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Gaussian Smoothing Filter高斯平滑滤波器一、图像滤波的基本概念图像常常被强度随机信号（也称为噪声）所污染．一些常见的噪声有椒盐（Salt & Pepper）噪声、脉冲噪声、高斯噪声等．椒盐噪声含有随机出现的黑白强度值．而脉冲噪声则只含有随机的白强度值（正脉冲噪声）或黑强度值（负脉冲噪声）．与前两者不同，高斯噪声含有强度服从高斯或正态分布的噪声．研究滤波就是为了消除噪声干扰。
图像滤波总体上讲包括空域滤波和频域滤波。
频率滤波需要先进行傅立叶变换至频域处理然后再反变换回空间域还原图像，空域滤波是直接对图像的数据做空间变换达到滤波的目的。
它是一种邻域运算，即输出图像中任何像素的值都是通过采用一定的算法，根据输入图像中对用像素周围一定邻域内像素的值得来的。
如果输出像素是输入像素邻域像素的线性组合则称为线性滤波（例如最常见的均值滤波和高斯滤波），否则为非线性滤波（中值滤波、边缘保持滤波等）。
线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也有很好的效果。
线性滤波器使用连续窗函数内像素加权和来实现滤波。
特别典型的是，同一模式的权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是空间不变的，这样就可以使用卷积模板来实现滤波。
如果图像的不同部分使用不同的滤波权重因子，且仍然可以用滤波器完成加权运算，那么线性滤波器就是空间可变的。
任何不是像素加权运算的滤波器都属于非线性滤波器．非线性滤波器也可以是空间不变的，也就是说，在图像的任何位置上可以进行相同的运算而不考虑图像位置或空间的变化。
二、图像滤波的计算过程分析滤波通常是用卷积或者相关来描述，而线性滤波一般是通过卷积来描述的。
他们非常类似，但是还是会有不同。
下面我们来根据相关和卷积计算过程来体会一下他们的具体区别：卷积的计算步骤：（1）卷积核绕自己的核心元素顺时针旋转180度（2）移动卷积核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方（3）在旋转后的卷积核中，将输入图像的像素值作为权重相乘（4）第三步各结果的和做为该输入像素对应的输出像素相关的计算步骤：（1）移动相关核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方（2）将输入图像的像素值作为权重，乘以相关核（3）将上面各步得到的结果相加做为输出可以看出他们的主要区别在于计算卷积的时候，卷积核要先做旋转。
高斯滤波器的原理及其实现过程（附模板代码）来源：网络素材本文主要介绍了高斯滤波器的原理及其实现过程高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。
其作用原理和均值滤波器类似，都是取滤波器窗口内的像素的均值作为输出。
其窗口模板的系数和均值滤波器不同，均值滤波器的模板系数都是相同的为1;而高斯滤波器的模板系数，则随着距离模板中心的增大而系数减小。
所以，高斯滤波器相比于均值滤波器对图像个模糊程度较小。
什么是高斯滤波器既然名称为高斯滤波器，那么其和高斯分布(正态分布)是有一定的关系的。
一个二维的高斯函数如下：其中(x,y)(x,y)为点坐标，在图像处理中可认为是整数;σσ是标准差。
要想得到一个高斯滤波器的模板，可以对高斯函数进行离散化，得到的高斯函数值作为模板的系数。
例如：要产生一个3×33×3的高斯滤波器模板，以模板的中心位置为坐标原点进行取样。
模板在各个位置的坐标，如下所示(x轴水平向右，y轴竖直向下)这样，将各个位置的坐标带入到高斯函数中，得到的值就是模板的系数。
对于窗口模板的大小为(2k+1)×(2k+1)，模板中各个元素值的计算公式如下：这样计算出来的模板有两种形式：小数和整数。
•小数形式的模板，就是直接计算得到的值，没有经过任何的处理;•整数形式的，则需要进行归一化处理，将模板左上角的值归一化为1，下面会具体介绍。
使用整数的模板时，需要在模板的前面加一个系数，系数为也就是模板系数和的倒数。
高斯模板的生成知道模板生成的原理，实现起来也就不困难了•••••••••••••••••••••••••void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma){ static const double pi = 3.1415926; int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点 doublex2, y2; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - center, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - center, 2); double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));g /= 2 * pi * sigma; window[i][j] = g; } } double k= 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1 for (int i = 0; i< ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { window[i][j] *= k; } }}需要一个二维数组，存放生成的系数(这里假设模板的最大尺寸不会超过11);第二个参数是模板的大小(不要超过11);第三个参数就比较重要了，是高斯分布的标准差。
高斯滤波函数高斯滤波函数是一种常用的图像处理方法，它可以用来平滑图像并去除噪声。
该函数基于高斯分布的特性，将图像中每个像素的值与周围像素的值进行加权平均，从而达到平滑的效果。
高斯滤波函数的数学表达式为：$$G(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$$其中，$x$和$y$表示像素的坐标，$\sigma$表示高斯分布的标准差。
在实际应用中，通常会选择不同的标准差来达到不同的平滑效果。
高斯滤波函数的实现可以通过卷积运算来完成。
具体来说，对于图像中的每个像素，我们可以将其周围的像素按照高斯分布的权重进行加权平均，从而得到该像素的新值。
这个过程可以用下面的公式来表示：$$I'(x,y) = \frac{1}{\sum_{i=-k}^k\sum_{j=-k}^k G(i,j)}\sum_{i=-k}^k\sum_{j=-k}^k G(i,j)I(x+i,y+j)$$其中，$I(x,y)$表示原始图像中的像素值，$I'(x,y)$表示经过高斯滤波后的像素值，$k$表示卷积核的大小，$G(i,j)$表示卷积核中第$(i,j)$个元素的权重。
在实际应用中，高斯滤波函数通常会被用来去除图像中的噪声。
由于噪声通常是随机的，因此可以通过多次应用高斯滤波函数来进一步平滑图像。
不过需要注意的是，过度平滑可能会导致图像失去细节，因此需要根据具体情况来选择合适的平滑程度。
总之，高斯滤波函数是一种常用的图像处理方法，它可以用来平滑图像并去除噪声。
通过卷积运算，我们可以将每个像素的值与周围像素的值进行加权平均，从而达到平滑的效果。
在实际应用中，需要根据具体情况来选择合适的标准差和卷积核大小，以达到最佳的平滑效果。
matlab 高斯滤波器截止频率-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯滤波器是一种常用的线性平滑滤波器，在图像处理中起着重要作用。
通过对输入图像进行卷积操作，高斯滤波器可以有效地去除图像中的噪声，平滑图像的细节，并提高图像的质量。
在Matlab中，高斯滤波器的应用十分广泛，可以通过内置函数或自定义函数来实现。
本文主要介绍了Matlab中高斯滤波器的使用方法和原理，并重点讨论了截止频率的概念及其对滤波效果的影响。
通过深入研究高斯滤波器的截止频率，我们可以更好地理解滤波器在图像处理中的应用，以及如何调整截止频率来达到更好的滤波效果。
这将有助于读者更好地应用高斯滤波器解决实际的图像处理问题。
1.2 文章结构本文将首先介绍Matlab中的高斯滤波器，包括其在图像处理中的应用和原理。
接着，我们将详细探讨高斯滤波器中截止频率的概念，以及如何通过调整截止频率来影响滤波效果。
最后，我们将对文章进行总结，并展望未来高斯滤波器在图像处理领域的发展前景。
通过本文的阐述，读者将更加深入地了解高斯滤波器的工作原理及其在实际应用中的重要性。
的内容1.3 目的：本文的主要目的是探讨在Matlab中使用高斯滤波器进行图像处理时，如何通过调整截止频率来达到更好的滤波效果。
通过深入分析高斯滤波器的原理和截止频率的概念，我们将探讨如何在实际应用中调整截止频率，以实现对图像的更精确和有效的处理。
通过本文的研究，读者可以更加深入地了解高斯滤波器在图像处理中的作用，并且掌握调整截止频率的方法，从而提高图像处理的质量和效率。
2.正文2.1 Matlab中的高斯滤波器在Matlab中，我们可以通过使用内置函数`fspecial`来创建高斯滤波器。
该函数的语法如下：matlabh = fspecial('gaussian', hsize, sigma);其中，`hsize`表示滤波器的大小，通常为一个奇数，如3、5、7等；`sigma`表示高斯分布的标准差，用于控制滤波器的模糊程度。
白噪声英文名称：white noise定义1：在感兴趣的频率范围内，每单位带宽内有相等功率的噪声或振动。
应用学科：机械工程（一级学科）；振动与冲击（二级学科）；机械振动（三级学科）定义2：在所考虑的频带内具有连续频谱和恒定的功率谱密度的随机噪声。
应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布求助编辑百科名片白噪声白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。
从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”声（每高一个八度，频率就升高一倍。
因此高频率区的能量也显著增强）。
目录编辑本段概述白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。
换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。
然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。
一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。
例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。
当你需要专心工作，而周遭总是有繁杂的声音时，就可以选用这两种声音来加以遮蔽。
一般来说，通常的情况下你可以选用白色噪音，而粉红色噪音则是特别针对说话声的遮蔽材料。
粉红色噪音又被称做频率反比(1/f) 噪音，因为它的能量分布与频率成反比，或者说是每一个八度音程(Octave) 能量就衰退3 dB。
收稿日期：2020-03-17基金项目：东华理工大学研究生创新基金资助项目（DHYC-201908）第一作者：张庆（1994—），男，硕士研究生，主要研究方向为核测控技术与仪器。
E-mail ：136490098@DOI ：10.16056/j.2096-7705.2020.02.011摘要：高斯滤波成形作为一种处理核脉冲的重要方法对于核仪器的研发具有重要意义。
在Multisim 平台上基于CR 微分电路进行了模拟核脉冲信号的仿真，并通过Sallen-Key 和多级CR-RC 高斯滤波器进行了模拟核信号的高斯滤波成形仿真，通过比较Sallen-Key 和多级CR-RC 仿真结果表明，S-K 方法的高斯滤波成形级数快，成形后的脉冲幅度增大，脉冲加宽。
CR-RC 方法的高斯滤波成形级数慢，同时CR 成形电路会将脉冲宽度减小。
基于优势互补原理，改进了一套CR-SK 混合滤波器并进行了仿真，仿真结果表明，改进的CR-SK 滤波器具有成形级数快，成形后的脉冲宽度没有增宽的优势，对于提高谱仪的能量分辨率具有一定的指导意义。
关键词：Multisim ；核脉冲仿真；高斯成形；Sallen-Key 电路；CR-RC 电路中图分类号：TL82文献标志码：A文章编号：2096－7705（2020）02－0053－05ZHANG Qing,XU Hui（School of Nuclear Science and Engineering,East China University of Technology,Nanchang 330013,China）Gaussian filter shaping as an important method for processing nuclear pulses is of great significance for thedevelopment of nuclear instruments.In this paper,the simulation of the nuclear pulse signal is simulated based on the CR differential circuit on the Multisim platform,and the Gaussian filter shaping simulation of the analog nuclear signal is carried out through the Sallen-Key and multi-level CR-RC Gaussian filter.The simulation results of the stage CR-RC show that the S-K method has a fast Gaussian filter shaping stage,the pulse amplitude after shaping increases and the pulse widens.The CR-RC method has a slow Gaussian filter shaping stage,while the CR shaping circuit reduces the pulse width.Based on the principle of complementary advantages,a set of CR-SK hybrid filters is improved and simulated.The simulation results show that the improved CR-SK filter has the advantages of fast shaping series and no widening pulse width after shaping.The energy resolution of the spectrometer has certain guidingsignificance.Multisim;nuclear pulse simulation;Gaussian forming;Sallen-Key circuit;CR-RC circuit基于Multisim 的高斯滤波器仿真与改进张庆，徐辉（东华理工大学核科学与工程学院，南昌330013）引言核信号处理中滤波器的好坏直接决定了核仪器性能的优劣。
第五章 高斯滤波器5.1介绍高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析。
美国标准（美国机械工程师协会2002）和国际标准（国际标准化组织1996）都对它进行了阐述。
高斯滤波器的权重函数（滤波器在时域和空间域的定义）如下：S (x )=1αλc exp[−π(x αλc )2] 5.1 式子中α=√ln2/π=0.4697,x 是权重函数距离原点的位置，λc 是粗糙度中长波波长的截止频率。
通过对连续函数S (x )进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下： Sf (λ)=∫S (x )e iλx dx ∞−∞=∫1αλc e [−π(x αλc )2]∞−∞e iλx dx =e [−π(αλc λ)2] 5.2从等式5.2,能够看出该正弦波振幅有衰减，其波长截止波长(λ=λc )是0.5,因此在截止处，滤波器传递了50%。
下面的例子展示了，在给定权重函数下，其高斯滤波器传递曲线的样子。
范例5.1 在给定空间域λc ≤x ≤λc 下，描绘高斯滤波器S 。
其中让λc =0.8mm ，采样间隔∆x =1μm 。
下面是MATLAB 生成的代码，并且其所描述的图展示在(图5.1 a)。
图5.1 a 绘制高斯滤波器；λc =0.8mm ，b 高斯滤波器传递特性lambdac=0.8; % in mmdx=0.001; % in mmx=(-lambdac:dx:lambdac)’;alpha=0.4697;S=(1/(alpha *lambdac)).*exp(-pi *(x/(alpha *lambdac)).^2);% generate the Gaussian filterS=S/sum(S); % normalize to unit sumplot(x,S);xlabel(’Distance (mm)’);ylabel(’Weighting function’);范例5.2 产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特性，其截止波长(λc=0.8mm)。
GMSK调制是一种常见的数字调制方式，它常用于无线通信系统中。
GMSK调制的特点是频率偏移较小，幅度变化较大。
在GSM系统中，GMSK调制是一种常见的调制方式，它能够提供较好的抗多径干扰能力和频谱利用率。
而高斯低通滤波器（Gaussian low-pass filter）在数字通信系统中也有着重要的作用，它能够对调制信号进行滤波，去除高频成分，使得信号更加平滑，减小误码率等。
下面将分别介绍GMSK调制和高斯低通滤波器，以及它们之间的公式及原理。
一、GMSK调制GMSK调制使用高斯脉冲作为调制信号的基本波形，通过改变脉冲的相位来表示数字信号。
GMSK调制的频谱特性良好，能够减小频谱外溢，降低与相邻信道的干扰，其调制信号的带宽较小，能够更高效地利用有限的频谱资源。
GMSK调制的数学表达式为：\[s(t) = A \cos(\phi(t))\]其中，\(s(t)\)表示调制信号，\(A\)为调制幅度，\(\phi(t)\)为相位函数。
GMSK调制的相位函数\(\phi(t)\)可以通过累积高斯滤波脉冲得到，其数学表达式为：\[\phi(t) = 2 \pi f_c t + 2 \pi f_d \frac{T}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi n \alpha)}{n}\exp\left(-\frac{\pi^2n^2}{\alpha^2}\right) \sin(2 \pi n \frac{t}{T})\]其中，\(f_c\)为载波频率，\(f_d\)为调制指数，\(T\)为符号周期，\(\alpha\)为高斯脉冲的系数。
二、高斯低通滤波器高斯低通滤波器是一种能够有效去除高频噪声的滤波器。
在数字通信系统中，经过调制的信号往往会包含大量高频成分，为了减小干扰、提高信噪比，需要对信号进行滤波处理。
高斯低通滤波器的频域特性为高斯分布，其数学表达式为：\[H(f) = e^{-\pi f^2 / B^2}\]其中，\(H(f)\)为滤波器的频率响应，\(B\)为滤波器的3dB带宽。
高斯平滑滤波器高斯滤波器是一类根据高斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器。
高斯平滑滤波器对于抑制服从正态分布的噪声非常有效。
一维零均值高斯函数为：g(x)=exp( -x^2/(2 sigma^2)其中，高斯分布参数Sigma决定了高斯函数的宽度。
对于图像处理来说，常用二维零均值离散高斯函数作平滑滤波器。
高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．（5）由于高斯函数的可分离性，较大尺寸的高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．。
高斯滤波器原理高斯滤波器是一种常用的图像处理滤波器，它利用高斯函数对图像进行平滑处理，能够有效去除图像中的噪声，保留图像的细节信息。
在数字图像处理领域，高斯滤波器被广泛应用于图像去噪、边缘检测、图像增强等方面。
本文将介绍高斯滤波器的原理及其在图像处理中的应用。
高斯滤波器的原理基于高斯函数，高斯函数是数学中的一种特殊函数，其形状呈钟型曲线。
高斯函数具有以下形式：\[G(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}\]其中，\(G(x, y)\)表示高斯函数在点\((x, y)\)处的取值，\(\sigma\)表示高斯函数的标准差。
高斯函数的特点是中心点取值最大，随着距离中心点的增加，取值逐渐减小。
这种特性使得高斯函数在图像处理中能够实现平滑效果，同时保留图像的整体特征。
在图像处理中，高斯滤波器利用高斯函数对图像进行卷积操作，以实现图像的平滑处理。
卷积操作的数学表达式为：\[I'(x, y) = \sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b}I(x+s, y+t) \cdot G(s, t)\]其中，\(I(x, y)\)表示原始图像在点\((x, y)\)处的灰度值，\(I'(x, y)\)表示经过高斯滤波器处理后的图像在点\((x, y)\)处的灰度值，\(G(s, t)\)表示高斯函数在点\((s, t)\)处的取值。
通过对图像中的每个像素点进行卷积操作，即可得到经过高斯滤波器处理后的图像。
高斯滤波器在图像处理中有着广泛的应用。
首先，高斯滤波器能够有效去除图像中的高频噪声，如椒盐噪声、高斯噪声等，使图像更加清晰。
其次，高斯滤波器还可以用于图像的边缘检测，通过调节高斯函数的标准差，可以实现不同程度的平滑效果，从而影响图像的边缘检测效果。
此外，高斯滤波器还可以用于图像的增强处理，通过对图像进行适当的平滑处理，可以突出图像的细节特征，使图像更加鲜明。
高斯滤波器和2RC滤波器第五章高斯滤波器5.1介绍高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析。
美国标准（美国机械工程师协会2002）和国际标准（国际标准化组织1996）都对它进行了阐述。
高斯滤波器的权重函数（滤波器在时域和空间域的定义）如下：S x =αλcexp[−π(αλc2] 5.1 式子中α= =0.4697,x是权重函数距离原点的位置，λc是粗糙度中长波波长的截止频率。
通过对连续函数S x 进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下： Sf λ=∞ −∞1xS x eiλxdx=∞1 −∞αλce[−π(x2)]αλceiλxdx=e[−π(αλc2)]λ 5.2 从等式5.2,能够看出该正弦波振幅有衰减，其波长截止波长(λ=λc)是0.5,因此在截止处，滤波器传递了50%。
下面的例子展示了，在给定权重函数下，其高斯滤波器传递曲线的样子。
范例5.1 在给定空间域λc≤x≤λc下，描绘高斯滤波器S。
其中让λc=0.8mm，采样间隔∆x=1μm。
下面是MATLAB生成的代码，并且其所描述的图展示在(图5.1 a)。
图5.1 a绘制高斯滤波器；λc=0.8mm，b高斯滤波器传递特性lambdac=0.8; % in mmdx=0.001; % in mmx=(-lambdac:dx:lambdac)’;alpha=0.4697;S=(1/(alpha*lambdac)).*exp(-pi*(x/(alpha*lambdac)).^2);% generate the Gaussian filterS=S/sum(S); % normalize to unit sumplot(x,S);xlabel(’Distance (mm)’);ylabel(’Weighting function’);范例5.2 产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特性，其截止波长(λc=0.8mm)。
高斯滤波器的传递特性能够同样获得，通过借助第四章4.4范例所示的矩形滤波器例程。
