07-08第1学期复变函数与积分变换B卷

第一章 复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线5．=+++→)21(lim 421z z iz三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+四、求下列各式的值： （1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i +五、解方程：5()1z i +=六、设复数1≠z ，且满足,1||=z ，试证21]11Re[=-z .七 、证明复平面上的直线方程可写成:0,(0a z a z c a ++=≠其中为复常数，c 为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成:0,(z z a z az c a +++=其中为复常数，c 为实常数）九 、函数1w z=把下列z 平面上的曲线映成w 平面中的什么曲线？ (1) yx = (2) 224x y +=十、)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f 试证当0→z 时)(z f 的极限不存在。

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

中南民族大学试卷标准答案及评分标准试卷名称 复变函数与积分变换（07－08第一学期）（ B 卷共 5 页）一．填空题（每小题2分，共10分）1. 方程5320z +=在复数范围内的全部解为 2(21)5,0,1,2,3,4k iek π+=．2.111()212z dz z z =+=++⎰i π．3. 幂级数(1)n nn i z∞=-∑的收敛半径为1．4、. 2Re [,0]z e s z= 1 ．5、. ()j t f t e -=的付里叶变换为()F ω= 2(1)πδω+二．判断题（每小题2分，共10分，正确打√，错误打⨯．）6. arg(1)4i π-=-． ( )7. 131(3)(3)3Ln i Ln i +=+． ( )8.121zz edz z π==-⎰． ( )9. 设级数(1)nnn cz ∞=+∑当2z =-时收敛，则级数在2z i =时也一定收敛． ( ) 10. 0z =为函数1ze z-的一阶极点． ( )答：6．√ 7．× 8．√ 9．× 10. ×.三．求解下列各题（每小题６分，共18分）：11、将3sin3cos55z i ππ=+写成三角形式解：33,arg 10z z π==， ------------------------------ 3分故333(cossin)1010z i ππ=+．------------------------------ 6分12、函数 22()f z y x i =- 在复平面内何处可导，何处解析，并求(1)f i '+ 解：设2u y =，2v x =-则0,2,2,0x y x yu u y v x v ''''===-=．--------------------------2分在复平面上都连续，由C —R 方程有：y x =．故()f z 仅在直线y x =上可导，在复平面上处处不解析．--------- 4分且 (1)2f i i '+=-．----------------------------- 6分13．已知 223v x y y =-++，求解析函数iv u z f +=)(．解：∵2,23x yv x v y ''=-=+,由于()z f 解析 ∴有()23,(23)23x yu v y u y dx xy x y ψ''==+=+=++⎰ ---------- 2分 又2y x u v x ''=-= ，而()2yu x y ψ''=+ ，所以()0y ψ'=． ---------- 4分 则()y C ψ= ，从而23u xy x C =++，C 为任意实常数，()zf ()22233xy x c i x y y =+++-++． ---------------------------- 6分四．计算下列积分（每小题7分，共28分）：14、21(3)CI dz z =+⎰，其中C 为圆周：31z +=的左半部分从3z i =-+到3z i =--的一段半圆弧．解：由于21()(3)f z z =+ 在包含半圆周的某区域内解析，从而积分与路径无关，------------------------ 3分有3332311()|2(3)3i ii iI dz i z z -----+-+-===-++⎰．-------------------- 7分15． 2232zz eI dz z z==-⎰．解：()=z f 222zez z-在3z =内 有两个奇点0,2z z ==由复合闭路定理有：2232zz eI dz z z==-⎰＝2212zz edz z z=-⎰＋22212zz edz z z-=-⎰．（３分） ＝4(1)i e π-． -------------------- 7分16． 222(9)xI dx x +∞-∞=+⎰．解：令222()(9)zf z z =+，则()f z 在上半平面有一个奇点3z i =，且1R e [(),3]12s f z i i=． ------------------- 3分于是 6I π=． -------------------- 7分17． 4522z zI dz z ==+⎰．解：设45()2zf z z =+，则()f z 有5个奇点,1,2,3,4,5,k z k =都在曲线 C ：2z =的内部， ------------ 2分由留数定理，512R e [(),]k k I i s f z z π==∑＝2Re [(),]i s f z π-∞．------------ 4分211R e [(),]R e [(),0]1s f z s f zz∞=-=-，于是2I i π=．------- 7分五．求解下列各题（每小题7分，共14分）：18．将函数21()(1)f z z =-在1z i =-点展开成泰勒级数，并求收敛半径．解：由于1()()1f z z -'=-，而1111111()(1)z i z z i ii i==-+--+--------------- 2分＝11()(1)nn n z i ii ∞=-+-∑＝0()(1)n nn i i z i ∞=--+∑， ----------------------- 4分所以11()()(1)n n n f z i i n z i ∞-==---+∑． ----------------------- 5分且收敛半径为1R i ==． ----------------------- 7分19．将函数 21()9f z z =+ 在区域 63z i <+<+∞ 内展开成洛朗级数．解：1()(3)(3)f z z i z i =-+，当63z i <+<+∞时，111163363(1)3i z iz i iz iz i==-+-+-+ ----------------------- 2分＝16()33nn i z iz i∞=++∑＝11(6)(3)nn n i z i ∞+=+∑ ----------------------- 5分因此21()(6)(3)nn n f z i z i ∞+==+∑． ----------------------- 7分六．求下列函数在付里叶变换下的象函数)(ωF（每小题7分，共14分）：20． ,10;()0,.t t f t -≤≤⎧=⎨⎩其它解：01()()jt j tF f t edt tedt ωωω+∞---∞-==⎰⎰----------------------- 3分1111j tj tt tee dt t j j ωωωω---==+=--⎰----------------------- 5分21(1)j j j eeωωωω=+-. ----------------------- 7分21． 2()cos 2f t t =．解：1()(1cos 4)2f t t =+．由付里叶变换的线性性质有1()[()]2F ft ω==F F [[1]1[c o s 4]2t +F --------- 3分＝()[(4)(4)]2ππδωδωδω+++-． -------------------- 7分七．证明题（６分）：22、设0z 是解析函数()f z 的m 阶零点，证明()()00()0,0,1,,1;()0n m fz n m fz ==-≠ ．证：由于0z 是()f z 的m 阶零点，那么()f z 可表成0()()()mf z z z z ϕ=-． -------------------- 3分其中()z ϕ解析，且0()0z ϕ≠，展开成泰勒级数有12001020()()()()mm m f z c z z c z z c z z ++=-+-+-+，即泰勒级数中前ｍ项的系数都为０，由系数公式可知()()000()0,0,1,,1;()=!()0n m fz n m fz m z ϕ==-≠ 且．----------7分。

证明：(1)在负实轴上，任取一点z a，则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有：
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
显然函数在负实轴上不连续。
lim f (z) lim Arg (rei)
2sin
cos( )
2 2 2
isin(
2
i
2sin e2 2
2
(5)
z3
解：
i3
3i
re
cos3
isin3
(6)
e1 i
解：
ee
cos1 i sin1
(7)
1i
解：
1i
1i
i ei3 /4cos3
/ 4 isin3 /4
1i
1i
、计算下列数值
(1)
a ib
解：
ib
i ar ctgb2k
2 2 abe
cos2
L
L
cosn
1i i(e e
2
L
L
in i i2e ) (e e
L
in
L ein)
1 ei
(1
ine
)e
i(1 ein)
1
ie
(1
in i ie ) 1 e e
(1
in ie ) 1 e
2
1
ie
1 ei
2
2(1cos
)
cos
i i i(n 1) i(n 1) in in
1 e e 2 e e e e
22(1cos )
2sin
2
(8)
sin