构造直角三角形

构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。

其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。

二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。

2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。

3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。

综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。

熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。

5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A
＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
返回
解：延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE. 又∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝180°－120°＝60°. ∴△DCE是等边三角形． 设CD＝CE＝DE＝a， 则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
第5课时
用特殊角构造含30°角的直角三角形的四种 Nhomakorabea巧1
2
3
4
5
6
7
技巧
1 直接运用含30°角的直角三角形的性质
1．(中考· 青岛)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B ＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂 足为E，DE＝1，则BC＝( C ) A.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD(AAS)．
返回
∴BE＝CA.∴AC＝12AB.
返回
技巧
4 作垂线段构造含30°角的直角三角形
6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，
AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证AD＝2BC. 证明：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E. ∵DC∥AB，∠DAB＝30°， ∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝30°.
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°， ∴CD＝2CE.
证明：如图，连接AE.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE. ∴∠BAE＝∠B＝30°. ∴∠EAC＝120°－30°＝90°. ∵∠C＝30°，∴CE＝2AE. 又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.

构造直角三角形解竞赛题是一种在数学竞赛中常见的题目类型。

这类题目通常要求考生利用所学知识和技能，通过各种方法构造出一个直角三角形，并且还要求考生能够解决一些关于直角三角形的问题。

在解决这类题目时，考生需要掌握一些基本的数学知识和技能。

首先，考生需要掌握如何构造直角三角形的方法。

常见的构造方法包括利用勾股定理、利用相似三角形等。

其次，考生还需要掌握如何解决关于直角三角形的问题。

这些问题可能包括求直角三角形的周长、面积、对边、对角线等。

在教学过程中，我们可以通过一些方法来帮助学生学习构造直角三角形解竞赛题。

首先，我们可以通过讲解基本知识和技能的方式来帮助学生掌握构造直角三角形和解决关于直角三角形的问题的方法。

其次，我们可以通过练习题的方式来帮助学生掌握构造直角三角形和解决关于直角三角形的问题的方法。

在练习过程中，我们可以设计一些模拟竞赛题，让学生通过练习来提高自己的能力。

此外，我们还可以利用一些数学软件或在线工具，帮助学生进行更加系统的学习。

在教学过程中，我们还应该注意培养学生的独立思考能力和创新能力。

我们应该教会学生如何独立思考、如何探究、如何推理，并且应该鼓励学生尝试新的方法和思路。

只有通过这样的培养，才能让学生在解决构造直角三角形解竞赛题时具有较强的独立思考能力和创新能力。

总之，构造直角三角形解竞赛题是一种具有较高难度的数学题目，要求考生掌握一些基本的数学知识和技能，并具有较强的独立思考能力和创新能力。

在教学过程中，我们应该通过讲解基本知识和技能、利用练习题和数学软件等方式帮助学生学习构造直角三角形解竞赛题，并且应该注重培养学生的独立思考能力和创新能力。

1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。

在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。

在△ADC 中，AD2＝AC2－CD2＝625－72＝576，所 以 AD＝24，所以 S 四边形 ABCD＝12×20×15＋12×24×7＝ 234(m2)，234×1000＝234000(元)
即学校征收这块地需要 234000 元．
类型三 利用补形法构造直角三角形 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，点 E，F 分别为 AC，BC 的中点，DE⊥DF.试说 明：AE2＋BF2＝EF2.
类型四 利用勾股定理的逆定理构造直角三角形求 面积
4. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB ＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3.求四边形 ABCD 的面积．
解：如图，作 DE∥AB 交 BC 于点 E，连接 BD，则 可以证明△ABD≌△EDB(ASA)，所以 DE＝AB＝4，
BE＝AD＝3. 因为 BC＝6，所以 EC＝3.所以 EC＝EB. 因为 DE2＋CE2＝42＋32＝25＝CD2， 所以△DEC 为直角三角形．所以∠DEC＝90°. 四边形ABCD＝12(AD＋BC)×AB＝12×(3＋6)×4＝18.
类型二 利用分割法构造直角三角形 2. 学校要征收一块土地，形状如 图所示，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝ 20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，土地价 格为 1000 元/m2，请你计算学校征收这 块地需要多少钱？
解：如图，连接 AC，在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2 ＝202＋152＝625，
解：如图，延长 ED 至点 G，使 DG＝ED，连接 BG， FG.
在△ADE 和△BDG 中，因为 AD＝DB，∠1＝∠2， ED＝DG，所以△ADE≌△BDG(SAS)．
所以 AE＝BG，∠3＝∠4. 又因为∠4＋∠5＝90°，所以∠3＋∠5＝90°. 又因为 DF⊥EG，DE＝DG，易证△EDF≌△GDF， 所以 FG＝EF. 在 Rt△FBG 中，BG2＋BF2＝FG2，即 AE2＋BF2＝EF2.

第七讲 构造直角三角形知识梳理1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。

(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。

常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k ≠0,k 为常数）也是勾股数。

2．判定一个三角形是否为直角三角形的步骤与方法◆步骤：① 首先确定最大边；② 计算最大边的平方及其余两边的平方和； ③ 比较最大边的平方与其余两边的平方和。

◆方法：假设三角形的三边分别为a ，b ，c ，且c 为最大边：（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。

例题精讲例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状。

（1）a ＝6，b ＝8，c ＝10； （2）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=。

例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD 。

同步训练 A 组1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5； （2）a ＝4，b ＝5，c ＝6； （3）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （4）a ＝15，b ＝20，c ＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个。

2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形；B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形。

＿ 。 ． ＿ ． ．
所 ： ＝ 。 以Ｅ ， 号 Ａ
设 Ａ Ｅ＝４ ， Ｅ＝ ｋ 所 以 Ａ ｋＢ ３ ， Ｂ＝５ 。 ｋ
又 因为 Ａ ５米 ， 以 ：１则 Ａ Ｂ＝ 所 ， Ｅ＝４ 。 米 设整修后的斜坡 长为 Ａ 由整修 后坡度 为 ｌ Ｂ， ：
当 Ｅ Ｎ＝４ ｏ ， Ｎ ：Ｅ ＝ ６ ０ 。 Ｂ ５时 Ｂ Ｎ ２． 米 Ａ Ｅ＝Ａ Ｄ＝Ｂ Ｎ—Ｂ ＝２ ． —１ ＝１ 米 。 Ｄ ６０ ５ １
思路方法
Ｓ
构 造 直 角 三 角 形 在 解 题 中 的应 用
■ 郭 才福
直 角三 角形 的边 角 关 系 ， 实 际 问题 中有 着 广 在 泛 的 应 用 。解 决 这 类 问题 的关 键 在 于 发 现 或 构造 出 直 角 三 角形 ， 以便 利 用 直 角 三 角 形 的边 角 关 系使 问 题 顺 利 获解 。
在 Ｒａ Ｂ Ｅ 中 ， ｎ ＝ ， ｔ Ｃ ｔ３ ａ ： ＋６。 ． ＝３（ ＋１ ８ ．６ 米 ） ０ ・ ． Ｏ ） １９ （ 。 答： （ 作者单位 ： 河南省林州市临淇镇 中心学校） 州市临淇
・
５＋ 一５３ ３４ ｋ 。 ５ ， ． （ｍ） 隧道开通后 ， 汽车从 地到 地 比原来少走 约
３． ｍ 。 ４ｋ
例 ３ ２０ （０７年 资 阳 市 ） 一 座 建 于 若 干 年 前 的 水 库 大 坝 的横 断 面 如 图 ４所 示 ， 其 中背 水 面 的 整 个 坡 面 是 长
１：
水 பைடு நூலகம்
的 少
分 析 ： 题 是 一 道 与 坡 度 有 关 的 实 际 计 算 及 方 本 案设计试题。解决 本题应对坡 度的意 义正确认 识 ， 并能根据坡度进行计算 。 解 ：１作 Ａ 上 Ｂ （） Ｅ Ｃ于 。 因 为 原 来 的坡 度是 １０７ ， ：．５ Ａ Ｄ＝Ａ ｓ Ａ Ｃ＝３ Ｂ・ｉ Ｂ ｎ ０×ｓ ６￣ ５ ３ ２ ．８ ｉ ０ ＝１√ ５ ９ ｎ ２ ．（ ） Ｄ ６ ０ 米 ， Ｂ＝１ 米 。 ５ 连 结 Ｂ 过 Ｅ作 Ｅ ｊ Ｂ Ｅ， Ｎ ＿ Ｃ于 Ⅳ。 Ａ ∥Ｂ ． Ｅ Ｃ 四边形 Ａ Ｎ Ｅ Ｄ是矩形 ， Ｎ Ｅ＝Ａ ２ Ｄ ６米 。 在 ＲＡ Ｅ Ｂ中 ， 【 Ｎ 由已 知 Ｅ Ｎ≤４ｏ Ｂ ５，

巧用特殊角构造30的直角三角形
教学重点
构造30°的直角三角形，利用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于斜边的一半.”来解决与线段长有关的问题
教学过程
一、连接两点构造30°的直角三角形
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，DE=2，求BC的长。
5、如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，_求∠ACB的度数。
2、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长。
二、延长两边构造30°的直角三角形
3、如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长。
三、作垂线构造30°的直角三角形
4、如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC

∴11.5＝2.5x－x.解得 x＝1.5. ∴BF＝FE＝1.5.
∴∠BEF＝∠FBE. 在 Rt△BGD 中，tan∠GBD＝GGDB＝24＝12. ∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝12. 故选 B.
9 如图，四边形 OABC 是一张矩形纸片，将边 BC 折叠， 使点 B 落在边 OA 上的点 D 处．已知折痕 CE＝5 5， 且 tan∠BCD＝43，则 CO＝____8____.
∴∠C＝60°.∴AD＝AC
sin
60°＝52
3 .
∴S△ABC＝12BC·AD＝12×8×523＝10 3.
15 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边 形．如图，已知在对余四边形 ABCD 中，AB＝10， BC＝12，CD＝5，tan B＝34，求边 AD 的长．
解：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于 H， 过点 C 作 CE⊥AD 于 E，连接 AC. 在 Rt△ABH 中，tan B＝ABHH＝34. 设 AH＝3k，BH＝4k，则 AB＝5k＝10. ∴k＝2.∴AH＝6，BH＝8. ∵BC＝12，∴CH＝BC－BH＝12－8＝4.
如图②，当∠ABC为锐角时，作CD⊥AB于 D，同理可得，AD＝3，BD＝1， ∴AB＝3＋1＝4.即AB的长为2或4.
13 【2021·上海】如图，已知在△ABD 中，AC⊥BD， BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝45，BF 为 AD 边上的中线． (1)求 AC 的长；
解：∵cos∠ABC＝BACB＝45，BC＝8，∴AB＝10， 在 Rt△ACB 中，由勾股定理得 AC＝ AB2－BC2＝ 102－82＝6， 即 AC 的长为 6.
【点拨】
∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠B＝∠O＝∠A＝90°，OC＝AB.由翻折的性质可知， ∠B＝∠CDE＝90°，BE＝DE. ∴∠BCD＋∠DEB＝180°. ∵∠DEA＋∠DEB＝180°，∴∠BCD＝∠DEA. ∴tan∠DEA＝tan∠BCD＝43＝AADE.

构造直角三角形的方法嘿，咱今儿就来说说这构造直角三角形的方法。

你想想啊，直角三角形，那可是有个直角的特别存在呢！就好像咱生活里那些特别显眼的东西一样。

那怎么去构造它呢？比如说，咱可以从一些已知的边或者角入手呀。

要是咱知道了一条边的长度，还有一个角是直角，那这直角三角形不就有个大概模样啦？这就好比你知道了一个人的名字和他的一个显著特点，那这个人在你脑海里不就有点轮廓了嘛。

再或者，咱有两条边的长度，那能不能通过一些计算和摆弄，让它们乖乖地组成一个直角三角形呢？这就跟搭积木似的，你得找到合适的积木块，然后把它们巧妙地拼在一起，才能搭出你想要的形状呀。

还有啊，有时候我们可以利用一些特殊的图形或者条件。

就像你在路上走着，突然看到一个指示牌，一下子就知道该往哪儿走了。

比如说，有些图形里本身就隐藏着直角三角形，只要你有双善于发现的眼睛，就能把它给揪出来。

咱还可以通过作垂线的方法来构造直角三角形呢。

这就好像是给图形画了一道神奇的线，一下子就变出了直角。

你说神奇不神奇？哎呀，这构造直角三角形的方法可真是不少呢！而且每一种都有它独特的用处和乐趣。

就像咱生活里有各种各样的办法去解决问题一样，关键是你得去尝试，去发现。

你想想，要是没有直角三角形，那我们好多数学问题可怎么解决呀？好多建筑设计不也得受影响嘛。

这直角三角形就像是一个小小的基石，别看它小，作用可大着呢！那我们在构造直角三角形的时候可得细心点，别马马虎虎的。

就跟你做一件重要的事情一样，得认真对待，不然出了错可就不好啦。

总之呢，构造直角三角形这事儿，说难也不难，说简单也不简单。

只要咱掌握了方法，多去练习，多去思考，那肯定能把它玩转得妥妥的。

咱可不能小瞧了这小小的直角三角形，它里面蕴含的学问可大着呢！你说是不是呀？。

构造直角三角形方法指导利用勾股定理的前提是存在直角三角形，因此构造直角三角形是解题的关键.一、利用分割法构造直角三角形1.如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，四边形ABCD 的周长为16.求ABCD S 四.二、利用补形法构造直角三角形2.如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝4，CD ＝2.求BC 和AD 的长.三、作垂线构造直角三角形3.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，AB1.求CD 的长.4.如图，D 为等腰直角△ABC 的斜边AB 上一点，点E 在BC 上，且DC ＝DE .求AD CE 的值.5.如图，△BCD 中，BC ＝BD ，∠BCD ＝90°，E 是△BCD 外一点，CE ∥BD ，且BE ＝BD .求CE BD 的值.勾股定理与分类讨论方法指导当问题中的条件不明，有可能出现几种情况时，常需分类讨论.一、直角不明时可分类讨论1.Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD.求BD的长.二、动点位置不明时可分类讨论2.（2014·南昌）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为___________.三、腰不明时可分类讨论3.如图1，有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为20m，15m，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以20m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.图1四、三角形形状不明确时可分类讨论4.已知△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4.求BC的长.5.在△ABC中，32AB，BC＝5,△ABC的高AD和BE交于点F，若BF＝AC.求CD的长.。

初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型01模型一：折叠构造直角三角形折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。

例题1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．分析：先通过勾股定理求出线段AB的长度，将直角边AC沿直线AD 对折，使它落在斜边AB上，得到AE=AC=6。

求线段CD的长度，可设CD=x，那么DE=CD=x，再表示出线段DB的长度，求出线段BE，利用勾股定理得到关于x的方程。

解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10-6=4，设DE=CD=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD^2=DE^2+BE^2，即（8-x）^2=x^2+4^2，解得x=3．即CD的长为3cm．02模型二：折叠构造全等三角形例题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，DB交OA于点E．（1）求证：OE=BE；（2）求△OEB的面积.分析：（1）通过折叠可知：OC=OD，∠D=∠OCB=90°，由于四边形OABC为矩形可得：OC=AB，∠BAO=90°，那么∠D=∠BAO=90°，再加上对顶角∠BEA、∠OED相等，通过“AAS”判定两个三角形全等；（2）可设OE=BE=x，然后表示出线段AE的长度为4-x，在直角三角形ABE中，通过勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出三角形OEB的面积。

BE 2
例2：在△ABC中，∠C=45°，AB=5,AC= 4 2 ， 求BC的长。
5
4 2
例2：在△ABC中，∠C=45°，AB=5,AC= 4 2 ， 求BC的长。
5 x 4 3
4 2
过A点做AD⊥BC交BC于D点 在Rt△ACD中，AD=X,DC=X AD2 DC 2 AC2
2
1 解：在Rt△ABD中，AB= 2 , AD= 3 BD2 AB2 AD2 2 3 5
5
3
BD 5
在Rt△BCD中，BC= 1 , BD= 5
CD 2 BD2 BC2 5 1 4
CD 2
例1：如图，在四边形ABCD中，AB= 2 ,AD= 3 ,BC=1 ， 求CD的长。
X 5
4 2 -X
4 2
4 2 -X
AE=X,CE= 4 2 -X BE=CE= 4 2 -X 在Rt△ABE中,AB=5,AE=X,BE=4 2 -X AE 2 BE 2 AB 2
2
X 4 2 X 5 7 X2 2到底是什么情况？ 2 思考： 2 2X 8 2X 7 0
X 2 X 2 22
在Rt△BCE中，BE=X,CE=X BE 2 CE 2 BC 2
2
2
x
X 2
在Rt△ABE中，BE= 2 ,AE= 2
2
x
2
AB2 BE2 AE2
2 2
AB 2 2 2 10

2
AB 10
这节课你学到了什么？
BE2 BC2 CE 2 4 4 X 4-X 2 16 X 2 4 4 X 7

专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△中，已知＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形中，＝2，＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形的面积．(第2题)有三角函数值不能直接利用时作垂线3．如图，在△中，点D为的中点，⊥，∠＝，求 A的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△中，＝＝5，＝8.若∠＝∠，求∠的值．(第4题)答案1．解：如图，过点A作⊥，垂足为点D.设＝x，在△中，＝· B＝x· 60°＝x.在△中，∵∠C＝45°，∴∠＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠，∴＝＝x.∵＝1＋，∴x＋x＝1＋，解得x＝1，即＝1.在△中，∵ B＝，∴＝＝＝2.(第1题)(第2题)2．解：如图，延长，交于点E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在△中，＝＝＝2，在△中，＝2＝2，∴＝· 30°＝2×＝.∴S四边形＝△－△＝·－·＝×2×2－×1×＝.点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长，交于点E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：如图，过点B作⊥，交的延长线于点E.∵点D是的中点，∴＝.又∵∠＝∠＝90°，∠＝∠，∴△≌△，∴＝，＝.在△中，∠＝＝，∴＝3.∴＝＝2，∴＝＝＝.∴ A＝＝＝.点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．(第3题)(第4题)4．解：如图，过点A作⊥于点E，∵＝＝5，∴＝＝×8＝4，∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＝∠.在△中，由勾股定理得＝＝＝3，∴∠＝∠＝＝.。

D
E P
O
C
A
二、利用垂直平分线构造
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°， AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，BD=8cm， 求AC的长
A
M
B C
D
三、倍长中线，利用全等三角形构造 例3 如图，在△ABC中，BD=DC，若AD⊥AC， 1 ∠BAD=30°，求证：AC= AB 2
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半. 直角三角形中的这一性质让我们充分感 受到有30°角给解题带来的优越性，许 多看上去好像与此定理无缘的题目，我 们也可以通过添加辅助线，构造出满足 定理的直角三角形，使求解简捷.
一，利用角平分线构造 例1 如图1，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分 线上一点，过P引OA的垂线，垂足是点C，且 过P作PE∥OA，交OB于点E，若PE=2cm，试求 PC的长. BABFra bibliotekD E
C
练习 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°， AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，如果 DE=1，求BC的长
A
D B C
E
练习 如图，在△ABC中，∠B=30°，AD=2，等 腰三角形ACD的斜边AD在AB边上，求BC的长 C
A
E
D
B