数学讲义：锐角的三角函数
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锐角的三角函数
截至目前为止，我们已经学习过不少关于函数的议题，如：第一册的多项式函数以及上一章的指数、对数函数。
这一章，我们将学习另一个重要的函数「三角函数」，三角函数主要在讨论三角形的边角关系，进一步应用于测量等实际问题上。
这一节我们先讨论锐角的三角函数。
设△ABC 为一直角三角形，如图一，其
中∠C 为直角，且∠A 、∠B 、∠C 的对边依序为a 、b 、c 。
我们把c 称为△ABC 的斜边，b 称为∠A 的邻边，a 称为∠A 的对边，而对△ABC 中相异两边长的比值而言，共有6种
组合：
c a =斜邊對邊，c b =斜邊鄰邊，b a = ，a b =對邊鄰邊，b c =鄰邊斜邊，a c
=對邊斜邊 另给定一直角三角形△DEF 且∠F 为直角(如图二)，若∠D=∠A ，则△DEF ~△ABC ﹝AA 相似性质﹞，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得到上述6种
边长的比例关系相等：
f d c a ==斜邊對邊，f e c b ==斜邊鄰邊，e
d
b a ==鄰邊對邊，d e a b ==對邊鄰邊，f e b
c ==鄰邊斜邊，d
f
a c ==對邊斜邊
由此可知，在直角三角形△ABC 中，当∠A 的角度固定时，不论边长如何改变，相异两边长的比值是不变的。
也就是说，对直角三角形的一锐角而言，当此锐角角度固定时，则其两边长的比值也随之确定，因此我们可将角度与相关的边长比值定义如下：
一般而言，当给定一锐角∠A 的度数，也随之确定，由函数的定义可知道
(图一) (图二)
AB
BC
A =
sin 是∠A 的函数，因此我们称A sin 为∠A 的正弦函数。
同理，,tan ,cos A A A A A sec ,sec ,cot 也都是∠A 的函数，依序称为余弦函数，正切函数，余切函数，
正割函数，余割函数。
例题 1
设△ABC 为直角三角形，其中︒=∠30A ，︒=∠60B ， ︒=∠90C ，如图，试証：3:2:1::=AB AC BC
试求︒︒︒︒︒︒30csc ,30sec ,30cot ,30tan ,30cos ,30sin 之值。
练习 1-1
在下表中填入︒︒︒︒︒︒45csc ,45sec ,45cot ,45tan ,45cos ,45sin 之值。
在下表中填入︒︒︒︒︒︒60csc ,60sec ,60cot ,60tan ,60cos ,60sin 之值。
练习 1-2
设△ ABC 中， ∠C ＝90︒， 且各边的关系如下图：
图(a) 图(b)
(1)由图(a)， 求tan B 及sin B ． (2)由图(b)， 求tan B 及cos B ．
Ans: (1)tan B ＝
3
4，sin B ＝35。
(2)tan B ＝1
2
，cos B 。
由上表﹝练习1-1﹞及定义可知：
◆对同一个锐角θ，三角函数有下列性质﹝倒数关系﹞： sin θ 与 互为倒数； cos θ 与 互为倒数； tan θ 与 互为倒数。
﹝余角关系﹞两个锐角θ与φ互为余角(即︒=+90φθ)时，θ与φ就是同一个直角三角形的两锐角。
此时，θ的对边是φ的邻边， 而θ的邻边是φ的对边，因此，
, c s c , sec , cot , tan , cos , sin ======θθθθθθ
例题 2
一直角三角形两股长分别为5与12， 设θ是较小的锐角， 求θθθθθθcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin 之值．
例题 3
θ是一个锐角，已知5
3
sin =θ，求θθθθθcsc ,sec ,cot ,tan ,cos 之值。
练习 3
θ是一个锐角，已知5
12
tan =θ，求θθθθθcsc ,sec ,cot ,cos ,sin 之值。
例题 4
△ABC 中﹐AB ＝AC ＝10﹐BC ＝12﹐则： (1)BC 边上的高＝______. (2)cos B ＝______. (3)AC 边上的高＝______. (4)sin A ＝______.
例题 5
试利用作图法求sin 15︒ 与cos 15︒ 的值．
练习 5
求sec 15︒ 与csc 15︒ 的值．
求sin 75︒ 与cos 75︒ 的值．
● 试利用作图法求tan22.5︒及cot22.5︒之值.
利用几何的方法可以求得︒︒︒60,45,30等的三角函数值，但大部分的角度却不能，不过我们可以藉由简易的测量工具：量角器与直尺，来估计任一锐角的三角函数值。
例如，先绘制ㄧ锐角为32度的直角三角形，在量测其各边边长，便可求得角度为32度的六个三角函数值。
动手做做看吧！
例题 6
设圆O 为圆心在座标原点的单位圆(半径为1)且交两轴正向于A 、F 两点，交直线L 于C 点，如下图，其中x BC ⊥轴，AD 与EF 均为圆O 的切线，设AOC ∠θ=。
在下面左边◆至 的每一个线段，可以在右边(1)至(6)的选项中找一个正确的三角函数与之对应，请将正确的选项填入下列空格中。
◆BC (1)θsin OB (2)θcos ♦AD (3)θtan ⌧OE (4)θcot ⍓EF (5)θsec OD (6)θcsc
接着，我们来探讨角度与各三角函数值的大小关系。
承例题6，当θ从︒0增加至︒90时，θBC sin =也随之增大，且因10<<BC ，所以1sin 0<<θ。
而当θ从︒0增加至︒90时，θBO cos =会随之减小，且因10<<BO ，所以1cos 0<<θ。
另一方面，θtan AD =会随着θ由︒0增加至︒90而增大且0tan >=θAD 。
θcot =EF 会随着θ由︒0增加至︒90而减小且0cot >=θEF 。
除了藉由图形的观
察，亦可由三角函数间的倒数关系来推论其递增或递减的变化：θθcos 1
sec =，
因θ由︒0增加至︒90时θcos 随之减小且1cos 0<<θ，可知θsec 会随θ的增加而增加且1sec >θ。
θ
θsin 1
csc =
，因θ由︒0增加至︒90时θsin 随之增加且1sin 0<<θ，可知θcsc 会随θ的增加而减小且1csc >θ。
总结如下：
(1)当θ由︒0增加至︒90
：递增 ：递减 (2)当︒<<︒900θ
， 。
， 。
● ， 。
在给定角度为θ时﹝︒<<︒900θ﹞，由例题6的图形可观察出在OAD ∆中，
因斜边长OD >一股AD ，且CB AD >，又θsec OD =，θtan AD =，θsin =CB ，所以 。
同样地，在OEF ∆中，因斜边长OE >一股EF ，且OB EF >，又θc s c OE =，θcot EF =，θcos =OB ，所以 。
例题 7
cos θ，求锐角θ 的范围． 练习 7
设f (x )＝4 sin x ， 30︒≤ x ≤75︒， 求f (x ) 的范围
Ans: 2≤ f (x )
例题 8
θ 满足下列条件时， 试分别比较sin θ 与cos θ 的大小． (1)0° ＜ θ＜45°． (2)45° ＜ θ＜90°．
例题 9 [课本习题2-1进阶题、讲义活用园地题型一]
设等腰△ABC 之三角为∠A ＝36︒﹐∠B ＝∠C ＝72︒﹐且AB ＝1﹐ 求 (1)BC ＝？ (2)sin18︒＝？ 练习 9
等腰△ABC 之三角为∠A ＝36︒﹐∠B ＝∠C ＝72︒﹐且AB ＝1﹐则cos36︒＝。
