《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算

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《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算2

例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f (x) g(x)
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 可知连续 .
也在
上
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二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续
例6
求 lim
1 x2 1 .
x0
x
0.
例7. 设讨论复合函数
(x) xx, 4,
x 1 x 1
的连续性 .
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内容小结
基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续
初等函数在定义区间内连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.
2、lim x 1 1 ____________.
x0
x
3、lim ln(2cos 2x) ____________. x 6
4、lim x
2 2cos tan2 x
x
____________.
4
5、lim e t 1 ____________.
t t 2
6、设
e x , x 0 f (x)
定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
证: 设函数
且 (x0 ) u0 .
于0
f [(x0 )]
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
在 x R* 上连续 .

高等数学第一章、第十节连续函数的运算与性质

幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算：的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记：注记：（1）区间一定要是闭区间。）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。也无最大值和最小值。
第十节连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,

高数第一章函数的连续性与间断点

2
当 a＝ 1

2
时 f ( x）在x

2
处连续
11
二、连续函数及运算法则
定义4
y f x x [a, b] 若 f x 在a, b 内连续，
且 f a f (a), f b f (b) 存在，则称
f x 在[a, b] 上连续，称区间 [a, b] 为 f x 的连续区间。
高等数学
第九讲
主讲教师:
王升瑞
1
第八节函数的连续与间断
一、函数在一点的连续性二、连续函数及运算法则三、初等函数的连续性四、函数的间断点
第一章
五、闭区间上连续函数的性质
2
客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，
有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数也连续单
调递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
14
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如,
其反函数
在
在
上连续单调递增,
则在 x 1 处间断。
y
x 1 f x 作新函数 F x x 1 o 1 2 x x2 1 x 1 F x x 1 在 x 1处的连续性。 2 x 1 25
例9 讨论函数解
间断点的类型.
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2

《高等数学》第三节函数的连续性

如果 x0 是函数第一类间断点可去间断点
f ( x) 的间断点,可将其分成两类:
f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在;
其它
f ( x) 在点 x0 处的左右极限至少有
第二类间断点
一个不存在. 无穷间断点振荡间断点其它
例2 考察函数
2 x 0 x 1 f ( x) 1 x 1 在 x 1处的连续性. 1 x x 1
解该函数在点x 1 处没有定义,所以函数在x 1 处间断;又因为
1 x 1 x 1 lim
,极限
x 1
不存在，趋于无穷，所以是函数
f ( x)
1 x 1 的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
解该函数在
1 f (x) sin 在 x 0 处的连续性. x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 函数增量 y 也趋于零,即 x0 x0
,则称函数
y f ( x) 在点 x0
处连续，x0 称为函数 f ( x)
的连续点．
若记 x x0 x ,则 y f ( x) f ( x0 ) ,且当
x 0 处没有定义,
所以函数在 x 0 处间断,又因为当
x0
时,极限不存在,函数值在1与－1之间无
限次地振荡,所以 x 0 是
f ( x ) sin 1 x
的第二
类间断点,且为振荡间断点.
二、初等函数的连续性
g ( x) 均定理1（连续函数的四则运算）如果 f ( x)、
在点
f (b) ,
为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一实

高等数学：第一讲函数的连续性

y
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开，图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也

高等数学1.10连续函数的运算与初等函数的连续性教师教材.ppt

注：在定理6的条件下有
limf [j(x)]=f(u0)=f [j(x0)]．
x x0
青苗辅导
8
例 4 讨论函数 y=sin1 的连续性． x
解函数 y=sin1 可看作是由 y=sin u 及 u1= 复合而成的．
x
x
sin u 在(-, +)内连续，1 在(-, 0)和(0, +)内连续． x
由定理 6，函数 sin1 在无限区间(-，0)和(0，+)内是连续的． x
青苗辅导
9
三、初等函数的连续性
基本的连续函数：三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指数函数：a x (a>0，a 1)；对数函数：log ax (a>0，a 1)；证明指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且
例 2 由于 y=sin x 在闭区间[- ， ]上单调增加且连续，
22 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1,1]上也是单调增加且连续的．
青苗辅导
4
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区间(-，+)内单调减少且连续．
点 x0=0 是初等函数 f(x)= 1 - x2 的定义区间[-1，1]上的点，
所以lim 1 - x2 = 1 =1； x0
又如
点 x 0=
2
是初等函数 f(x)=ln sin x
的一个定义区间（0，）内

高等数学——连续函数的运算与性质

连续函数的运算与性质一、基本内容1. 连续函数的和、差、积、商的连续性：连续函数的和、差、积、商仍然连续。

2. 复合函数的连续性：设)(x u ϕ=在点0x 连续, 且00)(u x =ϕ, 而)(u f y =在点0u u =连续, 则)]([x f ϕ在点0x 也连续。

3. 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.4. 闭区间上连续函数的性质：1）最值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

2）有界性定理：在闭区间上连续的函数一定有界。

3）零点定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少存在一点ξ（b a <<ξ），使0)(=ξf 。

4）介值定理：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值A a f =)(及B b f =)(，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间),(b a 至少有一点ξ（b a <<ξ），使C f =)(ξ（b a <<ξ）5）推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

二、学习要求1. 了解初等函数的连续性。

2. 知道在闭区间上连续函数的性质。

三、基本题型及解题方法题型1 求初等函数在其定义区间内某点的极限解题方法：只需求初等函数在该点的函数值。

即)()(lim 0→0x f x f x x =, （∈0x 定义区间）【例1】求极限：52lim20+-→x x x ；解：因为 52)(2+-=x x x f 是初等函数，而0=x 是定义区间内的点，所以 52lim 20+-→x x x =5500=+-【例2】求下列极限：（1）xx x sin ln lim 0→；（2）x x e 1lim ∞→。

解：（1）x x x sin ln lim 0→=x x x sin lim ln 0→=1ln =0 （2）x x e 1lim ∞→=x x e 1lim ∞→=0e =1 题型2 利用闭区间上连续函数的性质证明一些相关问题，如讨论方程的实根，函数的有界性等解题方法：一般解题步骤1）作辅助函数2）寻找闭区间，使辅助函数在该区间端点处的值异号，利用零点定理。

高等数学第八节函数的连续性-55页文档

x0
x0
limf (x) limsinx0
x0
x0
lim f(x)lim f(x)
x 0
x 0
故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.
将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.
例5 讨论 f(x)x21在x1处的连. 续 x1
解函数在 x =1 无定义, x =1 为函数的间断点.
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
x x0
x x0
a

f
(x0
).
2.函数间断点的分类
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断点
第二类间断点
无穷振荡其它
(1) 第一类间断点
定义
若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且 x l ix0 m f(x)与 x l ix0 m f(x)存,在则称 x0 为函数 f (x) 的第一类间断点.
例1 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?
解 y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 lim x2 0 x0
且
yx0x2 x00
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.

高等数学第五节函数连续性

O
但是由于
2
x
lim f(x)1f(0)0,
x 0
因此 x = 0 是该函数的第一类间断点 . 这类间断点又称为可移去间断点.
因为，如果修改定义 f (0) = 1，则函数
s inx
f
(x)
x
,
x 0,
在 x = 0 连续.
1 , x 0
y
1
2 O
2
x
所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点.
例如，由l于 im cc(c为常 )， li数 m xx0,且
x x0
x x0
x0 （，）的任因意此，点函数f， (x) = c, g (x) = x 在 ( ， ) 内连续.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 .
证任取 x0 (- , + )，则因
y f (x0 + x) - f (x0) sin(x0 + x) - sinx0
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思： (1)它在该点的一个邻域内有定义; (2)极限存在; (3) 极限值等于该点处的函数值.
函数 y = f (x) 在x0处连续的几何意义是：函数 y f (x) 的图形在点( x0,f (x0) )处不断开；
函数y = f (x) 在 (a, b) 连续的几何意义是：函数 y f (x) 的图形在 ( a, b) 内连绵不断.
l i m f(x)g(x)l i m f(x)l i m g(x)
x x0
x x0
x x0
f(x0)g(x0)，
因此 f (x) · g (x) 在 x0 处连续 .
定理 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u

大学高等数学_03连续性间断点_连续函数运算_连续函数性质与习题课

第八节函数的连续性与间断点
一、函数连续性的定义二、函数的间断点
第一章
机动
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一、函数连续性的定义
定义: 设函数在的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o
1
x
y
1
o
f ( 0 ) 1 ,

f (0 ) 1

1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点连续的等价形式
在点
左连续间断的类型
右连续
第一类间断点第二类间断点
可去间断点左右极限都存在跳跃间断点无穷间断点左右极限至少有一个不存在振荡间断点
存在 ;
存在 ;
机动
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数在其定义域内连续.
Q ( x0 , ) 0), , 都有 lim x)( x 0 R ) 只要 x0 ( lim P ( x)R ( P ) ( x0 continue
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备用题确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x

第1章函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质

提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1

2e
2

.
高等数学第1章函数极限与连续函数极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学第1章函数极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o

x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.

高等数学：第二讲初等函数的连续性

x0
x
解
由于
ln(1
x)
ln(1
1
x)x
x
1
设 y ln u, u (1 x) x , x 0 时,
u e, 且 y ln u 在 u e 处连续.
1
原式 lim ln(1 x) x lim ln u lne 1.
x 0
u e
1
1
或: 原式 lim[ln(1 x) x ] ln[lim(1 x) x ] ln e 1.
x 0
x 0
3. 初等函数的连续性
定理 3（初等函数的连续性）
初等函数在其定义区间内是连续的．
注意：定义区间是指包含在定义域内的区间!
启发：根据定理3可知，如果x0是初等函数f (x)定义区间内的点，那么，求 x x0 时的极限，只要求f (x)在点x0的函数值就可以了.
即
lim
x x0
f
(x)=
f
( x0 )
例题1：
计算 lim arcsin(ln x)
x e
解：因为arcsin(lnx) 是初等函数，且x=e是它的定义区间内的一点，由定理2，有:
lim arcsin(ln x) arcsin(ln e)
xe
例题2：
计算 lim 1 x 1
x0
x
解： lim 1 x 1 lim
表明: 复合函数 y = f [(x)] 满足推论条件时:
（1）可作变量代换求复合函数的极限, 即
lim f [ ( x) ] 令u=(x)
x x0
lim f (u)
u u0
（2）极限运算与函数运算可以交换次序，即
lim f ( x) f [lim ( x)].

高等数学：连续函数的运算

《高等数学》 1.9.1 连续函数的运算
初等函数连续性的应用
【1】求初等函数在其有定义的点处的极限时，根据连续性，此时只需直接求初等函数在该
点的函数值。这是因为，只要是求极限，函数在该点的空心邻域内也一定有定义，就是该点一
定是定义区间内的点，故函数在该点必然连续，即
lim
xx0
f (x)
f (x0（)
《高等数学》 1.9.1 连续函数的运算
【例3】
求极限
lim
xa
arc
s
in(loga
x)(a
1)
解：因为函数 arcsin(log a x)(a 1) 是初等函数，且该函数在x=a处有定义，所以有
lim
xa
arcsin(loga
x)
arcsin(loga
a)
arcsin1
2
【例4】求函数
y
简证：因为φ(x)在点 x0 连续，所以有
lim
xx0
(
x)
(
x0
)
而函数 y f (u) 在点 u0 连续，再由定理2 ，有
lim
xx0
f [(x)]
f [lim (x)] xx0
f [(x0 )]
即复合函数 f [(x)] 在点 x0 处也连续。
连续函数经复合运算后仍然连续
《高等数学》 1.9.1 连续函数的运算
x0
定义区间）。
【2】求间断点。高等数学的主要研究对象是初等函数和分段函数。对于初等函数，有定义的点处要么是连续的，要么是孤立点不讨论连续或间断。因而，初等函数的间断点一定是其无定义的点。对于分段函数，其在每一个区间段内都是初等函数，即分段函数在每一个区间段内均连续，故其间断点只可能是无定义的点及其分段点。

高等数学第一章第八节函数的连续性与间断点

教学：题型，求分段函数中的未知参数，前提条件为收敛、连续、可导等。
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
教学：复合函数的极限、连续问题归纳，三个定理。
4. 反函数的连续性.
定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.

教学：谈谈不连续的情形，第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷大、振荡）
定理
（1） y f ( x) 在点 x0 处连续
f ( x0 ) 有定义， lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0 x x0
（2） y f ( x) 在点 x0 处连续
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
例

高等数学-第一章第八节连续函数

(2) lim f ( x) 存在; x x0
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 5
连续函数
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其是判断分段函数在分界点处是否连续用定义2方便.
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x

0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
连续函数
3. 左、右连续
若 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
4
连续函数
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
f (u0 ).
意义 1. 变量代换 u g( x)的理论依据.
2. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序;
16
连续函数
定理3
若 lim x x0
g( x)

u0 , 函数
f
(u)在点u0连续,
则有 lim x x0
f [g( x)]

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,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(Px)(
x x0
x0R) (
x0c)ontinue
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对自变量的增量
有函数的增量
函数在点连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f (x0 )
y y f (x)
第七节（2-1）
第一章
函数的连续性与
连续函数的运算
一、函数的连续性
二、函数的间断点三、小结、思考题
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一、函数连续性的定义
定义: 设函数
在的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点有定义 , 即
间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若若第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
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例4
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
2
(k
0,1,2,).
2
x, x 1
四、 f ( x) 0, x 0 x 1 和 x 1 为第一类间断点 .
x, x 1
五、(1)a 0, b 1;
(2)a 1, b e .
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如, 在
( 有理整函数 ) 上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
o
x
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
o
x
★ 狄利克雷函数
y
D(
x
振荡型
思考与练习
1. 讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
2. 设连续函数.
提示:
时为
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补充题确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
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作业P70 1（1）、2（1，4）、3
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续右连续
x
o x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0) y
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例.1 证明函数
在
内连续 .
证: x (, )
y sin(x x) sin x
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
再如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x , x 1
(4)
y
f (x)
1 2
,
x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
二、研究函数 f ( x) 1, x 1 的连续性，并画出函数的图形 .
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)
x 3
1, x,
x x
1在 1
xR
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
内容小结
在点连续的等价形式
左连续右连续
在点间断的类型
可去间断点第一类间断点跳跃间断点左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
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第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第二类间断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
连续性.
二、函数的间断点
设在点的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点不连续 :
(1) 函数在无定义 ;
(2) 函数在虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数在虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点称为间断点 .
存在 , 但
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四、讨论函数
1 x2n f ( x) lim
的连续性，若有间断
n 1 x 2n
点，判断其类型 .
五、试确定 a, b 的值,使 f ( x) e x b ， ( x a)( x 1)
（1）有无穷间断点x 0 ；（2）有可去间断点 x 1 .
练习题答案
一、1、一类,二类； 2、一类,一类,二类.
x)
1, 0,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.
★
f
(
x)
x, x,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
二、 f ( x)在(,1)与(1,)内连续, x 1为跳跃间断点.
三、1、x 1为第一类间断点；
2、 x k 为可去间断点, 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1(
x)
x tan
x
,
x
k,
k
2
1, x 0
(k 0,1,2,),
f2(
x)
x tan 0, x
, x k,k x k
y
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
x x 0 0
即
这说明
在
同样可证: 函数
内连续 .
在
内连续 .
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例2
试证函数
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
例3
讨论函数
f (x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
练习题
一、填空题： 1、指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . 2、指出 y x 2 x 在 x 0 是第________类间 x ( x 2 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1
1 2
x1
o
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f (x)
Байду номын сангаас
x
0
1
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
o
x
1
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例7 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,

《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算

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