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函数的连续性
函数的连续性是指函数在定义域上的变化情况，其主要内容是有限性、连续性和可导性。
有限性的概念是指函数的解析可以是有限的，它可以用有限的表示法来描述。
例如，函数y = x^2 + 2x - 4的解析表示式就是一个有限的表达式。
有限性是理解函数特征的基础，而连续性是更进一步理解函数特征的手段。
连续性定义为：存在任意位置x0处，它的函数值y0（即
y=f(x0)=y0）与其附近的函数值的差别不会超过一定的正定值，当此附近的自变量值在x0处的改变量趋近于零时，此函数值
的改变量也趋近于零，我们就称该函数在x0处是连续的，写
成数学形式就是：lim (x→x0) f(x) = y0
可导性是连续性的强化，也就是说它综合考虑了函数的变化和变化量之间的关系，它是指函数在定义域上任意一点x处，只要自变量x存在可导的微分，就说明函数y有可导的前提。
可导性的表述方式就是不等式：|f(x1)-f(x2)| ≤ M|x1-x2|，即自变
量x1和x2之间的变化量应小于某个正常数M，函数值在x1
和x2之间的变化量应小于M |x1-x2|。
函数的连续性是数学分析中的基本概念，它与微积分的应用紧密相连。
它的概念很容易理解，但在实际应用中却要求解答者拥有较强的抽象意识和概括能力，因此学习和研究它的概念是非常重要的。
第八讲 函数的连续性一、 函数的连续性客观世界许多现象都是连续变化的;比如时间的变化是连续的;所谓连续就是不间断;1、 函数连续的定义1引例：观察函数图像 y =x 2,y =1x ,y ={2x ,x ≤0x +1,x >0,y ={1,x ≠00,x =02 定义：设函数yfx 在点x 0 的某一个邻域内有定义若)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数yfx 在点x 0 处连续否则称函数fx 在点x 0不连续,点x 0为函数fx 的不连续点或间断点注 ① 0lim 0=∆→∆y x )()(lim 00x f x f x x =→ ②函数在点x 0连续的几何意义：函数的图形在x 0不断开；连续的实质是当自变量变化不大时,函数值变化也不大;2、左右连续性如果)()(lim 00x f x f x x =-→ 则称yfx 在点0x 处左连续 如果)()(lim 00x f x f x x =+→ 则称yfx 在点0x 处右连续 左右连续与连续的关系3、 函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果fx 是多项式函数 则函数fx 在区间 内是连续的2 函数y sin x 在区间 内是连续的二、函数的间断点的分类通常把间断点分成两类如果x 0是函数fx 的间断点左极限fx 00及右极限fx 00都存在 那么x 0称为函数fx 的第一类间断点其中左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点例1 正切函数y tan x 在2 π=x 处没有定义 点2π=x 是函数tan x 的无穷间断点 例2 函数x y 1sin =在点x 0没有定义 所以点x 0是函数x1sin 的振荡间断点 例3 函数112--=x x y 在x 1没有定义点x 1是函数的可去间断点 例4 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f函数fx 的图形在x 0处产生跳跃现象 我们称x 0为函数fx 的跳跃间断点三、初等函数的连续性定理1 设函数fx 和gx 在点x 0连续 则函数 fxgx fxgx)()(x g x f 当0)(0≠x g 时在点x 0也连续 例1 sin x 和cos x 都在区间 内连续故tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的 定理2 设函数yfgx 由函数yfu 与函数ugx 复合而成 若函数ugx 在点x 0连续 函数yfu在点u 0gx 0连续 则复合函数yfx 在点x 0也连续例4 讨论函数xy 1sin =的连续性 解 函数x y 1sin =是由y sin u 及x u 1=复合而成的 sin u 当<u <时是连续的 x1当<x <0和0<x <时是连续的 函数x1sin 在无限区间 0和0 内是连续的 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的如果fx 是初等函数 且x 0是fx 的定义区间内的点则0lim x x →fxfx 0 例5 求201lim x x -→ 例6 求x x sin ln lim 2π→四、闭区间上连续函数的性质定理1最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值定理2有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界零点如果x0使fx00 则x0称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间a b上连续且fa与fb异号那么在开区间a b内至少有一点使f0例1 证明方程x 34x 210在区间0 1内至少有一个根定理4介值定理设函数fx在闭区间a b上连续且fafb那么对于fa与fb之间的任意一个数C在开区间a b内至少有一点使得fC推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
函数的连续性定义1 函数f 在点0x 的某邻域内有定义，若函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称f 在点0x 连续 f 在点0x 连续必须满足三个条件：（1）在点0x 的一个邻域内有定义（2）)(lim 0x f x x →存在 （3）上述极限值等于函数值)(0x f若上述条件有一个不满足，则点0x 就是函数f 的间断点。
等价定义1 函数f 在点0x 的某邻域内有定义，如果自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ，则称f 在点0x 是连续的在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间。
若连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是左连续，在左端点连续是右连续。
连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线结论 f 在点0x 是连续当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 三者相等，即)0()()0(000+==-x f x f x f注 多项式函数，有理分式函数，正弦余弦函数在各自定义域连续间断点的分类设0x 是)(x f 的一个间断点，如果：（1）)(x f 的左右极限都存在，称0x 为)(x f 第一类间断点，可分为可去型：)0()0(00+=-x f x f ，但)()(lim 00x f x f x x ≠→ 跳跃型：)0()0(00-≠+x f x f（2）左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在（无穷型间断点和振荡型间断点）例1 设⎩⎨⎧>+≤≤=1,110,)(2x x x x x f ，讨论)(x f 在1=x 处的连续性解 由于1)1(=f ，而-→1lim x )(x f =-→1lim x 2x =1，+→1lim x )(x f =+→1lim x (1+x )=2 因此1l i m →x )(x f 不存在，1=x 是第一类间断点，且为跳跃间断点。
第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。
首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。
如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。
它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。
可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。
这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。
下面我们就专门来讨论这种概念。
一、函数的连续性1. 预备知识改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。
改变量也叫增量。
注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到2u 。
②u ∆可正可负。
③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。
2. 函数()y f x =在0x x =定义1 当自变量x 在点0x 的改变量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0lim x y ∆→∆则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条 件是()()00lim x x f x f x →=。
证明 由定义1，()()()()()000000lim 0lim lim lim 0lim .x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔⎡⎣⇔-=⇔=由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。
3. 函数()y f x =在点0x 连续的要求⑴()f x 在点0x 有意义，即有确定的函数值()0f x ； ⑵()0lim x x f x →存在；⑶极限值=函数值，即()()00lim x x f x f x →=。
这三要素缺一不可。
4. 连续与极限的区别当()f x 在0x 处有极限时，()f x 在0x 处可无定义，也可有()()00lim x x f x f x →≠。
而当()f x 在0x 处连续时，()f x 在0x 一定有意义并且()()00lim x x f x f x →=必成立。
所以，函数()y f x =在点0x 处连续，则函数()y f x =在0x 点处必有极限，反之不成立。
5. 左右连续定义3 如果()()()000lim 0x x f x f x f x +→=+=，则称()f x 在0x 处右连续；如果()()()000lim 0x x f x f x f x -→=-=，则称()f x 在0x 处左连续。
所以()f x 在0x 处连续亦可用以下定义描述。
定义4 若()()()00000f x f x f x +=-=，即函数()y f x =在点0x 处左极限等于右极限等于函数值，则函数()y f x =在点0x 处连续。
6. ()f x 在某区间连续⑴()f x 在(),a b 内连续是指()0,x a b ∀∈，()f x 在0x 处连续。
⑵()f x 在[],a b 上连续是指()f x 在(),a b 内连续，在x a =点右连续，在x b =点左连续。
注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义4.若()f x 在(),a b 内连续，则称(),a b 为()f x 的连续区间。
7. 连续函数的几何意义连续函数()y f x =的图形是一条不断开的曲线。
例1 证明()31y f x x ==+在1x =处连续。
证明 注意()()()113113113y f x f x x ∆=+∆-=+∆+-⨯-=∆⎡⎤⎣⎦，所以lim lim 3x x y x ∆→∆→∆=∆从而y 在1x =处连续。
例2 讨论()1,01,01,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩在0x =处的 连续性。
解 因为()()()000lim lim 11x x f f x x ++→→+==-=， ()()()000lim lim 11x x f f x x --→→-==+=， ()01f =，所以()()()00000f f f +=-=。
由定义4，()f x 在0x =处连续，见图1-38.例3 证明多项式函数在(,)-∞+∞内连续。
证明 设()1011n n n n P x a x a x a x a --=++++。
由极限运算法则知0(,)x ∀∈-∞+∞，()()101110010100lim (lim )(lim )lim n n n nx x x x x x x x n n n n P x a x a x a x a a x a xa x a P x --→→→→--=++++=++++=由0x 的任意性知()P x 在(,)-∞+∞内连续。
例4 证明有理函数()()()P x F x Q x =（P 为m 次多项式，Q 为n 次多项式），在 ()0Q x ≠点处处连续。
证明 0(,)x ∀∈-∞+∞，且()00Q x ≠，有()()()()()()()()00000lim lim lim x x x x x x P x P x P x F x F x Q x Q x Q x →→→====，所以()F x 在其定义域内处处连续。
例5 求证sin y x =在(,)-∞+∞内连续。
证明 (,)x ∀∈-∞+∞，给x 一个增量()x x x x ∆=+∆-，则2sin()sin 2sin cos22x x xy x x x ∆+∆∆=+∆-=， 从而000lim lim 2sin cos lim 2cos 02222x x x x x x x y x x ∆→∆→∆→∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫∆=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin y x =在x 点连续。
由x 的任意性知sin x 在(,)-∞+∞内连续。
例6 证明cos y x =在(,)-∞+∞内连续。
证明 (,)x ∀∈-∞+∞，()x x x x ∆=+∆-，有cos()cos 2sin sin 22x x y x x x x ∆∆⎛⎫∆=+∆-=-+ ⎪⎝⎭， 所以000lim 2lim sin sin 2lim sin 02222x x x x x x x y x x ∆→∆→∆→∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫∆=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos x 在(,)-∞+∞内连续。
二、函数的间断点与函数的连续性相对的概念是函数的间断性。
1. 间断点的定义若()f x 在点0x 处不连续，则称0x 为()f x 的一个间断点。
函数间断的几何解释是()f x 的图形在0x x =处断开。
例7 讨论()2,00,02,0x x y f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪+>⎩的间断点。
解 注意 ()()()()()()()000,00lim lim 22,00lim lim 2xx x x f f f x x f f x x +-→→→→=+==+=-==- 可见()()()00000f f f +≠-≠，所以()f x 在0x =处不连续，即0x =为()y f x =的间断点。
这种()()0000f x f x +≠-的间断点，我们称其为 跳跃间断点，见图1-39. 2. 间断点的分类函数()f x 在0x ⑴()f x 在0x 点无意义，即()0f x 不存在； ⑵()f x 在0x 点极限不存在，即()0lim x x f x →不存在；⑶极限值≠函数值，即()()00lim x x f x f x →≠。
我们称左右极限都存在的间断点为第一类间断点；其余间断点统称为第二类间断点。
进而，设0x 为()f x 的第一类间断点，如果还有()()0000f x f x +=-，则称0x 为()f x 的可去间断点；如果有()()0000f x f x +≠-，则称0x 为()f x 的跳跃间断点。
下表给出了间断点的分类情况。
()()()()()()()()()00000000000lim 0000x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x →⎧⎧⎧⎪⎪⎪+=-⎨⎪≠⎪⎪⎩⎪+-⎪⎪⎨⎨⎪⎪+≠-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩无意义：可补充定义可去间断点第一类间断点：可修改定义和间断点均存在不可去间断点（跳跃间断点）第二类间断点：除去第一类均为第二类间断点3. 函数的连续区间讨论函数的连续区间，就是在其定义域内排除间断点，主要在分段点、端点来考虑是否为间断点。
例8 研究tan y x =在2x π=处的连续性。
解 因为tan y x =在2x π=处无意义，所以2x π=是间断点。
又因为2lim tan x x π→=∞，即极限不存在，所以2x π=属第二类间断点，通常称其为无穷间断点，见图1-40.例9 讨论1sin y x=在0x =点的连续性。
解 因为1sin y x =在0x =处无意义，且01limsin x x →不存在，所以0x =为y 的第二类间断点。
这时，1sin y x =在-1和1通常称其为振荡间断点，见图1-41. 例10讨论211x y x -=-在点1x =解 因为y 在1x =处无意义，故1x =为间断点。
但111(1)(1)lim lim lim(1)1x x x x x y x x →→→-+==+-(1)2y =函数21,112,1x x y x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩在定义域内处处连续。
例11 讨论,11,12x x y x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩在点1x =处的连续性，见图1-42.解 注意1(1)2y =而11lim lim 1(1)x x y x y →→==≠所以1x =为第一类可去间断点，修改定义(1)y 1=后，则函数,11,1x x z x ≠⎧=⎨=⎩处处连续，称函数z 为函数,11,12x x y x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩的连续延拓函数。
习题1.91.设函数()2,012,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，试讨论()f x 在1x =处的连续性。
2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点。
（1）()22132x f x x x -=-+； （2）()211f x x =-；（3）()1x f x e =； （4）()1cos f x x =3.设()()11xf x x =+，问怎样补充定义()0f ，才能使()f x 在0x =处连续。
