暑期七升八衔接班讲 义第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形;组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点; ☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示,顶点是A,B,C 的三角形,记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC;三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系探究任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择 各条路线的长一样吗 为什么☑ 三角形的两边之和大于第三边,可用字母表示为a+b ＞c,b+c ＞a,a+c ＞b拓展：a+b ＞c,根据不等式的性质得c-b ＜a,即两边之差小于第三边; 即a-b ＜c ＜a+b 三角形的任意一边小于另二边和,大于另二边差 练习1一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm,则此三角形的第三边的长可能是 A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm练习2有下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么13,5,8； 25,6,10； 35,6,7. 45,6,12辨析有三条线段a 、b 、c,a+b ＞c,扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗 为什么小结三角形的两边之和是指任意两边之和例1用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形;1如果腰长是底边的2倍,那么各边的长ab c (1)CB A是多少 2能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗 为什么知识点3 三角形的三条重要线段☑ 三角形的高1定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高简称三角形的高 2高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC,垂足为D点D 在BC 上,且∠BDA=∠CDA=90度 练习画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② ③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ 辨析 高与垂线有区别吗 _____________________________________________探究 画出图1中三角形ABC 三条边上的高,看看有什么发现 如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗 试着画一画结论________________________________________ ☑ 三角形的中线1定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 练习画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____A B C A B C B AA B C A B C B ABC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________ 探究1观察△ABC 的三条边上的中线,看看有什么发现 如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗结论_________________________________探究2如图,AD 为三角形ABC 的中线,△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系 结论__________________________________________ 例2如图,已知△ABC 的周长为16厘米,AD 是BC 边上的中线,AD=45AB,AD=4厘米,△ABD 的周长是12厘米,求△ABC 各边的长;三角形的角平分线1定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线;辨析 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗画出△ABC 各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.探究观察画出的三条角平线,你有什么发现 ______________________________________自我检测如图,AD 、AE 、CF 分别是△ABC 的中线、角平分线和高,则： 1BD=______=12________； 2BC=2_______=2_______；3∠BAE=_______=12_______；4∠BAC=2_______=2_______；5_______=________=90知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定,三角形的形状就唯一确定,这个性质叫做三角形的稳定性;四边形则不具有稳定性;钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,伸缩门则是利用四边形的不稳定性; 你还能举出一些例子吗试一试DCBAA B C BACF EDC B A1、如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为_______2、如图,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍,则BE的长为3、若点P是△ABC内一点,试说明AB+AC＞PB+PC课后作业1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形,其中符合三角形概念的是C．D．A．B．2、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5,其中可构成三角形的有A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm4、为估计池塘两岸A、B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是A．5 m B．15m C．20 m D．28m5、一个三角形的周长是偶数,其中的两条边分别为5和9,则满足上述条件的三角形个数为A．2个B．4个C．6个D．8个6、三角形的角平分线、中线和高都是A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对7、如图,如果把△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,那么折痕线段AD是△ABC 的A ．中线B ．角平分线C ．高D ．既是中线,又是角平分线8、如图,AC ⊥BC,CD ⊥AB,DE ⊥BC,下列说法中,错误的是A ．△ABC 中,AC 是BC 边上的高B ．△BCD 中,DE 是BC 边上的高 C ．△ABE 中,DE 是BE 边上的高D ．△ACD 中,AD 是CD 边上的高9、若a 、b 、c 表示△ABC 的三边长,则|a -b -c |+|b -c -c |+|c -a -b |=________.10、三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ,第三边与前两边中的一边相等,则三角形的周长为________. 11、如图所示,在△ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,AF 是高,填空： 1BD ＝________＝________; 2∠BAE ＝________＝________； 3∠AFB ＝________＝90°；4∠B 的余角是________,∠C 与________互余；5S △ABC ＝________,S △ABD ________S △ADC ＝________．12、如图,AD 是△ABC 的中线,DE=2AE,若△ABC 的面积是18cm 2,则△ABE 的面积=__________13、如图,3AODS=,4AOBS=,6CODS=,求BOCS14、已知在△ABC 中,三边长a,b,c 都是整数,且满足a ＞b ＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个15、如图,在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5,你能求出AC 与AB 的边长的差吗16、如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC＞12AB+BC+AC．17 、在△ABC中,AD是BC边上的中线,若△ABD和△ADC的周长之差为4AB＞AC,AB与AC的和为14,求AB和AC的长．第二讲与三角形有关的角知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800;导入我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800;想一想,还可以怎样拼①剪下∠A,按图2拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800;图2②把B ∠和C ∠剪下按图3拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800;如果把上面移动的角在图上进行转移,由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗证明：已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=1800;例1如图,C 岛在A 岛的北偏东30°方向,B 岛在A 岛的北偏东100°方向,C 岛在B 岛的北偏西55°方向,从C岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度知识点2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角;自我探究 画出图中三角形ABC 的外角1、判断图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2、如图,1∠1、∠2都是△ABC 的外角吗 ________________2△ABC 共有多少个外角 ___________________ 请在图中标出△ABC 的其它外角.3、探究题：如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗∵CE ∥AB, ∴∠A=_____,_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________(1)1BACD(3)1ABCD(4)A B C D 1(5)E AB CD 1(6)E AB CD 12ABC1(2)1AB CD结论1______________________________________________结论2_____________________________________外角两性质小结三角形每个顶点处有两个外角,便在计算三角形外角和时,每个顶点处只算一个外角,外角和就是三个外角的和;外角的作用：1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个2、可证一个角等于另两个角的和3、证明两个角不相等的关系;练习填空：求出下列各图中∠1的度数.1如图,∠1=______；2如图,∠1=______；3如图,∠1=______；4如图,∠1=______；5如图,∠1=______；6如图,∠1=______.2、判断正误：对的有______,错的有1三角形的一个外角等于两个内角的和.2三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角,等于它的另一个不相邻的内角. 3三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.探究2. 已知：如图,∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°,则1∠4=______°；2∠5=______°.3.已知：如图∠1=40°,∠2=∠3,则1∠4=______°；2∠2=______°.4.如图,AB∥CD,∠B=55°,∠C=40°,则1∠D=______°；2∠1=______°.5. 例2.如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少解：因为∠BAE=∠__+∠____,∠CBF=∠__+∠___,∠ACD=__________,所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=∠__+∠___+________+___________=2∠1+_________=2×180°=360°.从例2.我们可以得到一个数学结论: 三角形________________________________.试一试6已知：如图,∠B=30°,∠C=65°,∠BAD=50°,1BACD第4题(1)30︒30︒11BACD第4题(2)40︒35︒2AB C D1第4题(3)40︒3AB CD1第4题(4)120︒85︒4CDCA DAB CD求∠CAD 的度数.解：在△ABC 中,∠ADC=∠____+∠___=____°+___°=_______.在△ADC 中,∠CAD=180°-_____________=180°-_____________=_________.7.已知：如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=________°. 8.已知：如图,BD 是△ABC 的角平分线, ∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=________°. 9.如图,AD 、BE 分别是△ABC 的高和角平分线,∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=________°. 10.△ABC 中,∠B=∠A+100,∠C=∠B+200,求△ABC 各内角的度数实战演练1、如图所示,D,E 分别AC,AB 边上的点,DB,EC 相交于点F,则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________2、如图所示,已知∠1=∠2,∠BAC=70度,求∠DEF 的度数;3、已知△ABC 中,∠A, ∠B, ∠C 的外角度数之比为3：4：5,求∠A, ∠B, ∠C 的度数,并判断△ABC 的形状;4、1如图所示,已知△ABC 中,∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ．试说明∠BOC=90°+ 12∠A2如图所示,BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线．试说明∠D=90°－12∠A ； 3如图所示,已知BD 为△ABC 的角平分线,CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线,且与BD 交于点D,试说明∠A=2∠D ．DABCABDC1E ABDC课后作业1、2011,济宁若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4,那么这个三角形是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2、如果一个三角形的两个外角之和为270°,那么这个三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定3、如图,在直角△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,若∠B＝36°,则∠1＝_____,∠A＝________．4、如图所示,∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．5、如图所示,已知AC∥ED,∠C＝26°,∠CBE＝37°,则∠BED的度数是_________第3题第4题第5题6、将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为________7、如图所示,AC⊥DE,垂足为O,∠B＝35°,∠E＝30°,则∠A＝________．8、把一把直尺与一个三角板如图放置,若∠1＝45°,则∠2的度数为第6题第7题第8题9、已知△ABC中,∠B、∠C的外角平分线交于点D,∠A＝40°,那么∠D＝________．10、在△ABC中,若∠A-2∠B=70°,2∠C-∠B=10°,则∠C=________.11、如图,是用四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,使AB固定,转动AD,当∠DAB=________时,ABCD的面积最大,最大值是________.12、2012•漳州将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是13、一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为第11题第12题第13题14、如图所示,AB∥CD,∠E=27°,∠C=52°,则∠EAB的度数为15、如图,△ABC中,∠A=50°,点D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2的大小为第14题第15题16、2006•临沂如图,已知AB∥CD,则A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3C．∠1=2∠2-∠3 D．∠1=180°-∠2-∠317、2005•吉林如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是A．10°B．20°C．30°D．40°18、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为第16题第17题第18题19、若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4,则与之对应的三个内角的度数的比为A．5：3：1 B．3：2：4 C．4：3：2 D．3：1：520、如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.1若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC=________；2若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC=________；3若∠A=76°,则∠BOC=________；4若∠A=m°,则∠BOC=________；5若∠BOC=120°,则∠A=________；6∠A与∠BOC之间具有的数量关系是________.21、1如图,∠MON=80°,点A、B分别在射线OM、ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化,∠APB的大小是否会变化若保持不变,请求出∠APB的度数．若发生变化,求出变化范围．2画两条相交的直线OX、OY,使∠XOY=60°,②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点,③作∠ABY的平分线BD,BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C,随着点A、B位置的变化,∠C的大小是否会变化若保持不变,请求出∠C的度数．若发生变化,求出变化范围．第三讲多边形及其内角和知识点1、多边形的有关概念定义：在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形;这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形;与三角形类似地,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E;多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角;连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线凸多边形和凹多边形如图,下面的两个多边形有什么不同在图1中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形；而图2就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形;注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形;知识点2、多边形的内角和探究观察下面的图形,填空：五边形六边形从五边形一个顶点出发可以引对角线,它们将五边形分成三角形,五边形的内角和等于；从六边形一个顶点出发可以引对角线,它们将六边形分成三角形,六边形的内角和等于；从n边形一个顶点出发,可以引对角线,它们将n边形分成三角形,n边形的内角和等于 ;小结从一个顶点引对角线时,这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线,那么还剩下n-3个顶点,就能引出n-3条对角线,从而得出结论：从n边形的一个顶点可引出n-3条对角线,每一个顶点可引出n-3条对角线,有n个顶点,共有nn-3条对角线,但每条对角线都算了两次,所以n边形共有对角线的条数为(3)2n n多边形内角和的证明方法1、如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形;∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝5—2×180°=540°;方法2、如图2,在边AB 上取一点O,连OE 、OD 、OC,则可以5－1个三角形; ∴五边形的内角和为5—1×180°一180°＝5—2×180°如果把五边形换成n 边形,用同样的方法可以得到n 边形内角和＝n 一2×180°．多边形的外角和n 边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180度,n 个外角连同它们各自相邻的内角共有2n 个角,这些角的总和等于180n ,所以外角和为180(2)180=360n n -- 自我检测1.一个多边形的内角和为720°,那么它是________边形.2.一个多边形每一个内角等于144°,则其边数是________.3.下列角度中,不能成为多边形内角和的是A. 600°B. 420°C. 900°D. 1800° 4如果五边形的三个内角是直角,另两个内角都为n °,则n 的值为A.105B.120C.125D.1355.一个四边形的内角中,钝角最多有 A.一个 B.两个 C.三个 D.四个6. 一个四边形四个内角∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比是2:3:4:3,求这个四边形的四个内角.分析与简解:我们从∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比是2:3:4:3,所以如果我们设∠A 的度数为2x 则∠B 、∠C 、∠D 的度数为___,____,_____.根据题意,列方程:___________________解得x=30.所以,∠A=2x °=2×____°=_____°.类似,∠B =_____、∠C =_______、∠D= _________ 7.四边形ABCD 中若∠A +∠B =180° 且: ∠B:∠C:∠D =1:2:3则∠A=___________ 8.一个五边形剪去一个角后,剩下的内角和是多少度:________________________________9.如果一个多边形除了一个内角外,其余各内角这和为1190°,则这个内角为_________度,是一个__________边形.10.一个多边形截去一个角不过顶点后,所形成的一个多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数是 A.13 B.15 C.17 D.198.填空：如果一个多边形的内角和与外角和相等,那么这个多边形是______边形. 9.填空：如果一个多边形的各外角都等于60°,那么这个多边形是______边形. 10.填空：如果一个多边形的各内角都等于120°,那么这个多边形是______边形. 11.一个多边形的内角和是外角和的2.5倍,它是几边形 解：设这个多边形为n 边形. - - - - 注意学习解题格式 根据题意,列方程得_______·180=_______×360. 解得 n=____.答：这个多边形是_____边形.12.求下列图中x值1X=2X=13.四边形的内角和是14.一个多边形的每一个外角为18°,则它是一个______边形.15.当多边形的边数增加1时,其内角和增加______度,外角和增加___度.16一个正多边形的每个外角都是72°,则这个多边形是__________边形.17.每个内角都为144°的多边形为______边形.18.若多边形的内角和等于外角的3倍,则这个多边形的边是______.19.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能A.都是钝角B.都是锐角C.是一个锐角,一个钝角.D. 是一个锐角,一个直角20.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是 A.2:1B.1:1C.5:2D.5:421一个多边形的内角中,锐角的个数最多有A.3个B.4个C.5个D.6个22若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为 A.90°B.105°C.130°D.120°课后作业1、过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形,这个多边形的边数为A．5 B．6 C．7 D．82、一个八边形的对角线的条数是A．5 B．20 C．22 D．183、一个多边形的内角和与外角和之和为2520°,这个多边形的边数为A．12 B．13 C．14 D．154、如果一个多边形的每一个外角都是锐角,那么这个多边形的边数一定不小于A．3 B．4 C．5 D．65、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．86、一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是A．10B．11 C．12D．以上都有可能7、如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α=A．30°B．40°C．80°D．不存在8、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为A．180°B．360°C．540°D．720°9、如图,∠1=65°,∠2=85°,∠3=60°,∠4=40°,则∠5=A．45°B．50°C．55°D．60°10、如图,用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=度．A．30 B．36 C．40 D．72第7题第8题第9题第10题11、如图,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6的度数之和是A．120°B．135°C．180°D．360°12、如图,若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n•90°,则n为A．4 B．5 C．6 D．713、一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°,连续四边的长依次为AB=1,BC=3,CD=3,DE=2,那么这个六边形ABCDEF的周长是A．12 B．13 C．14 D．1514、如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为R的圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为A．2πR2B．4πR2C．πR2D．不能确定第11题第12题第13题第14题15、外角都是72°的多边形的内角和是________．16、如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大100°,那么这个多边形是________．17、如图所示,根据图中的对话回答问题：1王强是在求几边形的内角和2少加的那个内角为多少度第四讲全等三角形观察与探案1、观察下列图形,都有什么共同特征 你还能举出其他例子吗☑ 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形; 2、右图中的二个图形是全等形吗思考二个图形满足什么条件时就能完全重合呢 结论： 3、判断下列说法是否正确：①五角星都是全等形； ⑤周长相等的长方形是全等形； ②面积相等的三角形是全等形； ⑥周长相等的正方形是全等形；③全等的两个图形面积相等 ⑦全等的两个三角形的大小和形状完全相同； 4、拿出纸片,对折以后用剪刀剪出两个三角形,观察发现：这两个三角形_____、_____相同,能够 ,因此,我们把 的两个三角形叫做全等三角形; ☑ 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 “全等”用“≌”表示,读作“全等于” ,如图中的两个三角形全等,记作：△ABC ≌△DEF 5、按要求填空△ ABC 中,AB 边的对角是________,AC 边的对角是_______,∠B的对边是________；______是∠A 的对边；AB 与BC 的夹角是_________,AC 与BC 的夹角是___________,∠B 是_____和_____的夹角;问题：你手中的两个三角形是全等的,但是如果任意摆放能重合吗 该怎样做它们才能重合呢发现：两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合,只有当把 重合到一起或 重合到一起时它们才能完全重合;这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边;13AB CA BCDEO☑ 表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,这样便于确定两个三角形的对应关系;思考两个三角形全等,它们的对应边有什么关系 对应角呢发现全等三角形的性质：全等三角形的对应边________,对应角_____________ ☑ 用几何语言表示全等三角形的性质 如图： ∵∆ABC ≌ ∆DEF∴AB ＝DE,AC ＝DF,BC ＝EF 全等三角形对应边相等 ∠A ＝∠D,∠B ＝∠E,∠C ＝∠F 全等三角形对应角相等思考图中的各对三角形是全等三角形,怎样改变其中一个三角形的位置,使它能与另一个三角形完全重合一个图形经过平移、翻折、旋转后,_________变化了,但_______和_______没变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等;思考通过刚才的操作,你能说说每对三角形的对应顶点,对应角,对应边吗试一试下列图形中,至少有两个三角形是全等的,请写出你找到的对应边、对应角;☑ 根据位置元素来推理a.有公共边的,公共边是对应边；b.有公共角的,公共角是对应角；c.有对顶角的,对顶角是对应角；d.两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边；e.两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角；练一练图形记作对应边对应角图形记作对应边对应角例1如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于以下结论,错误!AC=AF错误!∠FAB=∠EAB错误!EF=BC错误!∠EAB=∠FAC,其中正确的个数是A、 1B、2C、3D、4DE例2如图, △ABD ≌△EBC1、请找出对应边和对应角;2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.A B C例3如图RT△ABE≌RT△ECD,点B、E、C在同一直线上,则结论：错误!AE=ED错误!AE⊥DE错误! BC=AB+CD,错误!AB∥DC中成立的是A 错误!B 错误!错误!C 错误!错误!错误!D 错误!错误!错误!错误!课后作业一、选择、填空1、全等三角形是A．三个角对应相等的两个三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的两个三角形2、如图,若△ABC≌△EBD,且BD＝4 cm,∠D＝60°,则∠ACB＝________,BC＝______3、如图,△OAD≌△OBC,且∠O＝70°∠C＝25°则∠DAO＝________度4、如图,△ACB≌△A＇CB＇,∠BCB＇＝30°,∠ACA＇的度数为A．20°B．30°C．35°D．40°第2题第3题第4题5、在△ABC中,∠B＝∠C,若与△ABC全等的一个三角形中有一个角是92°,那么92°角在△ABC中的对应角是A．∠C B．∠B C．∠A D．∠B或∠C6、已知：等腰三角形ABC的周长为18 cm,BC＝8 cm,△ABC≌△A＇B＇C＇,则△A＇B＇C＇中一定有一条边等于A ． 7cmB ．2 cm 或7 cmC ．5 cmD ．2 cm 或5 cm7、2010,贵州铜仁如图,△ABC ≌△DEF ,BE ＝4,AE ＝1,则DE 的长是A ． 5B ． 4C ． 3D ． 28、如图是一个4×4的正方形网格,图中所标示的7个角的角度之和等于A ．585°B ．540°C ．270°D ．315°9、如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB,BC 上的点,若△ACE ≌△ADE ≌△BDE,则∠ABC=_______10、如图,N,C,A 三点在同一直线上,在△ABC 中,∠A ：∠ABC ：∠ACB=3：5：10,又△MNC ≌△ABC,则∠BCM ：∠BCN 等于________11、如图,点F 、A 、D 、C 在同一直线上,△ABC ≌△DEF,AD=3,CF=10,则AC 等于_________第8题 第9题 第10题 第11题二、解答题12、如图,△ACE ≌△DBF,AE ＝DF,CE ＝BF,AD ＝10,BC ＝2; 1求证：AB ＝CD 2求AC 的长度3若∠A ＝40°,∠E ＝80°,求∠DBF 的度数;13、如图,已知△ABC ≌△CDA,则下列结论：①AB ＝CD,BC ＝DA ②∠BAC ＝∠DCA,∠ACB ＝∠CAD ③AB ∥CD,BC ∥DA,其中正确的是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③14、如图所示,△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ,AC 边翻折180°形成的,若∠BAC ＝150°,则θ的度数是________．15、如图,△ABC 中,AC ＝BC,∠C ＝90°,点D 、E 分别在BC 、AB 上,△ACD ≌△AED,1求证：AB ＝BC ＋BE2若AB ＝6㎝,求△DEB 的周长;第五讲 全等三角形的判定一ABCDE FABDCCEDABCA B知识点1、边角边定理☑思考与探究1、问题：一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,•你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃1 22、是否一定需要六个条件呢条件能否尽可能少呢A．只给一个条件一组对应边相等或一组对应角相等,•画出的两个三角形一定全等吗B．给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°,一条边为3cm．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm、6cm．发现给出一个或二个条件时,两个三角形不能保证全等思考如果给出三个条件时,两个三角形会全等吗这些条件可以怎样分类条件分类：三条边相等, ,_______________,__________________☑操作 1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗尺规作图先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗即全等吗画一个△A′B′C′,使A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC：1．画线段取B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A′；3．连接线段A′B′、A′C′．上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律1判定方法：三边对应相等的两个三角形全等简写成“边边边”或“SSS”．2判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等．例1如图所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD例2如图,已知AC=AD,BC=BD, 求证AB是∠DAC的平分线.D例3已知AB=AD,DC=CB,则∠B与∠D是什么关系探究通过前面的操作,我们知道当满足三个角相等时,两个三角形不一定全等,当满足三条边相等时,两个三角形全等,如果满足二条边和一角对应相等时,两个三角形全等吗操作11、画∠AOB=30度;2、在射线OA上取OD=6厘米3、以点A为圆心,以4厘米为半径作弧交射线OB于E,连结DE和同伴画的三角形比较,两个三角形全等吗思考在以上的操作中,满足了哪些条件呢操作21、画∠AOB=30度;2、在射线OA上取OD=6厘米3、在身线OB上取OE=4厘米,连结DE和同伴画的三角形比较,两个三角形现在全等吗思考在以上的操作中,又满足了哪些条件呢通过以上操作,你认为二个三角形满足什么条件时,就全等呢知识点2、“边角边”定理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可以简写为“边角边”或“SAS”．尺规作图角平分线的画法例1如图所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,•使CE=CB,连接DE,那么量出DE 的长就是A、B的距离,为什么例21如图3,已知AD∥BC,AD＝CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD＝CB已知,二是。
