2018届高考数学二轮复习：三角函数 单元测试卷AB卷含解析

2018高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（10）三角函数及解析 专题（10）三角函数1．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间是（ ） A ． ()52,288k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ B ． ()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ． ()5,88k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ D ． ()3,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C2．已知51sin 123πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．13 B ． 13- C ． 22 D ． 22【答案】B 【解析】cos 12πα⎛⎫+⎪⎝⎭= 551cos sin 212123πππαα⎛⎫⎛⎫-+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B ．3．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ） A ． cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ． sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ． sin2cos2y x x =+D ． sin cos y x x =+ 【答案】A【解析】对于选项A ，因为2sin2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A ．4．函数()2sin cos 36y x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=--+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于( ) A ． 3- B ． 2- C ． 1- D ． 5- 【答案】C 【解析】2cos cos cos 1666y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+≥-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ． 5．要得到函数y=sinx 的图像，只需将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像 （ ） A ． 向右平移6π个单位 B ． 向右平移3π个单位 C ． 向左平移3π个单位 D ． 向左平移6π个单位【答案】C【解析】将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移3π个单位得到sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭． 故选C ．6．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝，则sin A ＋cos A ＝( ) A ．B ． －C ．D ． －【答案】A7．函数()3sin cos f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ） A ． π，1 B ． π，2 C ． 2π，1 D ． 2π，2 【答案】A 【解析】f （x ）=123（2x+3π），∵﹣1≤sin （2x+3π）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π． 故选A8．将函数()22sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ）A ． ()424k x k Z ππ=+∈B ． ()412k x k Z ππ=-∈C ． ()412k x k Z ππ=+∈D ． ()424k x k Z ππ=-∈【答案】C点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 9．若sin cos 4sin 5cos αααα+=-，则cos2α=（ ）A ． 2425-B ． 725-C ． 2425D ． 725【答案】A 【解析】sin cos tan 14,tan 7.sin 5cos tan 5ααααααα++==∴=--Q222222cos sin 1tan 24cos2.sin cos tan 125ααααααα--∴===-++本题选择A 选项．点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．10．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17012f f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．23-B ．23+C ．312-D ．312+【答案】A考点：三角函数图象与性质．11．将函数sin 3y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（0a >），所得图关于y 轴对称，则a 的值可以是（ ） A ．6πB ．2πC ．6π-D ．3π-【答案】A 【解析】试题分析：将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=-=3sin 2cos 3sin πx x x y 的图象沿x 轴向右平移a 个单位()0>a ，可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3sin 23sin 2ππa x a x y 的图象，根据所得图象关于y 轴对称，可得23πππ+=+k a ，即6ππ+=k a ，Z k ∈，故选：A ．考点：（1）函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换；（2）两角和与差的正弦函数． 12．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π【答案】A考点：三角函数的图象性质．专题10 三角函数1．函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴是（ ） A ． 4x π=B ． 2x π=C ． 4x π=-D ． 2x π=【答案】C【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-，选C ．2．已知2sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．16 B ． 13 C ． 12 D ． 23【答案】A3．若sin cos 4sin 5cos αααα+=-，则cos2α=（ ）A ．2425-B ． 725-C ． 2425D ． 725【答案】A 【解析】sin cos tan 14,tan 7.sin 5cos tan 5ααααααα++==∴=--Q222222cos sin 1tan 24cos2.sin cos tan 125ααααααα--∴===-++本题选择A 选项．点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 4．将函数()22sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ）A ． ()424k x k Z ππ=+∈B ． ()412k x k Z ππ=-∈C ． ()412k x k Z ππ=+∈D ． ()424k x k Z ππ=-∈【答案】C【解析】()22sin 21cos 4,1cos 4,6363f x x x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+∴-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()43x k k Z ππ-=∈得().412k x k Z ππ=+∈即得到新函数图象的对称轴方程为()412k x k Z ππ=+∈． 本题选择C 选项．点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位．5．若函数y＝cos2x与函数y＝sin(2x＋φ)在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则φ的一个值为( )A．6πB．4πC．34πD．32π【答案】C6．设函数()()sinf x A xωϕ=+ (A，ω，ϕ是常数，0A>，0ω>．若()f x在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f fπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．π D．2π【答案】C【解析】根据题意画出三角函数图象：结合图像得223264224Tπππππ++=-=，即Tπ=．选C．7．下列函数中，最小正周期是2π的偶函数为（）A．tan2y x= B．cos42y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C．22cos2sin2y x x=- D．cos2y x=【答案】C8．若函数()()2sin 2()2f x x πϕϕ=+<的图象关于直线12x π=对称，且当1212172,,,123x x x x ππ⎛⎫∈--≠ ⎪⎝⎭时， ()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ） A ． 2 B ． 22 C ． 62 D ． 24【答案】C【解析】试题分析：由于函数图象关于直线12x π=对称，sin 2sin 1,1263πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于()()12f x f x =，注意到1722,0123f f ππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，一个是最小值，一个是零点，所以它们之间距离是34T ，故对称轴在1221134122x x T ππ+--=-=，所以1211266x x πππ+=-=-+，故()1262sin 432f x x ππ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭． 考点：三角函数图象与性质．9．将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．43π B ． 38π C ． 4π D ．8π 【答案】B10．已知4tan 3x =，且x 在第三象限，则cos x =（ ）A ．45B ．45-C ．35 D ．35-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，因为4tan 3x =，所以34cos sin =x x ，1cos sin 22=+x x ，得53cos ±=x ，又因为x 在第三象限，那么53cos -=x ，故选D ．考点：1．同角三角函数的基本公式；2．象限三角函数符号． 11．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在区间[,]2ππ上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．1(0,]2C ．15[,]24D ．(0,2] 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，函数()sin()4f x x πω=+，令322,242k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈，函数()f x 单调递减，即252,44k k x k Z ππππωωωω+≤≤+∈，函数()f x 单调递减，由242k πππωω+≤且524k πππωω+≥，解得1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，故选C ． 考点：三角函数的单调性及其应用．12．已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到【答案】C 【解析】考点：三角函数图象变换．。

2018年全国高考数学试题（三角函数部分）选择题1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 D （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ2.（北京卷）函数f (x )=cos xA（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 3.（全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 D（A ）2（B ）32（C ）4（D ）344.（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： B ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③5.（全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C (A)4π (B)2π（C ）π （D ）2π 6.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -17.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 8.（全国卷Ⅲ）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 D（A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限9.（全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤10.（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1211.(浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 12．(浙江卷)函数y ＝sin(2x ＋6π)的最小正周期是( B ) (A)2π(B) π (C) 2π (D)4π 13．（江西卷）已知==ααcos ,32tan 则（ B ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－53 14.（江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数15.（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB的面积达最大值时，=θ（ D ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 16、（江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97-B ．31-C ．31D ．9717．（湖北卷）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ18．（湖南卷）tan600°的值是（ D ）A ．33-B ．33C ．3-D ．319．（重庆卷）=+-)12sin12)(cos12sin12(cos ππππ（ D ）A ．23-B ．21-C ．21D ．2320．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ C ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==21．（福建卷）函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ C ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是（ B ） （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π23（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）22,1 24.（天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度25（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y填空题：1.（北京卷）已知tan2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－712.（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a =___43-___________. 3.（上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。

2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答
案)
5 c 专题升级训练三角函数的图象与性质
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A函数f(x)的最小正周期为2π
B函数f(x)在区间上是增函数
c函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D函数f(x)是奇函数
2(B
c-或-1D-
4要得到函数=sin 2x的图象,只需将函数=sin的图象( )
A向右平移个单位长度
B向左平移个单位长度
c向右平移个单位长度
D向左平移个单位长度
5函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )
A2,0B2,
c2,-D2,
6已知函数f(x)=cs x+x,x∈,sin x0=,x0∈,那么下面命题中真命题的序号是( )
①f(x)的最大值为f(x0)
②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在上是增函数
④f(x)在上是增函数
A①③B①④。

单元滚动检测四 三角函数、解三角形考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答,保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·河北衡水中学月考)若点（sin 5π6,cos 错误!)在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．－错误!B ．－错误! C.错误! D.错误!2．函数f （x )＝cos(x ＋π4）－cos(x －错误!）是( ) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数3．函数y＝2sin(错误!－2x）的单调递增区间为( ）A．[－错误!＋kπ,错误!＋kπ］(k∈Z）B．[错误!＋kπ，错误!＋kπ](k∈Z）C．[π6＋kπ，错误!＋kπ]（k∈Z）D．［－π3＋kπ，错误!＋kπ]（k∈Z)4．若α为锐角，且sin（α－错误!)＝错误!，则cos 2α等于( )A．－2425B。

错误!C．－错误!D。

错误!5．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象,可以将函数y＝2cos 3x 的图象（)A．向右平移π4个单位长度B．向左平移π4个单位长度C．向右平移错误!个单位长度D．向左平移错误!个单位长度6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,若（a2＋c2－b2）tan B＝错误!ac,则角B的值为( )A.错误!B。

错误!或错误!C。

错误! D.错误!或错误!7．已知函数f（x)＝A sin(ωx＋φ）（A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝错误!时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（)A．f（2)<f（－2)<f(0）B．f（0)〈f（2）<f(－2）C．f（－2)〈f（0）〈f（2）D．f（2)〈f（0）<f(－2）8．已知函数f(x）＝sin（ωx＋错误!)－1(ω＞0)的最小正周期为错误!，则f（x）图象的一条对称轴方程是( )A．x＝错误!B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!9．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移错误!个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（)A。

三角函数 单元测试卷（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．sin 600°＋tan 240°的值是( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 32．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π43．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos α的值是( )A ．±45 B ．45 C ．－45 D ．354．已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π2，2π)，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( )A ．17B ．－17C ．－7D ．75．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能取值是( ) A ．π2B ．－π4C ．π4D ．3π46．若点P(sinα－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π7．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A10．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4 D ．ω＝2，θ＝π411．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A ．23B ．43C ．32D ．312．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________．14．方程sin πx ＝14x 的解的个数是________．15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.16．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．18．(12分)已知函数y ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19. (12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A (π2，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈[π2，π]时，求x 0的值．20．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．21．(12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0,0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．三角函数 单元综合测试（A ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1．B 2.D 3.C4．A [sin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.又α∈(3π2，2π)，∴cos α＝35.∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17，故选A.] 5．C [检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ是否取到最值即可．]6．B [sin α－cos α>0且tan α>0， ∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π.]7．D [当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，B 符合． 排除A 、B 、C ，故选D.]8．B [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.]9．A [由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴T ＝150，∴ω＝2πT ＝100π. ∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)， 当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.]10．A [∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2. ∵图象与直线y ＝2的两个交点横坐标为x 1，x 2， |x 2－x 1|min ＝π，即T min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2，故选A.]11．C [由函数向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32.]12．A [∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，即3cos(2×4π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .∴φ＝－13π6＋k π.∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6.]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．(6π＋40) cm解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm. 14．7解析 在同一坐标系中作出y ＝sin πx 与y ＝14x 的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解． 15．0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3， ∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)， 将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0. ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4. ∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0.方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝f (x 0＋T 2)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4)＝0. 16．8 解析T ＝6，则5T4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)．∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时， y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.18．解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12.当a >0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2.当a <0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3，∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1.19．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32， 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)因为点A (π2，0)，Q (x 0，y 0)是PA 的中点， y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π2，3)． 又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，且π2≤x 0≤π， 所以cos(4x 0－5π6)＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3，或x 0＝3π4. 20．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.21．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1,2]．22．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.方法二 由图象知f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1∪(－1,0)．。

三角恒等变换 单元测试卷（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．322．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．454．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π65．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )A ．43B ．34C ．53D ．126．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A ． 2B ．－22C ．2D ．2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( ) A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A ．1tan 2αB ．tan 2αC ．1tan αD ．tan α11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为( )A ．－55 B ．－11525 C ．11525D ．5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动．且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A ．2，π B ．2，4π C ．12，4πD ．12，π第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．19．(12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．20．(12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．三角恒等变换 单元综合测试（A ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．D [(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.]2．C [y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋π3－－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.]3．B [sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55， ∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.]4．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x ＝－12sin 2x －32cos 2x＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 当x ＝π12时，y min ＝－1；当x ＝712π时，y max ＝1， 且T ＝π.故B 项合适．]5．A [∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2.] 6．B [sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°) ＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°) ＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°) ＝－cos (73°＋47°) ＝－cos 120°＝12.]7．B [∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π， 则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)， ∴tan θ＝－22.]8．C [y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ∴y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.]9．A [a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b.]10．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2sin 2α＋cos 22cos 2cos 2α＋sin 2＝tan 2α.] 11．A[tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2， ∴tan θ1＝2，tan θ2＝43.∴tan ∠POQ ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2，∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ ＝－55.]12．C [OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x ＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π.]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．1 解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1.14．－33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α ∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝12或－1.∵π2<α<π，∴sin α＝12， ∴α＝56π，∴tan α＝－33. 15.2＋1解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1，∴y max ＝2＋1. 16．1解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β) ∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0， ∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解 ∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. ∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.18．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73. 19．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 21．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)． 因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35. 由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]， 从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin2x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.22．解 (1)tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43， 所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π. 因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，3π所以β＝4.。

专题验收评估(二）三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·杭州模拟)已知cos错误!＝错误!，则sin 2α＝（）A。

错误!B。

错误!C．±错误!D．±错误!解析：选B 因为sin 2α＝cos错误!＝cos错误!＝2cos2错误!－1＝2×错误!2－1＝725,所以应选B。

2．已知向量a＝（1，2），b＝（－2,m）,若a∥b，则|2a＋3b｜＝( )A。

错误!B．4错误!C．3错误!D．2错误!解析：选B 依题意得，错误!＝错误!，故m＝－4,2a＋3b＝2（1,2)＋3（－2，－4）＝（－4，－8），故｜2a＋3b｜＝错误!＝4错误!.3．(2017·山东高考)在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b,c。

若△ABC为锐角三角形,且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin A cos C ＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A解析:选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin （A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4.已知函数f (x ）＝A cos （ωx ＋θ）的图象如图所示,f 错误!＝－错误!，则f 错误!等于( ）A ．－23B ．－错误! C.错误! D.错误! 解析：选A 由题图知，T ＝2错误!＝错误!,∴f 错误!＝f 错误!＝f 错误!＝－错误!.5．已知锐角△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6,则b ＝（ )A ．10B ．9C ．8D ．5 解析：选D 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2 A －1＝0,解得cos A ＝错误!错误!。

专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。

2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。

2018年高考试题解析数学（文科）分项版之专题18 三角函数--学生版一、选择题:1.(2018年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ）(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真4. (2018年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝（ ）A. 25. （2018年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2018年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是（ ）7.(2018年高考四川卷文科5)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）ABC10 . (2018年高考湖南卷文科8) 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）A11.(2018年高考重庆卷文科5)sin47sin17cos30cos17- =（ ）（A ）B ）12-（C ）12 （D14.(2018年高考全国卷文科3)若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（ ）（A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π15.(2018年高考全国卷文科4)已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ ）（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）252418. (2018年高考江西卷文科9)已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则（ ）A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=119. (2012年高考上海卷文科17)在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A ．钝角三角形B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定二、填空题:21．(2018年高考北京卷文科11)在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。