锐角三角函数(讲义及答案).

专题28 锐角三角函数知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义在Rt △ABC 中，若∠C=90°A sin A ac ∠==的对边斜边A cos A bc ∠==的邻边斜边A tan A A ab∠==∠的对边的邻边A cot A A ba ∠==∠的邻边的对边2.同角三角函数的关系（1）平方关系：22sin cos 1A A += （2）商数关系：sin tan cos A A A =cos cot sin A A A = （3）倒数关系：tan cot 1A A ⋅=3.互为余角的三角函数关系sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=tan(90)cot A A ︒-=，cot(90)tan A A ︒-=或者：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB 4. 特殊角的三角函数值5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。

（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。

6.锐角三角函数的取值范围0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 知识点二：解直角三角形 1.直角三角形中边角关系在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么（1）三边之间的关系为222a b c +=（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）30°角所对直角边等于斜边的一半。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（5）边角之间的关系为：（三角函数定义） 2.其他有关公式 （1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B （2）Rt △面积公式：1122S ab ch == （3）直角三角形外接圆的半径2cR =，内切圆半径2a b c r +-=结论：直角三角形斜边上的高ab h c= 3.实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。

【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( ) A ．3 B ．32 C ．23 D ．438．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值． 10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a 与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14) (2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。

锐角三角函数题型一：正切的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与邻边的比值．即tan aA b=，根据直角三角形三边关系易证，0tan A <，()090︒<∠<︒A ①角的正切值例1.1如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若1EB =，2EC =，则tan DCE ∠为（）A .12B .2C D 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90B ∠=︒，//AB CD ∴DCE BEC ∠=∠，∵1EB =，2EC =，∴BC ==，∴tan tan ∠=∠==BCDCE BEC BE；故答案选D ．变式1.11.如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使12DC BD =，连接AC ，若tanB=53，则tan CAD ∠的值（）A.3B.5C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，由5tan 3B =，即53AD AB =，设5AD x =，则3AB x =，然后可证明CDE BDA ∆∆∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得32CE x =，52DE x =，从而可求1tan 5EC CAD AE ∠==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，5tan 3B =，即53AD AB =，∴设5AD x =，则3AB x =，CDE BDA ∠=∠Q ，CED BAD ∠=∠，CDE BDA ∴∆∆∽，∴12CE DE CD AB AD BD ===，32CE x ∴=，52DE x =，152AE x ∴=，1tan 5EC CAD AE ∴∠==．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD ∠放在直角三角形中．②网格图中求正切值例1.2如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为________．【详解】解：如图，由格点知：AB ==，AC ∵12=⋅⋅ ABC S BC AE 1432=⨯⨯6=，12=⋅⋅ ABC S AB CD 12=⨯=，6=，∴CD =．∴AD ==．∴tan 2==CDA AD．故答案为：2.变式1.22.如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【详解】解：如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC += ，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠===．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．③利用图形的变换求正切值例1.3如图，矩形ABCD 中，5AB =，3BC =，E 为边AB 上一点，且3BE =，DAE△沿DE 翻折得到DFE △，连接BF ，tan ∠EFB 的值为________．【详解】解：过点F 作FO AO ⊥于点O ，作FH AB ⊥于点H ，过B 作BG FE ⊥于点G ，∵折叠∴90DAE DFE ∠=∠=︒∴180︒∠=-∠ADF AEF ∵180∠=︒-∠FEB AEF ∴ADF FEB∠=∠∵90∠=∠=︒EGB DOF ，3DF AD ==，3BE =∴DF BE=∴() ≌DOF EGB AAS ∴=GB OF532AE AB BE =-=-=∵13112222=⋅==⋅=⋅= FEB S BE FH FH FE GB AE GB GB ∴32GB FH =∵四边形OAHF 中，四个内角均为90︒，∴四边形OAHF 是矩形，∴=FH AO ∵=GB FO ∴32=FO AO3=∴22(3)9+-=FO AO ∴2413=AO 或0AO =（舍去）∴241531313==-=OD EG ∴3243621313==⨯=FO GB Rt FGB V 中，363613tan 1511213GB GFB GF ∠===-∴36tan 11∠=EFB 故答案为：3611．变式1.33.如图，在菱形纸片ABCD 中，3AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan EFG ∠的值为________．【答案】3【解析】【分析】连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，依据勾股定理可得Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，解方程（3-x ）2+2=x 2，即可得到EF=218，再根据Rt △EOF 中，=即可得出tan ∠EFG=EO FO =．【详解】解：如图，连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∴∠EBF=∠BEC=90°，Rt △BCE 中，CE=cos60°×3=1.5，∴Rt △ABE 中，由折叠可得，AE ⊥GF ，EO=12，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，∵Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，∴（3-x ）2+）2=x 2，解得x=218，即EF=218，∴Rt △EOF 中，=，∴tan ∠EFG=EO FO =【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．题型二：正弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与斜边的比值．即sin aA c=，根据直角三角形三边关系易证，0sin 1A <<，()090︒<∠<︒A ①角的正弦值例2.1在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，2sin 3A =，则边AC 的长是（）A B .3C .43D 【详解】解答：在Rt ABC △中，∵22sin 3===BC A AB AB ，∴3AB =，∴根据勾股定理，得AC =故选A ．变式2.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（）A.5B.14C.13D.4【答案】D 【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴AC ===∴4AC sinB AB ==，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．②网格图中求正弦值例2.2如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A .12B C .10D 【详解】解：如图所示，取格点D ，连接DC ，由网格可得出DC =，AC =，AD =，∵222+=∴222DC AD AC =+，则：90CDA ∠=︒，故sin5===DCA AC ．故选：B ．变式2.25.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB 的值为（）A.2B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】如图，连接AD ，CD ，根据勾股定理可以得到OD=AD ，则OC 是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】解：如图，连接AD ，CD ，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，∠OCD=90°．则=∴sin ∠AOB=2CD OD ==，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．③利用图形的变换求正弦值例2.3如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，连接BD ，将ABC 沿BD翻折，点C 落在边AB 的点C '处，连接CC '．若15AB =，4sin 5A =，则CC '长________．【详解】如图，设BD 与CC '的交点为点O ，∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15AB =，4sin 5A =，∴45BC AB =，即4155BC =，解得12BC =，∴9==AC ，由翻折的性质得：12'==BC BC ，C D CD '=，90'∠=∠=︒BC D ACB ，∴15123''=-=-=AC AB BC ，设AD x =，则9C D CD AC AD x '==-=-，在Rt AC D ' 中，222AC C D AD ''+=，即2223(9)x x +-=，解得5x =，∴5AD =，4CD =，在Rt BCD 中，BD ==又∵BC BC '=，C D CD '=，∴BD 是CC '的垂直平分线，∴BD CC '⊥，2'=CC OC ，∴Rt 1122=⋅=⋅ BCD S BC CD BD OC ，即1112422⨯⨯=⨯，解得5OC =，∴25'==CC OC ，故答案为：5．变式2.36.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ．（1）求证：BFD △是等腰三角形；（2）若4BC =，2CD =，求AFB ∠的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）45【解析】【分析】（1）根据矩形性质和平行线的性质得∠ADB =∠CBD ，结合折叠性质得出∠ADB =∠DBF ，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，利用勾股定理求解x 值，再根据正弦定义求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，由折叠性质得：∠DBF =∠CBD ，∴∠ADB =∠DBF ，∴BF=DF ，∴△BFD 是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC =4，AB=CD =2，∠A =90°，设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：22+（4﹣x ）2=x 2解得：x =52，∴sin ∠AFB =24552AB BF ==，即AFB ∠的正弦值为45．【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定义、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．题型三：余弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于邻边与斜边的比值．即cos b A c=，根据直角三角形三边关系易证，0cos 1A <<，()090︒<∠<︒A 角的余弦值例3.1如图，在Rt ABC 中，90C ∠︒＝，13AB =，5AC =，则cos A 的值是________．【详解】解：在Rt ABC 中，5cos 13AC A AB ==，故答案为：513．变式3.17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____．【答案】45【解析】【分析】根据勾股定理求出边BC 的长，利用余弦定理cos A=A A ∠∠的临边的斜边即可解得．【详解】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，所以所以cos A =AC AB =810=45.【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．②网格图中求余弦值例3.2如图，已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos A 的值为________．【详解】解：如图所示：连接BD ，可得：90CDB ∠=︒，BD =，AD =AB ，故cos5AD A AB ===．．变式3.28.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．【答案】5【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB 2＝32+42＝25、AC 2＝22+42＝20、BC 2＝12+22＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，则cos ∠BAC 5AC AB ==，．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．③利用图形的变换求余弦值例3.3如图，在菱形纸片ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos EFG ∠的值为________．【详解】过点A 作AP CD ⊥，交CD 延长线于P ，连接AE ，交FG 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD AB ==，∵将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，∴∠=∠AFG EFG ，FG AE ⊥，∵//CD AB ，AP CD ⊥，∴AP AB ⊥，∴90∠+∠=︒PAE EAF ，∵90∠+∠=︒EAF AFG ，∴∠=∠PAE AFG ，∴∠=∠EFG APE ，∵//CD AB ，60DAB ∠=︒，∴60PDA ∠=︒，∴sin 6022=⋅︒=⨯=AP AD ，1cos60212=⋅︒=⨯=PD AD ，∵E 为CD 中点，∴112DE AD ==，∴2=+=PE DE PD ，∴==AE ，∴cos cos7∠=∠===AP EFG PAE AE ．故答案为7变式3.39.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，B Ð是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接MD ，ME ．若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为___________．【答案】12【解析】【分析】延长DM 交CB 的延长线于点H ．首先证明△ADM ≌△BHM ，得出AD=HB=4，MD=MH ，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED ，设BE=x ，利用勾股定理构建方程求出x ，即BE ，结合AB 得出cosB 的值.【详解】解：延长DM 交CB 的延长线于点H ．如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=4，AD ∥CH ，∴∠ADM=∠H ，∵M 是AB 的中点，∴AM=BM ，在△ADM 和△BHM 中，AMD BMH ADM H AM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM ≌△BHM （AAS ），∴AD=HB=4，MD=MH ，∵∠EMD=90°，∴EM ⊥DH ，∴EH=ED ，设BE=x ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE 2=AB 2-BE 2=DE 2-AD 2，∴42-x 2=（4+x ）2-42，解得：x=2-，或x=2--（舍），∴BE=2，∴cosB=2142BE AB-==.故答案为：12-.【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题型四：同角三角函数关系（拓展）1.若90A B ∠+∠=︒，则sin cos A B =，sin cos B A =，tan tan 1A B ⋅=2.平方关系：22sin cos 1A B +=3.比值关系：sin tan cos =AA A例4若α是锐角，tan tan501⋅︒=α，则α的值为（）A .20︒B .30°C .40︒D .50︒【详解】解：∵tan tan501⋅︒=α∴5090+︒=︒α∴40α=︒．故选C ．变式410.比较大小：sin81︒________tan 47︒；cos30︒________tan 60︒．（填“>，<或=”）【答案】①.<②.<【解析】【分析】①把sin81︒、tan 47︒分别与1进行比较，即可得到答案；②分别求出cos30︒、tan 60︒的值，然后进行比较即可．【详解】解：∵sin811︒<，tan 47tan 451︒>︒=，∴sin81tan 47︒<︒；∵cos302=°，tan 60︒=又∵2<，∴0cos30tan 6︒<︒；故答案为：<；<；【点睛】本题考查了三角函数的比较大小，解题的关键是正确的掌握三角函数的值，然后进行比较．题型五：特殊角的三角函数值①特殊角的三角函数值的混合运算例5.1计算：sin 30cos 601sin 60cos 45tan 60sin452︒︒+︒-︒︒+︒．【详解】原式1122=+，===，=；变式5.111.计算：（1）28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒；（2）222tan 60cos 30sin 45tan 45︒+︒-︒︒．【答案】（1）7-；（2）134．【解析】【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【详解】解：（1）原式281422⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3814=⨯+-7=-；（2）原式222122⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31342=+-134=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．②由特殊角的三角函数值判断三角形的形状例5.2在ABC 中2(2cos |1tan |0-+-=A B ，则ABC 一定是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【详解】解：由2(2cos |1tan |0-+-=A B ，得2cos A =，1tan 0B -=．解得45A ∠=︒，45B ∠=︒，则ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．变式5.212.在ABC 中，若tanA=1，cosB=2，则下列判断最确切的是（）A.ABC 是等腰三角形B.ABC 是等腰直角三角形C.ABC 是直角三角形D.ABC 是一般锐角三角形【答案】B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B Ð的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B Ð是ABC 的内角，且tan 1A =，cos 2B =，45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴ 是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．③根据特殊角三角函数值求角的度数例5.3在ABC 1cos 02+-=C ，且B Ð，C ∠都是锐角，则A ∠的度数是（）A .15︒B .60︒C .75︒D .30°1cos 02+-=C ，∴sin 02-=B ；1cos 02-=C ．即sin 2B =；1cos 2C =．∴45B ∠=︒，60C ∠=°．∴180180456075∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒A B C ．故选：C ．变式5.313.已知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，22tan tan 21tan ααα=-α和β都表示角度），比如求tan105︒，可利用公式得()tan105tan 60452︒=︒+︒==-，又如求tan120︒，可利用公式得()()22tan120tan 2601︒=⨯︒==-，请你结合材料，若()tan 1203λ︒+=-（λ为锐角），则λ的度数是__________．【答案】30°【解析】【分析】设tan λx =，先根据公式可得到一个关于x 的分式方程，解方程可求出x 的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设tan λx=由题意得：()tan120tan tan 1201tan120tan λλλ︒+︒+=-︒⋅()tan120tan ,tan 1203λx λ︒==︒+=-3=-解得3x =经检验，3x =是分式方程的根即tan 3λ=λQ 为锐角30λ∴=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．④三角函数值的大小例5.4如图所示的网格是正方形网格，则AOB ∠________COD ∠．（填“>”，“=”或“<”）【详解】解：根据题意可知tan 2AOB ∠=，tan 2∠=COD ，∴AOB COD ∠=∠，故答案为=．变式5.4.114.如果α是锐角，则下列成立的是（）A.sin αcos α1+= B.sin αcos α1+> C.sin αcos α1+< D.sin αcos α1+≤【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a 、b 是直角边，c 是斜边，∴sin α+cos α=a c +bc =a b c +，∵a+b>c ，∴a b c+>1，∴sin αcos α1+>.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.变式5.4.215.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转()90αα︒<得到A BC ''△．请比较大小：sin ABA '∠______tan CBC '∠．【答案】＜【解析】【分析】由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠再利用锐角三角函数的定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='由A B '＜,AB 从而可得答案．【详解】解：由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠由三角函数定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='A B ' ＜,AB AA AB '∴＜,AA A B''sin ABA '∴∠＜tan .CBC '∠故答案为：＜．【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．题型五：解直角三角形①解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中除直角外一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.理论依据：①三边关系：勾股定理222+=a b c ②两锐角互余：90A B ∠+∠=︒③边角之间的关系：tan a A b =，sin a A c=，cos a A c =3.常见类型：①已知两条边，先利用边角关系求出两个角，再利用勾股定理求出另一条边②已知一边一角，先求出另一角，再利用边角关系求出其余的边长例5.1已知2sin 3α=，其中α为锐角，求cos α、tan α、cot α的値．【详解】∵2sin 3α=∴设α的对边2k =，直角三角形的斜边3=k ，由勾股定理求出α的邻边=，∴cos α33k ==，tan 5α===，cot 22k α==．变式5.116.（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cosA 12=．求∠C 的度数．（2）在直角三角形ABC 中，已知sinA 45=，求tanA 的值．【答案】（1）75°；（2）43．【解析】【分析】（1）由条件根据∠A 的余弦值求得∠A 的值，再根据三角形的内角和定理求∠C 即可；（2）根据角A 的正弦设BC=4x ，AB=5x ，得AC 的长，根据三角函数的定义可得结论．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，cosA 12=，∴∠A ＝60°∵∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠A ＝75°；（2）∵sinA 45BC AB ==，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x ，∴AC ＝3x ，∴tanA 4433BC x AC x ===．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的知识以及三角形的内角和定理，属基础题．②构造直角三角形例5.2在ABC 中，8AB =，6BC =，B Ð为锐角且1cos 2B =．（1）求ABC 的面积；（2）求tan C ．【详解】（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．∵1cos 2B =，∴60B ∠=︒，∴1cos 842=⋅=⨯=BH AB B ，sin 82=⋅=⨯=AH AB B ，∴11622=⋅⋅=⨯⨯= ABC S BC AH （2）在Rt ACH 中，∵90AHC ∠=︒，AH =742=-=-=CH BC BH ，∴tan 2===AH C CH．变式5.217.如图，在△ABC ，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1)BD ＝3，AD ＝(2)tan C ＝2.【解析】【详解】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴ꞏcos30AD AB =︒=．（2）CD AC AD =-==在Rt △BDC 中，tan2BD C CD ∠===．视频题型六：解直角三角形的实际应用①方位角问题从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角，称为该直线的方位角，方位角的取值范围是0360︒-︒．例6.1如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP =千米，则点AB 两点的距离为（）千米．A .4B .C .2D .6【详解】解：由题意可知，30︒∠= PAC ，60PBC ∠=︒，∵AP =，∴1sin 302PC AP =︒=⨯=cos 609AC AP =︒==，∴3tan 60PC BC ===︒，∴936AB AC BC =-=-=，故选：D ．变式6.118.如图，在一条笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向．有一艘小船从A 处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P 处，从B 处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB 的距离；（2）小船沿射线AP 的方向继续航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）(5AB =+海里；（2）52+海里．【解析】【分析】（1）过点P 作PD AB ⊥于点D ,利用余弦定义解出AP 、AD 的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD 的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点B 作BF AC ⊥于点F ，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF 的长，在Rt BCF 中，由勾股定理解得BC 的长即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ，在Rt PAD V 中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∵cos AD PAD AP∠=，200.510AP ⨯==∴cos 102PA A D D AP =⋅=⨯=∠152PD AP ==在Rt PBD 中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒，∴5BD PD ==．∴(5AB =+海里（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ，在Rt ABF 中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒，∴(11522BF AB ==+在ABC 中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF 中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴52C B ==海里．∴点C 与点B 之间的距离为52海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．②仰角俯角问题仰角：视线在水平线上方的角．俯角：视线在水平线下方的角．例6.2如图，护林员在离树8m 的A 处测得树顶B 的仰角为45︒，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m ，则树的高度BD 为（）A .8mB .9.6mC . 1.6)mD . 1.6)m +【详解】解：过点C 作CE BD ⊥于E ，∵45BCE ∠=︒，∴CEB △是等腰直角三角形，∴8==CE BE ，四边形ACED 是矩形，∴ 1.6==AC DE ，∴8 1.69.6=+=BD 米，故选B ．变式6.219.如图，某飞机在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，飞行高度AC a =，则飞机到目标B 的距离AB 为（）A.sin a α⋅B.sin a αC.cos a α⋅ D.cos a α【答案】B 【解析】【分析】由题意得∠ABC=α，然后根据解直角三角形，即可求出AB 的长度．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC=α，AC a =，∵sin ACABα=，∴sin a AB α=．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．③坡度与坡比问题坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，也称之为坡比，用字母i 表示坡比．即=hi l．坡度一般写成:a b 的形式，如1:5i =等．把坡面与水平面的夹角记作α，α叫做坡角，有tan ==hi lα．例6.3我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1:1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由． 1.414=，1.732=）【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为，∴3tan α==，∴30α=︒．作CD AB ⊥于点D ，则6CD =米，∵新坡面的坡度为，∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得，AD =BC 的坡度为1:1，6CD =米，∴6BD =米，∴6)=-=-AB AD BD 米，又∵8PB =米，∴86)14146 1.732 3.6=-=--=-≈-⨯≈PA PB AB 米3>米，∴该文化墙PM 不需要拆除．变式6.320.如图，在市区A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h 为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l 为____米（结果精确到0.1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．【答案】19.2【解析】【分析】根据题意利用正切列式进行求解即可．【详解】解：由题意可得：tan14°=4.80.24h l l=≈，解得：l ＝19.2，故答案为：19.2．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数进行求解问题是解题的关键．④利用三角函数测量高度例6.4如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF ，卓玛同学为了探究信号塔EF 的高度，从建筑物一层A 点沿直线AD 出发，到达C 点时刚好能看到信号塔的最高点F ，测得仰角60ACF ∠=︒，AC 长7米．接着卓玛再从C 点出发，继续沿AD 方向走了8米后到达B 点，此时刚好能看到信号塔的最低点E ，测得仰角30B ∠=︒．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF 的高度（结果保留根号）．【详解】解：在Rt △ACF 中，∵60ACF ∠=︒，7AC =米，∴tan 60=⋅︒=AF AC ∵8BC =米，∴15AB =米，在Rt ABE △中，∵30B ∠=︒，∴tan30153=⋅︒=⨯=AE AB 米，∴=-=-=EF AF AE ，答：信号塔EF 的高度为变式6.421.如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°,求楼CD 的高．【答案】楼CD 的高是（【解析】【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【详解】延长过点A 的水平线交CD 于点E则有AE ⊥CD ，四边形ABDE 是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC 是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt △AED 中，tan ∠EAD=EDAE∴∴答：楼CD 的高是（）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．实战练22.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是()A.sin B ＝23B.cos B ＝23C.tan B ＝23D.tan B ＝32【答案】C 【解析】【详解】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=13AC AB ==，cosB=13BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.23.如果把∠C 为直角的Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的一半C.都没有变化D.有些有变化【答案】C 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．【详解】 在Rt ABC 中，90C ∠=︒，sin ,cos ,tan a b aA A A c c b ∴===，222sin ,cos ,tan 222a a b b a aA A A c c c c b b∴======，则当Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A 的各三角比的值都没有变化，故选：C ．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．24.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D 【解析】【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ==，∴12sin 13AC B AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．25.若锐角A 、B 满足条件4590A B <<< 时，下列式子中正确的是（）A.sin sin A B > B.cot cot B A> C.tan tan A B> D.cos cos A B>【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】∵4590A B <<< ，∴sin sin A B ＜，cot cot B A ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B >.故只有D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.26.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，对角线AC ABCD 的周长为（）A. B.20C. D.16【答案】D 【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O ，由菱形的性质得出AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，求出∠BAO =30°，由直角三角形的性质得OB =3OA =2，AB =2OB =4，即可得出答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，∴∠BAO =30°，∴OB =OA tan 30⋅︒=3⨯，AB =2OB =4，∴菱形ABCD 的周长=4AB =16；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27.如图，在△ABC 中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AHC CH ，且=1AH 可知，12CH =，∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2===AC ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．28.如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接格点CD ，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，连接格点CD ，∵AD 2=22+22=8，CD 2=12+12=2，AC 2=12+32=10，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，由勾股定理得，AC ，CD ，∴sin ∠BAC =CDAC 5 ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．29.如图，△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC 与△DEF 的周长比为（）A. B.1：2 C.1：3 D.1：4【答案】A 【解析】【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△BAC ∽△EDF ，即可解决问题．【详解】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝，EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∴BC AB AC EF DE DF ===，∴△BAC ∽△EDF ，∴C △ABC ：C △DEF ＝1，故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．30.如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =．若BAC α∠=，AB m =，则底边BC =()A.sin m α⋅B.2sin m α⋅C.2sin2m α⋅ D.sin2m α⋅【答案】C 【解析】【分析】首先如图过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，然后在Rt △ABD 中，根据sin ∠=BDBAD AB求出BD ，最后利用BC=2BD 求出答案即可.【详解】如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，则△ABD 是直角三角形，∵△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BC ，∴∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，在Rt △ABD 中，sin sin2BD BDBAD AB mα===∠，∴sin2BD m α=⋅，∴22sin 2BC BD m α==⋅⋅，故选：C .【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.31.如图，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60m 到达C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A.82mB.160mC.52mD.30m【答案】A【解析】【分析】【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB，Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB÷tan AB，∴DC=BD-BC=）AB=60米，≈82米，即楼的高度约为82.0米，∴AB故选A.32.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A.6mB.mC.9mD.【答案】A【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1，∴BC AC =3AC =解得，AC ＝，由勾股定理得，AB ==6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．33.在△ABC 中，∠C 90°，sinA 1213，BC 12，那么AC ______．【答案】5【解析】【分析】先根据正切的定义得到sinA=BC AB =1213，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC 的长．【详解】在△ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =1213，BC=12，∴AB=13，∴．故答案为5．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.34.cos45°-12tan60°=________；【答案】12-【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式11222=-=-．故答案是：12-．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．35.在ABC 中，2cos (1cot )0A B +-=，则ABC ∆的形状是__________．【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据非负数的性质得到cos =02-A ，1cot =0-B ，从而求出∠A 与∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状．【详解】∵2cos (1cot )0A B -+-=∴cos =02-A ，1cot =0-B即cos =2A ，cot =1B ∴=30A ∠︒，=45∠︒B ∴=1803045=105∠︒-︒-︒︒C ∴ABC ∆是钝角三角形故答案为：钝角三角形【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．36.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝20，c ＝，则∠B 的度数为_______.【答案】45°【解析】。

《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。

以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。

需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。

二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。

30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。

45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。

60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。

三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。

比如，测量物体的高度。

如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。

假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。

再比如，测量河流的宽度。

我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。

四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。

2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。

锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。

考点29锐角三角函数考点总结1．锐角三角函数的意义：如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cos α＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tan α＝∠α的对边∠α的邻边2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ．3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．(4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值：5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：(1)三边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝c 2． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a．6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角．(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图32­4．真题演练一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（36-cm 2B ．（36-cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒，30EAB PAB ∠=∠=︒，分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，∵长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ， ∵60PAC α∠=∠=︒， ∵30EAB PAB ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，6cm sin BE AB EAB ==∠，sin CFAC α==，∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形，故选：A ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∵BD DC =， ∵DCco ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∵24cos BC DC α==， 故选：A ．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+ B ．2sin 1α+ C ．211cos α+ D ．2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+C D ．2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动， 延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∵C 、C 1关于PB 对称， ∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动， 当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合， 当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意； ∵2sin CD m α=，cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。

初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角，且α＞β，则sin60°=cos30°α＞sin β cos α＜cos βtan30°=cot60°α＞tan β cot α＜cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90° 外角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90°二、应用、例题讲解（一）直角三角形中，已知两边求锐角三角函数 1、在中，∠C 为直角，已知a=3，b=4，则cos B= （ ） (A 级)对象：cos B 角度：cos B=a c分析：a=3，b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35（二）直角三角形中，已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角，且sinA=135，则tanA 的值为 （ ） （A 级） A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象：tanA 角度 ： tanA=sin AcosA分析：sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1－ sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角，且满足 sin x=3cos x ，则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象：sin x ·cos x 角度：sin 2x+ cos 2x= 1分 析：sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2＋cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角)，那么y 等于 (B 级) 对象： y 角度：tanA · cotA=1分析：x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] （x-1）(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角，且 sinA=54，那么 （ ） (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象：A 角度：sinA=54 分析：22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ～ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角，且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ，那么tanA 的值等于 (B 级)对象：tanA 角度：tanA=sin AcosA分析：2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中，c 为斜边，a 、b 为直角边，则a 3 cosA+b 3cosB 等于 （B 级）对象：a 3 cosA+b 3cosB 角度 ：cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 ：a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算： （A 级）对象： 角度 ：特殊角的三角函数值分析：=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= （B 级）对象：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度：sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析：sin48°=cos(90°－48°)=cos42° tan 44°=cot(90°－44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°－cot46°·tan46°·tan45°=1－1·1=010、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11。

1九年级下册锐角三角函数专题讲义一．知识框架二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中:(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边2.特殊角的三角函数:A sinA cosA tanA 30°12 32 33 45°22 22 160° 321232基础训练：例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ． 不能确定例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 43练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，则边AC 的长是（ ）AB ．3C ．43D练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值25247C BA练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA=练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA＝4，c ＝2，则a ＝练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．13练习7.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sin α= ，cos α= ，tan α=练习8.在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（ ）Ａ．5Ｂ．5 Ｃ．30Ｄ．6例3.计算：sin30°·sin60°+sin45°练习9.计算tan 602sin 452cos30+-o o o 的结果是（ ）A ．2B ．2C ．1D ．2313-练习10.计算：()0132sin 452007tan 30--⋅+-oo能力拓展例1.如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）A ．（81035+）m B ．21.6m C ． 103m D ．10385⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m例2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（ ） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan ααy x P(2,3)O AE DCBAαPDA4例3.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=19，试求cosA 与tanA的值例4.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（ ）A ． 23B ．55C ． 105D ．13中考链接：（2008昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，AC = 6cm ，AB = 8cm ，把AB 边翻折，使AB边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为（ ）A ．13B ．310C ．37373D ．1010（2011昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD =（ ）A 、错误!未找到引用源。

一、锐角三角函数【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A =∠=斜边的邻边cos锐角A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。

的邻边的对边A A A ∠∠=tan =ab2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A ，0tan >A 。

二、特殊角的三角函数值：三、增减性：当0900<<α时，sin α、tan α随角度α的增大而增大；cos α、cot α随角度α的增大而减小。

【例题巧解点拨】例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5（1）求AB 的长。

（2）求sinA ，cosA 的值。

（3）求的值。

（4）比较sinA 与cosB 的大小。

（5）比较tanA 与AAcos sin 的大小。

例2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0） 和点B （0，－4）， 则cos ∠OAB 等于（ ）A.43B.－43C. 53D. 54例3. 已知a 为锐角，且aa aa a cos 2sin cos sin ,3tan +-=求的值.例4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD ； (2)若sinC=54，BC=12.求AD 的长.例5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED ⊥AB 于D 点，若tan ∠BED=34，cosA=1312，CE=1333，求DE 的长。

例6、如图，M 是正方形ABCD的边AD 的中点，BE=3AE 。

求sin ∠ECM 的值。

CDE【夯实基础】1.化简：+；2、△ABC 中，若cosB=23，tan A=，且 ∠A 、∠B 为锐角，则△ABC 是 三角形； 3、若αα，则锐角）110tan(3=︒+的度数为 ； 4、已知β是锐角，且cos β=23，则tan(90°-β)= ； 5.在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 。

完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。

在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。

具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。

其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。

这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。

在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。

在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。

例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。

证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。

解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。

又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。

又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。

因此，△ABE和△DFA是全等三角形。

接下来，求sin∠EDF的值。

由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。

由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。

因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。

根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。

2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B 3 C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A 2．2 C ．1 D ．2D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.11.414≈1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．3mC ．150mD ．3m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:1035m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°OMNP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABCF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。

三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值Ca b c利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴ 222213512AC AB BC =-=-=．∴ 5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°； (3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】Ca bc解：（1）原式==122-．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

锐角三角函数专题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切、的增减性：A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

9、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

10、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

:i h l =hlα典型例题1、已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．342、104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．3、 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B．C米 D米 4、一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ）A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°5、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A．4 m C．．8 m6、 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A． 米 B ． 10米C ．15米 D． 7、如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ）A ．3B ．5C ．25D ．2258、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明D家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.1.4141.732）9、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.10、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）11、求值101|2|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°A BC名校真题1.(巴蜀半期) 如图，A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可以在B 处乘坐缆车沿BD 方向先到达小观景平台DE 观景，然后再由E 处继续乘坐缆车沿EA 方向到达A 处，返程时从A 处乘坐升降电梯直接到C 处．已知AC BC ⊥于C ，//DE BC ，斜坡BD 的坡度4:3i =，210BC =米，48DE =米，100BD =米，64α=︒，则AC 的高度为（ ）米（结果精确到0.1米，参考数据：sin640.9︒≈，tan642.1︒≈）A ．214.2B ．235.2C ．294.2D ．315.2 2.（南开月考三）如图，市规划局准备修建一座高6AB m =的过街天桥，已知天桥的坡面AC 的坡度3:4i =，则坡面AC 的长度为（ ）A 、10mB 、8mC 、6mD、3.（南开月考二）如图，在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且 2.82AB =米，BCD ∆表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18，最大夹角β为66，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD 的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin180.31≈，tan180.32≈，sin 660.91≈，tan66 2.2≈）（ ） A 、1.2米 B 、1.5米 C 、1.9米 D 、2.5米4.（南开月考一）如图，小明在大楼30米高（即30PH =米）的窗口P 处进行观测，测得山坡顶A 处的俯角为15，山脚处B 的俯角为60，已知该山坡的坡度i =P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上，点HBC 在同一条直线上，且PH HC ⊥，则A 到BC 的距离为（ ）A．米 B ．15米C．米D ．30米5.（八中月考三）11、如图，某风景区在坡度2题图1题图为7：24的斜坡AB上有一座标志性建筑物BC，在点A处测得建筑物顶部C的仰角为31，斜坡AB=100米，则这座建筑物BC的高度约为（）。

锐角三角函数一、基本题 ：【1】设△ABC 中，∠C = 90︒，AC = 5，BC = 12，则 (1) sin B = 。

(2) cos B = 。

【解答】(1)135 (2)1312【2】设θ为锐角且sec θ＝513，则sin θ＝ ，而tan θ＋cot θ＝ 。

[解答]：601691312， 【详解】：如上图：作一△ABC 使得∠C ＝90。

AC ＝5，AB ＝13，而∠BAC ＝θ由勾股定理可得BC ＝12，故由锐角三角函数定义知sin θ＝1312，tan θ＝512及cot θ＝125故可得tan θ＋cot θ＝60169125512＝＋【3】在直角△ABC 中，∠C = 90︒，∠A = 60︒，AC = 20，求长BC = 。

【解答】203【详解】如下图，tan60︒ =ACBC ，则13=20BC⇒ BC = 203【4】4cos 230︒ + 2sin 245︒ + cot 245︒ + tan 260︒ + csc 230︒ + sec 245︒ = 。

【解答】14 【详解】原式 = 4(23)2 + 2(22)2 + 12 + (3)2 + 22 + (2)2 = 3 + 1 + 1 + 3 + 4 + 2 = 14 【5】。

－＋－30tan 45cos 60cos 30sin 45tan 60tan 45sin 30cos 60sin 22222之值为 。

[解答]：12。

－＋－30tan 45cos 60cos 30sin 45tan 60tan 45sin 30cos 60sin 22222＝2222)33( )22(21 211)3( )22(23 232．－．＋．－．． ＝61411－＝12二、进阶题 ：【1】设四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，CD ＝1，且∠ABD ＝∠BCD ＝90。

，则sin A ＝ ，cos A ＝ 。

[解答]：sin A ＝145；cos A ＝143【详解】：如图：四边形ABCD 中， AB ＝3， BC ＝2， CD ＝1 且∠ABD ＝∠BCD ＝90。