-1,0］.6．A ∵f (x )=cos2x ·cos x ·(-sin x )=-41sin4x ,∴最大值和最小值分别为41.-41. 7．C 设x =sin α,α∈［-2π,2π］,则y =sin αcos α=21sin2α，2α∈［-π,π］，∴-21≤y ≤21. 8．D 设t =sin 2x ,t ∈(0,1)，y =t +t3在 (0,1］上为减函数，∴y ≥1+13=4. 9．D ∵0<x <4π,∴cos 2x ≠0,∴f (x )=41)21(tan 1tan tan 122+--=-x x x ,∴f (x )min=4,此时，tan x =21. 10．41;-43 y =21［sin(2x -6π)-sin 6π］=21sin(2x-6π)-41.y max =21-41=41,y min =-21-41=-43. 11．6 由题意1<32,1231,3||2π<π<∴<πk k <k <2π,∴k 的最大值为6. 12．32;-4 由y =2sin 732sin 1sin 3+-=⇒+-x y x x ,sin x =1时，y max =32;sin x =-1时，y min =-4. 13．5 .34||7||1||⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+b a b a b a a cos x +b sin x =22b a +sin(x +φ)≤22b a +=5.14．分析 将f (x )化简成y =A sin(ωx +φ)+k 形式，再由周期公式T =||2ωπ，及三角函数性质求最值.解 f (x ) =)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin 2222222x x x x x x x x x x --=--+=21(1+sin x cos x )=41sin2x +21. 所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 点评 本题是一道基础题，难度系数不大，主要考查三角公式的简单变形，化简以及三角函数的周期性和最值性.15．解 (1)y =2(1+tan 2x )+cot 4x =2+tan 2x +tan 2x +cot 4x ≥2+3422cot tan tan x x x ∙∙=2+3=5，当且仅当x =n π±4π时等号成立(n ∈Z ),∴y min =5,无最大值.(2)∵0<x <π,∴sin2x >0,y 2=4cos 42x ·sin 22x =2cos 22x ·cos 22x ·2sin 22x ≤2271632sin 22cos 2cos 3222=++xx x ， 当且仅当tan2x =22时等号成立，∴y ≤394，即y max =394,无最小值. 16．解 设sin x +cos x =t ,则sin x ·cos x =21(t 2-1),t =sin x +cos x =2sin(x +4π)∈［-2,2］, y =21(t 2-1)+at =21t 2+at -21=21(t +a )2-21a 2-21(t ∈［-2,2］) (1)若-a <-2,即a >2时 当t =-2时,y min =-2a +21;当t =2时,y max =2a +21; (2)若-2≤-a ≤0即0≤a ≤2时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =2时,y max =2a +21; (3)若0<-a ≤2,即-2≤a <0时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =-2时y max =-2a +21; (4)若-a >2,即a <-2时 当t =2时,y min =2a +21;当t =-2时,y max =-2a +21. 点评 一个看似简单的题目，讨论却很繁琐，本题将三角函数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17．分析 （1）分别用降幂公式、二倍角公式，化简所求式子再求值.(2)三角形中出现bc 联想用余弦定理解题.解 （1）sin 22C B ++cos2A =21［1-cos(B +C )］+(2cos 2A -1) =21(1+cos A )+(2cos 2A -1)=21(1+31)+ (92-1)=-91. (2)∵bc a c b 2222-+=cos A =31,∴32bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2.∴bc ≤43a 2,又∵a =3,∴(bc )max =49. 当且仅当b =c =23时，bc =49,故bc 的最大值是49. 点评 本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式，以及考查了学生的运算能力.18．解 作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =αsin h,CE =h cot α，又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =h S 2,故CD =hS-h cot α. 设y =AD +DC +BC ,则y =αα-+=α+α-sin )cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)，由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=αα-sin cos 2取最小值，u 可看作(0，2)与(-sin α,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2+y 2=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-23，21)，则有sin α=23,且cos α=21，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低. 19．解 设t =|sin x |，则有t ∈［0,21］，故y =241t -+t . 由于t ∈［0, 21］,令t =21sin θ,θ∈［0, 2π］,∴y =θ-2sin 4141+21sin θ=22sin(θ+4π). ∵θ∈［0, 2π］，θ+4π∈［4π,43π］，∴sin(θ+4π)∈［22,1］．∴22sin(θ+4π)∈[21,22].∴原函数的值域为［21，22］． 20．解 y =1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2(cos x -2a )2-22a -2a -1∴f (a )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----1411222a a a（-2≤a ≤2） （a >2）（a <-2）。

高考数学三角函数的范围与最值微专题复习秒杀总结一.三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ; 2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ;3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ;4.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2T b a ⇒-且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z5.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，6.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z7.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z 。

二、三角形范围与最值问题1.坐标法：把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度，将边转化为角的关系4.最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.例1.将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数的()y g x =图象．若()y g x =在[]()0,0b b >上至少含有2021个零点，则b 的最小值为___________.例2.已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例3.已知函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>是奇函数，且存在正数a 使得函数()f x 在[]0,a 上单调递增.若函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上取得最小值时的x 值有且仅有一个，则ω的取值范围是__________. 例4.已知函数()2sin f x x ω=在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，则ω的取值范围为___________.例5.如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，1BC =点M 为边AC 上的动点，线段BM 的中垂线分别交AB 、BC 于D 、E 两点，则BD 的最小值是________．例6.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC的面积，则当2a S取得最小值时，a b c +的值为______.例7.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0b c A a C --=.ABC 的面积为33ABC 外接圆面积的最小值为______.过关测试一、单选题1．（2021·四川绵阳·高三阶段练习（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．52．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三期中）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sinsin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ） A 3B ．33C ．3D ．33．（2021·全国·高三专题练习）函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．74C ．52D ．64．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线2y =-有且仅有一个交点，则ω的最大值为（ ） A ．43B ．34C ．23D ．125．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()()cos 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点和1个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．523,312⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．1123,1212⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．516,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2313,126⎫⎡⎪⎢⎣⎭6．（2021·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知()33cos f x x x =+在[],a a -上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．6πB ．3πC ．56π D ．23π 7．（2021·四川省资中县第二中学高三阶段练习（文））在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，222222a cb a bc c b +-+-=且sin 1cos sin cos B B A A -=，若点O 是ABC 外一点，2OA =，1OB =．则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ） A 853+B 453+ C ．3 D 453+8．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三阶段练习（文））已知0>ω且为整数，且||2ϕπ<，函数()2sin()1f x x ωϕ=++的图像如图所示，A 、C ，D 是()f x 的图像与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O 、B ，若在区间(,)a b 上，()f x 有2020个零点，则b a -的最大值为（ ）A ．2020πB ．30343πC ．30323πD ．1012π9．（2021·安徽·定远县育才学校高三开学考试（理））已知函数()sin()(0),||2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．110．（2021·全国·高三阶段练习（理））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是（ ）A 1336+ B 1336 C 1334 D 1334 11．（2021·四川成都·高三阶段练习（理））已知点O 为ABC 外接圆的圆心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，若2BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ） A ．5 B ．25C 10D 512．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()2f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两个极值点，则ω的最大值为（ ）A ．443B ．563C ．463D ．20313．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A =︒，BC 边上的高为1，则ABC 面积的最小值为（ ） A ．25-B ．23C ．23D ．2514．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()2cos sin tan 0b c B B C a --+=且ABC 内切圆面积为4π，则ABC 面积的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．123D ．16315．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若sin sin 3b A C B =，且2sin (2)tan c B a c C =-，则ac 的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5D ．616．（2021·全国·模拟预测（文））已知()sin()3f x x πωϕ=++同时满足下列三个条件：①()()122f x f x -=时12x x -最小值为2π；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③(0)6f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭.若()f x 在[0,)t 上没有最大值，则实数t 的范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．110,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,612ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦17．（2021·江西赣州·高三期中（文））设函数()()32sin *34f x x N πωω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下列叙述正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 关于直线12x π=轴对称C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为54- D ．()f x 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称18．（2021·陕西汉中·高三阶段练习（文））已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的最小值是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 19．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()sin 2021cos 202136f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数a ，b ，使得对任意的实数x 都有()()()f a f x f b ≤≤成立，则A b a -的最小值为( ) A ．2021πB ．22021πC ．82021πD ．4042π20．（2021·上海·模拟预测）函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数记为()g θ，若π02θ≤≤，则()g θ的最大值与最小值之和为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1021．（2021·河南·高三阶段练习（理））将函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y =()g x 的图象，若()()()12124g x g x x x ⋅=-≠，则|x 1-x 2|的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π22．（2021·浙江金华·高三阶段练习）函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，02πϕ-<<）在区间()0,1上不可能．．．（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值23．（2021·四川宜宾·模拟预测（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，则ω（ ） A ．有最大值为12B ．有最小值为12C ．有最大值为56D ．有最小值为5624．（2021·云南·高三阶段练习（理））将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，若()()()12121g x g x x x =-≠，则122x x +的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．12π D ．6π二、多选题25．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值等于12-D ．将()sin 2g x x =的图象向右平移12π个单位可得到3x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象 26．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且3BD = ） A ．ac 的最小值是4 B ．ac 的最大值是4C ．3a c +的最小值是323+D ．3a c +的最小值是423+27．（2021·辽宁·抚顺县高级中学校高三阶段练习）设函数()()sin 33f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 关于12x π=-轴对称C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2D ．()f x 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 28．（2021·重庆一中高三阶段练习）函数()()cos 0,03f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭满足412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，若()f x 在[)0,t 上存在最大值和最小值，则实数t 可以是（ ） A ．4π B ．2π C ．23πD ．56π 29．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小值为1-C ．()f x 在[2,2]ππ-上有4个零点D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增30．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数()|sin |3cos |f x x x =，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 为偶函数C ．函数()y f x =的图像关于直线6x π=对称 D ．函数()y f x =的最小值为1三、填空题 31．（2021·全国·模拟预测（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a B b A =，M 是BC 的中点，若4AM =，则2AC AB 的最大值为___________.32．（2021·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．33．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期中（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin 2sin sin a b B a A B c C -=+-，ABC 的外接圆半径为2，若a tb +有最大值，则实数t 的取值范围是_______________________．34．（2021·江苏·金陵中学高三期中）法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 3ABC 的周长最小值为___________ 35．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______36．（2021·广东·佛山一中高三阶段练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．37．（2021·重庆·高三阶段练习）在等腰三角形ABC 中，AD 是底边BC 上的中线，点M 是AD 的中点，则sin ABM ∠的最大值为______ ．38．（2021·江西·高三期中（理））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222332c a b =+，当()tan C A -取最大值时，tan C =___________.39．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知ABC 中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，且90BOC ∠=°，若2BC =，则ABC 周长的最大值为__________40．（2021·全国·高三专题练习）已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．41．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos c a B b A =-，则()tan A B -的最大值为___________.42．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积()()()S p p a p b p c =---这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积()()()()2cos S p p a p b p c p d abcd θ=-----．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．43．（2021·山东菏泽·高三期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB 边上的高为13c ，当sin sin sin sin A BB A+取得最大值时的sin C =___________. 44．（2021·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，若2224sin 3sin 2sin A B C =+，则SAB AC⋅的最大值为_______________________.45．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC =30°，如图，若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x·y 的最大值为________.46．（2021·四川·高三阶段练习（理））设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为钝角，且5cos cos 3a Bb Ac -=，则tan C 的最大值是______.47．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________. 48．（2021·上海市七宝中学高三期中）已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>的最大值为2，则使函数()f x 在区间[]0,3上至少取得两次最大值，则ω取值范围是_______49．（2021·辽宁·高三期中）已知()2sin(2)3f x x π=+，若∃x 1，x 2，x 3∈30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，若x 1＋x 2＋x 3的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N ＝_______．50．（2021·广东珠海·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos tan tan B C B C +cos tan cos tan B B C C =+，则cos A 的最小值是___________.51．（2021·河南郑州·二模（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ．若4a c +的最小值为9，则BD =_____．52．（2021·四川·高三阶段练习（文））在ABC 中，23A π∠=，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，且2AD =，则ABC 的面积的最小值为___________.53．（2021·江苏南京·一模）在锐角三角形ABC 中，3A B π=-，(),BCu ACλ∈，则μλ-的最小值为_______． 54．（2021·陕西·西安中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+，则cos C 的最小值为_______． 55．（2021·全国·模拟预测（理））在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c A 为锐角，tan cos 1sin ,B C C ABC =-的面积为2，则ABC 的周长的最小值为___________.56．（2021·浙江·高三开学考试）设ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若ABC 23，则23b a c a b ab+-的最小值是___________. 57．（2021·江苏省天一中学高三阶段练习）已知ABC 中，则2222sin sin 2sin A B C +=则111tan tan tan A B C++最小值是___58．（2021·湖南湘潭·高三阶段练习（理））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一条对称轴，则ω的最小值是______________．59．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．60.（2021·全国·高三专题练习）若函数()sin 3πy f x ωx ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（0>ω），63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值，则ω=______.。

新高考数学（理）三角函数与平面向量07 三角函数的最值与综合应用一、 具体目标：会求正弦函数、正弦型函数的值域与最值，会求余弦函数、余弦型函数的值域与最值，会求正切函数的值域与最值，会利用三角函数的性质与最值求待定参数的值域. 二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质： 性质sin y x =图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形。

余弦函数的图象与性质： 性质cos y x =【考点讲解】图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性 ()cos cos x x -=偶函数单调性在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数． 对称性 对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形。

正切函数： 性质 tan y x =图象定义域 ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域 R最值 既无最大值，也无最小值周期性 π奇偶性()tan tan x x -=-奇函数单调性在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数． 对称性 对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。

授课资料范本2021版新高考数学：三角函数的图象与性质含答案编辑： __________________时间： __________________第三节三角函数的图象与性质[考点要求 ] 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝ tan x 的图象，认识三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质 (如单调性、最大值和最小值、π π图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在区间－2，2内的单调性．(对应学生用书第70 页)1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 y＝sin x， x∈[0 ，2π]图象的五个要点点是： (0，0)，π，( π，，123π0)，2，－ 1 ，(2 π，0).π余弦函数 y＝cos x， x∈ [0，2π]图象的五个要点点是： (0，1)，2，0 ， ( π，3π－1)， 2 ，0，(2π，1).2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝ tan x 图象定义域R值域[－1，1]递加区间：ππ，＋， k∈2kπ－22kπ2单调性Z ，递减区间：2kπ＋π2k＋3π，，k∈2π2ZR[－1，1]递加区间： [2kπ－π，2kπ]，k∈Z ，递减区间： [2kπ， 2kπ＋π]，k∈Zπx x≠ k＋π2，k∈ZR递加区间ππ，＋，kkπ－2kπ2∈Z奇偶性奇函数对称中心 (kπ， 0)，k∈Z 对称性π对称轴 x＝ kπ＋2(k∈Z)周期性2π[ 常用结论 ]偶函数奇函数对称中心kππ对称中心2，0，k kπ＋2， 0，k∈Z∈Z对称轴 x＝ kπ(k∈ Z)2ππ1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个1周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．一、思虑辨析 (正确的打“√〞，错误的打“×〞 )(1)函数 y ＝ sin x 的图象关于点 (k π，0)(k ∈ Z)中心对称． ( )(2)正切函数 y ＝tan x 在定义域内是增函数． ()(3) y ＝ k sin x ＋1，x ∈R ，那么 y 的最大值为 k ＋ 1.( )(4)y ＝ sin |x|与 y ＝|sin x|都是周期函数． () [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×二、教材改编1．函数 y ＝tan 2x 的定义域是 ( )A ． xπx ≠ k ＋π ，k ∈Z4 B ． x k π πx ≠ ＋ ，k ∈Z2 8 C ． xπ x ≠ k ＋π ，k ∈Z8 D ． x k π πx ≠ ＋ ，k ∈Z2 4π k π πD [由 2x ≠k π＋2， k ∈ Z ，得 x ≠2 ＋4，k ∈ Z ，k π π∴ y ＝ tan 2x 的定义域为 x x ≠2 ＋4，k ∈Z .]π2．函数 f(x)＝cos (2x ＋4)的最小正周期是 ________．2ππ [T ＝ 2 ＝π.]． ＝πsin 2x － 的单调减区间是 ________．3 y 43π 7π π π π π， ∈ 得 2x2k8 8 (k Z) [ 2 2k 4 2 k Z3π7π8 ＋k π≤ x ≤ 8 ＋k π， k ∈Z .]ππ4．y ＝3sin (2x － 6)在区间 [0，2]上的值域是 ________．3 π π π 5π [－2，3] [ 当 x ∈[0 ，2]时， 2x －6∈[ －6， 6 ] ，π 1，1]，故 3sin (2x － π － 3，3]，∈ sin (2x －6)∈ [－26) [2π3即 y ＝3sin (2x －6)的值域为 [－2，3].](对应学生用书第 71 页)考点 1三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和 cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把 sin x， cos x， sin x cos x 或 sin x± cos x 换成 t，转变成二次函数求解．π1.函数 f(x)＝－ 2tan (2x＋6)的定义域是()πA ． x|x ≠6πB ． x|x ≠－ 12π C ． x|x ≠ k ＋π 〔k ∈ Z 〕6k π πD ． x|x ≠2 ＋6〔k ∈ Z 〕ππD [由正切函数的定义域 ，得 2x ＋6≠k π＋2，k ∈ Z ，k π π即 x ≠ 2 ＋6(k ∈ Z)，应选 D.]3π2．(20xx ·全国卷 Ⅰ)函数 f(x)＝ sin (2x ＋ 2 )－3cos x 的最小值为 ________．3π － 4 [f(x)＝sin (2x ＋ 2 )－3cos x ＝－ cos 2x － 3cos x ＝－ 2cos 2x －3cosx ＋ 1，令 cos x ＝t ，那么 t ∈[－ 1， 1].23217 f(t)＝－ 2t －3t ＋ 1＝－ 2(t ＋ 4) ＋ 8 ，易知当 t ＝1 时，f(t)min ＝－ 2×12－ 3× 1＋ 1＝－ 4.故 f(x)的最小值为－ 4.]．函数ππ∈ － ，a]，假设 f(x)的值域是 [ －1，1]，3f(x)＝sin (x ＋6)，其中 x [ 3 2那么实数 a 的取值范围是 ________．ππ[ 3， π][ ∵x ∈[－ 3， a] ，π π π ∴ x ＋ 6∈ [ －6，a ＋6]，π π π1∵当 x ＋6∈[ －6，2]时， f(x)的值域为 [－2，1] ，ππ 7π π ∴由函数的图象 (图略 )知2≤a ＋6≤ 6 ，∴3≤a ≤π.]4．函数 y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为 ________．12＝ sin 2x ＋cos 2x － 2sinx · cos x ， sin x [－2－ 2，1][ 设 t ＝sin x －cos x ，那么 t＝1－ t2，且－ 2≤ t ≤ 2.cos x 2t211∴ y＝－2＋t＋2＝－2(t－1)2＋ 1， t∈[ －2， 2].当 t＝ 1 时，y max＝ 1；1当 t＝－2时，y min＝－2－ 2.1∴函数的值域为 [－2－2，1].]求解三角函数的值域(最值 )常有的几各种类(1)形如 y＝ a sin x＋b cos x＋c 的三角函数化为y＝ A sin (ωx＋φ)＋ c 的形式，再求值域 (最值 ).(2)形如 y＝ a sin2x＋ b sinx＋c 的三角函数，可先设 sin x＝ t，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 ).(3)形如 y＝ a sin3x＋ b sin2x＋c sinx＋ d，近似于 (2)进行换元，尔后用导数法求最值．考点 2三角函数的单调性(1)形如 y＝ A sin (ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看作一个整体，再结合图象利用y＝sin x 的单调性求解； (2)若是函数中自变量的系数为负值，要依照引诱公式把自变量系数化为正当，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数 f(x)＝tan (2x－π3)的单调递增区间是 ()kπ π kπ 5πA．[ 2－12，2＋12](k∈Z)kπ π kπ 5πB．( 2－12，2＋12)(k∈ Z)π2πC． (kπ＋6， kπ＋3 )(k∈Z)π5πD． [kπ－12，kπ＋12](k∈Z)13π(2)(20xx 大·连模拟 )函数 y＝2sin x＋2 cos x(x∈[0，2]) 的单调递加区间是________．ππππ(1)B(2)[0 ，6][(1) 由 kπ－2＜ 2x－3＜kπ＋2(k∈ Z)，kπ πkπ 5π得2－12＜x＜2＋12(k∈Z)，πkππkπ 5π所以函数 f(x)＝tan (2x－3)的单调递加区间为 ( 2－12，2＋12)(k∈ Z)，应选B.13π(2)∵y＝2sin x＋2cos x＝sin (x＋3)，πππ由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)，5ππ解得 2kπ－6≤x≤2kπ＋6(k∈Z).5ππ∴函数的单调递加区间为[2kπ－6，2kπ＋6](k∈ Z)，ππ又 x∈[0，2]，∴单调递加区间为 [0，6].]本例 (2)在用整体思想求得函数y ππ＝sin (x＋3)的所有增区间后，采用对 k 赋值的方式，求得 x∈ [0 ，2]上的单调增区间．依照函数的单调性求参数(1) ω＞0，函数 f(x)＝sinπ πωx， π2＋4 在 上单调递减，那么 ω的取值范围是 ()A ．(0，2]B ． 0，12 1 31 5 C ． 2，4D ． 2，4 (2)(20xx 全·国卷 Ⅱ )假设 f(x)＝cos x － sin x 在 [0，a] 是减函数，那么 a 的最大值是()ππ3πA ． 4B ．2C ． 4D ．π由ππ3π 2k π π2k π 5π(1)D (2)C[(1) ≤ωx ＋ ≤2k π＋2，得ω ＋≤ x ≤ω ＋ ， k2k π＋244ω4ω∈Z ，π π因为 f(x)＝sin ωx＋ 4 在 2， π上单调递减，2k π π π1ω ＋≤ ，，所以4ω 2 解得 ω≥ 4k ＋2 因为 k ∈Z ，ω＞0，所以 k ＝0，2k π 5π5ω≤ 2k ＋ω ＋ ≥π， ．4ω 41 5 1 5所以 2≤ω≤4，即 ω的取值范围为 2，4 .应选 D.π(2)f(x)＝cos x －sin x ＝－ 2sin x －4 ，ππππ 3π12/24sin x－ππ4单调递加，－ 2sin x－4单调递减，π 3π∴ －4，4是 f(x)在原点周边的单调递减区间，π 3π结合条件得 [0，a]?－4，4，3π3π∴ a≤4，即 a max＝4，应选 C.]单调区间求参数范围的 3 种方法求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，子集法列不等式 (组)求解由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数反子集法的某个单调区间的子集，列不等式 (组)求解由所给区间的两个端点到其相对付称中心的距离不高出14周期列周期性法不等式 (组)求解1.假设函数 f(x)＝ sin ωx(ω＞ 0)在区ππ π间[0，3] 上单调递加，在区间 [ 3，2] 上单调递减，那么ω＝________．3Tπ4π2π 32[ 由得4＝3，∴T＝3，∴ω＝T＝2.]－＋π2．函数＝sin2x的单调减区间为________．f(x)3π5ππkπ－12，kπ＋12 (k∈ Z)[ 由，得函数为 y＝－ sin (2x－3)，欲求函数的π单调减区间，只需求 y＝ sin (2x－3)的单调增区间即可．πππ由 2kπ－2≤2x－3≤ 2kπ＋2，k∈ Z ，π5π得 kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z .π，＋5π故所求函数的单调减区间为 kπ－12kπ12 (k∈Z).]考点 3三角函数的周期性、奇偶性、对称性14/24求解三角函数 y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是依照 y＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(20xx 全·国卷 Ⅱ )以下函数中，ππ π 单调递加的是 ()以2为周期且在区间 4，2 A ． f(x)＝ |cos 2x| B ． f(x)＝ |sin 2x|C ． f(x)＝ cos |x|D ． f(x)＝ sin |x|π(2)假设函数 f(x)＝2tan (kx ＋ 3)的最小正周期 T 满足 1＜T ＜2，那么自然数 k 的值为________．(1)A (2)2 或 3 [(1) 关于选项 A ，作出 y ＝|cos 2x|的局部图象 ，如图 1 所π ππ示，那么 f(x)在( 4， 2)上单调递加 ，且最小正周期 T ＝ 2，故 A 正确．π π关于选项 B ，作出 f(x)＝|sin 2x|的局部图象 ，如图 2 所示，那么 f(x)在( 4， 2)上π单调递减 ，且最小正周期 T ＝ 2，故 B 不正确．关于选项 C ，∵ f(x)＝ cos |x|＝cosx ，∴最小正周期 T ＝ 2π，故 C 不正确．关于选项 D ，作出 f(x)＝sin |x|的局部图象 ，如图 3 所示．显然 f(x) 不是周期函数，故 D 不正确．应选 A.图1图2]图 3ππ(2)由题意得，1＜k＜2，∴ k＜π＜ 2k，即2＜k＜π，又 k∈Z，∴ k＝2 或 3.]公式莫忘绝对值，对称抓住“心〞与“轴〞(1)公式法求周期2π①正弦型函数 f(x)＝ A sin (ωx＋φ)＋B 的周期 T＝； |ω|2π②余弦型函数 f(x)＝ A cos (ωx＋φ)＋ B 的周期 T＝； | ω|π③正切型函数f(x)＝ A tan (ωx＋φ)＋B 的周期 T＝.| ω|(2)对称性求周期T①两对称轴距离的最小值等于2；T；②两对称中心距离的最小值等于2T③对称中心到对称轴距离的最小值等于4.(3)特色点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T；②两个最小值点之差的最小值等于T；T特色点法求周期实质上就是由图象的对称性求周期，因为最值点与函数图象的对称轴相对应． (说明：此处的 T 均为最小正周期 )三角函数的奇偶性π函数 f(x)＝3sin (2x－3＋φ)，φ∈ (0，π ).(1)假设 f(x)为偶函数，那么φ＝________；(2)假设 f(x)为奇函数，那么φ＝________．5ππ(1)6π (2)3[(1) 因为 f(x)＝3sin (2x－3＋φ)为偶函数，ππ所以－3＋φ＝kπ＋2，k∈ Z ，5π又因为φ∈ (0，π)，所以φ＝6 .π(2)因为 f(x)＝3sin (2x－3＋φ)为奇函数，π所以－3＋φ＝kπ，k∈ Z ，又φ∈(0，π)，π所以φ＝3.]假设 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠π0)，那么① f(x)为偶函数的充要条件是φ＝2＋kπ(k∈ Z)；② f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).三角函数的对称性π(1)函数 f(x)＝2sin (ωx＋6)(ω＞0)的最小正周期为 4π，那么该函数的图象 ( )πA ．关于点 (3，0)对称5πB ．关于点 ( 3 ， 0)对称πC ．关于直线 x ＝3对称5πD ．关于直线 x ＝ 3 对称ππ π(2)函数 y ＝sin (2x ＋φ)(－2＜φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，那么 φ的值为________．ππ(1)B (2)－6 [(1) 因为函数 f(x)＝ 2sin (ωx＋6)(ω＞0)的最小正周期是 4π，而2π1T ＝ ω＝4π，所以 ω＝2，x π即 f(x)＝2sin (2＋6).π π 2π 令 x＋ ＝ ＋ k π(k ∈Z)，解得 x ＝3 ＋2k π(k ∈Z)，2 622π故 f(x)的对称轴为 x ＝ 3 ＋2k π(k ∈Z)，x ππ令 2＋ 6＝ k π(k ∈Z)，解得 x ＝－ 3＋2k π(k ∈Z).π故 f(x)的对称中心为 (－3＋2kπ， 0)(k∈Z)，对照选项可知 B 正确．π2π(2)由题意得 f(3)＝ sin ( 3＋φ)＝±1，2πππ∴3＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，∴φ＝kπ－6(k∈Z).π ππ∵φ∈ (－2，2)，∴φ＝－6.]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法π假设求 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠ 0)图象的对称轴，那么只需令ωx＋φ＝2＋kπ(k∈Z)，求 x；假设求 f(x)＝ A sin (ωx＋φ)(ω≠ 0)图象的对称中心的横坐标，那么只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)，求 x.π1.[ 多项选择 ] 设函数 f(x)＝cos (x＋3)，那么以下结论正确的选项是 ()A ． f(x)的一个周期为－ 2π8πB． y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称πC． f(x＋π)的一个零点为x＝6πD． f(x)在 (2，π)上单调递减πABC [A 项，因为 f(x) ＝cos (x＋3)的周期为 2kπ(k∈ Z)，所以 f(x)的一个周期为－ 2π，A 项正确；ππB项，因为 f(x)＝cos (x＋3)图象的对称轴为直线 x＝ kπ－3(k∈Z)，所以 y＝8πf(x)的图象关于直线 x＝3对称，B 项正确；4πC 项，f(x＋π)＝cos (x＋3 ).4ππ令 x＋3＝ kπ＋2(k∈Z)，5ππ得 x＝kπ－6，当 k＝ 1 时，x＝6，π所以 f(x＋π)的一个零点为 x＝6，C 项正确；ππ2π3332π 5π单调递加区间为 [2k π＋ 3 ， 2k π＋ 3 ](k ∈Z)，π 2π2π 所以 (2， 3 )是 f(x)的单调递减区间 ，[ 3 ，π)是 f(x)的单调递加区间 ，D 项错误． ]π2．(20xx ·成都模拟 )函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ 2)的最小正周期为π4π，且 ? x ∈R ，有 f(x)≤f(3)成立，那么 f(x)图象的一个对称中心坐标是 ()A ．(－ 2ππ 3 ，0) B ．(－ ，0)3 2π5π C ．( 3 ， 0)D ． (3，0)1A [由 f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为 4π，得 ω＝2.π因为 f(x)≤f(3)恒成立，π所以 f(x)max ＝f(3)，即π π1× ＋ φ＝ ＋ 2k π(k ∈Z)，2 32ππ由 |φ|＜2，得 φ＝3，1 π 故 f(x)＝sin (2x ＋3).1 π2π令 2x ＋3＝k π(k ∈ Z)，得 x ＝2k π－ 3 (k ∈ Z)，2π 故 f(x)图象的对称中心为 (2k π－ 3 ， 0)(k ∈Z)，2π当 k ＝0 时，f(x)图象的对称中心为 (－ 3 ，0).]。

专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ， 因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12， 所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ， 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（ ） A ．(123，） B ．(112，）C ．[45D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BCD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）4.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B C b a B +=； 并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值； （2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1（2.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =b =（214．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2。

三角函数中的范围与最值问题在三角函数中，角度的范围通常用弧度来表示。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

1. 正弦函数（sin）的取值范围是[-1, 1]，其中最大值为1，最小值为-1。

正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度、180度、360度等整数倍的角度上取到最大值1，在90度、270度等整数倍的角度上取到最小值-1.
2. 余弦函数（cos）的取值范围也是[-1, 1]，最大值为1，最小值为-1。

余弦函数的图像与正弦函数相似，但是相位不同，它在90度、270度等整数倍的角度上取到最大值1，在0度、180度、360度等整数倍的角度上取到最小值-1.
3. 正切函数（tan）的取值范围是整个实数集合（无穷），在某些特定角度上可能不存在。

例如，当角度为90度、270度等整数倍时，正切函数不存在。

在其他情况下，正切函数的值在相邻的两个最大值和最小值之间取值。

需要注意的是，在计算机中使用三角函数时，一般使用弧度制而非角度制。

弧度制是以圆的半径为单位来衡量角度的制度，1个弧度等于在半径为1的圆上所对应的弧长。

要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：
弧度 = 角度×π / 180
以上是三角函数范围和最值的一般规律，但在具体问题中可
能存在特殊情况，需要根据具体的数学模型或方程来求解。